- 1 名前：１３２人目の素数さん [2017/06/14(水) 14:01:39.08 ID:1dlUYn1w.net]
- 過去ログ
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
- 237 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 10:26:34.25 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 238 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 10:26:51.05 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 239 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 10:27:07.38 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 240 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 10:27:24.41 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 241 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 10:27:41.33 ID:dYpMJpMg.net]
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- 242 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 10:27:58.84 ID:dYpMJpMg.net]
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- 243 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 10:28:18.54 ID:dYpMJpMg.net]
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- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 12:34:38.28 ID:vrMzbwMW.net]
- >>218
(1)(2) xの多項式として表わすことはできない。べき級数（無限級数）なら簡単だけど。
(3) x^(-1) = 10^4 を入れる。 10000/99989999
- 245 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 13:08:18.34 ID:dYpMJpMg.net]
- ■■■馬鹿板をスルのは頭の悪い行為であり、そやし数学徒が行ってはならない。■■■
￥
- 246 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 14:54:37.72 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 247 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 14:54:59.46 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 248 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 14:55:17.74 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 249 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 14:55:35.94 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 250 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 14:55:55.77 ID:dYpMJpMg.net]
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- 251 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 14:56:14.94 ID:dYpMJpMg.net]
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- 252 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 14:56:35.08 ID:dYpMJpMg.net]
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- 253 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 14:56:55.22 ID:dYpMJpMg.net]
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- 254 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 14:57:14.75 ID:dYpMJpMg.net]
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- 255 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 14:57:33.56 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 256 名前：１３２人目の素数さん [2017/06/26(月) 15:54:52.62 ID:z7PiOUx2.net]
- xでのべき級数展開のことだった。
218の答え
(1) 1/(1-x-x^2) = 1+x+2x^2+3x^3+5x^4+… = Σ[k=1,∞] (F_k)x^(k-1)
(2) (x^-1)/((x^-2)-(x^-1)-1) = xΣ[k=1,∞] (F_k)x^(k-1) = Σ[k=1,∞] (F_k)x^k
(3) x=10^-4を代入すると、(与小数) = Σ[k=1,∞] (F_k)10^(-4k) = (10^4)/(10^8-10^4-1) = 10000/99989999
これは既約
このようにx=10^-mとすれば、「小数点以下をm桁ごとに区切ると、途中までフィボナッチ数列になるような小数」になる分数が得られる（10^m以上のフィボナッチ数以降は繰上がりが発生してパターンが崩れる）。
m=1 10/89
m=2 100/9899
m=3 1000/998999
m=4 10000/99989999
m=5 100000/9999899999
…
(3)が直接与えられたときは、
10001. 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144
=10000
+1. 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144
+0. 0001 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 0089 0144
