面白い問題教えて〜な 24問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2017/08/06(日) 19:43:43.46 ID:Yz98zcu8.net] 過去ログ www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 19 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/ 20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 21 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/ 22 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/ 23 itest.2ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1497416499/ 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/01(金) 22:41:17.93 ID:y0RDvvfx.net] α＞0は自明でさらに3.5^α-0.5^α=1だからα＜1となって0＜α＜1は分かるな あとはα整数を示すのか 752 名前：￥ mailto:sage [2017/09/01(金) 22:59:45.28 ID:7A4+w7Rv.net] ￥ 753 名前：￥ mailto:sage [2017/09/01(金) 23:00:02.18 ID:7A4+w7Rv.net] ￥ 754 名前：￥ mailto:sage [2017/09/01(金) 23:00:18.91 ID:7A4+w7Rv.net] ￥ 755 名前：￥ mailto:sage [2017/09/01(金) 23:00:36.11 ID:7A4+w7Rv.net] ￥ 756 名前：￥ mailto:sage [2017/09/01(金) 23:00:53.08 ID:7A4+w7Rv.net] ￥ 757 名前：￥ mailto:sage [2017/09/01(金) 23:01:11.23 ID:7A4+w7Rv.net] ￥ 758 名前：￥ mailto:sage [2017/09/01(金) 23:01:30.33 ID:7A4+w7Rv.net] ￥ 759 名前：￥ mailto:sage [2017/09/01(金) 23:01:54.60 ID:7A4+w7Rv.net] ￥ 760 名前：￥ mailto:sage [2017/09/01(金) 23:02:11.90 ID:7A4+w7Rv.net] ￥ 761 名前：￥ mailto:sage [2017/09/01(金) 23:02:32.66 ID:7A4+w7Rv.net] ￥ 762 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/01(金) 23:56:53.42 ID:X+zBfw26.net] 出題者だけど整数を示す方針はよく分からん 想定してた解法は拡大体の理論を使う 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/02(土) 00:10:26.27 ID:uC5hC4E/.net] へい！高校数学ちゃうんかい！ 764 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/02(土) 00:11:43.33 ID:EaRJl5xV.net] >>738 >αが有理数と仮定すると >αが整数と絞り込めて どうして？ 765 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/02(土) 00:12:08.08 ID:PwtoVOt8.net] >>751 複素の因数分解使えば高校生でも出来んことはない 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/02(土) 00:59:21.87 ID:3JI2dd7J.net] >>752 α=p/q （p，q は互いに素）として 両辺 q 乗からの2項定理でいいんじゃね 767 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 02:15:58.40 ID:z17/uuYO.net] ￥ 768 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 02:16:16.28 ID:z17/uuYO.net] ￥ 769 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 02:16:31.28 ID:z17/uuYO.net] ￥ 770 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 02:16:49.61 ID:z17/uuYO.net] ￥ 771 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 02:17:04.50 ID:z17/uuYO.net] ￥ 772 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 02:17:22.35 ID:z17/uuYO.net] ￥ 773 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 02:17:41.32 ID:z17/uuYO.net] ￥ 774 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 02:18:01.86 ID:z17/uuYO.net] ￥ 775 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 02:18:20.72 ID:z17/uuYO.net] ￥ 776 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 02:18:39.64 ID:z17/uuYO.net] ￥ 777 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/02(土) 02:30:55.07 ID:kgWZgt7O.net] >>754 二項定理使うまでは合ってます その後の厳密な議論で体論を使う必要があると思うんだけど 778 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 03:21:42.37 ID:z17/uuYO.net] ￥ 779 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 03:21:59.19 ID:z17/uuYO.net] ￥ 780 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 03:22:16.33 ID:z17/uuYO.net] ￥ 781 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 03:22:34.18 ID:z17/uuYO.net] ￥ 782 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 03:22:52.05 ID:z17/uuYO.net] ￥ 783 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 03:23:09.28 ID:z17/uuYO.net] ￥ 784 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 03:23:30.65 ID:z17/uuYO.net] ￥ 785 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 03:23:48.94 ID:z17/uuYO.net] ￥ 786 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 03:24:05.59 ID:z17/uuYO.net] ￥ 787 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 03:24:22.19 ID:z17/uuYO.net] ￥ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/02(土) 11:27:33.18 ID:Po7d73tU.net] 体論 ＝ Field Theory ＝ 場の理論 類体論にもフィールズ賞を 789 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 11:33:59.24 ID:z17/uuYO.net] ￥ 790 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 11:34:17.70 ID:z17/uuYO.net] ￥ 791 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 11:34:34.54 ID:z17/uuYO.net] ￥ 792 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 11:34:52.32 ID:z17/uuYO.net] ￥ 793 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 11:35:07.58 ID:z17/uuYO.net] ￥ 794 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 11:35:24.57 ID:z17/uuYO.net] ￥ 795 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 11:36:07.86 ID:z17/uuYO.net] ￥ 796 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 11:36:24.45 ID:z17/uuYO.net] ￥ 797 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 11:36:42.45 ID:z17/uuYO.net] ￥ 798 名前：￥ mailto:sage [2017/09/02(土) 11:36:59.02 ID:z17/uuYO.net] ￥ 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/02(土) 20:44:20.65 ID:bRO6cAi2.net] x=(2/n)・(cosx)^n-(1/2)sin(2x) かつ 0＜x＜π/2 なるxをnについて定めるとき nxのn→∞における極限を求めよ。 