面白い問題おしえて〜な 31問目

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net] 過去ログ置き場(1-16問目) www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3〜6「datが存在しません。」 7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/ 20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/ 22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/ 23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/ 24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/ 25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/ 26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/ 27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/ 28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/ 29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/ なお、削除依頼は不要です。 ※前スレ 面白い問題おしえて〜な 30問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/ 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 15:04:09.49 ID:eu0owVym.net] >>766 さすがにダメやろ。 いくら原理的にはコレ計算したらできるって立式を書いても、その計算が最低目で追えるものを見せないと正解とは認定されない。 810 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/13(金) 15:27:09.74 ID:Pzzsy05r.net] 最小交点数がｎの結び目は何種類あるのか。 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 16:45:01 ID:l20VjRfO.net] 黒玉は無視する。(13個で考える) (最後の赤玉が出る前の) 白玉の数をwとすると、 最後の(6-w)個が白玉、その直前が赤玉、他は不問だから 　P_w = (6/13)(5/12)････((w+1)/(w+8))・(7/(w+7)) 　　= (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6), あとは >>760 で 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:07:52 ID:qPbrkgFl.net] >>767 これは、よく分からないがwolframで計算してみたら一致した 偶然一致するとは思えないが？ 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:14:21 ID:qPbrkgFl.net] >>767 P(k)の値(k=0〜6)は>>762と一致する 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:20:08 ID:ieVI6aZ4.net] なるほど 時系列で考えていくと発想が広がりにくいが、並べて考えるとわかりやすいな。 参考になる 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:34:42 ID:qPbrkgFl.net] >>767 C[7,6]C[6,k]C[5,j]/C[18,6+k+j] ここの部分が、赤6、白k、黒jの計6+k+j回玉を取り出したときの確率 分子と分母は、玉に番号を付けた場合の場合の数になっている 最後に1/(12-k-j)で赤を取り出す確率を掛ける 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:37:26 ID:eu0owVym.net] >>770 いや、コレを計算できれば答えが出るなんて式たてるだけなら受験レベルの問題ならできて当たり前。 受験レベルで解くという意味ならその中で二十分程度で無理なく実際にできるというところまでやって見せてみて初めて正解。 計算機ならできるでは、受験レベルを超えてるようなやつならともかく受験レベルの問題と銘打って出題されてるんだから、通用しない。 817 名前： 【大凶】 mailto:sage [2020/03/13(金) 22:15:14 ID:OegQL28o.net] 前>>716 >>754 6(7/8)=5.25 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 22:39:53 ID:qPbrkgFl.net] >>774 この問題は難しいから受験で出題されるとは思わない 819 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 01:23:48.44 ID:Qtllr5m8.net] え？ 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 01:27:44.99 ID:j/jXCgRq.net] このスレは受験で有効な解答のみ正解という訳では� 821 名前：ﾈかろう [] [ここ壊れてます] 822 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/14(土) 02:19:09 ID:V5zn1x6j.net] _____∩ っﾞ___ ＼　(-_-))　 /| ＼＼υ⌒υ､ /| ￣￣￣￣|υ/| ________｢￣| 九九を習った小学2年生なら解けるんだよな。 前>>775滑り台の角度も摩擦係数も知らない、ましてや静止距離など。 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:30:01.48 ID:a/1EREm4.net] こうしたらどうなる？ 袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。 玉を一つずつ取り出していき赤玉を４個取り出した時点で終了とする。取り出した白玉の個数の期待値は？ 