この問題が解けたらノートパソコンあげます

1 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/31(木) 20:22:54 ] という懸賞問題でした（エリジオン、２００４）。 めちゃくちゃ難しいです。 誰か助けてください。 一辺が100の正四面体OABCがあります。OA、OB、OC上に点P、Q、Rをとったところ、四面体OPQRの体積が四面体OABCの3分の1になりました。このような三角形PQRの周および内部が通過する領域の体積を求めてください。なお、答えは四捨五入して小数点第2位までにしてください。 A.61538.47 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/31(木) 20:33:58 ] 　_)　　　　　　　　 /:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ 　 ）　　　　　　 　,'::::::::::::::::::::/￣￣ ` ' ｰ─- ､;::::::::', ＜　　 馬　う　　l:::::::::::::::::::/　　　＿,,　　　　　　`ヽ;l 　 )　　鹿 .す　　!::::::::::::::::::| ヽ二二,､　　　　ヾ､、　l! ＜　　　!!　ら　　';:::::/^ヽ;::| ミr_(;oﾟ;;〕　　　　 ＿ ヽ l 　ﾉ　　　　　　　　';:::ｉ 入 ;ﾘ　　　　　　　　 (イ;;oﾟ)彡l 　￣`､　, ─､　,-' ';:ｌ レ `　　　　　　　　　 ヽ￣　　ｈ . 　 　 V　 　 `'　 　' ,　　　　　　　 　 　 　 / 　 　 ,リ 　　　　　　　　　　　 ヽ　　　　　　 ｉ` ｰ---ｧ　　　/ 　　　　　　　　　　　　　>、　　　　 ｌ,,─､／　　　/ 　　　　　　　 ┌─'T／　　　　　　 ` -'"　　　／ 　　 ￣￣￣￣＼　　＼　　　` ､_　￣　　 ／ 　　　　　　　　　 ＼　　 ＼ ／) , ' )ス"￣ 　　　　　　　　　 　 ＼　　/ /／／7　ヽ＿＿ 　　　　　　　　　　　　ヽ／　"∠ -'ｰ､　|　　　`ヽ 　　　　　　　　　 　 　 /　　　　　'二ヽ ﾉ　　　　 ｉ 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/31(木) 21:12:56 ] king 4 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/07/31(木) 23:45:49 ] 領域の境界面を二変数の式で表せそうだ。 Reply:>>3 私を呼んでないか。 5 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/31(木) 23:55:05 ] 当たり前だ ∬[D]f(x,y)dxdy を計算すればいいことはわかってる fをもってこい 6 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/01(金) 00:49:52 ] これか web.archive.org/web/20041024205916/http://www.elysium.co.jp/challenge.html 7 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/01(金) 19:45:19 ] 良問 8 名前：2ndVirtue ◆3RY7/J/S1E [2008/08/01(金) 23:55:22 ] Reply:>>4 何をしている。 9 名前：KingOfUniverse ◆6wa4mnln6E [2008/08/02(土) 01:01:29 ] Talk:>>4　人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ 10 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/02(土) 19:29:01 ] ピカーッ　Ｋ１００Ｄ修理失敗感電バカ☆　100w 　　　　　　　　　　　　ζ　　 　 - ,, 　　　　　　　　　――――――ーーヽ　　　　　　〜〜〜∽プワーン　 　　　　　 　　 　　　　／　　　　　　　　　　　＼　　2×2＝8　2×6＝56...　 　　 　　／　　　　　　　 　　　 ＼　 　 i　　　　　　　　　 　　Ｕ !　 〜〜∽　ﾌﾟｰン 　 　 　i　Ｕ 　 i 　 　　 i　　　 　''´　　　　♯ !　 　　打倒nikon　えーあいでぃーえす★ 　 　　　j　　 ' ´　　　 ﾉ (　　　　ヽ　| 　　うひゃ〜り♪ 　 　 /　　,,=━━・!'　,ﾉ━＝=　! ﾉ 　＜ヲ、おまえ等,ｦ・ｦーﾚ様が 　 　 ヽ |　　’ﾆﾝniii､　:::::i/ｨ7iii=　 i ) 　むぎわら帽子被ってる てi iヽ　　 ^'　~　　　　　-'　　/｝　　　のはな、禿げ隠しだ 　　｀i_ 　 ､ ＼　ｕ　 　　 　i_　　　　l_j ついでに名無し隠れだよ！ 　 　　｀┐　i　　　　／(,,,　,n 〉　　 /＼＼ 　　 　￣￣へ　　　　! '　　　T'' 　　　l |　　＼　　つまり普段はｶｯｺｲｲ 　未 ｜　　!　i　　　　ン=ｪｪi) i　ｿ　)　あ♯　　　禿げ　なんだぜ！ 　明　|　 i´＼!　,,　-ｪ｀､＿ﾝ ﾉノ　〈　ら.【貧困】だがカタログ山積み　 　　　|　 |　　＼＼,,　｀―''´／/　　|し　コンデジ偽情報聞いチャリイ　　　　 　　♯|　 つ　 　!､＿'''''''''''''　 /　　 コテ復帰してえよヲヲーン　 　　　　　●北九州市　ひがし小倉尻釜男 ：　ﾀﾞﾒカルターゲリケーン○盛　59才　　　　　　　 (ウソ夜勤)生活保護　 泣かせます、万年3：30未明投稿　被害妄想・認定癖ありの問題 人格障害男　 　 love6.2ch.net/test/read.cgi/chiri/1204007635/701-751　　 hobby11.2ch.net/test/read.cgi/dcamera/1211333017/901-1000 hobby11.2ch.net/test/read.cgi/dcamera/1212718734/1-100　 ★society6.2ch.net/test/read.cgi/giin/1202214441/607-616 　↑　隔離病棟 img5.gazo-ch.net/bbs/5/img/200804/30504.jpg (本人近影　ｸﾞﾛ危険! 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/02(土) 21:22:18 ] >>1 (100^3/(1620√2)) * (63 + 60ln(3) + 10(ln(3))^2) ≒ 61538.47 12 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 00:47:24 ] >>11様 >>1です。 ご回答ありがとうございます。 