単 800 名前：にわからないだけですが教えて下さい n=1000で試した結果1らしいです [] [ここ壊れてます] 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/02(土) 23:10:56.54 ID:M3m7eKH6.net] >>787 x ~ 0 のとき、1次近似で (2/n)(cos(x))^n - (1/2)sin(2x) ~ 2/n - x よって x ~ 2/n - x より nx ~ 1 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/02(土) 23:12:39.17 ID:M3m7eKH6.net] フォント修正 >>787 x 〜 0 のとき、1次近似で (2/n)(cos(x))^n - (1/2)sin(2x) 〜 (2/n)・1 - (1/2)・2x = 2/n - x よって x 〜 2/n - x より nx 〜 1 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/02(土) 23:28:55.65 ID:bRO6cAi2.net] 厳密にお願いします 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/03(日) 00:19:52.98 ID:lS4umc9s.net] >>790 それはお前の仕事 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/03(日) 06:44:37.11 ID:gi3KPdYZ.net] ガイジきた 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/04(月) 20:49:09.80 ID:sRxrMf0e.net] 　 p,q,rは正整数とする。f(x),g(x),h(x)は複素数係数の多項式で、少なくとも1つは 定数関数では無いとする。また、f(x)とg(x)は共通の根を持たないとする。 また、f(x)^p＋g(x)^q＝h(x)^r が成り立つとする。 このとき、1＜(1/p)＋(1/q)＋(1/r) が成り立つことを示せ。 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/05(火) 01:44:47.96 ID:q778+o9X.net] 東大作問スレって今はないんですね。 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/05(火) 01:49:32.41 ID:RNbHjn56.net] >>794 その代替となりそうなスレならある↓ みんなで高校生に問題を出すスレ [無断転載禁止](c)2ch.net rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1486554217/ 809 名前：216 mailto:sage [2017/09/06(水) 02:08:56.27 ID:IZlBJmBS.net] >>216の(2) a^(bb)=b^a を満たす自然数の組 【解答】 a,bの最大公約数をdとしてa=du, b=dv（u,vは互いに素）とおくと、与式は (du)^(ddvv)=(dv)^(du) 両辺を1/d乗すると (du)^(dvv)=(dv)^(u)　…★ 両辺の指数の大小関係で場合分けをする。 (i)　dvv=uのとき du=dvよりu=v u,vは互いに素だからu=v=1 ∴d=1, a=1*1=1, b=1*1=1 (ii)　dvv>uのとき ★の両辺をd^uで割ると d^(dvv-u)*u^(dvv)=v^u すなわちv^uはu^(dvv)を約数に持つが、u,vは互いに素だからu=1 ∴d^(dvv-1)=v d=1のときv=1でdvv>uと矛盾 d≧2のときd^(dvv-1)≧2^(2vv-1)≧2^(2v-1)>v　…♯ でd^(dvv-1)=vと矛盾 (iii)　dvv<uのとき ★の両辺をd^(dvv)で割ると u^(dvv)=d^(u-dvv)*v^u すなわちu^(dvv)はv^uを約数に持つが、u,vは互いに素だからv=1 よって u^d=d^(u-d)　…☆ u>dだからd<(u-d) ☆より、uの任意の素因数pはdの素因数でもある。u,dを素因数分解したときのpの個数をそれぞれy,zとすると(p^y)^d=(p^z)^(u-d) よってy*d=z*(u-d)、d<(u-d)だからy>z y>zは任意の素因数pについて成り立つから、dはuの約数である。 u=kd（kは自然数）とおくと、☆より(kd)^d=d^(kd-d) 両辺を1/d乗してdで割ると k=d^(k-2) d=1のとき、k=1, u=1*1=1でu>dと矛盾するから、d≧2 k=1のときd=1でd≧2と矛盾 k=2のとき2=d^0=1で矛盾 k=3のときd=3, u=3*3=9, a=3*9=27, b=3*1=3 k=4のときd=2, u=4*2=8, a=2*8=16, b=2*1=2 k≧5のときd^(k-2)≧2^(k-2)>kで矛盾　…♭ 以上より、(a,b)=(1,1),(27,3),(16,2) これらは全て与式を満たす。　■ 810 名前：216 mailto:(a,b)=(n,n),(2,4),(4,2) [2017/09/06(水) 02:11:52.74 ID:IZlBJmBS.net] ♯・♭の一番右の不等号は帰納法で簡単に示せる。 出典：IMO1997-5 有名な類題でa^b=b^aを満たす自然数の組を求める問題がある（答えはメール欄に記載）。 811 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 05:33:09.66 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 812 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 05:33:31.03 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 813 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 05:33:52.11 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 814 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 05:34:10.55 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 815 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 05:34:28.96 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 816 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 05:34:47.19 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 817 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 05:35:23.93 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 818 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 05:35:42.45 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 819 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 05:36:00.38 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 820 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 05:36:1 ] [ここ壊れてます] 821 名前：9.16 ID:nJ0wcqLn.net mailto: ￥ [] [ここ壊れてます] 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/06(水) 07:45:12.64 ID:MJe8ew9i.net] タネがバレバレかなっていう気もするけど問題。 2017個の箱 B1 〜 B2017 がある。 箱 Bk の中には k 枚のコインが入っている(1≦k≦2017)。 次の2種類の操作を考える。 (1) 1≦k≦2016 の空でない Bk を選び、コインを1枚取り去って B(k+1) にコインを α枚入れる。ただし、αの値は 0, 1, 2 の中から好きなものを選べる。 (2) 1≦k≦2016 の「空でもよい」 Bk を選ぶ。Bk, B(k+1) のコインの枚数を順番に a ，b とするとき、 Bk, B(k+1) のコインの枚数を [ (a＋b)/2 ] ，a に差し替える。ただし、[ ] はガウス記号とする。 操作 (1), (2) を有限回行って、B2 〜 B2017 が空で、かつ、B1 にちょうど 4 枚のコインが入っている状態にできるか。 823 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 07:46:26.10 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 824 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 07:46:44.18 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 825 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 07:47:01.24 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 826 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 07:47:17.64 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 827 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 07:47:33.42 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 828 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 07:47:48.74 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 829 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 07:48:04.85 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 830 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 07:48:21.83 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 831 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 07:48:38.79 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 832 名前：￥ mailto:sage [2017/09/06(水) 07:48:56.98 ID:nJ0wcqLn.net] ￥ 833 名前：フロベニウス数 [2017/09/07(木) 01:40:03.00 ID:J3m5+o6m.net] では10円硬貨と11円硬貨の2種類のみが発行されている。 この2種類の硬貨をどう組み合わせても支払えない金額のうち、最大のものはいくらか？ 証明は不要。 834 名前：フロベニウス数 [2017/09/07(木) 01:40:37.75 ID:IyycAyAP.net] ある国では〜 のミス 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/07(木) 02:24:01.94 ID:vqX7J2tG.net] >>808 ある時点でのB_kに入っているコインの枚数をx(k)とする。 各時点での状態値Sを以下のように定める。 