整数論を勉強するためのスレッド

1 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/02(土) 05:18:46.03 ID:git0d3Jn.net] 代数幾何のスレが盛り上がってるので建てた。 俺はSerreのLocal Fieldsを読む。 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/02(土) 07:27:55.91 ID:CdTYYSoB.net] そんな盛り上がってる所あったっけ 3 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/02(土) 09:12:11.33 ID:/s/8dxlR.net] じゃあ私はWeilのBasic Number Theoryを読みます 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/02(土) 09:16:49.38 ID:gTdhRezb.net] それなら私はJürgen NeukirchのAlgebraic Number Theory読みますね 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/02(土) 09:25:36.30 ID:pA5Qyehy.net] 俺は高木貞治の初等整数論を読む 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/02(土) 19:00:18.47 ID:XX75Wr2I.net] >>2 横レスだが、代数幾何学のスレは同じようなのが３本ほど立っていてそれなりに投稿があるようだ 7 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/03(日) 11:09:02 ID:i/4LOIfN.net] 虚数乗法がどう美しいのか教えてくれ 8 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/05(火) 21:02:27.79 ID:cGfoAFhl.net] >>1 岩澤の方はなぜ読まないの あとexplicit formulaの数論的重要性を教えて下さい 9 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/05(火) 21:38:23 ID:Xk5ul/+c.net] いつまでもリーマン予想が解けない人たちの現実逃避 それが整数論 10 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/07(木) 18:48:05.75 ID:wthOyl4N.net] Galois representations and modular forms https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/talk/eepr.pdf 保型函数と整数論1 https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/11/4/11_4_193/_pdf/-char/ja この辺のお話に興味をもったので、数論やる 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/08(金) 19:57:03.37 ID:gYHmvLWl.net] >>7 ザックリいうと、楕円函数やアーベル函数といった特殊函数は、リーマン面上で虚数乗法によって類別することによって、類体論の言葉に翻訳することができる。 類体論は「平方剰余の相互法則（一般相互法則の特別の場合）」やモジュラー函数や超幾何函数との関係を説明でき、より簡単に計算する方法を提供する。 特にガウスの定理（テイラーのR=T定理の特殊な場合）は、ヘッケ・ラマヌジャン・グロタンディーク・セール理論によって、解析と代数と幾何を橋渡しする。 12 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/08(金) 22:02:26.02 ID:UO/pDBgY.net] >>11 なるほど 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/08(金) 23:35:18.03 ID:sXMfmUav.net] 保型形式論-現代整数論講義-読んだ人っている？ 代数的整数論は勉強しててアデール環とか、ホモロジー代数は一応通ってるけど、保型形式は別の本から始めたほうがいい？ 14 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/08(金) 23:44:36.99 ID:2Cvnua+Z.net] Riemann面の知識（Riemann-Rochの定理や、Abel-Jacobiの定理など）があるなら、Diamond-Shurmanはおすすめ 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/09(土) 10:28:13 ID:BWOsylT0.net] >>9 『与えられた数より小さい素数の個数について』（Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe）1859年 ttps://de.wikisource.org/wiki/%C3%9Cber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6%C3%9Fe ttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8E%E3%81%88%E3%82%89%E3%82%8C%E3%81%9F%E6%95%B0%E3%82%88%E3%82%8A%E5%B0%8F%E3%81%95%E3%81%84%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%80%8B%E6%95%B0%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6 「正解じゃない」 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/09(土) 21:16:55 ID:Uc6SCXBR.net] 現代的な保型表現の純整数論的な応用が勉強出来る本（論文でも可)はありますか 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/09(土) 22:09:40.22 ID:rqDEIEKq.net] 保型形式論-現代整数論講義- 18 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/09(土) 22:47:30 ID:7lx/s2M/.net] そこまでのことは俺には分からんな 専門家が現れることを望む 19 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/10(日) 01:32:15.44 ID:AhAlgTS6.net] >>18 レスサンクスm(_ _)m 詳しい人のレス引き続き待ってます 20 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/10(日) 10:56:33.48 ID:TH3uCThO.net] 保型形式論 現代整数論講義がドンピシャだと思うけどスルーってことは何かあかんの？ 著者が長年京都大学で教鞭をとった整数論の講義を下敷きに，表現論的な保型形式論を講じる． リーマンのゼータ函数より出発し，Hecke環の一般論，Hecke作用素とL函数に関する古典的理論へと進む．大域体のアデール環とイデール群の導入による岩澤-Tate理論の解説，代数群の基本，保型形式・保型表現の一般的定義を経て，後半の発展的話題へと論を展開する． 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/10(日) 11:47:26.41 ID:BEX7sP6b.net] >>20 導入にセールの『数論講義』第2部「保型関数」を読むと仮定すると、次の志村の本（Introduction...）との間に一冊欲しい。 志村の本を読み始めるには少し手ほどきが必要だと思う。授業なら埋めてくれるけど、独学だと大変。 最近は、加藤・黒川・斎藤・栗原「数論（I・II）」の保型形式を読むのかな。 Diamond-Shurmanは、志村の古臭い7,8章の代わりに読むのが定石。 同様に『保型形式論 現代整数論講義』も、志村の次に読む感じ（半分は志村の復習）。>>13がひとりで読めるのか心配。 後半まで読んでやっと応用部分が出て来るってイメージかな。 22 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/10(日) 15:33:28 ID:AhAlgTS6.net] >>20 保型表現の話をする前座として 古典的保型形式論の話が前半部にあって その古典的保型形式論の話に純整数論の話が少し載ってるだけでしょ あなた目次しか見てないのにアンサーでしゃばっただけでしょ 23 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/10(日) 15:51:46 ID:AhAlgTS6.net] >>21 日本語本によくある「著者のメモ書き用の本」でしょ、その吉田先生の本。 まともにガッツリ勉強したいなら洋書のしっかりした本を読むべきでは。 吉田先生の本は 「だいたいどんな事をやるのか」をぼんやり眺めるのに部屋に飾っとくにはいい本ぽい。 >Diamond-Shurmanは、志村の古臭い7,8章の代わりに読むのが定石。 Diamondの本はよく知らないけど、高次元アーベル多様体上のゼータ関数なんかを たっぷり解説してくれてるの？ 印象としては志村本は、(複素)代数幾何学や類体論(整数論)とのつながりを たっぷり解説してくれてる印象だけど、そのDiamondの本は 代数幾何要素、数論要素が薄い気もするけれど あと志村本で使用されてるweil流の代数幾何って、 ハーツホーン1章の古典的代数幾何学の事とは全く似て非なるものなの？ 24 名前：アホを晒し続ける [2019/11/10(日) 16:00:26 ID:tZHz7CMv.net] 　数学は理解するもの。 いくら読んでも自慢には鳴らん りかいすれば応用したくなる。 りかいできてないから　応用はできない。　本を買い続けるバカが多い。 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/10(日) 16:13:53.68 ID:AhAlgTS6.net] こういうスレは上げたらアカンなすまん >>24 >いくら読んでも自慢には鳴らん 自慢したくて読むんじゃない読みたくて読みたくて読みたいから読むだけ 26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/10(日) 16:16:58.99 ID:C61lnXdj.net] ＞日本語本によくある「著者のメモ書き用の本」でしょ、 日本語に限らず多いな 著者が「自分が院生の時にあったらよかったのに」という本 役に立たないわけではないが今の院生が読んでも身につかない 27 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/10(日) 16:23:55.90 ID:wLjGwSGR.net] >>22 「保型表現の話をする前座として 古典的保型形式論の話が前半部にあって その古典的保型形式論の話に純整数論の話が少し載ってるだけ」 というのは「目次しか見てないのにアンサーでしゃばっただけ」ではないということ？ 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/10(日) 17:24:43.45 ID:BEX7sP6b.net] 269１３２人目の素数さん2019/11/10(日) 16:02:28.24ID:AhAlgTS6 rudinの本が芸術的域と書かれたレスを５ちゃんで見たことあるが その意味がだんだん分かってきた 数学科の学生は(上限の意味だけサラッと準備して)サッサとルベーグ積分やった方が いいんじゃないか？ リーマン式の微積なんか学ぶ必要ホントにあるの 270１３２人目の素数さん2019/11/10(日) 16:53:07.34ID:niu6Js1G アホ乙 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/10(日) 21:36:53.89 ID:s8cgGFtU.net] >>24 自嘲ですか？。 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/10(日) 22:38:48.51 ID:C61lnXdj.net] 吉田と伊吹山を買って読むだけで何も研究できません〜 31 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/11(月) 18:31:30.13 ID:5jtJk/K8.net] 数論って何が面白いんだろうな 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/11(月) 20:14:21 ID:aCAjpEag.net] 整数論に惹かれるのは ・学部3年の終わりになっても高校数学の「整数」の知識しかなく易しいと思っている ・日本人で活躍している数学者が多いらしいと聞いた ・なんか凄そう　なんか難しそう ・俺はリーマン予想を解く！ あたりじゃないかw 定員50人の数学科で15人くらいが整数論志望だったり ネットで聞きかじっただけで学部程度の代数の知識もなければ 複素解析もあやふやなのに整数論〜　保形関数〜って言ってるw 33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/11(月) 20:46:09.45 ID:RUqcx4Ci.net] ID:AhAlgTS6 ID:aCAjpEag ばかはひっこんでな 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/11(月) 21:22:37.34 ID:bJfqIAgS.net] >>32 おそらく数学科でないあんたこそずっと粘着してるみたいだから レス返してあげとくと 数論ほど膨大な準備が必要な分野はないし リーマン予想がどうだこうだなんて数論を動かす動機にまでまだ熟してないから リーマン予想は多くの数学者にとって現実的な興味を持たれてない 数論で今猛威を奮って流行ってるのは非可換類体論 分野として急成長しているのは保型表現論 そして数論の深淵を鼓舞し続けてるがモチーフ理論 これで満足したならお受験板にお帰り どうせNHKのおこちゃま番組見てリーマン予想って言葉だけ覚えて来たんだろ 35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/11(月) 21:56:26.63 ID:aCAjpEag.net] ＞数論で今猛威を奮って流行ってるのは非可換類体論 ＞分野として急成長しているのは保型表現論 ＞そして数論の深淵を鼓舞し続けてるがモチーフ理論 なんつーか日本人エリート整数論研究者の視点ってよくわかるねえw もちょっと視野を広く持ったほうがいいんじゃないのぉ？ 