- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net]
- 過去ログ置き場(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3〜6「datが存在しません。」
7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて〜な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
- 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 17:19:16 ID:N/3DceFI.net]
- ばかだなぁ
- 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 17:51:38.42 ID:E6UD7Wty.net]
- >>670
n=1〜5について1,0,0,48,480
一般式つくれる？
- 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 18:30:15.06 ID:2IyRnfE2.net]
- 元の京大の問題はn=4で可能でちゃんと値は求められる
- 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 19:02:15.65 ID:0N1NTePA.net]
- >>670
０通り、じゃないかな？
- 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 19:07:42.46 ID:Wjh2UUFs.net]
- 対角線の要素を考えなければ計算しやすくなったりするだろうか？
1,2,12,576,…
- 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 19:55:12.97 ID:0N1NTePA.net]
- >>676
プログラムのバグを修正したら、n=4で48通りとカウントされた。
- 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 20:02:36.35 ID:0N1NTePA.net]
- >>679
プログラムに列挙させると、
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 3 4 1 2
[3,] 4 3 2 1
[4,] 2 1 4 3
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 4 3 2 1
[3,] 2 1 4 3
[4,] 3 4 1 2
から始まって
> matrix(B[,counter[48]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 2 1 4 3
[3,] 1 2 3 4
[4,] 3 4 1 2
で終わり。
- 717 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/09(月) 20:17:16.73 ID:kaHbC0fO.net]
- >>670
対角線めんどくせ
- 718 名前：イナ mailto:sage [2020/03/09(月) 20:28:15.42 ID:otlyxJ1y.net]
- 前>>673反省。
n=2,3のときは0通りだけど、
n=1のときが１の1通りとしたら、
n=4のとき対角線はクロスして、なんかやな感じがした。
縦に１,２,３,４、
横に１,２,４,３とすれば可能。
対角線は斜め下から、
４,１,２,３もしくは、
４,２,１,３の2通り。
最初が4通り。
縦の並びが6通りで24通り。
横に2通りで48通り。
n=1,2,3,……に対する通りの数ａ_nは、
ａ_n=1,0,0,48,……
=n^2(ａ_n-1)
縦と横をn通りずつ増やしたら必然的に斜めも増えるかな？
ａ_5はそんなに増えないか。
- 719 名前：イナ mailto:sage [2020/03/09(月) 20:33:49.52 ID:otlyxJ1y.net]
- 前>>682
ａ_5=480なら、
ａ_n=n^2(n-1)ａ_n-1
こうか？
480=5･5･4･48
- 720 名前：イナ mailto:sage [2020/03/09(月) 20:48:10.94 ID:otlyxJ1y.net]
- 前>>683
うまく掛けるか割るかして辺々足すと先頭と尻尾、
ａ_nとａ_4=48ら辺が残るんじゃないか？
ａ_n=(n^3ａ_n-1)-(n^2ａ_n-1)
ａ_n-1={(n-1)^3ａ_n-2}-{{(n-1)^2ａ_n-2}
ａ_n-2={(n-2)^3ａ_n-3}-{{(n-2)^2ａ_n-3}
……
- 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 21:04:26.54 ID:Wjh2UUFs.net]
- 対角線の条件を含まないものは、ラテン方格と呼ばれるらしい
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%86%E3%83%B3%E6%96%B9%E6%A0%BC
ラテン方格の総数についての明示的な公式は、おそらく見つかってなさそう
https://oeis.org/A002860
対角線の条件を含むものは diagonal latin square とか呼ばれてるみたいだけど、
- 722 名前：こちらの方もますます研究されていなさそうだ []
- [ここ壊れてます]
- 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/09(月) 22:29:30.36 ID:0N1NTePA.net]
- >>680
対角線条件を外すと５７６通り
> matrix(B[,counter[1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 1 2
[4,] 4 3 2 1
> matrix(B[,counter[2]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 3 4
[2,] 2 1 4 3
[3,] 3 4 2 1
[4,] 4 3 1 2
で始まって
> matrix(B[,counter[m-1]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 3 4
[4,] 1 2 4 3
> matrix(B[,counter[m]],n)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
[3,] 2 1 4 3
[4,] 1 2 3 4
で終わり
- 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 13:55:01.52 ID:H1fx2jVB.net]
- シラミ潰しだとメモリ不足になった。
１億回シミュレーションしてようやく、1個みつかった。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 5 4 3 1
[2,] 4 3 1 2 5
[3,] 1 2 5 4 3
[4,] 5 4 3 1 2
[5,] 3 1 2 5 4
- 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 16:03:21 ID:FoiTVu+g.net]
- 深さ優先探索でやれ
- 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 16:34:04 ID:BSnoL6Fw.net]
- n=5 で対角線も考える場合
□□□□□
□■□■□
□□■□□
□■□■□
□□□□□
上の黒四角のどこにも同じ数字は入らない。
よって次のように固定して良い（重複度120）
□□□□□
□?■?□
□■?■□
□?■?□
□□□□□
四つの黒四角のうちどこか二つに同じ数字が入ると仮定すると、
中央の3x3の正方形に、ある特定の数字が３つ入ることになるが、
その数字が入ることが可能な残る場所は5x5正方形の四隅しかあり得ず、矛盾。
すなわち四つの黒四角に入る数字は全て異なるため、次のように固定して良い（重複度2）
□■□■■
□???□
■???■
□???□
■■□■□
黒四角のどこを決めても他の黒四角も全て決まることがわかる。白四角も同様。
ゆえに重複度は2*2=4.
