歴史的には、まず楕円曲線の L 函数の特殊値に関するバーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想があった[4]。そしてピエール・ドリーニュによってモチーフの L 函数の特殊値に関する予想が提出された。ドリーニュの予想はクリティカル・モチーフというモチーフに対するもので、このモチーフの L 函数の特殊値を有理数倍による違いを除いて予想するものだった[5]。これはライプニッツの π の公式でいうと円周率の部分を予想したことに相当する。この予想はドリーニュ予想と呼ばれている。
次にアレクサンダー・ベイリンソンがクリティカルという仮定を外しドリーニュ予想を一般化した[6]。ベイリンソンは代数的 K 理論を用いて数体のレギュレータを一般化し「高次のレギュレータ」（ベイリンソン・レギュレータ（英語版））というものを定義した。そしてモチーフの L 函数の特殊値は有理数倍による違いを除いてこの高次レギュレーターになるだろうと予想した[7]。この予想はベイリンソン予想と呼ばれている。
スペンサー・ブロック（英語版）と加藤和也はモチーフの L 函数の特殊値の有理部分を決定する予想を提出した[6]。彼らはモチーフの玉河数というものを定義しモチーフの L 函数の特殊値の有理部分はこの数によって決定できると予想した。玉河数という言葉は線型代数群の玉河数を研究していた玉河恒夫にちなむ。この予想は玉河数予想（Tamagawa number conjecture）またはブロック・加藤予想（Bloch–Kato conjecture）と呼ばれている。代数的 K 理論にもミルナー予想の拡張であるブロック・加藤予想と呼ばれる予想（ウラジーミル・ヴォエヴォドスキーらによって証明されている）があるが、これはここで述べた L 函数の特殊値に関するブロック・加藤予想とは別物である。
これらの予想はすべて、特別なケースについてのみ成立することしか知られていない。
https://en.wikipedia.org/wiki/Special_values_of_L-functions Special values of L-functions
In a further extension, the equivariant Tamagawa number conjecture (ETNC) has been formulated, to consolidate the connection of these ideas with Iwasawa theory, and its so-called Main Conjecture.
