不等式への招待第２章

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不等式への招待第２章

1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [05/01/17 06:40:16 ]: ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

不等式スレッド（前スレ）
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/l50

不等式の本
[1]　不等式、ハーディ・リトルウッド・ポリヤ、シュプリンガー、2003年
[2]　不等式、大関信雄・青木雅計、槇書店、1967年、絶版
[3]　不等式への招待、大関信雄・大関清太、近代科学社、1987年
[4]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版、2004年
[5]　不等式（モノグラフ４）、染取弘、科学新興新社、1990年

不等式の埋蔵地
[1]　Maths problems　www.kalva.demon.co.uk/index.html
[2]　IMOリンク集　imo.math.ca/
2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 19:43:14 ,]: >>1 乙

類稀なる良スレの続編に期待しております。
3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/18 00:34:06 ]: 【 Majorization Inequality 】
Jenzenの不等式の一般化らしい…。

www.math.ust.hk/excalibur/v5_n5.pdf Page.2, 4
www.math.ust.hk/excalibur/v6_n1.pdf Page.4
4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/18 03:13:13 ]: 検索で、こんなサイトを発見した…。
もうそのまんま（笑）
見つけたばかりで、中は覗いてませんが…

JIPAM - Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics
jipam.vu.edu.au/index.php

中国不等式研究小組
zgbdsyjxz.nease.net/index1.htm
5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/20 22:28:17 ]: www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/

不等式発掘元サイトに追加。
6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/21 07:02:49 ]: >>1-5
good job !
日本には>>4のような不等式専門の研究サイトって、ここぐらいですか？
7 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 00:35:18 ]: 前スレの>>815の問題
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。

解答には
x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること
を証明なして使います。

解答前に、二つほど補題を示します

(1)
x^4+y^4=z^2には整数解が存在しない。
(2)
x^4-y^4=z^2には整数解が存在しない。
8 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 00:37:53 ]: >>7
(1)
x^4+y^4=z^2には自然数解が存在しない。
(2)
x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しない。
だな、突っ込まれる前に訂正(w
9 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 00:52:41 ]: x^4+y^4=z^2に自然数解が存在するしないこと

x^4+y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、zの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod　4で考えると、x_0,y_0の一方が奇数、他方が偶数であることがわかる。
x_0が奇数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

(x_0)^2=m^2-n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2+n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mod　4で考えるとmが奇数でnが偶数でなければならないことがわかる。

(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数

n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。

m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので

r^2=u^4+v^4となるが、z_0＞m≧rだから、z_0の最小性に反する。

よって示された。
10 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 01:08:21 ]: x^4-y^4=z^2に自然数解が存在するしないこと

x^4-y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、xの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod　4で考えると、x_0が奇数でy_0が偶数と奇数の場合が起こりえます。

y_0が奇数のとき

({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)*({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)={(z_0)/2}^2
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2と{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2の公約数は
x_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)+({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)、y_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)-({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)
の公約数となるので、これは1以外にはありえない。
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2=u^2、{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2=v^2
とおくとu^4-v^4=(u^2+v^2)(u^2-v^2)={(x_0)(y_0)}^2
(x_0)^2＞u^2={(x_0)}^2+(y_0)^2}/2となってx_0の最小性に反する。
11 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 01:09:10 ]: y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。
12 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 01:10:42 ]: 我ながら、書きまちがいが多いな
>>9の
＞(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
＞(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
は
(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
の誤りだった。
13 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 01:39:17 ]: 要するに>>7は、ab/2≧5であることを示せばよい

a^2+b^2=c^2を満たす有理数は
a=(s^2-t^2)(f/g)、b=(2st)(f/g)、c=(s^2+t^2)(f/g)とかけます。
sとtは互いに素で一方が偶数で他方が奇数
fとgは互いに素な整数。

ab/2=M(Mは自然数)とおくと、f^2*st(s^2-t^2)=M*g^2
f^2とg^2は互いに素ですから、Mがf^2で割り切れる。
M=f^2*N

st(s^2-t^2)=N*g^2

Nが平方数のとき
st(s^2-t^2)=(整数)^2
sとtとs^2-t^2は二つずつ互いに素なので、s、t、s^2-t^2が平方数となる。
s=x^2、t=y^2、s^2-t^2=z^2となるが
x^4-y^4=z^2の解が存在することになって、補題(2)に反する。
14 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 01:41:21 ]: N=2*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=2*(整数)^2
sが偶数でtが奇数と仮定すると、
(s/2)t(s^2-t^2)=g^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡-1　(mod　4)だから不合理

sが奇数でtが偶数となるが、このとき
s(t/2)(s^2-t^2)=g^2
上と同様の議論により、s、t/2、s^2-t^2が平方数となる。
r^2=s^2-t^2、s=z^2
よってs=u^2+v^2、t=2uv、r=u^2-v^2
(uとvは互いに素で、u、vの一方が偶数で他方が奇数)
t/2=uvが平方数より、u=x^2、v=y^2
x^4+y^4=z^2の解が存在することになって、補題(1)に反する。
15 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 01:43:49 ]: N=2*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=2*(整数)^2
sが偶数でtが奇数と仮定すると、
(s/2)t(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡-1　(mod　4)だから不合理

sが奇数でtが偶数となるが、このとき
s(t/2)(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様の議論により、s、t/2、s^2-t^2が平方数となる。
r^2=s^2-t^2、s=z^2
よってs=u^2+v^2、t=2uv、r=u^2-v^2
(uとvは互いに素で、u、vの一方が偶数で他方が奇数)
t/2=uvが平方数より、u=x^2、v=y^2
x^4+y^4=z^2の解が存在することになって、補題(1)に反する。
16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 01:45:38 ]: 風あざみぐっジョブ。問題はシンプルなのに、証明はひどく大変なんだな。
別解もありそうな気がするね。漏れは無理だ
17 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 02:04:56 ]: pをp≡3　(mod　8)となる素数とする。
N=p*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=p*(整数)^2
sがpで割り切れてtがそうではないと仮定すると、
(s/p)t(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡r^2
{rt^(-1)}^2≡-1　(mod　p)だから不合理

s^2-t^2がpで割り切れると仮定する。
st{(s^2-t^2)/p}=(整数)^2
上と同様な議論により、sとtと(s^2-t^2)/pが平方数となる。
s=u^2、t=v^2
(u^2-v^2)(u^2+v^2)=p*r^2

u^2+v^2≡0　(mod　p)と仮定すると、{u*v^(-1)}^2≡-1　(mod　p)となって不合理だから
u^2-v^2≡0　(mod　p)
ここでu^2+v^2とu^2-v^2は互いに素だから、u^2+v^2は平方数
u^2+v^2=(r')^2、{(r')*u^(-1)}^2≡2　(mod　p)となって不合理
18 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 02:20:47 ]: 以上の議論より
st(s^2-t^2)=p*(整数)^2とかけるとき
tがpで割り切れてsがそうではないことがわかる。

(t/p)s(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs,t/p,s^2-t^2が平方数となるが、
s=u^2、t=pv^2、s^2-t^2=r^2
s=i^2+j^2、t=2ij、r=i^2-j^2
(i,jは互いに素で一方が奇数、他方が偶数)
iは奇数、jは偶数と仮定する。

u^2=i^2+j^2となるからi=k^2-h^2、j=2kh、u=k^2+h^2
kとhが互いに素で一方が奇数で他方が偶数。

kh(k^2-h^2)=p*v^2

ここでs＞j＞kよりkはsよりも小さいから

st(s^2-t^2)=p*(整数)^2のsの値がいくらでも小さくなることがわかる。

よって不合理

pをp≡3　(mod　8)となる素数とする。
N=p*(平方数)とはならないことがわかる。
19 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 02:24:01 ]: >>13、>>15、>>17-18の議論より
Nの候補になりうるのは、N≧5しかない

よってM≧5が示され、ab≧10が示された。
20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 03:45:54 ]: グッジョブ
でも、あれ？？？　等号成立条件はどこ？
21 名前：前スレの未解決問題 mailto:sage [05/01/22 05:21:51 ]: [前スレ.360(2)]
(D.D.Adamovic) m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.

[前スレ.563(7)]
自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1
[前スレ.705]
a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.

[前スレ.565(3)]
[1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
　tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

[前スレ.565(4)]
0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 　[類：不等式への招待 P.39 ]

[前スレ.565(5)]
0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)

[前スレ.791]
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B　∠C＞π/2を満たすとき、AB+BC+CA≧77を示せ。

[前スレ.811(1)]
1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
　0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。

[前スレ.908(3)] 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)

[前スレ.992] 「知られざる（？）コーシー・シュワルツの拡張形」を積分に拡張した次式は成り立つか？
【予想】区間 [a, b] で連続な実関数 f_1, …, f_m に対して
　[∫[a, b](f_1(x))^n dx]…[∫[a, b](f_m(x))^n dx] ≧ [∫[a, b]f_1(x)…f_m(x) dx]^n
22 名前：１３２人目の素数さん [05/01/22 08:06:20 ]: >>21
>　[∫[a, b](f_1(x))^n dx]…[∫[a, b](f_m(x))^n dx] ≧ [∫[a, b]f_1(x)…f_m(x) dx]^n

ただのヘルダー不等式
p_k > 1, Σ1/(p_k) = 1, f_k ∈ L^{p_k}(I) (k=1,2,...,m) ならば Π||f_k||_{p_k} ≧ ||Πf_k||_1
ただし、||・||_{p_k} は L^{p_k} のノルムを表す。
a_k > 0 ならば Σ((a_k)^(p_k))/(p_k) ≧ Πa_k からすぐ証明できる。
23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 14:27:17 ]: >21
【定理】実関数 f_1, ……, f_n に対して
　{∫_[a,b] f_1(x)^n dx}……{∫_[a,b] f_n(x)^n dx} ≧ {∫_[a,b] f_1(x)……f_n(x) dx}^n
　(略証)
　「コーシー・シュワルツの拡張形」[前スレ989] で
　x(k,i) = f_k(a+(b-a)i/m)･⊿x, ⊿x=(b-a)/m とおき、m→∞ とする。
　または、ヘルダーの不等式で p_k=n (k=1,2,…,n) とおく。
　等号成立は、k=2,･･･,n に対して f_k(x) = c_k･f_1(x) のとき.(終)
ぬるぽ

　m=n なら成立
　m>n なら |b-a|→0　のとき凡例？
　m<n なら |b-a|→∞ のとき凡例？
24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 17:47:06 ]: 【問題】[前スレ.387]
　f(x),g(x)は 0≦x≦1で連続とし、f(0)=0, f(x)>x, 0≦g(1)≦1 を満たし、
　f(x)/x, g(x)/x はともに狭義の単調増加であるとする。このとき
　0<x<1 で f(g(x)) ≦ f(x)g(x)/x ≦ g(f(x)).
　を示してくださいです。〔Ralph P.Boas: Math.Magazine, Vol.５２(1979)〕

　題名が "Inequalities for a collection", ヲタ君にぴったりな論文・・・

　前スレをまだ保存してない方はドゾー↓　　サイズは 400kB ぐらい。
　　全部 → ﾌｧｲﾙ(F) → 名前を付けて保存(A) → Webページ,HTMLのみ → 保存(S)
25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 19:48:57 ]: >>24
>題名が "Inequalities for a collection", ヲタ君にぴったりな論文・・・

読みたい…
地方在住の負け犬一般人がその論文を読む方法ってありますか？
去年、地元の大学図書館である論文の取寄せを申請したら、
あんた学生じゃないですから、残念！って斬られましたが… ('A`)
26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 22:37:59 ]: 他のスレからのコピーですが、質問してるわけじゃないので
マルチとか言うのは勘弁してください。

　3^k - 2^k + 2 < (2^k - 1)[(3/2)^k]
を満たさない k は有限個しかない。
全て求め、それが全てである事も示せ。
27 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/22 23:16:15 ]: >>20
悪いが等号成立条件はよくわからん。
>>21
＞各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B　∠C＞π/2を満たすとき・・・
全く同じ問題がMathnoriにあるのだが、解答してもいいものだろうか。
28 名前：23 mailto:sage [05/01/23 02:47:24 ]: >21
　n>m のときは　[23] で f_k(x)=1 (m<k≦n) とおくと
【系】 n>mのとき, 実関数 f_1, …, f_m に対して,
　{∫_[a,b] f_1(x)^n dx} …… {∫_[a,b] f_m(x)^n dx}･|b-a|^(n-m) ≧ {∫_[a,b]f_1(x)…f_m(x) dx}^n.
29 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/23 18:25:52 ]: >>21
0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき
tan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1

まず、0≦(πsin x)/(4sin y)、(πcos x)/(4cos y)＜Π/2であることはOK
(πsin x)/(4sin y)＞Π/4または(πsin x)/(4sin y)＞Π/4の場合は
tan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1

(πsin x)/(4sin y)≦Π/4かつ(πsin x)/(4sin y)≦Π/4の場合
0≦sin x≦sin y、0≦cos x≦cos y
sin x＜sin yまたはcos x＜cos yと仮定すると
1=(sin x)^2+(cos x)^2＜(sin y)^2+(cos y)^2=1となって不合理
よってsin x=sin y、cos x=cos y、したがってtan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}=2＞1
30 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/23 18:27:18 ]: >>29の5行目の
＞tan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1
はtan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1だからtan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1は明らか
ということ。
31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/25 17:15:41 ]: >21
　(左辺) ≧ tan[π/(2√3)] = 1.278171491830440… を示す。
　まず π/(2√3) = 0.90689968211711… = α とおく。
　x=y のとき、左辺 = 2 > tanα.
　x<y の場合を考える。［y<x の場合も F(x,y)=F(π/2 -x,π/2 -y)なので同様にできる。]
　左辺を x/y の函数で評価するのがミソ(補題1,2)。次に補題3より
　(左辺) ≧ tan(πx/4y) + tan{α･cos(πx/6y)} = tan(3u/2) + tan{α･cos(u)} ≧ 3u/2 + tan{α･[1-(1/2)(u^2)]}.
　ここに πx/6y =u とおいた。 0<u<π/6 = 0.5235987756… 補題4より、
　(左辺) ≧ 3u/2 + tan(α) -(1/2)α(u^2)/[cos(α)]^2 = tan(α) + u(3/2 -1.194260986681u) ≧ tan(α), 等号成立はx=0,y=π/6.
ぬるぽ

【補題1】
　0≦x<y<π/2 のとき 1 > sin(x)/sin(y) > x/y.
　(略証) sin( ) は上に凸だから、(平均変化率)= {(0,0)－(x,sin(x))の傾き} = sin(x)/x は単調減少。∴ sin(x)/x > sin(y)/y.
【補題2】
　　0≦x<y かつ c<y≦ (π/2)-c のとき、 cos(x)/cos(y) ≧ cos(cx/y)/cos(c) > 1.
　(略証) (y +cx/y) - (c+x) = (y-x)(1 -c/y) ≧0.
　　　　　(y -cx/y) - (x-c) = (y-x)(1 +c/y) ≧0, (y -cx/y) - (c-x) = (y+x)(1 -c/y) ≧0
　　　　　∴ |y-cx/y| ≧ |x-c|.
　　∴ 2cos(y)cos(cx/y) = cos(y+cx/y) + cos(y-cx/y) ≦ cos(c+c) + cos|x-c| = 2cos(c)cos(x). 等号成立は y=c または x=y.
【補題3】
　　u>0 のとき cos(u)>1 -(1/2)u^2.　　（← -cos(u)<-1 を2回積分）
【補題4】
　　0<α,α+θ<π/2 のとき tan(α+θ) ≧ tan(α) + θ/[(cosα)^2]. （←tan()は下に凸）

>29-30
　0<y<x ⇒ sin(x)/sin(y) >1 ⇒ 左辺第1項 >1.
　0<x<y ⇒ cos(x)/cos(y) >1 ⇒ 左辺第2項 >1.
32 名前：31 mailto:sage [05/01/25 17:32:41 ]: [31] は [前スレ.565(3)] の別解でつ。。。
　0≦x≦π/2、π/6≦y≦π/3 のとき、tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} ≧ tan(α)
　等号成立は (x,y)=(0, π/6)、(π/2, π/3) のとき。
スマソ。
33 名前：１３２人目の素数さん [05/01/25 19:43:17 ]: ソボレフの不等式のような積分に関する不等式ｷｳﾞｫﾝﾇ
34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/25 21:34:28 ]: >6
　あったYo（但しカキコするには登録が必要．．．）
　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1096116444/
　messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=1&type=date&first=1
35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/25 22:01:42 ]: >3
2つの単調減少列 {a_i},{b_i} について
　Σ[i=1,n] a_i ＝ Σ[i=1,n] b_i
　Σ[i=1,k] a_i ≧ Σ[i=1,k] b_i　　（k=1,2,…,n-1)
のとき　aゝb と書いて、a は b の優数列である(a majorizes b)とか言うらしい。（[1]の参考文献3）
(a) はばらつきが大きく、(b)は揃っている？

【使用例】(ムーアヘッドの不等式)
　aゝb ならば Σ[sym] x^a_1･y^a_2… ≧ Σ[sym] x^b_1･y^b_2…

planetmath.org/encyclopedia/MuirheadsInequality.html

messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=46
36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/26 09:58:45 ]: 我ながら、書きまちがいが多いな...
>23
　　x(k,i) = f_k(a+i⊿x)･⊿x^(1/n).

