- 211 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2019/09/15(日) 08:12:51.73 ID:NNU+uf1a.net]
- >>188 追加
(引用開始)
・⊂と∈とは、よく似ているってこと
・⊂と∈との違いは、∈は集合の元（要素）に適用されるが、⊂は広く集合の元（要素）以外にも適用されること
・ところが、公理的集合論では、元（要素）もまた集合なので、⊂と∈との敷居は素朴集合論より低いのです
・上記５）の「ノコギリ∈Z」のように考える方が、正解なのです
(引用終り)
別の例を挙げよう（最初は素朴集合論ベースとして）
１）自然数の集合N、偶数の集合N2、奇数の集合Nodd
２）集合N’＝{N2,Nodd} (偶数の集合と奇数の集合とを入れた集合)
明らかに
N ＝ N2∪Nodd ≠ N’
３）ですが、集合N’とNは似ています
例えば、ｓ＝{2,4,6}という集合は、NとN’両方に含まれます（部分集合）
４）ですが、ｓ’＝{2,3,5}は、Nには含まれますが、N’に含まれない
（∵ ｓ’は偶数と奇数の混合で、偶数の集合と奇数の集合と、どちらにも含まれないので推移律不成立）
５）では、一元集合ではどうか？
{2}は、NとN’両方に含まれます（両方の部分集合）
{2}⊂N ＆ {2}⊂N’
６）さて、2（元として）ならどうか？
明らかに、2∈N
しかし、2 not∈N’なのでしょうか？
{2}⊂Nであるにも関わらず
７）素朴集合論では、些末なことなので、この程度のことはどうでも良い
というか、適当で良い
しかし、公理的集合論では、適当ではすまないのです
2 ∈N’と考えるのが、一番すっきりしている
2 ∈N2 かつ N2 ∈N’で、∈の推移律により、2 ∈N’と考えるべき
（∵ >>164の 酒井拓史 神戸大の通り（>>188）
「基礎公理により，すべての集合X に対して・・、∈は・・整礎的な二項関係」）
QED
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