面白い問題おしえて〜な 二十一問目

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sageteoff [2015/05/22(金) 09:38:35.72 ID:wNOlCA2c.net] 過去ログ www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 19 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/ 20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/22(金) 13:22:01.33 ID:KVBOnSTu.net] >>wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/994 切断面が4角形以上なら立方体の対面を含み、断面図形は平行辺を持つ 正五角形は平行辺を持たないから断面図形になりえない 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/23(土) 20:08:22.68 ID:9Ox0BYbh.net] 平面上に不等辺三角形ABCがあるとする。 このとき同じ平面上に点P,Q,R,S,T,Uが存在して次を満たすことを示せ。 三角形PQRおよびSTUはともに正三角形であり、それらの重心は一致し、 その重心をGとすると四角形GPAS,GQBT,GRCUはすべて平行四辺形である。 4 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/24(日) 00:37:22.14 ID:MMPYJdfM.net] 実数に対して定義され, 実数値をとる関数fであって, 任意の実数x, yに対して f(xf(y))=f(xy)+x が成り立つようなものをすべて求めよ. (レベル1) 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/24(日) 01:19:51.34 ID:Gnf8gD0x.net] a=f(0)とおく。 与式にy=0を代入するとf(ax)=x+a a=0とするとa=xとなり矛盾。 よってa≠0なのでf(x)=x/a+a 与式にx=1を代入するとf(f(y))=f(y)+1 これよりa=1すなわちf(x)=x+1 6 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/24(日) 08:39:17.88 ID:MMPYJdfM.net] >>3 x軸とy軸のなす角が60°の斜交座標上に△ABCを任意の向きで置く. △ABCをy軸に沿って平行移動することで, 3頂点のx座標を変えないままy座標の和を0にできる. 同様に, △ABCをx軸に沿って平行移動することで, 3頂点のy座標を変えないままx座標の和を0にできる. そのように平行移動したあとのA, Bの座標をA(x_1, y_1), B(x_2, y_2)とする. a,b,p,qに関する連立方程式[a+p=x_1, b+q=y_1 -a-b+q=x_2, a-p-q=y_2]を解いてa,b,p,qの値を求め,G(0,0),P(a,b),Q(-a-b,a),R(b,-a-b),S(p,q),T(q,-p-q),U(-p-q,p)とすれば, これらの点が条件を満たす. 7 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/24(日) 09:32:05.44 ID:MMPYJdfM.net] 実数に対して定義され, 実数値をとる関数fであって, 任意の実数x, yに対して  f(xf(x)+f(x)f(y)+y-1)=f(xf(x)+xy)+y-1  が成り立つようなものをすべて求めよ.  (レベル1)  8 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/24(日) 10:22:05.32 ID:X29tvW+c.net] N:正の整数全体　f,g,h はそれぞれNからNへの関数　f(f(f(n))) を fff(n)と書く 次の(1)(2)(3)を満たす f,g,h は存在するか。存在しないなら証明し、存在するなら例をあげよ (1) ∀n∈N に対して fff(n) = n+2015 (2) ∀n∈N に対して ggg(n) = 2015n (3) ∀n∈N に対して hhh(n) = n^2015 9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/24(日) 23:15:58.78 ID:Gnf8gD0x.net] >>7 与式にx=0を代入 f(f(0)f(y)+y-1)=f(0)+y-1・・・(#) y=1-f(0)を代入 f(f(0)f(1-f(0))-f(0))=0 ここでa=f(0)f(1-f(0))-f(0)とおくと f(a)=0 与式にx=a,y=1を代入すると f(0)=f(a)=0 よって(#)よりf(y-1)=y-1 すなわちf(x)=x 10 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/25(月) 18:25:36.30 ID:Ic4oaJR1.net] nを正の整数とする.以下の条件を満たす2n桁の整数Nを全て求めよ： 【条件】Nの上n桁と下n桁をそれぞれ1つの整数とみたとき,それらの積がNの約数になる. 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/25(月) 20:57:41.41 ID:GTPxpkqC.net] >>10 11, 12, 15, 24, 36 1352, 1734 {(10^k+2)^2}/6 {(10^(6k-3)+1)^2}/7 12 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/26(火) 20:41:40.76 ID:2aztPFyt.net] αを, α^7=1を満たす複素数のうち虚部が最大であるものとする. 