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/11(月) 22:51:22 ID:bJfqIAgS.net] >>35 ↑ 根拠を語れないバカ 荒らしと一緒のカス 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/11(月) 23:14:14 ID:aCAjpEag.net] 若い人かな？　元気いいねえ　いいことだよ たまたま通りすがっただけだけど Number Theory and Dynamics Conference 2019 https://www.maths.cam.ac.uk/number-theory-and-dynamics-2019 なんて面白そうなことやってたけど日本人が全然いないんだよねえ まあ>>34のような調子でやってても十分面白いと思うし日本の強みだろうけど ガラパゴスだと次世代が辛くなんない？ 38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/12(火) 03:31:12.42 ID:pGdPBV1s.net] >>37 https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kawaguch/pdf/14AlgSym.pdf 日本のアラケロフ幾何の人がサーベイ書いてるけど この分野が数論的に深い内容とも思えない これから先は知らないけど 39 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/12(火) 07:47:12.63 ID:2qgDhYpJ.net] >>31 というか、代数学がつまらない ふつうに考えて、方程式なんて解析的に解ければそれでよくて、制限条件をつけて構造を調べても実質的に意味のある成果なんか得られてないと思う 40 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/12(火) 07:57:44.38 ID:2qgDhYpJ.net] あ、線形代数は別な 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/12(火) 08:03:45.37 ID:qdEuRd+A.net] >>39 おまえの考えがつまらない。 ま、面白いかつまらないかなんて主観と言えばそうだが 数値解てほんとつまらんなというのは数学始めたときから思ってた。 42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/12(火) 08:07:17.41 ID:qdEuRd+A.net] たとえば実数というのは現実とよくマッチにしているように感じられたとしても それはごく表面的な話だよ。 もっと深い真実があるだろうというのが整数論をやってるひとの感覚。 43 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/12(火) 08:16:25.35 ID:r+MEx+y3.net] 急につっかかってきて、どうしたの？ 大丈夫？ 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/12(火) 08:25:39.09 ID:qdEuRd+A.net] さすがに有理数と無理数の区別に意味がないとは言わないだろう。 たとえばαが有理数か無理数かで e^{2πiα}が生成する乗法群は有限群か無限群かという違いが生じるが 無限と「大きな有限」には大差ないというのは数学センスが無さすぎる。 そして、有理数と無理数の区別は 「いくら顕微鏡で拡大して見ても分からない」 「これほど文明の利器が無力なことはない」 という話は加藤和也氏がよく言うこと。 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/12(火) 08:26:19.16 ID:qdEuRd+A.net] >>43 別につっかかってないよ。 46 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/12(火) 09:15:31.91 ID:WLmwUo3P.net] え、このポエムまだ続いてたの 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/12(火) 09:41:59.08 ID:4Wa0wzVV.net] >>40 >あ、線形代数は別な わざわざ線形代数付け加えて予防線張ったがバカを隠せなかったか?! 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/12(火) 12:57:45.64 ID:o5Hd0KQD.net] 君の心を制する論 49 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/12(火) 20:46:14.52 ID:pGdPBV1s.net] >>39 >方程式なんて解析的に解ければそれでよくて 「方程式を解く」こと自体の何が面白いのか一切分からん おまえは数学自体に興味なさそうだからどっかヨソに行けよ 50 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/13(水) 09:45:30 ID:ijLD09d+.net] どのスレ行っても、松坂くんの同類みたいなのが粘着してくるんだな 51 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/13(水) 10:07:30 ID:Ajmu1F1a.net] 面白い子… 52 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/14(Thu) 16:29:32 ID:KNef70nc.net] MilneのClass Field Theoryのレクチャーノート、Tate cohomologyのとこまで読んだ だいたい先が読めてきた 53 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/15(金) 12:56:52 ID:rsjAj3s1.net] H^2の元とカップ積をとるって、これ具体的に何してるんだ 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/16(土) 20:33:07.89 ID:TWCKGAsw.net] >>31 ガウスによると数学の女王様 限りなく知的にした暇つぶし 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/17(日) 15:37:34 ID:Jy5Xr3Sm.net] 崩れども、職が決まらなくてノイローゼか？ 女子高生盗撮して逮捕されんなよ！ 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/18(月) 06:16:24.05 ID:jd68cgvR.net] ま〜た方程式解析的に解くの好きなバカが来てるのか？！ｗｗ 57 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/21(木) 19:06:03.88 ID:7ydlzo1K.net] SGA4.5は、Deligneの講義のノートが英訳されてるのね 58 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/21(Thu) 20:57:18 ID:RqwvZzLC.net] 今の院生も、Weil conjectureを読むの？ 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/22(金) 13:05:34 ID:h5DCUtB2.net] ∃今の院生、Weil conjectureを読む なのか ∀今の院生、Weil conjectureを読む なのか 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/23(土) 12:38:06 ID:l1V4EcSb.net] >>57 URLきぼん 61 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/23(土) 13:38:38 ID:x4QqneuD.net] たぶんこれ https://www.jmilne.org/math/Documents/TArcata.pdf SGA 4.5の一章の内容をカバーしている 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/24(日) 02:01:24 ID:qvRhGo3d.net] >>61 多分も何も 箸にも棒にもかかってないよ・・・ 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/24(日) 02:07:56 ID:qvRhGo3d.net] SGA4.5ってSGA４とSGA５の事かと思ったらSGA４(1/2)みたいだし しかもページ数的にSGA４(1/2)の3割も満たない訳で SGA４(1/2)分の英訳が他にも同じような形で全部やられてるならまだしも まぁ仏語読んだほうが早いから誰も困らないけど 64 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/24(日) 04:13:30 ID:y1VnSm0s.net] そういう勘違いを勝手にされても…… 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/24(日) 04:46:29.28 ID:lIWRjmDQ.net] SGA1 (エタール被覆と基本群) SGA2 (連接層の局所コホモロジーと大域および局所レフシェッツの定理) SGA3 (群スキーム) SGA4 (トポス理論とスキームのエタール・コホモロジー) SGA4.5 (エタール・コホモロジー) SGA5 (l 進コホモロジーと L 関数) SGA6 (交叉理論とリーマン・ロッホの定理) SGA7 (代数幾何学におけるモノドロミー群) なおBerthelot著crystalline cohomologyがSGA8 と呼ばれることがあるが、Grothendieckの構想と直接の関係はない。 66 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/24(日) 04:52:07.34 ID:qvRhGo3d.net] >>64 一行目じゃなく二行目にこそ言及しろよ・・・ 自分の都合の悪い方を無視するって役人か 67 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/24(日) 05:06:10.87 ID:qvRhGo3d.net] だいたい４．５という表示もバカ過ぎる ４と5はエタールコホモロジー繋がりだから思いっ切り紛らわしい 68 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/24(日) 05:08:24.25 ID:y1VnSm0s.net] ああ話の通じない人か 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/24(日) 05:16:48.42 ID:UgLzXFm4.net] 話を通じさせるに足らないレスをしたから話が通じなかっただけに見えるけどな 70 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/24(日) 05:22:13.17 ID:S7fZqkGc.net] 誰も「SGAの英訳」なんて言ってないし、そもそもDeligneの講義の公開されてる講義ノートってこれしか知らんし 71 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/24(日) 10:23:58.18 ID:yRogefzO.net] >>64 これのどこに話が通じる要素があったのだろうか 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/24(日) 10:25:50.69 ID:lIWRjmDQ.net] >>62（NGID:qvRhGo3d）が「箸にも棒にもかかってない」ブーメランを自分の頭に直撃させて流血してるスレｗ 73 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/24(日) 11:39:44.94 ID:QXbhpCXR.net] 代数幾何学スレで暴れてたのもこいつだろ？ 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/24(日) 11:46:00 ID:lIWRjmDQ.net] https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1569284478/177 177１３２人目の素数さん2019/11/24(日) 04:54:32.06ID:qvRhGo3d > >>176 > アレは読める必要ないし > アレが読める人はアレを読む必要ない > 素直にSGA4読むべき 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/29(金) 19:00:54.74 ID:pe2ka8WL.net] 根拠を添えない価値判断のレスはノイズ 76 名前：１３２人目の素数さん [2019/11/29(金) 20:27:59.57 ID:J0muYKv/.net] 無自覚な荒らし こんな過疎スレでのしつこい自己主張 病気だよ 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/29(金) 22:01:28 ID:vKqxpXQ6.net] >>75（NGID:pe2ka8WL）が「根拠を添えない価値判断のレス」ブーメランを自分の頭に直撃させて流血してるスレｗ Inter-universal geometry と ABC予想 42 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572150086/511 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572150086/512 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572150086/515 78 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/02(月) 23:02:01.36 ID:jqTAVnfX.net] 小野孝の数論序説を読んでる ヒルベルトの理論を円分体に用いると、二次体の分解法則が明示的に記述できることが分かった 明日、証明フォローする これやったら、類体論やる前にセールの本の二次形式も読みたい 79 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/02(月) 23:55:09.51 ID:5sKm6YgQ.net] 堀田良之　可換環と体に、代数関数体の合同ゼータ関数の話が書いてある SGA読めへんからこれ読む 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/03(火) 00:12:05.79 ID:ok/lYc1u.net] >>78 「Artin写像の核には、シュトラール類群（Ray class group）とノルムの積である合同イデアル類群が現れる。」