本体リンク切れで、キャッシュ貼る https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:k2PgzayvOKEJ:https://ncatlab.org/nlab/show/anabelioid+&cd=3&hl=ja&ct=clnk&gl=jp nLab anabelioid Contents 1. Introduction 2. Details 3. Associated notions 4. References Introduction 0.1 An anabelioid is a category intended to play the role of a ‘generalised geometric object’ in algebraic/arithmetic geometry. Its definition is simple: a finite product of Galois categories, or in other words of classifying topoi of profinite groups. The significance comes from the fact that in anabelian geometry, an algebraic variety is essentially determined by its algebraic fundamental group, which arises from a Galois category associated to the algebraic variety. The idea, due to Shinichi Mochizuki, is that one can develop the geometry of these Galois categories themselves, and products of Galois categories in general; thus, develop a form of categorical algebraic geometry.
To quote from Remark 1.1.4.1 of Mochizuki2004:
The introduction of anabelioids allows us to work with both “algebro-geometric anabelioids” (i.e., anabelioids arising from (anabelian) varieties) and “abstract anabelioids” (i.e., those which do not necessarily arise from an (anabelian) variety) as geometric objects on an equal footing.
The reason that it is important to deal with “geometric objects” as opposed to groups, is that:
We wish to study what happens as one varies the basepoint of one of these geometric objects.
Details 0.2 The following definitions follow Mochizuki2004.
Definition 0.3. A connected anabelioid is exactly a Galois category.
Definition 0.4. An anabelioid is a category equivalent to a finite product of connected anabelioids, that is, to a finite product of Galois categories.
Remark 0.5. An anabelioid is also known as a multi-Galois category.
Associated notions 0.6 finite etale morphism of anabelioids References 0.7 The geometry of anabelioids, Shinichi Mochizuki, 2004, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 40, No. 3, 8
154 名前：19-881. paper Zentralblatt review Created on April 17, 2020 at 18:29:54. See the history of this page for a list of all contributions to it. (引用終り) 以上 []
1 はじめに 集合論とはなにか? 自然数の全体 N を調べる理論を自然数論というのと同じよう に，集合論とはすべての集合のなす宇宙 V の構造を調べる理論である．この宇宙 V は代数や微積分などあらゆる数学の展開に十分なほど広大であることが知られてい る．本ノートは現代数学の標準言語でもある公理的集合論
高校数学でもおなじみの関係・関数の概念は，数学全般においても基本的かつ必要 不可欠である．数学だけではない．たとえば，数理論理学のモデル論は，述語記号は 関係を表し，関数記号は関数を表すとして構成されるので，関係・関数の概念は必要 不可欠である．本ノートの目標は V の構造の基本を述べることであるが，関係・関 数概念をきちんと定義するために必要な範囲の構造に限定される．したがって V 自 身の構造の深い性質についてはふれない．
www.uvm.edu/~tdupuy/anabelian/VermontNotes_20.pdf KUMMER CLASSES AND ANABELIAN GEOMETRY Date: April 29, 2017 JACKSON S. MORROW ABSTRACT. These notes comes from the Super QVNTS: Kummer Classes and Anabelian geometry. Any virtues in the notes are to be credited to the lecturers and not the scribe; however, all errors and inaccuracies should be attributed to the scribe. That being said, I apologize in advance for any errors (typo-graphical or mathematical) that I have introduced. Many thanks to Taylor Dupuy, Artur Jackson, and Jeffrey Lagarias for their wonderful insights and remarks during the talks, Christopher Rasmussen, David Zureick-Brown, and a special thanks to Taylor Dupuy for his immense help with editing these notes.