S=Σ[k=1〜2017](x(k)/2^(k-1)) するとこの状態値Sは、操作(1)、操作(2)のいずれにおいても増加することはない。 操作(1)ではα=2のときは変化せずα=0,1のときは減少。 操作(2)ではa+bが偶数のときは変化せず、奇数のときは減少。 初期状態では S = S_0 = Σ[k=1〜2017](k/2^(k-1))=4-2019/2^2016 目指すゴールの状態では S = 4 S_0 < 4 より、与えられた初期状態から目指すゴールに到達することは不可能。 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/07(木) 02:27:53.65 ID:vqX7J2tG.net] >>819 89 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/07(木) 02:49:34.98 ID:vqX7J2tG.net] >>808 >>821 なお、初期状態で、B_2016までは番号と同じ枚数入っており、B_2017には4036枚入っていれば 最後にB_1に4枚入っている状態にすることができる。 一般に、n個の箱の場合、 初期状態が 　k=1〜n-1において　x(k)=k 　x(n)=2n+2 であれば 最後にB_1に4枚入っている状態にできる。 838 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 03:45:49.76 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 839 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 03:46:06.86 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 840 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 03:46:24.90 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 841 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 03:46:42.16 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 842 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 03:46:59.01 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 843 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 03:47:16.08 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 844 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 03:47:33.31 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 845 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 03:47:52.61 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 846 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 03:48:18.84 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 847 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 03:48:36.75 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 848 名前：フロベニウス数 [2017/09/07(木) 07:26:26.71 ID:33xc8sua.net] >>822 🙆 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/07(木) 07:28:41.42 ID:yJyxch+Q.net] >>821, 823 正解です。こちらが想定していた解法そのものです。 850 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 07:42:53.16 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 851 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 07:43:10.06 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 852 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 07:43:27.12 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 853 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 07:43:43.99 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 854 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 07:44:00.24 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 855 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 07:44:17.39 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 856 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 07:44:35.58 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 857 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 07:44:52.27 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 858 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 07:45:08.13 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 859 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 07:45:57.98 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/07(木) 10:28:43.37 ID:vqX7J2tG.net] >>808 の問題で 1≦k≦2017において箱B_kにはk枚のコインが入っている初期状態に対して、 ある１つの箱を選んでコインを１枚だけ追加すると、 操作(1)，(2)を有限回行って、B_1に４枚のコインが入っている状態にできる。 そのときに選ぶ箱をB_mとするとき、mの最大値を求めよ。 861 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 10:46:27.83 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 862 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 10:46:42.96 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 863 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 10:46:58.65 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 864 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 10:47:13.30 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 865 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 10:47:30.29 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 866 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 10:47:47.51 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 867 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 10:48:05.83 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 868 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 10:48:23.77 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 869 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 10:48:40.65 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 870 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 10:48:59.98 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/07(木) 15:50:14 ] [ここ壊れてます] 872 名前：.24 ID:VZbg+gG6.net mailto: 自分ルールのゲーム解析して言うほど面白いか？ ありそうなゲームなら面白いとは思うけど [] [ここ壊れてます] 873 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 15:51:37.40 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 874 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 15:53:34.02 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 875 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 15:53:51.40 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 876 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 15:54:06.48 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 877 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 15:54:22.25 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 878 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 15:54:40.32 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 879 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 15:54:56.77 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 880 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 15:55:14.58 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 881 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 15:55:30.99 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 882 名前：￥ mailto:sage [2017/09/07(木) 15:55:46.81 ID:6DNo3zLu.net] ￥ 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/08(金) 08:59:08.35 ID:T2f/teQa.net] 方々に出ているので今さら解答は作らないが (1)　y=x^(1/x) (x>0)のグラフを描け。 (2)　a^b=b^aを満たす自然数の組(a,b)を求めよ。 (1)　y=x/(logx) (x>0)のグラフを描け。 (2)　99^100と100^99の大小を比較せよ。 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/08(金) 09:02:27.08 ID:iwl1FmH8.net] 今更な問題で出題するのも憚れる。 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/08(金) 09:03:15.74 ID:N4FpDCh2.net] パンル〜まるヴェ〜 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/08(金) 09:04:02.72 ID:N4FpDCh2.net] あ、誤爆だった。 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/08(金) 09:05:59.75 ID:T2f/teQa.net] 追加 (1)　y=x+1/x (x>0)のグラフを描け。 (2)　正数p,qについてp/q+q/pの最小値を求めよ。 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/08(金) 09:19:59.85 ID:T2f/teQa.net] >>868の2つの(1)が逆でも y=x/(logx) は1<x<eで減少、e<xで増加 a<bとするとaの候補は2, このときb=4 確かに2^4=4^2 は示せるし y=x^(1/x)のグラフから 99^(1/99)>100^(1/100) ⇔99^100>100^99 は示せるね 889 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/08(金) 09:54:52.47 ID:mOYWCJV+.net] >>872 (1) dy/dx = 1-1/x^2 dy/dx=0とすると x=±1、x>0よりx=-1は不適である x=1ときy=2で、dy/dxの符号の変化よりこのとき極小値をとる lim[x->+0] y = ∞ より、直線x=0は漸近線である lim[x->∞](y-x)=0より、直線y=xは漸近線である (グラフはこれで描けるので省略) (2) p>0, q>0より相加相乗平均の関係から p/q + q/p ≧ 2√(p/q × q/p) = 2 等号成立はp=qのとき したがって p=qのとき, 最小値2 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/08(金) 10:18:27.56 ID:p1NQ0XTB.net] 誘導がね 891 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 10:59:55.89 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 892 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 11:00:14.43 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 893 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 11:00:31.52 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 894 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 11:00:49.19 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 895 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 11:01:06.66 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 896 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 11:01:22.99 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 897 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 11:01:40.71 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 898 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 11:02:04.39 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 899 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 11:02:21.18 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 900 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 11:03:04.63 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 901 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/08(金) 11:56:43.67 ID:judDWqHk.net] (1)tan1°は超越数か？ そうでなければ最低何次の有理数係数の多項式の解になるか (2)(tan1°)^20は無理数であることを証明せよ 902 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 12:00:24.08 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 903 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 12:00:40.52 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 904 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 12:00:58.56 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 905 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 12:01:15.94 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 906 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 12:01:33.89 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 907 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 12:01:51.30 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 908 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 12:02:10.01 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 909 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 12:02:29.10 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 910 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 12:02:53.75 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 911 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 12:03:13.62 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 912 名前：1３２人目の素数さん [2017/09/08(金) 13:02:50.76 ID:yJsxuIEN.net] a,b,cをa=b+cである正の整数とするとき Σ[n=0〜∞]{1/(an+b)^2+1/(an+c)^2}={π/(asin(πb/a))}^2 が成り立つことを示せ 913 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 13:08:14.84 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 914 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 13:08:34.54 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 915 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 13:08:51.28 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 916 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 13:09:07.94 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 917 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 13:09:26.53 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 918 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 