- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net]
- 過去ログ置き場(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3～6「datが存在しません。」
7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて～な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
- 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 15:30:24 ID:hVKkfTiV.net]
- >>711
10万回シミュレーションしてみた。
https://i.imgur.com/Mv1Rkfa.jpg
"1が累計m(=2)回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？"
sim <- function(m=2){
pip1=0 # １の目の出た回数
i=0 # サイコロを振った回数
while(pip1 < m){
i=i+1
pip1 = pip1 + (sample(6,1)==1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
- 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:15:06 ID:hVKkfTiV.net]
- >>711
100回目までを計算してみた。
> sapply(1:100,bg)
[1] 1 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
[21] 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234
[41] 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 306 312 318 324 330 336 342 348 354
[61] 360 366 372 378 384 390 396 402 408 414 420 426 432 438 444 450 456 462 468 474
[81] 480 486 492 498 504 510 516 522 528 534 540 546 552 558 564 570 576 582 588 594
bg <- function(x,print=FALSE){ # big gambling
f <- function(n,m=x,p=1/6) choose(n-1,m-1)*p^(m-1)*(1-p)^(n-m)*p
nn=1:
- 754 名前：(10*x)
y=optimize(function(n) f(n),nn,maximum=TRUE)$maximum
if(print){
plot(nn,sapply(nn,f),bty='l',pch=19)
yy=c(floor(y),ceiling(y))
cat(c(f(yy[1]),f(yy[2])),'\n')
}
return(floor(y))
}
sapply(1:100,bg) [] - [ここ壊れてます]
- 755 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/11(水) 16:31:01 ID:LbRSBTGq.net]
- 前>>706
>>707
6回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、4回のはずれに対し5通りあるから、
5(5/6)^4(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
7回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、5回のはずれに対し6通りあるから、
6(5/6)^5(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
6回目と7回目は約6.69795953％の確率で2回目の当たりが出るが、これだけでベストかどうかはわからず、前後を調べる必要がある。
8回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、6回のはずれに対し7通りあるから、
7(5/6)^6(1/6)^2=7･5^6/6^8
=0.065119051……
5回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、3回のはずれに対し4通りあるから、
4(5/6)^3(1/6)^2=4･5^3/6^5
=125/1944
=0.0643004115……
9回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、7回のはずれに対し8通りあるから、
8(5/6)^7(1/6)^2=8･5^7/6^9
=5^7/6^6･3^3
=0.0620181438……
∴5回目、8回目、9回目辺りはいずれも6％を超えていて大差ないけど、6回目か7回目に賭けるのがベター。
- 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:39:52 ID:hVKkfTiV.net]
- >>715
最初の１を除けば等差数列にみえるな。
- 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:46:21 ID:hVKkfTiV.net]
- 1が累計1000回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
6*1000-6 = 5994 と 5995回に賭けるのがベストぽいな。
多分、計算名人のイナ氏が検証してくれると思うｗ
- 758 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/11(水) 19:32:14.87 ID:hXdWKFHv.net]
- 確率pで成功する試行で、n回目の試行でm回成功する確率をP(n)と置くと
P(n)=C[n-1,m-1]p^m(1-p)^(n-m)だから、
P(n+1)=C[n,m-1]p^m(1-p)^(n+1-m)=n/(n+1-m)(1-p)P(n)
1≦P(n+1)/P(n)のとき、1≦n/(n+1-m)(1-p)、n+1-m≦n-np、n≦(m-1)/p=999/(1/6)=6000-6
なので5994または5995がベスト
- 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 19:43:41.17 ID:6p8KFnbi.net]
- >>707
青チャートに１が三回のバージョンがあった、最近解いた
- 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 20:02:08.69 ID:hVKkfTiV.net]
- >>719
ありがとうございます。
- 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 21:54:30.90 ID:UDcjpAEJ.net]
- サイコロを全ての目が最低1回出るまで振り続ける。振る回数の期待値を求めよ。
- 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 22:02:49.23 ID:nurrYDlF.net]
- 6(1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6)
- 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 06:18:47 ID:ggB+4VIO.net]
- １万回のシミュレーション
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=all(1:6 %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.7221
