- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net]
- 過去ログ置き場(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3～6「datが存在しません。」
7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて～な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 17:31:29.03 ID:31X3KU8h.net]
- >>218
m人が残っていているとき、このうち何人分の正しい席が残っているかと考えると、
m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
なぜそのようなことが言えるか？
m人、残っている状態で、ある人物Ｘがいて、自分の席に座ろうと、自分の席があるであろう場所に向かい、
他の生徒が座っているのを見たとする。問題では、全ての生徒が気弱設定なのかもしれないが、この人物Ｘは
たまたま強気で、「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」と追い出したとする。
この追い出された人物は、『自分だって本当の席に座りたかったんだ』と心の中で反論し、本当の自分の席に
向かい、さっき自分が言われたのと同じ台詞「この番号札を見ろ。ここは俺の席だ。どっか行け。」を言って、
憂さを晴らした。これが繰り返されるとどうなるか？
最初にバスに乗り、適当に座った人物、以後これをＡと称すが、Ａだけが追い出される。
この追い出し作業の間、空席には、全く変化は無いし、Ａ以外、全て正しい席に座っている。
困ったＡは、残った席の中から、適当な席を見つけて座ったとする。
さて、ここで、Ａが座った席。これを、文頭で登場した人物Ｘを、問題通り気弱設定にして、
自分の席が他の人物に占拠されていて仕方なく適当に選んだ席に置き換えてみよう。
何が違うか？何も変わらない。
問題では、バスに最初に乗り込んだ人物が、自分の席が書かれた番号札を無くしたことになっているが、
残り、m人が残っている状態で乗り込んだ人物が、番号札を無くしていたのと同じ。
最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 17:35:02.88 ID:31X3KU8h.net]
- あ、間違った。
×：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
×：かつ、残りの席から、間違った席を選んだ確率に等しい。つまり、１／２である。
○：最後に登場した人物に正しい席が残されている確率は、最後から二番目の人物が、番号札を無くしていて、
○：かつ、残りの席から、正しい席を選んだ確率に等しいとして計算できる。つまり、１／２である。
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 17:52:28 ID:pAXGuv7W.net]
- >>223
>>222 の解答を丁寧に書くと
人数がn人のときの最後の人が自分の席に座る確率をp[n]として帰納法を用いる
n=2のとき明らかにp[2]=1/2
n>2のときp[n-1]=...=p[2]=1/2と仮定すると
1人目が自分の席に座る確率 = 1人目が最後の人の席に座る確率 = 1/n, 1人目が2からn-1人目の席に座る確率 = (n-2)/n
・1人目が自分の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 1
・1人目が最後の人の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = 0
・1人目がk人目(2≦k≦n-1)の席に座るときの最後の人が自分の席に座る条件付確率 = p[n-k+1] = 1/2
従って
p[n]=(1/n)*1+(1/n)*0+((n-2)/n)*1/2=1/2
- 240 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/09(日) 18:41:02.01 ID:zmPDrO9K.net]
- >>222
>(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)
この場合
2人目～最後の置かれた状況は1人目～最後の場合と異なっているけど帰納法使えるってなんで？
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 19:24:31.42 ID:pAXGuv7W.net]
- >>231
1人目が2人目の席に座った場合、2人目は名簿を持っていないのと同じ状況になるから
- 242 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/09(日) 19:31:11.92 ID:zmPDrO9K.net]
- >>232
1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合の2人目の人はその可能性がないでしょ？
- 243 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/09(日) 19:32:38.31 ID:zmPDrO9K.net]
- ああそうか1人目の席に座る可能性があると言うことか
わかった
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 19:38:31.86 ID:pAXGuv7W.net]
- >1人目の人は自分の席に座る可能性があるけれど
その場合は最後の席まで問題なく正しく決まり、条件付き確率は1になる(だから解答は３つの場合分けをしてある)
- 245 名前：イナ mailto:sage [2020/02/09(日) 19:50:10.02 ID:glwDVnx4.net]
- 前>>227計算に自信ない。極値与えるθに理由ない。
救出時間f(θ)=5+{x-(10-x)cosθ/sinθ}(1/2)+(10-x)/sinθ
=5+x/2-(5-x/2)cosθ/sinθ+10/sinθ-x/sinθ
=5+x/2-5cosθ/sinθ+xcosθ/2sinθ+(10-x)/sinθ
f'(θ)={5sin^2θ-(-5cos^2θ}/sin^2θ+(-xsinθ2sinθ-xcosθ2cosθ)/4sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
=5/sin^2θ-1/sin^2θ+10cosθ/sin^2θ-xcosθ/sin^2θ
=4/sin^2θ+(10-x)cosθ/sin^2θ
f'(θ)の分子=0より、
2+5cosθ-xcosθ=0
xcosθ=2+5cosθ
x=2/cosθ+5
などかはしらねθ=60°と仮定すると、
x=2/(1/2)+5=4+5=9
f(60°)=5+{9-(10-9)cos60°/sin60°}(1/2)+(10-9)/sin60°
=5+(9-1/√3)(1/2)+√3/2
=5+9/2-1/2√3+√3/2
=19/2+1/√3
=(57+2√3)/6
=10.0773503……
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 20:18:42.13 ID:BHX2wTJj.net]
- >>236
心配するな。
お察しの通り間違ってる。
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 21:08:01.72 .net]
- >>218もグーグル入社試験？
- 248 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/09(日) 21:08:05.73 ID:zmPDrO9K.net]
- >>235
それも入れて2人目～で同じ状況でないといけないよ
で2人目には1人目の席に座る可能性があって
その場合が1人目が自分の席に座る場合と同様の展開になるってわけ
そのつもりでなかったの？
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 22:07:16.60 ID:SF8a8rkr.net]
- >>224
多分こんな感じの流れで示すことはできそう
(Δa)[i,j] := (a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1])/4
と定めると、(Δ^(2n))a を展開した時の係数は ( (cosx+cosy)/2 )^(2n) を展開した時の係数と同一視することができ、
特に e^(i(2px+2qy)) の係数 c[p,q] は次を満たす：
c[p,q]=0 when |p|+|q|>n,
c[p,q]=c[p,-q]=c[-p,q],
|p|≧|p'| かつ |q|≧|q'| ならば c[p,q]≦c[p',q'].