The following topics were not covered during the workshop: ・ mono-theta environments ・ conjugacy synchronization ・ log-shells (4 flavors) ・ combinatorial versions of the Grothendieck conjecture ・ Hodge theaters ・ kappa-coric functions (the number field analog of etale theta) ´ ・ log links ・ theta links ・ indeterminacies involved in [Moc15a, Corollary 3.12] ・ elliptic curves in general position ・ explicit log volume computations
p進Teichmuller理論 ”An Introduction to p-adic Teichmuller Theory”は、目を通しておくのが良い
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html 望月 論文 p進Teichmuller理論 [3] An Introduction to p-adic Teichmuller Theory. PDF （これは、次のAsterisque, tome 278 (2002)と同じですね） https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/An%20Introduction%20to%20p-adic%20Teichmuller%20Theory.pdf
講演のアブストラクト・レクチャーノート [2] p進Teichmuller理論. PDF （Hokudai 2001-01 か） https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/p-shin%20Teichmuller%20riron%20no%20kaisetsu%20(Hokudai%202001-01).pdf An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory 望月 新一 TX 近藤智
https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/232.pdf [R5] Class field theory, its three main generalisations, and applications pdf, May 2021, EMS Surveys 8(2021) 107-133 https://www.ems-ph.org/journals/show_issue.php?issn=2308-2151&vol=8&iss=1 EMS SURVEYS Vol8,2021 Class field theory, its three main generalisations, and applications
P16 Here are some relations between the three generalisations of CFT and their further developments:
2dLC?－－ 2dAAG－－－ IUT l ／ ｜ ｜ l ／ ｜ ｜ l／ ｜ ｜ LC 2dCFT anabelian geometry ＼ ｜ ／ ＼ ｜ ／ ＼ ｜ ／ CFT 注）記号： Class Field Theory (CFT), Langlands correspondences (LC), 2dAAG = 2d adelic analysis and geometry, two-dimensional (2d) (P8 "These generalisations use fundamental groups: the etale fundamental group in anabelian geometry, representations of the etale fundamental group (thus, forgetting something very essential about the full fundamental group) in Langlands correspondences and the (abelian) motivic A1 fundamental group (i.e. Milnor K2) in two-dimensional (2d) higher class field theory.")
Problem 7. Find more direct relations between the generalisations of CFT. Use them to produce a single unified generalisation of CFT.23
現代的な定式化 現代的な言葉で言えば、基礎体 K の最大アーベル拡大 A は存在して、その拡大次数は K 上無限大となり得るから、その時 A に対応するガロワ群 G は副有限群となり、従ってコンパクト位相群かつまたアーベル群になる。類体論の中心定な目的は、この群 G を基礎体 K の言葉で記述することである。特に、K の有限次アーベル拡大と K に対する適当な（有限な剰余体を持つ局所体の場合の乗法群や大域体の場合のイデール類群のような）対象におけるノルム群との間の一対一対応を確立し、それらのノルム群を（例えば、指数有限な開部分群といったように）直截的に記述することである。そのような部分群に対応する有限次アーベル拡大を類体と呼び、これが理論の名称の由来となっている。
類体論の基本的な結果は「最大アーベル拡大のガロワ群 G は、基礎体 K のイデール類群 CK の（基礎体 K の特定の構造に関係して CK に入る自然な位相に関する）副有限完備化に自然同型である」ことを主張する。同じことだが、K の任意の有限次ガロワ拡大 L に対し、この拡大のガロワ群の最大アーベル商（アーベル化）と、K のイデール類群を L のイデール類群のノルム写像による像で割ったものとの間に、同型
素イデアル G の抽象的な記述だけではなくて、そのアーベル拡大においてどのように素イデアルが分解するかを理解することが数論の目的にとってより本質的である。この記述はフロベニウス元を用いて、二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律を非常に広範に一般化するものである。つまり、類体論の内容には、（三次の相互律といったような）より高次の「冪剰余の相互律」についての理論が含まれるのである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%9C%A8%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86 類体論の高木の存在定理 (Takagi existence theorem) とは、代数体 K に対してその有限次アーベル拡大と K の一般化されたイデアル類群の間に 1 対 1 の対応が存在するという定理である。 この定理を存在定理と呼ぶ理由は、証明の最も困難な部分が K のアーベル拡大体の存在を示す部分にあるからである。 (引用終り) 以上
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_multiplication In mathematics, complex multiplication (CM) is the theory of elliptic curves E that have an endomorphism ring larger than the integers;[1] and also the theory in higher dimensions of abelian varieties A having enough endomorphisms in a certain precise sense (it roughly means that the action on the tangent space at the identity element of A is a direct sum of one-dimensional modules). Put another way, it contains the theory of elliptic functions with extra symmetries, such as are visible when the period lattice is the Gaussian integer lattice or Eisenstein integer lattice.
