命題 μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。 A を X のμ-可測な集合とする。 A のコンパクト部分集合の集合Φが以下の条件を満たすとする。 (1) K ∈ Φ なら K の任意の閉部分集合 L は Φ に属す。 (2) K_1 ∈ Φ, K_2 ∈ Φ なら K_1 ∪ K_2 ∈ Φ
命題 X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。 Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。 f ∈ K(Y, C) (過去スレ009の662)に対して g を Y において f に一致し、 X - Y で 0 となる X 上の関数とする。 g は μ可積分である。
命題 X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701) とする。 Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。 f ∈ K(Y, C) のとき f' を Y において f に一致し、 X - Y で 0 となる X 上の関数とする。 >>57より、f' は μ可積分である。 このとき、f → ∫f' dμ は Y 上の複素Radon測度である。
証明 K を Y に含まれるコンパクト集合とする。 f ∈ K(Y, K, C) (過去スレ009の662) のとき、 N_b(f) = sup{|f(x)|; x ∈ Y} とおく。
定義 X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701) とする。 Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。 f ∈ K(Y, C) のとき f' を Y において f に一致し、 X - Y で 0 となる X 上の関数とする。 >>62より、f → ∫f' dμ は Y 上の複素Radon測度である。 これを、μ による Y への導入測度、または μ の Y への制限と呼び μ_Y または μ|Y と書く。
命題 X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730) とする。 K を X のコンパクトな部分集合とする。 K の任意のコンパクト部分集合 H に対して μ_K(H) = μ(H) である。 ここで、μ_K は μ の K への制限(>>63)である。
証明 空間 K における H の特性関数を f とする。 過去スレ008の199より、 f = inf { g ∈ K+(K, R) | f ≦ g } である。
過去スレ008の200より、 μ_K(H) = ∫ f dμ_K = inf { ∫ g dμ_K; g ∈ K+(K, R), f ≦ g } である。
g ∈ K+(K, R) に対して K では g に等しく X - K では 0 に等しい関数を e(g) と書くことにする。 χ_H を H の X における特性関数とする。 χ_H = inf { e(g); g ∈ K+(K, R), f ≦ g } である。 >>64より、g ∈ K+(K, R) のとき e(g) は上半連続関数であるから、 過去スレ008の200より、 μ(H) = inf { ∫ e(g) dμ; g ∈ K+(K, R), f ≦ g } この右辺は上で述べたことより μ_K(H) である。 証明終
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701) とする。 Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。 νをμの Y への制限(>>63)とする。 過去スレ008の230より、 A ⊂ Y が ν-可測であるためには A が μ-可測であることが 必要十分である。 過去スレ008の232より、 A ⊂ Y が ν-可測で X の可算個のコンパクト集合の合併に含まれるなら、 ν(A) = μ(A) である。
命題 X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730) とする。 S = Supp(μ) をμの台(過去スレ009の118)とする。 S は X の閉集合だから局所コンパクトである。 μ_S をμの Y への制限(>>63)とする。 S が X の可算個のコンパクト集合の合併に含まれるなら、 Supp(μ_S) = S である。
証明 U を X の開集合で U ∩ S ≠ φ とする。 μ(U ∩ S) ≠ 0 である。 >>69より μ_S(U ∩ S) = μ(U ∩ S) であるから μ_S(U ∩ S) ≠ 0 である。 よって、Supp(μ_S) = S である。 証明終
補題 H を実数の空でない部分集合で、H の各元 α ＞ 0 とする。 H の有限和全体が有界なら H は可算集合である。
証明 Φを H の空でない有限部分集合全体とする。 I ∈ Φ のとき I の元の和を s_I と書く。 仮定より s = sup{s_I; I ∈ Φ} は有限である。 任意の整数 n ＞ 0 に対して s - 1/n ＜ s_I ≦ s となる I ∈ Φ が 存在する。 α ∈ H - I なら s - 1/n ＜ s_I + α ≦ s である。 従って α ≦ s - s_I ＜ 1/n 即ち H_n = {β ∈ H; β ≧ 1/n} は有限集合である。 H = ∪H_n, n = 1, 2, ... であるから H は可算集合である。 証明終