これより (Δ^(2n)a)[0,0] - (Δ^(2n)a)[2,0] の各係数の絶対値の和は
=2Σ_(p,q∈Z, p≧0) |c[p,q]-c[p+1,q]|
=2Σ_(q∈Z) c[0,q]
=:S_n→0 (as n→∞)
であるから、配列a[i,j]が Δa=a かつ任意の(i,j)について |a[i,j]|≦M を満たすならば、
|a[0,0]-a[2,0]|≦MS_n (for∀n) より a[0,0]=a[2,0].
同様にして a[i,j]=a[i,j+2]=a[i+2,j] が導けるから、あとは容易。
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 22:19:26.26 ID:BHX2wTJj.net]
- >>240
いや、残念ながら雨宮の問題で仮定できるのは正値だけ、上の有界性は仮定できないのです。
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 22:30:57.30 ID:SF8a8rkr.net]
- ちなみに
- 252 名前：この結果は、例えば原点以外だけで Δa=a を満たすような有界配列aを求める時にも使える。
この場合、そのようなaの具体例の一つは>>195で挙げられているのでa'とおくことにすると、
もし仮に原点以外だけで Δa=a を満たすような有界配列 a'' が a' とは別に存在するならば、
定数cを適切に定めれば a~:=a''-ca' が全ての格子点で Δa~=a~ を満たす有界配列になるため、a~は定数。
すなわち、a'' は a' と定数の線形結合でなければならない。
同様にして、あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
と表せることがわかる。 [] - [ここ壊れてます]
- 253 名前：イナ mailto:sage [2020/02/09(日) 22:31:22.31 ID:glwDVnx4.net]
- 前>>236
>>218
生徒数をxとすると、
1/2じゃないかな。勘で。
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 22:31:49.18 ID:SF8a8rkr.net]
- >>241 まじか、見落としてたすまない
- 255 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/09(日) 22:39:06.73 ID:zmPDrO9K.net]
- >>244
>>201
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 23:08:17.31 ID:BHX2wTJj.net]
- >>244
いえいえ、少なくとも有界ケースについては定数解しかないという話は雨宮の問題はともかく>>179の問題には使える。
何故ならオレは物理そんなに詳しくないから自信ないけど流石に系において各点の電位は正電極より低く負電極よりは高いのはほぼ自明と言って良さそう。
むしろ無限遠で電位が0の方がよっぽどあやしい。
だから実は>>179の問題解くにはキルヒホッフの法則とオームの法則以外にその辺の知識もいるっちゃいるんだよな。
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/09(日) 23:26:59.76 ID:pAXGuv7W.net]
- >>239
より丁寧に説明すると、誰も座ってない状況から
場合1: 1人目が1人目(自分)の席に座る場合 (全員正しい席に座れる)
場合2: 1人目が2人目の席に座る場合 (2人目がランダムに選ばなければならない)
場合3: 1人目が3人目の席に座る場合 (2人目は正しい席に座れて、3人目がランダムに選ばなければならない)
...
場合n-1: 1人目がn-1人目の席に座る場合 (2人目からn-2人目は正しい席に座れて、n-1人目がランダムに選ばなければならない)
場合n: 1人目がn人目(最後の人)の席に座る場合 (n人目は正しい席に座れない)
の場合分けを考えます。この場合の確率はすべて等しく
P(場合1)=P(場合2)=...=P(場合n-1)=P(場合n)=1/n
であり、最後の人が座れる条件付き確率は
P(n人目がn人目の席に座る|場合1)=1
P(n人目がn人目の席に座る|場合2)=p[n-1] (∵2人目がランダムに座る座席は1人目,3人目,...n人目のn-1席⇒n-1人の状況に還元)
P(n人目がn人目の席に座る|場合3)=p[n-2] (∵3人目がランダムに座る座席は1人目,4人目,...n人目のn-2席⇒n-2人の状況に還元)
...
P(n人目がn人目の席に座る|場合n-1)=p[2] (∵n-1人目がランダムに座る座席は1人目,n人目の2席⇒2人の状況に還元)
P(n人目がn人目の席に座る|場合n)=0
となります。そしてp[n]を計算すると
p[n]=P(n人目がn人目の席に座る)
=Σ[k=1,n]P(n人目がn人目の席に座る|場合k)P(場合k)
=(1/n)+Σ[k=2,n-1]p[n-k+1](1/n)
=(1/n)+(n-2)(1/2)(1/n) (∵帰納法の仮定p[n-1]=p[n-2]=...=p[2]=1/2より)
=1/2
- 258 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/10(月) 00:15:28.72 ID:Cj4YNvxv.net]
- >>247
1人目がk人目(k>1)の席に座る場合
2人目からk-1人目までは自分の席に座るから
k人目が1人目と同様の状況になるので帰納法の仮定が使える
ただしそこでk人目が1人目と同様の状況とは
k人目が1人目の席に座ればあとは皆自分の席に座ることになるということと
k人目が座るべきだった席には1人目が座っているから今ある席からランダムに席を選ぶしかないということが
1人目が自分の席に座ればあとは皆自分の席に座ることになるということと今ある席の中からランダムに席を選ぶしかないということと同じということ
- 259 名前：イナ mailto:sage [2020/02/10(月) 01:17:58.05 ID:Yw6JNRbB.net]
- ／∥__`∥￣￣∥彡ミ､
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川
（ (`)∥ ∥цc_)
（っ⌒⌒ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼前>>243偏微分とかいっちょ前に言いたげだけど要は1対2対√3の三角定規当てれば小学校低学年で解けるってことだからな。
- 260 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/10(月) 02:29:53.99 ID:XWhjucY0.net]
- >>218
帰納法使わなくても簡単に解けると思う。
最後の人の席をL、最初の人の席をFとする。最後の人はLに座れば勝ちとしよう。
最後の人の勝利条件は「LよりFが先に座られる」ことで、敗北条件は「FよりLが先に座られる」こと。
最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける（最初の人や自分の席が座られている人の場合はFもLも等確率で座られるし、自分の席が空いている人の場合FもLも座られる確率は0）。
よって、勝利条件と敗北条件が等価なので答えは1/2。
- 261 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/10(月) 02:42:40.39 ID:XWhjucY0.net]
- 各人の座る席が正しいか正しくないかという考察ほぼほぼ無しで解けるの凄く美しいね
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 02:47:23.31 ID:70pt9AB7.net]
- >>228
の解答だが
> m-1人の正しい席が残っているか、m人全ての正しい席が残っているかどちらか。
において、m-1人の正しい席が残っているときしか考慮してないように思うのだが...