>
- 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:47:25.15 ID:NnHS9/Ym.net]
- >>723
残念
- 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:47:38.94 ID:NnHS9/Ym.net]
- >>724
正解
- 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:53:40.63 ID:NnHS9/Ym.net]
- =6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1
=14.7
- 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:56:14.15 ID:ggB+4VIO.net]
- 100万回で>
k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.70651
- 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:18:12 ID:NnHS9/Ym.net]
- 最初の1つがでるまでの回数の期待値
=6/6
1つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/5
2つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/4
以下同様
回数の期待値なので、単純に上記の和を求めればよい
- 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:42:22 ID:HLafz7hZ.net]
- 成功確率pの試行を繰り返すとき、最初に成功するまでの試行回数の期待値は 1/p
これを使って計算する
- 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:50:06 ID:+Rsy6sl8.net]
- >>730
幾何分布とか名前がついていたような。
- 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:52:30 ID:HLafz7hZ.net]
- >>731
そうです。ファーストサクセス分布(Fs分布)とも言います。
- 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 09:07:14 ID:HLafz7hZ.net]
- 訂正します。
成功するまでに失敗した回数の分布
=幾何分布
成功するまでの回数の分布
=ファーストサクセス分布
でした。
- 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 09:32:1
]
- [ここ壊れてます]
- 774 名前：6 ID:JYe4Js2p.net mailto: クーポンコレクター問題 []
- [ここ壊れてます]
- 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 09:58:21.78 ID:z4kbZ3QY.net]
- クーポンコレクター問題の一般化
サイコロふって1,2,3が出る事をA、4,5が出る事をB、6が出る事をCとする。
ABCが全て少なくとも一回起こるまでの平均は？
- 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 10:36:06 ID:+Rsy6sl8.net]
- >>735
1万回のシミュレーション結果
> A=1:3
> B=4:5
> C=6
>
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=any(A %in% pips) & any(B %in% pips) & any(C %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.2577
>
- 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 11:11:23 ID:+Rsy6sl8.net]
- 10万回だと
> k=1e5
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.30537
- 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 11:35:46 ID:0d6KLd2P.net]
- >>736
答えは？
- 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:02:45 ID:HLafz7hZ.net]
- 難しい
これがABC予想というやつか
- 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:08:38 ID:ab2iyO1k.net]
- これ貼っとこか
0508 １３２人目の素数さん 2018/06/30 02:42:25
>>505
問題を一般化して、
カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1)
カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、
初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。
よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A))
これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d
カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A)
どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。
M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B))
これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b)
整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b)
同様の計算で、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c)
カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、
M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
+ 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。
- 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:34:32 ID:+4qdqMNu.net]
- >>740
ありゃ、出ちゃったか。
- 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:39:16 ID:p+P9uShJ.net]
- a=3/6, b=2/6, c=1/6 として
E=1/a+1/b+1/c-1/(b+c)-1/(c+a)-1/(a+b)+1/(a+b+c)
=2+3+6-1.5-2.0-1.2+1.0
=7.3
ほんとだ。シミュレーションと一致した。
- 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 14:11:14 ID:ddMlrvcN.net]
- P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=1399/180=7.772222...
