- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net]
- 過去ログ置き場(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3～6「datが存在しません。」
7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて～な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
- 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 01:08:39.46 ID:5azt0L51.net]
- >>427
いや、nが大きいほど簡単でしょ？
n=3のときのfはすぐできる。
n=2のときにfが作れるのか？が問題。
最小値は3 or 2。
- 449 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 01:18:51.36 ID:ZlcMzP2c.net]
- R^2の点をpathconnected componentが1点になるようないくつの部分集合に分けられるかか
R^1なら有理数と無理数でイイから
A={(x,y) | x, y∈Q} B=R^2-A
でよくない？
アーダメかy=eがB内だわ
4つに分けて
A=Q^2 B=Q×I C=I×Q D=I×I（I=R-Q）
ならいいでしょ
p1,p2:R^2→R
につなげたらいいから
しかしn=2,3でダメということはどう言えば良いのか？
- 450 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 01:19:22.97 ID:ZlcMzP2c.net]
- >>428
>n=3のときのfはすぐできる
どう作る？
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 01:25:15.55 ID:Ft3883nd.net]
- 某大学入試過去問改
東西に10本、南北に3n+1本の道路が碁盤の目状に走った町がある。
この町の道路は最南端にある東西に走る道路を南から順に東西0号線から東西9号線、南北に走る道路を西から順に南北0号線から南北3n号線と呼ぶ。
3の倍数3kに対し南北3k号線、東西0、3、6、9号線は大通り、その他は生活道路と呼ばれる。
各交差点には以下のような規則が定められている。
・生活道路と大通りの交差点においては、生活道路から進入する場合には左折して大通りに合流する事のみしか出来ず直進、右折はできない。大通りから進入する場合には左折して生活道路にはいるか、そのまま直進する事はできるが右折は禁止である。
・大通り、生活道路どうしの交差点では右左折、直進すべて可能である。
この町の南西端をX、北東端をYとするときのXからYへ規則に従う最短経路の数を求めよ。
原題はn=7の場合です。
- 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/1
]
- [ここ壊れてます]
- 453 名前：8(火) 01:28:23.19 ID:luj3t+bp.net mailto: >>430
有理数×有理数は1,
有理数×無理数、無理数×有理数は2、
無理数×無理数は3にする。
コレでいけるはず。 [] - [ここ壊れてます]
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 01:32:38.77 ID:kCgJRMKU.net]
- あ、だめだ。
これだとずっと2になるかのうせいがある、
有理数×有理数は1,
有理数×無理数は2、
無理数×有理数は3、
無理数×無理数は4にする。
コレは絶対いける。
なので最小値は2か3か4。
- 455 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 01:49:36.24 ID:CSeACSeT.net]
- >>428
あーそういう感じなのか？
2の時はダメだと言えて
3とか4とかどうなるのか、って方向性になるかなと思ったけど
- 456 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 01:52:29.08 ID:CSeACSeT.net]
- >>433
あ、確かにそれで終わりだね
サンクス
- 457 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 02:48:18.10 ID:MiO5cL7u.net]
- >>424
n=1,2,……の時の答えをぶち込んでなんか出てきたらラッキー
- 458 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 04:18:00.50 ID:JQdcAHMa.net]
- 前>>423
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。
- 459 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 04:20:07.76 ID:JQdcAHMa.net]
- 前>>437訂正。
>>431
1本。
Xから東西0号を東へ。南北3n+1号との交差点を左折し北へ。Yに着く経路。
- 460 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 04:25:37.43 ID:JQdcAHMa.net]
- 前>>438訂正。大通り右折できるわ。
>>431
Xから東西0号を東へ。南北Σn[n=1→3n+1]号との交差点を左折し北へ。適宜右折してYに着く経路。
∴(3n+1)^2通り
- 461 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 05:15:28.51 ID:JQdcAHMa.net]
- 前>>439訂正。生活道路も掛けてた。
>>431
(n+1)^2通り
