- 918 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む [2019/10/15(火) 10:40:11.58 ID:GY+TtPJn.net]
- >>839
補足
いま議論している部分は、”べき根拡大”というやつね
下記が、参考になるだろう
はてなblog（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ガロア理論のメモ（その６）：べき根拡大と可解群 めもめも ※ 2017/09/27
(抜粋)
本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。
これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。
補題6.2
略
この補題を基にして、べき根拡大と可解群の関係が得られる。多項式の解がべき根を用いて表現できるかどうかを判定する、ガロア理論の根幹の1つとなる。
定理6.1
――――――――――
多項式 f(X)=X^n?a∈F[X] の分解体を E とする時、Aut(E/F) は可解群となる。このような拡大をべき根拡大とよぶ。
略
補題6.2より、Aut(F(ω)/F) はアーベル群なので、これで定理が証明された。
――――――――――
文献によっては、X^n?a の根の1つのみを加えた拡大をべき根拡大と定義している場合もあるが、ここではすべての根を加えた分解体として定義している点に注意。
これにより、以降の各種定理の証明が少し簡単になる。
（根の1つのみを加えた定義の場合は、証明の中で、すべての根を加えた体まで拡張して議論する必要がある。）
例
――――――――――
定理6.1で存在が保証される α は、一意ではない点に注意する。
たとえば、f(X)=X^3?2∈Q[X] の根は、ω を1の原始3乗根として、{3√2,3√2ω,3√2ω^2} であり、α=3√2 とすると、分解体は、E=Q(3√2,ω) となる。
一方、α=3√2ω として、E=Q(3√2ω,ω) としても結果は同じである。
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