>31
　　∴ y -cx/y ≧ |x-c|.
　　∴ ･･････ ≦ cos(x+c) + ･･････
【補題3】
　　･･･････　　（← -cos(u)>-1 を2回積分）

　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀）　　まことに
　　　　 /　　　　ヽ
　　　　し､__X__,ﾉJ

　　　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　　⌒ｌ　　すいませんでした。
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

>35 (ムーアヘッドの定理)に追加
　Σ[sym] はすべてのx,y,…の入替えについて和をとる意味。
　G.H.Hardy, J.E.Littlewood and G.Polya: "Inequalities", 2nd ed., Cambridge University Press(UK), §2.18 and §2.19, 原著p.44-48 (1988)
　mathworld.wolfram.com/MuirheadsTheorem.html
"Encyclopedia"のCD-ROM版にもある...
　www.itu.dk/edu/documentation/mathworks/
　icl.pku.edu.cn/yujs/MathWorld/math0.htm
37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/26 12:02:58 ]: >>35 なるへそ！ﾍﾞﾘｨｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/26 21:13:50 ]: [前スレ.871(1)]
　x,y,z,n≧0 のとき　F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n ≧0.

は、シュプリンガーの『不等式』にある定理80でつね。[前スレ.874]で解決.
39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/26 21:29:41 ]: （参考書）
〇厨房、工房向け
　眉村卓：「白い不等式」(秋元文庫) 秋元書房, 文庫本/206p, (1978.6) \273
　眉村卓：「白い不等式」(角川文庫) 角川書店, 文庫本/214p, (1981.4) \273

〇大人向け
　植木不等式：「悲しきネクタイ」地人書館, 新書判/247p, 4-8052-0518-0 (1996.10) \1050
　植木不等式：「悲しきネクタイ」日本経済新聞社, 文庫本/284p, 4-532-19078-9 (2001.8) \630
　　　　～企業環境における会社員の生態学的および動物行動学的研究～（日経ビジネス人文庫）
　植木不等式：「こころが疲れたら読む世紀末おとぎ話」大和書房, B6判/237p, 4-479-39056-1, (1997.10) \1470
　　　　～トンデモ童話20選～
　植木不等式監訳、マーク・ミナシ著：「いつまでバグを買わされるのか」ダイヤモンド社, 四六判/346p, 4-478-37296-9 (2000.9) ￥2415
　　　　～平気で欠陥商品を売る業界の内幕～
40 名前：１３２人目の素数さん [05/01/26 21:42:29 ]: 単純な質問なんですが、
|x^2-3|≧x
の解を教えてください。
できれば解説(有)で。
お願いしますm(_ _)m(_ _)m
41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/26 21:53:20 ]: また荒れ始めたな…。
スレが活性化すると荒らしも多くなる。
42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/26 21:54:14 ]: 　　　　∧__∧
　　　 (｀･ω･´)　馬鹿はとっとと消え失せぇぃ！
　　　.ノ^　yヽ、
　　　ヽ,,ﾉ==l ﾉ
　　　　/ 　l |
"""~""""""~"""~"""~"
43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/27 00:55:25 ]: [31]の方針
　(左辺)=F(x,y) とおき、
　0≦x≦y　⇒　F(x,y) ≧ F(cx/y,c) ≡ F(u,c) ≧ F(0,c) = tan(α).
　を示す。ここに c≡π/6、α≡π/(2√3).

>40
　x ≦ (√13 -1)/2 = 1.302775638…, 2.302775638… = (√13 +1)/2 ≦ x.
44 名前：風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 mailto:sage [05/01/27 01:52:30 ]: >>24
f(x)が増加関数だから、 f{g(x)}/g(x)≦f(x)/x
g(x)が増加関数だからg(x)/x≦g(1)/1≦1ゆえに、 g(x)/x≦g{f(x)}/f(x)
よって f{g(x)}≦{f(x)g(x)}/x≦g{f(x)}となる。
45 名前：風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 mailto:sage [05/01/27 01:53:30 ]: >>44の訂正
f(x)/xが増加関数だから、 f{g(x)}/g(x)≦f(x)/x
g(x)/xが増加関数だからg(x)/x≦g(1)/1≦1ゆえに、 g(x)/x≦g{f(x)}/f(x)
よって f{g(x)}≦{f(x)g(x)}/x≦g{f(x)}となる。
46 名前：風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 mailto:sage [05/01/27 03:29:45 ]: >>20
等号成立条件
a=3/2、b=20/3、c=41/6のときa^2+b^2=c^2かつab=10となる。
47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/27 19:28:17 ]: >3,35
絡まった不等式??
　[1]の参考書3の最後の方
　www.math.ust.hk/excalibur/v5_n5.pdf Page.2, 左中央
48 名前：47 mailto:sage [05/01/27 20:33:55 ]: 絡まった不等式
　www.artofproblemsolving.com/Forum/topic-14975.html
　www.srcf.ucam.org/~dl267/writeups/MajIneq.pdf

↓からも入れるらしい....
　www.mathlinks.ro/Forum/forum-32.html
　www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=19962
49 名前：【 Majorization Inequality 】について mailto:sage [05/01/27 21:46:48 ]: 和書にないかなかと、カタカナで探してみた。

統計科学の最前線
www1.ocn.ne.jp/~kup/sinkan/805toukei.html
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　>3、>>35-36、>>47-48
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/27 22:38:03 ]: 実数x,正整数nに対し
Σ[k=1..n]{sin(kx)/k}≦2√π
51 名前：不等式ヲタ mailto:sage [05/01/28 11:37:16 ]: Majorization Inequality なんて初耳だったし、
Ho:lderの不等式なんか証明の仕方を忘れてるのに
平気で使っている横着な自分に気がついた。

それで、三角不等式とか相加相乗などの基本から始めて
証明をつけながら一つ一つまとめてる最中だけど、全然進まない。
相加相乗は、証明の別解が多すぎて後回しにしてるし…。

いま Jensenの不等式をまとめてて、積分形があるのを知った。
しかし証明が載ってない…　　（参考文献[2] 第７章 P.187-）
　 il||li _|￣|○ il||li

区間 [α,β] の凸関数 f(x) と、
区間 [a, b] で連続な a(x)、φ(x) が α≦a(x)≦β、φ(x)>0 をみたすとき、
{∫[a, b]a(x)f(φ(x))dx}/{∫[a, b]a(x)dx} ≧ f({∫[a, b]a(x)φ(x)dx}/{∫[a, b]a(x)dx})
52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/28 12:56:25 ]: 参考文献[3] P.125 Karamataの不等式について、しょうもない疑問。

Karamata って人名？地名？
検索すると、ギリシャのプロポネソス半島の南端の町の名にカラマタってのがあるらしい。
53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/28 16:02:15 ]: >50
　左辺を f_n(x)、その最大値を M_n とおく。
　(1) M_nはnについて単調増加.
　(2) n→∞ のとすると f_n(x) は各点で収束するが、[0,π]で一様収束ではない。
　　　｛極限は f(x)=(π-x)/2 (0<x<2π), f(0)=0 ｝
　(3) M_nの上限は G '= Si(π) = ∫_[0,π] sin(x)/x dx = 1.85193705198245...

(1の略証)
　M_1 = f_1(π/2) =1.
　M_2 = f_2(π/3) =(3/4)√3 >1.
　x≠2mπ (mは整数)のとき
f_n '(x) = Σ[k=1..n] cos(kx) = Σ[k=1..n] {sin[(k+1/2)x] - sin[(k-1/2)x]}/[2sin(x/2)]
　= {sin[(n+1/2)x] - sin(x/2)}/[2sin(x/2)] = cos[(n+1)x/2]sin(nx/2)/sin(x/2).
　|f_n| が極大（or停留値）になるのは cos[(n+1)x/2]=0 すなわち x_k=(2k+1)π/(n+1) のとき。
　|f_n| が最大となるx_k を X とおくと、sin[(n+1)x_k]=0 より, M_n = f_n(X) = f_{n+1}(X) < M_{n+1}.
　(注) x0 = π/(n+1), (2n+1)π/(n+1).

あとは任せた。

mathworld.wolfram.com/Wilbraham-GibbsConstant.html
54 名前：31 mailto:sage [05/01/28 20:24:51 ]: [43] の方針ならば
　(左辺) ≧ tan((π/2)sin(u)) + tan{α･cos(u)} = F(u,c) ≧ tan(u) + tan{α･cos(u)}
　　　≧ u + tan{α[1-(1/2)(u^2)]} ≧ u +tan(α) -(1/2)α(u^2)/[cos(α)]^2
　　　= tan(α) +(1-1.194260986681u)u ≧ tan(α).
となる。

【補題1】
　　0≦x<y かつ c<y≦ (π/2)-c のとき、 sin(x)/sin(y) > sin(u)/sin(c), u≡cx/y.
　(略証)　0<k<1, 0<y<π/2 のとき
　　{sin(ky)/sin(y)} ' = [k･tan(y)-tan(ky)]cos(ky)cos(y)/[sin(y)^2] ≧0.
　　∴ sin(ky)/sin(y) はyについて単調増加。
　　∴ sin(x)/sin(y)> sin(cx/y)/sin(c) = sin(u)/sin(c).
55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/28 20:40:44 ]: >>50訂正
実数x,正整数nに対し
|Σ[k=1..n]{sin(kx)/k}|≦2√π
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/01 12:04:27 ]: 閑散としたスレに不等式ヲタ降臨！
主に下のサイトから発掘（書き間違いがあったらゴメソ）
www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/

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　╋┓"〓┃　＜　ゝ＼',冫｡'　|:::: 　＼ .／　|゛△│´'´,.ゝ'┃.　　　　　 ●┃ ┃┃
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　　　　　　　　　　　┠─ム┼ 　　ゝ,,ﾉ　ﾉゝ.　､,,　.┼ ｧ　Ζ┨　ミｏ''｀
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　　　　　　　　　　 ┗〆━┷　Ｚ,.'　/┷━''ｏヾｏ┷+＼━┛,゛；
　　　　　　ヾ　　　⊿　　　　　　　　　　　　　　　'、´　　　　∇
57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/01 12:05:34 ]: 【問題Ａ】正の数 a, b, c, d, e に対して、次の不等式を示せ。

(1) 4a+5b+6c ≧ 3√(ab) + 7√(bc) +5√(ca)

(2) a+b+c=1 のとき、
　(ab)^(5/4)+(bc)^(5/4)+(ca)^(5/4) < 1/4

(3) a^2+b^2+c^2=1 のとき、
　1/(a^2) +1/(b^2) +1/(c^2) ≧ 3 + 2(a^3+b^3+c^3)/(abc)

(4) a+b+c=3, abc=1 のとき、
　ab/[(a^2+b)(a+b^2)] + bc/[(b^2+c)(b+c^2)] + ca/[(c^2+a)(c+a^2)] ≦ 3/4

(5) a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 ≧1 のとき、
　a^2/(b+c+d) + b^2/(c+d+e) + c^2/(d+e+a) + d^2/(e+a+b) + e^2/(a+b+c) ≧ √5/3

【問題Ｂ】三角形ABCにおいて、次の不等式を示せ。

(6) (sinA + sinB + sinC)^2 ≦ 6(1 + cosA・cosB・cosC)

(7) 外接円、内接円の半径を R, r とおくとき、(cos{(B-C)/2})^2 ≧ 2r/R

(8) (sinA)^2/A + (sinB)^2/B + (sinC)^2/C の値を求めよ。

(1) Hungary 2005.1
(2) Crux M146 (30n4)
(3) Crux 2532 (26n3)
(4) Crux M137 (30n2)
(5) Crux 3001 (31n1)
(6) Crux 2676 (27n7)
(7) Crux 2382 (24n7)
(8) Crux 2190 (22n8)
58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/01 12:07:27 ]: 【問題Ｃ】久々にネタ投下。しょぼいですが… (´д｀；)ｶﾞｸﾌﾞﾙ

(1) 自然数 m, n に対して、(m+n)!/(m!) ≧ (m+1)^n

(2) 実数 a, b が a-b=1 をみたすとき、a^3-b^3 ≧ 1/4

(3) 0 < θ < π/2 において、sinθ+tanθ > 2θ

(4) x, y >1 のとき、log((x+1)/(x-1))*log((y+1)/(y-1)) ≧ [log((x+y+2)/(x+y-2))]^2

(5) 0 ≦ a_k <1 が, a = √( [(a_1)^2 + … + (a_n)^2]/n ) ≧ 1/√3 をみたすとき、
　(a_1)/[1-(a_1)^2] + … + (a_n)/[1-(a_n)^2] ≧ na/(1-a^2)

(6) Fibonacci数列 F(n) に対して、(Σ[k=1 to n]F(k+1)^2)(Σ[k=1 to n]1/F(2k)) ≧ n^2

【問題Ｄ】気分転換に等式の証明とか…

(7) C[n,k] を二項係数とする。a_k = 1/C[n,k], b_k = 2^(k-n) に対して
　Σ[k=1 to n] (a_k)/k = Σ[k=1 to n] (b_k)/k

(8) nは3の倍数でない自然数とする。
n次実正方行列 A, B, C が A^2+B^2+C^2=AB+BC+CA をみたすとき、
　det(AB+BC+CA-AC-CB-BA)=0

(9) 2xy/(x+y) + √[(x^2+y^2)/2] = √(xy) + (x+y)/2 の実数解の組をすべて求めよ。

(1) 参考文献[4] P.15　　 (2) Crux M127 (30n1)
(3) Crux 2585 (26n7) 　　(4) Crux 233 (29n4)
(5) Crux 3001 (30n7) 　　(6) Crux 2955 (30n5)
(7) Hungary 3771　　　　　(8) Crux 2998 (30n8)
(9) Crux 2268 (23n6)
59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/01 14:13:32 ]: >>4に追加。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

MIA Journal
www.mia-journal.com/
60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/01 22:52:30 ]: みなさん、The Cauchy-Schwarz Master Class は買いましたか？
61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/02 14:19:46 ]: >57
（問題Ａ）
(1) 3･(a+b)/2 ≧ 3･√(ab)
　　7･(b+c)/2 ≧ 7･√(bc)
　　5･(c+a)/2 ≧ 5･√(ca)
　辺々たす。

(3)　a^2 +b^2 +c^2 =T のとき、 x^2 +y^2 ≧ 2xy より
　　(左辺)･T = 3 + (a^2){(1/b)^2 +(1/c)^2} +(b^2){(1/c)^2 +(1/a)^2} +(c^2)/{(1/a)^2 +(1/b)^2}
　　≧ 3 +(a^2)(2/bc) +(b^2)(2/ca) +(c^2)(2/ab) = 3 +2(a^3 +b^3 +c^3)/(abc) = (右辺).