m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
このときXは番号札を持っている状態に相当する
もし勘違いだったらすまん
- 263 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/10(月) 02:58:04.66 ID:FWWWRdtj.net]
- >>218
児童の数をn人とする
円周上にa1からanまでn個の点をとり、
これらをいくつか結んでa1を頂点に含む内接多角形をランダムに作る
（ただし便宜上、１角形と２角形も認める）
その多角形がanを頂点に含まない確率と同じ
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 03:00:30.77 ID:421H1KJr.net]
- >>250
そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 03:04:19.87 ID:Mlme5M1c.net]
- >>253
本当にそのふたつの間に保測写像ある？
問題文の方は分母に1～nまでなんでも出てくるけど内接多角形の方は分母に二冪しか来ないけど？
- 266 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/10(月) 03:10:38 ID:FWWWRdtj.net]
- >>255
単純に多角形の数を数えて
anを含むk角形とanを含まないk-1角形の数が等しいので
全体として半分ずつになるって考えたんだがダメかな
- 267 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/10(月) 03:14:35 ID:Yw6JNRbB.net]
- 前>>249前にx/√2にしてたx座標をxにして解きなおした。
最初に監視人がいる位置から救出地点(x,x)までの距離はx√2(m)
縁を端まで5秒、直角に曲がり、
{x-(10-x)/√3}(m)の地点まで、
{x-(10-x)/√3}(1/2)秒で行き、進行方向に対して60°の方向に飛びこんで泳ぎ、対角線上を泳いできた監視人と同時にアタックした。
(_(`.)っヾ(゜o゜)ノﾞc(`e'!彡
~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~
救出時間で立式すると、
x√2=5+{x-(10-x)(1/√3)}(1/2)+(10-x)(2/√3)
x√2=5+x/2-10/2√3+x/2√3+20/√3-2x/√3
x(√2-1/2-1+4)=5-10/2√3+20/√3
x=(30+10√3)/(3+2√6-√3)
=7.67326988……
x√2=10.8516423……(秒)
前にこの値出して最速じゃないとなったやつじゃないか。
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 03:33:58.76 ID:b0ggZ9I3.net]
- >256
さぁ？
例えば6人だとして
325461
とすわる確率は
1/6x1x1/4x1x1/2
でこれは最後の人が自分の席に座れない場合にカウントされる軽率。
このような事象を全部足し合わせて1/2になる事を示せればいいといえばいい。
コレに3→5→6→3と結んで四角形と対応させてもいいけど確率は六角形から何点か好きに選ぶ1/64とはズレる。
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:
[]
- [ここ壊れてます]
- 270 名前： mailto:2020/02/10(月) 03:42:27.34 ID:FWWWRdtj.net [ >>256
すまん訂正
anを含むk角形ができる場合とanを含まない(n+1-k)角形ができる場合が対応してるんだった ] - [ここ壊れてます]
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 03:44:09.98 ID:qRxWZgbb.net]
- >>256あ、でもこの多角形論法はうまくやると1/2説明できるね。
素晴らしい。
- 272 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/10(月) 05:26:24 ID:Yw6JNRbB.net]
- 前>>257
>>237
どっかで見覚えがある数値だと思ったら、>>31ですでにあってたんじゃないの？
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 09:00:44 ID:YjGt8s3q.net]
- >>252
最初の2行は、空席の中にせいぜい一つの席しか、過ちがないということを言いたかった。
「なぜそのようなことが言えるか？ 」と書き、主題をこの点の説明に当てている。
そして、その説明の延長として、
「自分の番号札を無くしたのが、1番目の人か、（後ろから数えて）m番目の人か、区別できない」
点を指摘し、m=2の時を使えば簡単に確率の計算ができるので、それを使って答えを求めている。
状況を、「m-1人の正しい席が残っている」場合と「m人全ての正しい席が残っている」場合
に分け、それぞれについて、説明を加えたわけではない。
m人が残っている状態で、「m-1人の正しい席が残っている」確率と「m人全ての正しい席が残っている」
確率を求め、数学的帰納法を用いて、答えを求める方法もあるが、>>218では、その手段を用いていない。
>> m人全ての正しい席が残っている場合は、Aが正しい席に座っていた場合で追い出す必要はなくて
>> このときXは番号札を持っている状態に相当する
これは、Xが登場するまえのだれかが、自分の席が占拠されているのを見て、適当な席に座った。ただし、
その席がたまたまＡの席であって、それ以降に乗車する人たちへの悪影響がこの時点で断ち切られている状況にあたる。
もちろん、一番最初に乗車したＡ自身が、適当に座った座席がたまたま、本来のＡの席であることも
「含まれ」はするものの、「ＡがＡの席に座る」には完全対応はしない。
繰り返すが、「ＡがＣ、ＣがＧ、ＧがＡ」のように解決した場合であり、これには、「ＡがＡ」も含まれる。
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 09:02:35 ID:YjGt8s3q.net]
- 上の218への引用は、>>228への引用の間違い
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 09:18:46 ID:vVxwssud.net]
- >>254
> そんな解答が成立するならどんなに先手が有利なゲームでも先手後手の勝率1/2になってしまうのでは？
> 例えば今回のでも最初の人も途中で席がなかった人もサイコロ振って6が出た時は正解の席、すなわち最初の人は自分の席、それ以降の人は所有者が間違った席に着席してあぶれてる席に座り、それ以外の場合のみ自由にすわるルールにすれば確率は1/2でなくなるよ。
そのルールは
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
には当たらないだろ？
> 確率は1/2でなくなるよ。
になっても何の問題ないだろう
>>250は帰納法の一種なんじゃじゃないかとは思うが
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 09:57:44.91 ID:1+8rzOtr.net]
- >>264
その抽選論法で本当に正しい確率計算できるのか概略ではなく厳密に書き出したものを示してください。
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 10:28:51.75 ID:vVxwssud.net]
- >>254の論法が間違っているって言っているだけだよ
というか、この程度の論法(>>250)が正しいかぐらい自分で確認しろよ