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:32:20.86 ID:uXVhjaRg.net] 7/8が4/8にかわるだけでは？ 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:40:16.33 ID:a/1EREm4.net] >>781 6*4/8=3でいいのか。 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:45:58.12 ID:5sXkLHY6.net] >>780 P(k)=Σ[j=0,5]4C[7,3]C[6,k]C[5,j]/(C[18,3+k+j](15-k-j) E=Σ[k=0,4]kP(k)=881/429 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:50:54.02 ID:rjLc6zup.net] 整数の無限部分集合Aであって、どの互いに異なる a,b∈A をとっても |a-b| が平方数にならないものは存在するか。 828 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 10:51:33.67 ID:Qtllr5m8.net] >>754 7/8 * 6=21/4 >>780 4/8 * 6=3 829 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 11:02:50.20 ID:Qtllr5m8.net] 袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。 玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。 取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値の期待値は？ 取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値の期待値は？ 取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値の期待値は？ 取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値の期待値は？ 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:17:16 ID:xUS1bw+b.net] >>784 レピュニット数を元とする無限集合とすればいい 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:18:04 ID:5sXkLHY6.net] >>766 訂正 P(k)=Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j)) E=Σ[k=0,6]kP(k)=21/4 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:25:25 ID:5sXkLHY6.net] >>786 E1=Σ[k=0,6](k-(5-j))P(k)=37/8 E2=Σ[k=0,6](k-(6-k))P(k)=9/2 E3=Σ[k=0,6](k(5-j))P(k)=35/12 E4=Σ[k=0,6](k(6-k))P(k)=35/12 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:54:58 ID:XpWNijuu.net] >>786 最初の２つは線形性でいける。 3番目は独立性。 暗算で苦しいのは最後だけだな。 黒玉ひとつに着目して取り出される確率がp=7/8。 よって取り出される個数Xの分布はp=7/8, n=6の二項分布。 X^2の期待値は E(X^2) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k^2=93/32。 https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+binomial%286%2Cx%29+%281%2F8%29%5E%286-x%29%287%2F8%29%5Ex+x%5E2+from+0+to+6&lang=ja 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:02:50 ID:rjLc6zup.net] >>787 残念。|111-11|=100 は平方数になります 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:05:48 ID:43XV3aTx.net] おっと脳内で問題変わってたw E(x(6-x)) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k(6-k)=105/32。 https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+binomial%286%2Cx%29+%281%2F8%29%5E%286-x%29%287%2F8%29%5Ex+x%286-x%29+from+0+to+6&lang=ja 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:11:55 ID:CncPdwb0.net] >>784 2×4^nで桶 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:16:30 ID:xUS1bw+b.net] >>791 確かにそうだった 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 14:53:15 ID:rjLc6zup.net] >>793 お見事、それがあったか 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 14:55:15 ID:iH59lf4s.net] >>784 A = {1, c, c^2, c^3, ････| c>2} 　c^n - c^m = (c^m) {c^(n-m) - 1}, 　c^(n-m) > 1, 　　　(n>m) カタラン予想（ミハイレスクの定理) により 　c^(n-m) - d^2 = 1　となる d >1 は存在しない。 ∴　c^(n-m) - 1 は平方数でない。 c^m と c^(n-m) -1 は互いに素だから | c^n - c^m | は平方数でない。 A = {2, 8, 32, 128, 512, ････} も同様？ 