- 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 15:09:55 ID:U3HOlh4d.net]
- >>737
100万回シミュレーション結果 7.3ぽいね。
> k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.300615
- 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 17:50:49 ID:ddMlrvcN.net]
- >>743 訂正
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=73/10
- 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 18:20:32.98 ID:fHSLdc4D.net]
- >>745
不正解
- 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 21:11:11 ID:ddMlrvcN.net]
- >>746
何故>>745だけなんですか
- 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:18:49 ID:fHSLdc4D.net]
- >>747
計算機に入れてみた
- 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:23:54 ID:y8hLNrTr.net]
- p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [p n| n<-[3..10000]]
-------
0.9999999999999996
- 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:28:30 ID:y8hLNrTr.net]
- あ、失礼しました。
コード間違ってた。
正解でした。
p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [(fromInteger n)*(p n)| n<-[3..10000]]
------------
7.300000000000009
- 791 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/12(木) 23:26:10.85 ID:V/f7Uy6p.net]
- >>735
大学入試ではこの手の出題は御法度
なぜなら終わらないことを試行としてはいけないから
- 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 23:59:54 ID:y8hLNrTr.net]
- >>751
ココ入試レベル縛りないでしょ？
むしろ入試レベルじゃ満足しない人の方が多
- 793 名前：いのでは？ []
- [ここ壊れてます]
- 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 00:11:24.13 ID:2BG+LT6A.net]
- >>751
ん？終わるでしょ。
- 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 00:13:44.72 ID:IbYZYELm.net]
- 入試レベル
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数の期待値は？
期待値が範囲外になったので入試では使えないけど。
- 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 07:34:24.77 ID:ZlFDi94b.net]
- >>754
１０万回シミュレーション
balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
picked=NULL # 取り出された玉の配列
flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
sim <- function(){
while(flag==FALSE){
i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
}
sum(picked==2) # 取り出された白玉の数を返す
}
k=1e5
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 5.24854
- 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 07:51:51.90 ID:ZlFDi94b.net]
- >>755
白玉の個数の分布をグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/sd8l1wQ.jpg
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 5.00 6.00 5.25 6.00 6.00
５．２５が答みたいだなぁ。
解析解は賢者にお任せ。
- 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 08:23:45.26 ID:l20VjRfO.net]
- 〔補題〕
0<p≦1 とする。
確率pで事象Aが起こるような試行を繰返し行なう。
初めて事象Aが起こるまでに試行した回数nの期待値は 1/p.
(略解)
E{n} = p {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= {1 - (1-p)} {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ････
= 1/p.
- 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 08:35:28 ID:9IyekctU.net]
- XiをX≧iのとき1、そうでないとき0と定めてq=1-pとすれば
E(X)
=ΣE(Xi)
=Σq^(i-1)
=1/(1-q)
=1/p
- 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 11:33:57.90 ID:l20VjRfO.net]
- 最後の赤玉が出たのがn回目とする。(7≦n≦18)
・(n-1)回目までに取り出す白玉/黒玉はn-7個で、 Ｃ[11,n-7] とおり。 (*)
・取り出すn個が決まったとして、順番を入れ替える方法は
1～(n-1)回目 (n-1)! とおり
n回目 7 とおり
(n+1)～18回目 (18-n)! とおり 〔実際は取出さないが･･･〕
これらをを掛ければ
Σ[n=7,18] 7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[11,n-7]
= 11!Σ[n=7,18] 7(n-1)(n-2)････(n-6)
= 11!Σ[n=7,18] {n(n-1)････(n-6) - (n-1)････(n-6)(n-7)}
= 11!(18!/11!)
= 18! (←当然)
次に、n回目までの白玉の数w の期待値を求める。
wを掛けてたすと (*)の所が 6Ｃ[10,n-8] となる。
Σ[n=7,18] 6･7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[10,n-8]
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] 8(n-1)(n-2)････(n-7)
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] {n(n-1)････(n-7) - (n-1)････(n-7)(n-8)}
= (6･7/8)10!(18!/10!)
= (6･7/8)18!
∴ E{w} = 6･7/8 = 5.25
*)
7≦n≦12 のとき Σ[w=0,n-7] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
13≦n≦18 のとき Σ[w=n-12,6] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
- 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 11:56:03 ID:l20VjRfO.net]
- (n-1)回目までの白玉の数wの分布は >>756
P_w = (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
Σ[w=0,6] P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] (w+1)(w+2)････(w+6)
= (6!/13!)Σ[w=0,6] {(w+1)････(w+6)(w+7) - w(w+1)････(w+6)}
= (6!/13!)(13!/6!)
= 1.
E{w} = Σ[w=1,6] w･P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] w(w+1)(w+2)････(w+6)
= (7!/13!)Σ[w=1,6] (1/8){w････(w+6)(w+7) - (w-1)w････(w+6)}
= (7!/13!)(1/8)(13!/5!)
