- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/01(火) 03:15:29.43 ID:Q9+fDWF8.net]
- [問題]
mを正の整数とする. 5^m の階乗において,
10進法で下1桁からみていくときに最初に表れる0でない桁を求めよ
[回答例]
正の整数全体の集合をNとおく.
f(n) = n/5^v により f:N→N を定める
ただし vはnが5で割り切れる回数を表す
任意の正の整数nおよび整数r(0≦r≦4)に対して
f((5n+r)!) ≡ f(n!)*(-1)^n * r! (mod 5) が成立する
各非負整数kに対して g(k) = f((5^k)!) とおくと
g(k+1) ≡ g(k)*(-1) (mod 5) がいえる
よって, g(m)≡ (-1)^m (mod 5) となる
A:=(5^m)! の 5で割り切れる回数は e:= (5^m-1)/4
A = b * 10^e を満たす10で割り切れない正の整数bが取れる
A = a * 5^e を満たす5と互いに素な正の整数aが取れる
よって, a = b*2^e であるから a=g(m) とあわせて
g(m) = b*2^e が得られる 両辺に 2^(3e)をかけて mod 5を取ると
g(m)≡ (-1)^m (mod 5) および 2^(4e)≡1 (mod 5) �
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