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 19:40:53.31 ID:joJxF0LZ.net] >>789 シミュレーションで近似してみました。 > balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒 > picked=NULL # 取り出された玉の配列 > flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag > sim <- function(){ + while(flag==FALSE){ + i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで + picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて + balls=balls[-i]　　　　　 # ballsの配列から除く + flag=sum(picked==1)==7　　# 赤玉が全部取り出されたか + } + # 取り出した白玉の個数 + a0=sum(picked==2) + # 取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値 + a1=sum(picked==2)-sum(balls==3) + # 取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値 + a2=sum(picked==2)-sum(balls==2) + # 取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値 + a3=sum(picked==2)*sum(balls==3) + # 取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値 + a4=sum(picked==2)*sum(balls==2) + return(c(a0,a1,a2,a3,a4)) + } > k=1e6 > re=replicate(k,sim()) > apply(re[2:5,] 841 名前：,1,mean) [1] 4.627792 4.500442 2.904962 2.916039 > c(37/8,9/2,35/12,35/12) [1] 4.625000 4.500000 2.916667 2.916667 [] [ここ壊れてます] 842 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 22:15:14 ID:Qtllr5m8.net] >>790,792 サンクス 期待値の線形性独立性の問題としてちょうど良さげかと 2項分布の分散がnpqということを使えば最後もそれほど難しくはない V(X)=E(X^2)-E(X)^2=6(7/8)(1/8)=21/32 E(X^2)=21/32+(21/4)^2=903/32 E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-903/32=105/32 843 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 23:06:20 ID:Qtllr5m8.net] >>784 a1=1 a2=min{x>a1 | x-a1≠n^2}=3 a3=min{x>a2 | x-a1, x-a2≠n^2}=6 … a[n+1]=min{x>an | x-a1,,,x-an≠n^2} 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 23:15:16 ID:Ior9sgvQ.net] >>798 二項分布の分散‥‥そんなのあったあったw 忘却の彼方ww 845 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 23:26:01 ID:Qtllr5m8.net] >>797 後2問シミュレーションと随分違うな 何故？ 37/8, 9/2, 105/32, 105/32 を想定 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 00:54:39.47 ID:ijdl7Zl+.net] >>801 しまった。 黒玉iが取り出される事象は独立でない。 取り出される事象の特性関数をXiとして E(Xi)=E(Xi^2)=7/8 i≠jのときE(XiXj)=7/8×8/9=7/9 なので独立ではない。 よってX=ΣXiとすれば E(X)=6×7/8=21/4 E(X^2)=6×7/8+30×7/9=343/12 E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-343/12=35/12 でした。 吊ってくるorz。 847 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 02:00:29 ID:v+yfiMnW.net] >>802 あー 2項分布じゃないってことか こりゃ不味いわめんどくさ 848 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 02:03:24.48 ID:v+yfiMnW.net] 白黒も独立ではないなあ こりゃ面倒くさすぎだった 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 18:11:23 ID:G3nSul4k.net] シミュレーションでなくて数え上げで計算してみたら>>789が正しそう 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 19:35:56.64 ID:63iW3LdD.net] 面倒な問題だな 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 20:18:17.77 ID:OTl1KJku.net] >>780 黒は無視して、赤白計13個で総当たりで計算してみた。 