命題 X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730) とする。 Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。 μ_Y をμの Y への制限(>>63)とする。 S = Supp(μ_Y) を μ_Y の台(過去スレ009の118)とする。 S は Y の閉集合だから局所コンパクトである。 μ_S をμの S への制限(>>63)とする。 S が X の可算個のコンパクト集合の合併に含まれるなら、 Supp(μ_S) = S である。
証明 U を Y の開集合で U ∩ S ≠ φ とする。 μ_Y(U ∩ S) ≠ 0 である。 >>69より μ_Y(U ∩ S) = μ(U ∩ S) であるから μ(U ∩ S) ≠ 0 である。 再び>>69より μ_S(U ∩ S) = μ(U ∩ S) であるから μ_S(U ∩ S) ≠ 0 である。 S の空でない開集合はすべて U ∩ S の形であるから Supp(μ_S) = S である。 証明終
命題 X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730) とする。 A を X のμ可測な部分集合とし、Φ を A のコンパクト部分集合の集合で μ密(>>48)とする。 互いに交わらない部分集合からなる局所可算な Ψ ⊂ Φ で A - ∪{K; K ∈ Ψ} は局所零集合となり、 すべての K ∈ Ψ に対して Supp(μ_K) = K となるものが存在する。
証明 互いに交わらない部分集合からなる集合 Ω ⊂ Φ で、 すべての K ∈ Ω に対して Supp(μ_K) = K となるもの全体を考える。 Zornの補題よりこれらの中で極大なもの Ψ が存在する。 Ψ が求めるものであることを証明する。 X の任意の点 x に対して V を x のコンパクトな近傍とする。 K_1, K_2, ..., K_n を V と交わる互いに異なる集合で Ψ の要素とする。 Σμ(K_i ∩ V) ≦ μ(V) ＜ +∞ であるから>>74より Ψ は局所可算である。
次に N = A - ∪{K; K ∈ Ψ} が局所零集合であることを示す。 N が局所零集合でないとする。>>77より N はμ可測である。 従って、X のコンパクト集合 L で μ(L ∩ N) ＞ 0 となるものが存在する。 過去スレ008の73より L ∩ N は内正則であるから コンパクト集合 K_0 ⊂ N で μ(K_0) ＞ 0 となるものが存在する。 Φ はμ密だから K ⊂ K_0 で μ(K) ＞ 0 となる K ∈ Φ が存在する。 >>69より μ_K(K) = μ(K) よって μ_K ≠ 0 よって S = Supp(μ_K) は K に含まれる空でない閉集合で Φ に属す。 >>75より S = Supp(μ_S) これは Ψ の極大性に反する。 証明終
定義 X を局所コンパクト空間とする。 (μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族とする。 ここで I は任意濃度の集合である。 任意の f ∈ K+(X, R) に対して Σμ_i(f) ＜ +∞ のとき (μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度の総和可能族と言う。
このとき、明らかに f → Σμ_i(f) は X 上の正値Radon測度である。 この正値Radon測度を (μ_i), i ∈ I の和と呼び Σμ_i と書く。
命題 X を局所コンパクト空間とする。 μ と ν をそれぞれ X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。 λ = μ + ν とおく。 f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。 このとき、 ∫^* f dλ = ∫^* f dμ + ∫^* f dν
ここで、∫^* f dλ は f の λ に関する上積分(過去スレ008の146)である。
証明 h : X → [0, ∞] を X 上の関数で下半連続(過去スレ008の113)とする。 ∫ h dλ = sup { ∫ g dμ; 0 ≦ g ≦ h, g ∈ K(X, R)} である。 集合 { g; 0 ≦ g ≦ h, g ∈ K(X, R)} は上向きの有向集合 (過去スレ008の140)だから ∫ h dλ = lim ∫ g dλ = lim (∫ g dμ + ∫ g dν) = lim ∫ g dμ + lim ∫ g dν = ∫ h dμ + ∫ h dν
∫^* f dλ = inf { ∫ h dλ; f ≦ h, h は下半連続} である。 集合 {h; f ≦ h, h は下半連続} は下向きの有向集合だから 上の結果より、 ∫^* f dλ = lim ∫ h dλ = lim (∫ h dμ + ∫ h dν) = lim ∫ h dμ + lim ∫ h dν = ∫^* f dμ + ∫^* f dν 証明終
補題 X を局所コンパクト空間とする。 I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、 (μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。 さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
関数 f : X → [0, ∞] に対して ある g ∈ K+(X, R) があり、f ≦ g とする。 このとき、 ∫^e f dμ = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I}
ここで、∫^e f dμ は f の本質的上積分(過去スレ010の460)である。
証明 >>82 より、f ∈ K+(X, R) のときは、 ∫ g dμ = sup {∫ g d(μ_i); i ∈ I} である。 よって、任意の ε＞ 0 に対して μ(g) - ε ≦ μ_i(g) となる i ∈ I がある。 λ = μ - μ_i とおく。 λ ≧ 0 であるから、∫^* f dλ ≦ ∫^* g dλ