- 462 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 05:18:33.06 ID:JQdcAHMa.net]
- 前>>440訂正。
>>431
11(n+1)通り
- 463 名前：イナ mailto:sage [2020/02/18(火) 05:20:21.05 ID:JQdcAHMa.net]
- 前>>441
>>431
4(n+1)通り
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 10:09:53.29 ID:emC4HTnA.net]
- >>431
これは、どうやってシミュレーションするかなぁ。
とりあえず、ｎ＝７のときで道路を作図
https://i.imgur.com/fJDSrQo.jpg
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 10:17:10.65 ID:emC4HTnA.net]
- >>443
大通りの太さを区別してなかったので修正。
https://i.imgur.com/Qd8amyw.jpg
- 466 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 10:33:27.55 ID:ZlcMzP2c.net]
- >>444
NG
- 467 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 10:50:53.56 ID:ZlcMzP2c.net]
- 南から大通りに入る生活道路は全部カット（最短で進めないから）
大通りから東に入る生活道路も全部カット（最短で進めないから）
あとは自由に考える
大通りで囲まれた区画でなら
1+4C2=7通り
これを
左端の大通りは１
それ以外の南北の大通りが6
東西の大通りは１
で考えたら良いのではないかね
- 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 10:51:47.78 ID:emC4HTnA.net]
- >>444
南北にも大通りがあったので再度、修正。
https://i.imgur.com/7m5ZV3y.jpg
- 469 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 11:03:18.75 ID:ZlcMzP2c.net]
- 大通りの直進左折右折で変わるから>>446だと考えにくい
左から直進が1通り
左から左折が6通り
下から直進が1通り
下から右折が1通り
これで考えるんだな
あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
- 470 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/18(火) 11:11:53.12 ID:ZlcMzP2c.net]
- >>448
>あるいは大通りの交差点に下から入る処と右に出るところの路線数で考えるか
書きやすく南北逆転させてみたら
１ １ １ １ １ １ １
１ ６ ６ ６ ６ ６ ６ ６
１ ７ 13 19 25 31 37
１ 12 48 84 19*6+6-120
１ 13 61 61+84=145
こんな感じか
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 12:05:42.55 ID:bKAplv3x.net]
- 「遠回りしない」という条件の下、東西、および、南北の0号、3号で囲まれる
3×3の区画内のいずれかの生活道路を使用する場合、
(1,0)か(2,0)から進入し、(3,1)か、(3,2)から出る場合しかなく、合計5通りある。
つまり、生活道路同士の交差点、(3p+s,3q+t) (s,t=1,2)を利用する場合、
必ず、大通り同士の交差点(3p,3q)と(3p+3,3q+3)を利用している。
題意の条件に従い、通った大通り同士の交差点のみをプロットし、結ぶと、
“横に変化”、“上に変化”、“斜めに変化”の三通りに分類できる。
“斜めに変化”の回数がk回だとすると、“横に変化”は、n-k回、“上に変化”は3-k回となる。
斜めに変化の場合、生活道路の通り方で、5通りあるので、
Σ[k=0,3] 5^k*((n-k)+(3-k)+k)!/{(n-k)!*(3-k)!*k!} で計算できることが判る。
答え 36n^3-54n^2+36n+1
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 13:29:45 ID:QuEz/3Tk.net]
- >>450
正解
ちなみに東西線3m+1本、南北線3n+1のときは
Σ[0≦i≦m]C[m,i]C[n,i]6^i
(ただしj<kのときC[j<k]=0とする)
になります。
>>450さんの証明よく読めばできます。
ちなみに超幾何関数というのを使って
3F2(-m,-n,1;6)
とも表示されます。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Hypergeometric2F1%28-3%2C-x%2C1%2C6%29&lang=ja
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 17:04:26 ID:bKAplv3x.net]
- なるほど。ということは、
Σ[k=0,m] C[m,k]*C[n,k]*(x+1)^k = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]*C[n,k]*x^k
が成立しそうですが、証明はどうやるんだろう．．．。
- 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 18:34:17 ID:06v9pOD9.net]
- 自然数nに対してm=C[n+1,2]変数の多項式Pn(x[12],‥,x[n-1,n])で次の条件を満たすものが存在する事を示せ。