どうか詳しく教えてくださいませｍ（＿　＿）ｍ よろしくお願いします！！！！！ 13 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/03(日) 22:10:57 ] >>6のやつ、３だけじゃなくて１も２もかなり難しくね！？ サイコロを3つ振って、出た目を小さい方から順に並べて3桁の数字を作りました。（例えば5、2、5が出た場合には、255という数字になります。）この数字の期待値を求めてください。 A.244.125 4m×10mの部屋があります。この部屋を、１m×2mの畳（20枚）で敷き詰める方法は何通りありますか？ A.18061 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 23:00:41 ] サイコロのは簡単じゃね 最大値が n である確率は (n^3-(n-1)^3)/6^3 = (3n^2-3n+1)/6^3 最大値の期待値は Σ[n=1,6] n(3n^2-3n+1)/6^3 = 119/24 最小値の期待値は 7-(119/24) = 49/24 中央値の期待値は 7/2 3桁の数の期待値は (49/24)*100 + (7/2)*10 + (119/24) = 244.125 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/03(日) 23:22:50 ] 最大値が n である確率は (n^3-(n-1)^3)/6^3 これはどういう考え方をすればいいんですか？ 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 00:48:37 ] n 以下の3個の数の組み合わせ = n^3 (n-1) 以下の3個の数の組み合わせ = (n-1)^3 最大値が n の組み合わせ = n^3 - (n-1)^3 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 02:59:19 ] >>12 方針 xyz空間で (1/p,0,0), (0,1/q,0), (0,0,1/r) の3点が 1≦p,q,r≦3, pqr=3 を満たして動くとして、 3点を頂点とする三角形の動く領域の体積を求めて、 100^3/√2 をかければいい。 点 (x,y,z) がこの領域に含まれる条件は 「x,y,z≧0 、かつ、 1≦p,q,r≦3, pqr=3 を満たす実数 p,q,r が存在して px+qy+rz=1」 これは次と同値 「pqr空間で 1≦p,q,r≦3, pqr=3 で表される曲面 (正三角形を反らせたような形) が、平面 px+qy+rz=1 (x,y,z≧0) と共有点を持つ」 これで x,y,z についての条件が求まるから、 この条件を満たす集合の xyz空間での体積を求めればいい。 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/04(月) 21:55:06 ] >>16 ありがとうございます。 「最大値がnである確率」って基本的なことなのに今まで考えたことなかった・・・ 19 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 01:28:49 ] >>17様 >>1です。 方針を教えていただき感謝です！ なんとか答えを求めることができました。 しかしこれ、条件整理が異様に大変じゃないですか！？ 厳密に場合分けを行っていくときりがないので（x＝0のときとx≠0のときを分けたり） 途中で式のみでガリガリやっていくのはあきらめ、 直感（図に頼ったり細かいことは考えなかったり）と対称性を使って条件式を出し、 最後はMathematicaに頼りつつ答えに到達できました。 なにかうまい方法ってあるんですかね？ 20 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 01:38:06 ] 以下はMathematicaにさせた計算です。 z1 = 1 - 3x - y; z2 = 1 - x - 3y; z3 = (1 - x - y)/3; z4 = (1 - x)^2/(12y); z5 = (1 - y)^2/(12x); z6 = 1 - Sqrt[12x y]; z7 = 1/(81x y); f[x_, y_] := Piecewise[{ {z1, 3x ≤ y && 3x ≤ z1}, {z2, 3y ≤ x && 3y ≤ z2}, {z3, 3z3 ≤ x && 3z3 ≤ y}, {z4, 3y ≥ z4 && 3z4 ≥ y && x ≥ 1/3}, {z5, 3z5 ≥ x && 3x ≥ z5 && y ≥ 1/3}, {z6, 3x ≥ y && 3y ≥ x && z6 ≥ 1/3}, {z7, x ≤ 1/3 && y ≤ 1/3 && z7 ≤ 1/3} }] Plot3D[f[x, y], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, PlotPoints -> 50, PlotRange -> {0, 1}, ViewPoint -> {-1, -1, -1}] Integrate[f[x,y],{x,0,1},{y,0,1-x}] (9 + 6 Log[3] + Log[3]^2) / 162 ここから角ばった未通過領域の体積(1/10)*(1/6)を引けば (63 + 60 Log[3] + 10 Log[3]^2) / 1620 となる。 21 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/06(水) 02:03:46 ] ちなみに>>17で最後に100^3/√2をかければいいとあります。 100^3部分は一辺の長さを１００倍する操作で相似から明らかですが、 1/√2の部分が当初よくわかりませんでした。 直交座標系における体積が斜交座標系（２軸のなす角が６０°）では1/√2（定数）倍になるということですが、 色々調べた結果、一般に、以下のような結果を得ました。 ２軸のなす角がα，β，γ（三角不等式を満たしている必要がある） の斜交座標系における体積は直交座標系に対して √(1-((cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2)+2(cosα)(cosβ)(cosγ)) 倍になる。 【例】 α＝β＝γ＝６０°のとき √(1-3/4+1/4)＝1/√2 22 名前：>>11 >>17 mailto:sage [2008/08/06(水) 08:58:19 ] 1/√2 は正四面体の体積と「立方体の体積の 1/6」の比だよ 今から出かけるのでまたあとで 23 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/07(木) 19:32:37 ] >>22 ども、>>1です。 なるほど、そういうアプローチもできましたね。 ところで、今>>1に書いた問題を一般化した問題を考えています。 