（定理2.21） 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/03(火) 13:24:55 ID:ok/lYc1u.net] 類体とは、『素イデアルの分解の仕方が、合同イデアル類群によって判る』ようなアーベル拡大体のことである。 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/03(火) 18:16:02.62 ID:ok/lYc1u.net] >>80-81の背景となる理論があるからこそ、円分体や二次体の『素イデアルの分解の仕方が、類数公式によって判る』と言える。 この類数公式に出て来るのが各種のゼータ関数やL-関数で、類体の秘密を宿している。 83 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/03(火) 20:01:02.76 ID:gPtg0Ato.net] そうですか 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2019/12/04(水) 19:51:15 ID:VRSz7R/S.net] 非アーベル拡大の場合はどうなるんですか？ 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/04(水) 21:11:30.19 ID:Wbp2eSrj.net] >>84 Deligne予想＝「有限体上の高次元類体論の非アーベル化」（未解決） 斎藤秀司「高次元類体論の現在」p.259-p.260, 7 有限体上の多様体の類体論の非アーベル化 https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/67/3/67_0673246/_pdf/-char/ja 86 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/04(水) 23:31:57.04 ID:UGmt7zC4.net] やべえ超おもしろそう 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/05(Thu) 02:46:27 ID:8d5Q6ATA.net] 「類体の秘密」を調べるもう一つの方法が『岩澤理論』 加藤和也「整数論の近年のいくつかの進展をふりかえって」p.420-p.425, 2 岩澤理論の発展 https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/69/4/69_0694413/_pdf/-char/ja 88 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/05(木) 19:03:18.53 ID:Fg0w6fL3.net] クロッカワーの中年の夢 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/05(木) 20:25:46.67 ID:8d5Q6ATA.net] >>11 『クロネッカー青春の夢』 => 類体論 『虚２次数体上のアーベル方程式は、虚数乗法を持つ楕円関数の変換方程式で汲み尽くされる』 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/05(Thu) 20:50:04 ID:8d5Q6ATA.net] ヒルベルトの第12問題 杉浦 光夫「ヒルベルトの問題II」p.259-p.260, 第XII問題 解析函数によるアーベル拡大の構成 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/05(Thu) 20:52:25 ID:8d5Q6ATA.net] https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/43/3/43_3_253/_article/-char/ja/ 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/07(土) 14:11:31 ID:/4V2zz1q.net] 証明問題 「５つの整数が与えられている。 その中の３つを上手く選べば、その和が３の倍数になる。」 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/07(土) 14:13:56 ID:xYeMsbxM.net] >>92 この問題は時期的にまずい。 もうちょっと待て。 94 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/07(土) 14:25:28.00 ID:ldQuDe0i.net] a^3 - b^3 = 217 を満たす整数の組(a, b)を全て求めよ 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/07(土) 14:43:56.51 ID:Wk76fm8B.net] >>94 まるパクリかよｗｗｗ https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q129066282 96 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/08(日) 17:10:38.94 ID:y1Z7V0Cu.net] 整数論って何が面白いの？ 97 名前： mailto:sage [2019/12/08(日) 19:07:22.73 ID:pUbC5NI4.net] >>96 素因数分解が一通りであることを証明するのが面白いのです 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/08(日) 23:34:53.68 ID:VWd/DIsf.net] >>95 によれば (a,b) = (-8,-9) (1,-6) (6,-1) (9,8) 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 03:26:27 ID:g0j5uBcx.net] >>92 > 証明問題 > 「５つの整数が与えられている。 > その中の３つを上手く選べば、その和が３の倍数になる。」 ３を法として整数を３つの部分集合　C_k =def= { n?Z | n mod 3 = k } (0≦k≦2)に分割すると、 (1) ５つの整数の中に、ある k について C_k から少なくとも３つの整数を含んでいる場合、 同一の C_k に属する３つを選べばそれらの和は３の倍数になる (2) さもなければ、C_0, C_1, C_2 の各々から少なくとも１つは含まねばならない 従って、これら３つの部分集合の各々に属する整数を１つずつ選べばそれらの和はやはり３の倍数になる QED 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 03:28:26 ID:g0j5uBcx.net] >>99訂正 数学記号は文字化けするんですね（少なくともJaneStyleだと） 誤> ３を法として整数を３つの部分集合　C_k =def= { n?Z | n mod 3 = k } (0≦k≦2)に分割すると、 正> ３を法として整数を３つの部分集合　C_k =def= { n in Z | n mod 3 = k } (0≦k≦2)に分割すると、 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 10:48:20 ID:3RsZZfph.net] 正解です。 「2･3^n - 1 個の整数が与えられている。 その中から 3^k 個組 (その和は3^kの倍数) を 2･3^(n-k) -1 組取り出せる。 とくに、3^n 個を上手く選べば、その和が3^nの倍数になる。」 一般化しました。 「a個の整数が与えられているとき、 その中のb個を上手く選べば、その和がcの倍数になる。 (a>b>1, a>c>1)」 　　↓ 「 (a-1)(b^n -1)/(b-1) +1 個の整数が与えられているとき、 その中の b^n 個を上手く選べば、その和が c^n の倍数になる。」 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 11:11:23 ID:3RsZZfph.net] >>98 a^3 + b^3 + c^3 = 6^3 の整数解： 　(3,4,5)　(n,-n,6)　(-1,-8,9)　(-8,-10,12)　以外にある？ 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 11:39:18.20 ID:3RsZZfph.net] >>101 (a,b,c) = (2m-1,m,m)　とできるらしい。 [エレ解スレ３.491] www.renyi.hu/~p_erdos/1961-25.pdf 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 13:25:14.18 ID:8XNnxxK0.net] エルデシュ＝ギンツブルグの定理 「2m-1個の整数の集合には、和がmで割り切れるようなm個の整数の部分集合が必ず存在する。」 【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537116043/481-491 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 16:37:17.53 ID:8XNnxxK0.net] 「エルデシュ＝ギンツブルグの定理」（>>104）でm=3とした場合が、【数セミ】エレガントな解答をもとむ2019年11月号「出題１」（>>92）の場合。 「５つの整数が与えられている。その中の３つを上手く選べば、その和が３の倍数になる。」 問題文の「上手く選べば」を「必ず存在する」という存在定理に読みかえられる。 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/10(火) 07:02:14.68 ID:9+9M8wAb.net] >>101 (a1,b1,c1) と (a2,b2,c2) について成り立てば (a1+b1(a2-1), b1･b2, c1･c2) についても成り立つ。 >>103-105 (2m-1,m,m) と (2n-1,n,n) について成り立てば (2mn-1, mn, mn) についても成り立つ。 ∴ 素数mについて成り立てば十分。 (3,2,2)　…　偶奇の同じ2個を取り出す。 (5,3,3)　　　>>99 >>105 　12月号 107 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/10(火) 08:29:18.83 ID:4ThAzGsi.net] よそでやれ 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/10(火) 18:04:32 ID:iMjWsbUs.net] Erdős, P.; Ginzburg, A.; Ziv, A. (1961). "Theorem in additive number theory". Bull. Research Council Israel. 10F: 41–43. https://www.renyi.hu/~p_erdos/1961-25.pdf 「Zero-sum problem」 https://en.wikipedia.org/wiki/Zero-sum_problem 109 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/10(火) 21:11:39.73 ID:ot4vOSEi.net] へえ 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/11(水) 09:46:09.84 ID:VLSxIs0+.net] >>104 >>108 mは素数とする。 x_i をmで割ったときの剰余に注目して、昇順に並べる。 　0 ≦ x_1 ≦ x_2 ≦ ････ ≦ x_(2m-1) < m, ・同じ剰余がm個以上あるとき、そのm個を取り出す。 ・どの剰余も(m-1)個以下のとき、 　0 < x_(m+i) - x_i < p,　　(1≦i<m)　････(1) ここで、 S_0 = {0} S_1 = {0, x_(m+1)-x_1} S_t = { [Σ[i=1,t] f_i･(x_(m+i) - x_i)] mod m | f_i = 0または1 } とおく。 補題 　#S_t ≧ t+1,　　(0≦t≦m-1) (略証) tについての帰納法による。 #S_0 = 1, #S_1 = 2, S_(t+1) = S_t Ｕ { [s+x_(m+t+1)-x_(t+1)] mod m | s∈S_t } 右辺の２つの集合は、元の数は等しい。( #S_t ) しかし元の和は (x_(m+t+1) - x_(t+1)) #S_t だけずれている。(mod m) #S_t < m のとき、(1) より、mで割り切れない。 ∴ 後者の集合は S_t にはない元を含む。 ∴ #S_(t+1) ≧ #S_t + 1,　　　(終) #S_(m-1) = m だから 0,1,････,m-1 をすべて含む。 　s ≡ - (x_1+x_2+････+x_m)　　(mod m) となる元 s ∈ S_(m-1) を取り出せば、 　Σ[f_i=0] x_i + Σ[f_i=1] x_(m+i) ≡ 0　　(mod m) 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/11(水) 10:02:28.54 ID:6KWquTFR.net] >>110 それできる？ もともとのエルデシュの証明でまずmが素数の場合に限定してるのは S_tからS_{t+1}にいくときS_tの各頂点があるmの約数の倍数ばかりになってて S_{t+1}にいくとき点が増えない可能性があるからで、実際にそれは起こる場合があるので やはりmが素数の場合から積み上げていくしかないなぁとあきらめたんだけど。 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/11(水) 11:58:49.38 ID:VLSxIs0+.net] ご指摘のとおり、mが素数であることを使っています。 　0 < x_(m+i) - x_i < m,　　(1≦i<m)　････(1) 　0 < #S_t < m より　x_(m+t+1)-x_(t+1) も #S_t も 1〜m-1 の範囲内ですから mで割り切れません。 さらに、mが素数ならば、その積もmで割り切れないと言えます。 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/11(水) 12:05:10.14 ID:X7w93S94.net] うまくm-1組のペアをその差からなるm-1元の集合のGCDが1になるように取れる。 がサラッと示せればいいんだけど素数の場合から積み上げていくより楽に示せればいけるんですけどね。 ペアの差の集合全体のGCDがmと互いに素であるケースにはすぐ帰着できるけど、その時そこからうまくm-1組みdisjointに選ぶ方法が見つからなくて諦めました。 あるかも。 114 名前：ID:1lEWVa2s mailto:sage [2019/12/11(水) 16:23:00 ID:ZCHbKWmQ.net] ユークリッド互除法か。 115 名前：ID:1lEWVa2s mailto:sage [2019/12/11(水) 16:23:49 ID:ZCHbKWmQ.net] ユークリッド互除法の研究とリーマン予想に挑むか。私のこと。 116 名前：ID:1lEWVa2s mailto:sage [2019/12/11(水) 16:25:37 ID:ZCHbKWmQ.net] あんたまだフェルマーの最終定理が残ってるでしょう。きっちり落とし前付けてくださいよ。あうとれいじ。私のこと。 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/11(水) 20:47:48 ID:eOvZJ1In.net] 「加法的整数論」には、「Erdős–Ginzburg–Ziv の定理」（>>104-108）や「分割数の理論」が含まれ、難問が多いことで知られる。 「分割数の理論」とは、自然数nを正の自然数の和としてあらわす方法で、視覚的な表現に「ヤング図形」が知られている。 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/11(水) 20:49:55 ID:eOvZJ1In.net] Additive number theory「加法的整数論」 https://en.wikipedia.org/wiki/Additive_number_theory 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/11(水) 21:01:51 ID:eOvZJ1In.net] オイラーの時代には「加法的整数論」が数論の中心問題で、「ウェアリングの問題」や「ゴールドバッハの予想」が知られていた。 https://ja.wikipedia.org/wiki/ウェアリングの問題 （1909年、ヒルベルトが解決） https://ja.wikipedia.org/wiki/ゴールドバッハの予想 （未解決） 120 名前：ID:1lEWVa2s mailto:sage [2019/12/12(木) 07:32:15.29 ID:SapOZy/t.net] やんぐやぶろうか.。 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/12(Thu) 23:49:16 ID:SkZ4piX8.net] addictive number theoryだと加法和也っぽいよね。 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/15(日) 02:04:08.30 ID:ZsSoi6ig.net] 問題投下 以下の条件一と条件二を共にみたす、正の整数nは無数にあるか？ 条件一：2^n +1が、n-1で割り切れる。 条件二：2^n +2が、nで割り切れる。 計算してみると、n=2,6,66は条件一と条件二を共にみたすことがわかる。 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/16(月) 13:21:25.49 ID:SA3ul0f3.net] 「加法的整数論」を勉強するなら ヒンチン著 蟹江 訳「数論の3つの真珠」 がおすすめ。 1. ファン・デル・ヴェルデンの定理 2. シュニレルマンの不等式 3. ウェアリングの問題 今なら 4. Zero-sum problem が加わっているところだ。 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/18(水) 02:47:36.94 ID:7Q6rmdWN.net] ニーズがあるかわからんが、一応>>122の回答w kが条件一と条件二をみたすとき、m=2＾k +2も条件一と条件二をみたすことをいう。 明らかに、kは4で割り切れない偶数でかつ2＾k +2はkの奇数倍であることがわかる。 m=2^k +2が条件一をみたすこと 明らかに2^k≡-1 (mod 2^k +1)がいえるから、2^(2^k +2)≡-1 (mod 2^k +1)　よって、2^m +1≡0 (mod m-1)がいえる。 m=2^k +2が条件二をみたすこと 明らかに、2^(k-1)≡-1 (mod 2^(k-1) +1)がいえるから、2^(2^k +1)≡-1 (mod 2^(k-1) +1)　よって、2^(2^k +2) +2≡0 (mod 2^k +2) したがって、2^m +2≡0 (mod m)がいえる。 125 名前：◆1Q4eaNW1a6 [2019/12/18(水) 23:26:32 ID:Vi/bkRgQ.net] ζ := ζp = exp(2πi/p) Kummerは、Z[ζp]がUFDとなる素数pに対しては、Fermat's last theoremが成り立つことを示したそうですけど、どうやるんでしょう (x - yζ)(x - yζ^2)...(x - yζ^(p-1)) = z^p と因数分解してチョチョイのチョイ、とはいかなそうです 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/19(木) 00:15:53.94 ID:ENTaecAy.net] ググったらこんなんあった alg-d.com/math/number_theory/fermat.pdf 証明載ってるみたいだけど私には読めないorz 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/19(木) 12:11:21.48 ID:qgGaWerI.net] バーゼル問題「平方数の逆数全ての和（ゼータ関数のS=2の値）を求めよ」 https://ja.wikipedia.org/wiki/バーゼル問題 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/19(木) 12:32:53.26 ID:iabKtfR3.net] 「加法的整数論」は20世紀にイヴァン・ヴィノグラードフ（Ivan Vinogradov）らによって進展した。 Vinogradov "The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers" Dover 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/19(木) 14:12:49.49 ID:iabKtfR3.net] 1937年ごろ、三角和の方法を用いてヴィノグラードフの定理が証明された。 ヴィノグラードフの定理「十分大きな任意の奇数が3つの素数の和として表すことができる」 https://ja.wikipedia.org/wiki/ヴィノグラードフの定理 この「弱いゴールドバッハ予想」（ヴィノグラードフの定理）は、「一般化されたリーマン予想」を仮定することなしに、証明することができた。 「加法的整数論」の主要なテーマ： 1. ファン・デル・ヴェルデンの定理 2. シュニレルマンの不等式 3. ウェアリングの問題 4. Zero-sum problem 5. ゴールドバッハ予想 130 名前： [2019/12/19(木) 14:35:00.67 ID:wqId/fcZ.net] >>126 ありがとうございます。 読んでみます 131 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/20(金) 02:07:53.58 ID:yiLw1Jz8.net] 0800 しろ@huwa_cororon 11月27日 苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！ https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000 (deleted an unsolicited ad) 132 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/20(金) 11:16:27.22 ID:ws8TJhKh.net] 整数論にまともに体系化された理論なんてないから勉強するだけ無駄 ゴールドバッハ予想や双子素数問題のような極めて基礎的な問題ですら解けてないのが現実 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/20(金) 11:42:15.13 ID:Dc+SffUG.net] 類体論 134 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/20(金) 21:21:03.45 ID:vUqDEWsx.net] 代数的整数論をまじめに勉強する学生も減った 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/20(金) 21:34:46.39 ID:AI7yVZXK.net] 数論幾何 136 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/20(金) 22:42:31 ID:vUqDEWsx.net] 数論幾何を理解できる学生も減った・・・ 137 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/20(金) 23:14:02.78 ID:ityGs6Ho.net] 数論幾何は具体的なことやってて楽しいじゃん 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/20(金) 23:29:38.76 ID:vUqDEWsx.net] 数論幾何で一本補助線を引いたらぱーっと問題が解ける 補助線に気がついた時の感覚がたまらないねww 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/24(火) 12:42:40 ID:59hVbcCY.net] 幾何以外の分野だと補助線の存在ってなんなの？ 媒介変数？ 140 名前：１３２人目の素数さん [2020/01/29(水) 00:44:54 ID:s5EHIoOZ.net] SGA 4 1/2を読もうと思う 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2020/01/29(水) 02:00:13 ID:Bb/kUddm.net] 加藤さんの後継者って誰か日本にいないの？ 142 名前：１３２人目の素数さん [2020/01/29(水) 13:01:21 ID:3zT5wqvW.net] 双子素数問題の中国人やタオによる成果って、数論幾何とは別方向からだろ。 ゴールドバッハにしても。 数論幾何を崇める視野の狭いのが日本には多いね。 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/05(水) 03:18:08 ID:AQM1KB8L.net] ウィルソン剰余 　W(n) = mod((n-1)!, n) 〔ウィルソンの定理〕 　nが素数のとき　W(n) = n-1, 　n=4 のとき　W(4) = 2, 　n≧6 が合成数のとき　W(n) = 0, 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/05(水) 03:22:42 ID:AQM1KB8L.net] (略証) nが素数pのとき 　1≦a<p とする。 　{a,2a,････,(p-1)a} のどの2個も (pを法として) 合同でない。 　また pの倍数でもない。 　よって 1,2,････,p-1 と合同な元が1個づつある。 　ba≡1 (mod p) となるbを a^(-1) と記す。 　aa≠1 (mod p) ならば、aと a^(-1) が対をなす。 　aa≡1 (mod p) となるのは a=1, a=p-1 のみ, 　(p-1)! ≡ p-1　(mod p) n=4 のとき 　(n-1)! = 3! = 6 ≡ 2　(mod n) n=pq≧6 のとき 　(p-1)(q-1) > 1, 　n = pq > p+q, 　n | n(p-1) = p(n-q) | (n-1)! (終) 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/02/19(水) 15:32:59 ID:q7AU3Hic.net] 653 １３２人目の素数さん2020/02/18(火) 08:55:02.79ID:i1rO8ufq 私は、数論(数論幾何)の美しさは、数がその背後に深遠な数学的構造を宿してるからだと ばかり思ってきました。加藤和也先生の「素数の歌が聞こえる」という表現は あまり詩的過ぎて今まで漠然と受け取っていましたが、しかしあくまで 数自体はその深遠な数学的構造を人間に教えてくれる媒介であって 謂わばそれ自体が本質ではない副次的な存在だと勝手に信じていました。 しかし私がそのような理由で、以前より軽視していた初等整数論の本で ハーディの数論講義を最近一瞥したら、実はそうではなく、 背後の深遠な数学的構造の有無以前の、その素朴な数自体にも 人間の知性を超えた輝きが確かに存在しているのだと、考えが少し変わりました。 その数自体の美しさを知った上で今までの自身の学習を振り返ると、 複雑な込み入った数学的構造自体の上っ面にしがみつき踊らされ 頭のゴムひもが伸び切ってしまっていたようにも思います。 代数幾何、類体論、保型形式など通常の洗練された現代数学と並行して、 数の原点である初等整数論や解析的整数論も少しずつ学んでみようかと 思っています。