大学学部レベル質問スレ 19単位目

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/08/04(木) 23:29:28.02 ID:0Ho6Owof.net] 大学で習う数学に関する質問を扱うスレ ・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして ・ただの計算は wolframalpha.com ・数式の表記法は mathmathmath.dote ra.net ・質問のマルチポストは非推奨 ・煽り、荒らしはスルー ※前スレ 大学学部レベル質問スレ 18単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1651147986/ 910 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 14:33:39.84 ID:OsiIECCH.net] >>869 本筋とあんま関係ないけどこの書き方って分かりにくいよな 左辺のfが正確には一変数関数f(x,g(x))を表してるのに対して右辺の∂f/∂xや∂f/∂yのfは二変数関数を表してるから両辺でfの意味が違う 911 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 14:38:19.20 ID:HArWnKKe.net] >>861 e^x は例として出しただけです。 f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1}) は成り立たないが、 f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + O(x^{n+1}) は成り立つという場合にも、教科書の形式に従うと、 f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + o(x^{n+1}) などと書いてしまう人が出てきます。 912 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 14:39:21.38 ID:HArWnKKe.net] 訂正します： >>861 e^x は例として出しただけです。 f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1}) は成り立たないが、 f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + O(x^{n+1}) は成り立つという場合にも、教科書の形式に従うと、 f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + o(x^{n}) などと書いてしまう人が出てきます。 913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/12(土) 14:45:37.88 ID:Z55pADda.net] そう書いてしまう人が出てくるかはわからないけど、そう間違ってしまう人がいたらその人の考えが足りなかったというだけでは。 教科書の進行上不都合が出てこないなら甘い評価で進めても問題なかろう 914 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 15:26:52.30 ID:iKYodEi8.net] >>874 分かりにくいって？ 分かりやすくするためにこう書いているんだけど 915 名前：874 [2022/11/12(土) 15:39:03.66 ID:f050CcFt.net] >>878 一つの式の中で同じ記号を別の意味で使ってなんで分かりやすくなるんだ 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2022/11/12(土) 15:51:19.81 ID:ehr11irC.net] たまに高校生や大学1年のキッズで見かける。 y=f(x)=x^2 (について導関数を求めると…) dy/dx = 2x (を得る。そして) dy = 3x * dx みたいに3行目で意味不明な操作をする人が いるけどああいう感じの人なんだろうな。 dy/dx を分数だと思ってやがる。 (記号の見た目が似てるだけであって、分数ではない) 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2022/11/12(土) 15:52:53.77 ID:ehr11irC.net] 訂正 3行目 　　　 dy = 2x * dx dyがあっちに行って、dxがこっちに行って… とかいう意味不明な操作。 918 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 16:12:10.79 ID:ag9KozdJ.net] 微分形式表現だと思えば別に間違ってもないですけど 919 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 16:13:16.83 ID:iKYodEi8.net] >>879 同じモノだからさ fという値 それがx,yに関連している2変数関数だから ∂f/∂xという記法 y=g(x)という関係も含めたらxの1変数関数だから df/dxという記法 何を意味しているのか明瞭だから区別して書いている 920 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 16:18:51.58 ID:iKYodEi8.net] 大体 df/dx=∂f/∂x+∂f/∂y・dy/dx の∂f/∂xも∂f/∂yもy=g(x)が代入されているxの1変数関数 だからこそ左辺の1変数関数（の微分である1変数関数）と 1変数関数として一致している モチロンこれを df(x,g(x))/dx=∂f/∂x(x,g(x))+∂f/∂y(x,g(x))・dg(x)/dx と書くことを妨げるモノではない 921 名前：874 [2022/11/12(土) 16:31:32.48 ID:I3jirpBg.net] うーん、まあいいや 俺は>>884の最後の式みたいに書いてあった方が分かる 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2022/11/12(土) 16:49:51.60 ID:ehr11irC.net] >>882 正気か、おまえ。 