整数論を勉強するためのスレッド

1 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/02(土) 05:18:46.03 ID:git0d3Jn.net] 代数幾何のスレが盛り上がってるので建てた。 俺はSerreのLocal Fieldsを読む。 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/15(金) 20:15:14.67 ID:hmvVN81A.net] 東大のある先生は学部二年までにハーツホーン読んでて当たり前と言ってるみたいなのを数学板で見た 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/15(金) 20:31:50.23 ID:TZqau7rC.net] B4ならこんなもんじゃないの 228 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/15(金) 23:43:50.12 ID:KW08AtIKp] https://note.com/janpjp/n/n09f41d7c7309 これマジでやったほうがいいよ 英語の勉強全くいらなくなる 誰でも確実に英語脳できる 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/22(金) 17:20:29 ID:5RIWtRFh.net] 恥ずかしいことだが京理4回の講究は>>208で必ず引っかかる 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/22(金) 20:10:13 ID:ptQoMTfq.net] >>210 局所コンパクトな体の付値環がコンパクトってどう証明するんですか？ 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/25(月) 18:15:15 ID:as7r/XH1.net] ｛x｝= x -［x］ 　　= 1/2 - Σ[k=1,∞］sin(2kπx)/(kπ), [大学学部レヴェル質問スレ１３．398] 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/26(火) 12:10:54 ID:epuMy11v.net] >>230 局所体Kの付値環oがコンパクトだな 局所体は自明ではない乗法付値に対して非連結な局所コンパクト付値体なので、局所コンパクトな体だけでは条件が恐らく足りない Kの付値環oは(局所体が持つ正規(特に離散)指数付値が定める付値環なので)離散付値環である よって以降離散付値環に対して議論すればよい 一般に、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、oとlim_← o/p^nは代数的同型かつ同相…? 一方、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、商群p^m/p^{m+1}とo/pは同型なので、任意のn∈Nに対して商環o/p^nは有限で、特にコンパクトである よってチコノフの定理よりΠ_{n=1}^{∞}o/p^nもコンパクトで、コンパクトの閉部分集合はコンパクトなのでlim_← o/p^nもコンパクト ?よりoもコンパクトである 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/26(火) 12:28:18.19 ID:epuMy11v.net] すまん、離散付値環に対して議論すればよい って書いてるけど、 離散付値に関して完備、剰余類体が有限という局所体の条件を使ってるから、 一般の離散付値環がコンパクトとは限らない 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/26(火) 12:55:02.26 ID:aYF++qy3.net] 誰かの定理で局所コンパクト体が結局標準的な局所コンパクト体しかないって定理あったと思うんだけとなんだっけ？ 名前がアルファベットで四文字くらいだった記憶がある。 ググっても見つからない。 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/26(火) 23:31:49 ID:moFWvn2F.net] 整数問題の史上最高傑作？（Passlabo） aa+bb+cc = 292 のとき、整数(a,b,c）を求めよ。 www.youtube.com/watch?v=9OXdzn6hby0 13:24 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/26(火) 23:34:53 ID:moFWvn2F.net] {a,b,c｝=｛±2, ±12, ±12｝と｛0, ±6, ±16} 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/27(水) 03:30:02 ID:qjAXFTAb.net] >>234 なんかブルバキっぽい話題だな、ヴェイユあたりか？知らんけど 238 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/30(土) 21:59:15 ID:JGHWf3RD.net] a, bを互いに素な整数 p ≡ b (mod a) となるpが少なくとも1つ存在することは、初等的に示せる？ 239 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/30(土) 22:44:12.93 ID:fvfWwsTO.net] modular curveのuniversal elliptic curveって何 なんかの表現可能関手のuniversal element？ 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/31(日) 00:02:06.93 ID:eEopntvU.net] >>238 bが1のときは確か円分多項式を利用してできるハズ。 一般にはむずかしい。 セルバーグの論文があったはず。(確か1950) 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/31(日) 08:58:38 ID:kTYcRm4u.net] >>240 >>238は「少なくとも1つ」ならば易しくなるか？と聞いてるのでは 俺もわからん 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/31(日) 12:38:45.35 ID:CSQH3/k8.net] やっぱディリクレの算術級数定理ってすげーわ 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/31(日) 15:47:15.60 ID:eEopntvU.net] >>241 なるほど、そうだ。 