とりあえずハーディの本を読むのも一朝一夕には行かない と思いますが、ハーディの本を読んだあとは、 ジーゲルの解析的整数論、分割関数、連分数、素数分布論、 リーマンゼータ関数や楕円曲線の初等的な取り扱い、など色々考えられますが、 素朴な数の原点のその最高峰は何と言ってもラマヌジャンのような気がします。 ノートブック5巻、ロストノート5巻、これだけで既に膨大ですが つまみ食いで学んでいくにしても、一体どこから何に手を付けるべきか 道標を示してくれているサーベイすら殆どありません。 どの巻はどんな内容でどんな人がどこから学んでいけばいいのか、 宜しければ是非ともお聞きしたいです 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/26(木) 10:19:46.92 ID:zUlAmjt2.net] >>143 ウィルソンの定理の拡張 n≧3 に対して 　P(n) = Π[1≦m≦n-1, (m,n)=1] m とおく。このとき (1)　P(n) ≡ ±1　(mod n) (2)　P(n) ≡ -1　(mod n) となるのは 　n = p^e, 2p^e　　(pは奇素数、e≧1) 　　= 4 のときである。 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/26(木) 10:25:26.81 ID:zUlAmjt2.net] (略証) (1) 　A = { m | 1≦m≦n-1, (m,n)=1} 　B = { m | mm≡1　(mod n)} 　C = { m | mm≠1　(mod n)} とおくと Aは乗法群をなす。　A = B + C 　m∈A に対しては逆元 m^(-1) が存在する。 >>144 　m∈C ならば m と m^(-1) が対をなして相殺する。 　　　Π[m∈C] m = 1, 　m∈B ならば m と n-m と対をなすが -1 が残る。(← m≠n-m) 　　　m(n-m) ≡ -mm ≡ -1　(mod n) 　　　Π[m∈B] m = (-1)^(#B/2) 　　　ここで #B は偶数。 よって 　P(n) = Π[m∈A] m 　　= (Π[m∈B] m)･(Π[m∈C] m) 　　= (-1)^(#B/2) 　　= ±1 (2) 　P(n) ≡ -1 (mod n)　⇔　#B が4の倍数でない。⇔ 　　n = p^e, 2p^e　　(pは奇素数、e≧1) 　　　= 4 数学セミナー、2000年3月号　NOTE (土岡氏) *)　nの素因数分解における2の指数をe, 相異なる奇素数をk種とすると 　#B = 2^k　　　(e=0,1) 　　= 2^(k+1)　　(e=2) 　　= 2^(k+2)　　(e≧3) となることが、中国剰余定理とnが素数べきの場合の計算から分かる。 高木貞治：「初等整数論講義」第2版、共立出版 (1971) www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320010017 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 13:57:46 ID:3A39oS9Q.net] ご参考 [1]　C[n-1,r-1]・C[n,r+1]・C[n+1,r] = C[n-1,r]・C[n,r-1]・C[n+1,r+1], 　　　V. Hoggatt - Hansell: Fibonacci Quarterly, ９, p.120-133 (1971) [2]　GCD{C[n-1,r-1]、C[n,r+1]、C[n+1,r]} = GCD{C[n-1,r]、C[n,r-1]、C[n+1,r+1]} 　　　Henry W. Gould (1972) ・文献 　B.Gordon, D.Sato, E.Straus: Pacific J. Math.,１１８(2), p.393-400 (1985) 　　(佐藤大八郎) 　数セミ増刊「数学の問題　第(3)集」日本評論社 (1988)　●72 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 15:17:04 ID:3A39oS9Q.net] 〔定理1〕(ガウスの三平方数定理) 自然数nが3個以下の平方数の和で表わせる。 (3)　　n = xx+yy+zz,　(x,y,z∈Z) 　⇔ (4)　　n ≠ (4^L)･(8k+7)　(L,kは非負の整数) 〔系1〕 　8k+1, 8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6 の形の自然数nは 3個以下の平方数の和で表わせる。 　8k+3 または 8k+6 の形の自然数nは、 ちょうど3個の平方数の和で表わせる。 〔定理2〕 十分大きい 8k+1, 8k+2, 8k+5 型の自然数nは、 ちょうど3個の平方数の和で表わせる。 　Schinzel (1959) 　E. Grosswald & A. J. Calloway (1959) 〔G.Pallの予想〕 (1933) 　16k+2 型は n>130　(反例: n=130) それ以外は 　8k+1 型は n>25　(反例: n=25) 　8k+5 型は n>85　(反例: n=5,13,37,85) と予想される。 数セミ増刊「数学の問題　第(3)集」日本評論社(1988) ●115 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/01(水) 16:27:58 ID:3A39oS9Q.net] >>148 [1] Ｃ[n,r] = n!/(r!･(n-r)!)　より。 [2] -(n+1)Ｃ[n-1,r-1] - (r+1)Ｃ[n,r+1] + (n-r+1)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n-1,r] n･Ｃ[n-1,r-1] + (r+1)Ｃ[n,r+1] - (n-r)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n,r-1] -n･Ｃ[n-1,r-1] - r･Ｃ[n,r+1] + (n-r+1)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n+1,r+1] ∴ GCD{Ｃ[n-1,r-1]、Ｃ[n,r+1]、Ｃ[n+1,r]} は右辺の約数でもある。 つまり 右辺のGCD の約数である。 この関係において r を n-r と置き換えれば、ただちに逆の関係を得る。 つまり証明が完成する。 151 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/02(Thu) 00:45:08 ID:FuYTez5K.net] とりあえず、円分拡大の相互法則くらい理解したい 152 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 11:44:39 ID:5VVMl49z.net] Hilbertの理論を勉強中 k: algebraic number field K/k: Galois extension O_K(, O_k): integral closure of ℤ in K (resp k) p⊂O_k: prime ideal pO_K = P_1^e_1∩ ... ∩P_g^e_g (P_i⊂O_K: prime ideal) 153 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 15:11:43 ID:eeTVLRoC.net] 数論よく知らんけどF_pの原始根って存在だけで具体的な記述は未だ不明なの？ すごく基本的なことだと思うんだが 154 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 16:25:04 ID:DGkWtZig.net] K/kがGalois拡大だと e_1 = ... = e_g なので、これをeとおく また、p⊂O_kおよび各P_i⊂O_Kは極大イデアルなので、それによる剰余環は体 Κ_i = O_K/P_i κ = O_k/p f_i := [Κ_i : κ] とすると、K/kがGaloisなら f_1 = ... = f_g これをfとおくと [K : k] = efg 155 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 19:40:53 ID:fI678po3.net] 各P_iに対して D_i := { g∈Gal(K/k)| g(P_i) = P_i } とおく。 K/kがGalois拡大の場合、Gal(K/k)の{P_1, ..., P_g}への作用は推移的。 したがって、 g = |P_iの軌道| = |Gal(K/k)|/|D_i| ∴ |D_i| = ef 156 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 20:03:59 ID:WF2k6rTY.net] π: D_i→Gal(Κ_i/κ)が以下のようにして定まる g∈D_i, x + P_i∈Κ_iに対して、 π(g)(x + P_i) := g(x) + P_i これは、全射だが、単射ではない。その核をI_iとすると、 |D_i| = ef |D_i|/|I_i| = [Κ_i : κ] = f より |I_i| = e 157 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/03(金) 20:07:04 ID:WF2k6rTY.net] Gal(Κ_i/κ)は巡回群 その生成元をφ_iとする e = 1のとき D_i 〜 Gal(Κ_i/κ) なので、φ_iは、Gal(K/k)の元を定める これを ((K/k)/P_i) と書く 158 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/04(土) 11:44:57 ID:rt4buAzO.net] 円分拡大の場合 ζ = exp(2πi/n) K = ℚ(ζ) k = ℚ Gal(K/k) = (ℤ/nℤ)^× 159 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/05(日) 22:40:05 ID:UWMau7O6.net] 原始根がナゾすぎる 調べてみてもまだ全然よくわかってないみたいだけど モチーフとかラングランズとか進展すれば分かるんかな？ 160 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/06(月) 00:18:24 ID:kUIZrhZl.net] モチーフは定義されとるよ。役には立たんが 161 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/06(月) 00:40:52 ID:iyDiy84Y.net] はあ……？ 162 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/06(月) 16:10:26 ID:1uIC76Xf.net] 数論幾何が発展しても、具体的な代数拡大における素イデアル分解とか分かるようにならないのね 163 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/06(月) 20:58:58 ID:heuuRqFS.net] >>160 159だけどやはり役に立たないの？ 今の数論の方向性で原始根みたいな基本的なことの理解は深まるのか疑問だったんだよね 164 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/06(月) 22:23:39 ID:1EENeCgE.net] 多元の院生でした F先生は天才だと思うのですが、数論の天才はそれを遥かに凌駕するのですね…… この世界、ヤバスギですね…… 165 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/06(月) 22:36:29.99 ID:1EENeCgE.net] 私が学生のころから、I先生とF先生は多元の若手でも、明らかに突出していました。 そりゃあ、論文書かない教授とか居ますよ。だけど、旧帝大の先生なんて、やっぱ普通の人じゃなれないわけですよ その秀才集団の中でも、この2人って、学生の目から見ても明らかに天才だったんですよね。 でも、世界にゃ彼らから見ても雲の上みたいな数学者がわんさかいるんですよね ちっぽけだわ。俺ってちっぽけだわ。 166 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 00:45:04 ID:oxk5mTUl.net] 伝説級の数学者になる人 優秀な数学者になる人 数学者になる人 真面目な学生 おちこぼれ学生 そもそも学部入試すら通らないゴミ 透視図法みたいなもので、自分より遠くは粗くしか分類できない 167 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 00:48:50 ID:18gt0abs.net] K, k: 代数体 K/k: Galois拡大 O_K, O_k: K, kにおける整数環 p⊂O_k: 素イデアル pO_K = P_1^e_1∩...∩P_g^e_g (P_*⊂O_K: 素イデアル) と素イデアル分解したとする。 Κ_i := O_K/P_i κ := O_k/p f_i := [Κ_i:κ] とおくと、 [K : k] = Σ[i = 1 to g] e_i * f_i. Gal(K/k)のKへの作用は、{P_1, ..., P_n}への作用を誘導する。 K/kがGalois拡大の場合、この作用は推移的になる。この時、 e_1 = ... = e_g となる。これを簡単にeと書く。 K/kがGalois拡大の場合、さらに f_1 = ... = f_g となる。これを簡単にeと書く。よって、 [K : k] = efg. 168 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 00:52:16 ID:18gt0abs.net] D_i := { σ∈Gal(K/k)| σ(P_i) = P_i } とおく。このD_iをP_iの分解群という。群の作用の性質から |{σ(P_i)| σ∈Gal(K/k) }| = |Gal(K/k)|/|D_i|. Gal(K/k)の作用は推移的だったので、 g = [K : k]/|D_i| ∴ |D_i| = ef. σ∈D_iとする。 x + P_i∈Κ_iに対して、σ(x) + P_iを対応させることで、群の準同型 D_i → Gal(Κ_i/κ) が定まる。この準同型は全射だが、単射とは限らない。 その核をI_iとすると、 |D_i|/|I_i| = f_i ∴ |I_i| = e このI_iを、P_iの惰性群という。 