- 215 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [2020/01/02(Thu) 09:15:23 ID:YLjNnjPy.net]
- >>197
すでに>>152-155に書いたように
１）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:
x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・
ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
２）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
（Zermelo構成）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
３）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと
４）こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない
なお、まとめると
Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」
の
順序位相（英語版）に関する極限点として
ωが定義される
それだけのこと
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