でも“少なくともひとつ”でも聞いたことないな。 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/31(日) 18:54:12.79 ID:l3wGZeTJ.net] ID:JGHWf3RD ID:fvfWwsTO ageるな 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/01(月) 05:17:10.22 ID:eforR3dR.net] はてなブログの「算術級数定理についての注意」という記事に書いてありますね。 （リンクが貼れない。） 「少なくとも一つ」としても簡単にならないという話です。 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/01(月) 11:28:05.49 ID:sNl9LSwh.net] 「少なくとも1つ」と「無数に」が同値になるのか 知らなかった 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/01(月) 11:49:54.17 ID:dxVayezA.net] マジか 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/01(月) 13:51:11.16 ID:sNl9LSwh.net] >>246 厳密には>>238よりも少し強い存在定理 a, b が互いに素な正整数ならば、 p = an + b が素数となる整数 n > 0 が少なくとも1つ存在する が成り立てば、無数にあるということか a > 0 かつ b > 0 で n > 0 なら p > b だから、 ap と b が互いに素になるということが重要なのか 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/01(月) 17:35:55.64 ID:2UPE3bfX.net] a,b固定ではなく互いに素な組すべてに対して存在を仮定してるのが味噌だね 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 00:09:32 ID:C/B76sA8.net] >>248 >>238の条件でも、すべての(a,b)=1 なる正整数につき少なくとも一つ pが存在するなら、[a,b]ごとに無限に存在することは言えますね。 算術級数達は直感的に思うより交わりがあるということかな？ 当然と言えば当然なのか？ それを使って何か知見が得られればいいけど。 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 00:35:24.82 ID:C/B76sA8.net] a≧2,a≧b≧1なるすべての互いに素な整数の順序対[a,b]に対して (1) p≡b (mod a) をみたす素数pが少なくとも1つ存在する (2) p≡b (mod a) かつ p>b をみたす素数pが少なくとも1つ存在する (3) p≡b (mod a)　 をみたす素数pは無限に存在する。 が成立することは同値。 (1)⇒(2)の証明 (k,a+b)=1なる整数kを十分大きく（a+b<kaをみたすように）取ると（(ka,a+b)=1でもあるから）(1)より p≡a+b (mod ka) をみたす素数pが存在するが、pは条件をみたしている。 (2)⇒(3)の証明 p≡b (mod a)かつp>b をみたす素数全体の集合をSとおくと(2)よりSは少なくとも1つの素数を含む。 Sを有限集合として矛盾を導く。Π_{p∈S}p=Πとおくと(2)より q≡b　(mod aΠ), q>b をみたす素数qが少なくとも1つ存在するが、qはq≡b (mod a)，q>b，Sに属するどの素数でも割れない をすべてみたすことになり矛盾する。 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 07:27:45.66 ID:iA0eGlWC.net] >>251 >(1)⇒(2)の証明 なるほど、それは気が付きませんでした もし b が素数なら p = b と取れてしまうので困る気がしたのですが、 gcd(a, b) = 1 かつ gcd(k, a+b) = 1 ならば gcd(ka, a+b) = 1 が成り立つので問題ないわけですね そして a+b < ka となる k を選べば p - (a+b) > 0 も言えると 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 07:31:38.49 ID:iA0eGlWC.net] >>252 >p - (a+b) > 0 ミス 正しくは p - (a+b) ≧ 0 です 254 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/02(火) 13:46:17 ID:rz7PxQTp.net] Gをabel群とし、C(G)で各開集合にGを割り当てる前層の層化を表すことにします lを素数として、 lim[n]C(ℤ/l^nℤ)　　（ℤ/l^nℤの定数層の逆極限） と C(ℤ_l)　　（l進整数環の定数層） は異なりますか？ 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 17:55:58.35 ID:bCshvdgj.net] >>254 ageるなって言われてるのに無視するなよ、荒らし 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 19:28:27 ID:5mCeYLD4.net] 最近age,sageを覚えたのかな？ こんな過疎板で拘る意味ないよね 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 20:30:57.91 ID:B1PZCxtK.net] U⊂Xを開集合として、mをUの連結成分の個数として C(Z_l)(U) = (Z_l)^m (limC(Z/l^nZ))(U) = lim(C(Z/l^nZ)(U)) = lim((Z/l^nZ)^m) = (lim(Z/l^nZ))^m = (Z_l)^m 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/03(水) 18:58:41.49 ID:Q6xVzWVN.net] >>255 ageたらなんで悪いんだよ。こんな過疎板で拘るようなやつの気が知れないね。 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/05(金) 08:07:31 ID:QWbDfVZz.net] 任意の有限体に対して、それを剰余体に持つ局所体が存在するの？ 