169 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 08:20:16 ID:18gt0abs.net] 以下、e = 1の場合を考える。このとき、 D_i 〜 Gal(Κ_i/κ) Κ_i/κは有限体の代数拡大なので、Gal(Κ_i/κ)は位数fの巡回群。 その生成元をφ_iとする。φ_iのD_i⊂Gal(K/k)への引き戻しを、 [(K/k)/P_i] と書く。この元は、 [(K/k)/P_i](x) + P_i = x^f + P_i ∈ Κ_i となる元である。 [(K/k)/P_i]の位数が1 ⇔ pはO_Kで完全分解 τ(P_i) = P_jとなるτ∈Gal(K/k)を用いると、 [(K/k)/P_i] = τ^(-1)∘[(K/k)/P_j]∘τ となる。 したがって、K/kがAbel拡大であれば、この元はpのみから定まるので ((K/k)/p) と書く。 170 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 08:23:14 ID:18gt0abs.net] k = ℚの場合 K = ℚ(ζ_m) (ζ_m := exp(2πi/m)) p = (p)⊂ℤ (p:奇素数) とする。このとき、((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))は、 ((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))(ζ_m) = (ζ_m)^p で定まる自己同型である。 K: 代数体 K/ℚ: Abel拡大 とする。 Kronecker-Weberの定理より、あるmがあって、 ℚ⊂K⊂ℚ(ζ_m) となる。対応する群は、 Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)⊃Gal(K/ℚ)⊃{e} であり、 Gal(K/ℚ) 〜 Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)/Gal(K/ℚ). よって、p: 奇素数に対し、 (p)がKで完全分解 ⇔ ((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))のKへの制限が恒等写像 171 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 17:44:03 ID:teLchzzw.net] よくよく考えたら原始根以前に有限体やp進数の逆元も具体的に分かってるわけではないのか aとbが互いに素な整数のとき、ある整数a*とb*が存在して aa*+bb*=1 と出来る、この事実が全ての基礎になってるわけだけど これらが簡単に表現できない(互除法で行き当たりばったりで作るしかない)ことが神秘的なのかね 文元センセも言ってた加法と乗法の複雑な絡み合い 172 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 21:50:00.26 ID:xomzJtfm.net] 任意のnに対して、有理数体のガロア拡大で、ガロア群がZ/nZと同型になるものは存在しますか？ 173 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 22:15:15 ID:6spc6HMY.net] 算術級数定理より p = kn + 1 となる素数pが存在する ζを1の原始p乗根とすると、Q(ζ)/QはGalois拡大で、Gal(Q(ζ)/Q)は (Z/pZ)^× 〜 Z/(p-1)Z 〜 Z/(kn)Z これの部分群Hで、Z/kZと同形なものが存在する (Q(ζ)^H)/Qが求めるもの 174 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 22:22:16 ID:teLchzzw.net] なるほど〜 n|p-1なるpがあればいいとこまではわかったけど、算術級数定理か 175 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/07(火) 22:29:05.57 ID:3T2KVGlb.net] すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明してくれ〜 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/07(火) 23:41:22 ID:283MpXKW.net] >>175 1どうしましょ 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/08(水) 01:58:42.77 ID:O0tyApMG.net] >>175 レー二の定理 https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%89%E3%83%90%E3%83%83%E3%83%8F%E3%81%AE%E4%BA%88%E6%83%B3 178 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/08(水) 05:13:10.38 ID:Ibxp4XrV.net] この人がコーヒーの有名な一節の親なのか 「すべての自然数」てのはwikiのミスかね 179 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/08(水) 17:53:12 ID:9XSIHJqK.net] > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] 短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749 長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803 同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408 [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] 短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0 長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0 同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1 4×5の場合 宝：1個　同等 宝：2〜5個　短軸有利 宝：6〜13個　長軸有利 宝：14〜20個　同等 □■■■■ □□■■■ □□□■■ □□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 同等☆ Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}] 180 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/08(水) 19:08:41.74 ID:z2JLnDZ4.net] (1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3) ... 181 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/10(金) 10:57:23.96 ID:d17WbpJ8.net] >>180 e(n) := nを偶数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数 o(n) := nを奇数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数 とすると、x^nの係数は e(n) - o(n) 182 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/10(金) 12:25:30.15 ID:+JuE8csR.net] e(n) - o(n)は、-1〜1しか取らない 183 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/11(土) 21:27:44 ID:MRjm12uG.net] n=pq(異なる素数の積)のときn次の円分多項式の係数が-1〜1しか取らないことの証明教えて (このことからn=p^iq^jのときもそうなる) 184 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/11(土) 21:45:35 ID:MRjm12uG.net] 自己解決した 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/12(日) 22:21:11.40 ID:s2F2f2WJ.net] >>183 あれ？ それ成立しないって聞いた記憶かるけど？ 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/12(日) 22:32:34.23 ID:fxiBcFsv.net] >>185 それはnが3つ以上の奇素数の積のときではなく？ 187 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/13(月) 20:37:25 ID:eB1v2sjZ.net] ベルトラン仮説や算術級数定理のような素数に関する素朴でシンプルな定理あれば教えてください (上のレーニの定理は少し複雑だなという感想です) 188 名前：◆QZaw55cn4c mailto:sage [2020/04/13(月) 22:13:45 ID:2HELtJr7.net] >>187 ゴールドバッハの予想 ＞全ての 3 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる 189 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/13(月) 22:38:58.17 ID:eB1v2sjZ.net] て、定理をお願いします… 190 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/13(月) 22:39:44.21 ID:doFm6REC.net] 素数の逆数和は発散する 191 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/14(火) 11:01:55.50 ID:JKkrDks5.net] フェルマーの小定理 192 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/14(火) 13:35:21.37 ID:zAX8Cvpg.net] はよせい(｀_´) 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/19(日) 03:16:44 ID:tU5PHIJd.net] ウェアリングの問題、ゴールドバッハの予想 >>119 ヴィノグラードフの定理 >>129 レー二の定理 >>177 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/19(日) 03:17:23 ID:tU5PHIJd.net] Zero-sum problem、エルデシュ＝ギンツブルグの定理 >>108 バーゼル問題 >>127 虚数乗法 >>11 、類数公式 >>80-91 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/19(日) 03:23:47 ID:tU5PHIJd.net] 与えられた数より小さい素数の個数について >>16 https://ja.wikipedia.org/wiki/リーマン予想 196 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/19(日) 20:20:35 ID:74+JYiE8.net] おお！ありがとう ヴィノグラードフとエルデシュ=ギンツブルグ初めて知りました 197 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/20(月) 22:46:36 ID:35vuW0Bh.net] ベルトランの仮説はゴールドバッハの予想から持ってこれる。中国剰余定理とフェルマーの小定理は素数の定義と3000時間にらめっこしてれば大体の人が自力発見できると思う 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/23(Thu) 14:37:22 ID:M2d54xbk.net] 赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。 　i_1 + i_2 = i, 　j_1 + j_2 = j 　k_1 + k_2 = k, (i,j,k）が 　i+j+k = 偶数, 　|i-j| ≦ k ≦ i+j, の条件を満たすとき、 　{i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2}　　←集合として同じ とすることができるか？ （色違いは許して同数） 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/24(金) 17:10:41 ID:FdH14EWV.net] >>190 H_n = Σ[k=1,n] 1/k < Π[p≦n] (1+1/p+1/pp+････) = Π[p≦n] 1/(1-1/p) = Π[p≦n] {1 + 1/(p-1)} = 2Π[2<p≦n] {1 + 1/(p-1)} < 2Π[p<n] (1 + 1/p) < 2 exp(Σ[p<n] 1/p), H_n → ∞　(n→∞) より Σ[p<n］1/p → ∞　(n→∞) 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/24(金) 22:23:26.29 ID:FdH14EWV.net] >>190 ・高校数学の美しい物語 mathtrain.jp/primeinverse ・思考力を鍛える数学 www.mathlion.jp/article/ar085.html ・数学探偵Channel www.youtube.com/watch?v=eLgNAMAAo2M 02:53 ・杉山＆ヨビノリたくみ（鈴木貫太郎） www.youtube.com/watch?v=-mGm9iGx9hg 41:25 201 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/30(Thu) 16:58:26 ID:njuvIHl8.net] 保型形式は、楕円関数論の延長としてやるのが好ましいね Δ=G_2^3 - 27G_3^2 とか言われても、係数の意味わかんねーし 202 名前：１３２人目の素数さん [2020/04/30(Thu) 17:53:00 ID:Je+bO2n6.net] それって極の係数合わせてるだけではないの？ 