13:09:43.78 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 919 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 13:10:00.37 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 920 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 13:10:16.91 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 921 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 13:10:34.84 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 922 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 13:10:55.53 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/08(金) 18:20:24.88 ID:Xvh/PpT+.net] >>868 {(n-1)/n}^n = e^{-1 -1/(2n）-1/(3nn）-1/(4n^3）+ …｝ < 1/e, (n-1)^n / n^(n-1) =（n/e）e^{-1/(2n）-1/(3nn）+ …｝ < n/e, 924 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:25:16.34 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 925 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:25:35.75 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/08(金) 18:25:51.27 ID:Xvh/PpT+.net] >>868 (n-1)^n / n^(n-1）<（n - 1/2)/e を示せ。 ぢゃね？ 927 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:25:53.22 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 928 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:26:11.32 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 929 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:26:28.01 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 930 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:26:45.71 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 931 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:27:02.92 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 932 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:27:21.17 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 933 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:27:39.05 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 934 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:28:03.95 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 935 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:28:21.86 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 936 名前：￥ mailto:sage [2017/09/08(金) 18:28:39.20 ID:6ibQhXIy.net] ￥ 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/09(土) 12:24:23.47 ID: ] [ここ壊れてます] 938 名前：XnQE3OqS.net mailto: >>886 面白い問題というより、むしろ、何かつまらないな。 余りよろしくありません。そう感じるのは気のせいですかね。 [] [ここ壊れてます] 939 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/09(土) 13:49:24.63 ID:rohOwJh1.net] >>922 気のせい 940 名前：￥ mailto:sage [2017/09/09(土) 14:04:27.74 ID:RUcvU26A.net] ￥ 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/09(土) 14:33:13.11 ID:SoNY1DX2.net] 【問題】 ある正の整数Nは,10％増にすると,その各桁の数字の和が9.99％減になる. そのような最小のNの桁数を求めよ. 942 名前：￥ mailto:age [2017/09/09(土) 14:56:27.41 ID:RUcvU26A.net] ￥ 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/09(土) 22:57:40.99 ID:FXdYbqUA.net] >>925 明記されてないが、10％増されたものも整数であるとして考える。 Nの各桁の数字の和をKとすると、 1.1Nも0.9001Kも整数なので、N=10n，K=10000k（n,kは自然数）とおける。 mod 9において、10n≡10000k，11n≡9001kより、n≡k≡0が言えるので、 kは9の倍数で，k=9x（xは自然数）とおける。そのとき， 1.1N=10n+nであり，10n，nの各桁の数字の和はいずれも90000x， 1.1Nの各桁の数字の和は9001k=81009xなので， 10進法の筆算で10nとnの和を求める際に繰り上がりが発生する回数をcとすると 81009x = 90000x+90000x-9c となり、c=10999x ここで、xは自然数なので、c≧10999 cは高々nの桁数なので、nの桁数の最小値は10999 よって、Nの桁数の最小値は11000 なお、そのような最小のNは、11000桁の数であり、 左端から1998桁は909090…を繰り返し、その後9001桁は全て9で、 右端（一の位）が0となる数であり N = (10^11001 + 10^9002)/11 - 10 1.1Nは11001桁の数であり、 左端は1，その後0が1999個，9が8999個続き，下2桁は89 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/09(土) 23:19:13.91 ID:SoNY1DX2.net] >>927 正解です。 たしかに10%増の数が整数であることを明記していませんでした。すみません。 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/10(日) 03:10:14.33 ID:GGGugCiK.net] >>897 オイラーの無限乗積表示 　sin(x）= x Π[n=1，∞］｛1 -（x/nπ)^2}, を使う。 0< θ < π のとき 　sin(x+θ）= sinθ Π[n=0，∞］{1 + x/(nπ+θ)}{1 - x/(nπ+π-θ)}, f(x）= log｜sin(x+θ)｜= log｜x｜+ 納n=0,∞］｛log|1 + x/(nπ+θ)｜+ log|1 -x/(nπ+π-θ)｜} とおく。 f "(0）を計算すると、 - 1/(sinθ)^2 = -納n=0，∞］｛1/(nπ+θ)^2 + 1/(nπ+π-θ)^2}, これに θ=πb/a を入れる。 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/10(日) 03:26:48.96 ID:GGGugCiK.net] >>929 訂正 f（x）= log｜sin(x+θ)｜= log｜sinθ｜+ Σ［n=0，∞］｛log｜1 + x/(nπ+θ)｜+ log｜1 - x/(nπ+π-θ)｜} とおく。 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/10(日) 13:52:38.07 ID:q2lf6Btc.net] 【問題】 とある島に5台の同じ飛行機がある.これら全部の飛行機が目標となる別の島に行くことを考える. 飛行機は燃料を満タンにすると,1単位距離を飛べる.このとき,飛行機は一定速度で飛び,燃料は一定割合で消費する. 両方の島に燃料やパイロットが十分そろっているとき,目標地点までの最大距離を求めよ. ただし,燃料給油は即座に行うことができ,地上給油だけでなく飛行機から飛行機への空中給油も可能である. 【例】 飛行機が2台あったら,2台とも4/3単位距離だけ離れた島まで行ける. 飛行機p_1とp_2が飛び立ち,1/3進んだところでp_2からp_1へ1/3だけ空中給油する.p_2は引き返す. p_1は満タンになって1単位距離を飛び,目標の島に着く.p_2は地上で満タンに給油し再び出発する. p_1は� 948 名前：ﾚ標の島で満タンにして1/3引き返す.そこでp_1がp_2に1/3だけ給油する. そして両者そろって目標の島に到着する. [] [ここ壊れてます] 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/10(日) 14:49:04.63 ID:GGGugCiK.net] >>886 (1) 「tan(1ﾟ）は5次方程式 t^5 -5at^4 -10t^3 +10at^2 +5t -a = 0（a=0.087488663525924…）の根だよ。」 「aって何？」 「a は3方程式 a^3 -3ba^2 -3a +b = 0（b=0.2679492…）の根だよ。」 「bって何？」 「b は2次方程式 bb-4b+1 = 0 の根（2-√3）だよ。」 「てぇことは、tは30次方程式の根か？」 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/10(日) 17:32:06.00 ID:zLS0WX3O.net] ある直角三角形は辺の長さが全て整数で、外接円と内接円の半径が素数であるという。 この三角形を解け。 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/10(日) 19:06:14.10 ID:kwKQnjaH.net] >>933 a^2+b^2=c^2を満たす互いに素なピタゴラス数(a,b,c)は、 a,bのどちらかが偶数で他は奇数なので、bを偶数とすると 違いに素な２つの自然数m,n（ただし、どちらかは偶数で、m>n）を用いて (a,b,c)=(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)と表される。 