つまり四面体の体積比を1/3ではなくてtとして考えています。 このとき、三角形通過領域体積V(t)は V(0)=0　（P=Q=R=O:領域は1点:体積0） V(1)=0　（P=A,Q=B,R=C:領域は三角形ABC:体積0） となりますから、最大値が存在します。 今の目標は ・V(t)（s(t)=V(t)/(四面体OABCの体積)は体積比。s(1/3)≒0.52,s(t_max)=?） ・V(t)の最大値とそのときのt を求めることです。 問題から数字が消え去り、非常に興味深いです。 24 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 19:27:31 ] 1/2じゃね 25 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 22:25:00 ] >>1です。 求まりました。 V(t)= t(3+log(3))(3-log(3)-2log(t))/54-t^2/((1+t)(1+2t))　　　　　(t≦1/√3) t(3-2log(t))/18-t^2/((1+t)(1+2t))　　　　　(t≧1/√3) s(t)=6V(t)= t(3+log(3))(3-log(3)-2log(t))/9-6t^2/((1+t)(1+2t))　　　　　(t≦1/√3) t(3-2log(t))/3-6t^2/((1+t)(1+2t))　　　　　(t≧1/√3) V(t),s(t)を最大にするtは t=0.383894　　　　　(tが満たす方程式は求まるけど陽にはできないので数値解) このとき V(t)=0.088068 s(t)=0.528408 なんか解いてる最中「3」がマジックナンバーだなぁと思いました。 きっと>>1の出題者はここまで解析してt=1/3を採用したと思われます。 最大値はt=1/3の近くにありました（体積比は1%程度増加）。 ちなみにt=1/√3を境界として場合分けが生じているのは z7領域が存在しなくなるからです。 この問題に関しては調べ尽くした気がします。 26 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/08(金) 22:30:03 ] もっといい物がほしい 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/08(金) 22:36:34 ] z7 って、幾何学的に言うとどういう意味？ こっちの計算だと、場合分けは出てこなかったな ちなみに b = 1/t として、 V = (1/b)*{(b-1)(b+4)/(6(b+1)(b+2)) + ln(b)/9 + (ln(b))^2/54} になった 28 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/09(土) 19:06:56 ] >>27 >>1です。 私の計算ミスでした。 一般化する際に1/3でやってたころの値が残ってました。 これだから数検１級の計算技能にいつまでたっても受からないんですね（＞＜;） 計算し直した結果です（t=1/bとすると>>27の結果と一致することを確認しました）。 V(t)=t(3-log(t))^2/54-t^3/(1+t)(1+2t)　（第１項はfの積分値、第２項は角ばった領域） s(t)=6V(t)=t(3-log(t))^2/9-6t^3/(1+t)(1+2t) V(t),s(t)を最大にするtは (log(t))^2-4log(t)-24+54/(1+t)^2-27/(1+2t)^2=0(0<t<1) を満たし、その数値解は（厳密解は求められない） t=0.392226 このとき V(t)=0.0882331 s(t)=0.529398 29 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/10(日) 14:39:42 ] 残るはこれだけだな 4m×10mの部屋があります。この部屋を、１m×2mの畳（20枚）で敷き詰める方法は何通りありますか？ A.18061 30 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/10(日) 14:50:25 ] １問解くたびにノートパソコン？ 31 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/10(日) 16:49:08 ] いや３問でノートパソコン 32 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/11(月) 00:01:05 ] >>29 素数な件について 33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 02:40:33 ] 素数の何がわるい 34 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/11(月) 03:45:18 ] 分布が不明なところ 35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 05:01:12 ] >>29 途中書くの面倒になった 4*n の部屋に 1*2 の畳を敷き詰める方法を a[n] 通りとすると a[0]=1, a[1]=1, a[2]=5, a[3]=11, a[4]=36 a[n+5] = 2a[n+4] + 4a[n+3] - 4a[n+2] - 2a[n+1] + a[n] が成立する これを解いて a[5]=95, a[6]=281, a[7]=781, a[8]=2245, a[9]=6336, a[10]=18061 36 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/11(月) 13:40:32 ] 何がどうなってるかわからないけど、とりあえずすごい、天才 解法の詳細より >>35のスペックが知りたい 問い１と３を解いたのも>>35かい？ 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/11(月) 15:09:44 ] 東大の首席です 38 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/11(月) 15:27:53 ] >>35 ＞途中書くの面倒になった そこをなんとか 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/12(火) 01:04:07 ] >>35 より少し簡単になった。 部屋を4行10列として、n列目まで畳が敷き詰められて、 n列目以下を覆っていない畳がない状態を考える。 このとき、n+1列目を畳が全く覆っていない敷き方の数を a[n]、 n+1列目が □□■■ または ■■□□ の敷き方の合計を b[n]、 ■□□■ の敷き方を c[n]、□■■□ の敷き方を d[n]、 ■■■■ の敷き方を e[n] とする。