体 K 上定義されたアーベル多様体 A がCM-タイプ(CM-type)であるとは、自己準同型環 End(A) の中で十分に大きな部分可換環を持つことをいう。この用語は虚数乗法 (complex multiplication) 論から来ていて、虚数乗法論は19世紀に楕円曲線の研究のため開発された。20世紀の代数的整数論と代数幾何学の主要な成果のひとつに、アーベル多様体の次元 d > 1 の理論の正しい定式化が発見されたことがある。この問題は、多変数複素函数論を使うことが非常に困難であるため、非常に抽象的である。
K が複素数体であれば、任意のCM-タイプの A は、実は、数体である定義体（英語版）(field of definition)を持っている。自己準同型環の可能なタイプは、対合（ロサチの対合（英語版）(Rosati involution)）をもつ環として既に分類されていて、CM-タイプのアーベル多様体の分類を導き出す。楕円曲線と同じような方法でCM-タイプの多様体を構成するには、Cd の中の格子 Λ から始め、アーベル多様体のリーマンの関係式を考えに入れる必要がある。
CM-タイプ(CM-type)は、単位元における A の正則接空間上の、EndQ(A) の（極大）可換部分環 L の作用を記述したものである。単純な種類のスペクトル理論が適応され、L が固有ベクトルの基底を通して作用することを示すことができる。言い換えると、L は A の正則ベクトル場の上の対角行列を通した作用を持っている。L 自体が複数の体の積ではなく数体であるという単純な場合には、CM-タイプは L の複素埋め込み(complex embedding)のリストである。複素共役をペアとして、2d 個の複素埋め込みがあり、CM-タイプは各々のペアのから一つを選択する。そのようなCM-タイプの全てが実現されることが知られている。
https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/nov.html News - Ivan Fesenko Higher adelic theory, talk at Como school on Unifying Themes in Geometry, September 2021
https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/hat.pdf Higher adelic theory Ivan Fesenko Como School, September 27 2021
1 CFT and its generalisations 2 Back to the root: CFT 3 Back to the root: CFT 4 CFT mechanism 5 CFT mechanism 6 Anabelian geometry 7 ‘Pre-Takagi’ LC 8 2D objects of HAT 9 HCFT 10 Zeta functions 11 Classical 1D theory of Iwasawa and Tate 12 HAT and elliptic curves 13 Measure and integration on 2D local fields 14 Two adelic structures in dimension 2 15 The triangle diagrammes 16 Higher zeta integral 17 HAT and meromorphic continuation and FE of the zeta function 18 HAT and GRH 19 HAT and the Tate?BSD conjecture
P29 Anabelian geometry and IUT
P33 Powerful restoration results in absolute mono-anabelian geometry were established by Mochizuki
・J.-P. Serre, Local fields, Translated from the French by Marvin Jay Greenberg. Graduate Texts in Mathematics, 67. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1979. ・J.-P. Serre, Local class field theory, 1967 Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) pp. 128-161 Thompson, Washington, D.C. ・J.-P. Serre, Abelian l-adic representations and elliptic curves, McGill University lecture notes written with the collaboration of Willem Kuyk and John Labute W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1968.
をそれぞれ挙げます．また，この講義でその説明を目標としている定理は，
・望月新一, A version of the Grothendieck conjecture for p-adic local fields, Internat. J. Math. 8 (1997), no. 4, 499-506. ・望月新一, Topics in absolute anabelian geometry I: generalities, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 19 (2012), no. 2, 139-242. ・星裕一郎, A note on the geometricity of open homomorphisms between the absolute Galois groups of p-adic local fields, to appear in Kodai Math. J.