TEnr <- function(n,r,zero=0,one=1){ # n(=5),r(=3)を指定して 0 0 1 1 1から1 1 1 0 0までの順列行列を作る f=function(x){ re=rep(zero,n) # 容れ子 re[x]=one # 指定のindexにoneを代入 re } t(combn(n,r,f)) # oneを入れる組み合わせに上記関数fを実行して転置 } TE=TEnr(13,7,0,1) # 0:白 1:赤　13個の並びの行列 1111111000000 から 0000001111111まで13C7(=1716)個 (x=TE[1000,]) # 1000行目のエントリ f <- function(x){ # 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 -> 2 赤(1)が4個に達すまでの0の数を返す i4=which(cumsum(x)==4)[1] # 累積和が最初に４になったindexをi4として sum(x[1:i4]==0)　　　　　 # i4までの白(0)の個数を返す } re=apply(TE,1,f) sum(re) length(re) mean(re) > sum(re) [1] 5148 > length(re) [1] 1716 > mean(re) [1] 3 答は３ 852 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 22:08:54.75 ID:v+yfiMnW.net] >>806 白単独なら2項分布と同じで 白黒などでも線形なら2項分布で計算しても正しい値になるから 単に答えだけ見るのだと 正しい考察の結果かどうか分からないので これ>>786の第1，2問は悪問だな 第3，4問だけなら2項分布で計算すると正しい答えにならないからこれは良問 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 22:43:58.90 ID:ijdl7Zl+.net] >>808 いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。 二項分布の公式は使えないけど例えば第一問なら黒玉iが取られる事象の特性関数をBi、白玉jが取られる事象の特性関数をWjとすれば一問 854 名前：目の求める期待値は E(ΣWj-(5-ΣBi))=ΣE(Wj)-5+ΣE(Xi)=6×7/8-5+5×7/8=37/8。 コレは独立性いらない。 [] [ここ壊れてます] 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 22:48:53.64 ID:cWmNKZcu.net] n個からr個を選んで得られる順列の総数をP(n, r)とする. 任意のr>1に対して, P(n, r)は平方数でないことを示せ. 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 22:53:22.66 ID:ijdl7Zl+.net] エルデシュktkr 857 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/16(月) 00:26:55 ID:xw7qN3/R.net] >>809 >いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。 それは分かってる だからこそ2項分布で解いてしまっても間違いが分からないのが悪問ってコトだよ 858 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/16(月) 00:31:06 ID:xw7qN3/R.net] >>812 >それは分かってる もともと白−黒と白−白にしたのは独立性に関係しないことを認識しているかどうかを主眼としたかったから（白と黒が独立と思ってた） 独立線形 非独立線形 独立非線形 非独立非線形 で4題にできて上手く行ったと思ってた 悔しい 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 06:19:30 ID:FQrBPIz6.net] A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改） 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 08:51:01.03 ID:CVVw1pKV.net] >>814 総当たりで計算 # A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改） library(gtools) v=rep(1:7,c(3,2,rep(1,5))) pm=try(permutations(10,10,v,set=F)) tail(pm) f <- function(x){ n=length(x) flg=FALSE for(i in 1:(n-1)){ if(x[i]==x[i+1]){ flg=TRUE break } } return(flg) } (x=pm[10000,]) re=sum(apply(pm,1,f)) library(gmp) N=nrow(pm) as.bigq(re/N) re/N Big Rational ('bigq') : [1] 1388609885105903/2251799813685248 > re/N [1] 0.6166667 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 09:32:03.26 ID:6K81jsqz.net] 同じ文字が一度も隣合わないような場合の数を考える。 そのためにCDEFGを全てXで置き換え、『AとBは一度も隣合わない』ような場合の数を考える。 （つまりXだけは隣り合っても良い） AとBだけに着目した時の並びが (1)AAABBである時、最低でも AXAXABXB というスペースの空け方が必要。 このAとBで区切られた６つの区間に残りの二つのXが入るから、求める場合の数は 7C2=21. (2)AABABである時、最低でも AXABAB というスペースの空け方が必要。 ６つの区間に残りの四つのXが入るから、求める場合の数は 9C4=126. … 以上のように計算を進めると、求める場合の数の合計は 2*7C2 + 3*8C3 + 4*9C4 + 10C5 = 966 A,B,Xの並べ方の総数は 10C5 * 5C2 = 2520 であるから、求める確率は 966/2520 = 23/60. ゆえに元々の問の答えは 1-23/60=0.6166666… 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 12:00:30.78 ID:ktTTjCEF.net] 半径1の球面上の4点を一様独立に選ぶとき、その4点の凸包の体積の期待値を求めよ。 863 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/16(月) 18:51:48 ID:thhgKhx4.net] ／‖__`‖￣￣‖ ｡◯゜ ‖∩∩ ‖ □ ‖　　ﾟ｡ （(-_-)‖　　‖______ （っ⌒⌒ﾞ　 ｡