> 最初の人を含めた各着席において、FもLも同じ確率の抽選を受け続ける
が真かを確認するだけだろ
- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 10:33:13.78 ID:1+8rzOtr.net]
- >>266
あなたは>>250の言ってる事がわかるんですか？
わたしにはFもLもなんか公平にやるゲームだから1/2って言ってるようにしか見えません。
正直戦略とかゲームとかいう言葉使いたいだけで証明もできてないんじゃないかと疑ってます。
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 10:37:20.07 ID:1+8rzOtr.net]
- あ、戦略とかは使ってないのか。
勝利とかいってるからゲーム理論を気取ってるのかと思った。
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 11:18:42 ID:70pt9AB7.net]
- >>262
ありがとう、理解できた。
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 11:45:00 ID:YjGt8s3q.net]
- >>218
この問題は、次の問題と対応が可能。
カードがｎ枚あり、それぞれに、１からｎまでの数字が書かれている。
これらのカードを袋に入れる。
プレイヤーは、１からｎの中から、勝ち番号と、負け番号を決め、
勝ち番号、または、負け番号が書かれているカードが出るまで、袋の中からカードを選び続ける。
勝ち番号を引いて終了する確率は？ → 当然1/2と考えられます。
取り出された数字列を、適当に選ばれて座られてしまった座席番号に対応させます。
（失念か、すでに占拠されていたか、理由は問わない）
先頭の人の本当の座席番号を先に引くか、最後の人の座席番号を先に引くかが、
先頭の人の本当の座席番号を引いて横取り連鎖が途中で終了するか、
最後の人の座席番号を引いて、横取り連鎖に最後の人も引き込むかが決定され、
問題で言うところの、最後の人が正しい席に座れるか、座れないかに対応可能です。
アイデアのほとんどは >>250さんが指摘されたもので、対応がわかりやすくなるよう少々アレンジしてます。
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 11:50:09 ID:KXMXye1h.net]
- 日本最高学費の底辺私立医大では
１年：進級失敗１０人
２年：進級失敗１６人
３年：進級失敗３４人
４年：進級失敗９人
５年：進級失敗１０人
６年：卒業失敗２６人
一学年約120～130人前後。
同じ学年で二回留年すると退学
https://mao.5ch.net/test/read.cgi/doctor/1516439331/1
であるという。
1年次学費総額 12,145,000円 2年次以降学費（年間） 7,030,000円
1学年を125人として上記データから算出した確率（例、1年次は10/125の確率で留年）を用いて
卒業できる確率と卒業生の在学年数の期待値を求めよ。
また、退学になる確率と退学者の在学年数の期待値を求めよ。
- 283 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/10(月) 11:56:54 ID:XWhjucY0.net]
- >>254
その場合最初の人の着席においてFとLが等確率の抽選を受けていないので当然結果は変わってくると思いますが
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 19:42:14 ID:yBFcK3Lr.net]
- ある小学校のあるクラスでは、バスで遠足に行くことになった。
バスの座席は事前に決まっていたが、最初にバスに乗った児童が自分の座席を忘れて、任意の座席に座ってしまった。
他の児童は、一人ずつバスに乗り込み、自分の座席が空いていればその座席に、そうでなければ空いている任意の座席に座った。
クラスの人数をnとして自分の席に座れる生徒数の期待値をe[n]とするときlim e[n]/log(n)を求めよ。
自作。
できないかも。
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/10(月) 19:46:52.71 ID:yBFcK3Lr.net]
- >>273
訂正
lim(n-e(n))/log(n)
です。
- 286 名前：イナ mailto:sage [2020/02/11(火) 02:59:50.00 ID:EsKbfXIQ.net]
- 前>>261
>>271卒業できる確率は、
8(4/23)+12.8(20/99)+(3400/99)(4/13)+(180/13)(5/14)+(125/7)(10/23)+(1300/23)
=83.7751427……(％)
在学年数の期待値は、
6(16/83.7751427……)+7{(83.7751427-16)/83.7751427}
=6.80901256(年)
退学になる確率は、
100-83.7751427……
=16.2248572……(％)
退学者の在学年数の期待値は、
1(10/125)(16/115)+2(10/125)(34/115)+3(/)+4(/)+5(/)+6(/)+7(/)もう少し。
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 08:57:04.35 ID:W39lcV+G.net]
- >>275
現実世界の計算しにくい問題にも関わらずレスありがとうございます。
面倒な計算を誤答をものとのせず続けられる気力にはいつも関心します。揶揄ではありません。
で、いつもの通り、用意した答とは違います。
自作問題ですが、シミュレーション値と合致した理論値が出せました。場合分けが面倒なので場合分けもプログラムにさせました。
シミュレーションは指定の確率で乱数発生させて計算させました。
ほぼ一致する値でした。
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 09:56:58 ID:5Rrv77pM.net]
- >>276
補足
シミュレーションでの結果は以下の通り
> mean(RE[,2]==7) # 卒業確率
[1] 0.85482
> mean(RE[RE[,2]==7,1]) # 卒業までの在学年数
[1] 6.712606
> mean(tu(RE[RE[,2]==7,1])) # 卒業までの学費
[1] 52304621
> mean(RE[,3]==2) # 退学確率
[1] 0.14518
> mean(RE[RE[,3]==2,1]) # 退学までの在学年数
[1] 4.99139
> mean(tu(RE[RE[,3]==2,1])) # 退学までの学費
[1] 40204472
q=1-p # 留年確率,p=進級確率
(P=prod(1-q^2)) # 卒業できる確率 Π{1 - (2年連続留年確率)}
(Q=1-P) # 退学となる確率
の結果と近似しています。
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 10:08:53
]
- [ここ壊れてます]
- 290 名前：.30 ID:1ttWTA4N.net mailto: >>273
クラスの児童には1からnまでの番号が、座席には0からn-1までの番号がついていて、
座席に座る操作は番号が大きい順に行うものとする。
ここで座席に座る操作とは、自分の番号に一致する席が空いていればそこに、
空いてなければ空席のどこかにランダムに座る動作を言う。
この時、自分の番号が座席と違うような児童の人数の期待値をe'[n]とおく。
n-eとe'の計算で唯一異なる点は、座席番号0とnの違いにより生じるもののみ。
この違いが影響するのは、最初に番号nの児童が0の座席に座る場合のみであるから、
n-e[n]=e'[n]-1/n.
