- 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/10/23(金) 21:34:48.13 ID:CRQxhTvw.net]
- 402 １３２人目の素数さん 2015/09/11(金) 09:05:02.17 ID:V6ntLYDb
既出だったらすまんが
(無理数)^(無理数)が有理数になりえることを、初等的な例を挙げて示せ。
408 １３２人目の素数さん 2015/09/11(金) 11:14:02.69 ID:/suPxUqm
結構有名なのか
この証明法を知ったときは目から鱗だった
log(2)の無理性を示す方針も可
解答例
√2は無理数である
さて、a=(√2)^(√2)とすると
aは実数であるから
aは有理数、無理数のいずれかであるが
i) aを有理数と仮定すると
a自体が(無理数)^(無理数)=(有理数)の例である
ii) aを無理数と仮定すると
a^(√2)=2であり、これは(無理数)^(無理数)=(有理数)の例である
i)、ii)より、(無理数)^(無理数)が有理数になりえることが示された