‖╂─╂ ■`(_)_)ц~　‖∩∩╂ ＼■υυ■___‖_ _))⌒つ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`>>817前>>779 凸包の期待値=(4π/3)1^3=4π/3=4.1887902…… 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 02:08:40.83 ID:Rdjv/Owr.net] >>817 4π/105 865 名前：イナ mailto:sage [2020/03/17(火) 05:19:54.91 ID:jcKSZR9M.net] てつはう。前>>818最初見た人鉄砲とよう読 866 名前：んだなぁ。 凸包は正四面体なのか、4点を包む最小の球なのか。 [] [ここ壊れてます] 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 07:53:05.59 ID:Ze9EuNOD.net] >>820 四面体で１００万回シミュレーションして平均値をだしてみた。 vertices <- function(r=1){ a=runif(2,-pi,pi) # 角度Θ,Φを一様分布で選らんで theta=a[1] phi=a[2] x=r*sin(theta)*cos(phi) y=r*sin(theta)*sin(phi) z=r*cos(theta) c(x,y,z) # 直交座標を返す } sim <- function(r=1){ vectors=replicate(4,vertices(r)) # ４点の直交座標 abs(det(vectors[,2:4]-vectors[,1]))/6 # 四面体の体積 } k=1e6 re=replicate(k,sim()) mean(re) > mean(re) [1] 0.1069067 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 09:10:52.71 ID:Ze9EuNOD.net] 球の場合（最小球か否かは考慮せず）の１０万回シミュレーションの平均値 library(nleqslv) Abs <- function(x) sqrt(sum(x^2)) sphere <- function(CR){ # CR:Center,Radius C=CR[1:3] R=CR[4] v4=replicate(4,vertices()) c( Abs(v4[,1]-C),Abs(v4[,2]-C),Abs(v4[,3]-C),Abs(v4[,4]-C) )-R } sphere(1:4/10) # example sim2 <- function(){ r=nleqslv(1:4/10,sphere)$fvec[4] # 初期値 1:4/10 c(0.1,0.2,0.3,0.4) 4/3*pi*r^3 } sim2() k=1e5 re=replicate(k,sim2()) mean(re) > mean(re) [1] 1.8112 869 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 10:56:05.58 ID:jkHV1VNx.net] >>822 その数値の厳密値を 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 11:25:44 ID:Xb0J7ujj.net] >>821 ＞# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで 経度緯度を一様分布にしたら極に分布が偏らないかい？ 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 12:05:03.60 ID:k85T9ON2.net] >>824 グラフにしてみました。 ご指摘どおり、偏りがでました。 https://i.imgur.com/Ix5UvMR.png 872 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 12:52:38.52 ID:jkHV1VNx.net] >>825 全然ダメだね 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 13:24:44.75 ID:k85T9ON2.net] >>824 正方形内で乱数x,yを発生させて　r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外して、北半球と南半球は1/2ずつ分配して乱数発生させてみた。 https://i.imgur.com/bC0gBW7.png こっちの方が一様分布っぽいな。 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 13:29:03.21 ID:k85T9ON2.net] >>827 これで10万回シミュレーションして、凸包は球（最小球の考慮なし）としてみると k=1e5 re=replicate(k,sim3()) mean(re) > mean(re) [1] 1.800846 という値がでてきた。 875 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 13:59:08.56 ID:jkHV1VNx.net] >>827 だめでしょ xyzで外と原点は切ってそれ以外は正規化はどうかなあ これでもダメかも知らんが 876 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 14:27:38.49 ID:jkHV1VNx.net] θφで面素密度に合わせて乱数にしたら良いと思う dS=cosθdθdφなのでθという値を取る確率をcosθにする つまりzθの長方形で乱数発生させてz>cosθは除外してθを取る dV=dxdydz=rdrdSだから xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな 877 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 14:30:18.93 ID:jkHV1VNx.net] dV=drdS rは余計だったが言わんとするところは分かろう 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 17:38:54.16 ID:k85T9ON2.net] >>830 それを実装してみました。 vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布 theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ x=r*cos(phi)*cos(theta) # 曲座標から直交座標に y=r*cos(phi)*sin(theta) z=r*sin(phi) c(x,y,z) } vtx=replicate(5000,vertex()) x=vtx[1,] y=vtx[2,] z=vtx[3,] rgl::plot3d(x,y,z, col="slateblue") https://i.imgur.com/27K33kB.png 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 17:54:56 ID:k85T9ON2.net] >>832 これで4� 880 名前：_発生させて4点を通る球の半径を連立方程式を計算機に解かせて 体積の10万回の平均をとると > k=1e5 > hull=replicate(k,sim()) > mean(hull) [1] 1.160583 という結果になった。 あまり、自信がない。 解析解は賢者にお任せ。 [] [ここ壊れてます] 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 19:33:25.26 ID:Tm+KNX4Y.net] 半径１の球に内接する正四面体の体積は 8/(9√3) = 0.5132.. >>817の解はこれより小さい（はず） 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 20:40:37.39 ID:k85T9ON2.net] >>834 vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布 theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ x=r*cos(phi)*cos(theta) # 極座標から直座標に y=r*cos(phi)*sin(theta) z=r*sin(phi) c(x,y,z) } で、球の表面から４点を取り出して # 四面体の体積 sim <- function(r=1,print=F){ v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標 if(print) print(v4) abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積 } で１０万回シミュレーションしたら k=1e5 tetra=replicate(k,sim()) mean(tetra) summary(tetra) こんな結果 > summary(tetra) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0000006 0.0242839 0.0645573 0.0928661 0.1361202 0.5035962 最大値は8/(9√3) = 0.5132..以下になっている 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 21:18:37 ID:k85T9ON2.net] こっちの方がx,y,zともに一様分布になっている。 vertex <- function(r=1){ x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1] phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π] y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ) z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ) r*c(x,y,z) } https://i.imgur.com/xX0mTim.png https://i.imgur.com/H7hs9w8.png これでやってみると、四面体の場合 > mean(tetra) [1] 0.1201118 > summary(tetra) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0000003 0.0372266 0.0922805 0.1201118 0.1794858 0.5104545 884 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:43:27.26 ID:jkHV1VNx.net] >>836 >x,y,zともに一様分布 ではダメだろ 球面上に一様に分布するのなら x座標は√(1-x^2)の確率密度となる 885 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:51:51.42 ID:jkHV1VNx.net] あーそうか st正方形でsとtと一様ランダムに点を得て 原点中心の円の外にあれば棄て 内部にあればそのs座標を取ることで 確率密度√(1-s^2)の分布でランダムに取れる これでxyzをそれぞれ取ってやればいい あーダメか独立に取ったら球面上に来ないな じゃあこれでxを取ってyzはcosθsinθでθを一様ランダムに取れば良いや 886 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:53:39.72 ID:jkHV1VNx.net] y,zは√(1-x^2)cosθ,√(1-x^2)sinθで 887 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 23:09:55.33 ID:jkHV1VNx.net] >>837 あー間違いか>>836で正しいやスマン 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 04:39:06 ID:LbXnfiiv.net] <V> = 1/6 = 0.16667 だったら　>>834 の要求を満足するんだが････ 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 09:41:40 ID:POVuSFx0.net] 某イベントで紹介された問題の同値な改題 整数から実数への関数 f:Z→R であって、任意の整数 x,y,z について 【 x^2 + 4y^2 = z^2 ならば f(x) + 4f(y) = f(z) 】 を満たすものを全て求めよ 890 名前：イナ mailto:sage [2020/03/18(水) 12:22:31.26 ID:/PMjHzs1.net] ＼＼＼＼＼`∩∩､＼＼＼ ＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ` ＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`原点を頂点とした三角錘が4つ集まった四面体の体積は、 V=(4/3)Sh h=1/3(∵球の半径=1) S=(√3/4)a^2とすると、 底面の中心から底辺までの距離はピタゴラスの定理より、 √{1^2-(1/3)^2}=2√2/3 正三角形の高さは√2 a=√2(2/√3) =2√2/√3 S=(√3/4)(2√2/√3)^2 =(√3/4)(8/3) =2√3/3 前>>820 V=(4/3)(2√3/3)(1/3) =8√3/27 =0.513200239…… ここまではわかった。 