最初に児童nが座席m(<n)に座った場合、次にランダム性が生じるのは児童mが来た時であるが、
その時点で残りの児童は1からm、残りの座席は0からm-1であるから、
これはm人の児童とm個の座席で行う試行と一致。
（ただしn=0の時の試行は"何もしない"ことと定める。つまりe'[0]=0. ）
ゆえに、次のような漸化式が立てられる。
e'[n]=1+(1/n)Σ_(m=0,n-1)e'[m]
これより
ne'[n]-n = (n-1)e'[n-1]-(n-1) + e'[n-1]
から
e'[n] = Σ_(m=1,n) 1/m
が導かれ、求める極限値は1と計算できる。 [] - [ここ壊れてます]
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 11:06:18.93 ID:zI9vXMIC.net]
- >>278
正解です。
想定解答は>>222と一緒。
最後からk番目の生徒が正しい席に座れたとき0、そうでないとき1をとる変数をXkとする。
k:1～n-1のとき
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
= (最初の生徒が最後からk番目の席以外に座る|最初の生徒が最初の生徒の席かまたは最後からk番目の席～最後の席に座る)
=k/(k+1)。
p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる|最初の生徒が2番目の席から最後からk-1番目の席に座る)=k/(k+1)
(∵ 生徒の数が少ない場合に還元される)。
∴ p(最後からk番目の生徒が正しい席にすわる)=k/(k+1)。
∴E(Xk)=1/(k+1)
明らかにE(Xn)=(n-1)/n
∴n-e(n)=Σ[k:1～n-1]1/(k+1)+(n-1)/n～log(n)。
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 14:17:21 ID:7sbhOFJk.net]
- オリジナルですが答えはありません。ただ気になったので投稿します
実数の配列 a[i,j] (i,j∊Z) が全ての格子点(i,j)で 4a[i,j]=a[i+1,j]+a[i-1,j]+a[i,j+1]+a[i,j-1] を満たす時、aを調和配列と呼ぶことにする。
次を満たす実数α≧0の下限はいくらか：
調和配列aが任意の格子点Xについて |a[X]|≦|X|^α を満たすならばaは定数である。ただし、|X|は点Xの原点からの距離を表す。
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 14:23:06 ID:j1jqA7X+.net]
- >>280
違う、上限でした
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 14:58:24 ID:5Rrv77pM.net]
- 卒業できる確率 ： 4750970704397512 / 5551115123125783 = 0.85585879575891107187420816324627437826646454687092053
退学の確率 ： 800144418728271 / 5551115123125783 = 0.144141204241088928125791836753725621733535453129079468759
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/11(火) 16:55:37.06 ID:CVYz5IRs.net]
- 単位円上の2n個の点A1,B1,‥,An,Bnを一様独立に選び円盤をn個の線分線分A1B1,‥,AnBnで分割するとき、できる小領域の個数の期待値を求めよ。
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 00:29:09.72 ID:Q6IpDgid.net]
- >>280
とりあえず今のところこのスレでは>>240さんの証明しか上がってない。
この方針でいくなら非負実数αが条件
Σ(c(p+2,q)-c(p,q)|(|p|+|q|}^α→0 (n→∞)‥‥(※)
が成り立つならそのαは>>280の条件をみたしたりしないかな？
まだ>>240が完全に理解できてはいないからわかんないけど。
もし(※)を満たす非負の実数が0しかないなら今んとこαを改善できる見込みあるレスは上がってないな。
- 297 名前：イナ mailto:sage [2020/02/12(水) 02:21:36.56 ID:hcOGUVCg.net]
- 前>>275
>>283
n=1のとき2(個)
n=2のとき、
3(1/2)+4(1/2)=3.5(個)
n=3のとき、
4(1/8)+5(1/8)+6(1/4)+7(1/2)=(9+12+28)/8
=6.125(個)
n=4のとき最大11個、最小5個
5(1/64)+6(1/64)+7(1/32)+8(1/16)+9(1/8)+10(1/4)+11(1/2)
=(5+6+14+32+72+160+352)/64
=10.015625(個)
n=5のとき最大16個、最小6個
=(6+7+16+36+80+176+384+640+192+1280+512+2560+1280)/1024
=(7149+8192)/1024
=15341/1024
=14.9814453……
n=6のとき、最小7、最大22
7(1/2)^15+8(1/2)^15+9(1/2)^14+10(1/2)^13+11(1/2)^12+12(1/2)^11+13(1/2)^10+14(1/2)^9+15(1/2)^8+16(1/2)^7+17(1/2)^6+18(1/2)^5+……+22(1/2)
n本の直線で分割した領域の個数の期待値は、
(n+1)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+2)(1/2)^{n(n-1)/2}+(n+3(1/2)^{n(n-1)/2-1}+……+{n(n+1)/2+1}(1/2)