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/04/30(Thu) 18:20:46 ID:grParZpf.net] モジュラー形式をリー群に一般化したのが保型形式だけど、後々保型形式を勉強することを見越してモジュラー形式を保型形式と呼ぶことがあるから、恐らくモジュラー形式の話だろう 保型形式"論"では判別式は登場しないので知らなくても問題ない 204 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/01(金) 14:34:31 ID:2+h9EAX6.net] >>198 できる。これは何かの有名な問題？ 205 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/04(月) 14:16:03 ID:jDRWX2Ph.net] 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku 昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、 学コンBコースが 1/1 = 100% ， 宿題が 3/10 = 30% でした！ 宿題の勝率が低すぎると思うので、 これからは一層精進していきたいです！ https://twitter.com/shukudai_sujaku (deleted an unsolicited ad) 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/09(土) 08:44:51 ID:pHr5kdzK.net] フェルマーの最初の定理って何だろう？ 〔問題〕 n≧0 に対して　F_n = 2^(2^n）+ 1　とおく。 (1)　F_{n+1｝- 2 = F_n (F_n - 2）を示せ。 (2)　m<n のとき F_m と F_n は互いに素であることを示せ。 (3)　奇素数が無限個あることを示せ。 もちろん、F_n が素数とは限らない。 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/09(土) 08:56:44 ID:pHr5kdzK.net] >>198 i_1 = j_2 =（i+j-k)/2, j_1 = k_2 =（-i+j+k)/2, k_1 = i_2 =（i-j+k)/2, など。(Ravi変換?) 208 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/12(火) 18:24:34 ID:bNx4VBt3.net] SerreのA Course in Arothmeticを読んでいます。 2章のはじめの定理の証明に、「ℤpはコンパクトであるため〜」(ℤpはp進整数環)とサラッと書いてあるのですが、どう証明するのでしょうか 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/12(火) 18:40:45 ID:gdd+7JW+.net] Aerosmithに見えた 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/12(火) 18:50:42 ID:eeOJx/cN.net] 局所体Kは局所コンパクトであり、その付値環οはコンパクトである Qpは局所体なので、その付置環Zpはコンパクトである 211 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/12(火) 18:56:11 ID:bNx4VBt3.net] 一般論知ってるとそうなるんですね。 局所体について書いてある本読んで見ます。 永田の可換体論かSerreのLocsl Fieldsに載ってるかな 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/12(火) 18:57:43.51 ID:7GDKXo0T.net] >>208 Z/pZの可算直積と見てチコノフの定理とかでいいんじゃなかったっけ？ 213 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/12(火) 18:59:46.73 ID:bNx4VBt3.net] p進整数はp進展開と1対1に対応するので、 X:=Π[n∈ℕ]ℤ/pℤ からの全射が存在。 各ℤ/pℤに離散位相を入れ、積位相を考えると、Tychonoffの定理よりXはコンパクト。 なので、上の全射が連続写像であることを示せば良い。 ℤpは位相群なので、0の閉近傍系p^nℤpがの逆像がXの閉集合になることを示せば十分。 nは任意に取り、p^nℤpの逆像をFとすると、Fは(... , n(p+2) , n(p+1), 0, ..., 0, 0)の形のもの全体。この補集合は、有限個の開集合×残り全部ℤ/pℤなので、Xの開集合。したがって連続。□ こんな感じか 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/12(火) 19:07:42 ID:XhRD3Cmi.net] >>208 Serreの流れだと有限環ℤ/p^nの射影極限だから有限集合（コンパクト）の（無限）直積で（チコノフの定理より？）コンパクトというつもりでしょ その商体Q_pはそれゆえ局所コンパクトという論法だろう 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/12(火) 19:10:55 ID:XhRD3Cmi.net] あっ，もう済んでた！ 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/12(火) 19:32:25 ID:gdd+7JW+.net] すべての副有限群はコンパクトってことか wiki読んでて知ったんだがすべての副有限群はある拡大のガロア群になるらしいね Z_pをガロア群として持つような拡大って例えば何？ 217 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/12(火) 19:33:19 ID:bNx4VBt3.net] みなさんありがとうございます。 非自明なのは、チコノフの定理と、積位相とp進距離による位相がちゃんと対応するところですね 218 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/12(火) 19:47:30.98 ID:rM3/opNb.net] >>216 pを奇素数 Gal(ℚ(ζ_p^(n+1))/ℚ) 〜(ℤ/p^(n+1)ℤ)^× 〜(ℤ/(p-1)ℤ)×(ℤ/p^nℤ) なので、ℚ(ζ_p^(n+1))の部分体K_nで、Gal(K_n/ℚ)〜ℤ/p^nℤとなるものが存在する K=∪[n≧1]K_n とすれば、Gal(K/ℚ)〜ℤ_p というふうに構成できたはず。 219 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/12(火) 19:56:01 ID:rM3/opNb.net] こんなことしなくても、 K_n=ℚ(ζ_p^(n+1)) K_∞=∪[n≧1]K_n とすれば、 Gal(K_n/K_0)〜ℤ/p^nℤ だから、Gal(K_∞/K_0)〜ℤ_pか 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/12(火) 19:56:11 ID:gdd+7JW+.net] >>218 なるほど、バチの方からうまく取り出すのか とはいえ最終形が謎すぎるな 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/12(火) 20:00:02 ID:gdd+7JW+.net] あー、p-1の方はQ(ζ_p)から始めれば消せるのか 222 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/13(水) 02:03:48.03 ID:A69DjUkt.net] お話ぶった切って申し訳ないのですが以下の疑問について教えて頂ける方はいらっしゃいますでしょうか？ �@自然数1からnまでの約数の個数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？ �A自然数1からnまでの約数の個数の逆数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？ よろしくお願いします 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/14(Thu) 18:07:54 ID:KTOBc2Kb.net] ID:bNx4VBt3 ageるな 224 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/15(金) 19:11:44.38 ID:coEapvpP.net] ググると、徳島大学の学部4年生が1年で Neukirchと、Hartshorneと、SerreのLocal Fieldsと、SGA 4 1/2の1章 を読了しているセミナーの報告が出てくるが、ホンマかいな 京大のAコースでもM1でHartshorne読み終わる奴も珍しくないのに 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/15(金) 20:00:18 ID:ugOrNQS2.net] ぱらぱら眺めて、言葉だけ覚えて、勉強した気になるアホはどこにでも一定数いる。 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/15(金) 20:15:14.67 ID:hmvVN81A.net] 東大のある先生は学部二年までにハーツホーン読んでて当たり前と言ってるみたいなのを数学板で見た 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/15(金) 20:31:50.23 ID:TZqau7rC.net] B4ならこんなもんじゃないの 228 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/15(金) 23:43:50.12 ID:KW08AtIKp] https://note.com/janpjp/n/n09f41d7c7309 これマジでやったほうがいいよ 英語の勉強全くいらなくなる 誰でも確実に英語脳できる 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/22(金) 17:20:29 ID:5RIWtRFh.net] 恥ずかしいことだが京理4回の講究は>>208で必ず引っかかる 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/22(金) 20:10:13 ID:ptQoMTfq.net] >>210 局所コンパクトな体の付値環がコンパクトってどう証明するんですか？ 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/25(月) 18:15:15 ID:as7r/XH1.net] ｛x｝= x -［x］ 　　= 1/2 - Σ[k=1,∞］sin(2kπx)/(kπ), [大学学部レヴェル質問スレ１３．398] 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/26(火) 12:10:54 ID:epuMy11v.net] >>230 局所体Kの付値環oがコンパクトだな 局所体は自明ではない乗法付値に対して非連結な局所コンパクト付値体なので、局所コンパクトな体だけでは条件が恐らく足りない Kの付値環oは(局所体が持つ正規(特に離散)指数付値が定める付値環なので)離散付値環である よって以降離散付値環に対して議論すればよい 一般に、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、oとlim_← o/p^nは代数的同型かつ同相…? 一方、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、商群p^m/p^{m+1}とo/pは同型なので、任意のn∈Nに対して商環o/p^nは有限で、特にコンパクトである よってチコノフの定理よりΠ_{n=1}^{∞}o/p^nもコンパクトで、コンパクトの閉部分集合はコンパクトなのでlim_← o/p^nもコンパクト ?よりoもコンパクトである 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/26(火) 12:28:18.19 ID:epuMy11v.net] すまん、離散付値環に対して議論すればよい って書いてるけど、 離散付値に関して完備、剰余類体が有限という局所体の条件を使ってるから、 一般の離散付値環がコンパクトとは限らない 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/26(火) 12:55:02.26 ID:aYF++qy3.net] 誰かの定理で局所コンパクト体が結局標準的な局所コンパクト体しかないって定理あったと思うんだけとなんだっけ？ 名前がアルファベットで四文字くらいだった記憶がある。 ググっても見つからない。 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/26(火) 23:31:49 ID:moFWvn2F.net] 整数問題の史上最高傑作？（Passlabo） aa+bb+cc = 292 のとき、整数(a,b,c）を求めよ。 www.youtube.com/watch?v=9OXdzn6hby0 13:24 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/26(火) 23:34:53 ID:moFWvn2F.net] {a,b,c｝=｛±2, ±12, ±12｝と｛0, ±6, ±16} 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/27(水) 03:30:02 ID:qjAXFTAb.net] >>234 なんかブルバキっぽい話題だな、ヴェイユあたりか？知らんけど 238 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/30(土) 21:59:15 ID:JGHWf3RD.net] a, bを互いに素な整数 p ≡ b (mod a) となるpが少なくとも1つ存在することは、初等的に示せる？ 239 名前：１３２人目の素数さん [2020/05/30(土) 22:44:12.93 ID:fvfWwsTO.net] modular curveのuniversal elliptic curveって何 なんかの表現可能関手のuniversal element？ 