μ = λ + μ_i であるから>>83より、 ∫^* f dμ = ∫^* f dλ + ∫^* f d(μ_i) f はあるコンパクト集合の外で 0 であるから ∫^e f dμ = ∫^e f dλ + ∫^e f d(μ_i)
よって、∫^e f dμ - ∫^e f d(μ_i) ≦ ∫ g dμ - ∫ g d(μ_i) ≦ ε よって、∫^e f dμ - ε ≦ ∫^e f d(μ_i) ≦ sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I} よって、∫^e f dμ ≦ sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I} 逆の不等号は明らかである。 証明終
補題 X を局所コンパクト空間とする。 I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、 (μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。 さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。 関数 f : X → [0, ∞] に対して、X のコンパクト集合 K があり、 f は K の外で 0 になるとする。 このとき、 ∫^e f dμ = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I}
ここで、∫^e f dμ は f の本質的上積分(過去スレ010の460)である。
証明 各整数 n ≧ 1 に対して f_n = inf(f, n) とおく。 過去スレ010の490より、 ∫^e f dμ = sup {∫^e f_n dμ; n = 1, 2, ...}
>>84より、 sup {∫^e f_n dμ; n = 1, 2, ...} = sup {sup {∫^e f_n d(μ_i); i ∈ I}; n = 1, 2, ...} = sup {sup {∫^e f_n d(μ_i); n = 1, 2, ...}; i ∈ I} = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I} 証明終
命題 X を局所コンパクト空間とする。 I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、 (μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。 さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
このとき、任意の関数 f : X → [0, ∞] に対して ∫^e f dμ = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I }
ここで、∫^e f dμ は f の本質的上積分(過去スレ010の460)である。
証明 X こコンパクト集合全体をΦとする。 ∫^e f dμ の定義より、 ∫^e f dμ = sup{∫^* fχ_K dμ; K ∈ Φ}
>>85 より、 sup{∫^* fχ_K dμ; K ∈ Φ} = sup{sup{∫^* fχ_K d(μ_i); i ∈ I}; K ∈ Φ} = sup{sup{∫^* fχ_K d(μ_i); K ∈ Φ}; i ∈ I } = sup{∫^e f d(μ_i); i ∈ I } 証明終
命題 X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730) とする。 Φ を X のコンパクト部分集合の集合でμ密(>>48)とする。 μがσ-有限(過去スレ010の464)のとき、 Φ の互いに交わらない部分集合からなる可算な部分集合 Ψ ⊂ Φ があり、 X - ∪{K; K ∈ Ψ} は局所零集合となる。
命題 X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730) とする。 Φ を X のコンパクト部分集合の集合でμ密(>>48)とする。 このとき、X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の総和可能族(>>81) (μ_i), i ∈ I が存在し、μ = Σμ_i となる。 ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I は互いに交わらない Φ の元からなる 局所可算(>>76)な族である。 さらに、μがσ-有限(過去スレ010の464)のときは、I は可算にとれる。
証明 >>78より、Φ の互いに交わらない部分集合からなる局所可算な族 (K_i), i ∈ I があり、N = X - ∪{K_i; i ∈ I} は局所零集合となる。 >>89より、μがσ-有限のときは、I は可算にとれる。 i ∈ I のとき、f ∈ K(X, R) に対して μ_i(f) = ∫ fχ_(K_i) dμ とおく。 ここで χ_(K_i) は K_i の X における特性関数である。 μ_i は X 上の正値Radon測度で Supp(μ_i) ⊂ K_i である。 K_i ∈ Φ で Φ はμ密だから Supp(μ_i) ∈ Φ である。
f ∈ K(X, R) に対して S = Supp(f), J = { i ∈ I; S ∩ K_i ≠ φ} とおく。 (K_i), i ∈ I は局所可算な族であるから J は可算である。
N ∩ S は μ-零集合だから、S = ∪(S∩K_j), j ∈ J (μ-a.e.) 従って χ_S = Σχ_(S∩K_j), j ∈ J (μ-a.e.)
