- 434 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2017/04/11(火) 20:18:18.06 ID:lkRTR/rP.net]
- 以前も紹介したかな？（＾＾；
d.hatena.ne.jp/kururu_goedel/20100625/1277444492
(抜粋)
くるるの数学ノート > 2010-06-25 > アメリカのとある大学で数学やっております。
３時間でわかった気になる強制法（その1-1）
その1、その2、その3がそれぞれ１時間ずつでわかった気になって３時間で完成という方針で。Cohenの元々の論文にあるような強制法のことは全く知らずに書いています。Kunenの定式化がやっぱりベースになっているかな。
あなたがスタンフォード大学でSol Fefermanにそそのかされてこの問題を解こうと思い立ったとします。まずなにをやればよいでしょうか？
ZFCが無矛盾*2であると仮定します。証明したいのはすなわちZFC+¬CHが矛盾しないこと*3。論理式の集合が無矛盾であることを証明するときには、以下の定理が役に立ちます。
定理（コンパクト性定理）Γを論理式の集合とする。このとき、
Γが無矛盾であることと、Γの任意の有限部分集合が無矛盾であることは同値である。
定理（(意味論的)完全性と健全性）Γを論理式の集合、φを論理式とする。このとき、
Γからφが証明できることと、Γを満たすようなすべてのモデルがφを満たすことは同値である。
というわけで、方針としては、ZFCの無矛盾性を仮定して、
ZFC+¬CHの有限部分集合Γを任意にとる
完全性定理により、ZFCのモデルVが存在するので、それを固定する
Vの中で、Γのモデルとなるような集合の存在を示す。
コンパクト性定理によりZFC+¬CHの無矛盾性が言える
ウマー
照り焼きにするです*4。
ここで問題になるのは三番目のステップのみですね。どうやって、Γのモデルを構成すればよいのでしょうか？そこがCohenがぶち破った壁なわけです。これから、まず単純にやってみた場合にはうまくいかないことを説明してみようと思います。
*2：本当は整合的と書きたいのですが、まあこの記事は多くの人に読んでもらいたいので普通の言い方にします。
*3：細かい点ですが、この証明を行う体系はZFCでなくても構いません。すなわち、ZFC+Con(ZFC)は仮定しなくても、コンパクト性定理や完全性定理が証明できるような体系上でのZFCの無矛盾性さえあれば大丈夫です。なんか2ちゃんねるで誤解していた人がいたので念のため。
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