1/|α^2+α+1|-1/|α+1| の値を求めよ. 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/26(火) 21:45:25.08 ID:MZa9woGS.net] >>8 (1) 存在しない A={f(n):n∈N} B={ff(n):n∈N} C={fff(n):n∈N}とおくと |N-A|=|A-B|=|B-C| |N-A|+|A-B|+|B-C|=|N-C|=2015 2015は3の倍数でないので矛盾 (2) a(n)=Max{k∈N+{0}:n/2^k∈N}とおく g(n)=2n (a(n)≡0,1(mod 3)) g(n)=2015n/4 (a(n)≡2(mod 3)) (3) b(n)=Max{k∈N:n^(1/k)∈N}とおく h(1)=1 h(n)=n^2 (a(b(n))≡0,1(mod 3)) h(n)=n^(2015/4) (a(b(n))≡2(mod 3)) 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/26(火) 21:47:07.46 ID:MZa9woGS.net] >>13 あ、(3)はナシで 15 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/26(火) 22:36:13.03 ID:dwAp1wFI.net] >>13 (1)(2)正解です 16 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/27(水) 01:21:13.29 ID:dfnaaauX.net] Nは正の整数とする。 X+Y+Z≦Nを満たす正の整数の組(X,Y,Z)は何通りあるか？ 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/27(水) 02:21:35.09 ID:tuOMDtKz.net] >>16 宿題は他所で聞け！ 18 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/27(水) 14:00:02.49 ID:PZMJUt71.net] nを2以上の整数とする. 任意の正の整数kに対して, kと書かれたボールが1個ずつある. これらのボール全てを, 以下の条件(1),(2)をともに満たすようにボールがいくらでも入るn個の袋に分け入れることは出来るか. 　条件(1)：どの袋も空にはならない 　条件(2)：n個の袋のうちどのn-1個を選び, 選んだ各袋からボールを無作為に1個ずつ取り出しても, 取り出したボールに書かれた数の和をSとすると, Sと書かれたボールは残り1個の袋に入っている. 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/28(木) 10:58:30.37 ID:lVJ8cRpY.net] N：自然数全体の集合 R：自然数全体の集合 f ; R→N ∀x、∀y、f(x+f(x)) = (1+y)・f(x) ときどき聞かれるが、自然数は 0 を含まない。 20 名前：19 mailto:sage [2015/05/28(木) 10:59:51.42 ID:lVJ8cRpY.net] ゴメン訂正。左辺を書き間違った。あのままでも解けるならやって味噌。 N：自然数全体の集合 R：自然数全体の集合 f ; R→N ∀x、∀y、f(x+f(x)f(y)) = (1+y)・f(x) ときどき聞かれるが、自然数は 0 を含まない。 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/28(木) 11:11:07.18 ID:lVJ8cRpY.net] ゴメンもひとつ訂正。 N：自然数全体の集合 f ; N→N ∀x、∀y∈N、f(x+f(x)f(y)) = (1+y)・f(x) 22 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/28(木) 17:23:10.78 ID:OzVozmQ7.net] >>12 複素数平面上で 4点A(1), B(cos2π/7+isin2π/7), C(α), D(α^2)にトレミーの定理を適用して 1/|α^3-1|-1/|α^2-1|=1/|α-1| ∴ 1/|α^2+α+1|-1/|α+1|=1  23 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/28(木) 23:08:18.47 ID:OzVozmQ7.net] 素数からなる数列{p_n}を以下のように定める： p_1=2, n≧2においてp_nはΠ[k=1 to n-1]p_k +1の最大の素因数 (1)数列{p_n}に5は現れるか. (2)数列{p_n}に11は現れるか. 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/28(木) 23:09:55.13 ID:lVJ8cRpY.net] >>22 すごいな！ 25 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/28(木) 23:42:41.84 ID:61sb4mGP.net] >>22 おもすれー！ 26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/29(金) 00:13:33.28 ID:O8xAIr5P.net] >>23 (1)はなんとかなった。 p_n=5のとき Π[k=1 to n-1]p_k +1 = (3^a)*(5^b)　ただし、aは非負整数，bは正の整数 ここで、p_2=3より左辺≡1 mod 3 よって、a=0 そのとき、右辺≡1 mod 4 よって、Π[k=1 to n-1]p_kは4の倍数となるが、それはありえない。 (2)も、 p_n=11のとき Π[k=1 to n-1]p_k +1 = (3^a)*(5^b)*(7^c)*(11^d)　ただし、a,b,cは非負整数，dは正の整数 とおくと、p_2=3とp_3=7より、a=c=0と、 mod 4とmod 6における考察からbとdは奇数というところまではわかるが、 矛盾がまだ導けない… ちなみに、これだよな ttp://oeis.org/A000946 27 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/29(金) 07:55:46.24 ID:7uOmhxTR.net] >>26 ものすごい速さで増加してるから気になって調べたけど、単調増加ではないことが証明されているらしい 28 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/29(金) 12:17:53.69 ID:7uOmhxTR.net] >>26 そこまで来たらあとはmod○で見ればおしまいですぜ 29 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/30(土) 00:10:39.16 ID:DTDtTIAa.net] >>23 (2) >>26 のようにしてbは奇数 よって5^b≡3,5,6 , 11^d≡1,2,4 (mod 7)より 5^b・11^d≡1になりえないので矛盾 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/30(土) 01:08:03.54 ID:cjrKKsVK.net] 出題します (1)無理数全体の集合は可付番か。 (2)有理数の無理数乗で有理数となるものは存在するか。 31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/30(土) 01:11:41.16 ID:8C3h28FU.net] 0 1 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/30(土) 01:19:18.86 ID:ALkUXCoP.net] >>30 なんで(1)を出題したのか泣くまで苛めたい 33 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/30(土) 01:40:28.38 ID:DTDtTIAa.net] >>30 (2) 2^log_(2)3=3など無数 <類題> 無理数の無理数乗で有理数となるものは存在するか。  ↑これの答え知ったときの感動といったらもう 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/30(土) 05:41:31.12 ID:WTsTfqJY.net] >>33 あの証明は排中律のうさんくささを物語っているのであり、 感動しちゃイカン ttp://ja.wikipedia.org/wiki/排中律 ＞上記の例は直観主義では許されない「非構成的; non-constructive」証明の例である。 ＞「この証明は、定理を満足する a と b という数を特定せずに可能性だけで論じているため、 ＞非構成的である。実際には a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} は無理数だが、これを簡単に示す証明は ＞知られていない」(Davis 2000:220) 35 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/30(土) 10:50:46.63 ID:DTDtTIAa.net] nを2以上の整数とする. 黒板にnがn個書かれている. このとき, 以下の操作を繰り返し行う： 操作：黒板に書かれた数のうち2つを任意に選んでa, bとする. 黒板に書かれたa, bを1つずつ消し, 代わりに(a+b)/4を1つ黒板に書き加える. 初めの状態から上記の操作を(n-1)回繰り返して黒板に数が1つだけ残ったとき, その残った数は1以上であることを示せ. 36 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/30(土) 13:00:00.51 ID:O0nWqd/h.net] １／ａ＋１／ｂ−４／（ａ＋ｂ）＝（ａ−ｂ）＾２／ａｂ（ａ＋ｂ）。 37 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/30(土) 16:11:45.43 ID:DTDtTIAa.net] nを2以上の整数とする. 黒板にnがn個書かれている.  このとき, 以下の操作を繰り返し行う：  操作：黒板に書かれた数のうち2つを任意に選んでa, bとする. 黒板に書かれたa, bを1つずつ消し, 代わりに√(ab/2)を1つ黒板に書き加える.  初めの状態から上記の操作を(n-1)回繰り返して黒板に数が1つだけ残ったとき, その残った数は1以上であることを示せ.  38 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/30(土) 16:14:30.32 ID:DTDtTIAa.net] 訂正 ✕1以上　○√n以上 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/05/31(日) 00:33:48.52 ID:fE/FMywr.net] (1/a)^2＋(1/b)^2−(1/√(ab/2))^2＝(a−b)^2/(a^2b^2) 40 名前：１３２人目の素数さん [2015/05/31(日) 04:14:16.21 ID:sfLdmxRv.net] 平面上の相異なる6点A, B, C, D, E, Fは次の(i)〜(iii)を全て満たす. (i)AB//CD (ii)4点A, B, E, Fは同一円周上にある (iii)4点C, D, E, Fは同一円周上にある このとき, 6点A, B, C, D, E, Fを全て通る二次曲線が存在することを示せ. ただし, 「二直線」も二次曲線に含めるものとする. 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/01(月) 00:59:17.14 ID:3Q/kEBod.net] >>30だけど(3)を書き忘れてつまらん問題になってるね (3)任意の有理数と無理数の同数の組み合わせから四則演算とべき乗によって有理数を作ることは可能か。 