923 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 17:00:40.14 ID:D+G+7nHj.net] わからないんですね 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/12(土) 17:41:14.35 ID:VjRS2YpT.net] >>875 余計な仮定なしの極普通の条件「n回まで微分可そしてそれが連続」から言えるのは f(x) = f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ) 教科書は一般論を述べたいはずなのでこれでいいんです. 解析関数のように O(x^{n+1}) と書ける場合を含んでいるし その必要があれば O で書くでしょう. これで混乱する人はもっと他の所で躓くはず fのn階導関数が連続ならば f(x) = f(0) + ∫[0,x] f⁽¹⁾(ξ₁) dξ₁ = f(0) + ∫ [0,x] { f¹(0) + ∫ [0,ξ₁]f⁽²⁾(ξ₂)dξ₂ } dξ₁ = f(0) + f¹(0).x + ∫ [0,x] dξ₁ ∫ [0,ξ₁] dξ₂ f⁽²⁾(ξ₂) = f(0) + f¹(0).x + ∫∫ [0,x]² dξ² χ(0≦ξ₂≦ξ₁≦x) f⁽²⁾(ξ₂) = f(0) + .. + ∫..∫ [0,x]ⁿdξⁿ χ(0≦ξₙ≦..≦ξ₂≦ξ₁≦x).f⁽ⁿ⁾(ξₙ) = f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ (1/(n-1)!) ∫..∫ [ξₙ,x]ⁿ⁻¹dξⁿ⁻¹ f⁽ⁿ⁾(ξₙ) = f(0) + .. + (1/(n-1)!).∫ [0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹{ f⁽ⁿ⁾(0) + q(ξ) } .... ( q(ξ) := f⁽ⁿ⁾(ξ) - f⁽ⁿ⁾(0) ) = f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + (1/(n-1)!).∫ [0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹q(ξ) |∫[0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹q(ξ)| ≦ (xⁿ/n!).sup{0≦ξ≦x}(|q(ξ)|) = o(xⁿ) ∵ lim{x→0} sup{0≦ξ≦x}(|q(ξ)|) = 0 {f⁽ⁿ⁾(ξ)の連続性} よって f(x) = f(0) + .. + (1/n!).fⁿ(0).xⁿ + o(xⁿ) > f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1}) > は成り立たないが, これは、あまり考えたく無い条件「f^{(n+1)}(ξ)は連続ではない」が必要になります そういうのは必要が生じたら考えればいいだけであって記法の心配とは無縁の話でしょう 925 名前：888 mailto:sage [2022/11/12(土) 19:37:10.05 ID:VjRS2YpT.net] 訂正: 「n回まで微分可」だけでよい. 「そしてそれが連続」である必要はない. f(x) = f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) ∫..∫ [ξₙ₋₁,x]ⁿ⁻²dξⁿ⁻² f⁽ⁿ⁻¹⁾(ξₙ₋₁) = f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) (x-ξₙ₋₁)ⁿ⁻² f⁽ⁿ⁻¹⁾(ξₙ₋₁) = f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) (x-ξₙ₋₁)ⁿ⁻² { f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)+ f⁽ⁿ⁾(0)ξₙ₋₁ + o(ξₙ₋₁) } .... (∵ 微分の定義) = f(0) + .. + (1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (B(n-1, 2)/(n-2)!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + Rₙ(x) .... (B(a,b)はベータ関数) = f(0) + .. + (1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + Rₙ(x) Rₙ(x) := (1/(n-2)!) .∫ [0,x] dξ (x-ξ)ⁿ⁻².o(ξ) |Rₙ(x)| ≦ (1/(n-2)!) |∫ [0,x] dξ (x-ξ)ⁿ⁻².ξ. o(ξ)/ξ | ≦ (1/n!). |x|ⁿ. sup(|o(ξ)/ξ|) lim[x→0] sup(|o(ξ)/ξ|) = 0 ∴ Rₙ(x) = o(xⁿ) よって f(x) = f(0) + .. +(1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ) > f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1}) > は成り立たないが そんなのは存在しない 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/12(土) 19:57:40.35 ID:VjRS2YpT.net] (追記) >>888, >>889 の証明は x ≧ 0 についてのもの x<0 については g(t) := f(-t) と置いて t≧0 についての証明: g(t) = g(0) + .. + (1/n!).g⁽ⁿ⁾(0).tⁿ + o(tⁿ) より f(-t) = f(0) + .. + (1/n!).