下記”Introducing anabelian geometry, a general talk” IVAN FESENKO これ、結構いいね
https://ivanfesenko.org/?page_id=126 IVAN FESENKO Research ? Ivan Fesenko L Anabelian geometry and IUT theory of Shinichi Mochizuki, and applications Introducing anabelian geometry, a general talk
https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/11/ang.pdf Introducing anabelian geometry Ivan Fesenko
https://people.math.rochester.edu/faculty/lubkin/ Saul Lubkin Professor of Mathematics
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Louis_Verdier Jean-Louis Verdier (French: [v??dje]; 2 February 1935 ? 25 August 1989) was a French mathematician who worked, under the guidance of his doctoral advisor Alexander Grothendieck, on derived categories and Verdier duality. He was a close collaborator of Grothendieck, notably contributing to SGA 4 his theory of hypercovers and anticipating the later development of etale homotopy by Michael Artin and Barry Mazur, following a suggestion he attributed to Pierre Cartier. Saul Lubkin's related theory of rigid hypercovers was later taken up by Eric Friedlander in his definition of the etale topological type.
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html 望月 過去と現在の https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Kako%20to%20genzai%20no%20kenkyu.pdf ・過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在） 初期の歩み 学位を取得した 1992 年夏から 2000 年夏までの私の研究の主なテーマは次の三つ に分類することができます： (a) p 進 Teichm¨uller 理論：(1993 年～1996 年) この理論は、複素数体上の双曲的リーマン面に対する Koebe の上半平面に よる一意化や、そのモジュライに対する Bers の一意化の p 進的な類似と見る こともでき、また Serre-Tate の通常アーベル多様体に対する標準座標の理論の 双曲曲線版と見ることもできる。詳しくは、 A Theory of Ordinary p-adic Curves や An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory をご参照下さい。 (b) p 進遠アーベル幾何：(199
209 名前：5 年～1996 年) この理論の代表的な定理は、「劣 p 進体」（＝ p 進局所体上有限生成な体の部 分体）上の相対的な設定において、双曲的曲線への任意の多様体からの非定数 的な射と、それぞれの数論的基本群の間の開外準同型の間に自然な全単射が存 在するというものである。詳しくは、 The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves をご参照下さい。 (c) 楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論：(1998 年～2000 年) この理論の目標は、複素数体や p 進体上で知られている Hodge 理論の類似 を、数体上の楕円曲線に対して Arakelov 理論的な設定で実現することにある。 代表的な定理は、数体上の楕円曲線の普遍拡大上のある種の関数空間と、楕円 曲線の等分点上の関数からなる空間の間の、数体のすべての素点において計量 と（ある誤差を除いて）両立的な全単射を主張するものである。この理論は、 古典的なガウス積分 ∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π の「離散的スキーム論版」と見ることもできる。詳しくは、 A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I, II をご参照下さい。
・The geometry of Frobenioids I, II ・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations ・Topics in absolute anabelian geometry III 因みに、2000 年夏まで研究していたスキーム論的な Hodge-Arakelov 理論がガウス 積分 ∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π の「離散的スキーム論版」だとすると、IUTeich は、 このガウス積分の「大域的ガロア理論版ないしは IU 版」 と見ることができ、また古典的なガウス積分の計算に出てくる「直交座標」と「極座 標」の間の座標変換は、（IU 版では）ちょうど「The geometry of Frobenioids I, II」 で研究した「Frobenius 系構造」と「´etale 系構造」の間の「比較理論」に対応して いると見ることができる。この「本体」の理論は、現在のところ二篇の論文に分けて 書く予定である。
217 名前： ・Inter-universal Teichm¨uller theory I: Hodge-Arakelov-theoretic aspects （2009 年に完成（？）予定） p 進 Teichm¨uller 理論における曲線や Frobenius の、「mod pn」までの標準持ち上 げに対応する IU 版を構成する。 ・Inter-universal Teichm¨uller theory II: limits and bounds （2010 年に完成（？）予定） 上記の「mod pn」までの変形の n を動かし、p 進的極限に対応する「IU 的な極 限」 を構成し、pTeich における Frobenius 持ち上げの微分に対応するものを計算する。 (引用終り) 以上 []
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf 絶対 Galois 群による数体の復元 星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所) 2014 年 5 月 本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日 に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報告原稿である. P1 ・ K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field) であると言うことにする. ある素数 p が存在して K が Qp のある有限次拡大と同型であるとき, K は MLF (= Mixed-characteristic Local Field) であると言うことにする.