(4) a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とすると、 t≦√(3su).
　　(略証) 　t^2 -3su = [(a^2)(b-c)^2 +(b^2)(c-a)^2 +(c^2)(a-b)^2]/2 ≧0.
　　(b +a^2)(a +b^2)/ab = 1 +(a^3 +b^3)/ab +ab ≧ 1 +(a+b) +ab = (1+a)(1+b).
　　(左辺) ≦ 1/[(1+a)(1+b)] +1/[(1+b)(1+c)] +1/[(1+c)(1+a)] = (3+s)/[(1+a)(1+b)(1+c)] = (3+s)/(1+s+t+u)
　　≦ (3+s)/[1+s+√(3su) +u].

（問題Ｂ）
(6) {sin(A) +sin(B) +sin(C)}^2 ≦ 3{sin(A)^2 +sin(B)^2 +sin(C)^2}
　　= 3{3 -cos(A)^2 -cos(B)^2 -cos(C)^2} = 6{1 +cos(A)cos(B)cos(C)}.
ぬるぽ
62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/02 14:23:19 ]: >58
（問題Ｃ）
(1) m≧0, 自然数n に対して, 左辺 = Γ(m+n+1)/Γ(m+1) = (m+1)(m+2)……(m+n) ≧ (m+1)^n = 右辺.
　等号成立は n=1 のとき。
(2) a-b=d>0 とする。 a^3 -b^3 =(a-b)(a^2 +ab +b^2) = d･{3(a+b)^2 +d^2}/4 ≧ (1/4)d^3.
　等号成立は a+b=0 のとき。
(3) いつものように tan(θ/2) =t とおくと t>0.
　左辺 = 2t/(1+t^2) +2t/(1-t^2) = 4t/(1-t^4) > 4t = 4tan(θ/2) > 4(θ/2) = 2θ.

（問題Ｄ）
(9) (x+y)/2 - 2xy/(x+y) = (x-y)^2 /[2(x+y)] = (x-y)^2 /[2f(x,y)].
　√[(x^2+y^2}/2] -√(xy) = (x-y)^2 /{2√[(x^2+y^2)/2] +2√(xy)} = (x-y)^2 /[2g(x,y)].
　∴ (左辺)-(右辺) = (x-y)^2 {1/g(x,y) -1/f(x,y)}.
　一方、 f(x,y)^2 -g(x,y)^2 = (x+y)^2 -[(x^2+y^2)/2] -(xy) -2√[xy(x^2+y^2)/2]
　= (1/2){(x+y)^2 -4√[xy(x^2+y^2)/2]} = (1/2)(x-y)^4 /{(x+y)^2 +4√[xy(x^2+y^2)/2]} ≧0.
　等号成立は x-y=0 に限る。
ぬるぽ
63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/02 21:11:49 ]: >58(4)
　x>1 に対して f(x) = log{log[(x+1)/(x-1)]} とおくと、
　g(x) = exp{f(x)} = log[(x+1)/(x-1)] = -log[(x-1)/(x+1)] = -log[1 -2/(x+1)] > 2/(x+1) > 1/x.
　f "(x) = {2/[(1-x^2)g(x)]}^2･[x･g(x)-1] >0　ゆえ f( )は下に凸.
　∴ f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2).

訂正、スマソ↓
>61(4) ab+bc+ca=t とすると、t≧√(3su).
>62(1) 自然数mに対しては Γ(m+1) = m!
>62(3) tan(θ/2) =t とおくと 0<t<1.
64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/02 21:54:38 ]: >57(2)
　a+b+c=s とする。 (ab)^(5/4) < ab(2s+a+b)/(4√s) を循環的に加えると(注)により、
　(左辺) ≦ (ab+bc+ca)(√s)/2 +［ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)]/(4√s)
　　　≦ (1/6)s^(5/2) +(1/14)s^(5/2) = (5/21)s^(5/2).

(注)　ab+bc+ca = {2(a+b+c)^2 -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2}/6 ≦ (1/3)s^2.
　　　ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) = (1/7){2[(a+b+c)^3 -6abc]-(a-b)(a^2-b^2)-(b-c)(b^2-c^2)-(c-a)(c^2-a^2)} ≦ (2/7)s^3.
ばらばらで、スマソ。
65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/03 10:28:44 ]: >>61-64
早っ！激乙です。
俺もすらすら解けるようになりたい… (ノ∀`)
66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/03 16:11:55 ]: 参考文献[2] P.188の一番下

区間 [a, b] で連続な関数 f(x), g(x)≧0 に対して、p≧1 のとき
　∫[a, b] {f(x)}^p dx + ∫[a, b] {g(x)}^p dx ≧ ∫[a, b] {f(x)+g(x)}^p dx
は、どうやって証明するんでせうか？
たのも～。
67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/03 17:19:19 ]: >66
　p=1 ならば等号成立。
　p>1 のとき f^p + g^p = f･f^(p-1) + g･g^(p-1) < f･(f+g)^(p-1) + g･(f+g)^(p-1) = (f+g)^p.
68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/04 19:45:56 ]: >58(6)
　次の補題より、相加・調和平均に持ち込む。便宜上、F(0)=F(2)-F(1)=0 とした。

【補題】 F(2n) = F(n+1)^2 -F(n-1)^2.
（略証）nに関する帰納法による。
　n=1 のとき F(2x1) = 1 = 1^2 - 0^2 = F(2)^2 - F(0)^2.
　n=2 のとき F(2x2) = 3 = 2^2 - 1^2 = F(3)^2 - F(1)^2.
　n=3 のとき F(2x3) = 8 = 3^2 - 1^2 = F(4)^2 - F(2)^2.
　n-1,n に対しては成立したとする。このとき
　　F(m+2) = F(m+1) +F(m) = 2F(m) + F(m-1) = 3F(m) -F(m-2)　…(*)より
　　F(2n+2) = 3F(2n) -F(2n-2) = 3{F(n+1)^2 -F(n-1)^2} -{F(n)^2 -F(n-2)^2}.
　　これに、F(n+1) = F(n+2) - F(n),
F(n-1) = F(n+1) -F(n) = F(n+2) -2F(n),
　　　　　　F(n-2) = 3F(n) -F(n+2)　　…(*).
を代入して F(n) と F(n+2) で表わせば、求める式が出る。(終)

　よって、(左辺) ≧ {Σ[k=1,n] 1/Ｆ(2k)}{Σ[k=1,n] Ｆ(2k)} ≧ n^2.

　（系） F(2n) = F(n){F(n+1)+F(n-1)} は F(n) で割り切れる。
ぬるぽ
69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/04 20:28:14 ]: >>67
なるへそ。
不等号の向きが逆だったんですね。
㌧㌧ｸｽ！
70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/04 22:53:03 ]: x>0, y>0, z>0, x^4+y^4+z^4=1 のとき
(x^3)/(1-x^8) + (y^3)/(1-y^8) + (z^3)/(1-z^8)
の最小値を求めよ
71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/05 02:55:20 ]: >70
　f(x) = x^3 /(1-x^8),　x0=1/[3^(1/4)], x/x0 =X,
　M = f(x0) = (9/8)[3^(1/4)] = 1.48058326… とおくと、
　f(x) - M･x^4 = {1 - M[3^(1/4)]x(1-x^8)}(x^3)/(1-x^8)
　　= {1-(9/8)X(1-(1/9)X^2)}(x^3)/(1-x^8) = (1/8)(8-9X+X^9)(x^3)/(1-x^8)
　　= (1/8)(1-X)^2･{Σ[k=0,7] (8-k)x^k}(x^3)/(1-x^8) ≧ 0.
　等号成立は X=1, x=x0=0.75983568 … のとき。
　∴ (与式) = f(x) + f(y) + f(z) ≧ M(x^4+y^4+z^4) = M = 1.48058326 …
ぬるぽ
72 名前：71 mailto:sage [05/02/05 03:41:47 ]: (訂正)、スマソ。
　M = f(x0)/(x0^4) = …

(補足)
　X≧0　⇒　X^n - nX +(n-1) = (X-1)^2 {Σ[k=0,n-2] (n-1-k)X^k} ≧0.
73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/05 06:37:17 ]: x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0 が実根を持つならば、a^2+b^2≧8
74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/05 12:46:14 ]: ココで出題した問題が、yahoo（>>34）のprime_132 にコピペされているな・・・
不等式ヲタの苦労が水の泡ってところか・・・

messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=ldbja4rbdpa47a4a2a4a4a4dea47a4ga4a6&sid=1835554&mid=974
75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/05 23:09:37 ]: >73
　左辺を平方完成(?)すると、
　x^4 +ax^3 +2x^2 +bx +1 = (x^2)(x +a/2)^2 +{(8 -a^2 -b^2)/4}x^2 +(bx/2 +1)^2.
ぬるぽ
76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/06 03:07:38 ]: >21
[前スレ.565(4)]
　無限乗積表示 sin(πx) = πx･Π[k=1,∞) {1-(x^2)/(k^2)} を使ってみますた。(牛刀
かも)
　f(x^2) = log|sin(πx)/πx| - a･{log(1-x^2) -log(1+x^2)}　(0≦a≦1) とおくと、
　f(y) = Σ[k=1,∞) log[1 -y/(k^2)] -a･{log(1-y) -log(1+y)}, f(0) = 0.
　f '(y) = -Σ[k=1,∞) 1/(k^2 -y) +a･{1/(1-y) +1/(1+y)}.
　　　　　= -Σ[k=2,∞) 1/(k^2 -y) -(1-a)/(1-y) +a/(1+y)　:単調減少(fは上に凸).
　f '(y) < f '(0) = -ζ(2) +2a = -(π^2)/6 + 2a.

　(i)　a=1 のとき上に凸で f(0)=f(1)=0 だから |x| <1 で f(x^2)>0.
　(ii)　a≦(π^2)/12 = 0.82246703… のとき f '(0)<0 ∴ f'(x^2)<0, f(x^2)<0.
　∴ log(1-x^2) -log(1+x^2) < log|sin(πx)/πx| < a･{log(1-x^2) -log(1+x^2)}.
ぬるぽ
77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/06 09:39:01 ]: ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
そこに痺れる憧れるぅ～
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/06 12:18:58 ]: 【Johnstonの不等式】
a_1, …, a_n の相加平均をA、相乗平均をBとする。
0 < P ≦ a_k ≦ Q のとき、 G^(Q-P) ≧ P^(Q-A)・Q^(A-P)

　　∧_∧　ｯﾊﾟｼｬ　ｯﾊﾟｼｬ
　　(　　 )】
　　/　 /┘ ﾑｯﾊｧ～ﾊｧﾊｧ…
　ノ￣ゝ　
79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/07 12:07:24 ]: >78
P= a_k =Q のときは等号成立。
P<Q のとき {Ln(Q)-Ln(P)}/(Q-P) =Ｃとおく。Ｃ>0.
　Ln( )は上に凸だから、
　a_k≠P に対して {Ln(a_k) - Ln(P)}/(a_k -P) > Ｃ, Ln(a_k) - Ln(P) > (a_k -P)Ｃ.
　k=1 to n について加えてnで割ると Ln(G) - Ln(P) > (A-P)Ｃ ……(1).
　a_k≠Q に対してＣ > {Ln(Q) - Ln(a_k)}/(Q -a_k), (Q -a_k)Ｃ > Ln(Q) - Ln(a_k)
　k=1 to n について加えてnで割ると (Q-A)Ｃ > Ln(Q) - Ln(G) …… (2).
　(1)(2)からＣを消去して真数をとれば、求める式が.....
ぬるぽ
80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/07 21:51:47 ]: x(1)=2, x(n+1)=x(n)^2-x(n)+1 (n≧1) のとき
1-1/2^(2^(n-1)) < Σ[k=1..n](1/x(k)) < 1-1/2^(2^n)
81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/08 10:12:51 ]: >80
漸化式から 1/x(k) = 1/{x(k)-1} -1/{x(k+1)-1}.
　∴ (中辺) = Σ[k=1,n] 1/x(k) = 1/{x(1)-1} -1/{x(n+1)-1} = 1 -1/{x(n+1)-1}.
　ここで次の(補題)を用いると、
　1 -1/{2^[2^(n-1)]} ≦ Σ[k=1,n] 1/x(k) < 1 -1/{2^(2^n)},　(等号はn=1).