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/31(日) 00:02:06.93 ID:eEopntvU.net] >>238 bが1のときは確か円分多項式を利用してできるハズ。 一般にはむずかしい。 セルバーグの論文があったはず。(確か1950) 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/31(日) 08:58:38 ID:kTYcRm4u.net] >>240 >>238は「少なくとも1つ」ならば易しくなるか？と聞いてるのでは 俺もわからん 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/31(日) 12:38:45.35 ID:CSQH3/k8.net] やっぱディリクレの算術級数定理ってすげーわ 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/31(日) 15:47:15.60 ID:eEopntvU.net] >>241 なるほど、そうだ。 でも“少なくともひとつ”でも聞いたことないな。 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/05/31(日) 18:54:12.79 ID:l3wGZeTJ.net] ID:JGHWf3RD ID:fvfWwsTO ageるな 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/01(月) 05:17:10.22 ID:eforR3dR.net] はてなブログの「算術級数定理についての注意」という記事に書いてありますね。 （リンクが貼れない。） 「少なくとも一つ」としても簡単にならないという話です。 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/01(月) 11:28:05.49 ID:sNl9LSwh.net] 「少なくとも1つ」と「無数に」が同値になるのか 知らなかった 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/01(月) 11:49:54.17 ID:dxVayezA.net] マジか 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/01(月) 13:51:11.16 ID:sNl9LSwh.net] >>246 厳密には>>238よりも少し強い存在定理 a, b が互いに素な正整数ならば、 p = an + b が素数となる整数 n > 0 が少なくとも1つ存在する が成り立てば、無数にあるということか a > 0 かつ b > 0 で n > 0 なら p > b だから、 ap と b が互いに素になるということが重要なのか 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/01(月) 17:35:55.64 ID:2UPE3bfX.net] a,b固定ではなく互いに素な組すべてに対して存在を仮定してるのが味噌だね 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 00:09:32 ID:C/B76sA8.net] >>248 >>238の条件でも、すべての(a,b)=1 なる正整数につき少なくとも一つ pが存在するなら、[a,b]ごとに無限に存在することは言えますね。 算術級数達は直感的に思うより交わりがあるということかな？ 当然と言えば当然なのか？ それを使って何か知見が得られればいいけど。 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 00:35:24.82 ID:C/B76sA8.net] a≧2,a≧b≧1なるすべての互いに素な整数の順序対[a,b]に対して (1) p≡b (mod a) をみたす素数pが少なくとも1つ存在する (2) p≡b (mod a) かつ p>b をみたす素数pが少なくとも1つ存在する (3) p≡b (mod a)　 をみたす素数pは無限に存在する。 が成立することは同値。 (1)⇒(2)の証明 (k,a+b)=1なる整数kを十分大きく（a+b<kaをみたすように）取ると（(ka,a+b)=1でもあるから）(1)より p≡a+b (mod ka) をみたす素数pが存在するが、pは条件をみたしている。 (2)⇒(3)の証明 p≡b (mod a)かつp>b をみたす素数全体の集合をSとおくと(2)よりSは少なくとも1つの素数を含む。 Sを有限集合として矛盾を導く。Π_{p∈S}p=Πとおくと(2)より q≡b　(mod aΠ), q>b をみたす素数qが少なくとも1つ存在するが、qはq≡b (mod a)，q>b，Sに属するどの素数でも割れない をすべてみたすことになり矛盾する。 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 07:27:45.66 ID:iA0eGlWC.net] >>251 >(1)⇒(2)の証明 なるほど、それは気が付きませんでした もし b が素数なら p = b と取れてしまうので困る気がしたのですが、 gcd(a, b) = 1 かつ gcd(k, a+b) = 1 ならば gcd(ka, a+b) = 1 が成り立つので問題ないわけですね そして a+b < ka となる k を選べば p - (a+b) > 0 も言えると 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 07:31:38.49 ID:iA0eGlWC.net] >>252 >p - (a+b) > 0 ミス 正しくは p - (a+b) ≧ 0 です 254 名前：１３２人目の素数さん [2020/06/02(火) 13:46:17 ID:rz7PxQTp.net] Gをabel群とし、C(G)で各開集合にGを割り当てる前層の層化を表すことにします lを素数として、 lim[n]C(ℤ/l^nℤ)　　（ℤ/l^nℤの定数層の逆極限） と C(ℤ_l)　　（l進整数環の定数層） は異なりますか？ 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 17:55:58.35 ID:bCshvdgj.net] >>254 ageるなって言われてるのに無視するなよ、荒らし 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 19:28:27 ID:5mCeYLD4.net] 最近age,sageを覚えたのかな？ こんな過疎板で拘る意味ないよね 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/02(火) 20:30:57.91 ID:B1PZCxtK.net] U⊂Xを開集合として、mをUの連結成分の個数として C(Z_l)(U) = (Z_l)^m (limC(Z/l^nZ))(U) = lim(C(Z/l^nZ)(U)) = lim((Z/l^nZ)^m) = (lim(Z/l^nZ))^m = (Z_l)^m 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/03(水) 18:58:41.49 ID:Q6xVzWVN.net] >>255 ageたらなんで悪いんだよ。こんな過疎板で拘るようなやつの気が知れないね。 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/05(金) 08:07:31 ID:QWbDfVZz.net] 任意の有限体に対して、それを剰余体に持つ局所体が存在するの？ 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/05(金) 08:14:57.78 ID:Vqb+nvOZ.net] 有限体kそれ自体が局所環でその剰余体はkですよね 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/05(金) 08:16:43.76 ID:QWbDfVZz.net] 局所環ではなく局所体 Qpや、Fp((X)) あ、自分で書いて答え見つけたわ 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/05(金) 08:17:51.61 ID:Vqb+nvOZ.net] あ、ほんとだごめん よく見てなかった 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/30(火) 14:48:11.03 ID:ISnsWMi+.net] SerreのCourse in Arithmetcのテータ関数のとこ読む 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/06/30(火) 14:51:19.17 ID:ISnsWMi+.net] いろいろ順番前後するけど 朝は、Chebotarevの密度定理から既約なGalois表現がFrobenius元のトレースで決まることの証明を読んだ 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/06(月) 19:43:31.81 ID:HPDcrjtp.net] 整数の組(a,b) が ・gcd(a,b) = 1, ・|x-a|≦1, |y-b|≦1, (x,y)≠(a,b) の8点 (x,y) について 　gcd(x,y) >1, を満たすとき (a,b)を縄張り(シマ)とよぶ。 (1) 　(a,b) = (55,21)　はシマか？ (2) 　(a,b) = (55(2･21m+1), 21)　　　　　m≧0 　(a,b) = (55, 21(2･55n+1))　　　　　n≧0 について 　gcd(a,b) = 1, 　gcd(a±1,b±1) ≧ 2, 　gcd(a-1,b) ≧ 3, 　gcd(a,b-1) ≧ 5, 　gcd(a+1,b) ≧ 7, 　gcd(a,b+1) ≧ 11, を示せ。 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 12:50:37 ID:lCR7ncGj.net] 志村が「数学をいかに使うか」シリーズで、「この公式は私の本には書いてあるが他には書いてない」「これについて私の本より上手く説明した本はない」などとやたら自画自賛してるので、Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functionsを手に入れようかなと思い始めた 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 14:33:23 ID:DxW3rUsG.net] しかしたとえば、高木貞治が「超幾何級数やゼータ関数などについては解析概論には詳しく書いてあるが、他の微分積分の本には無い」とか「Cauchyの積分定理はGreenの定理を使わずに導出するのがよく、そうしている本は日本では解析概論以外に無い」とか言ったとして、別に解析概論欲しくならんよな 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/07(火) 20:19:02.57 ID:7vxztQCR.net] >>265 (3) 　(a,b) = (55(N+1), 21(N-1)) 　(a,b) = (55(N-1), 21(N+1))　　　Nは2･55･21の倍数 もシマか？ 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 19:51:11.30 ID:VNvrUmFY.net] 志村本届いた 1、2、3章は言われてるほど難しい感じはしない むしろ、位相群とかRiemann面とかの復習から入っていて、かなり丁寧な本という印象を受ける まあ、この本の本題は、5章のAbel多様体の虚数乗法論と、7章のAbel多様体のゼータ関数論にあって、ここが難しいのだろうが 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 19:55:39.96 ID:yxtPx6kC.net] アマゾンレビューを見る限りアーベル多様体の定義自体が現代と異なるらしいから難しそうだな 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/08(水) 20:01:59 ID:XlPTlzjS.net] 前書きに、「付録に代数幾何の用語集を付けた。4章以降を読む奴は"専門家でも"必ずここを読め（意訳）」と書いてありますね 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/09(木) 17:43:17.14 ID:0Nu9leD4.net] Z上で既約な多項式はQ上でも既約といういわゆるGaussの補題の系は、一般のDedekind環とその商体においても成り立つのか？整数環がUFDなら成り立つが …… base changeして既約でなくなると困るんだけど 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/09(木) 17:47:56.64 ID:tCgG0Zzy.net] とりあえず整閉だから1変数の場合はオーケー 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/15(水) 11:01:19.49 ID:JG4qV0Js.net] ベルヌーイ数B_rの分子は、p|rかつnot p-1|rなる素数pすべて素因数として含むってすぐ分かりますか？ というのも岩波数論�Uで ζ(1-r)=-B_r/rの分母D_rに対して p|D_r ⇔ p-1|r という記述があったのですが 一方、B_r自体の分母D'_rに対しては有名な p|D'_r ⇔ p-1|r があるので、これらを比較するとB_rをrで割ったときに 最初に書いたpで約分が起きないといけない気がしました 例えば B_10=5/(2×3×11) B_14=7/(2×3) B_22=(11×131×593)/(2×3×23) となっていて たしかに5、7、11が分子にいます 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/07/15(水) 11:02:04.93 ID:JG4qV0Js.net] ついでなんですが数論�Uで p|D_r ⇔ p-1|r は D_rを具体的にTateひねりを用いて表現した式 D_r=Π_p ♯(Q_p/Z_p(r))^(Gal(Q(μ_p^∞)/Q)) を使って証明してるんですが この表示の良い文献があれば教えてください

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