n次元ユークリッド空間の点p0,‥pnに対し、その凸包をK、m個の正の実数a[12],‥,a[n-1n]をd(pi,pj)を並べたものとするとき
vol(K)^2=Pn(a[12],‥,a[n-1n])
が成立する。(高次元のヘロンの公式)
またこの時次が成り立つ事を示せ。
実数の組みa[12],‥,a[n-1n]が任意の{1,‥,n}のk元集合Sと添字がSに入るC[k2]個のa[ij]を選ぶとき
Pk(a[ij])>0
が成立するときn次元ユークリッド空間の点p0,‥pnでa[12],‥,a[n-1n]がd(pi,pj)を並べたものと一致するようなものがとれる。(高次元の三角不等式)
例
p1(x)=x
P2(x,y,z)=(1/16)(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)
でn≦2では成立しています。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/18(火) 23:44:09 ID:8DNhS0j5.net]
- >>399
n=3の時は、f(x,y)の値を
1 (xもyも有理数の時)
2 (xとyの片方だけが無理数)
3 (xとyの両方無理数)
とすれば良い。fpの値が1か3で定数の場合は明らかにpも定数。
fpの値が常に2である時、pが定数でないと仮定。すると、任意の有理数qについて
C(q):=p^(-1)({q}×R) も C'(q):=p^(-1)(R×{q}) も区間[0,1]の閉集合になる。したがって
[0,1]=∪_(q:有理数) C(q)∪C'(q)
は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
そのような分割は不可能であるため矛盾。
- 476 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/19(水) 00:40:12 ID:v8JOxEBI.net]
- >>454
>は閉区間[0,1]の、可算無限個の非交和な閉集合によな分割を与えるが、
[0,1]=[0,1]∪Φ
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 02:37:51.22 ID:eq0pwpep.net]
- >>452
(1+xz)^n = Σ[i=0,n]C[n,i]x^i z^i
(1+z)^m = Σ[j=0,m]C[m,j]z^j
(1-z)^(-n-1) = Σ[j=0,∞]C[n+j,j]z^j
より
(1+xz)^n (1+z)^mのz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[m,m-k]C[n,k] x^k
(1+xz)^n (1-z)^(-n-1)のz^mの係数 = Σ[k=0,m] C[n+m-k,m-k]C[n,k] x^k
だから
f(z) = (1+z+xz)^n (1+z)^m/z^(m+1)
g(z) = (1+xz)^n (1-z)^(-n-1)/z^(m+1)
のz=0における留数が等しいことを示せばよい。
これはz=t/(1-t)と置くとf(z)dz=g(t)dtより明らか
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 08:32:16.66 ID:WE6EaV92.net]
- >>455
例えば C(q)=[0,1] の場合、pの第一成分が常にq、第二成分が常に無理数をとる訳だけど、
その場合は第二成分も定数でなければならないから、結局pも定数関数であることが
- 479 名前：わかる。
C'(q)の場合も同様。 [] - [ここ壊れてます]
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 16:44:13 ID:z1VUWsY5.net]
- >>455
の反例は乗り切ってるかもだけど[0,1]が高々可算無限個の非自明な非交和になり得ないは正しいのかな？
反例も証明も分からん。
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 16:47:27 ID:k7LsatWJ.net]
- >>412
イナさんは
おじさん(♂)だったんですか？
- 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 16:58:02 ID:k7LsatWJ.net]
- Ｑ.１，２，４，８、・・・、２＾ｎという数列から１つ数を選んだとき、その最高桁が１となる確率はいかほどか？
(初めから無限個の集合で考えなくてもＯＫです
ｎを有限としてｎ→∞としてもかまいません)
- 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 18:08:33 ID:z1VUWsY5.net]
- log[10]2、
ちな最高位が3の確率？はlog[10](3/2)
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 18:12:58 ID:eq0pwpep.net]
- >>460
jlog2(10)≦i<jlog2(10)+1を満たす整数iはjに対して必ず1つ存在するので
2^nがm桁の数とすると{1,2,4...,2^n}にはm個の最高桁が1となる数が存在する
この確率はm/(n+1)=ceil(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでceil(x)はx以上の最小の整数
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 18:23:32 ID:eq0pwpep.net]
- >>462 訂正
m/(n+1)=floor(nlog10(2)+1)/(n+1) ここでfloor(x)はx以下の最大の整数
- 486 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/19(水) 18:42:24 ID:v8JOxEBI.net]