ブロックくずしのように簡単になるのか、lim[n→+∞]に飛ばすのか、通分か。
- 298 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 04:10:08.56 ID:1Q0cdG25.net]
- 毎度思うけど思考過程をレスするの何？
〇〇となり……ああ違うか。みたいなの誰も求めてないし数学の試験でそんなこと書くか？
ちゃんとオフラインで答えに辿り着いてからそれを纏めて書けよ
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 07:34:56 ID:eWvaFFv2.net]
- >>285
n=1のときだけは正解です。
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 10:02:20 ID:EmPEyxMI.net]
- 日本数オリ本選の問題が出ました
https://i.imgur.com/Ub5tYCW.jpg
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 10:17:58 ID:2Z9zzZPK.net]
- >>284
(※)は使えそうですね
実際には Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|=2Σc[0,q] の値は積分を使って
C(1+o(1))/√n (as n→∞, ただし定数Cはabsolute) となることが計算できるので、
|Σ(a[0,0]-a[2,0])|
≦Σ|c[p+2,q]-c[p,q]|(|p|+|q|)^α
≦C(1+o(1)) ･ n^(α - 1/2) (∵|p|+|q|>n の時に係数が0となるため、|p|+|q|≦n の範囲で和をとれば良い)
という評価が得られます。
a[0,0]とa[2,0]の差以外にも同様のことが言えるので、結局 α<1/2 は条件を満たすことが導けると思います。
ちなみに一方で a[i,j]:=i (∀(i,j)∈Z^2) という例から、α≧1は条件を満たさないことがわかります
- 302 名前：イナ mailto:sage [2020/02/12(水) 14:44:38.94 ID:hcOGUVCg.net]
- 前>>285え？ >>283n=2のとき違うの？ なんで？ クロスする確率とクロスしない確率は1/2ずつじゃないのかい？
／∥__`∥￣￣∥彡ミ､∥
∥∩∩ ∥ □ ∥^o^川 `
（ (`)∥ ∥цc_)＼
（っ⌒⌒ ｡∥＼____/
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＼■υυ■___∥､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 15:08:05.33 ID:IJFWAL+A.net]
- >>200
ヒント。
ホントは積分で求めるんだけど裏技。
まず4点選ぶ。
後でどれをA1B1A2B2と割り振るか決める。
- 304 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 16:25:29.15 ID:U1ltP3xX.net]
- 点O中心の半径1の円の内部に点Oと異なる点Aを取る。
半直線OA上にOA・OB=1なる点Bを取る。
円周上に点P,Qを、直線PQに関して点O,A,Bが同じ側に来るように任意に取る。この3点はいずれも直線PQ上に無い。
直線PQに関してAと線対称な点をDとする。
△PBD∽△OBQを示せ。
- 305 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 16:45:23.52 ID:2rGgcqMY.net]
- >>283
四点A1,B1,A2,B2の偏角を小さい順に並べると1122,2211,1221,2112,1212,2121の六通り
このうち、先の四つは線分が互いに�
- 306 名前：墲轤ﾈい場合であり、後の二つは交わる場合である
つまり、ランダムに決めた二つの線分が交わる確率は1/3
n本の線分により円が分割されているとき、新たに一本の線分を加えるとする
このとき新しい線分が既存の線分と交わらなければ、分割される領域は一つ増える
既存の線分一本と交わるなら領域は二つ増え、既存の線分二本と交わるなら領域は三つ増える
つまり、新しい線分が既存の線分と交わった本数+1の領域が新たに増える
新しい線分を引いたとき、既存の線分n本のうち交わる本数の期待値はn/3だから、
領域の数の増分の期待値はn/3+1となり、
n本の線分で分割されたときの領域の数の期待値をI(n)と置くと、I(n+1)=I(n)+n/3+1と書ける
I(n)-I(1)=(n(n-1)/2)/3+(n-1)、I(1)=2は自明なので、I(n)=n(n-1)/6+n+1 [] - [ここ壊れてます]
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 17:23:00.93 ID:IJFWAL+A.net]
- >>292
PQの垂直二等分線が実軸でOが原点となる複素座標を設定する。
Aの実軸対称点をCとする。
ABCDPQの複素座標をabcdpqとする。
PDをPQ、実軸で続けて対称移動するとQCに移るからd-p=q-cである。
またAが単位円に関する反転でCはその実軸反転だからc=1/bである。
P,Qは単位円上かつ実軸対称だからpq=1である。
以上により
(d-p)/(b-p)
=(q-c)/(b-p)
=(1/p-1/b)/(b-p)
=1/(pb)
=(q-0)/(b-0)
であるから△BDPと△BQOは相似である。
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 17:24:07.93 ID:IJFWAL+A.net]
- >>293
正解！GJ!