(■は畳が覆っているところ、□は覆ってないところ) 以下が成り立つ。 a[0] = 1, b[0] = c[0] = d[0] = e[0] = 0 a[n+1] = a[n] + b[n] + c[n] + e[n]　　…(1) b[n+1] = 2a[n] + b[n]　　…(2) c[n+1] = a[n] + d[n]　　…(3) d[n+1] = c[n]　　…(4) e[n+1] = a[n]　　…(5) a[10] が求める数値。 (1)〜(5) から計算してもいいけど、以下のようにする。 (1),(5) から e を消去 a[n+2] - a[n+1] - a[n] = b[n+1] + c[n+1] この式で n → n+1 としたものから、もとの式を引く a[n+3] - 2a[n+2] + a[n] = b[n+2] - b[n+1] + c[n+2] - c[n+1] (2) を使って b を消去 a[n+3] - 2a[n+2] - 2a[n+1] + a[n] = c[n+2] - c[n+1] この式で n → n+1 としたものと、もとの式を足す a[n+4] - a[n+3] - 4a[n+2] - a[n+1] + a[n] = c[n+3] - c[n+1]　　…(6) (3),(4) から d を消去 c[n+2] - c[n] = a[n+1] これを使って (6) から c を消去 a[n+4] - a[n+3] - 5a[n+2] - a[n+1] + a[n] = 0　　…(7) a[3] まで (1)〜(5) で求めて、a[4] 以降は (7) で順次求めると >>35 になる。 40 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 03:06:12 ] >>39 ｔｈｘ わかスレ解答者だったんですね その実力からして学生ではないですね？ 41 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 06:39:37 ] 正多角形は無限に多く存在しますが，それでは，「互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるでしょうか？」この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明されます． 42 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 06:41:01 ] science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043039170/ 43 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 06:43:35 ] ペンローズ・タイルは無断でトイレットペーパーの図柄に使われ裁判沙汰になり、判決では不遜として使用禁止となった。特許となったペンローズ・タイルは、ペンタプレックス社がパズルとして商品化している。 44 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 06:46:13 ] ゼロと無限大が同居しているというわけだ。これを「始まりの特異点」といい、現在の科学者を 悩ませる最大の難問なのだ。「アインシュタイン方程式」ができてから、半世紀の間、「特異点 」の問題は、誰も研究の対象として取り上げなかった。「特異点」は単なる数学上のパラドック スで、現実には存在しないと思われていたのだった。しかし、1965年になって、そうした定説は くつがえされた。オックスフォード大学のロジャー・ペンローズは、「特異点」の問題こそ、現 代の科学にとって、最も深刻な課題であることを主張したのだ。1990年、ペンローズは、独創的 な物理学者だけに贈られる「アインシュタイン賞」を受賞した。「特異点」の研究を始めとする 一般相対性理論への貢献が評価されたのであった。 45 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 06:49:32 ] df=tdx+(1/t)dy+adt 座標がスイッチングする方程式って？ 線形代数では特異点は扱えない。 46 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 06:53:21 ] en.wikipedia.org/wiki/Raychaudhuri_equation 47 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 06:55:48 ] テイラーできない特異点 それって・・・ 48 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 15:01:47 ] >>41-47 なにこれ？ 誤爆？ いや、この一連の投稿からして意図的だな 49 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 16:12:14 ] ローラン展開 50 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/12(火) 18:49:58 ] ども、>>1です。 私は１と２は解けてて３だけ解けなかったんですが、 １はＸＰ表をしこしこと作りましたし、 ２はプログラム作って数えさせました。 １に対しての>>14の解答とか ２に対しての>>39の解答とか もう惚れ惚れしてしまいます。 私もこういう数学的センスをもっと身に付けなければ！！！！！ 参考までにプログラム載せときます↓ 51 名前：sikitume.c（その１） [2008/08/12(火) 18:55:43 ] /* Number when area of I*J is spread in block of 1*2 */ #include <stdio.h> #include <math.h> #define I 4 #define J 10 #define TATE 0 #define YOKO 1 #define N_STATE 2 #define N_BLOCK (I*J/2) #define S_BLOCK 'A' #define S_EMPTY '-' #define EMPTY (S_EMPTY - S_BLOCK) int main(void) { int i, j; int trial, count, block; int state[N_BLOCK]; int pos[I][J]; count = 0; for(block = 0; block < N_BLOCK; block++) state[block] = 0; 52 名前：sikitume.c（その２） [2008/08/12(火) 18:57:41 ] for(trial = 0; trial < pow(N_STATE, N_BLOCK); trial++, state[0]++) { for(block = 0; block < N_BLOCK - 1; block++) if(state[block] == N_STATE) { state[block + 1]++; state[block] = 0; } for(i = 0; i < I; i++) for(j = 0; j < J; j++) pos[i][j] = EMPTY; block = 0; for(i = 0; i < I; i++) for(j = 0; j < J; j++) if(pos[i][j] == EMPTY) if(state[block] == TATE && i + 1 < I) pos[i][j] = pos[i + 1][j] = block++; else if(state[block] == YOKO && j + 1 < J) pos[i][j] = pos[i][j + 1] = block++; else goto TRIAL_END; count++; 53 名前：sikitume.c（その３） [2008/08/12(火) 18:58:24 ] #ifdef PRINT printf("********* %d *********\n", count); for(block = 0; block < N_BLOCK; block++) printf("%c", S_BLOCK + block); printf("\n"); for(block = 0; block < N_BLOCK; block++) printf("%d", state[block]); printf("\n\n"); for(i = 0; i < I; i++) { for(j = 0; j < J; j++) printf("%c", S_BLOCK + pos[i][j]); printf("\n"); } printf("\n"); #endif TRIAL_END:; } printf("count = %d\n", count); return 0; } 54 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 06:11:24 ] 去年のやつ（解答と解説あり） ttp://www.elysium.co.jp/challenge.html Challenge1 時、分、秒の針を持った時計があります。3つの針の長さは、全て等しいとします。3つの針の先端のなす三角形の面積が最大となる時刻はいつでしょうか。 (解は小数点以下の計算を省略。例：11時13分15秒と16秒の間) Challenge2 10×10のマス目があります。ここに○を20個記入するのですが、各行・各列ともに○の数が2個となるようにします。このとき、記入の仕方は何通りあるでしょうか。 Challenge3 紙でできた、1辺の長さが20cmの正四面体があります。これをハサミで切って展開図にしたいのですが、 切り口の長さをできるだけ小さくします。このとき、切り口の最小の長さは何cmになるでしょうか。 (解は小数点第4位を四捨五入して第3位まで求める)例：正四面体の頂点をABCDとします。　 i)AB、AC、ADを切ると60cmの切り口で展開図にできます。　 ii)ABの中点をMとします。ABを切り、CMとDMを切ると長さは20＋20√3=54.641cmになります。 どれも問題としておもしろくて良問ぞろい 懸賞問題ってことはどっかからの流用というのは考えにくいから完全オリジナルなはず となると作問者は相当なセンスの持ち主 エリジオンってなにもの？ 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 07:40:45 ] 3は聞いた事がある気がする。 正四面体の最小の切り口。見た感じはこのスレの最初の３問の方がおもしろく、むずかしそうだ。 56 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 08:38:19 ] h=1/3 3コーナーからh=1/3で三角形を切り取り、エンベロープか断面を積分する 57 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 09:24:47 ] >>56 新しい解法？やってみせて 58 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 09:26:15 ] a=a(1,0,0) b=b(cos60,sin60,0)=b(1/2,3^.5/2,0) c=c(cos60,sin60cos30,1/2)=c(1/2,3^.5/4,1/2) v=axb/2cz/3=abc(3^.5/2)/12=r^3(3^.5/2)/36 abc=r^3/3 a=r->r/3 59 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 09:37:20 ] 何をやってるかよくわからない 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 09:39:06 ] おかしな人なので目を合わせないように 61 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 10:02:03 ] ab=(r^2)/3 c=r の半円錐みたいなやつを３コーナーから抜いたやつ 62 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 11:27:27 ] 正四面体のコーナーからバーテイクスにそってベクトルａ，ｂ，ｃをとる。 体積1/3からabc=r^3/3 動く三角形の平面は (ab)x(ac)*(p-c)=0 これをエンベロープにして四面体から切り取られる体積を計算する。 見た目に球面の一分みたい 63 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 12:14:17 ] a=a(1,0,0)=au b=b(1/2,3^.5/2,0)=bv c=c(1/2,1/2*3^.5,(3/2)^.5)=ct=(r^3/3ab)t (ab)x(ac)*(p-c)=0 (bv-au)x(ct-au)*(p-ct) (bcvxt-bavxu-acuxt)*p+abcvxu*t 64 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 12:17:29 ] f(p,a,b)=r^3/3vxu*t+r^3/3(1/avxt-bavxu-1/buxt)*p=0 65 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 12:25:32 ] envelope:fa=0,fb=0,f(p,a,b)=0 fa=(r^3/3)(-1/a^2vxt-bvxu)*p=0 -vxt*p/vxu*p=a^2b fb=(r^3/3)(-avxu+1/b^2uxt)*p=0 uxt*p/vxu*p=ab^2 a/b=-vxt*p/uxt*p 66 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 12:57:19 ] f(p,a,b)=r^3/3vxu*t+r^3/3(1/avxt-(3/r^3)bavxu-1/buxt)*p=0 fa=(r^3/3)(-a^-2vxt-(3r^-3)bvxu)*p=0 a^2b=-(vxt*p/vxu*p)(r^3/3) fb=r^3/3(-(3/r^3)avxu+1/b^2uxt)*p=0 ab^2=(uxt*p/vxu*p)(r^3/3) a/b=-vxt*p/uxt*p 67 名前：GEN mailto:sage [2008/08/13(水) 13:01:26 ] >>54 3 正四面体を平面展開して周の長さが最小となることを考慮すればSteiner treeに帰着できる。