1点目が任意で、2点目をうまくとる確率は後回し、3点目をうまくとる確率も後回し、4点目をうまくとる確率は1/2 2点目と3点目は1と1/2のあいだじゃないとだめだと思うから、 3点目をうまくとる確率が2/3で2点目をうまくとる確率が3/4なら、 すべてうまくとる確率は1/4 V/4=2√3/27 =0.12830006…… 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 14:27:28 ID:Tu49ygg5.net] >>836 数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。 x1,x2,x3〜Norm(0,1) で r=√(x1^2+x2^2+x3^2)として (x1/r,x2/r,x3/r)が単位球面の一様分布になるという。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2 Marsaglia(1972) https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177692644 実装してみた。 図示すると>836と同じく、x,y,zが一様分布して、球面の一様分布しているようにみえる。 vertex <- function(){ # xi ~ Norm(0,1) , xi/√(Σxi^2) v=rnorm(3,0,1) # 正規分布N(0,1)する３個からなるベクトル v v/sqrt(sum(v^2)) # v の長さで割る } vtx=replicate(5000,vertex()) par(mfrow=c(3,1)) x=vtx[1,] ; hist(x,col='pink') y=vtx[2,] ; hist(y,col='orange') z=vtx[3,] ; hist(z,col='darkgreen') rgl::plot3d(x,y,z, col='slateblue') par(mfrow=c(1,1)) # 四面体の体積 sim <- function(r=1,print=F){ v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標 if(print) print(v4) abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積 } k=1e5 tetra=replicate(k,sim()) # k回のシミュレーション mean(tetra) summary(tetra) BEST::plotPost(tetra) 期待値も分布もほぼ同じ。 > mean(tetra) [1] 0.119512 > summary(tetra) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0000001 0.0368084 0.0918738 0.1195120 0.1789221 0.5093198 四面体の体積の分布も同様でこんな分布。 https://i.imgur.com/yjsaR3Q.png 892 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/18(水) 14:45:48 ID:kt0eelvd.net] >>844 >数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。 独立に取ったときの確率密度がe^-(x^2+y^2+z^2)みたいなrのみの関数に比例するからだな でも>>836でいいと思うし 関数の近似による偏りみたいなのを気にするなら >>829でも球の外を除外した後の考え方はそのWikipediaのと同じだし 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 15:06:17 ID:Tu49ygg5.net] ３次元化座標が球面の一様分布することは、図示してイメージするほかに、どうやったら検証できるのだろう？ 球面上の任意の一定面積に含まれる数が一定であるのを確認する方法が思いつかない。 こういうデータが一様分布かどうかは確認できるだろうか x y z [1,] 0.4090696 -0.06240392 0.9103669 [2,] -0.1452435 -0.97420684 0.1727002 [3,] -0.1082045 0.53218504 0.8396850 ..... ..... x y z [4998,] 0.6609463 -0.096259265 -0.7442340 [4999,] 0.5669702 0.758929767 -0.3202661 [5000,] 0.8944673 -0.008481795 -0.4470530 894 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/18(水) 15:16:53 ID:kt0eelvd.net] >>846 ｘθとかθφで分割して点の数を数えて面積で割ったら？ 十分細かく分割を取っておいて サンプル点を十分多く取っていけば 大数の法則で 期待した値にぐいぐい集まってくるはずだし 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 16:16:35.57 ID:Tu49ygg5.net] >>847 レスありがとうございます。 x,y,z を 極形式にして�刄ﾆ　�刄ﾓの範囲にある数が一様かどうかみればいいんだな。 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 21:31:14.71 ID:Tu49ygg5.net] 直交座標から極座標のθφを出して、それをグラフにしてみました。 https://i.imgur.com/swLs0hO.png 両端が疎に見えます。 グリッドを作ってそこに含まれる点を数えてその分布をみればいいのかな？ どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。 