- 309 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 20:04:24.39 ID:2rGgcqMY.net]
- >>291
積分でやってみた
A1,B1,A2,B2の偏角を0,X,Y,Zとして、A1を固定し、後の三つを確率変数と考える
それぞれ独立に0から2πの間の値を取る一様分布に従うので、確率密度関数は1/(2π)^3となる
YとZが共に0とXの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,x]∫[0,x]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x^2/(2π)^3}dx=1/3
Yが0とTの間、ZがTと2πの間の値を取る確率は、
∫[0,2π]∫[0,t]∫[t,2π]dydzdx/(2π)^3=∫[0,2π]{x(2π-x)/(2π)^3}dx=1/6
二線分が交わらない確率=YとZが共に0とXの間または共にXと2πの間である確率=1/3+1/3=2/3
二線分が交わる確率=Yが0とTの間でZがTと2πの間またはその逆となる確率=1/6+1/6=1/3
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 21:12:47.06 ID:IJFWAL+A.net]
- >>296
おお、素晴らしい！
ここで受験数学お馴染みの1/6公式が出てくるのがへぇと思いました。
- 311 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/12(水) 22:25:41 ID:hcOGUVCg.net]
- 前>>290
>>283
n=1のとき2
n=2のとき3(2/3)+4(1/3)=3.33……
n=3のとき4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)(2/3)+7(1/3)^2
=(4+10+12+7)/9
=3.66……
急にnやn+1に飛んだらだれもわからないだろう。途中をちゃんとやってほしい。
n=4のとき5(2/3)^3+6(2/3)^2(1/3)+7(2/3)(1/3)^2+8(/)+9(/)+10(1/3)^2(2/3)+11(1/3)^3Ψ`o`Ψ
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 22:36:00 ID:cpT3giHz.net]
- 不正解
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/12(水) 22:51:26 ID:MTHiudft.net]
- とりあえずn=3のときn=2と同じようにやってみればいい。
6点適当に選ぶ。
ただし三点が一点で交わるような特殊なケースは確率0なので無視する。
反時計回りに123456として2個組ずつわける。
12,34,56
12,35,46,
‥
で何通りできるか？
小領域が4つになるのは何通りか？
小領域が5つになるのは何通りか？
小領域が6つになるのは何通りか？
小領域が7つになるのは何通りか？
期待値は？
- 314 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/12(水) 23:04:11 ID:2rGgcqMY.net]
- >>298
m本の線分に交わる線を引くと、そのm本で分割されていたm+1個の領域の上を通ることになる
つまりm+1個の領域を切ることになるので、領域の数は倍化され、m+1個の領域が新たに増えることになる
- 315 名前：イナ mailto:sage [2020/02/12(水) 23:55:09.29 ID:hcOGUVCg.net]
- 前>>298
>>301
2本の直線と交差する直線を引くと領域が3個増えることはわかってる。
つまりm=2のとき意味が通じる。
けど交差しないときの確率を足さないかんだろ。
n=3のとき領域が4個になるのは交差しないとき。
n=2のときの考察からして
- 316 名前：交差するときが1/3で交差しないときが2/3じゃないのか？
4(2/3)^2+5･3(2/3)(1/3)+6(1/3)^2+7(1/3)^3
=(16+30+18+7)/27
=71/27
この計算、
2/3+2/9+1/9+1/27が1になるときじゃないと意味ないんだよ。 [] - [ここ壊れてます]
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:09:21 ID:ARUap2be.net]
- A1B1とA2B2が交差する確率は1/3、
A2B2とA3B3が交差する確率は1/3、
A3B3とA1B1が交差する確率は1/3、
しかし交点が３つできる確率はこの３つをかけてもダメ。
かけて求められるのはコレらの事象が独立の時。
独立ではないのでダメです。
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:15:15 ID:906Gyp6n.net]
- 調和配列について考えてたけど、どうも何かがおかしい気がする…
>>195 のeの構成って本当に合ってる？
以下の要領で、原点以外の全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しないことが示せそうなんだけど…
配列aを a[0,0]=1 かつ a[X]≧0 (∀X∈Z^2) を満たす、原点以外で調和的な有界配列とする。
aの下限 inf_(X∈Z^2) a[X] を0としてよい。a[X]=0 を満たす格子点Xは存在できないことに注意。
配列の列 b_n を
b_n[0,0] = 1 (n≧0)
b_0[p,q] = 0 ( (p,q)は原点以外の格子点)
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1] ( (p,q)は原点以外, n≧0)
により定めると、帰納的に
b_n[p,q]≦b_(n+1)[p,q]≦1 (p,qは全ての整数, n≧0)
が導けるため極限 b[p,q]=lim_(n→∞) b_n[p,q] が存在し、
配列 b が原点以外で調和的であることもわかる。また、各nについて
b_n[p,q]=b_n[-p,q]=b_n[p,-q]=b_n[q,p]
0≦p かつ 0≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p+1,q]
1≦p≦q ならば b_n[p,q]≧b_n[p-1,q+1]
b_n[p,q]≦a[p,q]
が成り立つことが帰納的に示せるため、n→∞とすることでbについても同様のことが言える。
配列aの下限が0かつ全ての格子点Xについてa[X]>0であることから、
格子点の列 X_n=(p_n,q_n) であって
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
を満たすものが存在。これより、格子点(p,q)が max(|p|,|q|)≧|p_n|+|q_n| を満たすならば
b[p,q] ≦ b[|p_n|+|q_n|] ≦ b[p_n,q_n] ≦ a[p_n,q_n]
であるから、格子点Xについて|X|→∞ならばb[X]→0が成り立つ。
一旦ここまで。
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:18:26 ID:906Gyp6n.net]
- >>304
訂正。配列の列b_nの漸化式について
誤
b_(n+1)[p,q] = b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1]
正
b_(n+1)[p,q] = (b_n[p+1,q] + b_n[p-1,q] + b_n[p,q+1] + b_n[p,q-1])/4
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 00:23:06 ID:906Gyp6n.net]
- >>304
何度も申し訳ない、もう１つ訂正。
格子点列X_nについて
誤
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=0
正
lim a[X_n]=0, lim(|p_n|+|q_n|)=∞
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 00:49:32.88 ID:av6dLTOA.net]
- >>304
もちろんeは原点て
4e[0,0]=e[1,0]+e[-1,0]+e[0,1]+e[0,-1]
を満たしてませんよ。
4e[i,j]=e[i+1,j]+e[-i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]
はキルヒホッフの法則
(e[i+1,j]-e[i,j]}+(e[-i-1,j] -e[i,j]}+(e[i,j+1]-e[i,j]}+(e[i,j-1] -e[i,j]}=0
を変形したものですが、原点は電極がついてて電流を吸い出してるのでこの等式が成立していません。