(-1)ⁿ.f⁽ⁿ⁾(0).tⁿ + o(tⁿ) .... ∵ g⁽ⁿ⁾(t) = (-1)ⁿ. f⁽ⁿ⁾(-t) x=-t で置き換えれば x≦0 についての f(x) = f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ) を得る. 927 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 20:46:07.40 ID:PWYQ/msE.net] >>889 『余計な仮定』ということについて疑問がありますけど, テイラーの公式: f(a+h) = f(a) + Df(a)(h) + ・・・(1/n!) D^n f(a)(h^n) + o(|h|^n) は, f が a の近傍で n-1 回微分可能で, D^{n-1}f が 点 a でのみ微分可能であっても成り立つのではないですか？ 928 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 21:16:30.78 ID:2eB0J2sg.net] ソリャそうだ 929 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 21:45:48.86 ID:rB7flw++.net] 沙羅双樹 930 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/12(土) 23:56:09.15 ID:noIkKf8g.net] dfとDfならdfが主流？ 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/13(日) 00:01:54.43 ID:8JuPYBWp.net] 接空間の間に誘導される抽象的な写像の意味での微分についてはdfの方が一般的な気がする 932 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/18(金) 15:34:51.84 ID:Ek2LZ9cy.net] G/Φ(G)が巡回群ならGは巡回群である。 Φ(G):フラッチニ部分群 よろしくお願いします。 933 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/18(金) 19:43:47.70 ID:3nUcDPGY.net] lim sup_{D∋z → 1} |f(z)|の定義は何 934 名前：ですか？ [] [ここ壊れてます] 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/18(金) 19:51:10.99 ID:h1p4weZH.net] あった https://groupprops.subwiki.org/w/index.php?title=Cyclic_Frattini_quotient_implies_cyclic&mobileaction=toggle_view_desktop 936 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/18(金) 19:56:21.44 ID:JuebbEhF.net] >>896 x∈G-Φ(G)とするとxとΦ(G)でGを生成するけどΦ(G)は生成系から取り除けるのでxで生成されるってんじゃないの？ 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/18(金) 21:47:38.79 ID:me8PpwxB.net] >>896 G/Φ(G) の生成元の代表元の一つをgとしてgで生成される部分群Hを考える。 G=Hでないとすると、Hを含むGの極大部分群はΦ(G)とgを共に含むことからGと一致することになって矛盾。 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/18(金) 21:54:33.78 ID:FydCEdUH.net] 補題　x∈φ(G),S⊂G,<{x}∪S> → <S> = G (∵) <S>≠Gなら極大部分群Mを<S>⊂Mとなるようにとれる x∈Mだから<{x}∪S>⊂M □ 系　φ(G)が有限生成、S⊂G、<{sφ(G) | s∈S}> = G/φ(G) → <S>=G (∵) 補題を用いてφ(G)の生成元の個数についての帰納法□ 系　φ(G)が有限生成、G/φ(G)が巡回群→Gが巡回群 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/19(土) 07:19:49.93 ID:4Ksz2N/Y.net] >>899-901 どうもありがとうございました。 ちょっと私の頭がボケていました。 940 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 10:18:48.95 ID:E9ryBNT0.net] 関数の上極限が教科書に書いてないのはなぜですか？ 941 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 10:31:14.47 ID:+73shWYA.net] その教科書のレベルが低いからです 942 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 11:29:33.01 ID:E9ryBNT0.net] 関数の上極限が書いてある本の例をあげてください。 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/19(土) 14:06:14.27 ID:jsOadLPr.net] 解析概論とかなら載ってるんじゃない？