- 571 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/25(金) 05:21:57.77 ID:AVyLSA91.net]
- 変数 x に対する第一種エアリー関数は広義リーマン積分
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&
={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)~dt\\&\equiv {\frac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)~dt\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)~dt\\&\equiv {\frac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)~dt\end{aligned}}}
として定義することができる。
これが収束することは、激しく振動するグラフの正の成分と負の成分とが
互いに打ち消し合う（これは部分積分で確認できる）ことによるものである。
関数 y = Ai(x) はエアリー方程式
{\displaystyle y''-xy=0}{\displaystyle y''-xy=0}
を満足する。この方程式は二つの線型独立な解を持つ。
スカラー倍の違いを除いて、Ai(x) は x → ∞ で y → 0 なる条件を満たす
唯一の解である。もう一つの解として第二種エアリー関数 Bi(x) を取るのが
標準的である。第二種エアリー関数は第一種エアリー関数 Ai(x) と同じ振幅を持ち
x → −∞ で位相が π/2 だけ異なる解
{\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }
\left[\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\right]dt}{\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\right]dt}
として定義することができる。
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