あと>>33は例示が間違ってますね。無理数乗の要素も見当たらない 無理数の無視数乗の問題の方が簡単です。(2\を解く過程で背理法を使うと系として出てきます 有理数の無理数乗で無理数となるものも同様に存在します。 42 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/01(月) 06:39:28.92 ID:3uXQ8gBK.net] >>41 2を底とする3の対数って有理数だったのか… 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/01(月) 14:31:50.05 ID:e8HqnHNl.net] >>21 これか https://www.toshin.com/sp/concours/mondai/mondai_25.php#kaitou しかし、最後の３行が謎ちゅうか誤魔化してないか？誰か解説 please ! 44 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/01(月) 20:16:36.54 ID:3uXQ8gBK.net] >>43 f(xl=cx (cは定数) の形だとわかって、それを元の式に代入してc=1がわかるって意味だよ 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/01(月) 20:22:57.45 ID:oUH6EhHI.net] >>43 ∀x、f(x) = f(1)xが成り立つので 元の式f(x+f(x)f(y)) = (1+y)f(x)にあてはめて f(1)(x+f(x)f(y)) = (1+y)f(1)x f(1)f(x)f(y) = f(1)xy f(x)f(y) = xy f(1)x・f(1)y = xy f(1)^2=1 46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/01(月) 23:21:16.89 ID:e8HqnHNl.net] >>44-45 なるほど〜、ありがとうございます！ 47 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/02(火) 11:52:49.46 ID:hznov9EH.net] ad-bc=1, ac+bd=72 を満たす正の整数a,b,c,dをすべて求めよ 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/02(火) 15:40:04.20 ID:311eJ5rc.net] (ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=5185=5*17*61 5=1^2+2^2,17*61=29^2+14^2=26^2+19^2 17=1^2+4^2,5*61=4^2+17^2=7^2+16^2 61=5^2+6^2,5*17=2^2+9^2=6^2+7^2 29*1-14*2=1,29*2+14*1=72 17*1-4*4=1,17*4+4*1=72 6*6-7*5=1,6*7+5*6=72 (a,b,c,d),(d,c,b,a)=(1,2,14,29),(1,4,4,17),(6,5,7,6) 49 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/03(水) 00:52:37.07 ID:a8jU9vQT.net] y=ax^2 (a>0)で表される放物線はすべて相似であることを示せ 50 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/03(水) 06:27:25.51 ID:aO76Pz1F.net] 平面上に相異なる2015個の点を, 以下の(i)(ii)をともに満たすように配置できることを示せ. (i)全ての点が同一円周上にある (ii)どの2点間の距離も整数 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/03(水) 10:29:42.56 ID:+7SpCnec.net] >>50 tanα=3/4（0<α<π/2）とすると、 α/πは無理数。（←これは別途証明要） 単位円周上に点P_1をとり、 中心から見てP_kを反時計回りに角度2αだけ回転させた点をP_{k+1}とする（k=1,…,2014） α/πが無理数であることから、P_1〜P_{2015}は全て異なる点。 このとき、２点P_i，P_j間の距離は｜2sin(j-i)α｜となるが、 sinα，cosαがともに有理数であることから数学的帰納法により自然数nに対しsin(nα)は有理数なので P_1〜P_{2015}のどの２点間の距離も有理数となる。 このようにして得られた全ての２点間距離を既約分数で表したときの分母の最小公倍数をNとし、 半径Nの円周上に同様に角度2αずつ離れた2015個の点を取ると、条件を満たす。 52 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/03(水) 11:49:30.77 ID:aO76Pz1F.net] >>51 tを十分大きな有理数で tan α=2t/(t^2-1) (0<α<π/2014) を満たすようにとれば「別途証明」不要 53 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/03(水) 11:55:27.40 ID:aO76Pz1F.net] nを4以上の整数とする. 凸n角形をその全ての対角線によっていくつかの小多角形に分割したとき, 小多角形の個数としてありうる最大値を, nの式で表せ. 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/03(水) 17:03:57.79 ID:tA8LQoZR.net] (n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24　かな？ 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/03(水) 17:50:39.91 ID:4qlGfN1X.net] nが奇数のとき、(n-1)(n-2)(n^2-3b+12)/24 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/03(水) 17:51:59.01 ID:4qlGfN1X.net] 訂正 奇数のとき、(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24 >>54と同じだった．．． 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/03(水) 17:57:16.64 ID:4qlGfN1X.net] 偶数のとき、1/24 (n^4-6 n^3+23 n^2-54 n+72) 58 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/03(水) 18:58:25.16 ID:MHyXHGHf.net] >>54 が正解 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/03(水) 20:01:26.09 ID:4qlGfN1X.net] >>58は不正解 n=6のときは24 60 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/03(水) 21:43:20.50 ID:MHyXHGHf.net] >>59 は不正解 六角形の3本の対角線が1点で交わらないようにすれば25 61 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/03(水) 21:51:53.69 ID:MHyXHGHf.net] >>60 無論頂点以外で 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/03(水) 22:19:26.59 ID:DLQt16A/.net] む 63 名前：しろ正ｎ角形の場合はどうなるんだ？ [] [ここ壊れてます] 64 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/04(木) 00:05:41.35 ID:DlD1fgXL.net] >>62 www-math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf 65 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/04(木) 00:10:22.67 ID:DlD1fgXL.net] >>62 すまん the number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon っていう名のpdfがあるから検索してくれ 66 名前：62 mailto:sage [2015/06/04(木) 07:57:49.04 ID:5CVBYIht.net] >>63-64 ありがとう 導入だけ読んでみたけど、けっこう面白いな 正奇数角形では、中心以外の点で３本以上の対角線が交わることがない 中心以外の点で８本以上の対角線が交わることがない 交点数は mod 2520 で場合分けされた多項式で表わせる、など 67 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/04(木) 09:47:21.93 ID:DlD1fgXL.net] (1)n!がn^2+1で割り切れるような正の整数nが無限に存在することを示せ. (2)n!+1が2nより大きな素数で割り切れるような正の整数nが無限に存在することを示せ. 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/04(木) 10:18:28.83 ID:VK5AHYCS.net] 最大値、1+C[n,2]-n+C[n,4]=(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)/24 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/04(木) 11:37:55.53 ID:VRhXXN4e.net] >>65 その議論の中で全ての三重点（３本以上の対角線が交わる点）が特定されることから 全ての整角四角形を特定できる。 70 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/08(月) 10:00:02.69 ID:SYFaGsUd.net] 「フィボナッチ時計」現る　時刻をフィボナッチ数の正方形で表現 www.itmedia.co.jp/news/articles/1505/12/news088.html 71 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/08(月) 14:18:26.14 ID:kPVANlDn.net] サゲ 72 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/08(月) 18:02:19.48 ID:tVQ59KCQ.net] 各桁に0,1,2,3,4,5,6,7,8,9がいずれも等しい回数現れるような2015の倍数が無限個存在することを示せ 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/08(月) 23:21:01.18 ID:C27RTUbC.net] 2015=5×13×31 a=987654321098765432109876543210は5の倍数 1,10^30,10^60,... という長さ13×31の列の和bは13×31の倍数 abは2015の倍数 abは問題の条件を満たす abを何回も繰り返した数も条件を満たす このような数が無限に存在する 74 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/09(火) 13:49:00.57 ID:T0GLx/6H.net] 2^n+n=m!を満たす正の整数の組(m,n)を全て求めよ. 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/09(火) 23:44:26.68 ID:C9PCsexr.net] m=4のとき、m!=24 は 2^3=8 の倍数。 2^n+n=m! が成り立つとすると、2^n+n は 2^3=8 の倍数。n自体が 2^3=8 の倍数。 すると 2^n+n は最低でも 2^8+8=264>24。関係式は成り立たない。 m≧5のときも同様 あとは m=1,2,3 の場合を考えれば n=2,m=3 でのみ成立 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/10(水) 00:24:56.38 ID:7AH0/qSj.net] m!は2^kを因数に持つけど、kをmで表すことってできる？ 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/10(水) 00:43:27.74 ID:tY3zLt2n.net] k=[m/2]+[m/4]+[m/8]+[m/16]+… （[]はガウス記号） とかですかね これから (m-1)/2 ≦ k < m が言える。（下はもう少しいい評価があるかも） 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/10(水) 00:53:05.27 ID:bFulPhM4.net] 73を解くのにあたってって話なら 4は2^2の倍数 それ以外の偶数は2の倍数って考えて 「m!の中の2の因子の数は最低でもこれ以上」っていう評価をすれば じゅうぶんみたい 79 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/11(木) 22:17:10.16 ID:bGUttT8X.net] ちょっと出題してみる。経験的に初学者がやりがちなミスについての問題だけど、お前らは大丈夫だよな？ 問：S大学数学科1年生のT君は、以下の定理を次のように証明した。 定理　ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）＝ｆ（P_1∨P_2） （証明） ｂ∈ｆ（P_1∨P_2）　（1） ⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1∨P_2）　（2） ⇔a∈P_1∨P_2　（3） ⇔a∈P_1またはa∈P_2　（4） ⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはa∈ｆ（P_2）　（5） ⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（6） ⇔ｂ∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（7） （ただし、証明中の∨はcopを表している。） （1）この定理は確かに正しいのだが、T君の証明には致命的な欠陥（誤り）がある。それはどの部分か。理由を含めて指摘せよ。 （2）T君の証明を正しく訂正せよ（誤っている部分のみでよい）。 （3）（2）に適切な証明を補い、定理の証明を完成させよ。 80 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/11(木) 22:22:33.65 ID:bGUttT8X.net] >>78補足 ｆは集合Aから集合Bへの写像であり、a∈A、ｆ（a)=b∈Bとする。 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 22:24:49.45 ID:bGUttT8X.net] すいません訂正です。 ⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはa∈ｆ（P_2）　（5） 　訂正　→　⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはｆ（a）∈ｆ（P_2）　（5） 82 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/11(木) 22:26:02.12 ID:wfdOlE04.net] aを実数とします。縦1/a，横aの長方形があるとして，その面積は１です。 しかし，ここでaを∞にすると，長方形は直線になりますが，直線には面積 がないにもかかわらず，面積１があることになってしまいます。これはどういう ことなのでしょうか。 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 22:35:03.48 ID:bGUttT8X.net] >>81 長方形の面積をS（a）＝1/a * aとする。 この定義域は（0、∞）であるため、a=∞である場合にはこの式をそのまま用いてはならない。 そこで極限を利用するものとし、ロピタルの定理によれば、 lim[a→∞]S(a)（不定形）＝lim[a→∞]S’（a）＝-1/∞＝0 となり、直観に合う。 84 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/11(木) 22:45:55.24 ID:wfdOlE04.net] 意味が通らない。普通微分の世界では，h/hはh→∞の場合も１で 扱うことになっているから，a/aはa∞でも１である。これを否定するなら 微分を否定することになる。 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 22:49:33.06 ID:FCTGdr8N.net] 「長方形は直線になります」が間違いなだけ 86 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/11(木) 22:53:42.28 ID:wfdOlE04.net] 半直線でもない，無限に長い直線になることは明らかである 87 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/11(木) 22:54:40.44 ID:wfdOlE04.net] 直線とは，縦の長さが∞で，横の長さが０であるものである 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 22:55:04.31 ID:3LGTbrht.net] >>78 >>79、>>80　を全部まとめて、　T　君の示した証明を”正確”に書き写すべし。 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 22:55:38.31 ID:3LGTbrht.net] >>85 ならない。 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 22:57:23.86 ID:bGUttT8X.net] >>83 お前の普通が普通じゃないだけ h/hがh→∞のとき1っていうのは定義でもなんでもない。状況による そうでないって言うなら証明しろ。 h/hの形で表される関数はh→∞において常に1である 91 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/11(木) 22:59:04.50 ID:QtO61PaI.net] へんなのが湧いてきた 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 23:02:33.19 ID:kvq6G/61.net] 超函数と似てる。 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 23:02:39.28 ID:bGUttT8X.net] >>87 （T君の示した証明） ｂ∈ｆ（P_1∨P_2）　（1） ⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1∨P_2）　（2） ⇔a∈P_1∨P_2　（3） ⇔a∈P_1またはa∈P_2　（4） ⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）またはｆ（a）∈ｆ（P_2）　（5） ⇔ｆ（a）∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（6） ⇔ｂ∈ｆ（P_1）∨ｆ（P_2）　（7） 各行末の（　）は式番号を表しています。 証明の形式が一般的なものと外れているという問題ではなくて、 あからさまにおかしな点が一か所存在していますので、 それを式番号で指摘し、おかしい理由を説明してください。 （2）、（3）はこの定理に馴染みがない人のための補足のようなものですので、 別段興味がわかなければやらなくてもいいです。 94 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/11(木) 23:21:42.97 ID:wfdOlE04.net] aを無限大にしていくと，直線に「なる」ことは明白である 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 23:26:47.17 ID:bGUttT8X.net] >>93 うだうだ言ってないではやく>>83にある普通とやらを微分の定義から証明しろ それができないなら消えろ 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 23:28:54.63 ID:3LGTbrht.net] >>92 「式番号」というよりは　「⇔が成立していない箇所」というべきか。 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 23:30:13.81 ID:3LGTbrht.net] >>93 ならない。 aがどれほど大きくなろうとも、そこにあるのは一辺がaもう一辺が1/aの長方形である。 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 23:36:37.66 ID:bGUttT8X.net] >>95 確かに、この問題についてはその認識で間違っていませんね。 細部を直せば証明が合うというものではなく、この議論だけでは不十分である ということを指摘していただきたいです。 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 23:44:39.82 ID:3LGTbrht.net] T君の頭のなかでは 任意のX⊂Aに対して　X=f^(-1)(f（X))　となっているようなので それを使った箇所は全て間違い。 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/11(木) 23:58:47.37 ID:bGUttT8X.net] >>98 「逆”対応”はもとの集合に一致する」は明らかに真ですので、 正解は分かっていると思うんですが、その解答は誤りです。 その解答を正しく訂正すると、 ∀a∈Aに対してf:a│→f(a)＝ｂならばｆ^（-1）：ｂ＝ｆ（a）│→aが誤りです。 つまりおかしいのは（5）で、例えばｆ（a）=f（a'）∈ｆ（P_2）であるときに a∈P_2は成り立たないということを指摘すべきでした。 >>98さんは写像ｆにどのような条件が成り立てば元の証明が成り立つかということについて 考察し、集合に関する理解を深めてください。 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/06/12(金) 00:04:31.41 ID:GlaDXgea.net] >>99 間違い。

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