知らんけど。 載ってない微積の教科書探す方が難しい気がするが。 944 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 14:24:55.19 ID:E9ryBNT0.net] 解析概論、杉浦、小平 書いていませんね。 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/19(土) 14:39:46.31 ID:jsOadLPr.net] 実数列の上極限と実関数の極限は定義されているけど、って意味だったりする？ 946 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 14:45:16.12 ID:E9ryBNT0.net] 「実数列の上極限と実関数の極限」の定義はもちろん書いてあります。 947 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 14:51:18.34 ID:E9ryBNT0.net] 野村隆昭著『複素関数論講義』 奇妙なことですが、複素関数が連続であることの定義は書いてあるのですが、複素関数の極限の定義が書いてありません。 そして、いきなり複素関数の微分の定義が書いてあります。 著者が亡くなってしまっているので、連絡できないのが残念です。 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/19(土) 15:05:34.53 ID:jsOadLPr.net] >>909 じゃあいいじゃん その二つの定義わかっていれば実関数の上極限くらい定義できるでしょ それで二通り以上の定義の仕方が思いついたがどちらを採用すべきか、とかならそのように具体的に質問すべき 949 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 15:39:47.13 ID:E9ryBNT0.net] >>911 それでは、数列の極限が定義されていれば、関数の極限の定義は自分で定義できるから不要ということでしょうか？ 950 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 16:26:36.84 ID:gYjtdFdQ.net] 当然そうはならない 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/19(土) 16:29:00.47 ID:Z2rwBay6.net] >>907 書いてある。 952 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 16:33:00.76 ID:gYjtdFdQ.net] >>907 書いてあるそうだ 953 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 17:00:50.63 ID:kRCAsDBm.net] 書いてあるなしはどうでも良くね？ 必要あるなら書くし 無ければ書かないかあるいは書くてだけ 954 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 18:05:46.34 ID:gYjtdFdQ.net] どうでもよくないのは ウソをついているかどうか 955 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 20:52:43.03 ID:upZ/9WVw.net] >>910 >複素関数の極限の定義 本を持っていないからなんとも言えないけど、複素関数列の極限の意味ですか？ >>912 関数の列や、もっと一般にフィル 956 名前：ターづけられた関数族の極限は、 その関数が属する関数空間にどんな位相を入れるかで、扱い方が異なります。 単に数列の極限を知っているからといって、関数列の極限を自力て書けるかどうかというと、 初学者には厳しいのではないでしょうか。 [] [ここ壊れてます] 957 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 21:01:53.83 ID:E9ryBNT0.net] >>918 「複素関数の極限の定義」についてですが、『複素関数論講義』には、 lim_{z→a} f(z) = A の定義が書いてありません。 一方、 lim_{z→a} f(z) = f(a) の定義は書いてあります。 そこが奇妙だと思います。 958 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 21:07:11.94 ID:upZ/9WVw.net] >>919 本の不備を論うことそのものが目的でないならば、お答えします。 lim_{z→a} f(z) = A の定義は、任意の正数 ε に対し, 正数 δ が存在し, |z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し, |f(z) - A| < ε となることです。 これは、正確には、関数の極限ではなく、関数『による』極限です。 959 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 21:45:39.50 ID:X0cNy/6h.net] >>920 >>|z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し, 「0<|z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し」にしないと 導関数の定義が書きにくいのでは？ 