- >>458
閉集合だと無理だと「現代数学の系譜・・・」スレでやってた
- 487 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/19(水) 18:48:36 ID:zH0JvmWI.net]
- /＿/＿/人人_/＿/＿/＿
/＿/_（＿^_)/＿/＿/＿
/＿/_（＿＿)/＿/＿/＿
/＿/_（ (^o)/＿/＿/＿
/＿/_（＿っ-┓_/＿/＿
/＿/_◎ﾞ┻υ◎ﾞ/＿/＿/＿/__/__/__/__/__/＿/＿/＿/＿/＿/あのどろだらけのすに～かぁじゃ～♪ ぉいこせない～の～わぁ～♪ ごめん、>>423の前>>417だった。
前>>442でんしゃ～でも♪ じかんでもなく♪ ぼくかもしれなぃ～け～ど～♪ ♪♪
- 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 19:11:43.18 ID:maZgQuwo.net]
- >>458
さすがに省略しすぎてしまった、申し訳ない
>>454 の補足
閉区間[0,1]が、可算無限個の空でない閉集合により
[0,1]=∪_(n=0,1,…)C'_n (ただし 0∈C_0, 1∈C_1, n≠mならばC_n∩C_m=φ とする)
と分割されると仮定。
ここで、数列{a_n}, {b_n}を次のように定める。
まず、区間[0,1]におけるC_0∪C_1の補集合の、連結な部分集合を与える開区間(a_1,b_1)を１つとる。
つまり、a_1,b_1∈C_0∪C_1 であることに注意。
(i)nが奇数の時、a_(n+1)=a_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = min((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
（開区間(a_n,b_n)の両端はどちらもある C_m' (m'<m) の元であるため、
(a_n,b_n)∩C_m = [a_n,b_n]∩C_m. よってminが存在。）
(ii)nが偶数の時、b_(n+1)=b_n とする。また、(a_n,b_n)∩C_m が空でないような最小のmをとり、
b_(n+1) = max((a_n,b_n)∩C_m) と定める。
以上のように定めた数列{a_n}, {b_n}は a_n<a_(n+2)<b_(n+2)<b_n を満たすため、どちらもn→∞で収束。
しかし、例えばa_nの極限Aは全てのn≧1について A∈(a_n,b_n) を満たすため、
どの C_n (n≧1) にも属さない。よって矛盾。
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 19:40:12.87 ID:maZgQuwo.net]
- >>466 で変なところに C'_n が出てきてるけど、これは普通に C_n として処理してくだせえ…
余談ではあるけど、>>399 の問題におけるR^2を全てR^mで置き換えてできる問題を考えれば、
同様の方法で、求めるnの最小値は2以上(m+1)以下の整数であることがわかる。
具体的には、関数 f:R^m→{1,2,…,m+1}を
f(X)=1+(Xの成分のうち有理数であるものの個数)
と定めれば、>>454 と同様の方法で(fpが定数ならばpも定数)を示せるはず。
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 21:08:37.40 ID:2hWCM518.net]
- >>463
解答例は現在ガロアスレで絶賛展開中です。ご参考下さい。
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 02:45:46.65 ID:Nvc8ojbF.net]
- >>456
御下賜ありがとうございます。
当初、目が点状態でしたが何とかフォローできました。
二重、三重に驚きました。鮮やかな手法に恐れ入るばかりです。
>>これはz=t/(1-t)と置くと
恐らく、z=t/(1+t) のミスだったのではないかと思います。
他の方の為に、記しておきます。
- 492 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 03:10:19.22 ID:w9za8ANa.net]
- 正の整数a,bを互いに素とする。
ある非負整数x,yがあってn=ax+byと書ける時nは良い整数であると定義する。
正の整数であって良い整数でないものの個数をa,bで表せ。
- 493 名前：イナ mailto:sage [2020/02/20(木) 03:38:19.26 ID:PRyo8w16.net]
- 前>>465
>>470
正の整数でax+byと書けないものは、1,2
∴2個
- 494 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 06:56:18.29 ID:g3Lggi6S.net]
- まずは定数と変数の違いを理解できるようにしよう
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(Thu) 09:19:34 ID:BWBgHqRp.net]
- (a-1)(b-1)/2
- 496 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 09:53:59.67 ID:TZOsntWL.net]
- >>470
>正の整数であって良い整数でないものの個数をa,bで表せ。
(a,b)>1の時は無限大
(a,b)=1の時は面倒くさい
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 10:35:13.96 ID:bZRqCWPO.net]
- nが良くない整数、かつn+a,n+bのどちらも良い整数である時、
n+a=bm, n+b=ak より a(k+1)=b(m+1).
これよりk=bk'-1であるから
n=a(bk'-1)-b.
nの良くない性より n≦ab-a-b であるから、k'=1.