（補題） n≧1 ⇒ 2^{2^(n-1)} ≦ x(n+1) -1 < 2^(2^n) -1,　(等号はn=1).
　(略証) nについての帰納法による。
　n=1 のとき 2 = x(2)-1 < 4-1 で成立。あとは簡単(終).
ぬるぽ
82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/08 21:34:33 ]: [1]
a(k)∈(0,π/2), k=1,2,3,4, Σa(k)=π のとき
Σ{(√2)*sin(a(k))-1}/cos(a(k))≧0

[2]
z(k)∈C, k=1,2,...,n, Σ|z(k)|=1 のとき
|Σ[z∈S]z(k)|≧1/6 を満たす S⊆{z(1),z(2),...,z(n)}
が存在する
83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/08 22:13:55 ]: 【問題 11127】 ('A`) なす術なし…
www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-01-jan05.pdf
84 名前：Arith ◆Arithtz1sk mailto:sage [05/02/08 22:18:07 ]: >>82([2])
{1, 2, ..., n}を(arg z(k))*2/π（ただしargは[0, 2π)の範囲に取る）の整数部分によって
4つの集合S_0, S_1, S_2, S_3に分ける。
いずれかのjについて∑_{k∈S_j}|z(k)|≧1/4が成り立つ。
k∈S_jならばarg' z(k)i^{-(j+1/2)}∈[-π/4, π/4)（arg'は[-π, π）の範囲に取った偏角）であることより
　|∑_{k∈S_j}z(k)|
=|∑_{k∈S_j}z(k)i^{-j}|
≧Re ∑_{k∈S_j}z(k)i^{-j}
≧∑_{k∈S_j}|z(k)|cos(π/4)
≧1/(4sqrt(2))>1/6。

<<OVER KILL>>
85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/09 15:02:41 ]: >>82 Mathnoriに載ってたんだが。

m(>1)次元ユークリッド空間上のn個の点x(i)=(x(i,1) , x(i,2) , … , x(i,m))　が
Σ[i=1～n] |x(i)| =1　を満たすならばn個の点から適当にいくつか選び、
それらをy(1),y(2),…,y(k)とすれば
|Σ[i=1～k] y(i)|≧Γ(m/2)/(2sqrt(π) Γ((m+1)/2))
とすることが可能である。

---

MathNori回答者（つか俺）の答案からコピって来た。
86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/10 10:09:13 ]: >85
m=1 のとき
　x(k)の符号により二類に分ける。
　x(i)>0 の和を S(+)=Σx(i)=Σ|x(i)|, x(j)<0 の和を S(-)=Σx(j)=-Σ|x(j)| とすると、
　|S(+)| + |S(-)| = Σ[k=1,n] |x(k)| =1.
　∴ |S(+)| ≧1/2 または |S(-)| ≧1/2.
m>1 のとき
　ある向き(e↑)の成分を考えて、1次元に帰着させる。
　e↑∈Ω(m), ここに「超球面」Ω(m)={e↑∈R^m | ∥e∥=1 }, |Ω(m)|=∮dω= {2/Γ(m/2)}π^(m/2)
　いま、f(e↑) = Σ[k=1,n] |(e↑･x(k)↑)| = Σ[k=1,n] |cosθ(e,k)| ∥x(k)∥ とおき、
　あらゆる向きのe↑について平均すると、<|cosθ|> を外へ出すことができ、
　<f(e↑)> = ∮f(e↑)dω/|Ω(m)| = <|cosθ|>･Σ[k=1,n]∥x(k)∥ = <|cosθ|> = Γ(m/2)/{Γ((m+1)/2)√π}.
　∴ f(e_1) ≧ <|cosθ|> となるような e_1 をとることができる。
　以下m=1のときと同様にして |S|≧(1/2)<|cosθ|> が出る。
ぬるぽ
　(例) m=1 のとき |S|≧1/2, m=2のとき |S|≧1/π, m=3のとき |S|≧1/4.

mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html
87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/10 14:17:35 ]: 定数nに対し、項数kの自然数列
1≦a(1)＜a(2)＜…＜a(k)≦n
を考える。この数列をどの二項の和( a(i)+a(j) )
も平方数にならないように定め、kを可能な限り大きくしたとき、
11n/32≦k＜n/2 　を示せ。
88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/10 14:18:36 ]: 訂正
11n/32≦k 　を示せ。
89 名前：saikorodeka(偽) mailto:sage [05/02/10 22:12:00 ]: 【78の類題】
正の数 a_1, …, a_n の相加平均をA、調和平均をH とする。
　0 < P ≦ a_k ≦ Q のとき、 H ≦ PQ/(P+Q-A).

messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=107
90 名前：89 mailto:sage [05/02/10 22:37:15 ]: [89]写し間違い、スマソ.
H ≧ PQ/(P+Q-A).
91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/10 23:11:42 ]: 　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！ >>89-90
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/12 12:23:35 ]: 分かスレにありますた。

nを自然数とし,
A_n(x) = {cos(2x)}^(n/2),　B_n(x) = {cos(x)}^(2n) - {sin(x)}^(2n) とする。
0<x<π/4 において A_n(x) と B_n(x) の大小を比べよ。

分かスレ２０３
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1108110312/4,84
93 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/02/13 02:00:02 ]: 逆数の相加平均は調和平均の逆数で
逆数の相乗平均は相乗平均の逆数なので
>>78から
　（１／Ｇ）＾（１／Ｐ－１／Ｑ）
≧（１／Ｑ）＾（１／Ｐ－１／Ｈ）（１／Ｐ）＾（１／Ｈ－１／Ｑ）。
　（Ｐ／Ｑ）＾（ＰＱ／Ｈ）
≧Ｇ＾（Ｑ－Ｐ）Ｐ＾ＰＱ＾（－Ｑ）
≧（Ｐ／Ｑ）＾（Ｐ＋Ｑ－Ａ）。
94 名前：89 mailto:sage [05/02/13 06:38:29 ]: ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ! >93
95 名前：79 mailto:sage [05/02/13 07:24:29 ]: >78 (訂正)
　我ながら間違いが多いな・・・後(ry
　Ln(a_k) - Ln(P) ≧ (a_k -P)Ｃ, (Q -a_k)Ｃ ≧ Ln(Q) - Ln(a_k).
　等号成立は a_k=(P or Q) のとき
96 名前：zeros_force(偽) mailto:sage [05/02/13 18:14:35 ]: (問題)
　0≦x≦y，x＋y=1，nは自然数とするとき、
　y^n -y ≦ x^n -x が成り立つことを示して下さいです。。。

messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=131
97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/15 02:11:38 ]: >>64
> >57(2)
> 　a+b+c=s とする。 (ab)^(5/4) < ab(2s+a+b)/(4√s) を循環的に加えると

これって、どうやって思いつくんですか？
98 名前：64 mailto:sage [05/02/15 09:07:19 ]: >97
　s>a,b より相加･相乗平均 (ssab)^(1/4) < (s+s+a+b)/4, (ab)^(1/4)･√s < (2s+a+b)/4.
99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/15 11:52:25 ]: >96 nを実数とする。
n≦0 のとき
　x^n-x は単調減少により成立。等号は x=1/2.
n>0 のとき
　(左辺) - (右辺) = (1-x)^n -x^n +x -(1-x) = f(x) とおくと
　f(0)=0, f(1/2)=0, f "(x) = n(n-1){(1-x)^(n-2) -x^(n-2)}.
　・0<n<1 or 2<n のとき f "(x)≧0(下に凸), f(x)≦0 により成立. 等号はx=0,1/2.
　・n=1,2 のとき f "(x)=0, f(x)=0 により等号成立.
　・1<n<2 のとき f "(x)≦0(上に凸), f(x)≧0 だから逆向き. 等号は x=0,1/2.
ぬるぽ
100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/15 15:20:58 ]: >>98
なるへそ。ありがとうございます！

>>99
ぐっじょぶ！
101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/18 04:01:27 ]: 問題 1713. nCr (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
問題 1714 不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/math_mag-78-1-feb05.pdf
問題 792 不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/col_math_jou-36-1-jan05.pdf

（再掲）
問題 11127 三角関数と不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-01-jan05.pdf
102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/19 00:57:04 ]: power mien の積分形を考えてて思ったこと。

区間 [a,b] で連続な f(x)>0 に対して、
　lim[r→0] {(∫[a,b] {f(x)}^r dx)/(b-a)}^(1/r)
は、e^{(∫[a,b] \log f(x) dx)/(b-a)} になりますか？
103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/19 00:57:35 ]: >>102
power mean … ('Ａ`)
104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/19 01:23:44 ]: >>64

>>57(2)は、ピッタリ最大値が求まらないでしょうか？
105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/19 01:46:09 ]: 求まりそうな気がするけどね
条件が対称だから
106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/19 02:41:29 ]: ですよねぇ。
最大値は a=b=c のとき 1/(9√3) だろうと思って
こないだから弄ってたんだけど、力不足でだめぽ。
さらりと解いて解答を載せるつもりだったけど、
挫折して聞いてしまった… ('Ａ`)
107 名前：106 mailto:sage [05/02/19 02:45:33 ]: 書き間違い… （吊）
a=b=c=1/3のときの 1/(3√3)
108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/19 02:49:55 ]: >>101
問題1713 は、前スレの終わりのほうで
似たようなやつがあったけど、できそうでまだできてない…。

OS再インストールしたときに、過去ログの保存を忘れててアボーンしてしまった。
dat落ちしてから、見れるようになるまで何ヶ月くらいかかるのでせうか？
　|
　8 < ﾓｳﾀﾞﾒﾎﾟ…
　'`
　￣
109 名前：64 mailto:sage [05/02/19 04:24:38 ]: >104-107
　[106-107]が正しいとすると、等号条件が a=b=c =s/3 の不等式しか使えない。たとえば[98]は
　{(s/3)(s/3)ab}^(1/4) < {2(s/3)+a+b}/4, (ab)^(1/4)･√(s/3) < {2(s/3)+a+b}/4.
　としないといけないし、[64]は次のようにする。
(ab)^(5/4) < ab{2(s/3)+a+b}/{4√(s/3)} を循環的に加えると(注)により、
　(左辺) ≦ (ab+bc+ca)(1/2)√(s/3) +［ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)]/{4√(s/3)}
　　　≦ (1/2)t√(s/3) + (1/4)(s^2-t)√(s/3) = (1/4)(s^2+t)√(s/3) ≦ 3(s/3)^(5/2) = {1/(3√3)}s^(5/2).

(注)　ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) = st -3u ≦ (s/3)(s^2 -t).
　　　∵ s^3 -4st +9u ≧ 0. （← [前スレ.611]の(1) または "Inequalities"の定理80）
110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/19 09:17:15 ]: >>109
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
そうか！ s/3 で置き換えれば ≦ になるのか！
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/19 22:28:37 ]: >101 [1713]
　(問題)　Σ[n=4,∞) Σ[k=2,n-2] 1/Ｃ[n,k] = 3/2.
　(解答)　(左辺) = Σ[n=4,∞) Σ[k=2,n-2] …… = Σ[k=2,∞) Σ[n=k+2,∞) …… を使おう。
　1/Ｃ[n,k] = k!/{n(n-1)…(n-k+1)} = {k!/(k-1)}{ 1/[(n-1)(n-2)…(n-k+1)] -1/[n(n-1)…(n-k+2)] }
　　= {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[n-1,k-1] -1/Ｃ[n,k-1] }.
　∴ Σ[n=k+2,N] 1/Ｃ[n,k] = {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[k+1,k-1] -1/Ｃ[N,k-1] }
　　= {k/(k-1)}{ 2/[k(k+1)] -1/Ｃ[N,k-1] } = {1/(k-1)}{ 2/(k+1) -k/Ｃ[N,k-1] }
　　= {1/(k-1)}{1 -(k-1)/(k+1) -k/Ｃ[N,k-1] } → 1/(k-1) -1/(k+1).　　(N→∞)
　　k=偶数(2,4,…)についての和は 1/(2-1) =1, k=奇数(3,5,…)についての和は 1/(3-1) =1/2.
　　よって (左辺) = 1/(2-1) + 1/(3-1) = 1 +1/2 =3/2.
ぬるぽ
112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/20 07:41:58 ]: >>102-103
もっと詳しく！
113 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/02/20 11:00:00 ]: 前スレ。

mimizun.com:81/log/2ch/math/science3.2ch.net/math/kako/1072/10725/1072510082.dat
mimizun.com/cgi/dattohtml.pl?http://mimizun.com:81/log/2ch/math/science3.2ch.net/math/kako/1072/10725/1072510082.dat
makimo.to/cgi-bin/html2dat/html2dat.cgi?science3_math/1072/1072510082.html
makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082.html
114 名前：111 mailto:sage [05/02/20 15:55:40 ]: >101 [No.1714]
　(問題) m,n,x,y,z>0, x+y+z=s のとき、
　　　(x^4)/[(mx+ny)(my+nx)] + (y^4)/[(my+nz)(mz+ny)] + (z^4)/[(mz+nx)(mx+nz)] ≧ (1/3)[s/(m+n)]^2.
　(解答) 4(mx+ny)(my+nx) = [(m+n)(x+y)+(m-n)(x-y)][(m+n)(x+y)-(m-n)(x-y)]
　　= [(m+n)(x+y)]^2 - [(m-n)(x-y)]^2 ≦ [(m+n)(x+y)]^2 ≦ 2(m+n)^2(x^2+y^2).
　　4(x^4) = (x^2+y^2)(3x^2 -y^2) + (x^2 -y^2)^2 ≧ (x^2+y^2)(3x^2 -y^2).
　　辺々割って、
　　(x^4)/[(mx+ny)(my+nx)] ≧ (1/2)(3x^2 -y^2)/(m+n)^2.
　　循環的に加えて、
　　(左辺) ≧ (x^2 +y^2 +z^2)/(m+n)^2 ≧ (1/3)(x+y+z)^2/(m+n)^2 ≧ (1/3)[s/(m+n)]^2.
ぬるぽ

[111] [No.1713] の補足
　n=4,…,N までの部分和をとる。
　 Σ[n=4,N] Σ[k=2,n-2] 1/Ｃ[n,k] = Σ[k=2,N-2] Σ[n=k+2,N] 1/Ｃ[n,k] = ……
　= 3/2 -1/(N-2) -1/(N-1) - Σ[k=2,N-2] {k/(k-1)}/Ｃ[N,k-1]
　= 3/2 -1/(N-2) -1/(N-1) - { 2/N + 3/(N(N-1)) + Σ[k=4,N-2]Ｏ(1/N^3) } → 3/2　(N→∞).
115 名前：108 mailto:sage [05/02/20 20:06:33 ]: >>113
をぉぉっ！ありがとうございます。
助かりました。
116 名前：24 mailto:sage [05/02/20 21:04:20 ]: >>113
をぉぉっ！ありがとうございまつ。
助かりますた。
117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/20 21:11:44 ]: >101 [No.792]
　一般に、正係数の多項式Ｆ(x, y, …) については、
　x_k≧0, y_k≧0, … (k=1,2,…,n) ⇒　Σ[k=1,n] Ｆ(x_k, y_k, …) ≧ Ｆ(Ｇx, Ｇy, …).
　ここにＧは相乗平均で、Ｇx={Π[k=1,n] x_k}^(1/n), Ｇy={Π[k=1,n] y_k}^(1/n), …
ぬるぽ
118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/20 22:19:53 ]: 「数学オリンピック」スレより
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1091700814/529,562,580
JMO本選３らしい…

529 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/02/12(土) 12:30:59
正の実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
　a(1+b-c)^(1/3) + b(1+c-a)^(1/3) + c(1+a-b)^(1/3) ≦ 1

580 名前： ◆BhMath2chk [sage] 投稿日：05/02/16(水) 13:00:02
>>529
－１≦ｘのとき（１＋ｘ）＾（１／３）≦１＋ｘ／３。
ａ（１＋ｂ－ｃ）＾（１／３）≦ａ＋ａｂ／３－ａｃ／３。
ｂ（１＋ｃ－ａ）＾（１／３）≦ｂ＋ｂｃ／３－ａｂ／３。
ｃ（１＋ａ－ｂ）＾（１／３）≦ｃ＋ａｃ／３－ｂｃ／３。
119 名前：117 mailto:sage [05/02/21 00:46:05 ]: >101 (No.792)
　[117] の訂正、すまそ。
　(1/n)Σ[k=1,n] Ｆ(x_k, y_k, …) ≧ Ｆ(Ｇx, Ｇy, …).