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/19(土) 22:26:52.99 ID:MpF5zjRB.net] >>912 数列の極限の定義から関数f(x)のx→aのとき極限の定義を想像しようとすると、ある収束列x_n→aを取って考えれば十分なのか全て考えなくてはならないのか、x_n=aとなるようなnがあって良いのか、といった点で(読者によっては)疑問が生じる 今考えている問題に比べるときちんと定義を書いてしかるべき問題だと思う 961 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 22:28:22.55 ID:kRCAsDBm.net] >>921 分母になるから？ 0のときは除外で 962 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/19(土) 23:08:15.52 ID:X0cNy/6h.net] こんなところに気を遣うのは嫌だけどね 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/20(日) 03:42:34.36 ID:vwVhg6TJ.net] だいたいこんな重箱のすみつつくような話いつまでもいつまでもいつまでもがぎゃあぎゃあ言ってんのがバカの証拠だよ ちょっと考えたらわかるやん そんなもんに統一的な定義なんてできるはずない そんな者取り仕切ってる世界的機関があるわけもなく、みんな何となく長い年月かけて少しずつ右に倣えで標準っぽいものができてくるだけで、もちろん人の好みで多少のズレが出て当たり前、だからみんなその場その場でこの人はどんな意味で使ってるんだろうと確認しながら読む、そしてそれができる力を身につける そんな事2、3年数学勉強すればわかるやろに 本当にスーパーバカ 964 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 07:01:54.37 ID:O3/gkxDr.net] 重箱の隅が一番居心地が良い人もいる 965 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 07:21:33.16 ID:YpHm4yCq.net] g は a で微分可能、 f は g(a) で微分可能とする。 ε を任意の正の実数とするとき、 0 < |h| < ε かつ g(a + h) - g(a) = 0 となるような h が存在するとする。 このとき、 f(g(x)) は a で微分可能で、微分係数は 0 であることを証明せよ。 966 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 09:10:02.62 ID:O3/gkxDr.net] g は a で微分可能、 f は g(a) で微分可能 ー−＞ (f(g(x)))'(a)=f'(g(a))g'(a). ε を任意の正の実数とするとき、 0 < |h| < ε かつ g(a + h) - g(a) = 0 となるような h が存在する ---> g'(a)=0. ゆえに (f(g(x)))'(a)=f'(g(a))g'(a)=f'(g(a))・0=0. 967 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 09:23:49.05 ID:QBAd8Nia.net] >>927 h(t)=(f(t)-f(g(a)))/(t-g(a)) (t<>g(a)), f'(g(a)) (t=g(a)) ∀xh(g(x))(g(x)-g(a))+f(g(a))=f(g(x)) lim(f(g(x))-f(g(a)))/(x-a)=limh(g(x))(g(x)-g(a))/(x-a)=f'(g(a))g'(a) g'(a)=lim(g(x)-g(a))/(x-a)=0 968 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 09:55:50.16 ID:YpHm4yCq.net] lim_{h→0} [g(a+h)-g(a)]/h = 0 でなければならない。 φ(h) := [f(g(a+h))-f(g(a))]/[g(a+h)-g(a)] if g(a+h)-g(a) ≠ 0 φ(h) := f'(g(a)) if g(a+h)-g(a) = 0 と定義すると、 φ は h = 0 で連続である。 ∴ [f(g(a+h))-f(g(a))]/h = φ(h) * [g(a+h)-g(a)]/h → f'(g(a)) * 0 = 0 969 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 09:57:16.16 ID:YpHm4yCq.net] φ(h) := [f(g(a+h))-f(g(a))]/[g(a+h)-g(a)] if g(a+h)-g(a) ≠ 0 φ(h) := f'(g(a)) if g(a+h)-g(a) = 0 ↑このトリッ� 970 名前：Nを使わずに証明できないですかね？ 多分、無理だと思いますが。 もし可能だとすると、妙なトリックを使わずに、合成関数の微分の定理が証明できますよね。 [] [ここ壊れてます] 971 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 10:05:22.36 ID:O3/gkxDr.net] >>931 模範解答をありがとう 972 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 10:13:57.43 ID:jM+uPS88.net] >>926 梅田亨のことか 973 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 10:30:41.69 ID:O3/gkxDr.net] 腹いっぱいになった後の暇つぶしだろう 974 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 10:54:38.92 ID:Sfr1QN7O.net] >>921 > 0<|z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し」にしないと > 導関数の定義が書きにくいのでは？ この場合は、 lim_{z→a, z ≠ a} f(z) = A と書くのが普通ではないでしょうか。 975 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 12:12:50.00 ID:DUk7sGXS.net] >>935 文献にどれだけ当たればそれが断言できるのかわからない 976 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 14:51:49.19 ID:YpHm4yCq.net] g は a で微分可能、 f は g(a) で微分可能とする。 このとき、 f(g(x)) は a で微分可能で、微分係数は f'(g(a)) * g'(a) であることを証明せよ。 (1) ε を任意の正の実数とするとき、 0 < |h| < ε かつ g(a + h) - g(a) = 0 となるような h が存在する場合。 このとき、 f(g(x)) は a で微分可能で、微分係数は 0 = g'(a) = f'(g(a)) * g'(a) であるから、成り立つ。 (2) 0 < |h| < ε ⇒ g(a + h) - g(a) ≠ 0 を成り立たせるような正の実数 ε が存在する場合。 [f(g(a+h))-f(g(a))]/h = [f(g(a+h))-f(g(a))]/[g(a+h)-g(a)] * [g(a+h)-g(a)]/h → f'(g(a)) * g'(a) (h → 0) >>931 のトリックを使わずに証明できれば満足なのですが。 977 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 16:01:33.26 ID:3xfPLt82.net] >>937 928では落第？ 978 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 16:07:53.73 ID:YpHm4yCq.net] >>938 あっていると思いますが、合成関数の微分の公式は使わないで証明してほしかったです。 979 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 16:13:26.62 ID:3xfPLt82.net] 合成関数の微分は微積分で最も重要な公式と 溝畑先生の教科書に書いてある 980 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 17:20:15.94 ID:QBAd8Nia.net] >>938 微分可能性を示すのだから 合成関数の微分法はその結論だよ 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/20(日) 17:24:51.40 ID:4dXUOTOD.net] p:E→Bをfibrationとして底空間BがAへと変位レトラクトである時 全空間でもEがp^-1(A)へと変位レトラクトである事はどのように証明すればよいのでしょうか (変位レトラクトの定義は強でない方、つまりホモトピーはA×I上で固定されていなくてよい方の定義を考えています) 単純にE×I→B×I→B(左のmapはは射影、右は変位レトラクトを与えるホモトピー)にhomotopy lifting propertyを使おうとしても t=1でp^-1(A)上で恒等写像になる事が示せずに困っています 982 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 17:28:47.44 ID:gdRLw20T.net] >>941 だから落第だね 983 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 17:32:24.11 ID:Sfr1QN7O.net] >>942 下記の pdf ： ttps://www.researchgate.net/publication/352165776_homotopilun_yanjiunoto で、定理 4.10.1 を参照してください。 DR pair というのが、変位レトラクトの意味です。 元ネタは、A.Strom の論文、Note on Cofibrations II です。 984 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 17:55:00.68 ID:Sfr1QN7O.net] >>942 訂正. 上記 pdf では、(B, A) は closed cofibration と仮定しています。 (B, A) が closed cofibration でなくて、なおかつ A が B の変位レトラクトの場合については, 私にはまだわかりません. 985 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 18:39:27.00 ID:QBAd8Nia.net] >>937 トリックていうか (f(g(x))-f(g(a)))/(x-a)=(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a))・(g(x)-g(a))/(x-a) の素朴さを保ちつつ lim(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a)) の部分を考えるには h(t)=(f(t)-f(g(a)))/(t-g(a)) (t<>g(a)) と置いて limh(g(x)) が必要でそれにはh(t)をt=g(a)の場合にも連続に拡張すればよいのだから自然では？ 