直角三角形の外接円の半径は斜辺の長さの半分であり、それが整数となるためには 斜辺が偶数でなくてはならないので、求める直角三角形の３辺を (2k(m^2-n^2), 4kmn, 2k(m^2+n^2))とおくことができる。（kは自然数） このとき、内接円の半径は r=2k(m^2-n^2)*4kmn/(2k(m^2-n^2)+4kmn+2k(m^2+n^2))=2kn(m-n)となり、 これが素数なので、k=n=m-n=1 ∴(m,n,k)=(2,1,1) よって３辺は(6,8,10)，R=5，r=2 952 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/11(月) 03:26:42.52 ID:E6E7YLOn.net] >>932 不正解 もっと次数は少なく出来ます 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/11(月) 09:39:25.72 ID:rDwKsRjX.net] >>935 x=cosθとして cos(nθ)を表すxの多項式をT_n(x)とする（n次のチェビシェフの多項式）と、 (2*T_60(x)-1)/(2*T_12(x)-1)で表される48次の多項式は cos n°（nは180未満の自然数で、2,3,5を素因数として持たない）を根として持つ。 また、(2*T_60(x)-1)/(2*T_12(x)-1)はX=x^2とするとXの24次の多項式となるので それをf(X)とすると、Xは(cos1°)^2を根として持つ。 tan1°=αとおくと (cos1°)^2=1/(α^2+1)となるので、 f(1/(α^2+1))*(α^2+1)^24で表される48次の多項式はtan1°を根として持つ。 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/11(月) 09:42:20.05 ID:rDwKsRjX.net] 誤：Xは(cos1°)^2を根として持つ。 正：f(X)は(cos1°)^2を根として持つ。 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/11(月) 11:50:59.67 ID:DwdMHImO.net] >>923 tan(1°) の有理数係数の最小多項式については、tanx の3倍角の公式を具体的に求めてから、 頂角36°、底角72°、底辺の長さが1の二等辺三角形を考えて tan(18°) の値を求めれば、 汚い方法だけど tan(9°)、tan(3°)、tan(1°)、 の具体的値をその順に求められる。 X=tan(1°) の具体的値が求まれば、Xの有理数係数の最小多項式も具体的に求まる。 後は、その次数を確認すればいい。また、tan(1°)、(tan(1°))^20 が代数的無理数であることも分かる。 まあ、問題文を見たときつまらない問題だと思ったが、考えたら面白い部分はあった。 956 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/11(月) 12:08:03.62 ID:UigVogsj.net] >>938 ホントに最小であることの証明は？ 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/11(月) 12:13:10.05 ID:DwdMHImO.net] >>939 具体的値として求められた tan(1°) がベキ根を含む汚い式になるから、 X＝tan(1°) とおいてそのベキ根を消して行けばいいだけ。 958 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/11(月) 12:16:32.12 ID:UigVogsj.net] それで証明になるの？ 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/11(月) 12:27:46.09 ID:DwdMHImO.net] >>941 このやり方に不満があるなら、より小さい次数の最小多項式 f(X) があったとして、 f( tan(1°) ) を計算して、有理数体Q上線型独� 960 名前：ｧなベキ根についての線型代数の問題に帰着させればいい。 [] [ここ壊れてます] 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/11(月) 15:50:26.40 ID:JgHCy0pJ.net] 和算の問題です。 大円1個、中円1個、小円2個あります。 大円に1点で中円が接し、小円は、中円と大円にそれぞれ接して います。 いま大円の面積より、中円と小円の面積を引いた残りが 120で、中円と小円の径の差が5の時、大円、中円、小円の 半径はいくつでしょう。 962 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/11(月) 20:01:58.78 ID:afSTrbh7.net] >>936 30より小さいんだから48はもちろん不正解 >>938 体論使えばもっとすぐに言えます 大ヒントとしてまず Q(tan1°,i)=Q(e^(πi/90))を示します 963 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/11(月) 20:03:00.50 ID:afSTrbh7.net] あとはQ(tan1°)のQからの拡大次数を求めればいいだけ 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/11(月) 20:37:52.72 ID:tiqmnpO+.net] 「30」と「48」が出てるんだから、tan1°の最小多項式の次数を d とすれば、 d は 30 と 48 を割り切るので、d＝1,2,3,6 に絞られる。 このあとどうするかは知らんが、 泥臭く確かめていくだけでも何とかなるんじゃないの。 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/11(月) 20:42:03.50 ID:tiqmnpO+.net] いや、多項式が多項式で割り切れても、 次数が次数で割り切れることにはならんか >>946は撤回。すまん 966 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/11(月) 21:59:48.93 ID:UigVogsj.net] >>942 >f( tan(1°) ) を計算して 0 967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 02:36:16.24 ID:UWqvzo4B.net] >>948 すぐ分かる書き間違いは指摘しなくていい。 f( tan(1°) )＝0 は当たり前。 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 04:38:33.30 ID:YsdDbYfo.net] >>938 「tan(1ﾟ）は3次方程式 t^3 -3ct^2 -3t +c =0（c=0.05240778…）の根だよ。」 「cって何？」 「c は3次方程式 c^3 -3dc^2 -3c +d =0（d=0.15838444…）の根だよ。」 「dって何？」 「d は2次方程式 d^2 +（2/e)d -1 =0（e=0.3249197…）の根だよ。」 「eって自然対数の底？」 「いや、4次方程式 e^4 -2e^2+（1/5）=0 の根（√{1-√(4/5)}）だよ。」 「てぇことは、tは72次方程式の根ぢゃね？」 969 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/12(火) 07:26:55.13 ID:3wN9Amg+.net] >>949 では証明を 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 08:09:52.83 ID:UWqvzo4B.net] >>951 tan(1°)は代数的無理数である。よって、>>942に注意すると、或る自然数 n≧2 が存在して、 f(X) は tan(1°) についてのn次の有理係数の最小多項式となる。 定義から、f(X) は tan(1°) を根に持つから、f( tan(1°) )＝0。 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 08:19:30.36 ID:UWqvzo4B.net] >>944-945 まあ、皆様で最小多項式の次数については考えて下さい。 興味があったのは、(tan(1°))^20 が代数的無理数であることを示す方法の方でしたから。 972 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/12(火) 08:43:46.27 ID:3wN9Amg+.net] >>952 最小であることの証明 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 08:53:14.83 ID:UWqvzo4B.net] >>954 まだ最小次数は見つけていないし、昨日行った私のやり方では 泥臭い式が沢山出て来た。昨日の方法はここに書く気がない。 最小性の証明は皆様でやって頂きたい。 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 09:54:47.56 ID:UWqvzo4B.net] >>954 >>955の最小次数は次数な。 まあ、昨日のやり方を整理して少しは簡潔にするというかきれいにすることは出来るが、 それでも汚い式が沢山出て来ることは避けられない。 975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 09:57:47.46 ID:UWqvzo4B.net] 一応、有理係数の最小多項式 f(X) の次数のことな。 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 14:34:59.66 ID:+ocRKCRob] https://www.fastpic.jp/images.php?file=2758892871.png https://www.fastpic.jp/images.php?file=0800823259.png 977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 15:55:29.56 ID:YsdDbYfo.net] >>952-957 H大の人でつか？ R学部はプラセボ薬で儲けた人の研究所を引き継いだプラセボ学部ですよ。 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 16:05:04.18 ID:YsdDbYfo.net] >>959 プラセボというのは、理解できないけれども、何らかの効果はあり得るってことです。 全知全能の人なんていませんからね。 979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/12(火) 17:15:36.98 ID:UWqvzo4B.net] >>959-960 >>959の方を国語で書きましょう。 H大？　R学部？　何だそれ。 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/13(水) 06:01:40.42 ID:KCTM05Fh.net] >>155 亀レスだがこれ簡単な仕方がある A_0が入ってる立方体を更に細かくして、一辺a/2の小立方体（とよぶ）8つとみなす。 すると、1つの小立方体には2つの頂点に原子が位置している。 だから、各小立方体のうち半分づつがD_0になる。 (1/8)a^3×(1/2)×8=a^3/2 まあカルマの解法を多少精密に説明し直しただけだが、これで数学的には十分だろう。 小立方体内でD_0とD_0じゃないとこの境界面は正六角形になることは知っておくとよいが、それはこの際使ってないや。 