以上から、任意の良くない整数 n<N:=ab-a-b について、n+a,n+bの少なくとも一方は良くない整数。
したがって、0≦n≦N を満たす整数nについて、nが良くない整数ならばN-nは良い整数であることが導ける。
また、N=N-0が良くない整数であることと、
(N-nが良くない整数ならばN-(n+a)もN-(n+b)も良くない整数である)ことから、
0≦n≦N を満たす整数nについて、nが良い整数ならばN-nは良くない整数であることが導ける。
以上の議論から、整数n∈[0,N]について、nとN-nの片方だけが良くない整数であることがわかる。
ゆえに、求める個数は(1+N)/2=(a-1)(b-1)/2.
- 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 11:03:06.57 ID:bZRqCWPO.net]
- >>399 の類題と言えるかも知れない問題、こちらも出題者には未解決
実数全体からなる集合をRとおく。Rの任意の部分集合Aについて、次の主張は成り立つか：
Aの補集合とAの少なくとも一方は、Rの非可算な閉部分集合を含む。
- 499 名前：哀れな素人 [2020/02/20(木) 11:27:45.80 ID:Wd/N0aBi.net]
- 実数全体からなる集合などというものは存在しないし、
実数は非可算ではない（笑
- 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 11:28:07.68 ID:BWBgHqRp.net]
- >>476
R={有理数}∪{無理数}でよくない？
{無理数}が閉集合Fを含むとするとU=R＼Fは{有理数}を含む開集合で{有理数}はdenseだからU=R。
∴{無理数}が含む閉集合は空集合のみ。
- 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 11:33:43.06 ID:BWBgHqRp.net]
- >>478
はダメだ。吊ってくるorz
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 12:02:15.00 ID:bZRqCWPO.net]
- >>478
一応説明しておくと、例えば無理数の部分集合を
{x∈[0,1] : xを２進展開した時、小数点以下第(2n)位はnが平方数の時1、それ以外の時0}
等と定めればこれはカントール集合と同相になります
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 12:27:18.70 ID:BWBgHqRp.net]
- >>480
カントール集合って閉集合だっけ？
- 504 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 12:55:06.08 ID:w9za8ANa.net]
- >>475
正解です
- 505 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 12:55:54.20 ID:w9za8ANa.net]
- >>471
？？
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/20(木) 13:35:30.57 ID:bZRqCWPO.net]
- >>481
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Perfect_set
のExampleや、カントール集合の記事の『歴史的注意』にある通り、閉集合。
- 507 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 19:32:41.29 ID:g3Lggi6S.net]
- >>454
これってx,y,の両方が無理数の時と
それ以外の場合で分けてやっても同じようにpが定数は言えないの？
- 508 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 19:36:55.61 ID:g3Lggi6S.net]
- まあ
- 509 名前：カントール集合って構成的に閉集合の共通部分だし []
- [ここ壊れてます]
- 510 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 20:52:25.56 ID:TZOsntWL.net]
- >>485
可算
- 511 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/20(木) 20:56:26.46 ID:TZOsntWL.net]
- Rを稠密で内点のない2つの連続濃度の部分集合に分割して欲しい
- 512 名前：イナ mailto:sage [2020/02/20(木) 22:13:26.57 ID:PRyo8w16.net]
- (1/4845)(4Ｃ2)(16Ｃ1)(4Ｃ1)
=6･16･4/4845
=2･64/1615
=128/1615
=0.07952569659……
前>>148
∴約7.952569659％
- 513 名前：イナ mailto:sage [2020/02/20(木) 22:17:39.72 ID:PRyo8w16.net]
- 前>>498
スレ違いました。
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 01:00:23.38 ID:mdcv3RW3.net]
- >>485
その場合、p:[0,1]→R^2を例えば p(t)=(0,t) と定めた時にp(t)がずっと R^2-{無理数}^2 に属することになるね
- 515 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 08:23:47 ID:WqlF6ncx.net]
- 無理数集合はR上の閉集合の可算和では書けないことを証明せよ
- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 10:03:34.87 ID:mdcv3RW3.net]
- >>492
R\Q=∪_(n≧1) C_n と可算個の閉集合に分割できたと仮定。
0以上1以下の全ての有理数を {q_n}_(n≧1) と番号づけすると、
∪_(n≧1) ((C_n∩[0,1])∪{q_n}) = [0,1]
により、可算個の閉集合による区間[0,1]の非自明な分割が与えられてしまい、>>466と矛盾。
- 517 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 11:34:54 ID:WqlF6ncx.net]
- >>493
なるほど素晴らしい