より、
与小数をXとおいて(10^8)X=(10^4)+(10^4)X+X⇔X=(10^4)/(10^8-10^4-1)⇔X=10000/99989999
とでも解けばよい。
- 257 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 15:58:27.92 ID:dYpMJpMg.net]
- ★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ〜〜〜
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■
￥
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/26(月) 16:06:26.49 ID:3Dvnn8tK.net]
- この頭のおかしい奴を駆除できないのかな？
- 259 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 16:34:14.67 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 260 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 16:34:34.99 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 261 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 16:34:56.31 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 262 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 16:35:15.46 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 263 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 16:35:36.49 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 264 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 16:35:57.23 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 265 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 16:36:18.91 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 266 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 16:36:41.06 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 267 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 16:37:01.67 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 268 名前：￥ mailto:sage [2017/06/26(月) 16:37:23.40 ID:dYpMJpMg.net]
- ￥
- 269 名前：１３２人目の素数さん [2017/06/27(火) 00:56:38.89 ID:qHqtT4Ld.net]
- 一辺1の正方形の内部にひける線分の長さの平均は？
直感でどうぞ
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/27(火) 01:01:18.69 ID:bmbBRADS.net]
- >>268
1
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/27(火) 01:58:44.13 ID:UoQ1/bub.net]
- >>268
(4/π)∫[0,π/4］１/(cosθ）dθ
= (4/π)log(1+√2)
= 1.12219970
- 272 名前：１３２人目の素数さん [2017/06/27(火) 02:25:10.91 ID:zDJ3EJI5.net]
- ベルトランのパラドックス
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/27(火) 03:19:09.05 ID:UoQ1/bub.net]
- 「線分の分布は与えられてないから、自分で忖度するわけか。」
「忖度って何？」
（１）蘭語/独語で「日曜日」を表す語 zondag / Sonntag
（２）米国の作家 Susan Sontag
（３）博多どんたく
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/27(火) 03:35:08.27 ID:j4ToIGeR.net]
- 「線分をABとし、点Aと点Bの取り方はそれぞれ
- 275 名前：独立に円の面積についての一様分布」
ぐらいの設定ですかね。問題として成立させるには。 [] - [ここ壊れてます]
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/27(火) 04:04:01.97 ID:bmbBRADS.net]
- nを正の整数nとする。
相異なる正の整数a[1], a[2], …, a[n]が存在して
π/4=arctan(1/a[1])+arctan(1/a[2])+…+arctan(1/a[n])
と表せることを示せ。
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/27(火) 04:21:15.81 ID:T4E9Idwp.net]
- 円ではなく正方形
- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/27(火) 11:55:33.45 ID:j4ToIGeR.net]
- >>275 >>273 >>268
＞円ではなく正方形
あ、ほんまや。
「ベルトラン」の文字列が先に目に入ったので先入観が。恥ずかしい…
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/27(火) 14:18:57.34 ID:K9TadYNF.net]
- ベルト・ランて、こんなやつ。
kakaku.com/fitness/treadmill/
- 280 名前：１３２人目の素数さん [2017/06/27(火) 16:09:51.52 ID:N0HZH6zh.net]
- 268の解答
・正方形の周または内部に適当な2点(a,b),(c,d)を取ったときの距離の平均
（√((a-c)^2+(b-d)^2)を[0,1]で4重積分）
は0.5になる
https://youtu.be/i4VqXRRXi68
ただし他の算出方法、例えば思いついたのが
・正方形の周状に2点をとって結んだ長さの半分 の全ての点の組についての平均
を使うと、ベルトランのパラドックスみたいに別の結果が出るのかもしれない
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/27(火) 22:38:41.72 ID:T4E9Idwp.net]
- 距離1の線分に任意の2点をとる場合の平均距離は