897 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 01:13:20 ID:HdgduOXs.net] 辺の長さが 898 名前：全て有理数の多角形において、少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ. [] [ここ壊れてます] 899 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 01:36:55 ID:KrhQLEng.net] >>848 ΔθΔφの囲む面積はcosθ ΔθΔφだよ θが南北でΔθの幅の中央の値ね 点の個数をこれで割らないと一定にならない ΔθΔφが一定ならcosθで割れば良い 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 01:48:15 ID:mXsnD9nM.net] >>819 　0.1196797201367540････ 901 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 02:03:39 ID:KrhQLEng.net] >>849 >どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。 Δθ=π/n Δφ=2π/m つまり球面をnm個の領域に分割した場合（m,n固定） 一様分布ならサンプルN点でその領域内にあるのはNπcosθ/2mn個だろうから 数え上げてM点ならΣ(M-Nπcosθ/2mn)^2/mnがN→∞で次第に0に近づく（大数の法則）ことを見るとか？ 902 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 02:07:37.40 ID:KrhQLEng.net] >>849 >両端が疎に見えます。 横軸がθとすると 縦方向にcosθを掛けて点をプロットすれば良い それで0≦φ≦cosθの領域内に均一に見えたらOK 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 08:37:27 ID:XGan5JrS.net] >>849 これって>821と逆のことをやっているだけのような気がするな。 一様分布する球面上の点を極形式で表示したときに緯度・経度が一様分布はしないんだろうな。 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 09:28:52 ID:XGan5JrS.net] >>854 数理を理解できないままにグラフ化すると plot(θ,φ*cos(θ),bty='n',pch='.',xlab='θ(北極点からのラジアン)' ,,ylab='φ（経度)*cos(θ）') https://i.imgur.com/R8TFUG3.png 理解が足りないので断念。 905 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 09:32:03 ID:KrhQLEng.net] >>856 θを北極点からのにするなら sinθ掛けて 906 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 09:35:45 ID:KrhQLEng.net] >>855 極に近い方がずっと狭くなるからね 球面の表面積は円柱の側面積と同一であるという 2000年前から知られている原理からすると xyzに落とし込んでもそれぞれの座標上で一様分布になる これは>>836の https://i.imgur.com/xX0mTim.png 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:39:50.31 ID:BW7TgbOd.net] >>850 リンデマンの定理より有理数q≠0に対して e^(iq) が超越数であることから従う 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:52:58.05 ID:XGan5JrS.net] >>857 θとφの定義は下図に準拠 physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/figures/fig27.png rm(list=ls()) vertex <- function(r=1){ x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1] phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π] y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ) z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ) r*c(x,y,z) } # 直交座標を極座標に c2p <- function(xyz){ # (x,y,z) -> (θ,φ) Cartesian 2 Polar x=xyz[1];y=xyz[2];z=xyz[3] r=sqrt(x^2+y^2+z^2) # =1になるx,y,zの組合せ theta=acos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) # = acos(z) [0,π]の値 phi=ifelse(y>0,acos(x/sqrt(x^2+y^2)), # y>0ならφ < π 2*pi-acos(x/sqrt(x^2+y^2)))# y<0ならφ > π c(theta,phi) } n=1e5 vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る v=t(vtx) # 転置してn行３列(x,y,z)に head(v,3) ; tail(v,3) vp=apply(v,1,c2p) # 各行毎にx,y,z -> θ,φに変換 tp=t(vp) # theta θ, phai φ 転置してn行2列(θ,φ)に fn <- function(x){ # 0<=φ & φ<=sin(θ)を満たすかを返す θ=x[1] φ=x[2] 0<=φ & φ<=sin(θ) } tp1=tp[apply(tp,1,fn),] # fnがTRUEになるθ,φを抽出して θ=tp1[,1] φ=tp1[,2] plot(θ,φ*sin(θ),bty='n',pch='.', xlab='θ(北極点からのラジアン)',ylab='φ（経度)*sin(θ)') # グラフ化 https://i.imgur.com/dtO0oRW.png 正弦波が描出されただけのような 909 名前：？ [] [ここ壊れてます]

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