　(略証) 項ごとに相加･相乗平均を使う。
120 名前：102 mailto:sage [05/02/21 04:47:53 ]: >>112 [power mean]
正の数 a_1, …, a_n の r次平均 M_r = [((a_1)^r + … + (a_n)^r)/n]^(1/r) について
　lim[r→+∞]M_r = max{a_1, …, a_n}
　lim[r→-∞]M_r = min{a_1, …, a_n}
　lim[r→0]M_r = G （相乗平均）

これが関数もときにも成り立ってるのかなと思ったわけで…
区間 [a,b] で連続な f(x)>0 に対して、
　lim[r→+∞] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r) = max[a≦x≦b]f(x)
　lim[r→-∞] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r) = min[a≦x≦b]f(x)
が成り立つから、
　lim[r→0] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r)
も何かの値になるのかなと思ったのでした。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/21 08:04:59 ]: 【sin】高校生のための数学質問スレPart20【cos】
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1108205751/444

444 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/02/21(月) 00:49:38
（問題）
　　n,m,x,y,z が正数のとき、
　　　x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my) >= 3/(m+n)
　　となることを数IAの範囲で証明せよ。
122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/21 08:38:48 ]: >>121
Cauchy の不等式より
　[x(ny+mz) + y(nz+mx) +z(nx+my)]*[x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my)] ≧ (x+y+z)^2 … (1)
ここで、
　x(ny+mz) + y(nz+mx) +z(nx+my) = (m+n)(xy+yz+zx)
であることと、
　(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = (1/2)[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2] ≧ 0 … (2)
より、[(x+y+z)^2]/(xy+yx+zx) ≧ 3 だから
　[x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my)] ≧ [(x+y+z)^2]/[(m+n)(xy+yz+zx)] ≧ 3/(m+n)
等号成立条件は、(1), (2) の両方で等号が成り立つときで、x=y=z である。
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　なんとか解けたよ！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
123 名前：122 mailto:sage [05/02/21 09:35:12 ]: 気のせいかな？
前にも解いたような気がする…
124 名前：122 mailto:sage [05/02/21 10:15:06 ]: 前スレにありました（ﾟ∀ﾟ）ﾃﾍｯ

前スレ 903(1) 正の実数a,b,x,y,zに対し、x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by)≧3/(a+b)

前スレ 907 に解答
　x/(ay+bz) = {(a^2)(ax+by)/(ay+bz) +(b^2)(az+bx)/(ay+bz) -ab}/(a^3 +b^3).
　循環的に加えて相加･相乗平均を使うと
　左辺 ≧ 3(a^2 +b^2 -ab)/(a^3 +b^3) = 3/(a+b), 等号成立はx=y=zのとき.
125 名前：122 mailto:sage [05/02/21 10:16:13 ]: >>124の解法は、ぬるぽ神によるものです。
126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/21 12:08:23 ]: [前スレ.907] の補足
　「相加･相乗平均を使う」は数ⅠA 辺りでは通用しないかも知れないので・・・

(補題) X,Y,Z>0 のとき　Z/X+X/Y+Y/Z ≧ 3,　Y/X+X/Z+Z/Y ≧ 3.
(略証) X,Y ≧Z のとき X-Z≧0, Y-Z≧0 ゆえ
　YZ^2 +ZX^2 +XY^2 -3XYZ = Z(X-Y)^2 +Y(X-Z)(Y-Z) ≧0.
　ZY^2 +YX^2 +XZ^2 -3XYZ = Z(X-Y)^2 +X(Y-Z)(X-Z) ≧0.
　これらを XYZ>0 で割る。　(終)
127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/21 21:28:04 ]: [1]
連続関数 f:[0,1]→R が任意の x∈[0,1] に対して
∫_{x}^{1}f(t)dt≧(1-x^2)/2 を満たすとき
∫_{0}^{1}(f(t))^2dt≧1/3

[2]
p>1とする。|x|^p+|y|^p=2を満たす任意の実数x,yに対し、
(x-y)^2≦C(p)*{4-(x+y)^2}
が成立するような定数C(p)が存在する
128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/22 04:51:20 ]: >>114
> 4(mx+ny)(my+nx) = [(m+n)(x+y)+(m-n)(x-y)][(m+n)(x+y)-(m-n)(x-y)]
>　　= [(m+n)(x+y)]^2 - [(m-n)(x-y)]^2 ≦ [(m+n)(x+y)]^2 ≦ 2(m+n)^2(x^2+y^2).

この式変形に激しく (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/23 14:06:12 ]: 749 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/02/23(水) 12:19:56
3^e＜e^3
を示す問題なんですけど、

751 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：05/02/23(水) 13:31:31
>>749
3^e＜e^3⇔3^(1/3)＜e^(1/e)⇔x^(1/x)またはlog(x)/xがx>eで単調減少
130 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/02/23 18:00:00 ]: >>102
ｌｏｇ（ｆ（ｘ））が有界のとき
ｆ（ｘ）＾ｒ＝ｅｘｐ（ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｒ）＝１＋ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｒ＋Ｏ（ｒ＾２）。

∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ＝∫ｄｘ＋ｒ∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ＋Ｏ（ｒ＾２）。

∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ＝１＋ｒ∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ＋Ｏ（ｒ＾２）。

（１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ＾２））＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（ｃ＋Ｏ（ｒ））なので
（∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ）＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ＋Ｏ（ｒ））。

ｌｉｍ（（∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ）＾（１／ｒ））＝ｅｘｐ（∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ）。
131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 06:26:30 ]: 不等式の証明で
　4(a^2+ab+b^2)^3 - 27a^2b^2(a+b)^2
の因数分解がうまくいかんのだけど、コツを教えてけれ！
132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 07:43:56 ]: >>131
a-b=A とおく ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 10:14:21 ]: >131
　基本に返って (a+b)^2=S, ab=t とおく ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

　4(S-t)^3 -27(t^2)S = 4S^3 - 12(S^2)t - 15St^2 - 4t^3 = (S-4t)(2S+t)^2
　= (a-b)^2(a^2+5ab+b^2)^2.
∵ a=b のとき0だから、因数定理により S-4t=(a-b)^2 を因子にもつ。
134 名前：132 mailto:sage [05/02/25 11:53:00 ]: >>131
a-b=A とおいた理由は、b に a を代入したら 0 になるから、因数定理よりｺﾞﾆｮｺﾞﾆｮ…。
結局、>>132-133 から、任意の実数 a, b, c に対して
　4(a^2+ab+b^2)^3 - 27[ab(a+b)]^2 = [(a-b)(2a+b)(a+2b)]^2 ≧ 0
等号成立条件は、a=b または 2a=-b または a=-2b のとき。

興味ないだろうけど、参考文献 [2] P.216 問6の解答に同じ問題があるYO！
でも誤植だYO！ il||li _|￣|○ il||li

さらに頼まれもしないのに、不等式の別証をチラシの裏に書いてしまう。
ただし、a, b≧0 の場合ですが…。

4(a^2+ab+c^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+c^2 ≧ (3/4)(a+b)^2
これと相加平均・相乗平均の関係から
　(a^2+ab+b^2)^3 ≧ (27/64)(a+b)^6 ≧ (27/16)ab(a+b)^4 ≧ (27/4)[ab(a+b)]^2 ≧ 27(ab)^3
等号成立条件は a=b。
135 名前：132 mailto:sage [05/02/25 11:56:43 ]: 下から４行目に書き間違い
> 4(a^2+ab+c^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+c^2 ≧ (3/4)(a+b)^2

正しくは
　 4(a^2+ab+b^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+b^2 ≧ (3/4)(a+b)^2
136 名前：132 mailto:sage [05/02/25 12:05:59 ]: a^2+ab+b^2 絡みで…

非負実数 a, b, c に対して
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(a^2+ab+c^2)
　≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3

─────────────‐
━━━mm━━━━━━━━━
　||| lll　|　|　.／　　≧　＼　ガラッ
　　　　|　|　|:::: 　＼ .／　|　　|||　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　||| 　|　|　|::::: (●　(● |　　／
　　　　＼＼ヽ::::... .ワ......ノ　＜　　( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
　　　　　　＼　　　　　＼　　　＼
|||　ガラッ　　）　　　　ﾄ、ヽ　|||　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　|||　　　/　　　（　|　|　　 |||
━━━━━━━━━mm━━━
─────────────‐
137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 12:07:06 ]: ゴメン、また書き間違いしました。

非負実数 a, b, c に対して
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
　≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3

　|
　8 < ﾀﾞﾒﾎﾟ…
　'`
　￣
138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 16:36:10 ]: >136
　左側： [135]
　中間： (9/8)(a+b)(b+c)(c+a) = (1/8)(a+b)(b+c)(c+a) + (a+b)(b+c)(c+a)
　≧ √(ab)√(bc)√(ca) + (a+b)(b+c)(c+a) = abc +(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca).
　右側： (1/3)(a+b+c)^2 - (ab+bc+ca) = (1/6){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} ≧0.
ぬるぽ
139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 22:36:23 ]: >>122
正の数 a, b, c, m, n に対して、
　(a+b+c)^2/[(p+q)(ab+bc+ca)] と [1/(pa+qb) + 1/(pb+qc) + 1/(pc+qa)]*(a+b+c)/3
の大小は定まりますか？
140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 22:37:25 ]: >>139
また書き間違った。
> 正の数 a, b, c, p, q です ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/27 21:03:50 ]: >139-140
a=b=c のときは等号成立。
a=b=c でないとき、
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とすると、(左辺)=(s^2)/[(p+q)t].
　p=q のとき (左辺)-(右辺)=(s^2)/(2pt)-s(s^2 +t)/[3p(st-u)] = s{(s^2 -3t) +(t^2 -3su)/t}/[6p(st-u)] >0.
　q/p→0 のとき (左辺)-(右辺)= (s^2)/(pt)-st/(3pu) = -s(t^2 -3su)/(3ptu) < 0.
よって大小は定まらない...
142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/27 21:37:29 ]: >>130
ありがとうございまする。自分では思いつかんす。

>>141
ありがとうございまする。なるへそ。
143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/28 09:30:59 ]: a+b+c=1 をみたす非負実数 a, b, c と正の数 m, n に対して、
　(a^m)(b^n)+(b^m)(c^n)+(c^m)(a^n) ≦ (m^m)/[(m+n)^(m+n)]
が成り立つなら証明たのも～。
144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/01 13:37:31 ]: >>143の類題（前スレ603）
[1999 CMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27
145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/01 16:18:24 ]: 【問題】公差が負でない等差数列 {a_n} に対して
　Σ[k=2 to n] ≦ (n-1)(a_1*a_n+a_2*a_{n+1})/(2*a_1*a_2*a_n*a_{n+1})
146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/01 20:07:02 ]: 目指せ最下層
147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/02 10:22:11 ]: >144
　(略証) a,b,c≧0 とし、a^2b +b^2c +c^2a = Ｆ(a,b,c) とおく。
　a≧b,c のときＦ(a+c/2, b+c/2) - Ｆ(a,b,c) = (a-b)bc +ac(a-c)/2 +b(c^2)/4 +(c^3)/8 >0.
　∴ F(a,b,c) ≦ F(a+c/2, b+c/2, 0).
　相加相乗平均より
　Ｆ(a ',b ',0) = (a ')^2･b ' ≦ (1/2){(a '+a '+2b ')/3}^3 = (1/2){2(a '+b ')/3}^3
　= (1/2){2(a+b+c)/3}^3 = (4/27)(a+b+c)^3.

[1999 CanMO 31st] Problem 5
www.kalva.demon.co.uk/canada/can99.html

>145
【問題】 a_k≠0 の等差数列 {a_n} に対して
　Σ[k=2 to n] 1/(a_{k+1}･a_{k-1}) = (n-1)[1/(2*a_1*a_n) +1/(2*a_2*a_{n+1})].
(略証)
　公差 d=0 のときは a_k=a_1≠0 より成立つ。
　公差 d≠0 のとき 1/(a_{k-1}･a_{k+1}) = [1/a_{k-1} -1/a_{k+1}]/(2d)
　(左辺) = [1/a_1 +1/a_2 -1/a_n -1/a_{n+1}]/(2d) = [1/a_1 -1/a_n]/(2d) +[1/a_2 -1/a_{n+1}]/(2d)
　= (n-1)[1/(2a_1･a_n) +1/(2a_2･a_{n+1})].

>146
現在 703位
　最下層 715位
148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/02 10:41:54 ]: >145
【147系】 a_1･a_{n+1} >0 の等差数列 {a_n} に対して、
　Σ[k=2 to n] 1/(a_k)^2 ≦ (n-1) {1/(2*a_1*a_n) +1/(2*a_2*a_{n+1})}.

　∵ 0 < a_{k-1}a_{k+1} = (a_k -d)(a_k +d) = (a_k)^2 - d^2 ≦ (a_k)^2 だから.
149 名前：最下層！ mailto:sage [05/03/02 14:06:14 ]: >146
718中 718位でつ。
150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/02 14:49:20 ]: >>143の類題
a+b+c=1 をみたす非負実数 a, b, c と自然数 m に対して、次式を示せ。
　(a^m)b + (b^m)c + (c^m)a ≦ (m^m)/[(m+1)^(m+1)]
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　　最下層記念パピコ問題
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/02 14:51:17 ]: 世俗と隔離された世界で、不等式に (´д｀；)ﾊｧﾊｧする。
なんてキティガ…、素敵なんだろう…

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/02 15:52:57 ]: >>150
書き忘れたけど、m≧2 なりよ。
153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/02 21:05:25 ]: 　　┃ ぬるぽ製薬～♪
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www6.big.or.jp/~beyond/bbsnews/proxy/erobbs/1103073240/113
154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/02 21:21:42 ]: >>149
あげるな
155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/02 21:50:28 ]: 【問題】 -1 < a, b, c < 1 かつ a+b+c = -1/2 のとき、
　3/[6^(12)] ≦ a^(12) + b^(12) + c^(12) ≦ 2+ (1/2)^(12)
www.math.ust.hk/excalibur/v5_n5.pdf Page.2, Ex.3

最小値は Jensen から、最大値は majorization すげぇ～！
ところで majorization 知らない場合の最大値の求め方をたのも～。

>153-154
荒らさないで下さ(=ﾟωﾟ)ﾉぃょぅ
156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/02 22:14:06 ]: 最下層にするために他のスレを上げる荒らし
157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/02 22:24:22 ]: 専用ブラウザ使っているから、
最下層とか関係なかったりします
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
158 名前：１３２人目の素数さん [05/03/02 22:28:09 ]: age荒らしの住処はここか
159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/03 15:01:27 ]: 　　　　　　　　　＝≡＝
　　　　　　　　　／
　　　　　　　　〆　　　　　　　　　. .∈≡∋
　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコノ　　 ||
　　　　　　　　　||　.｜　　　|:::|　..〓　 .||
　　　　　　　 .／|＼人＿.ノノ _||_.　／|＼

　　　　　　　　　 ∧＿∧
　　　　　　　　　（　・∀・）　>155 まだぁ～
　　　　　　　　　（　∪ ∪
　　　　　　　　　と＿_）__）　旦
160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/04 10:04:58 ]: >155
　nは正の偶数とするとき、連続函数 f(x)=x^n は[-1,1]で下に凸(convex)である。
　∴ f(x) + f(k-x) も下に凸なので、端で最大となる。

ここで 1≧a≧b≧c≧-1 としても一般性を失わない。
3c≦a+b+c≦3a より -1≦c≦-1/6, -1/6≦a≦1
　∴ -7/6 ≦ a+c ≦ 1/2.
(i) 0 ≦ a+c ≦ 1/2 のとき -1≦b≦-1/2.
　f(a) +f(b) +f(c) ≦ f(1) +f(b) +f(a+c-1) = 1 +f(b) +f(-b-3/2)
　≦ 1 +f(-1/2) +f(-1) = 2 +(1/2)^n
(ii) -7/6 ≦ a+c≦0 のとき -1/2 ≦ b ≦ 2/3.
f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(a+c+1) +f(b) +f(-1) = f(-b+1/2) +f(b) +1
　≦ f(1) +f(-1/2) +1 = 2 +(1/2)^n.

