- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/01(火) 02:37:39.82 ID:Q9+fDWF8.net]
- >>516
能率的な方法... 以下の方法は下k桁に一般化可能
正の整数全体の集合をNとおく.
f(n) = n/5^v により f:N→N を定める
ただし vはnが5で割り切れる回数を表す
このとき f(ab)=f(a)f(b) が任意のa,b∈Nで成立する
e := v_5(40!) = [40/5] + [40/25] = 9 である
40! = c*10^e を満たす10で割り切れない正の整数cが取れる
cは明らかに偶数なので cを5で割ったときの余りを求めればよい
仮に f(40!) の mod 5 での値がわかれば以下のように答えがでる
f(40!) = b とおけば 40! = b*5^e なので
b*5^e = c*10^e とあわせて b = c*2^e であるから e=9 を思い出して
2^4≡1 (mod 5) から 2^9≡2 (mod 5) ゆえに b≡2c (mod 5)
しからば c≡3b (mod 5) ということになる
よって f(40!) mod 5 を計算する問題に帰着された
これの計算は以下の性質を用いるのが便利である(証明は容易故略)
f((5n+r)!) ≡ f(n!)*(-1)^n * r! (mod 5)
これを用いれば
f(40!) ≡ f(8!) ≡ f(1!)*(-1)*3! ≡ -1 (mod 5)
b≡ -1 (mod 5) がいえたので c≡3b≡2 (mod 5)
よって 40! の最初に表れる0でない桁を5で割った余りは2である
求めるものは明らかに偶数であるから 求める桁は 2であることがいえた
(40! は2で少なくとも20回(9回より多い)は割り切れるゆえに
求める桁は偶数なので 求める桁が 7になることはないのである)
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