- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/04/11(火) 10:47:21.19 ID:Yji/Wubi.net]
- (>>359の続き)
Case2-2-2)：或る i=2,…,n に対して (A_i)/C が超越数のとき。
このとき、(A_2)/C ,…, (A_n)/C について有理数と超越数が両方1個以上存在する。
(A_2)/C ,…, (A_n)/C の中の k'-1(2≦k'≦n) 個を超越数とする。
A_2 ,…, A_n について、Cで割った分数が超越数となるものを B_1,…,B_k' とする。
つまり、(B_2)/C ,…, (B_k')/C を超越数とする。改めて、各 i=2,…,k' に対して A_i＝B_i とおき直す。
すると、A_1＝log(a_1) であり、A_2 ,…, A_k' は log(a_2) ,…, log(a_n) の中の k'-1 個にあたる
から、仮定から、G-Fの定理の系より、A_1, A_2 ,…, A_k' は体Q上線型従属である。
従って、Case2の上の議論と同様に考えて、Case2-1、及びCase2-2-1へとたどる議論
と同様に考えれば、矛盾が導けることになる。
Case2-2-1)、Case2-2-2)から、或る i=2,…,n に対して (A_i)/C が有理数とすると、矛盾する。
Case2-1、Case2-2から、n≧3 のとき矛盾が得られる。
Case1、Case2 から、必ず矛盾が生じる。
この矛盾が導けたことにより背理法が適用出来るから、背理法を適用すればよい。
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