[1997 Chinese M.O.]
161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/04 16:58:54 ]: >>160
うひょっ、ありがとうございます。
f(c) を f(a+c-1) に置き換えたところが分からないのですが…

> (i) 0 ≦ a+c ≦ 1/2 のとき -1≦b≦-1/2.
> 　f(a) +f(b) +f(c) ≦ f(1) +f(b) +f(a+c-1) = …

nが奇数のときの最大最小も出ますか？
曲線上の(1,1)における接線や、
(-1,-1)における接線で挟むのかなと思うんだけど…
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
162 名前：160 mailto:sage [05/03/04 17:44:07 ]: >161
1>a>c>c-(1-a), f(x) は下に凸だから
　f(a) ≦ {(1-c)f(1) + (1-a)f(c-(1-a))}/(2-a-c)
　f(c) ≦ {(1-a)f(1) + (1-c)f(c-(1-a))}/(2-a-c)
辺々たして
　f(a) + f(c) ≦ f(1) + f(c-(1-a))
　内側の和 ≦ 外側の和
163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/05 08:54:32 ]: >>162
なるほど。
ありがとうございます。
自分では思いつかないなぁ…
164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/05 20:21:00 ]: 正の数 a, b, c, d に対して
a/sqrt[3]{a^3+63bcd} ≧ (a^p)/(a^p+b^p+c^p+d^p)
をみたす p が 21/16 ってのは、どうやれば出てきますか？
165 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/03/06 07:00:00 ]: ｂ＝ｃ＝ｄ＝ａｓとすると１＋３ｓ＾ｐ≧（１＋６３ｓ＾３）＾（１／３）。
ｆ（ｓ）＝１＋３ｓ＾ｐ－（１＋６３ｓ＾３）＾（１／３）とすると
０≦ｆ（ｓ），ｆ（１）＝０なので
（ｄｆ／ｄｓ）（１）＝３ｐ－６３／１６＝０からｐ＝２１／１６。

ｐ＝２１／１６のとき
　（１＋３ｗ＾（ｐ／３））＾３
＝１＋９ｗ＾（ｐ／３）＋２７ｗ＾（２ｐ／３）＋２７ｗ＾ｐ
≧１＋６３（（ｗ＾（３ｐ））（ｗ＾（１８ｐ））（ｗ＾（２７ｐ）））＾（１／６３）
＝１＋６３（ｗ＾（４８ｐ））＾（１／６３）
＝１＋６３ｗ＾ｐ。
　（ａ＾ｐ＋ｂ＾ｐ＋ｃ＾ｐ＋ｄ＾ｐ）／ａ＾ｐ
＝１＋（ｂ／ａ）＾ｐ＋（ｃ／ａ）＾ｐ＋（ｄ／ａ）＾ｐ
≧１＋３（ｂｃｄ／ａ＾３）＾（ｐ／３）
≧（１＋６３ｂｃｄ／ａ＾３）＾（１／３）
＝（ａ＾３＋６３ｂｃｄ）＾（１／３）／ａ。
166 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/03/06 07:10:01 ]: >>165
＞＝１＋６３ｗ＾ｐ。
＝１＋６３ｗ。
167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/06 10:38:44 ]: >>165
ｂ＝ｃ＝ｄ＝ａｓとおいても一般性を失わないの？
168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/06 11:33:22 ]: >>167 上が必要条件で、下が十分条件だろが。
169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/07 09:04:12 ]: >164
(n+1)文字の場合は
a/{a^n +N(b_1…b_n)}^(1/n) ≧ (a^p)/(a^p + b_1^p + … + b_n^p),　N=(n+1)^n -1

1/(左辺)^n = 1 + N(b_1…b_n)/(a^n) = 1 + N(G/a)^n, G=(b_1…b_n)^(1/n).
1/(右辺) = 1 +(b_1/a)^p + … +(b_n/a)^p ≧ 1 + n(G/a)^p ≡ 1 + nX.
1/(右辺)^n ≧ (1+nX)^n = 1 + Σ[j=1,n]Ｃ[n,j]n^j X^j ≧ 1 + NX^r　=1 + N(G/a)^(pr) ← 相加相乗平均
ここに、r = (1/N)Σ(Xの指数) = (1/N)Σ[j=1,n]jＣ[n,j]n^j = (n/N)Σ[j=1,n]Ｃ[n-1,j-1]n^j
　= (n^2 /N) Σ[j'=0,n-1]Ｃ[n-1,j']n^j' = n^2･(n+1)^(n-1) /N
両辺を見比べて、p = n/r = N/{n･(n+1)^(n-1)}.

(例) n=3 のとき N=63, r=16/7, p=21/16.

>165 の後半
w=bcd らしい。
170 名前：160 mailto:sage [05/03/07 09:15:01 ]: 【155の拡張】 -1 < a,b,c < 1 かつ a+b+c =-1/2 のとき、
　3f(-1/6) ≦ f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(1)+f(-1/2)+f(-1).
　ただし f(x)は (-1,1) で下に凸とする。
171 名前：169 mailto:sage [05/03/07 09:40:03 ]: >164
n=1, 2, 3, 4, 5 のとき p=1, 4/3, 21/(4^2), 156/(5^3), 1555/(6^4). n が大きいとき p≒(n+1)/n.
172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/07 11:49:53 ]: ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
165さん、169さん乙です。
印刷して今から解読します。

これで、cyclic に廻して、 Σa/{a^n +N(b_1…b_n)}^(1/n) ≧ 1 が得られました。
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/07 13:09:42 ]: >>172
文字が違った。こうか…

Σ(a_1)/{(a_1)^n +N(a_2…a_n)}^(1/n) ≧ 1
174 名前：169 mailto:sage [05/03/07 16:30:21 ]: >172-173
n=2 の例は↓をﾄﾞｿﾞｰ。　たしかに p=4/3 となってゐた。

IMO-2001 (USA) Problem 2
imo.wolfram.com/problemset/index.html
[前スレ.143,149,157]
175 名前：172 mailto:sage [05/03/07 18:28:43 ]: 解読完了。
相加相乗の使い方がうまいですね >>169
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>174
ｸﾞｼﾞｮｰﾌﾞ！
176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/08 13:44:09 ]: 正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
　(1+a)(1+b)(1+c) ≧ 8(1-a)(1-b)(1-c)
177 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [05/03/08 18:07:16 ]: Re:>176
9abc-7(ab+ac+bc)+9(a+b+c)-7にc=1-a-bを代入した式
f(a,b)=-9a^2b-9ab^2+7a^2+16ab+7b^2-7a-7b+2が0<a,0<b,a+b<1の範囲で0以上になることを示す。
bを固定するごとに、0<a<1-bの範囲での挙動を調べる。
∂_af(a,b)=(14-18b)a-9b^2+16b-7となる。
b<7/9のとき、a=(9b-7)(b-1)/(14-18b)で極小となる。
以下略(もうめんどくさい。)
178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/08 18:57:53 ]: >176
(解1)
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　(左辺) - (右辺) = (1+s+t+u) -8(1-s+t-u) = -7 +9s -7t +9u
　= (s^3 -4st+9u) + (s^2 -3t) + (s-1)(4t -s^2 -2s+7) ≧0.　（←s=1）
(解2)
　f(x) = Ln{(1+x)/(1-x)} = Ln(1+x) - Ln(1-x) とおくと
　f '(x) = 1/(1+x) +1/(1-x) = 2/(1-x^2) は(0,1)で単調増加，　f(x)は(0,1)で下に凸.
　∴ Jensen により f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3).
　∴ (1+a)(1+b)(1+c)/[(1-a)(1-b)(1-c)] ≧ [(1 +1/3)/(1 -1/3)]^3 = 2^3 =8.
ぬるぽ
179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/08 22:47:41 ]: >>176-177
改造したくなるのが、不等式ヲタの習性！ｵﾗｵﾗｵﾗ！

正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
　64/27 ≧ (1+a)(1+b)(1+c) ≧ (1-a^2)^2+(1-b^2)^2+(1-c^2)^2 ≧ 8(1-a)(1-b)(1-c) ≧ 64abc

　　　　　／/
　　　　／　/＿＿
　　　 / 　／　 ≧ ＼　　ﾊﾟｶｯ！
　　　/.∩|::::　＼ .／ |
　　 /　| ||::::(●　(●.|_　　あ、不等式ヲタインしたお！
　　/／| |ヽ::::....ワ....ノ／
　　"￣￣￣￣￣￣"
180 名前：179 mailto:sage [05/03/08 23:09:29 ]: リンク先間違った。 >>176-178です。
３つレスがあるのに気づかなかった。
181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/08 23:15:40 ]: ﾌﾟｯ。。。
みんなにアボーンされてるんだなｋｉｎｇ
182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/09 13:46:43 ]: >177
落書きはチラシの裏に書け。
183 名前：178 mailto:sage [05/03/09 17:56:34 ]: >179
　改造されたんぢゃぁ仕方ねぇ。。。
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。等号成立は a=b=c.
左側から
　相加相乗平均より (1 +s/3)^3 ≧ (1+a)(1+b)(1+c).

　(1+a)(1+b)(1+c) - {(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2}
　= (1+s+t+u) -3 +2t +2(s^2 -3t) -{s(s^3 -4st +9u) +2t^2 -5su}
　= t(s^2 -3t) + (t^2-3su) + (1-s){(s^3 -4st +9u) +(st-9u)+u +(s^2-3t) -s-2} ≧ 0.

　{(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2} -8(1-a)(1-b)(1-c)
　= 3 -2(s^2 -3t) -2t +{s(s^3 -4st +9u) + 2(t^2 -3su) +su} -8(1-s+t-u)
　= (s+1/s)(s^3 -4st +9u) + 2(t^2 -3su) +(1-s){-(9+s)u/s -5 +3s} ≧ 0.

　相加相乗平均より (1-a)(1-b)(1-c) = (b+c)(c+a)(a+b) ≧ {2√(bc)}{2√(ca)}{2√(ab)} = 8abc.
ぬるぽ

---------------------------------------------------------------
(注)　a^2 +b^2 +c^2 = (s^2 -3t) +t.
　a^4 +b^4 +c^4 = (s^2 -2t)^2 -2(t^2 -2su) = s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su.
　(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2 = 3-2t -2(s^2 -3t) + {s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su}.

(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2 = 3 -2(a^2 +b^2 +c^2) +(a^4 +b^4 +c^4)
= 3 - 2(s^2 -3t) -2t + {s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su}.
184 名前：67 mailto:sage [05/03/09 20:13:34 ]: >>127 [2]
　x+y=s, (x-y)/s =z とおくと、x=(1+z)s/2, y=(1-z)s/2,
(i) p≧2 のとき、 [>>67] により　
　x^p +y^p = (x^2)^(p/2) + (y^2)^(p/2) ≧ (x^2 +y^2)^(p/2) =(1/2){s^2 + |x-y|^2}^(p/2).
　与式より、 4 ≧ 4^(2/p) ≧ s^2 + |x-y|^2.
　∴ |x-y|^2 ≦ 4-s^2,　C(p)=1.

(ii) 1<p≦2 のとき(補題)より,
　p>1 より 2(s/2)^p ≦ x^p +y^p =2 より s/2 ≦ 1.
　x^p +y^p = {(1+z)^p +(1-z)^p}(s/2)^p ≧ {2 + p(p-1)z^2}(s/2)^2
　≡ {2 + [2/C(p)]z^2}(s/2)^2 = (1/2){s^2 +[1/C(p)]･|x-y|^2}.
　与式より、 4 ≧ s^2 + [1/C(p)]･|x-y|^2.
　∴ |x-y|^2 ≦ C(p)(4-s^2),　C(p)= 2/[p(p-1)].
ぬるぽ

【補題】
　　1<p≦2 or 3≦p かつ -1<z<1 のとき、(1+z)^p + (1-z)^p -p(p-1)z^2 ≧ 2.
(略証)
　f(z) = (1+z)^p とおくと、f "(z) = p(p-1)(1+z)^(p-2) は下に凸ゆえ
　∴ f "(z) + f "(-z) - 2f "(0) ≧0.
　F(z) = f(z) + f(-z) - f "(0)z^2 も下に凸ゆえ
　{F(z)+F(-z)}/2 ≧ F(0) = 2f(0)　(終).
185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/09 21:43:08 ]: 不等式ヲタの連中からしたらkingのは鮮やかじゃないってこと？

ぬるぽ神は見ていて思いつきそうにない鮮やかな解答を書いてますな
186 名前：184 mailto:sage [05/03/10 07:42:30 ]: >>127 [2]
　松ヶ枝ますた。[67]は使えそうにないので修正
(i) p≧2 のとき、 z^(p/2)は下に凸より、
　x^p +y^p = (x^2)^(p/2) + (y^2)^(p/2) ≧ 2{(x^2 +y^2)/2}^(p/2) =2{(s^2 + |x-y|^2)/4}^(p/2).
　与式より、 4 ≧ s^2 + |x-y|^2.
　∴ |x-y|^2 ≦ 4-s^2,　C(p)=1.

>185
　( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/10 15:24:35 ]: >185
条件式を使って文字を減らして微分って楽しくないよね？
このスレでは楽しい解法を追求しているんじゃないの？
188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/12 02:14:23 ]: 【問題】 0 < x ≦ π/2 において、(sin x)^3 / x^3 ≧ cos x を示せ。

級数展開して、大雑把に比較すれば出そうですが、
高校レベルではできませんか？
189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/12 11:27:32 ]: >>127 [2]
[184] (ii)の改良
　x^p + y^p = {(1+z)^p +(1-z)^p}(s/2)^p ≧ {2 + p(p-1)z^2}(s/2)^p
　　　= 2{s^2+(p/2)(p-1)|x-y|^2} / {4(s/2)^(2-p)}
　　　≧ 2{s^2+(p/2)(p-1)|x-y|^2} / {s^2 +(p/2)(4-s^2)}.
　与式より、s^2 + (p/2)(4-s^2) ≧ s^2 + (p/2)(p-1)|x-y|^2.
　∴ |x-y|^2 ≦ {1/(p-1)}(4-s^2),　C(p)=1/(p-1).
ぬるぽ

【補題１】
　　1<p≦2 かつ -1<z<1 のとき、(1+z)^p + (1-z)^p -p(p-1)z^2 ≧ 2.
【補題２】
　　0<p≦2 かつ s≧0 のとき、4(s/2)^(2-p) ≦ 2{p + (2-p)(s/2)^2} = s^2 +(p/2)(4-s^2).
　　(略証)　相加相乗でハｧハｧと...
190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/12 20:35:52 ]: >188
　f(x) = sin(x)/[cos(x)^(1/3)] とおくと、
　f(0) = 0.
　f '(x) = cos(x)/[cos(x)^(1/3)] +(1/3)[sin(x)^2]/[cos(x)^(4/3)]
　　= [cos(x)^2 + (1/3)sin(x)^2]/[cos(x)^(4/3)]
　　= [1 + 2cos(x)^2]/[3cos(x)^(4/3)] > 1.　　(← 補題)
∴ 0<x<π/2　⇒　f(x)>x　⇒　{sin(x)/x)}^3 > cos(x).
ぬるぽ

(補題）z≧0 のとき (1 +2z^3) - 3z^2 = (1+2z)(1-z)^2 ≧0.
191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/14 17:17:32 ]: >>190
㌧㌧㌧クス。ナットク。
192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/17 22:06:14 ]: >>130
> （１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ＾２））＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（ｃ＋Ｏ（ｒ））なので

ここが分からないのですが、詳しく教えて下さい。
193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/18 08:08:06 ]: >192
｜ｘ｜＜１のとき、Ｌｎ（１＋ｘ）＝－ｘ＋(1/2)ｘ^2 －Ｏ（ｘ^3）
ｘにｃｒ＋Ｏ（ｒ^2）を入れて、
Ｌｎ｛１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2）｝＝｛ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2）｝－(1/2)(ｃ^2)Ｏ（ｒ^2）＝ｃｒ＋Ｏ（ｒ＾2）.
∴　（１／ｒ）Ｌｎ｛１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2）｝＝ｃ＋Ｏ（ｒ）.
194 名前：193 mailto:sage [05/03/18 08:10:34 ]: 訂正、すまそ。
｜ｘ｜＜１のとき、Ｌｎ（１＋ｘ）＝ｘ－(1/2)ｘ^2 ＋Ｏ（ｘ^3）
195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/18 17:44:18 ]: >>193-194
ありがたうございます
196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/19 02:50:22 ]: （tanスレより）
618 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/08/29(金) 02:12

3･sinθ/(2+cosθ) ＜ θ ＜ tan(θ/3)＋2･sin(θ/3)
Snellius が発見し Huygens が証明したとされる。

たのも～
197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/19 05:15:45 ]: >196
左側: g(θ)=(2+cosθ)θ - 3sinθ とおくと、
g(0) = 0,
g '(θ) = 2(1-cosθ) -θ･sinθ = sinθ{2tan(θ/2)-θ} >0.
∴ θ>0 ⇒ g(θ)>0 ⇒ (左辺) <θ.