想定解はベールのカテゴリー定理を使うものでした
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 11:43:38 ID:+4K3m1jQ.net]
- >>494
想定解ギボン
- 519 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 12:25:40 ID:WqlF6ncx.net]
- >>495
R\Q=U_{n∈N} C_nと可算和で書けたとする
Q= {q_n}_{n∈N}とすると
R=U_{n∈N} (C_n ∪ {q_n})となる
ここでRは完備距離空間より
ベールのカテゴリー定理「空でない完備距離空間は内点を持たない閉集合の可算和にはならない」
から、あるC_nは内点を持つがC_nはR\Qの部分集合のため矛盾
- 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 13:09:10.57 ID:mdcv3RW3.net]
- >>476 はどうやら否定的に解決されてるみたいだ…Bernstein集合が反例になっている
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bernstein_set
Bernstein集合の存在性については、下のpdfの定理3.7で示されている
https://yamyamtopo.files.wordpress.com/2017/07/ukeru_gene_topo.pdf
そして多分同じ手法で、>>399の答えが2であることもわかる。
ポイントは、（非可算な）閉集合全体からなる集合の濃度が、R^2と同じ連続体濃度である、ということ。
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 13:55:03.32 ID:+4K3m1jQ.net]
- >>497
そのポイントから>>399の答えが2になる事をも少しkwsk
- 522 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 14:37:11.55 ID:4drFG/zF.net]
- 連続と離散を統一した！
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0
R* := R ∪ { e }
(0 ≠ e ≠ dx)
a + e = a = a – e (a ∈ R)
ne = e (n ∈ Z)
応用例：
Vistaかwin7のファイルの表示方法を設定するメニューがその例です。
- 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 16:10:15.80 ID:mdcv3RW3.net]
- 色々整ったので>>399の答えが2であることを示します。
ちなみにR^2からR^nに変えても同様で、答えが2であることも言えます。
R^2は可算な開基を持つので、R^2の開集合の個数は連続体濃度。
よって、R^2の閉集合全体からなる集合の濃度も同じく連続体濃度である
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
Pの各元が閉集合であるため、同じく連続体濃度を持つ。
これより、連続体濃度を持つ最小の基数をΩとおくと、PからΩへの全単射ωが存在。
超限帰納法により、R^2の点列 {a_p}_(p∈P), {b_p}_(p∈P) であって、
任意のp∈Pについて a_p≠b_p かつ
a_p, b_p ∈ p＼∪_(p'∈P, ω(p')<ω(p)){a_p',b_p'}
を満たすものが存在。
（任意のp∈Pについてpは連続体濃度を持つことと、
p'∈P であって ω(p')<ω(p) を満たすものの個数は連続体濃度未満であることに注意。）
B={b_p:p∈P} とおけば、任意のp∈Pについて
b_p∈p∩B, a_p∈p∩(R＼B)
を満たすので、これを用いて関数 f:R^2→{1,2} を
f(X)=1 (X∈Bの時), 2 (それ以外)
と定めれば良い。
- 524 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 16:34:43.55 ID:fwC6A4r9.net]
- >>500
BとR＼Bで>>488の例になるかな
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 17:20:15 ID:mdcv3RW3.net]
- >>501
BもR＼Bも、どの弧とも共通部分を持たなければならないことを考えると、なると思う
でも、そのような例であれば他にも
Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合みたいな分割はできそう
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 17:35:15 ID:+4K3m1jQ.net]
- >>500
まって。よくわからない。
b_pを構成するところにもfが出てくるけどコレは我々が作らないといけない関数f:R^2→{0,1}のfとは別物だよね？
目標としてる命題は
∃f:R^2→{0,1} ∀p:[0,1]→R^2 ‥‥
だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
- 527 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 17:35:42 ID:fwC6A4r9.net]
- >>502
>Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合
なーるほど
ありがとう
- 528 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 17:37:06 ID:fwC6A4r9.net]
- >>503
>だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
まずBを作ってそこからｆを作ってるから大丈夫
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 17:42:40 ID:+4K3m1jQ.net]
- >>505
Bを作る時にPが出てきて、そのPはfから来てるけど、fは[0,1]からR^2への連続関数で好きなものとってくるの？
- 530 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 18:03:08 ID:fwC6A4r9.net]
- >>506
納得いかないならPを定義しているところのｆはｇにでも名前変えてみたら？