>>195のeは上に有界なのでもし全ての点で上の等式が成立するなら雨宮の定理により定数になってしまいます。
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 02:15:11.71 ID:aaGAJwRB.net]
- >>283
(n+2)(n+3)/6 かな
導出過程はこれから考えるw
- 323 名前：イナ mailto:sage [2020/02/13(木) 02:22:24.68 ID:7VewwRjX.net]
- 前>>302いきなりnとかmとかで一般項出して解きだす奴は偽者か曲者。1面2面クリアして今3面。
n=3のとき最小が4で最大が7、
4(2/3)(3/4)(1/4)+5(2/3)(4/6)+6(1/3)(4/6)+7(1/3)(2/6)
=4(1/8)+5(4/9)+6(2/9)+7(7/24)
=1/2+32/9+49/24
=(36+256+147)/72
=439/72
=6.0972……
ちょっとマシになった。
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 02:22:32.49 ID:aaGAJwRB.net]
- >>308
交点の可能な数は n(n-1)/2 である
1≦i<j≦nとしてAiBiとAjBjが交差する確率は各々1/3なの
- 325 名前：だから、
交点の数の期待値は n(n-1)/6
領域の数の期待値は (n+1)+n(n-1)/6 = (n+2)(n+3)/6 [] - [ここ壊れてます]
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 03:08:45.48 ID:aaGAJwRB.net]
- おっと、283は>>293で既に解かれていたか
まだ続いてるのかと思ったw
- 327 名前：哀れな素人 [2020/02/13(Thu) 09:53:51 ID:ij5lRW2v.net]
- >>292
初等幾何的証明
ABを直径とする小円を描けば、出題の二つの三角形と相似な
二つの三角形を小円の中に作図できる。
大円と小円の交点をE、F、EFとABの交点をG、
DBと小円、QBと小円の交点をそれぞれH、I、
IGの延長と小円の交点をJ、JHとPBの交点をKとすると、
△KHB∽△GIBで、この二つの三角形は出題の二つの三角形と相似である。
∠H＝∠Iであることはすぐに分かる。
あとは∠KBH＝∠GBIであることを示せばよいが、
これが意外と難しく、今のところ未解決。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:12:32 ID:906Gyp6n.net]
- >>307
eが原点で調和的でないことはわかっているのですが、問題はそこではなくて、>>304の通り
『原点以外の』全ての格子点で調和的な有界配列は定数しか存在しない
ということを示せてしまう、ということなのです
↓↓304の続き↓↓
c=4b[0,0]-b[1,0]-b[-1,0]-b[0,1]-b[0,-1] とおくと、整数n≧2について
cn = Σ_(m=1,n) c
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|,|q|<m) 4b[p,q] - b[p+1,q] - b[p-1,q] - b[p,q+1] - b[p,q-1]
= Σ_(m=1,n) Σ_(|p|<m) - b[m,p] - b[-m,p] - b[p,m] - b[p,-m] + b[m-1,p] + b[1-m,p] + b[p,m-1] + b[p,1-m]
= 4b[0,0] + ( Σ_(p=1,n) 2b[p,p] + 2b[p,-p] + 2b[-p,p] + 2b[-p,-p] ) - ( Σ_(|p|<n) b[n,p] + b[-n,p] + b[p,n] + b[p,-n] )
= o(n) (as n→∞)
より矛盾。したがって、a は定数でなければならない。
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:17:09 ID:ctEQzeqL.net]
- >>313
eは0以上の値をとりますが有界ではありませんよ。
>>204で示されています。
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:26:22 ID:906Gyp6n.net]
- >>314
あら失礼しました… >>195しか見てませんでした
- 331 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/02/13(Thu) 10:35:30 ID:7VewwRjX.net]
- 前>>309
>>311つづけてください。
n=3から。
さあ。
3のとき5、
4のとき7、
6のとき12です。
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 10:53:38.12 ID:Tf6czv/B.net]
- 4e(i+1,j)+ e(i-1,j)+ e(i,j+1)+ e(i,j-1)
=
∫[～] (1-cos((x+y)(i+1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)(i-1))cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j+1)))/(1-cosxcosy)dxdy
+∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)(j-1)))/(1-cosxcosy)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] (2-2cos(x+y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
+∫[～] (2-2cos(x-y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-4 ∫[～] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4(1-cos(x)cos(y)cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(～)dxdy
-∫[～] 4(1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
=
∫[～] 4cos((x+y)i)cos((x-y)j))dxdy
=
δ[i0]δ[j0]16π^2
になるハズ。
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 11:54:57.76 ID:906Gyp6n.net]
- そうすると >>242 の最後の主張も訂正する必要がありそうだ
誤
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たすような有界配列 a は
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
と表せる。
正
あるn点 p_i (1≦i≦n) を除いた格子点全体で Δa=a を満たす配列 a であって、
任意の定数 ε>0 について |a[X]|=O(|X|^ε) を満たすようなものは、
a[X] = c_0 + Σ_(i=1,n) c_i･a'[X-p_i] (c_iは実数)
に限られる。
- 334 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/13(木) 13:21:59.82 ID:WiJ7Z5mz.net]
- >>292
これ今年の灘高校の入試問題じゃん
- 335 名前：哀れな素人 [2020/02/13(Thu) 17:43:48 ID:ij5lRW2v.net]
- >>312の続き
HBとEIが垂直であることを示すことができれば証明完了。
なぜなら、その場合、∠BHAは直角だからHAとEIは平行。
すると∠AHIとHIEは錯角だから等しい。
すると∠ABI＝∠AHI＝∠HIE＝∠EBH
∠Hと∠Iは同一円周角で等しいことがすでに示されているから、証明完了。
しかしHBとEIが垂直であることを示すことが難しい。
灘高校の入試問題なら、もっと簡単な解法があるに違いない（笑
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/13(木) 19:53:39.15 ID:uH+myoBI.net]
- n,kは自然数でk≦nとする。
穴の開いた2k個の白玉と2n-2k個の黒玉にひ
- 337 名前：もを通して輪を作る。
このとき適当な2箇所でひもを切ってn個ずつの2組に分け、
どちらの組も白玉k個、黒玉n-k個からなるようにできることを示せ。
(某大学文系過去問 - 中学生の知識で解ける) [] - [ここ壊れてます]
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