Peter Scholze君のIUTに対する批判（下記） ”the reader will not find any proof that is longer than a few lines ・・ which is in line with the amount of mathematical conten ” https://zbmath.org/pdf/07317908.pdf Mochizuki, Shinichi Inter-universal Teichmuller theory. I: Construction of Hodge theaters. (English) Publ. Res. Inst. Math. Sci. 57, No. 1-2, 3-207 (2021). Reviewer: Peter Scholze (Bonn) In parts II and III, with the exception of the critical Corollary 3.12, the reader will not find any proof that is longer than a few lines; the typical proof reads “The various assertions of Corollary 2.3 follow immediately from the definitions and the references quoted in the statements of these assertions.”, which is in line with the amount of mathematical content. (引用終り)
つまり ”the reader will not find any proof that is longer than a few lines”、”which is in line with the amount of mathematical content”
原文：Esaki's “five don’ts” rules 1.Don’t allow yourself to be trapped by your past experiences. 2.Don’t allow yourself to become overly attached to any one authority in your field ? the great professor, perhaps. 3.Don’t hold on to what you don’t need. 4.Don’t avoid confrontation. 5.Don’t forget your spirit of childhood curiosity.
https://en.wikipedia.org/wiki/Tate_module In mathematics, a Tate module of an abelian group, named for John Tate, is a module constructed from an abelian group A. Often, this construction is made in the following situation: G is a commutative group scheme over a field K, Ks is the separable closure of K, and A = G(Ks) (the Ks-valued points of G). In this case, the Tate module of A is equipped with an action of the absolute Galois group of K, and it is referred to as the Tate module of G.
Contents 1 Definition 2 Examples 2.1 The Tate module 2.2 The Tate module of an abelian variety 3 Tate module of a number field
Examples The Tate module When the abelian group A is the group of roots of unity in a separable closure Ks of K, the p-adic Tate module of A is sometimes referred to as the Tate module (where the choice of p and K are tacitly understood). It is a free rank one module over Zp with a linear action of the absolute Galois group GK of K. Thus, it is a Galois representation also referred to as the p-adic cyclotomic character of K. It can also be considered as the Tate module of the multiplicative group scheme Gm,K over K.
メモ https://arxiv.org/pdf/2202.00219.pdf Approximating Absolute Galois Groups Gunnar Carlsson, Roy Joshua February 2, 2022
P4 where S1 denotes the circle group,
Proposition 2.3 The construction A → A＾ satisfies the following properties. 1. The＾-construction defines an equivalence of categories from the category of compact topological abelian groups to the opposite of the category of discrete abelian groups. The＾-construction is its own inverse. 2. For a profinite group G, G＾ is isomorphic to Homc(G, μ∞), where μ∞ ⊆ S1 is the group of all roots of unity, isomorphic to Q/Z. If G is a p-profinite group, then μ∞ can be replaced by μp∞, the group of all p-power roots of unity, isomorphic to Z[1/p]/Z. 3. The functor A → A＾ is exact. 4. For G a profinite abelian group, G is torsion free if and only if G＾ is divisible. Similarly for “p-torsion free” and “p-divisible”.
Proof: Statement (1) is one version of the statement of the Pontrjagin duality theorem, (2) is an immediate consequence, and (3) follows immediately from (1). It remains to prove (4). To prove (4), we note that G is torsion free if and only if the sequence 0 → G ー(×n) -→ G is exact. The exactness proves that this occurs if and only if G＾ G＾ ×n ー(×n) -→G＾-→ 0 is exact, so ×n is surjective. This is the result.
We now have the main result of this section. Theorem 2.1 Let F be any field containing all roots of unity. Then the absolute Galois group GF of F is totally torsion free. Remark 2.3 Class field theory shows, for example, that one cannot expect this result to hold for absolute Galois groups of number fields, so that some condition on the field is necessary.
(参考:S1 denotes the circle group) https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group Circle group https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%BE%A4 円周群