平面展開すると一辺が20の正三角形を4つ並べたものになるから、あとは計算して答えは20√7のはず。 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 13:06:07 ] あーもう解説あったのか。 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/13(水) 13:11:51 ] >>55 シュプリンガー数学コンテストの20、これはほぼ同じ問題だろう あとコマ大でもやってたと思われる。 70 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 13:16:14 ] auxt*p+bvxt*p=0 f(p,a,b)=r^3/3vxu*t+r^3/3(1/avxt-(3/r^3)bavxu-1/buxt)*p=0 =(r^3/3)vxu*t+(r^3/3)((1/a)vxt*p-(1/b)uxt*p)-bavxu*p (1/a)vxt*p=(1/ab)bvxt*p=(1/ab)(-auxt*p)=-(1/b)uxt*p =(r^3/3)vxu*t+(r^3/3)(-2(1/b)uxt*p)-bavxu*p =(r^3/3)vxu*t-2(r^3/3)((1/b)uxt*p)-(r^3/3)(1/c)vxu*p vxu*t-(2/b)uxt*p-(1/c)vxu*p=0 71 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 13:50:47 ] p=p(uxt)x(vxt) f(p,a,b)=(r^3/3)vxu*t-ba(vxu)*p=0 p=(r^3/3)vxu*t/ba(vxu)*((uxt)x(vxt)) =cvxu*t/((vxu)*(uxt)x(vxt)) 72 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 19:14:17 ] (ab)x(bc)*(p-a)=0 a=au b=bv c=cw abc=(r^3)/3 ... f=(A*p)(B*p)(C*p)=(r^3)(T^3)/3 A=vxw*p,B=uxw*p,C=vxu*p,T=vxw*u 73 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 19:15:35 ] p=(x,y,z) 74 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 19:31:03 ] (ab)x(bc)*(p-a)=0 a=au b=bv c=cw p=(x,y,z) abc=(r^3)/3 ... f=(A*p)(B*p)(C*p)=(r^3)(T^3)/3 A=vxw,B=uxw,C=vxu,T=vxw*u 75 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 19:45:16 ] 原点から距離rの任意の平面に囲まれた図形を求めなさい。 76 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 20:13:02 ] F=v*(p-vr/(v*v)^.5)=0 v=v(a,b) Fa=va*(p-vr/|v|)-v*var/|v|+rv*va/|v|=0 va*p-va*vr/|v|=0 va*p=rv*va/|v| Fb=0 vb*p=rv*vb/|v| (va-vb)*p=(rv/|v|)*(va-vb) p=rv/|v| 77 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 20:21:01 ] 一辺が１の正四面体の表面から距離rの平面が作る図形の体積は正四面体の何倍？ 78 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/13(水) 20:46:27 ] カクテルグラスに１／３ジンをいれてゆすったときにできる空間の体積は？ グラス　半径r,深さhの円錐 79 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 08:35:20 ] v*(r-p)=0 p=(0,0,d) l=v*(h-p) h=(0,0,h) V=πabl/3 V=(πr^2h/3)/3 80 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 10:20:37 ] aijei=2 aijej=2 aijeij=20 Rijaij,Cijaij Rij=10C2 Cij=10C2 RijCij=10C2*10C2 81 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 10:33:24 ] 4a+2b 82 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 10:48:10 ] S=abxac/2 a=(cos2pit/60,sin2pit/60) b=(cos2pit/3600,sin2pit/3600) c=(cos2pit/12*3600,sin2pit/12*3600) dS/dt=0 83 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 10:51:30 ] Challenge! PRETEST part-11 3 羽のツバメ A、B、C が互いに 10 m 離れた位置（正三角形の頂点に相当する位置）にいます。 A は B を追いかけるように、 B は C を追いかけるように、 C は A を追いかけるように、 同時に飛び立ちました。 （初めの正三角形が回転しながら小さくなっていく様子を思い浮かべてください。 その小さな正三角形の頂点の軌跡をツバメが飛びます。） このとき、ツバメ A がツバメ B に追いつくまでに飛ぶ距離は何 m でしょうか。 84 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 10:52:38 ] ミサイル追尾アルゴリズムでは重心に向かって飛ぶでしょう。 