μ(f) = ∫fχ_S = Σ∫fχ_(S∩K_j), j ∈ J = Σ∫fχ_(K_j), j ∈ J = Σ∫fχ_(K_i), i ∈ I = Σμ_i(f), i ∈ I よって μ = Σμ_i である。 証明終
命題 X を局所コンパクト空間とする。 I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、 (μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。 さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
X の部分集合 N がμ-局所零集合(過去スレ008の58)であるためには、 すべての i ∈ I に対して (μ_i)-局所零集合であることが必要十分である。
証明 f を N の特性関数とする。 >>86 より ∫^e f dμ = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I }
過去スレ010の484と485より ∫^e f dμ = 0 と f = 0 (μ-局所 a.e.) は同値である。 同様に ∫^e f d(μ_i) = 0 と f = 0 ((μ_i)-局所 a.e.) は同値である。
命題 X を局所コンパクト空間とする。 I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、 (μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。 さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
f : X → F を X から位相空間 F への写像とする。 f が μ-可測であるためには、 すべての i ∈ I に対して (μ_i)-可測であることが必要十分である。
f がすべての i ∈ I に対して (μ_i)-可測であるとする。 f の K への制限が連続となるようなコンパクト集合 K の全体をΦとする。 過去スレ008の177より、Φ がμ密(>>48)であることを証明すればよい。
N を X の部分集合ですべての K ∈ Φ に対して μ^*(N ∩ K) = 0 とする。 >>92より、任意の i ∈ I に対して (μ_i)^*(N ∩ K) = 0 である。 f は(μ_i)-可測だから、Φは (μ_i)密である。 従って、>>50の (c) より N は (μ_i)-局所零集合である。 従って f を N の特性関数とすると、∫^e f d(μ_i) = 0 である。 >>86より、 ∫^e f dμ = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I } = 0 従って N はμ-局所零集合である。 再び>>50の (c) よりΦはμ密である。 証明終
命題 X を局所コンパクト空間とする。 I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、 (μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。 さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
関数 g : X → [0, ∞] がμ-局所可積分(過去スレ010の504)であるためには 各 i ∈ I に対して g が (μ_i)-局所可積分であり、 sup{gμ_i; i ∈ I} が存在することが必要十分である。 さらに、このとき gμ = sup{g(μ_i); i ∈ I} となる。
証明 必要性：g が μ-局所可積分であるとする。 各 i ∈ I に対して μ_i ≦ μ であるから >>94 より g は(μ_i)-可測である。 >>83 より任意の f ∈ K+(X, R) に対して ∫ gf d(μ_i) ≦ ∫ gf dμ ＜ +∞ 従って過去スレ010の507より g は(μ_i)-局所可積分である。 上式より ∫ f d(gμ_i) ≦ ∫ f d(gμ) であるから gμ_i ≦ gμ である。 よって、>>82より sup{gμ_i; i ∈ I} が存在する。
十分性：各 i ∈ I に対して g が (μ_i)-局所可積分であり、 λ = sup{gμ_i; i ∈ I} が存在するとする。 >>95より、g は μ-可測である。 >>86より、任意の f ∈ K+(X, R) に対して ∫ gf dμ = ∫^e gf dμ = sup {∫^e gf d(μ_i); i ∈ I } = sup {∫^e f d(gμ_i); i ∈ I } = ∫^e f dλ = ∫ f dλ ＜ +∞ よって、過去スレ010の507より g はμ-局所可積分である。 よって、上の等式から ∫ f d(gμ) = ∫ f dλ よって、gμ = λ 証明終
