高校数学の質問スレ Part421

412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/22(木) 01:20:49.68 ID:k0Cs6gC0.net] >>350 (1)ディリクレの定理 a=d=1の場合は素数の個数の証明の場合である。 偶数である2を除いた全ての素数(奇素数)は4n±1と表される。 4n-1型の素数だけで無限に存在することを示す。 A=(3･7･11･…･p)-1とおく。 括弧内は4n-1型の素数を小さい順に、ある素数pまで掛けたものである。 Aが素数の時, A>pである。 Aが合成数の時, Aは4n-1型の素因数qを持つ。なぜならば4n+1型の素数のみの積によって4n-1型の素数は作れないからである。Aは3からpまでで割り切れないのでq>pである。 よってどちらにしても4n-1型の素数は無限に存在することが示された。 2, 3以外の素数は6n±1の形に表される。6n-1型の素数をX型、6n+1型の素数をY型と呼ぶことにする。 A=X型の素数を小さい順にn個並べた素数の積-1とおく Aが素数ならばA>pₙ Aが合成数ならば、X型の素数qを必ず含む。なぜならばY型の素数の積はX型にならないからである。Aは5からpₙまで、割り切れないのでq>pₙとなる。 どちらにしてもpₙよりも大きなX型の素数が存在し、X型の素数が無限にあることが示された。

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