以上から120*2*4=960通りになる…はずなんだけど>>675はどうやって計算した？
- 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 18:57:05 ID:H1fx2jVB.net]
- >>687
一つ見つかったから1 2 3 4 5 を各々例えば5 4 2 1 3 に置き換えるとかすれば、120個作れるな。
例
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 4 5 3 1 2
[2,] 3 1 2 4 5
[3,] 2 4 5 3 1
[4,] 5 3 1 2 4
[5,] 1 2 4 5 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 5 2 3 4 1
[2,] 3 4 1 5 2
[3,] 1 5 2 3 4
[4,] 2 3 4 1 5
[5,] 4 1 5 2 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 4 1 3 5
[2,] 1 3 5 2 4
[3,] 5 2 4 1 3
[4,] 4 1 3 5 2
[5,] 3 5 2 4 1
などなど
- 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 19:28:10 ID:2VZd/7KV.net]
- サイコロを1が出るまで振って、振った回数を当てるギャンブルがある。何回目にかけるのがベストか？
- 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 20:03:41.17 ID:H1fx2jVB.net]
- >>691
直感だと１回
- 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 20:09:56.15 ID:H1fx2jVB.net]
- >>691
１０万回シミュレーションして頻度をグラフ化
https://i.imgur.com/DYbNCto.jpg
sim <- function(){
dice=0
i=0
while(dice!=1){
i=i+1
dice=sample(6,1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
- 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 20:31:31.78 ID:vC568XMn.net]
- 霊感で一回
- 732 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/10(火) 20:44:08.24 ID:xGpgpXvb.net]
- >>691
n+1回目に始めて1が出る確率は1/6(5/6)^nで減少関数だから1回がベスト
- 733 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 20:45:37.39 ID:SgyDBxw5.net]
- 前>>683
>>691
出るまで引くよりベストがあるなら、
1/6+(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6)+(5/6)(5/6)(5/6)(1/6)=0.517746917……
5割超えんのは4回目。
∴4回目がベスト。
- 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 21:02:06.67 ID:2VZd/7KV.net]
- 幾何分布の問題でした。
正解は1回目
解答
https://bellcurve.jp/statistics/course/6988.html
- 735 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 21:20:33.18 ID:SgyDBxw5.net]
- 前>>696
単勝１番は0.166……
一方４番は125/1296=0.09645……
千円賭けて9,645円もらえ
- 736 名前：るのかと思った。
n回目は5^(n-1)/6^n
下がる一方か。 [] - [ここ壊れてます]
- 737 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 21:40:50.28 ID:SgyDBxw5.net]
- 前>>698
サイコロ振ってn回目までに1が出る確率は、
納n=1→n]5^(k-1)/6^k
ですか？
千人に1人が受賞する文学新人賞に応募するとき、何回目に受賞が期待(5割超え)できますか？
- 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 21:48:58.80 ID:YAq6/mFA.net]
- >>699
プログラム組めば解答でるけど、入試とかで出たら解答する方法はあるのだろうか？
- 739 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 22:07:46.17 ID:SgyDBxw5.net]
- 前>>699
>>700
100回目までに1回も受賞しない確率は、
(99/100)^100
100回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^100=0.633967659……
69回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50016297……
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^69=0.50516134……
見とおしが立った！
- 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 22:17:33.64 ID:YAq6/mFA.net]
- ^69とかどうやって計算するのさ
まぁ出来ない事はないが
- 741 名前：イナ mailto:sage [2020/03/10(火) 22:22:10.66 ID:SgyDBxw5.net]
- 前>>701
693回目までに受賞する確率は、
1-(999/1000)^693=0.500099765……
年間7作。
100年要らない。99年で受賞する。
- 742 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/10(火) 23:29:31.45 ID:IbQVYwum.net]
- 対数表が与えられていれば分かるだろ
- 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/10(火) 23:32:59.02 ID:9ehLsruf.net]
- 自分で出題し自分で解くという新しい芸風
- 744 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/11(水) 02:21:24 ID:LbRSBTGq.net]
- 前>>703
>>701訂正。
だめ押し70回目までに受賞する確率は、
1-(99/100)^70=0.50516134……
- 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 11:58:45 ID:t9boZF0q.net]
- 類題
1が累計二回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
- 746 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/11(水) 12:15:54 ID:avK6eeO9.net]
- >>707
2回目
- 747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 13:00:47 ID:t9boZF0q.net]
- >>708
残念
- 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 13:14:52 ID:1JNnQUXE.net]
- 6または7？
- 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 13:53:35.94 ID:t9boZF0q.net]