∫∫(a-b)dadbから1/3だから、平面の場合はその距離を2辺とする
直角三角形になるから√2/3になるのではないかと思う
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/28(水) 02:21:34.25 ID:wm3Df9X3.net]
- >>278
そんなわけないと思ってビデオみたら
0.5ちゃうやん。
(2+√2+5log(√2+1))/15=約0.521
と言ってるぞ。
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/28(水) 02:39:38.19 ID:5QTSYrSD.net]
- >>274
n=1 のときは a[1] =1 で成立。
あるnについて成り立ったとする。
arctan(1/a) = arctan(1/(a+1)) + arctan(1/(aa+a+1)),
によって 1/a[n] を「二
- 284 名前：分割する」と、n+1についても成立。 []
- [ここ壊れてます]
- 285 名前：2 [2017/06/28(水) 02:55:56.35 ID:kZFA1c1J.net]
- 成文化に手間取って遅くなったが、(7)の解答
(7) (2^n+1)/n^2が自然数となるnを求めよ。
nが偶数のとき、与式は(奇数)/(偶数)となり整数になることはない。
つまり与式が自然数になるとき、nは奇数。
非負整数kと、3と互いに素な奇数dを用いて、n=(3^k)dとおく。
与式が自然数になるとき、k=0,1、d=1であることの証明を行う。
- 286 名前：2 [2017/06/28(水) 02:58:53.47 ID:kZFA1c1J.net]
- 【k=0,1の証明】
与式が自然数になるとき、分母の((3^k)d)^2は分子の2^((3^k)d)+1を割りきる。
2^((3^k)d)+1を2^d+1で割ると
Π[m=0, k-1] (2^(2*((3^m)d))-2^((3^m)d)+1) …★
任意の自然数tについて
2^(2*t)-2^t+1≡3 mod 9
つまり2^(2*t)-2^t+1は3で1回だけ割れる。
★はこのk個分の積だから、
3^kは★を割りきり、3^(k+1)は★を割りきらない。
(3^k)(3^k)(d^2) | (2^d+1)*★であったから、
3^kは2^d+1を割りきる。
dと3は互いに素であったから
2^d+1≡2,3,6,8 mod 9
であり、9は2^d+1を割りきらない。
k≧2のとき、9は3^kを割りきるが2^d+1を割りきらないから、
3^kが2^d+1を割りきることはない。
よって、k=0,1
- 287 名前：2 [2017/06/28(水) 03:03:47.54 ID:kZFA1c1J.net]
- 【d=1の証明】
d≠1と仮定する。
dの最小の素因数をpとする。
dは奇数だったからpも奇数。dは3と互いに素な奇数だったからd≧5でp≧5
与式が自然数になるとき、pは分子の2^n+1を割りきる …☆
以下、pを法として
2^n≡-1, 2^(2n)=(2^n)^2≡1
また、フェルマーの小定理より
2^(p-1)≡1
jを2nとp-1の最大公約数とすると
2^j≡1 …(補)
pが存在しないことを示す。
i) k=1のとき
定義よりjは2nを割りきる。
2n=2*3*d=6d
pはdの最小素因数だったからp-1とdは互いに素で、
p-1の約数であるjもdを割りきらない。
よってjは6を割りきり、jの候補は1,2,3,6
また、(補)よりpは2^j-1を割りきるから、pの候補は1,3,7,63の約数である。
pは5以上の素数だったからp=7
しかし、任意の自然数uについて
2^u+1≡2,3,5 mod 7
であり、7は2^u+1を割りきらず、☆に反する。
ii) k=0のとき
2n=2*1*d=2d
同様にjの候補は1,2、pの候補は1,3だが、
pは5以上の素数だったからpはない。
以上よりpは存在せず、
最初の仮定d≠1が間違っていたことになる。
よって、d=1
- 288 名前：2 [2017/06/28(水) 03:06:06.84 ID:kZFA1c1J.net]
- したがって、nの候補は
(k,d)=(0,1)のときのn=1
(k,d)=(1,1)のときのn=3
これらは確かに与式を自然数にする。
(補)
2^(2n)≡1, 2^(p-1)≡1
2nとp-1の最大公約数をjとして、
2n=ja, p-1=jb （aとbは互いに素）とおくと
(2^j)^a=2^(ja)≡1, (2^j)^b=2^(jb)≡1
任意の整数x,yについて
(2^j)^(ax+by)=(((2^j)^a)^x)(((2^j)^b)^y)≡(1^x)(1^y)≡1
であるが、
aとbは互いに素だったから、適当な整数X,Yを用いればaX+bY=1とできる
2^j=(2^j)^(aX+bY)≡1
- 289 名前：2 [2017/06/28(水) 03:07:58.93 ID:kZFA1c1J.net]
- ネットでの日本語解答はこれが初めてかもしれない。
数オリ財団発行の本に載っているものを参考にして作成した。
やはりムズい。
この問題を「マスターデーモン」として紹介している『数学オリンピック事典』では「n=3または(3^2)|nであるが、(n^2)|(2^n+1)ならば3^2はnを割りきらない」という流れを採用している。
このサイト
www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/imo/isoln/isoln903.html
では、与式の分子を(3-1)^n+1として二項定理を用いているようだ。
出典：IMO1990-3
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/28(水) 03:10:05.30 ID:dHEIGm6p.net]
- >>281
正解です。ちなみに一意性はなく、n≧2のとき
(1) a[k]=2k^2 (1≦k≦n-1), a[n]=2n-1
や
(2) a[k]=F[2k+1] (1≦k≦n-1), a[n]=F[2n]
ただし、F[n]はフィボナッチ数列 (F[1]=F[2]=1)
などでも表せます。
- 291 名前：１３２人目の素数さん [2017/06/28(水) 03:15:46.47 ID:kZFA1c1J.net]
- おまけ（ぶっちゃけ簡単）
素数p,qを用いてp^q+q^pの形で表される素数を求めよ。
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/28(水) 03:32:01.14 ID:wm3Df9X3.net]
- 17
p,qがともに奇素数かともに2なら、p^q+q^pは2より大きい偶数となり、不適
よって、p,qの片方が2
pが奇数で3で割り切れない場合は、p^2+2^pは3より大きい3の倍数となり、不適
よって、p=3
- 293 名前：288 [2017/06/28(水) 07:47:36.89 ID:UWqYj2FJ.net]
- >>289
正解
p^q+q^p≧2^2+2^2=8
p,qの偶奇が一致する場合はp^q+q^pは偶数になり、素数になることはない。
よって、p,qは偶素数2と奇素数。
対称性よりp=2、qを奇素数としてよい。
q=3でp^q+q^p=2^3+3^2=17は素数
以下、3を法として
q≧5で、qは素数だからq≡1,2だが
q≡1で2^q+q^2≡(-1)^q+1^2≡-1+1≡0
q≡2で2^q+q^2≡(-1)^q+2^2≡-1+4≡0
（-1の奇数乗は-1であることを用いた）
となり、p^q+q^pは素数になることはない。
以上より(p,q)=(2,3),(3,2)のときの17
出典：京大前期数学（理系）2016-2