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/13(水) 06:11:59.92 ID:KCTM05Fh.net] 簡単な理解の仕方、というべきか（勿論、数学的正確さも保っての） 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/13(水) 07:24:47.26 ID:KCTM05Fh.net] 問題 θ_n=2π/n ζ_n=cosθ_n+√(-1)sinθ_n p:奇素数 tanθ_p と √-1 と有理数を有限回加減乗除して ζ_(4p) をつくれ 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/13(水) 11:06:34.36 ID:yzVhvrGO.net] >>155 有名だからわざわざ書くまでもない気が するが、一応書いておきます。 どの原子に着目しても、 その原子から見た他の原子の配置は同じ。 立方体の中心にある原子たちを結べば 新たな立方格子が得られ、 元の立方体の頂点の原子たちは、 新たな立方体の中心に位置するからである。 換言すれば、この無限に広がる格子は、 ある原子を他の原子に重なるような 平行移動に関する対称性を持つ。 したがって、着目した原子が最も近い原子で あるような空間内の点の集合である領域は、 どの原子に関しても合同である。 1 つの立方体には、各頂点に計 8 個、 中心に 1 個の原子が属する。 各頂点の原子は、同時に 8 つの立方体に 属するから、1 つの立方体への寄与は 原子の数で計 (1/8)*8 = 1 個分。 中心の原子はその立方体にのみ属するから、 寄与は原子 1 個分。 よって、ある立方体（体積 a^3）には 原子 2 個が属していると考えられるから、 原子 1 個あたりの寄与は (a^3)/2。 これが求める体積である。 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/13(水) 11:26:55.28 ID:yzVhvrGO.net] 立体の形を考えるのも楽しいと思う。 すぐ上にあるけど、正六角形8枚と 正方形6枚からできる準多面体。 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/13(水) 11:28:44.32 ID:yzVhvrGO.net] >>966 図示してみると、 これで体積が (a^2)/2 なのか！ と、少し驚くかも。 （もっと大きいように見える） 986 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/13(水) 11:36:29.24 ID:COj91p3j.net] >>965 なるほど 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/15(金) 04:32:42.05 ID:kh+vJCky.net] >>964 作らなきゃしょうがねぇな... pは奇数だから、pp-1 は 8の倍数。 pp -1 = 8m, 一方 p ≡ ±1　（mod 4）ゆえ pp ≡ ±p　　　mod（4 p) よって ±p -1 ≡ 8m　（mod 4p) ζ_(4p）=（ζ_4）^(±1)･｛ζ_(4p)}^(-8m）=｛√(-1)}^(±1)･｛ζ_(4p)^(-8)}^m, また、 ｛ζ_(4p)}^(-8）=（ζ_p)^(-2）=｛1 - √(-1）tan(θ_p)}/{1 + √(-1）tan(θ_p)}, かな。 *　 988 名前：定義より　｛ζ_(4p)}^p = ζ_4 = √(-1)，｛ζ_(4p)}^4 = ζ_p, [] [ここ壊れてます] 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/15(金) 16:27:01.57 ID:zJaCTJCL.net] >>931を少し改題 【問題】 とある島にn台の同じ飛行機がある。これら全部の飛行機が目標となる別の島に行くことを考える。 飛行機は燃料を満タンにすると1単位距離を飛べる。このとき飛行機は一定速度で飛び、燃料は一定割合で消費する。 また、両方の島には燃料やパイロットが十分そろっており、燃料給油は即座に行うことができる。 この燃料給油は地上給油だけでなく、飛行機から飛行機への空中給油も可能である。 目標となる島までの最大距離D_nを求めよ。また、lim[n→∞]D_nを求めよ。 990 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/15(金) 17:06:40.58 ID:LiOs3mOD.net] 日本語がおかしい 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/16(土) 02:25:36.87 ID:SrzKiM05.net] >>931 >>970 飛行機がn機あるとき 飛行機 p_1 〜 p_n が一斉に飛び立ち、その後 1/(n+1）距離単位進む毎に、１機が残り全機に 1/(n+1）ずつ空中給油したのち引き返す。 給油された直後は満タンになる。 　最後に残ったp_n は（n-1)/(n+1）距離単位で満タンになった後、１距離単位を飛んで、 D_n = 2n/(n+1）距離単位に到達する。 これでp_nは渡ることができました。 残りの n-1 機も首尾よく渡れるでしょうか？（つづく） 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/16(土) 02:53:30.40 ID:dpWpE9hD.net] >>969 正解！ うまいね！ こちらが最初に考えた解法は長すぎた。 [step 1] 2k≡1 (mod p) なる正整数kを用いると tan(kθ_p)=tan(2kπ/p)=tan(π/p)=tan(θ_2p) tanのk倍角公式は加法定理を繰り返すことで得られ、有理式。 即ちある有理式F(x)があって tan(θ_2p)=tan(kθ_p)=F(tan(θ_p)) cosθ_p=2cos^2(θ_2p)-1 =2/{1+tan^2(θ_2p)}-1 =2/{1+F(tan(θ_p))^2}-1 [step 2] ζ_p=(cosθ_p)(1+√(-1)tanθ_p) [step 3] 整数a,bがあり 4a+pb=1 だから ζ_(4p)=(ζ_4)^b(ζ_p)^a=(√-1)^b(ζ_p)^a 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/16(土) 03:06:34.40 ID:SrzKiM05.net] >>931 >>970 k機目 こちら側に（n+1-k）機、向こう側に k-1 機ある。 こちらの（n+1-k）機は一斉に離陸し、 1/(n+1）、2/(n+1）、…、（n-k)/(n+1）距離単位で 1/(n+1）ずつの空中給油を受け、　（←お見送り） 次に１距離単位を飛び、 （2n+1-k)/(n+1）、･･･、（2n-1)/(n+1）距離単位で 1/(n+1）ずつの空中給油を受け、　（←お出迎え） D_n = 2n/(n+1）距離単位に到達する。 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/16(土) 03:37:50.57 ID:SrzKiM05.net] >>974 2機目以後はチョト怖いですな。 お見送りの方はともかく、お出迎えのタイミングが少しでも遅れると即ガス欠ですからな。 「疾風」とか「桜花」（Baka bomb）なんかで逝くんですかね。 995 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/16(土) 18:56:31.60 ID:qW9gqsGC.net] cos(n°)が√と有理数の四則演算で表すことのできる自然数nを全て求めよ 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/16(土) 19:37:11.16 ID:TT0KDfsj.net] 二乗根のみ？ 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/16(土) 22:11:40.58 ID:dpWpE9hD.net] 二乗根のみだとすれば 0＜n＜360 として 正 360/gcd(360,n) 角形の作図可能性に言い換えられるんじゃない？ 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/16(土) 22:42:35.69 ID:dpWpE9hD.net] gcd(360,n)=2^a 3^b 5^c なら 360/gcd(360,n)=2^(3-a) 3^(2-b) 5^(1-c) だから 作図可能 ⇔ (2-b≦1 and 1-c≦1) ⇔ 1≦b つまり nが3の倍数ならOK nが3の倍数でなければNG かな 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/16(土) 22:43:06.92 ID:+ReladGy.net] 四則演算を有理数にしか行ってはならないとすると著しくハードルが高いなw 1000 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/17(日) 01:49:08.82 ID:k/sLYgaV.net] >>978 同値？なんで？ 1001 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/17(日) 04:28:02.24 ID:jHNAUDtd.net] あかさたなはまやらわ あかさたなはまやらわ 1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/17(日) 05:23:20.46 ID:8YPByAqq.net] >>974 k機目は 1/(n+1）ぢゃなくて 1/(n+2-k）になる希ガス。 1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/17(日) 13:31 ] [ここ壊れてます] 1004 名前：:14.62 ID:CVP8DIfe.net mailto: >>981 平面上定木とコンパスで作図可能な点の座標になるような実数の全体をDとすると 実数r∈Rについて r∈D ⇔ rは有理数に四則と平方根を繰り返し行って作れる数である (√の中に√を入れる事も認める) 事が知られている cost が作図可能 ⇔単位円と直線x=costの交点(cost,sint)が作図可能 ⇔(1,0),(cost,sint)を頂点にもち単位円に内接する正k角形(k≧1)でkが最小のもの(あれば)の頂点が全て作図可能 t=n゜(nが整数)なら それが正 360/gcd(360,n) 角形 但し「正1角形の全ての頂点」とは{(1,0)}, 「正2角形の全ての頂点」とは{(1,0),(-1,0)} の事とし、「正1,2角形」とは何ぞや？については考えない。 n=180とかで正2角形になる [] [ここ壊れてます] 1005 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/17(日) 13:33:36.65 ID:k/sLYgaV.net] >>984 >⇔(1,0),(cost,sint)を頂点にもち単位円に内接する正k角形(k≧1)でkが最小のもの(あれば)の頂点が全て作図可能 ここは同値？ 1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/17(日) 17:58:13.10 ID:zcDc08fE.net] 自力ではまだ解決できてないけど一応投稿しておくことにする 次の条件を全て満たす実数αは存在するか： ･αは無理数 ･αを3進展開しても4進展開しても、各桁には0または1しか現れない 1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/17(日) 19:00:02.49 ID:yQpGxA+8.net] 数論の問題は簡単に作れる割に面白いものは滅多に見つからない 1008 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/17(日) 23:09:11.03 ID:CVP8DIfe.net] >>985 (cost,sint)が作図可能なら 整数mに対する(cosmt,sinmt)は作図できる t(弧度法):2π が有理数比 (⇔ t(度数法):360 が有理数比)なら {(cosmt,sinmt)|m∈Z}は有限個の点しかもたず、かつ円周上に等間隔に並ぶ。