85 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 10:58:36 ] va=|v|ab/|ab|=vab/|ab| vb=|v|bc/|bc|=vbc/|bc| vc=|v|ca/|ca|=vca/|ca| dva=vd(b-a)/((b-a)*(b-a))^.5-v(b-a)(b-a)*d(b-a)/((b-a)*(b-a))^1.5 86 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 11:00:07 ] 勤務時間 裁量労働制=青天井！ 87 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 11:04:22 ] Challenge! PRETEST part-1 天秤と4種類の重さの分銅を使って、1gから40gまで全部のグラム数を量るためには、何gの分銅が4個あればよいでしょうか。 【イメージ】天秤と片皿に1gの重り 88 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 11:06:26 ] M+aimi=ajmj 40>=M=ajmj-aimi>=1 89 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 11:21:04 ] 初任給４５０万からはおそらく月３００時間の・・・ 下請けSEは時間７５００円だとすれば、月６００時間・・・４時間寝れればいいほうか？ 90 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 12:20:55 ] >>54 社員紹介のページみたが東大ばっかでワロタ 91 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 13:09:20 ] (10C2+10C2)! 92 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 18:09:05 ] >>85 なかなか答えにたどり着かないみたいだな 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 18:15:02 ] この人(>>85)が答にたどりついてるとこ、ほとんど見たことないんだが 94 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 18:16:33 ] >>87 1g,3g,9g,27gの４つ 95 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 18:27:51 ] 重さの単位gを省略して考えても一般性を失わないので、以下省略して考える。 「1,3,3^2,3^3,…,3^nのおもりが１個ずつと、てんびんばかりがあるとき、1,2,3,…,{(3^n+1)-1}/2のものをはかれる」…※ことを数学的帰納法により証明する。 1)n=1のとき 1,3のおもりを用いて、1　3-1=2　3　3+1=4のようにして1,2,3,4のものをはかることができ、成立している。 2)n=k(kは自然数）のとき※が成立していることを仮定する。 このとき、1,3,3^2,…,3^kのなかからいくつかの数を選んで適当に足し引きすることにより、1,2,3,4,…,{(3^k+1)-1}/2をつくることができる。…�@ 次に3^k+1から上記の1,2,3,…,{(3^k+1)-1}/2を引くことにより,{(3^k+1)+1}/2、{(3^k+1)+1}/2+1,…,(3^k+1)-1をつくることができる…�A 3^k+1を単独で用いることにより3^k+1を作ることができる。…�B 最後に3^k+1に�@で触れた1,2,3,4,…,{(3^k+1)-1}/2を足すことにより、(3^k+1)+1,(3^k+1)+2,…,{(3^{k+1}+1}-1}/2を作ることができる。…�C 以上、�@�A�B�Cよりn=k+1でも成立。 96 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 19:56:54 ] >>93 そんな有名人物なんだ 97 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 21:51:00 ] drudgery.s83.xrea.com/g.htm 98 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 21:56:43 ] www.and.or.jp/~taihoh/JCE/science/trinary.htm 99 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 22:22:31 ] テクニカルな話・・・１gを計るには０．１ｇの分銅が必要なのだが。。。。 100 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 22:33:52 ] 100 101 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 22:44:17 ] 教科書問題であそべるって・・・ 102 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 22:45:25 ] ？？？ 103 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/14(木) 23:42:16 ] こんなん見つけた ttp://blog.livedoor.jp/isaoafri/archives/26806355.html 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 16:47:40 ] >>39 念のため、(7) の一般項を残しておく。 　a[n] = (1/√29){- b^(n+1) - (1/b)^(n+1) + c^(n+1) + (1/c)^(n+1)} 　　　 = (1/√29){(-1)^n･cosh((n+1)β) + cosh((n+1)γ)}, ここに、β=log(-b), γ=log(c), 　　b, 1/b は　t^2 -((1-√29)/2)t +1 = 0　の根(b<0), 　　c, 1/c は　t^2 -((1+√29)/2)t +1 = 0　の根(c>0). science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1216746508/932 , 937 さくらスレ２４７ 105 名前：104 mailto:sage [2008/08/15(金) 16:51:16 ] 訂正、ｽﾏｿ 　a[n] = (2/√29){(-1)^n･cosh((n+1)β) + cosh((n+1)γ)}, 106 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 