Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 60

908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/11/01(月) 23:39:15.25 ID:0PUyxUhS.net] >>758 補足 >帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ¬ P(n) } によって定める。 >この A が空集合であるということを示したい。 >そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、P(0)は成り立っていることから a は0でない。 >従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、a は A に属する最小の自然数であったということから、b not∈ A であり、P(b) は成り立つことになる。 >帰納法の仮定から P(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。 ここの補足 下記なかけんの数学ノートが結構分かり易いね https://math.nakaken88.com/textbook/cal-well-order-and-mathematical-induction/ なかけんの数学ノート 自然数の整列性と数学的帰納法 2020年12月19日 【目次】 最小元 自然数の整列性 自然数の整列性と数学的帰納法の原理 いろいろな数学的帰納法の形 おわりに 定理(自然数の整列性から数学的帰納法の原理) N の、空でない部分集合には、必ず最小元があるとする。 略 以下の内容は証明というよりは、証明の概要のようなものです。 次のような集合 T を考えます。 T={n∈N?n not∈S} つまり、 S の補集合です。このとき、 T=Φ なら、 S=N が言えます。 もし、 T が空集合でないとすると、最小元 m が存在します。(a)より、 m≠0 です。このとき、 w+=m となる w が存在します。 w<m なので、 m の最小性から w not∈T が成り立ちます。つまり w∈S となります。(b)より w+=m∈S となりますが、これは m∈T に矛盾します。 以上から、 T=Φ なので、 S=N が示せました。 これより、数学的帰納法の原理と整列性は同値だとわかります。 (引用終り) 以上

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