- >>710
正解
n回目に賭けて当たる確率は (n-1)(5/6)^(n-2)*(1/6)^2 で、
これが最大になるのはn=6,7の時。
- 750 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/11(水) 15:17:40 ID:YQLdoe7U.net]
- EをR^N上のボレル集合、AをN×N行列、LをN次元ルベーグ測度とする このとき
L(A(E))=|detA|L(E)
が成立することを証明せよ
- 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 15:19:30 ID:3HNckciv.net]
- どちらかに賭けても勝率6.7%か
- 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 15:30:24 ID:hVKkfTiV.net]
- >>711
10万回シミュレーションしてみた。
https://i.imgur.com/Mv1Rkfa.jpg
"1が累計m(=2)回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？"
sim <- function(m=2){
pip1=0 # １の目の出た回数
i=0 # サイコロを振った回数
while(pip1 < m){
i=i+1
pip1 = pip1 + (sample(6,1)==1)
}
return(i)
}
k=1e5
re=replicate(k,sim())
tbl=table(re) ; tbl
which.max(tbl)
plot(tbl/k,bty='l')
- 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:15:06 ID:hVKkfTiV.net]
- >>711
100回目までを計算してみた。
> sapply(1:100,bg)
[1] 1 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
[21] 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234
[41] 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 306 312 318 324 330 336 342 348 354
[61] 360 366 372 378 384 390 396 402 408 414 420 426 432 438 444 450 456 462 468 474
[81] 480 486 492 498 504 510 516 522 528 534 540 546 552 558 564 570 576 582 588 594
bg <- function(x,print=FALSE){ # big gambling
f <- function(n,m=x,p=1/6) choose(n-1,m-1)*p^(m-1)*(1-p)^(n-m)*p
nn=1:
- 754 名前：(10*x)
y=optimize(function(n) f(n),nn,maximum=TRUE)$maximum
if(print){
plot(nn,sapply(nn,f),bty='l',pch=19)
yy=c(floor(y),ceiling(y))
cat(c(f(yy[1]),f(yy[2])),'\n')
}
return(floor(y))
}
sapply(1:100,bg) [] - [ここ壊れてます]
- 755 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/11(水) 16:31:01 ID:LbRSBTGq.net]
- 前>>706
>>707
6回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、4回のはずれに対し5通りあるから、
5(5/6)^4(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
7回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、5回のはずれに対し6通りあるから、
6(5/6)^5(1/6)^2=5^5/6^6
=0.0669795953……
6回目と7回目は約6.69795953％の確率で2回目の当たりが出るが、これだけでベストかどうかはわからず、前後を調べる必要がある。
8回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、6回のはずれに対し7通りあるから、
7(5/6)^6(1/6)^2=7･5^6/6^8
=0.065119051……
5回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、3回のはずれに対し4通りあるから、
4(5/6)^3(1/6)^2=4･5^3/6^5
=125/1944
=0.0643004115……
9回目に2回目の当たりが出る確率は、
1回目の当たりが何回目に出るかが、7回のはずれに対し8通りあるから、
8(5/6)^7(1/6)^2=8･5^7/6^9
=5^7/6^6･3^3
=0.0620181438……
∴5回目、8回目、9回目辺りはいずれも6％を超えていて大差ないけど、6回目か7回目に賭けるのがベター。
- 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:39:52 ID:hVKkfTiV.net]
- >>715
最初の１を除けば等差数列にみえるな。
- 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 16:46:21 ID:hVKkfTiV.net]
- 1が累計1000回出るまでサイコロを振って、振った回数を当てるギャンブルがある。
何回目に賭けるのがベストか？
6*1000-6 = 5994 と 5995回に賭けるのがベストぽいな。
多分、計算名人のイナ氏が検証してくれると思うｗ
- 758 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/11(水) 19:32:14.87 ID:hXdWKFHv.net]
- 確率pで成功する試行で、n回目の試行でm回成功する確率をP(n)と置くと
P(n)=C[n-1,m-1]p^m(1-p)^(n-m)だから、
P(n+1)=C[n,m-1]p^m(1-p)^(n+1-m)=n/(n+1-m)(1-p)P(n)
1≦P(n+1)/P(n)のとき、1≦n/(n+1-m)(1-p)、n+1-m≦n-np、n≦(m-1)/p=999/(1/6)=6000-6
なので5994または5995がベスト
- 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 19:43:41.17 ID:6p8KFnbi.net]
- >>707
青チャートに１が三回のバージョンがあった、最近解いた
- 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 20:02:08.69 ID:hVKkfTiV.net]
- >>719
ありがとうございます。
- 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 21:54:30.90 ID:UDcjpAEJ.net]
- サイコロを全ての目が最低1回出るまで振り続ける。振る回数の期待値を求めよ。
- 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/11(水) 22:02:49.23 ID:nurrYDlF.net]
- 6(1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6)
- 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 06:18:47 ID:ggB+4VIO.net]
- １万回のシミュレーション