13:08:38 ] 任意の正方形を、全て異なる大きさの正方形に分割できるか 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 15:19:24 ] >>104 GJ 結構きれいにまとまるもんだな 絶対値の大きいほうを b, c とすると b = (1/4)(1-√29 - √(14-2√29)) = -1.54557329 c = (1/4)(1+√29 + √(14+2√29)) = 2.84053619 1/b, 1/c の項は小さいから省略すると a[n] は (-b^(n+1) + c^(n+1)) / √29 に最も近い整数 例えば (-b^(10+1) + c^(10+1)) / √29 = 18060.9982 で、これは a[10]=18061 に近い 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 17:43:32 ] >>39 □と■が入れ替わってるように思えるんだが・・・ つまり a[n]⇔e[n] c[n]⇔d[n] 漏れが暑さでボケてるだけか？ 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 20:03:21 ] d[n] の状態からは c[n+1] の状態にしかならないから、 (1)〜(5) の右辺に現れる d[n] は (3) のとこだけで、>>39 でいいと思う 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 20:04:24 ] それとも■と□を取り違えてるのかな 111 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 23:51:48 ] >>103 これだ web.archive.org/web/20050209225043/http://www.elysium.co.jp/challenge.html 112 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:19:10 ] More generally, the number of ways to cover a 2n-by-2n square with 2n2 dominoes (as calculated independently by Temperley and M.E. Fisher and Kasteleyn in 1961) is given by 113 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 01:14:48 ] Challenge 1 　　直径15cm、20cm、30cmの球が１個ずつあります。 　　この3つの球が全て入るような直方体の体積の最小値は何�p3 ですか？ 　　(答えは四捨五入して小数点以下第1位まで求めて下さい) Challenge 2 　　下図のような、1枚の長方形の紙があります。 　　この紙には絵が描かれていて、左右や表裏を区別できるものとします。 　　下図の破線の位置で折って8つに折りたたむ方法は、何通りありますか？ 　　ヒント：3つ折の場合は6通りです。 114 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 16:29:27 ] en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing 115 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/18(月) 22:21:10 ] 半径が違うから違う問題 116 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/18(月) 23:41:24 ] 誰かJAVAという言語がわかる方、>>103がどういう風に全探索を行っているか教えてください 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/27(水) 17:32:37 ] >>113 Challenge 1 30*30*(25+5√23) = 44081.2419 変な問題なんだが、 底面が 30*30 の正方形の四角柱に直径30の球を入れて、 その上から直径20の球を入れると、高さが 25+5√23 = 48.9791576 になる 直径15の球はあとの隙間に余裕を残して入るから、 これがなくても、直方体の体積は変わらない 118 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/30(土) 11:39:03 ] ttp://web.archive.org/web/20020819205226/www.elysium.co.jp/challenge_a1.html このページに出題者情報が載ってる 数学オリンピックの入賞者 あと走ることが好きらしい 119 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/06(土) 17:58:24 ] >>83 10m トリビア 元ネタはアメリカのグロスマンが作り、1955年にグラハムが紹介 もともとの問題は１辺100mの正方形で犬が題材だった 120 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/14(日) 01:05:35 ] 数学オリンピックに出るためには偏差値どのくらい必要ですか？ 121 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/14(日) 01:25:08 ] ５０あれば十分 122 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/14(日) 02:09:08 ] >>113 > 直径15cm、20cm、30cmの球が１個ずつあります。 実はこんな具合に、1辺30cmの立方体に収まってしまう。 www.zagorsk.ru/matryoshka/catalog.php?ct=2&sw=56 123 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/20(土) 03:49:18 ] なるほど 先入観に捉われないエレガントな解法だ 124 名前：１３２人目の素数さん [2008/09/24(水) 02:54:17 ] >>120 数学オリンピックってのは、偏差値で議論するのは相応じゃない ようは日本で上から数えて１０番目ぐらいに入らないといけない 強いて偏差値で議論するならば、偏差値は平均５０、標準偏差１０であって 片側３σ：偏差値８０でやっと0.1%（１０００人に１人）ぐらいと考えると 偏差値１００ぐらいじゃないかな

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