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/05(金) 08:14:57.78 ID:Vqb+nvOZ.net] 有限体kそれ自体が局所環でその剰余体はkですよね 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/05(金) 08:16:43.76 ID:QWbDfVZz.net] 局所環ではなく局所体 Qpや、Fp((X)) あ、自分で書いて答え見つけたわ 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/05(金) 08:17:51.61 ID:Vqb+nvOZ.net] あ、ほんとだごめん よく見てなかった 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/30(火) 14:48:11.03 ID:ISnsWMi+.net] SerreのCourse in Arithmetcのテータ関数のとこ読む 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/30(火) 14:51:19.17 ID:ISnsWMi+.net] いろいろ順番前後するけど 朝は、Chebotarevの密度定理から既約なGalois表現がFrobenius元のトレースで決まることの証明を読んだ 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 19:43:31.81 ID:HPDcrjtp.net] 整数の組(a,b) が ・gcd(a,b) = 1, ・|x-a|≦1, |y-b|≦1, (x,y)≠(a,b) の8点 (x,y) について 　gcd(x,y) >1, を満たすとき (a,b)を縄張り(シマ)とよぶ。 (1) 　(a,b) = (55,21)　はシマか？ (2) 　(a,b) = (55(2･21m+1), 21)　　　　　m≧0 　(a,b) = (55, 21(2･55n+1))　　　　　n≧0 について 　gcd(a,b) = 1, 　gcd(a±1,b±1) ≧ 2, 　gcd(a-1,b) ≧ 3, 　gcd(a,b-1) ≧ 5, 　gcd(a+1,b) ≧ 7, 　gcd(a,b+1) ≧ 11, を示せ。 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 12:50:37 ID:lCR7ncGj.net] 志村が「数学をいかに使うか」シリーズで、「この公式は私の本には書いてあるが他には書いてない」「これについて私の本より上手く説明した本はない」などとやたら自画自賛してるので、Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functionsを手に入れようかなと思い始めた 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 14:33:23 ID:DxW3rUsG.net] しかしたとえば、高木貞治が「超幾何級数やゼータ関数などについては解析概論には詳しく書いてあるが、他の微分積分の本には無い」とか「Cauchyの積分定理はGreenの定理を使わずに導出するのがよく、そうしている本は日本では解析概論以外に無い」とか言ったとして、別に解析概論欲しくならんよな 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 20:19:02.57 ID:7vxztQCR.net] >>265 (3) 　(a,b) = (55(N+1), 21(N-1)) 　(a,b) = (55(N-1), 21(N+1))　　　Nは2･55･21の倍数 もシマか？ 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 19:51:11.30 ID:VNvrUmFY.net] 志村本届いた 1、2、3章は言われてるほど難しい感じはしない むしろ、位相群とかRiemann面とかの復習から入っていて、かなり丁寧な本という印象を受ける まあ、この本の本題は、5章のAbel多様体の虚数乗法論と、7章のAbel多様体のゼータ関数論にあって、ここが難しいのだろうが 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 19:55:39.96 ID:yxtPx6kC.net] アマゾンレビューを見る限りアーベル多様体の定義自体が現代と異なるらしいから難しそうだな 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 20:01:59 ID:XlPTlzjS.net] 前書きに、「付録に代数幾何の用語集を付けた。4章以降を読む奴は"専門家でも"必ずここを読め（意訳）」と書いてありますね 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/09(木) 17:43:17.14 ID:0Nu9leD4.net] Z上で既約な多項式はQ上でも既約といういわゆるGaussの補題の系は、一般のDedekind環とその商体においても成り立つのか？整数環がUFDなら成り立つが …… base changeして既約でなくなると困るんだけど 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/09(木) 17:47:56.64 ID:tCgG0Zzy.net] とりあえず整閉だから1変数の場合はオーケー 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/15(水) 11:01:19.49 ID:JG4qV0Js.net] ベルヌーイ数B_rの分子は、p|rかつnot p-1|rなる素数pすべて素因数として含むってすぐ分かりますか？ というのも岩波数論�Uで ζ(1-r)=-B_r/rの分母D_rに対して p|D_r ⇔ p-1|r という記述があったのですが 一方、B_r自体の分母D'_rに対しては有名な p|D'_r ⇔ p-1|r があるので、これらを比較するとB_rをrで割ったときに 最初に書いたpで約分が起きないといけない気がしました 例えば B_10=5/(2×3×11) B_14=7/(2×3) B_22=(11×131×593)/(2×3×23) となっていて たしかに5、7、11が分子にいます 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/15(水) 11:02:04.93 ID:JG4qV0Js.net] ついでなんですが数論�Uで p|D_r ⇔ p-1|r は D_rを具体的にTateひねりを用いて表現した式 D_r=Π_p ♯(Q_p/Z_p(r))^(Gal(Q(μ_p^∞)/Q)) を使って証明してるんですが この表示の良い文献があれば教えてください

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