= (7･6/8)
= 5.25
- 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 12:21:36 ID:eu0owVym.net]
- >>760
正解！
想定解出してもいいけど実はある事に気づくと数行で終わります。
- 803 名前：どうしよう？
夜まで待ってみますね。 [] - [ここ壊れてます]
- 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 12:49:17 ID:l20VjRfO.net]
- 白玉の個数wの分布
0個 1個 2個 3個 4個 5個 6個
1/1716, 7/1716, 28/1716, 84/1716, 210/1716, 462/1716, 924/1716
0.06% 0.41% 1.63% 4.90% 12.24% 26.92% 53.84%
- 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:11:02.52 ID:m1uM3VjH.net]
- 黒玉は無視
赤玉7個を並べておき、その前後と間の8ヶ所に白玉6個をランダムに入れていく（重複あり）
赤玉の後ろに白玉がいくつあるかを考えるとき、白玉1個につき期待値1/8となるので6個なら6/8=3/4
従ってそれ以外のところにある白玉の個数の期待値は6-3/4=5.25
- 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:12:33.86 ID:eu0owVym.net]
- >>763
それです。
お見事。
- 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:14:30.61 ID:m1uM3VjH.net]
- 赤玉の後ろ以外にいくつあるかを考えるとき白玉1個につき期待値7/8なので6個なら6*7/8=5.25でよかったわ
- 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 14:10:27.98 ID:qPbrkgFl.net]
- >>754
P(k)=Σ[k=0,6]Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=kP(k)=21/4
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 15:04:09.49 ID:eu0owVym.net]
- >>766
さすがにダメやろ。
いくら原理的にはコレ計算したらできるって立式を書いても、その計算が最低目で追えるものを見せないと正解とは認定されない。
- 810 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/13(金) 15:27:09.74 ID:Pzzsy05r.net]
- 最小交点数がｎの結び目は何種類あるのか。
- 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 16:45:01 ID:l20VjRfO.net]
- 黒玉は無視する。(13個で考える)
(最後の赤玉が出る前の) 白玉の数をwとすると、
最後の(6-w)個が白玉、その直前が赤玉、他は不問だから
P_w = (6/13)(5/12)････((w+1)/(w+8))・(7/(w+7))
= (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
あとは >>760 で
- 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:07:52 ID:qPbrkgFl.net]
- >>767
これは、よく分からないがwolframで計算してみたら一致した
偶然一致するとは思えないが？
- 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:14:21 ID:qPbrkgFl.net]
- >>767
P(k)の値(k=0～6)は>>762と一致する
- 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:20:08 ID:ieVI6aZ4.net]
- なるほど
時系列で考えていくと発想が広がりにくいが、並べて考えるとわかりやすいな。
参考になる
- 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:34:42 ID:qPbrkgFl.net]
- >>767
C[7,6]C[6,k]C[5,j]/C[18,6+k+j]
ここの部分が、赤6、白k、黒jの計6+k+j回玉を取り出したときの確率
分子と分母は、玉に番号を付けた場合の場合の数になっている
最後に1/(12-k-j)で赤を取り出す確率を掛ける
- 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 18:37:26 ID:eu0owVym.net]
- >>770
いや、コレを計算できれば答えが出るなんて式たてるだけなら受験レベルの問題ならできて当たり前。
受験レベルで解くという意味ならその中で二十分程度で無理なく実際にできるというところまでやって見せてみて初めて正解。
計算機ならできるでは、受験レベルを超えてるようなやつならともかく受験レベルの問題と銘打って出題されてるんだから、通用しない。
- 817 名前： 【大凶】 mailto:sage [2020/03/13(金) 22:15:14 ID:OegQL28o.net]
- 前>>716
>>754
6(7/8)=5.25
- 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 22:39:53 ID:qPbrkgFl.net]
- >>774
この問題は難しいから受験で出題されるとは思わない
- 819 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 01:23:48.44 ID:Qtllr5m8.net]
- え？
- 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 01:27:44.99 ID:j/jXCgRq.net]
- このスレは受験で有効な解答のみ正解という訳では�
- 821 名前：ﾈかろう []
- [ここ壊れてます]
- 822 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/14(土) 02:19:09 ID:V5zn1x6j.net]
- _____∩ っﾞ___
＼ (-_-)) /|
＼＼υ⌒υ､ /|
￣￣￣￣|υ/|
________｢￣|
九九を習った小学2年生なら解けるんだよな。
前>>775滑り台の角度も摩擦係数も知らない、ましてや静止距離など。
- 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:30:01.48 ID:a/1EREm4.net]
- こうしたらどうなる？
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を４個取り出した時点で終了とする。取り出した白玉の個数の期待値は？