これが正多角形の頂点。 具体的にはt/2πを既約分数で表したらその分母が点の数。 無理数比なら {(cosmt,sinmt)|m∈Z}は無限個の点をもち、正多角形を考えられない 1009 名前：216 mailto:sage [2017/09/21(木) 10:06:50.45 ID:KRTMaobw.net] >>216の(4) aa/(2abb-bbb+1)が自然数となるような自然数の組 【解答】 aa/(2abb-bbb+1)が自然数nになるとする。 (I)　b=1のとき (与式の分母)=2aで偶数だから、(与式の分子)=aaも偶数。よってaは偶数。 自然数kを用いてa=2kとおける。 (II)　b≧2のとき aa-(2bbn)a+((bbb-1)n)=0 aについて解くと a=bbn±√(bbbbnn-bbbn+n) 明らかにbbbbnn-bbbn+n>0で√の中身は正だから、2解は共に実数である。 また、(2解の和)=2bbn>0、(2解の積)=(bbb-1)n>0だから、2解は共に正である。 2解は共に正であり、2解の和は自然数だから、 2解の一方が自然数のとき、もう一方も自然数である。　…★ さて、(与式)>0、(与式の分子)>0より、(与式の分母)=bb(2a-b)+1>0 ∴2a-b≧0 (i)　2a-b=0のとき a=b/2, n=aa aは自然数だからbは偶数。自然数lを用いてb=2lとおけばa=l ★より、n=aa=llについてaはlの他に自然数解があるはずである。 a=bbn±√(bbbbnn-bbbn+n)=4llllll±√(16llllllll-8lllll+ll)=4llllll±(4llll-l)=l,8llll-l (ii)　2a-b≧1のとき (与式の分子)≧(与式の分母)よりaa≧bb(2a-b)+1 ∴aa≧bb+1>bb a,bは正だからa>b しかし、(2解の積)=(bbb-1)n、bbn+√(bbbbnn-bbbn+n)>bbnより bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)<((bbb-1)n)/bbn<bであり、 bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)<b<aはa=bbn-√(bbbbnn-bbbn+n)と矛盾。 以上より、(a,b)=(2k,1),(l,2l),(8llll-l,2l) これらは全て与条件を満たす。　■ 1010 名前：216 mailto:sage [2017/09/21(木) 10:07:35.69 ID:KRTMaobw.net] 【解説】 無数に解があるじゃないか（憤怒） 出典：IMO2003-2 1011 名前：216 mailto:sage [2017/09/21(木) 10:59:27.12 ID:9N6Yacjj.net] >>216の(5) ab-c, bc-a, ca-bが全て2の冪となるような自然数の組 【解答】 [補] 非負整数n 1012 名前：について n=0のとき、2^0=1≡1 mod 4 n=1のとき、2^1=2≡2 mod 4 n≧2のとき、2^n=(2^2)*(2^(n-2))≡0 mod 4 �@　a,b,cのうち少なくとも2つが等しいとき a=bとして一般性を失わない。aa-cとac-aが2の冪になるときを考える。 ac-a=a(c-1)よりa,c-1は共に2の冪である。非負整数α,γを用いてa=2^α, c=2^γ+1とおく。 aa-c=2^(2α)-2^γ-1が2の冪になるとき、[補]より4^α-2^γ-1≡-2^γ-1≡0,1,2 mod 4 ∴γ=0,1 γ=0のときaa-c=4^α-2≡2 mod 4 これが2の冪になるのは[補]より4^α-2=2⇔α=1、このときa=b=2^1=2, c=2^0+1=2 γ=1のときaa-c=4^α-3≡1 mod 4 これが2の冪になるのは[補]より4^α-3=1⇔α=1、このときa=b=2^1=2, c=2^1+1=3 [] [ここ壊れてます] 1013 名前：216 mailto:sage [2017/09/21(木) 11:01:02.06 ID:9N6Yacjj.net] �A　a,b,cが相異なるとき a=1のとき、b-cとc-bは和が0だから両方が自然数になることはない。よってa≧2 同様にb≧2,c≧2 2≦a<b<cとして一般性を失わない。 相異なる非負整数δ,ε,ζを用いて bc-a=2^δ, ca-b=2^ε, ab-c=2^ζ とおく。 bc-a>ca-b>ab-cよりδ>ε>ζ (I)　a=2のとき (i)　ζ=0のとき ab-c=2^ζよりc=2b-1 ca-b=2^εより3b-2=2^ε、b≧3よりε≧3 ε=3のときb=10/3で不適。 ε=4のときb=6, c=2*6-1=11 ε≧5のとき、bc-a=2^δより 9*2^δ=9*(bc-a)=9*(2bb-b-2)=18bb-9b-18=(3b-2)(6b+1)-16=(2^ε)(2*2^ε+5)-16 で右辺は2^5=32で割りきれないから左辺はδ≦4。これはδ>ε>ζより不適。 (ii)　ζ≧1のとき ab-c=2^ζよりcは偶数、ca-b=2^εよりbは偶数。よって、bc-a=2^δの左辺は4を法として2と合同だから、[補]より右辺は2^1、δ=1。これはδ>ε>ζより不適。 1014 名前：216 mailto:sage [2017/09/21(木) 11:02:26.34 ID:9N6Yacjj.net] (II)　a≧3のとき 2^ε=ac-b>ac-c=c(a-1)≧2cより2^(ε-1)≧c ∴2^(ε-1)>b>a (i)　c≡0,2,3 mod 4のとき c-1は4で割りきれない。 2^δ+2^ε=(bc-a)+(ca-b)=(b+a)(c-1) ε<δより左辺は2^εで割りきれる。右辺の(c-1)は2で高々1回しか割りきれない。よって、右辺の(b+a)は2^(ε-1)で割りきれる。 b+a<2b<2*2^(ε-1)よりa+b=2^(ε-1) ac-b=2^ε=2(a+b)よりa+3b=ac-a 4b>a+3b=a(c-1)≧abより4b≧ab これとa≧3よりa=3 3+3b=3c-3⇔c=b+2 bc-a=2^δよりbb+2b-3=2^δ⇔(b+3)(b-1)=2^δ (b+3)と(b-1)は共に2の冪である。非負整数Β,β（Β>β）を用いてb+3=2^Β, b-1=2^βとおくと、辺々引いて4=(2^β)(2^(Β-β)-1) これを満たすのはβ=2,Β=3,b=5 よってc=5+2=7、これはc≡3 mod 4を満たす。 (ii)　c≡1 mod 4のとき c+1は4で割りきれない。 2^δ-2^ε=(bc-a)-(ca-b)=(b-a)(c+1) ε<δより左辺は2^εで割りきれる。右辺の(c+1)は2で高々1回しか割りきれない。よって、右辺の(b-a)は2^(ε-1)で割りきれる。 しかしb-a<b<2^(ε-1)より、これを満たす(b-a)はない。 1015 名前：216 mailto:sage [2017/09/21(木) 11:03:53.49 ID:9N6Yacjj.net] 以上より、(a,b,c)は (2,2,2)、(2,2,3)の並べかえ3組、(2,6,11)の並べかえ6組、(3,5,7)の並べかえ6組の計16組。 これらは全て与条件を満たす。　■ 【解説】 不等式による絞りこみ、因数分解と約数、合同式、場合分け、など整数問題の基本テクニックを総動員すれば解ける。 最後の解答を元の式に当てはめて上手くいくことを確認するのが気持ちいい。 出典：IMO2015-2 1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/22(金) 12:18:25.78 ID:dxvc1idi.net] >>931 >>970 k機目が向こうに渡るとき 出発側に（n-k）機の補助機？があり、到着側に（k-1）機の補助機？がある。 そのお蔭で航続距離が 　出発側で（n-k)/(n-k+2）単位、 　到着側で（k-1)/(k+1）単位 だけ伸びる。　　　　　　　　　　　　　　　　>>972 よって、最大（n-k)/(n-k+2）+ 1 +（k-1)/(k+1）まで飛行可能 これは k⇔n+1-k について対称的で、kに対して上に凸。 　D_n = min｛　〃　｜1≦k≦n ｝= 2n/(n+1), 1017 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/23(土) 05:34:49.52 ID:NoROM9hj.net] >>995 （n-k)/(n+2-k）+ 1 +（k-1)/(k+2）- 2n/(n+1） =（n-k)(k-1)(n+3)/{(n+1)(n+2-k)(k+1)｝ > 0 ∴　D_n = 2n/(n+1). 1018 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/29(金) 00:11:24.28 ID:Zt0C2yXV.net] m,nを自然数とする。 ユークリッド空間上の関数f:R^n→R^mは、任意の凸集合を凸集合に移す。 この時、fは連続か。 1019 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/29(金) 13:43:15.26 ID:JazCjdF4.net] >>997 連続とは限らない。 n=1の時、商群R/QからR^mへの全単射φを１つとれば、 f(x)=φ(π(x)) (ただしπ:R→R/Qは自然な射影) が反例になる。 nが1より大きい時は、例えばn=3なら f(x,y,z)=φ(π(x)) 等と定めればよい 1020 名前：１３２人目の素数さん [2017/09/29(金) 22:40:30.39 ID:oIFvV/UE.net] >>998 fが条件を満たす？ 1021 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/30(土) 12:34:04.20 ID:56ihevWH.net] >>999 n=1の時、Rの凸集合といったら(広義の)区間しかない。つまり C=(a,b),(a,b],[a,b),[a,b]　(a≦b.ただし端点を含まない場合は∞や-∞になってもよい) のどれかになる。 もしCが一点か空集合ならf(C)も一点か空になる。 もしCが一点でも空でもなければ、ある開集合を含むため、CはR/Qのどの同値類とも交わりを持つ。したがってf(C)=R^m. よって、fは凸集合を凸集合に移す。 fが連続でないことの説明は省略。 nが1より大きい時、R^nの凸集合をx軸に射影したものはx軸上の凸集合になるから、 x軸への射影とn=1の場合のfを合成すれば求める関数が得られる。 1022 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/30(土) 13:02:16.50 ID:x4DjcavF.net] 次スレ 面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/ 1023 名前：1001 [Over 1000 Thread.net] このスレッドは１０００を超えました。 もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。 life time: 54日 17時間 18分 33秒 1024 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

---

---

[ 新着レスの取得/表示 (agate) ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef