高校〜大学学部レベル質問スレ

1 名前：１３２人目の素数さん [2015/03/23(月) 23:23:17.44 ID:dv8H0+z8.net] ここは分からない問題を質問するスレです。お願いごとをするスレであり、分からない問題に答えてもらえるスレでもあります。しかしながら必ずしも答えが得られるとは限りません。 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/02(木) 20:23:12.32 ID:Ft6ApOvA.net] 日本人は全員ゴミ 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/03(金) 12:47:38.33 ID:Ttv7XYjH.net] >>906 ありがとうございます 988 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/04(土) 14:48:19.78 ID:mGRwFwUD.net] <A, ≦_A>, <B, ≦_B> を整礎順序集合とする。 辞書式順序集合 A×B も整礎順序集合であることを証明せよ。 この証明は以下であっていますか？ 989 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/04(土) 15:24:33.27 ID:mGRwFwUD.net] 【証明】 以下の定理4.1を使い、背理法で証明する。 定理4.1： 集合 A 上の2項関係 R が整礎であるための必要十分条件は、 A の要素の列 <a_n | n ∈ N> ですべての i ∈ N に対し、 a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i となるものは存在しないことである。 辞書式順序集合 A×B が整礎順序集合ではないと仮定する。 定理4.1よ 990 名前：り、 A×B の要素の列 <(a_n, b_n) | n ∈ N> ですべての i ∈ N に対し、 (a_(i+1), b_(i+1)) < (a_i, b_i) となるものが存在する。 明らかに、すべての i ∈ N に対して、 a_(i+1) ≦ a_i が成り立たねばならない。 そして、任意の自然数 k ≧ j に対して、 a_(k+1) = a_k となるような j ∈ N が存在しなけらばならない。 もしそのような j が存在しないと仮定すると、 任意の j ∈ N に対して、 k ≧ j かつ a_(k+1) < a_k となるような自然数 k が存在することになる。 k ≧ j だから、 a_(k+1) < a_k ≦ a_j である。 したがって、A の要素の列 <c_n | n ∈ N> ですべての i ∈ N に対して、 c_(i+1) < c_i となるものが 存在してしまうことになり、定理4.1により、 A は整礎ではないことになってしまい矛盾が起きる。 よって、任意の自然数 k ≧ j に対して、 a_(k+1) = a_k となるような j ∈ N が存在しなけらばならない。 以上より、 任意の自然数 k ≧ j に対して、 a_(k+1) = a_k かつ、 (a_(k+1), b_(k+1)) < (a_k, b_k) となるような j ∈ N が存在する。 辞書式順序の定義より、任意の自然数 k ≧ j に対して、 b_(k+1) < b_k となるような j ∈ N が存在することになる。 すると、 B の要素の列 <d_n | n ∈ N> ですべての i ∈ N に対して、 d_(i+1) < d_i となるものが 存在してしまうことになり、定理4.1により、 B は整礎ではないことになってしまい矛盾が起きる。 以上より、辞書式順序集合 A×B は整礎順序集合である。 【証明終わり】 [] [ここ壊れてます] 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/04(土) 17:08:32.02 ID:aCCZDxHA.net] あってる 992 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/04(土) 17:38:47.36 ID:mGRwFwUD.net] >>961 ありがとうございました。 993 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/04(土) 20:17:51.94 ID:mGRwFwUD.net] imgur.com/saQrZqp.jpg ↑の一般化二項係数についての画像の一番下のところに、以下のように書いてあります。 --------------------------------------------------- n：正整数 1/(1-x)^n = (1-x)^(-n) = Σ_{k=0}^{∞} -nCk * (-x)^k = Σ_{k=0}^{∞} (n+k-1)C(n-1) * x^k k = 0 のときに、一般化二項係数の定義にしたがって計算すると、 -nCk = 0 となります。 一方、 (n+k-1)C(n-1) = (n-1)C(n-1) = 1 ≠ 0 となります。 ですので、 x の係数が一致しません。 n = 1のときを考えると、 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + … ですから、k = 0 のときに -nCk = 0 というのがおかしいのではないかと思います。 正しい、一般化二項係数の定義は何でしょうか？ ちなみに、この本の著者は数学者ではなくアルゴリズムの専門家です。 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/04(土) 20:20:41.74 ID:+z4EBt+W.net] 日本人は全員ゴミ 995 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/04(土) 20:22:22.09 ID:mGRwFwUD.net] -nCk は、 (-n)Ck と書くべきでした。 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/04(土) 23:38:04.34 ID:+z4EBt+W.net] 日本人は全員生きる価値のないクズ 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/05(日) 00:35:38.56 ID:y6zUh7sE.net] とクズが言う 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/05(日) 00:47:00.08 ID:jQckS8Bu.net] 杉浦解析を薦められるままに購入したのですが、Hesse行列が載っていなくて困っています 小平の解析入門には載ってますか？ もしくは別に良い教科書はありますか？ 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/05(日) 01:46:00.77 ID:xn70RuH0.net] 重回帰モデルの係数が全て0であることをF検定するところで 帰無仮説H0(係数が全て0)のもとで、 回帰平方和/σ^2と残差平方和/σ^2は互いに独立にχ^2(p),χ^2(n-p-1)に従うとあるのですが(pは説明変数の数) H0のもとでの残差平方和って((係数の予測値-真の係数の値)+誤差項)^2ですからσ^2で割ってもχ^2分布に従わないのではと思ってしまったのですがなぜχ^2分布に従うのでしょうか？ これがわかれば総平方和が自由度n-1のχ^2分布に従っているのはわかりますから、χ^2分布の再生性から回帰平方和が自由度pのχ^2分布に従っているのがわかるのですが… 1000 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/05(日) 14:14:38.20 ID:3R0gafSZ.net] 以下の構造帰納法について質問があります。 数学的帰納法のいわゆるBase Caseにあたる部分がないと思いますが、 それでも A のすべての要素 z に対し P(z) が成り立つことが言える のでしょうか？ 構造帰納法： R を集合 A 上の整礎な関係とする。 P(x) を A の要素 x についての性質とする。いま x R y かつ x ≠ y となる すべての x について P(x) が成り立つという仮定から、 p(y) が成り立つことが 導かれるとする。このときには、 A のすべての要素 z に対し P(z) が成り立つ。 1001 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/05(日) 15:57:27.18 ID:y6zUh7sE.net] 基礎でなかったら成り立たない例は簡単に作れる 基礎なら空集合がBase Caseにあたる 1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/06(月) 01:05:26.75 ID:fk4i0h ] [ここ壊れてます] 1003 名前：hd.net mailto: >>970 >>971と同じことだが、俺も書いてみる。 Base Case はちゃんと存在している。 以下、Aが空でない場合を考える。y∈A に対して、 A(y)＝{ x∈A｜x R y } と定義しておく。整礎の定義により、ある m∈A が存在して、 任意の x∈A に対して ¬( x R m ) が成り立つ。このとき、 A(m)は空集合である。特に、 ∀x∈A(m) [ P(x) ] という命題は無条件で真である。よって、 ∀y∈A [ [ ∀x∈A(y) [ P(x) ] ] ⇒ P(y) ] という命題を y＝m で適用すれば、P(m) は真となる。 これが Base Case に該当する。 [] [ここ壊れてます] 1004 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/06(月) 12:18:15.32 ID:7BpBxd+J.net] 構造帰納法： P(x) を A の要素 x についての性質とする。いま x R y かつ x ≠ y となる すべての x について P(x) が成り立つという仮定から、 P(y) が成り立つことが 導かれるとする。このときには、 A のすべての要素 z に対し P(z) が成り立つ。 >>971-972 ありがとうございました。 x R y かつ x ≠ y となるすべての x について P(x) が成り立つ ⇒ P(y) が成り立つ を証明しようとすると、結局、Base Caseを証明しなければならないんですね。 y を A の R 極小元とすると、 {x ∈ A| x R y かつ x ≠ y} = φ だから、x R y かつ x ≠ y となるすべての x について P(x) は成り立つ。 したがって、 x R y かつ x ≠ y となるすべての x について P(x) が成り立つ ⇒ P(y) が成り立つ を証明しようと思うと、すべての A の R 極小元 y について P(y) が成り立つことを証明しなければならない、 つまり、Base Caseを証明しなければならないわけですね。 1005 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/06(月) 12:55:16.41 ID:7BpBxd+J.net] 今、読んでいる本で分からない箇所にまた出くわしました。 まず、その本には、 ------------------------------------------------------------------ 集合 A 上の順序 ≦ が整列になるための必要十分条件は、 A の空でない任意の部分集合 B に必ず（ ≦ に関する）最小元が存在する ことである。 ------------------------------------------------------------------ と書いてあります。その後に、 ------------------------------------------------------------------ 定理4.2 <A, ≦> を整列順序集合とする。任意の要素 a ∈ A に対し、 a0 ≦ a となる A の極小元 a0 が存在する。 ------------------------------------------------------------------ と書いてあります。そして、その証明が以下の画像のように書かれています： imgur.com/9ZjzoKs.jpg そこで、質問です。 なぜ、↑のようにわざわざ証明をしているのでしょうか？ 「<A, ≦> は整列順序集合だから、最小限 m が存在する。 a0 := m とすればよい。」とだけ書けば済むと思うんです。 1006 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/06(月) 14:25:49.65 ID:7BpBxd+J.net] すみませんが、またまた質問があります。 imgur.com/yDytiAY.jpg ↑の画像の(2) ⇒ (1)が今読んでいる本では証明が省略されているので、自分で証明を試みました。 ただ、すこし自信がありません。 証明は以下で、あっているでしょうか？ 1007 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/06(月) 14:26:19.85 ID:7BpBxd+J.net] R を集合 A 上の二項関係とする。このとき 2) R に関する構造帰納法が成立すると仮定する。 ⇒ 1) R は整礎である。 【証明】 以下の定理4.1を利用して証明する。 定理4.1： 集合 A 上の2項関係 R が整礎であるための必要十分条件は、 A の要素の列 <a_n | n ∈ N> ですべての i ∈ N に対し、 a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i となるものは存在しないことである。 A の任意の要素 x に対して、 a_0 = x、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> が存在しないことを R に関する 構造帰納法により証明する。 x R y かつ x ≠ y となるすべての x について、 a_0 = x、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> が存在しない と仮定する。 このとき、 a_0 = y、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> が存在すると仮定すると 矛盾が起きることを以下で示す。 x := a_1 b_i := a_(i+1) (i = 0, 1, …) とおく。 仮定により、 x R y かつ x ≠ y であり、 b_0 = x、 b_(i+1) R b_i かつ b_(i+1) ≠ b_i であるから、 「x R y かつ x ≠ y となるすべての x について、 a_0 = x、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> が 存在しない」という仮定に反する。 よって、 a_0 = y、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> は存在しない。 以上より、構造帰納法により、 A の任意の要素 x に対して、 a_0 = x、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> が存在しないことが 示された。 定理4.1により、 R は整礎である。 【証明終わり】 1008 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/06(月) 16:56:13.90 ID:fk4i0hhd.net] >>976 合ってるけど、その定理4.1は従属選択公理を使わないと 導けないので、あまり好きではない。 基本的に、点列の議論に落とし込むときには、 そこで従属選択公理が必要になることが多い。 点列の議論をしなくても、　構造帰納法⇒整礎　は導ける。 1009 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/06(月) 17:32:30.55 ID:cSauNd7/.net] 選択公理のない整列集合って意味あるのか？ 1010 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/06(月) 17:45:31.42 ID:7BpBxd+J.net] >>977 ありがとうございました。 選択公理は何が言いたいのかよく分かっていません。 勉強してみようと思います。 1011 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/06(月) 21:32:07.78 ID:fk4i0hhd.net] >>979 点列は帰納的な手順で構成するのが一般的。 しかし、a_1,…,a_i までの点列が構成できたときに、 a_{i＋1}をどうやって選び出すのかが問題になる。 a_{i＋1}の候補が保証されていても、その候補の中から 1つ選び出さなければならない。普通はそこで、 従属選択公理が必要になる。 1012 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/07(火) 18:10:03.50 ID:y24GgR47.net] >>980 ありがとうございます。 選択公理がなぜ必要なのかが理解できません。 選択公理が本当に必要なことを理解するには、選択公理が他の公理から独立である ということの証明を読まなければならないのでしょうか？ それと、他にも無意識的に使っているが公理としなければならないものがあるのでは ないかと考えてしまいます。 1013 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/07(火) 19:06:53.44 ID:EgoicPeA.net] >>981 定理4.1の証明に従属選択公理が「必須」であることの証明は、実は俺も知らない。 定理4.1のような、点列に関する議論を普通に行うと、 「どうしても従属選択公理を使ってしまう」という経験則は知っている。 なぜなら、点列の構成においてa_{i＋1}を作るときに、実際にそこで1つ 元を選び出さなければならず、その行為はまさに属選択公理だからだ。 一般に、可算無限回の手続きがあって、その中の各ステップで1つずつ 何かを選び出しているとき、その行為は従属選択公理そのものである。 