定義 X を局所コンパクト空間とする。 (μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族とする。 ここで I は任意濃度の集合である。 i ∈ I のとき S_i = {x ∈ X; f_i(x) ≠ 0} とおく。 族 (S_i), i ∈ I が局所可算(>>76)なとき、 族 (μ_i), i ∈ I を局所可算という。
定義 X を局所コンパクト空間とする。 μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。 (f_i), i ∈ I を X 上のμ-可測な正値関数の族とする。 ここで I は任意濃度の集合である。 i ∈ I のとき S_i = {x ∈ X; f_i(x) ≠ 0} とおく。 族 (S_i), i ∈ I が局所可算(>>76)なとき、 族 (f_i), i ∈ I を局所可算という。
命題 μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。 A を X のμ-可測な集合とする。 f を A から位相空間 F への写像とする。 Φ = { K ; K は A のコンパクト集合で f の K への制限は連続 } とおく。 f がμ-可測(>>119)であるためには Φが A においてμ密(>>48)である ことが必要十分である。
証明 条件が必要なことは可測写像の定義(過去スレ010の292)より明らかである。
十分性： Φが A においてμ密であるとする。 t_0 ∈ F を F の任意に選んだ点とする。 g : X → F を x ∈ X - A のとき g(x) = t_0 x ∈ A のとき g(x) = f(x) で定義する。 g がμ-可測であることを示せばよい。
L を X の任意のコンパクト集合とする。 L ∩ A と L - A はμ-可測で |μ|(L ∩ A) ＜ +∞, |μ|(L - A) ＜ +∞ である。 過去スレ008の30より L ∩ A と L - A は |μ| に関して内正則である。 即ち任意の ε ＞ 0 に対してコンパクト集合 P ⊂ L ∩ A と Q ⊂ L - A が存在し、|μ|(L ∩ A - P) ＜ ε/4, |μ|((L - A) - Q) ＜ ε/4 となる。 仮定より Φ は A においてμ密であるから H ⊂ P となる H ∈ Φ が存在し、|μ|(P - H) ＜ ε/2 となる。 g の Q への制限は定数であり連続である。 従って g のコンパクト集合 K = H ∪ Q への制限も連続である。 ((L ∩ A) - H) = ((L ∩ A) - P) ∪ (P - H) |μ|((L ∩ A) - H) ＜ 3ε/4 よって、|μ|(L - K) = |μ|((L ∩ A) - H) + |μ|((L - A) - Q) ＜ ε 証明終
命題 μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。 Φ を X のμ-可測な部分集合からなる局所可算(>>76)な集合とする。 B = ∪{A ; A ∈ Φ} とする。 >>77より B はμ-可測である。 f を B から位相空間 F への写像とする。 f の各 A ∈ Φ への制限がμ-可測(>>119)なら f はμ-可測である。
証明 K ⊂ B をコンパクト集合とする。 K と交わる Φ の要素全体は可算である。 従って Φ の要素の列 A_n, n = 1, 2, ... が存在し、 K ⊂ ∪A_n, n = 1, 2, ... となる。
C_1 = K ∩ A_1 n ＞ 1 のとき C_n = (K ∩ A_n) - (C_1 ∪... ∪C_(n-1)) とおく。 C_n はμ-可測であり K = ∪C_n は K の直和分割である。 f|C_n はμ-可測であるから>>122より Ψ_n = { K ; K は C_n のコンパクト集合で f の K への制限は連続 } は C_n においてμ密(>>48)である。 >>50の(b)より(C_n はコンパクトでないが測度有限だからコンパクト集合で 内側から近似できるから)μ零集合 N_n と Ψ_nに含まれるコンパクト集合の列 (K_nm), m = 1, 2,... があり、 C_n = N_n ∪ K_n1 ∪ K_n2 ∪ ... となる。 ここで、i ≠ j のとき K_ni ∩ K_nj = φ K = ∪N_n ∪K_nm であり、∪N_n はμ零集合である。 よって>>50の(b)より Ψ = { L ; L は B のコンパクト集合で f の L への制限は連続 } は B においてμ密(>>48)である。 >>122より f はμ-可測である。 証明終