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/28(水) 07:59:33.12 ID:w1G4n4lh.net]
- >>268
2重積分にすると
z: 0→1
f=x-y： √2→0
f=(1-z)√2
S=∫[0,1](1-z)√2dz=1/√2
L=∫[0,1]zf(z)/Sdz
=√2∫[0,1]z(1-z)√2dz
L'=∫[0,1]xyf(x)f(y)/S^2dxdy
=4∫∫√(x^2+y^2)(1-x)(1-y)dxdy
=(2+√2+5log(1+√2))/15
- 295 名前：￥ mailto:sage [2017/06/28(水) 18:24:30.43 ID:A63zUC8I.net]
- ￥
- 296 名前：￥ mailto:sage [2017/06/28(水) 18:24:51.16 ID:A63zUC8I.net]
- ￥
- 297 名前：￥ mailto:sage [2017/06/28(水) 18:25:11.04 ID:A63zUC8I.net]
- ￥
- 298 名前：￥ mailto:sage [2017/06/28(水) 18:25:28.91 ID:A63zUC8I.net]
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- 299 名前：￥ mailto:sage [2017/06/28(水) 18:25:48.14 ID:A63zUC8I.net]
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- 300 名前：￥ mailto:sage [2017/06/28(水) 18:26:06.94 ID:A63zUC8I.net]
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- 301 名前：￥ mailto:sage [2017/06/28(水) 18:26:24.59 ID:A63zUC8I.net]
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- 302 名前：￥ mailto:sage [2017/06/28(水) 18:26:42.36 ID:A63zUC8I.net]
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- 303 名前：￥ mailto:sage [2017/06/28(水) 18:27:08.46 ID:A63zUC8I.net]
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- 304 名前：￥ mailto:sage [2017/06/28(水) 18:27:27.38 ID:A63zUC8I.net]
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- 305 名前：１３２人目の素数さん [2017/06/28(水) 21:55:05.71 ID:xEqrn1lZ.net]
- x,yに関する不定方程式
x^2-dy^2=1 （dは平方数でない自然数）
は「ぺル方程式」とよばれ、無限個の自然数解を持つことが知られている。
問1
j+1と2jが共に平方数になるような自然数jが無限に存在することを示せ。
また、最小の自然数解を(X,Y)とすると、全ての自然数解(x_n,y_n)は
x_1=X, y_1=Y
x_(n+1) = (x_n)(x_1) + d(y_n)(y_1)
y_(n+1) = (x_n)(y_1)+(y_n)(x_1)
で表せることが知られている。
問2
「平方数であるような自然数列の部分和」、すなわち「三角数かつ四角数」が無限に存在すことを示せ。
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/29(木) 00:15:00.74 ID:RAHEABOx.net]
- >>291 訂正
L=∫[0,1]zf(z)/Sdz
=√2∫[0,1]z(1-z)√2dz=1/3
L'=∫[0,1]√(x^2+y^2)f(x)f(y)/S^2dxdy
=4∫∫√(x^2+y^2)(1-x)(1-y)dxdy
=(2+√2+5log(1+√2))/15
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/29(木) 10:43:37.22 ID:n9pcFtpp.net]
- j+1=x^2,2j=y^2からjを消去してy^2=2(x^2-1)。
x,yが整数ならyが遇数となるから、y=2zと置いて
4z^2=2(x^2-1)すなわちx^2-2z^2=1。ペル方程式の解は(ry
n(n+1)/2=m^2の解を探す。両辺を8倍して1足すと
(2n+1)^2=8m^2+1。ペル方程式の解は(ry
- 308 名前：１３２人目の素数さん [2017/06/29(木) 10:58:36.55 ID:mYQxtRdG.net]
- >>304
問2の答えが不十分
2n+1が無限に存在してもnは…
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/29(木) 11:51:52.30 ID:n9pcFtpp.net]
- えーっと、p^2-2q^2=1の最小解は(p,q)=(3,2)でよかったかな。
x+y√2=(3+2√2)^nは全てのnについてx奇y偶。
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/29(木) 12:10:25.77 ID:W3RXb80R.net]
- >>305
xx-2yy=1 ならば xは奇数、yは偶数。
(略証)
xx=2yy+1=奇数。
2yy=xx-1=(x+1)(x-1)は8の倍数
∴ yは偶数。
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/29(木) 12:39:00.70 ID:W3RXb80R.net]
- >>287
arctan(1/a) = arctan((b-a)/(ab+1)) + arctan(1/b),
(1) a
- 312 名前： = 2n-1、b = 2n+1,
(2) a = F_(2n)、b = F_(2n+2)、F_(m-1) F_(m+1) - (F_m)^2 = (-1)^m [] - [ここ壊れてます]
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/29(木) 13:13:24.78 ID:W3RXb80R.net]
- 〔問題〕
実数a〜dについて次を示せ。
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,
不等式スレ８-042
- 314 名前：302 [2017/06/29(木) 14:51:00.54 ID:pDFeYatX.net]
- 解答
問1
jが奇数ならば2jは素因数に2を一つしか持たず、平方数になることはない。
よって、2jが平方数になるときjは偶数で、j=2k^2とおける。
j+1=2k^2+1が平方数になるとき2k^2+1=l^2とおける。
l^2-2k^2=1
自然数解(l,k)は無限個存在し、
（明らかに自然数解kは無限個存在するから、）
題意を満たす自然数j=2k^2も無限個存在する。
問2
三角数はa(a+1)/2と表せる。
これが四角数になるときa(a+1)/2=b^2とおける。
a^2+a-2b^2=0⇔4a^2+4a-8b^2=0⇔(2a+1)^2-2(2b)^2=1
A=2a+1, B=2bとおけばA^2-2B^2=1
自然数解(A,B)は無限個存在する。