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=all(1:6 %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.7221
>
- 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:47:25.15 ID:NnHS9/Ym.net]
- >>723
残念
- 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:47:38.94 ID:NnHS9/Ym.net]
- >>724
正解
- 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:53:40.63 ID:NnHS9/Ym.net]
- =6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1
=14.7
- 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 07:56:14.15 ID:ggB+4VIO.net]
- 100万回で>
k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 14.70651
- 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:18:12 ID:NnHS9/Ym.net]
- 最初の1つがでるまでの回数の期待値
=6/6
1つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/5
2つ目が出てから次が出るまでの回数の期待値
=6/4
以下同様
回数の期待値なので、単純に上記の和を求めればよい
- 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:42:22 ID:HLafz7hZ.net]
- 成功確率pの試行を繰り返すとき、最初に成功するまでの試行回数の期待値は 1/p
これを使って計算する
- 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:50:06 ID:+Rsy6sl8.net]
- >>730
幾何分布とか名前がついていたような。
- 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 08:52:30 ID:HLafz7hZ.net]
- >>731
そうです。ファーストサクセス分布(Fs分布)とも言います。
- 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 09:07:14 ID:HLafz7hZ.net]
- 訂正します。
成功するまでに失敗した回数の分布
=幾何分布
成功するまでの回数の分布
=ファーストサクセス分布
でした。
- 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 09:32:1
]
- [ここ壊れてます]
- 774 名前：6 ID:JYe4Js2p.net mailto: クーポンコレクター問題 []
- [ここ壊れてます]
- 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 09:58:21.78 ID:z4kbZ3QY.net]
- クーポンコレクター問題の一般化
サイコロふって1,2,3が出る事をA、4,5が出る事をB、6が出る事をCとする。
ABCが全て少なくとも一回起こるまでの平均は？
- 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 10:36:06 ID:+Rsy6sl8.net]
- >>735
1万回のシミュレーション結果
> A=1:3
> B=4:5
> C=6
>
> sim <- function(){
+ flag=FALSE
+ i=0
+ pips=NULL
+ while(flag==FALSE){
+ i=i+1
+ pips=c(pips,sample(6,1))
+ flag=any(A %in% pips) & any(B %in% pips) & any(C %in% pips)
+ }
+ i
+ }
> k=1e4
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.2577
>
- 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 11:11:23 ID:+Rsy6sl8.net]
- 10万回だと
> k=1e5
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.30537
- 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 11:35:46 ID:0d6KLd2P.net]
- >>736
答えは？
- 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:02:45 ID:HLafz7hZ.net]
- 難しい
これがABC予想というやつか
- 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:08:38 ID:ab2iyO1k.net]
- これ貼っとこか
0508 １３２人目の素数さん 2018/06/30 02:42:25
>>505
問題を一般化して、
カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1)
カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、
初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。
よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A))
これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d
カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A)
どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。
M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B))
これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b)
整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b)
同様の計算で、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c)
カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、
M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
+ 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。
- 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:34:32 ID:+4qdqMNu.net]
- >>740
ありゃ、出ちゃったか。
- 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 13:39:16 ID:p+P9uShJ.net]
- a=3/6, b=2/6, c=1/6 として
E=1/a+1/b+1/c-1/(b+c)-1/(c+a)-1/(a+b)+1/(a+b+c)
=2+3+6-1.5-2.0-1.2+1.0
=7.3
ほんとだ。シミュレーションと一致した。
- 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 14:11:14 ID:ddMlrvcN.net]
- P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=1399/180=7.772222...
- 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 15:09:55 ID:U3HOlh4d.net]
- >>737
100万回シミュレーション結果 7.3ぽいね。
> k=1e6
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 7.300615
- 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 17:50:49 ID:ddMlrvcN.net]
- >>743 訂正
P(n)=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
E=Σ[k=3,∞]kP(k)=73/10
- 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(木) 18:20:32.98 ID:fHSLdc4D.net]
- >>745
不正解
- 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 21:11:11 ID:ddMlrvcN.net]
- >>746
何故>>745だけなんですか
- 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:18:49 ID:fHSLdc4D.net]
- >>747
計算機に入れてみた
- 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:23:54 ID:y8hLNrTr.net]
- p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [p n| n<-[3..10000]]
-------
0.9999999999999996
- 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 22:28:30 ID:y8hLNrTr.net]
- あ、失礼しました。
コード間違ってた。
正解でした。
p n=(3/6)*((3/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1))+(1/6)*((5/6)^(n-1)-(2/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))+(2/6)*((4/6)^(n-1)-(1/6)^(n-1)-(3/6)^(n-1))
main = do
print $ sum [(fromInteger n)*(p n)| n<-[3..10000]]
------------
7.300000000000009
- 791 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/12(木) 23:26:10.85 ID:V/f7Uy6p.net]
- >>735
大学入試ではこの手の出題は御法度
なぜなら終わらないことを試行としてはいけないから
- 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/12(Thu) 23:59:54 ID:y8hLNrTr.net]
- >>751
ココ入試レベル縛りないでしょ？
むしろ入試レベルじゃ満足しない人の方が多
- 793 名前：いのでは？ []
- [ここ壊れてます]
- 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 00:11:24.13 ID:2BG+LT6A.net]
- >>751
ん？終わるでしょ。
- 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 00:13:44.72 ID:IbYZYELm.net]
- 入試レベル
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数の期待値は？
期待値が範囲外になったので入試では使えないけど。
- 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 07:34:24.77 ID:ZlFDi94b.net]
- >>754
１０万回シミュレーション
balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
picked=NULL # 取り出された玉の配列
flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
sim <- function(){
while(flag==FALSE){
i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
}
sum(picked==2) # 取り出された白玉の数を返す
}
k=1e5
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 5.24854
- 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 07:51:51.90 ID:ZlFDi94b.net]
- >>755
白玉の個数の分布をグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/sd8l1wQ.jpg
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 5.00 6.00 5.25 6.00 6.00
５．２５が答みたいだなぁ。
解析解は賢者にお任せ。
- 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 08:23:45.26 ID:l20VjRfO.net]
- 〔補題〕
0<p≦1 とする。
確率pで事象Aが起こるような試行を繰返し行なう。
初めて事象Aが起こるまでに試行した回数nの期待値は 1/p.
(略解)
E{n} = p {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= {1 - (1-p)} {1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + ････ }
= 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ････
= 1/p.
- 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 08:35:28 ID:9IyekctU.net]
- XiをX≧iのとき1、そうでないとき0と定めてq=1-pとすれば
E(X)
=ΣE(Xi)
=Σq^(i-1)
=1/(1-q)
=1/p
- 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 11:33:57.90 ID:l20VjRfO.net]
- 最後の赤玉が出たのがn回目とする。(7≦n≦18)
・(n-1)回目までに取り出す白玉/黒玉はn-7個で、 Ｃ[11,n-7] とおり。 (*)
・取り出すn個が決まったとして、順番を入れ替える方法は
1〜(n-1)回目 (n-1)! とおり
n回目 7 とおり
(n+1)〜18回目 (18-n)! とおり 〔実際は取出さないが･･･〕
これらをを掛ければ
Σ[n=7,18] 7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[11,n-7]
= 11!Σ[n=7,18] 7(n-1)(n-2)････(n-6)
= 11!Σ[n=7,18] {n(n-1)････(n-6) - (n-1)････(n-6)(n-7)}
= 11!(18!/11!)
= 18! (←当然)
次に、n回目までの白玉の数w の期待値を求める。
wを掛けてたすと (*)の所が 6Ｃ[10,n-8] となる。
Σ[n=7,18] 6･7･(n-1)!･(18-n)!･Ｃ[10,n-8]
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] 8(n-1)(n-2)････(n-7)
= (6･7/8)10!Σ[n=8,18] {n(n-1)････(n-7) - (n-1)････(n-7)(n-8)}
= (6･7/8)10!(18!/10!)
= (6･7/8)18!
∴ E{w} = 6･7/8 = 5.25
*)
7≦n≦12 のとき Σ[w=0,n-7] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
13≦n≦18 のとき Σ[w=n-12,6] Ｃ[6,w] Ｃ[5,n-7-w] ････
- 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 11:56:03 ID:l20VjRfO.net]
- (n-1)回目までの白玉の数wの分布は >>756
P_w = (7!/13!)(w+1)(w+2)(w+3)(w+4)(w+5)(w+6),
Σ[w=0,6] P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] (w+1)(w+2)････(w+6)
= (6!/13!)Σ[w=0,6] {(w+1)････(w+6)(w+7) - w(w+1)････(w+6)}
= (6!/13!)(13!/6!)
= 1.
E{w} = Σ[w=1,6] w･P_w = (7!/13!)Σ[w=0,6] w(w+1)(w+2)････(w+6)
= (7!/13!)Σ[w=1,6] (1/8){w････(w+6)(w+7) - (w-1)w････(w+6)}
= (7!/13!)(1/8)(13!/5!)
= (7･6/8)
= 5.25
- 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 12:21:36 ID:eu0owVym.net]
- >>760
正解！
想定解出してもいいけど実はある事に気づくと数行で終わります。
- 803 名前：どうしよう？
夜まで待ってみますね。 [] - [ここ壊れてます]
- 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 12:49:17 ID:l20VjRfO.net]
- 白玉の個数wの分布
0個 1個 2個 3個 4個 5個 6個
1/1716, 7/1716, 28/1716, 84/1716, 210/1716, 462/1716, 924/1716
0.06% 0.41% 1.63% 4.90% 12.24% 26.92% 53.84%
- 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:11:02.52 ID:m1uM3VjH.net]
- 黒玉は無視
赤玉7個を並べておき、その前後と間の8ヶ所に白玉6個をランダムに入れていく（重複あり）
赤玉の後ろに白玉がいくつあるかを考えるとき、白玉1個につき期待値1/8となるので6個なら6/8=3/4
従ってそれ以外のところにある白玉の個数の期待値は6-3/4=5.25
- 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:12:33.86 ID:eu0owVym.net]
- >>763
それです。
お見事。
- 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 13:14:30.61 ID:m1uM3VjH.net]
- 赤玉の後ろ以外にいくつあるかを考えるとき白玉1個につき期待値7/8なので6個なら6*7/8=5.25でよかったわ
- 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 14:10:27.98 ID:qPbrkgFl.net]
- >>754
P(k)=Σ[k=0,6]Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=kP(k)=21/4
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/13(金) 15:04:09.49 ID:eu0owVym.net]
- >>766
さすがにダメやろ。
いくら原理的にはコレ計算したらできるって立式を書いても、その計算が最低目で追えるものを見せないと正解とは認定されない。
- 810 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/13(金) 15:27:09.74 ID:Pzzsy05r.net]
- 最小交点数がｎの結び目は何種類あるのか。
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