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 18:03:59 ID:+4K3m1jQ.net]
- >>507そのgはどんな関数を使ってもいいんですか？
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 18:07:10 ID:+4K3m1jQ.net]
- わかった。
連続写像の像として得られる閉集合の全体がPか。
なるホロ
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 18:10:46 ID:+4K3m1jQ.net]
- なるホロ、理解できた！
素晴らしい！
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 19:40:02.37 ID:tq3pzDtc.net]
- やべえ、fを複数箇所で使っちまった
必要であれば>>500は以下のように訂正して読んでください
誤
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
正
ゆえに、区間[0,1]からR^2への定数でない連続写像の像全体からなる集合Pは、
- 535 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 19:44:26.08 ID:c3JnyBXm.net]
- 一辺10[m]の正方形ABCDのプールがある
点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない
点Aから正方形の中心まで泳ぐのに掛かる最短時間を求めよ
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 20:03:43.60 ID:+4K3m1jQ.net]
- >>512
> 点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない
コレはその地点ではどっちの向きを向いていてもr/10？
Dに向かっていようがいまいが？
- 537 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 20:24:20.47 ID:TVsWXWvp.net]
- >>513
とりあえず問題文の通りどの向きでもr/10
さすがに向きによってスピード変わると難しくなる
そんな湧き出し方が現実に存在するかどうかは知らん
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 21:07:21.95 ID:+4K3m1jQ.net]
- >>514
なるほど。
じゃあ測地線求めよみたいなもんなのかな？
- 539 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 21:21:12.09 ID:fwC6A4r9.net]
- >>513
無意味な文章題だよな
こんな問題出題したら大顰蹙だ
- 540 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 22:20:28.44 ID:TVsWXWvp.net]
- >>515
測地線というより断面積最小化かな
>>516
まあじゃあ湧き出しじゃなくて場所によって水質や重さが違うってことにしてくれ
- 541 名前：イナ mailto:sage [2020/02/21(金) 22:32:56.90 ID:aeOjnxR9.net]
- 前>>490
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって弧を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──①
距離について、
1･t-(1/2)at^2=2π･5(1/4)t-at^2/2=5π/2
2t-at^2=5π
- 542 名前：①を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=5π
(1+1/√2)t=5π
t=5π/(1+1/√2)
=5π√2/(√2+1)
=5π√2(√2-1)
=π(10-5√2)
=9.20151185……(秒) [] - [ここ壊れてます]
- 543 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 22:49:36.41 ID:TVsWXWvp.net]
- >>518
不正解
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 22:55:38.65 ID:0m7ajDhv.net]
- >>517
断面積？
中心をE、AからEへのpathをp(t)(0<t<1)として所要時間は
T=∫[0,1] 10/r |x'(t)|dt
だから計量が
ds^2=(dx^2+dy^2)/r^2
のときの測地線を求めよになるのでは？
- 545 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 23:03:16.38 ID:TVsWXWvp.net]
- >>520
失礼しました
f(x)=1/||x||のグラフ上で線積分をしてるから断面積を最小化するという考えです
たしかにそれなら測地線問題ですね
- 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/21(金) 23:03:35.42 ID:BKwvheo5.net]
- >>512
Dを原点として極座標(rcosθ,rsinθ)を取り
曲線θ=f(r), 5π/4=f(10√2)=f(5√2)上を泳ぐときの時間は
T(f)=∫[5π/4,10√2]√((cosθ-rsinθdθ/dr)^2+(sinθ+rcosθdθ/dr)^2)/(r/10)dr
=10∫[5π/4,10√2]√(1/r^2+(f'(θ))^2)dr
この最小値はf'(θ)=0のときで
minT(f)=10∫[5π/4,10√2](1/r)dr
=10log2
- 547 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 23:11:34.45 ID:TVsWXWvp.net]
- >>522
不正解です
f’=0の場合、境界条件を満たしません
- 548 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/21(金) 23:15:31.64 ID:BKwvheo5.net]
- すまん、CとDを間違えた、522は取り消し
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