- 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:32:20.86 ID:uXVhjaRg.net]
- 7/8が4/8にかわるだけでは？
- 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:40:16.33 ID:a/1EREm4.net]
- >>781
6*4/8=3でいいのか。
- 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:45:58.12 ID:5sXkLHY6.net]
- >>780
P(k)=Σ[j=0,5]4C[7,3]C[6,k]C[5,j]/(C[18,3+k+j](15-k-j)
E=Σ[k=0,4]kP(k)=881/429
- 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 10:50:54.02 ID:rjLc6zup.net]
- 整数の無限部分集合Aであって、どの互いに異なる a,b∈A をとっても
|a-b| が平方数にならないものは存在するか。
- 828 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 10:51:33.67 ID:Qtllr5m8.net]
- >>754
7/8 * 6=21/4
>>780
4/8 * 6=3
- 829 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 11:02:50.20 ID:Qtllr5m8.net]
- 袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値の期待値は？
- 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:17:16 ID:xUS1bw+b.net]
- >>784
レピュニット数を元とする無限集合とすればいい
- 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:18:04 ID:5sXkLHY6.net]
- >>766 訂正
P(k)=Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=Σ[k=0,6]kP(k)=21/4
- 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:25:25 ID:5sXkLHY6.net]
- >>786
E1=Σ[k=0,6](k-(5-j))P(k)=37/8
E2=Σ[k=0,6](k-(6-k))P(k)=9/2
E3=Σ[k=0,6](k(5-j))P(k)=35/12
E4=Σ[k=0,6](k(6-k))P(k)=35/12
- 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 11:54:58 ID:XpWNijuu.net]
- >>786
最初の２つは線形性でいける。
3番目は独立性。
暗算で苦しいのは最後だけだな。
黒玉ひとつに着目して取り出される確率がp=7/8。
よって取り出される個数Xの分布はp=7/8, n=6の二項分布。
X^2の期待値は
E(X^2) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k^2=93/32。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+binomial%286%2Cx%29+%281%2F8%29%5E%286-x%29%287%2F8%29%5Ex+x%5E2+from+0+to+6&lang=ja
- 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:02:50 ID:rjLc6zup.net]
- >>787
残念。|111-11|=100 は平方数になります
- 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:05:48 ID:43XV3aTx.net]
- おっと脳内で問題変わってたw
E(x(6-x)) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k(6-k)=105/32。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+binomial%286%2Cx%29+%281%2F8%29%5E%286-x%29%287%2F8%29%5Ex+x%286-x%29+from+0+to+6&lang=ja
- 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:11:55 ID:CncPdwb0.net]
- >>784
2×4^nで桶
- 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 12:16:30 ID:xUS1bw+b.net]
- >>791
確かにそうだった
- 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 14:53:15 ID:rjLc6zup.net]
- >>793
お見事、それがあったか
- 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 14:55:15 ID:iH59lf4s.net]
- >>784
A = {1, c, c^2, c^3, ････| c>2}
c^n - c^m = (c^m) {c^(n-m) - 1},
c^(n-m) > 1, (n>m)
カタラン予想（ミハイレスクの定理) により
c^(n-m) - d^2 = 1 となる d >1 は存在しない。
∴ c^(n-m) - 1 は平方数でない。
c^m と c^(n-m) -1 は互いに素だから | c^n - c^m | は平方数でない。
A = {2, 8, 32, 128, 512, ････} も同様？
- 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 19:40:53.31 ID:joJxF0LZ.net]
- >>789
シミュレーションで近似してみました。
> balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
> picked=NULL # 取り出された玉の配列
> flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
> sim <- function(){
+ while(flag==FALSE){
+ i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
+ picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
+ balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
+ flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
+ }
+ # 取り出した白玉の個数
+ a0=sum(picked==2)
+ # 取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値
+ a1=sum(picked==2)-sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値
+ a2=sum(picked==2)-sum(balls==2)
+ # 取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値
+ a3=sum(picked==2)*sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値
+ a4=sum(picked==2)*sum(balls==2)
+ return(c(a0,a1,a2,a3,a4))
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,sim())
> apply(re[2:5,]
- 841 名前：,1,mean)
[1] 4.627792 4.500442 2.904962 2.916039
> c(37/8,9/2,35/12,35/12)
[1] 4.625000 4.500000 2.916667 2.916667 [] - [ここ壊れてます]
- 842 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 22:15:14 ID:Qtllr5m8.net]
- >>790,792
サンクス
期待値の線形性独立性の問題としてちょうど良さげかと
2項分布の分散がnpqということを使えば最後もそれほど難しくはない
V(X)=E(X^2)-E(X)^2=6(7/8)(1/8)=21/32
E(X^2)=21/32+(21/4)^2=903/32
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-903/32=105/32
- 843 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 23:06:20 ID:Qtllr5m8.net]
- >>784
a1=1
a2=min{x>a1 | x-a1≠n^2}=3
a3=min{x>a2 | x-a1, x-a2≠n^2}=6
…
a[n+1]=min{x>an | x-a1,,,x-an≠n^2}
- 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/14(土) 23:15:16 ID:Ior9sgvQ.net]
- >>798
二項分布の分散‥‥そんなのあったあったw
忘却の彼方ww
- 845 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/14(土) 23:26:01 ID:Qtllr5m8.net]
- >>797
後2問シミュレーションと随分違うな
何故？
37/8, 9/2, 105/32, 105/32
を想定
- 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 00:54:39.47 ID:ijdl7Zl+.net]
- >>801
しまった。
黒玉iが取り出される事象は独立でない。
取り出される事象の特性関数をXiとして
E(Xi)=E(Xi^2)=7/8
i≠jのときE(XiXj)=7/8×8/9=7/9
なので独立ではない。
よってX=ΣXiとすれば
E(X)=6×7/8=21/4
E(X^2)=6×7/8+30×7/9=343/12
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-343/12=35/12
でした。
吊ってくるorz。
- 847 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 02:00:29 ID:v+yfiMnW.net]
- >>802
あー
2項分布じゃないってことか
こりゃ不味いわめんどくさ
- 848 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 02:03:24.48 ID:v+yfiMnW.net]
- 白黒も独立ではないなあ
こりゃ面倒くさすぎだった
- 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 18:11:23 ID:G3nSul4k.net]
- シミュレーションでなくて数え上げで計算してみたら>>789が正しそう
- 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 19:35:56.64 ID:63iW3LdD.net]
- 面倒な問題だな
- 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 20:18:17.77 ID:OTl1KJku.net]
- >>780
黒は無視して、赤白計13個で総当たりで計算してみた。
TEnr <- function(n,r,zero=0,one=1){ # n(=5),r(=3)を指定して 0 0 1 1 1から1 1 1 0 0までの順列行列を作る
f=function(x){
re=rep(zero,n) # 容れ子
re[x]=one # 指定のindexにoneを代入
re
}
t(combn(n,r,f)) # oneを入れる組み合わせに上記関数fを実行して転置
}
TE=TEnr(13,7,0,1) # 0:白 1:赤 13個の並びの行列 1111111000000 から 0000001111111まで13C7(=1716)個
(x=TE[1000,]) # 1000行目のエントリ
f <- function(x){ # 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 -> 2 赤(1)が4個に達すまでの0の数を返す
i4=which(cumsum(x)==4)[1] # 累積和が最初に４になったindexをi4として
sum(x[1:i4]==0) # i4までの白(0)の個数を返す
}
re=apply(TE,1,f)
sum(re)
length(re)
mean(re)
> sum(re)
[1] 5148
> length(re)
[1] 1716
> mean(re)
[1] 3
答は３
- 852 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/15(日) 22:08:54.75 ID:v+yfiMnW.net]
- >>806
白単独なら2項分布と同じで
白黒などでも線形なら2項分布で計算しても正しい値になるから
単に答えだけ見るのだと
正しい考察の結果かどうか分からないので
これ>>786の第1，2問は悪問だな
第3，4問だけなら2項分布で計算すると正しい答えにならないからこれは良問
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