- 992 名前：１３２人目の素数さん [2024/04/04(木) 13:03:47.77 ID:YdS5trk8.net]
- >>936
軸を45°回すと
(x+y)/√2 = u,
(x-y)/√2 = v,
なので 与式は
(uu+vv)^2 = 2uv,
邪魔な v を消すために、AM-GM不等式を試みます。
もし 上手く
uu + vv ≧ k・u^{3/2}・√v, …… (*)
とできれば 与式から
2uv = (uu+vv)^2 ≧ kk・u^3・v,
(x+y)^2 = 2uu ≦ (2/k)^2,
|x+y| ≦ 2/k,
が答えとなります。
そこで (*) が成り立つように uu を3等分します。
uu/3 + uu/3 + uu/3 + vv ≧ k・u^{3/2}・√v,
k = 4/(3^{3/4}),
∴ |x+y| ≦ (1/2)・3^{3/4},
また等号成立は
0 = vv - uu/3 = (xx-4xy+yy)/3,
のとき。
不等式への招待 第11章 の [65], [72] も参照して…