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/20(日) 18:41:20.87 ID:4dXUOTOD.net] >>944 ありがとうございます cofibrationの用語にあまり馴染みがなくてちゃんとは読めてませんが このpdfでDR-pairと呼んでいるものは自分が言っているところの強変位レトラクトの事のように見えます 自分が今考えているのは(弱)変位レトラクトの方でこれはwikiの ja.wikipedia.org/w/index.php?curid=3607000 にあるような定義を採用しています(ホモトピーがA×I上でidentityになる事を要請しない) https://mathoverflow.net/questions/178509/in-a-fibration-can-a-deformation-retraction-of-the-base-be-lifted-to-the-total のサイトに関連した事が書いてあるのですが 強変位レトラクトについてはおっしゃる通りclosed cofibrationの仮定が必要になるようですが 強でない変位レトラクトの場合はその仮定なしで「明らか」だとHatcherは書いています この「明らか」と言っている部分がよくわからないのでその部分を教えてほしいです 987 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 18:50:35.29 ID:YpHm4yCq.net] >>946 ありがとうございます。何を自然と考えるかですね。 シュプリンガーのセールで以下の本が安いので、買おうかどうか考えています。 Mathematical Logic (Graduate Texts in Mathematics, 291) 3rd ed. 2021 Edition by Heinz-Dieter Ebbinghaus (Author), Jörg Flum (Author), Wolfgang Thomas (Author) これっていい本ですか？ 988 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 18:56:48.69 ID:Sfr1QN7O.net] >>947 リンクありがとうございます。Allen Hatcher 先生の明らかだ、という主張は、私にもわかりません。 I × E から E への写像 G で, G(1, x) ∈ E|A なるものはすぐに見つかりますが、 G(1, a) = a が任意の a ∈ A に対して成り立つかどうかが問題ですね。 989 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 18:57:34.70 ID:Sfr1QN7O.net] 訂正 任意の a ∈ E|A に対して成り立つかどうか 990 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 19:02:23.66 ID:QBAd8Nia.net] k(x)=(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a)) (g(x)<>g(a)), f'(g(a)) (g(x)=g(a)) を考えるのは技巧的 x=aの周りで常にg(x)=g(a)である場合 k(x)=(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a)) (g(x)<>g(a)) にはlimk(x)が存在しないため 定義域の境界における値を延長することになるから 991 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 19:11:11.38 ID:QBAd8Nia.net] >>949 Aから段々延ばしてBに広げられるのだから HEPによってAの各点のファイバーをグニューッとズラしていく感じ？ 992 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 19:30:31.59 ID:Sfr1QN7O.net] >>952 いいえ、今話題になっているケースは、(B, A) が cofibration でない場合です。 使える条件は、 [1] p : E → B は fibration [2] A は B の弱変位レトラクト のみです。 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/20(日) 19:31:03.92 ID:4dXUOTOD.net] >>949 やはりそれほどすぐには言えないですよね もう少し考えてみます 994 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 19:42:01.24 ID:QBAd8Nia.net] >>953 スマン逆 HLPで 995 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/20(日) 19:53:27.13 ID:Sfr1QN7O.net] >>955 H : I × B → B で任意の x ∈ B と a ∈ A に対して H(0, x) = x, H(1, x) ∈ A, かつ H(1, a) = a なるものに対して, HLP によって, G_0 = id_E なる H の lifting G : I × E → E の存在はすぐ言えるんです。 この G が 任意の x' ∈ E|A に対して G(1, x') = x' という 条件を満たすかどうかがわからない。 A のファイバーの各点をずらしていく、という感じだと、 任意の x' ∈ E|A に対して G(1, x') = x' という条件から出発して、 任意の x ∈ E に対して G(0, x) = x を満たす homotopy G: I × E → E を構成しないといけないと思います。 996 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/21(月) 00:26:29.47 ID:c+vN0yiY.net] C^n の、ざりすき位相での非空開集合は、ユークリッド位相で稠密ですか。 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/21(月) 00:49:22.81 ID:ZifoTbGb.net] はい 998 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/21(月) 05:22:31.47 ID:XuWZLDN0.net] Cの無限部分集合は、ざりすき位相で稠密ですか。 