1014 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/07(火) 19:07:31.61 ID:BSGTwmRQ.net] 証明じゃなくググって説明を読め 探せば納得できる説明も見つかるだろ 1015 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/07(火) 20:55:30.48 ID:M0ITkbib.net] ある条件を満たすものが存在する（もしくは、ある集合が空でない）という仮定の下で その条件を満たすもの（その集合の元）をaと表して、aに関して議論する これは数学の証明で当たり前に行われている推論方法の一つ ただし、証明はこのような推論の有限回の積み重ねでなければならない 無限に長い証明というものは認めない 件の点列の議論をそのまま読むと 「ある条件を満たすものをa_1と表す」　「別のある条件を満たすものをa_2と表す」　「そのまた別のある条件を満たすものをa_3と表す」　… というように無限回の推論を行っていることになり、このままでは証明として正当化できない そこで、この種の議論を正当化するために 「空でない集合からなる集合族(A_i)があるとき、各集合A_iから元を一斉に選び出す写像fの存在を保証する つまりf(A_i) = a_i ∈ A_i」 という選択公理を認めることにより、件の点列の議論を疑似的に正当化する 1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/07(火) 21:31:45.89 ID:BSGTwmRQ.net] ところで、無限推論を認めると矛盾する例ってあったかな？ 1017 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/07(火) 22:16:22.12 ID:J28iYUpe.net] おばかさんなんで、 従属選択公理と可算選択公理の違いがわかりません。 教えて、えらいひと。 選択公理と可算選択公理の違いは、わかります。 1018 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/07(火) 22:23:25.59 ID:+hi5ZoTT.net] 次スレだけど高校範囲はすでにあるから 大学学部レベル質問スレにしない？ 1019 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/07(火) 22:32:56.71 ID:Dv9Gubi0.net] 埋め 1020 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/07(火) 22:48:29.40 ID:+hi5ZoTT.net] 次スレ 大学学部レベル質問スレ 2単位目 [無断転載禁止]©2ch.net wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1465307158/ 1021 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/06/08(水) 13:13:27.58 ID:4DqAgVj4.net] >>986 「必要なとき」と「一斉に」 1022 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/08(水) 22:52:50.44 ID:qOgoDwjT.net] ￥ 1023 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/08(水) 22:53:09.66 ID:qOgoDwjT.net] ￥ 1024 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/08(水) 22:53:28.74 ID:qOgoDwjT.net] ￥ 1025 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/08(水) 22:53:47.50 ID:qOgoDwjT.net] ￥ 1026 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/08(水) 22:54:06.46 ID:qOgoDwjT.net] ￥ 1027 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/08(水) 22:54:24.15 ID:qOgoDwjT.net] ￥ 1028 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/08(水) 22:54:42.29 ID:qOgoDwjT.net] ￥ 1029 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/08(水) 22:55:12.07 ID:qOgoDwjT.net] ￥ 1030 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/08(水) 22:55:32.53 ID:qOgoDwjT.net] ￥ 1031 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/06/08(水) 22:55:52.80 ID:qOgoDwjT.net] ￥ 1032 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/08(水) 23:02:07.52 ID:rB7pydo1.net] 猫埋め 1033 名前：１３２人目の素数さん [2016/06/09(木) 00:19:58.73 ID:QYPhPqLC.net] 猫しぐさ 1034 名前：1001 [Over 1000 Thread.net] このスレッドは１０００を超えました。 もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。 life time: 443日 0時間 56分 41秒 1035 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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