最小の自然数解(A_1,B_1)は(3,2)であり、
A_mが奇数、B_mが偶数と仮定すると
A_(m+1)=3(A_m)+4(B_m)は奇数
B_(m+1)=2(A_m)+3(B_m)は偶数
よって、全ての自然数解(A_n,B_n)についてA_nは奇数、B_nは偶数である。
A^2=2B^2+1でA^2は奇数、Aも奇数
2B^2=(A+1)(A-1)=(偶数)^2でB^2は偶数、Bも偶数
と直接示してしてもよい。
したがって、a=(A-1)/2, b=B/2はいずれも自然数であり、
自然数解(a,b)も無限に存在する。
- 315 名前：302 [2017/06/29(木) 15:11:55.91 ID:pDFeYatX.net]
- ちなみに漸化式を解いて一般項を求めると
l_n=A_n=(1/2)((3+2√2)^n+(3-2√2)^n)
k_n=B_n=((√2)/4)((3+2√2)^n-(3-2√2)^n)
j_n=(1/8)((3+2√2)^(2n)+(3-2√2)^(2n)-2)
a_n=(1/4)((3+2√2)^n+(3-2√2)^n-2)
b_n=((√2)/8)((3+2√2)^n-(3-2√2)^n)
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/29(木) 15:29:19.21 ID:CIUnyKfJ.net]
- 冗長
- 317 名前：302 [2017/06/29(木) 15:50:56.20 ID:pDFeYatX.net]
- 2を掛け忘れていた
j_n
=(1/4)((3+2√2)^(2n)+(3-2√2)^(2n)-2)
=(1/4)((17+12√2)^n+(17-12√2)^n-2)
j_1=8 j+1=9=3^2, 2j=16=4^2
j_2=288 j+1=289=17^2, 2j=576=24^2
j_3=9800 j+1=9801=99^2, 2j=19600=140^2
- 318 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 01:37:08.75 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 319 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 01:37:31.95 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 320 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 01:37:52.62 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 321 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 01:38:11.89 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 322 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 01:38:47.79 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 323 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 01:39:09.22 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 324 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 01:39:40.48 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 325 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 01:40:02.79 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 326 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 01:40:26.51 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 327 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 01:40:49.44 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/30(金) 18:07:51.25 ID:g/dkToLH.net]
- >>309
左辺は ab+bc+cd と ad-bc の斉2次式。
- 329 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 18:33:31.43 ID:UUAvZ6vl.net]
- ▲▲▲数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、豊かな数学的知性を育むべきである。▲▲▲
￥
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/06/30(金) 18:47:45.83 ID:g/dkToLH.net]
- >>309
z1 = a - cω,
z2 = d - bω,
1+ω+ω^2=0,
とおくと、
z1･z2 = (ad-bc) - (ab+bc+cd)ω,
- 331 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 18:50:12.48 ID:UUAvZ6vl.net]
- ▲▲▲数学徒は馬鹿板をしない生活を送り、豊かな数学的知性を育むべきである。▲▲▲
￥
- 332 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 21:28:47.25 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 333 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 21:29:11.04 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 334 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 21:29:33.17 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 335 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 21:29:55.48 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 336 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 21:30:17.37 ID:UUAvZ6vl.net]
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- 337 名前：￥ mailto:sage [2017/06/30(金) 21:30:39.13 ID:UUAvZ6vl.net]
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