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/21(月) 05:47:49.57 ID:aGdDNWLt.net] はい 1000 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/21(月) 07:04:37.38 ID:XuWZLDN0.net] CからC^2への正則な埋め込みは 代数的な埋め込みと解析的に共役ですか。 1001 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/21(月) 08:42:23.11 ID:A1jMls5d.net] 野村隆昭著『複素関数論講義』 1002 名前：べき級数の合成についてですが、2重級数についての定理を使う必要がありますが、 それについては触れずに、直感的に展開してしまっています。 [] [ここ壊れてます] 1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/21(月) 10:56:23.04 ID:XQg9SDPb.net] >>962 その本は駄本だから読むのを止めることを勧める。ここで指摘して出版社がそれを見て駄本を絶版にすること(正義の味方笑)が目的なのか 1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/21(月) 10:58:35.37 ID:XQg9SDPb.net] >>962 それにしてもお前はその著者の本に対して異常なほど長期にわたって粘着しているよな 1005 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/21(月) 11:20:02.15 ID:6t/nf617.net] CからC^2への代数的な埋め込みは 線形な埋め込みと代数的に共役ですか。 1006 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/21(月) 16:43:23.91 ID:A1jMls5d.net] f(z) = a_1*z + a_2*z^2 + … g(w) = b_0 + b_1*w + b_2*w^2 + … とする。著者は、 g(f(z)) が z = 0 を中心とするべき級数に展開されることを示しています。 その後、次の文があらわれます： 「命題4.20より、 g(f(z)) は z = 0 の近傍で正則であり、したがって、解析的である。」 命題4.20というのは、合成関数の微分についての定理です。 この文に対して、以下の注釈が書いてあります。 「べき級数論だけで証明できるが、本書では後述の定理8.21に拠ることとした。」 これがよく分かりません。 g(f(z)) は z = 0 を中心とするべき級数なので、 z = 0 を中心とする収束円の内部で 正則です。別に、合成関数の微分についての定理を持ち出さなくてもいいはずです。 さらに、 g(f(z)) は z = 0 の近傍で解析的であることも、それ以前に証明されている べき級数が収束円の内部で解析的であるという定理4.34から明らかです。 後述の定理8.21に拠らなくても、既に証明されていることです。 これは一体どう考えたらいいでしょうか？ 1007 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/21(月) 16:47:35.15 ID:A1jMls5d.net] 野村隆昭著『複素関数論講義』 f(z) = a_1*z + a_2*z^2 + … g(w) = b_0 + b_1*w + b_2*w^2 + … とする。著者は、 g(f(z)) が z = 0 を中心とするべき級数に展開されることを示しています。 その後、次の文があらわれます： 「命題4.20より、 g(f(z)) は z = 0 の近傍で正則であり、したがって、解析的である。」 命題4.20というのは、合成関数の微分についての定理です。 この文に対して、以下の注釈が書いてあります。（g(f(z))が解析的であることの証明についての注釈です。） 「べき級数論だけで証明できるが、本書では後述の定理8.21に拠ることとした。」 これがよく分かりません。 g(f(z)) は z = 0 を中心とするべき級数なので、 z = 0 を中心とする収束円の内部で 正則です。別に、合成関数の微分についての定理を持ち出さなくてもいいはずです。 さらに、 g(f(z)) は z = 0 の近傍で解析的であることも、それ以前に証明されている べき級数が収束円の内部で解析的であるという定理4.34から明らかです。 後述の定理8.21に拠らなくても、既に証明されていることです。 これは一体どう考えたらいいでしょうか？ 1008 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/21(月) 17:02:35.03 ID:XQg9SDPb.net] その本は全く駄目な本だから攻撃ネタは山ほどあるが、著者はもう死んでいるのでそれ以上やめてくれ。著者の無能が暴かれて可哀想すぎる。 1009 名前：１３２人目の素数さん [2022/11/21(月) 17:04:44.12 ID:A1jMls5d.net] >>968 いい本であると思いますが、細かいところで、疑問点が出てくるところがあります。 1010 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/11/21(月) 17:10:07.52 ID:XQg9SDPb.net] 褒め殺しまでして攻撃の手を緩めないということか。恐ろしい奴ににらまれたな。無能な著者の自業自得と諦めるしかないのか。死んでまでこんな仕打ちを受けるとは。

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