右側: [>>188] と相加相乗平均より
θ < 3･sin(θ/3)/[cos(θ/3)^(1/3)] = 3[tan(θ/3)･sin(θ/3)^2]^(1/3) < (右辺).
ぬるぽ
198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/19 11:20:41 ]: >>197
ありがとうごぜぇます。

狙ったわけでもないのに、>188が使えたとは…
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/19 17:50:45 ]: >197 (別法)
　左辺を L(θ), 右辺を R(θ) とすると、
　L(0) = 0 = R(0).
　L '(θ) = 3(1+2cosθ)/(2+cosθ)^2 = 1-{(1-cosθ)/(2+cosθ)}^2 < 1
　< (1+2z^3)/(3z^2) = (1/3)(1/z^2 +2z) = R '(θ), ここに z=cos(θ/3).
　∴ 0<θ<π ⇒ L(θ) < θ < R(θ).
変わり映えしない。。。
200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/20 19:06:17 ]: 前スレ
931 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：05/01/16(日) 15:49:05

　★の不等式　「t>0 ⇒ t^n ≧ nt-(n-1)」は次にもあるよ。
　微積分と一つの不等式「数学100の定理」日本評論社, p.89 (1983)

（問題）
　Ａ = {x(1)+x(2)+･･･+x(n)}/n,
　Ｇ = {x(1)x(2)････x(n)}^(1/n),
　Ｈ = n/{1/x(1) +1/x(2) + .... +1/x(n)} とおくとき
　Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
--------------------------------------------------------

この証明が20％くらいできないんですが…。
おねがいします
201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/20 21:30:38 ]: >200
【Sierpinskiの不等式】
　[>200]のとき、　Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
(略証)
　Ｆ ≡ Ａ^(n-1)･Ｈ/Ｇ^n とおき、Ｆ≧1 を示す。
　nに関する帰納法による。
　n=2 のときＡＨ=x(1)x(2)=Ｇ^2 だから等号成立、Ｆ=1.
　nに対して成り立つとする。x(n+1)=x ' とおくと n+1 に対しては
　Ａ' = (nＡ+ x ')/(n+1), Ｇ ' = (Ｇ^n･x ')^(1/(n+1)), Ｈ ' = Ｈ(n+1)x '/(Ｈ+nx ').
　Ｆ/Ｆ ' = {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}(Ｈ+nx ') = {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}{nＡ' -(n-1)Ａ -(Ａ-Ｈ)/(n+1)}
　≦ {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}{nＡ' -(n-1)Ａ} = {nt-(n-1)}/(t^n) ≦ 1, ここに t≡Ａ'/Ａ. (←★)
　∴ Ｆ '≧Ｆ≧…≧1.
　x(k) の代わりに 1/x(k) を考えれば、右側も示せる。(終)
ぬるぽ
202 名前：201 mailto:sage [05/03/20 21:37:43 ]: >200 (>201の補足)　

【補題】Ａ≧Ｈ.
　(略証) Ａ／Ｈ = (1/n^2){Σ[i=1,n] x(i)}{Σ[j=1,n] 1/x(j)}
　= 1 + (1/n^2)Σ[i<j] {x(i)/x(j) +x(j)/x(i) -2}
　= 1 + (1/n^2)Σ[i<j] {x(i)-x(j)}^2 /[x(i)x(j)] ≧ 1. (終)
203 名前：201 mailto:sage [05/03/20 22:05:10 ]: >200 (>201の補足)
【★】　t > -1 ⇒ t^n ≧ nt -(n-1).
(略証)
(i) t≧1のとき
　t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t^2 + t + 1 ≧ n.
　の両辺に t-1 をかければ t^n - 1 ≧ nt - n が得られる。
(ii) -1＜t＜1のとき
　1 + t + t^2 + ... + t^(n-2) + t^(n-1) ≦ n.
　の両辺に 1-t をかければ 1 - t^n ≦ n - nt が得られる。
いずれの場合も t^n ≧ nt-(n-1) が成り立つ。　(終)
204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/21 03:38:38(月) ]: >>201-203
ありがとうごぜぇます、お代官様。今から読みます。

もう一つ質問。
[前スレ903(3)] 0<x≦π/2 のとき、sin(sin(x))<tanh(x) の解答 [前スレ909] において

>　f(y)=arcsin(arcsin(y)), g(y)=arctanh(y)=(1/2)Ln{(1+y)/(1-y)} とおく。arcsin(y)>y より
>　f '(y) = 1/√{1-arcsin(y)^2}・1/√(1-y^2) > 1/(1-y^2) = g '(y).
>　これと f(0)=0=g(0) から 0<y≦sin(1) ⇒ f(y)>g(y).

f(y)=arcsin(arcsin(y)) の逆関数は sin(sin(x)) になるのですか？
205 名前：204 mailto:sage [2005/03/22(火) 02:38:00 ]: >>204
当たり前やわな。すまそ。
206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/23(水) 10:47:47 ]: >>31
なるほど、難しいですね。
証明を追いかけるので精一杯ですだ。
207 名前：31 mailto:sage [2005/03/23(水) 15:18:20 ]: >206
　元々の >1 を示す問題はそれ程でも無いんだが >>29-30
　欲張って ≧tan(α) まで出そうとするから大変なことに。。。
　（斜に構えればすぐ見えるかも）
>205
　どう致しまして。
208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/23(水) 21:25:56 ]: 【１】S(n)=Σ[k=1..n]1/k^2, A=π^2/6 とすると、
A{1-(6n+1)/(2n+1)^2}<S(n)<A{1-1/(2n+1)^2}

【２】∫[0..1] x/cos(x) dx < log2
209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/23(水) 21:54:03 ]: >>208 【２】
まず、x≧0 において cos x ≧ 1-(x^2)/2 を示す
f(x) = （左辺）-（右辺）とおいて、微分すれば（以下略）
したがって、
　∫[0..1] x/cos(x) dx <∫[0..1] x/{1-(x^2)/2} dx = log2

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/24(木) 10:27:09 ]: >208 【２】
　調子に乗って下限も出しますた…
　0<a<√2 とする。

〔補題〕 x≧0 のとき 1 -(x^2)/2 +(x^4)/24 ≧ cos(x) ≧ 1 -(x^2)/2.
(略証) cos(x)≦1 を2回積分すると -cos(x)≦(x^2)/2 -1, さらに2回積分すると cos(x)≦(x^4)/24 -(x^2)/2 +1. (終)

x/{1 -(x^2)/2 +(x^4)/24}
　= (√3)［ x/{3-√3 -(x^2)/2} -x/{3+√3 -(x^2)/2} ］< x/cos(x) < x/{1-(x^2)/2}.
∴　(√3)［ log{(3+√3 -(x^2)/2)/(3-√3 -(x^2)/2)} ］ < ∫ x/cos(x) dx < ［ -log{1-(x^2)/2} ］.
∴　(√3)［ log{(3+√3 -(a^2)/2)/(3-√3 -(a^2)/2)} -log{(3+√3)/(3-√3)} ］ < ∫_[0..a] x/cos(x) dx < -log{1-(a^2)/2}.

a=1 のとき
　(√3) [ log{(2.5+√3)/(2.5-√3)} - log{(3+√3)/(3-√3)} ] < ∫_[0..1] x/cos(x) dx < log(2).
　0.67508500 < 0.675535 < 0.69314718.

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/24(木) 10:53:46 ]: >>210
Σ(ﾟДﾟｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
212 名前：31 mailto:sage [2005/03/24(木) 11:50:50 ]: >206
　[>31] はハｧハｧして書いたので難解。。。
　改良版 [>>43,>>54] の方が分かり易いと思われ。
213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/24(木) 12:29:33 ]: >>208
(1)　0<x<π/2において　sin(x)<x<tan(x)　となる。各辺の逆数を取って二乗すれば
cot^2(x)<1/x^2<cosec^2(x)　が得られる。これから
cot^2(kπ/(2n+1))<1/(kπ/(2n+1)^2<cosec^2((kπ/(2n+1))　(k=1,･･･,n)が成り立つ。
k=1,…,nとして和を取れば
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<Σ[k=1,n]cosec^2((kπ/(2n+1))　

1+cot^2(kπ/(2n+1))=cosec^2((kπ/(2n+1))　であるので
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))の値を求めると、
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))=n(2n-1)/3　となる。(計算略)
よって
n(2n-1)/3<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<2n(n+1)/3
が得られるので、これを適当に変形すれば
A{1-(6n+1)/(2n+1)^2}<Σ[k=1,n]1/k^2<A{1-1/(2n+1)^2}
が得られる。
214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/24(木) 19:00:21 ]: >>208
(1) 別解（三角函数を使わない）

〔補題〕 A - 1/(n+1/2) < S(n) < A - 1/(n+1),　ここに A=(π^2)/6.
　S(n) = 1 + Σ[k=2..n) 1/(k^2) ≦ 1 + Σ[k=2..n] 1/(k^2 -1/4)
　= 1 + Σ[k=2..n] {1/(k -1/2) -1/(k +1/2)} = 1 + 2/3 - 2/(2n+1) ≦ 5/3 (上界).
　有界単調列は収束するから、その極限をζ(2) =A とおく。
　S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) < A - Σ[k>n] 1/{k(k+1)} = A - Σ[k>n] {1/k -1/(k+1)} = A - 1/(n+1).
　S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) > A - Σ[k>n] 1/(k^2 -1/4)
　= A - Σ[k>n] {1/(k -1/2) -1/(k +1/2)} = A - 1/(n +1/2).　(終)

　A -B(6n+1)/(2n+1)^2 < S(n) < A -C/(2n+1)^2 とおくと、(補題)から
　B=6/7<A, C=9/2>A.
ぬるぽ
215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/24(木) 21:37:15 ]: >>208-210 【２】
さらに調子に乗って、簡単な不等式を作りました。華麗に証明してね。
　log2 < ∫[0, π/3] x/cos(x) dx < 1

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/24(木) 21:41:35 ]: >>208-215
よくみると、それぞれに答案の書き方に違いがあるけど
いったい何人くらい不等式ヲタが生息しているのですか？
217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/24(木) 22:03:28 ]: >>216
不等式ヲタは群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは１人２人じゃなく、１ヲタ２ヲタと数えるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは三角関数や nCr でもﾊｧﾊｧしちゃうんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

不等式ヲタはデルタ宇宙域からやってきたよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは世界中のあらゆるところから不等式を鬼集してるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

不等式ヲタはちょっとキチガイ入っているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは他スレを荒らさないから安心してね ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタのレスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

不等式を見て興奮した君は、すでに不等式ヲタに同化されているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
今日から君も不等式ヲタだ ( ﾟ∀ﾟ)９ﾃﾍｯ
218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/24(木) 22:28:23 ]: >215
　作られちまったか。生姜ねぇなぁ。
　0<x<π/2　⇒　sin(x) < x < tan(x) を使うだけだが．．．
　∫ sin(x)/cos(x) dx < ∫ x/cos(x) dx < ∫ tan(x)/cos(x) dx.
　log|cos(x)| < ∫ x/cos(x) dx < 1/cos(x)　　〔積分定数はry)〕
[0,π/3] で定積分して、
　log(2) < (与式) < 2-1 =1.
ぬるぽ
219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/24(木) 23:05:14 ]: 非負実数 x, y, z に対して、次式を示せ。
(1) (x^x)*(y^y)*(z^z)*{(x+y+z)^(x+y+z)} ≦ {(x+y)^(x+y)}*{(y+z)^(y+z)}*{(z+x)^(z+x)}
(2) (x^(x^2))*(y^(y^2))*(z^(z^2))*{(x+y+z)^((x+y+z)^2)} ≧ {(x+y)^((x+y)^2)}*{(y+z)^((y+z)^2)}*{(z+x)^((z+x)^2)}
　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　ネタを仕入れてきました
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　存分にﾊｧﾊｧしてください
　　　　　人つゝ人,,　　　　　　　　　ﾃﾍｯ！
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/25(金) 19:09:01 ]: >>213
> Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))=n(2n-1)/3　となる。(計算略)

詳しくおねがいします（：D）|￣|＿
221 名前：220 mailto:sage [2005/03/25(金) 20:27:27 ]: tanスレ読んで理解したからいいです。すまそ。
222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/25(金) 20:55:55 ]: >220,221
　N=2n+1 とおく。
　w ≡ cot(kπ/N)^2 = {1+cos(2kπ/N)}/{1-cos(2kπ/N)} ≡ (1+z)/(1-z).
　z=cos(2kπ/N) は f(z)={T_N(z)-1}/(z-1)=0 の根だから、f((w-1)/(w+1))=0.
　両辺に (w+1)^(N-1) を掛けて、w^(N-2) の係数を求めたような稀ガスる。
　ここに T_N(z) は N次のチェビシェフ多項式

　functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cot/23/01/
　functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Csc/23/01/

>219 の参考に（Hlawkaの不等式）
　|x| + |y| + |z| + |x+y+z| ≧ |x+y| + |y+z| + |z+x|.
　www.seriousliving.net/new-315722-14.html
223 名前：214 mailto:sage [2005/03/26(土) 20:29:44 ]: [214]の改良
〔補題〕 A - 1/(n +1/2) < S(n) < A - 1/(n +9/16),　ここに A = Lim[n→∞) S(n).
　k≧2 より k^2 = (k -7/16)(k +9/16) -(1/8)(k - 63/32) < (k -7/16)(k +9/16).
　S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) < A - Σ[k>n] 1/{(k -7/16)(k +9/16)} = A - Σ[k>n] {1/(k -7/16) -1/(k +9/16)} = A - 1/(n +9/16).
　左側は [214] を参照.　(終)
224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/26(土) 23:23:24 ]: 二次導関数を持つ関数 f : R→R が任意の x に対し f(x) + f ''(x) ≧ 0 を満たすとき
f(x) + f(x+π) ≧ 0
225 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [2005/03/27(日) 12:27:36 ]: Re:>224
初めにf(x)+f''(x)=0のときf(x)+f(x+π)=0であることに注意しよう。
任意の実数xに対してf(x)+f''(x)≥0のとき、
実数aを任意にとり、g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),g(x)+g''(x)=0となるようなgを選ぶんでh(x)=f(x)-g(x)とおくと、
h(a)=h'(a)=0,任意のxに対してh(x)+h''(x)≥0となる。
a=0の場合だけ示して一般性を失わず、
結局任意のxに対してf(x)+f''(x)≥0で、f(0)=f'(0)=0のときf(π)≥0であることを示せばよいことがわかった。
g(x)=f(x)+f''(x)とおいて、f(x)=a(x)cos(x)+b(x)sin(x)とおくと、
(続きは誰かやってくれ。)
226 名前：１３２人目の素数さん [2005/03/27(日) 12:38:32 ]: (ܷܵܶ∀ܷܵܶ)
227 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2005/03/29(火) 08:00:00 ]: ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）をｘで偏微分してｙで偏微分して
ｚで偏微分したものをｈ（ｘ，ｙ，ｚ）とし
［ａ（０），ａ（１）］×［ｂ（０），ｂ（１）］×［ｃ（０），（１）］で
０≦ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）とする。
ｆ（ａ（ｉ），ｂ（ｊ），ｃ（ｋ））をＦ（ｉ，ｊ，ｋ）と略記すると
（ｐ，ｑ，ｒ）∈［ａ（０），ａ（１）］×［ｂ（０），ｂ（１）］×［ｃ（０），ｃ（１）］で
　Ｆ（１，１，１）－Ｆ（１，１，０）－Ｆ（１，０，１）＋Ｆ（１，０，０）
－Ｆ（０，１，１）＋Ｆ（０，１，０）＋Ｆ（０，０，１）－Ｆ（０，０，０）
＝（ａ（１）－ａ（０））（ｂ（１）－ｂ（０））（ｃ（１）－ｃ（０））ｈ（ｐ，ｑ，ｒ）
となる（ｐ，ｑ，ｒ）があるので
　Ｆ（１，１，１）＋Ｆ（１，０，０）＋Ｆ（０，１，０）＋Ｆ（０，０，１）
≧Ｆ（１，１，０）＋Ｆ（１，０，１）＋Ｆ（０，１，１）＋Ｆ（０，０，０）。

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｇ（ｘ＋ｙ＋ｚ）のときｈ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｄ＾３ｇ（ｘ＋ｙ＋ｚ）。

ｇ（ｗ）＝ｗｌｏｇ（ｗ）のときＤ＾３ｇ（ｗ）＝－１／ｗ＾２なので
　ｇ（ｘ＋ｙ＋ｚ）＋ｇ（ｘ）＋ｇ（ｙ）＋ｇ（ｚ）
≦ｇ（ｘ＋ｙ）＋ｇ（ｘ＋ｚ）＋ｇ（ｙ＋ｚ）＋ｇ（０）から
（ｘ＋ｙ＋ｚ）＾（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ＾ｘ）（ｙ＾ｙ）（ｚ＾ｚ）
≦（ｘ＋ｙ）＾（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｚ）＾（ｘ＋ｚ）（ｙ＋ｚ）＾（ｙ＋ｚ）。
228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/29(火) 12:00:38 ]: 【問題】
任意の正の数 a, b, c と自然数 n に対して、次式を華麗に証明せよ。
　a/(1+a^n) + b/(1+b^n) +c/(1+c^n) ≧ (a+b+c)/{1+(a+b+c)^n}

絶対値の問題で似たようなやつがあったね。
229 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [2005/03/29(火) 12:10:53 ]: Re:>228 a/(1+a^n)+b/(1+b^n)+c/(1+c^n)≥a/(1+(a+b+c)^n)+b/(1+(a+b+c)^n+c/(1+(a+b+c)^n),a>0,b>0,c>0,n≥0.
230 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [2005/03/29(火) 12:11:54 ]: Re:>228 a/(1+a^n)+b/(1+b^n)+c/(1+c^n)≥a/(1+(a+b+c)^n)+b/(1+(a+b+c)^n)+c/(1+(a+b+c)^n),a>0,b>0,c>0,n≥0.
231 名前：１３２人目の素数さん [2005/03/29(火) 12:16:28 ]: >>229
自然数に0を入れなければ

正数 a,b,c と自然数 n に対して、
　a/(1+a^n) + b/(1+b^n) + c/(1+c^n) ＞ (a+b+c)/(1+(a+b+c)^n)
ということですよね。
232 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [2005/03/29(火) 12:17:40 ]: Re:>231 そうだな。しかし、[>228]は何のつもりで書いたのだろう？
233 名前：ガスト [2005/03/29(火) 12:23:14 ]: >>230-231

正数 a_k (k=1,2,...,N) と非負整数 n に対して、
　Σ(a_k/(1+a_k^n)) ≧ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)
　等号はn＝0のときのみ
ということですね。
234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/29(火) 12:41:01 ]: nが負の整数だったら不等号はどうなりますかいの
235 名前：BlackLightOfStar ◆7ZwQJFEByU mailto:sage [2005/03/29(火) 12:46:49 ]: Re:>235 お前誰だよ？
236 名前： mailto:sage [2005/03/29(火) 12:49:44 ]: 　
237 名前：ガスト [2005/03/29(火) 12:58:17 ]: >>234
正数 a_k (k=1,2,...,N) について、

・非負整数 n に対して、
　　Σ(a_k/(1+a_k^n)) ≧ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)
　　等号はn＝0のときのみ
・負の整数 n に対して、
　Σ(a_k/(1+a_k^n)) ＜ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)

でつよね。
238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/29(火) 13:26:13 ]: >231,233,237
正数 a_k (k=1,2,…,N) について、

・0<n≦1 に対して、
　(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≧ Σ(a_k/(1+a_k^n)) > (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
　等号成立は a_k=(定数) のとき
・-1≦n<0 に対して、
　(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≦ Σ(a_k/(1+a_k^n)) < (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
　等号成立は a_k=(定数) のとき

でつよね。
239 名前：238 mailto:sage [2005/03/29(火) 18:10:42 ]: >231,233,237
0< a_k ≦1 (k=1,2,…,N) について、

・正の整数nに対して、
　(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≧ Σ(a_k/(1+a_k^n)) > (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
・負の整数nに対して、
　(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≦ Σ(a_k/(1+a_k^n)) < (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).

　等号成立は a_k=(定数) のとき

でつよね。
240 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [2005/03/29(火) 19:20:20 ]: Re:>235 いいからそのハンドルネームをやめろ。
241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/29(火) 22:27:04 ]: 　　　　∧__∧
　　　 (｀･ω･´)　荒らしはとっとと消え失せぇぃ！
　　　.ノ^　yヽ、
　　　ヽ,,ﾉ==l ﾉ
　　　　/ 　l |
"""~""""""~"""~"""~"
242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/29(火) 22:36:03 ]: ＮＧネームに登録されてる人は、真面目にレスするときは名無しで発言してくだちゃい。
いちいちＩＥで見るのはメンドウでつよね。
243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/30(水) 00:57:32 ]: >>219
(1)　x(x+y+z) < x(x+y+z) + yz = (x+y)(x+z)　をx乗する。そして循環的に掛ける。

(2)　例によって x+y+z=s とおく。
　（補題）の式に s^(xy) > (x+y)^(xy)　を掛けて、
　　z^(z^2)･s^(2xy+z^2) > [(x+z)(y+z)]^(z^2)･(x+y)^(2xy).
　これを循環的に掛ける。
ぬるぽ

【補題】z^(z^2)･s^(xy+z^2) > [(x+z)(y+z)]^(z^2)･(x+y)^(xy).
(略証)
　２項定理より、a>1, d>0 のとき (1+d)^a > 1+ad.
　　s^a =((x+y)+z)^a = (1+ z/(x+y))^a･(x+y)^a > (1+az/(x+y))･(x+y)^a = (x+y+az)･(x+y)^(a-1).
　ここで a=1 + xy/(z^2) とおくと
　　z･s^(1 +xy/(z^2)) > (x+z)(y+z)･(x+y)^(xy/(z^2)).
　これを z^2 乗する。(終)
244 名前：243 mailto:sage [2005/03/30(水) 08:43:27 ]: ↑の補足でつ。。。

【補題】a>1, d>-1 のとき (1+d)^a ≧ 1+ad.
(略証1)　f(v) = (1+v)^a とおくと f "(v)=a(a-1)(1+v)^(a-2) >0.
　　∴ f は下に凸､ (1+d)^a = f(d) ≧ f(0) + f '(0)d = 1+ad,
　　等号成立は d=0 のとき。
(略証2)　aが有理数のときは a=1+(n/m) (m,n は自然数)とおく。
　　1,…,1, 1+ad,…,1+ad (n個:m個)の相加相乗平均より、
　　1+d = {n+m(1+ad)}/(m+n) ≧ (1+ad)^{m/(m+n)} ≦ (1+ad)^(1/a),
　　これを a乗する。(終)
245 名前：243 mailto:sage [2005/03/31(木) 14:40:48 ]: 凸函数ヲタ向けの補足。。。

【補題】a>1, d>0 のとき (1+d)^a > 1+ad.
(略証3) log(1+v) は上に凸だから, Jensenより,
　a･log(1+d) > log(1+ad) + (a-1)log(1) = log(1+ad). (終)
246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [皇紀2665/04/01(金) 19:18:23 ]: 414 ：お願いします：皇紀2665/04/01(金) 18:34:24
a>0, b>0 のとき
　(a+1/a)^2 + (b+1/b)^2 ≧ 25/2 =12.5
を証明してくださいです。。。

さくらスレ１６１
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111594072/417
247 名前：246 mailto:sage [81/64/49/36/25/16/09/04/01(金) 20:07:44 ]: 415 ：４１４：皇紀2665/04/01(金) 18:38:11
a+b=4 という条件が抜けてました。
これが無けりゃ8になっちゃう。

さくらスレ１６１
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111594072/414-415
248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/02(土) 23:02:59 ]: >>208 【２】
又々さらに調子に乗って上限も改良しますた。消して鰈ぢゃねゑが。。。
　Ｉ ≡ ∫_[0..a] x/cos(x) dx.

〔補題〕x>0 で cos(x) > 1 -(1/2)x^2 +(1/24)x^4 -(1/720)x^6.
(略証) -cos(x) ≧ -1 を6回積分する。始点はx=0とする。(終)

　x^2=X とおくと右辺は 1 -(1/2)X +(1/24)X^2 -(1/720)X^3 ≡ f(X).
実根を ±r とすると、r = √R = 1.5699058251612… < π/2.
　〔∵ R = 10 + 2{5(3√14 -11)}^(1/3) - 2{5(3√14 +11)}^(1/3) ～ 2.4646 〕

　f(X) = (1 -X/R)g(X) とおける。　　　(← 因数定理)
　g(X) ≡ 1 - (1/2 -1/R)X + (R/720)X^2 = (R/720){Γ^2 + (Xo-X)^2} > 0.
　g '(X) = -(1/2 -1/R) + (R/360)X.
　ここに、Xo = (360/R)(1/2 -1/R) = 13.767697850062…, Γ = √(720/R -Xo^2) = 10.128506369060… とおいた。
　1/f を部分分数に分けて、
　1/f(X) = 2(b/R)/(1 -X/R) + [bg '(X) - b(3/R -1/2) + 1]/g(X),
　ここに、b = R/[6-2R+(1/12)R^2] = 1.562862462858….
　∴ Ｉ < ∫_[0..a] x/f(x^2) dx = (1/2)∫_[0..a^2] 1/f(X) dX
　　=［ -blog(1 -X/R) + (1/2)blog(g(X)) + [b(3/R -1/2)-1](360/RΓ)arctan{(Xo-X)/Γ} ］(X:0→a^2)
　　= -blog(1 -a^2/R) + (1/2)blog(g(a^2)) + 1.7441051997288…arctan{(Xo -a^2)/Γ}.

a=1 のとき
　0.675085000630… < I < 0.67554170686288… < 0.69314718055994…　〔 I≒0.675535 〕
249 名前：243-245 mailto:sage [2005/04/04(月) 02:07:43 ]: >>219 (1)の系
【系】正の実数 x,y,z に対して x+y+z=s とおくとき、
　C ≦ (s/√3)^(2s) < (x^x)(y^y)(z^z)(s^s) < {(x+y)^(x+y)}{(y+z)^(y+z)}{(z+x)^(z+x)} < (A_x)^x (A_y)^y (A_z)^z < s^(2s).
　ここに A_x=(s^2 +x^2)/2, A_y=(s^2 +y^2)/2, A_z=(s^2 +z^2)/2, C=exp{-2(√3)/e}.
(略証)　左から
　v･Log(v) ≧ -1/e より. (等号は s/√3 = v = 1/e のとき)
　Log は上に凸だからJensenより (x^x)(y^y)(z^z) = -x･Log(1/x) -y･Log(1/y) -z･Log(1/z) > -s･Log(3/s) = s･Log(s/3).
　xs = x(x+y+z) < (x+y)(x+z) < (s^2 +x^2)/2 = A_x < s^2 をx乗する。そして循環的に掛ける。(終)

ハｧハｧ…
250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/05(火) 00:43:36 ]: 幾何学的不等式への招待
www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/hutou1.htm

絵が描けないから、どうしても代数と解析に偏ってしまう...orz
251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/05(火) 10:19:52 ]: グッジョブ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/05(火) 21:13:45 ]: >>250 の入口

www.geocities.jp/ikuro_kotaro/index.htm
→ ■今月のコラム（閑話休題）→ 2002年のコラム → 12,13
253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/11(月) 21:04:54 ]: 一辺１の正方形ABCDの内部にP、Qをとる。このとき
13(PA＋QC)＋14PQ＋15(PB＋QD)＞38
って成り立ちますか？
254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/12(火) 17:46:48 ]: >253
成田つね。　(左辺) ≧ 2√(13^2 +14^2) = 2√365 = 38.2099463490856…

等号条件が複雑...
　cos(∠APQ) = cos(∠CQP) = -5/13,　sin(∠APQ)= sin(∠CQP)= 12/13,
　cos(∠BPQ) = cos(∠DQP) = -3/5,　sin(∠BPQ) = sin(∠CQP)= 4/5,
　cos(∠APB) = cos(∠CQD) = -33/65,　sin(∠APB) = sin(∠CQD) = 56/65.
　PA=QC≒0.595394711946…, PB=QD≒0.556137917752…, PQ≒0.215912368068…
255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/12(火) 19:49:32 ]: >>254
どうやったんでつか？
256 名前：254 mailto:sage [2005/04/13(水) 11:05:39 ]: >255
　Ｉ(P,Q) = 13(PA+QC) + 14PQ + 15(PB+QD) を P,Qで微分する。
　(grad_P)Ｉ = -13ｅ↑(PA) - 14ｅ↑(PQ) - 15ｅ↑(PB)
　点Pが△AQBの外部や辺上にあるとき、grad Ｉは△の方を向く。∴ Pが△AQBから遠い程Ｉは大きい。
　点Pが△AQBの外部や辺上にあるとき、Ｉは極小でない。
　(grad_Q)Ｉ = -13ｅ↑(QC) - 14ｅ↑(QP) - 15ｅ↑(QD) についても同様。
　極小位置では (grad_P)Ｉ = ０↑ だから、第二余弦定理より、
　cos(∠APQ) = cos(∠CQP) = -5/13,　 sin(∠APQ)= sin(∠CQP)= 12/13,
　cos(∠BPQ) = cos(∠DQP) = -3/5,　　sin(∠BPQ) = sin(∠CQP)= 4/5,
　cos(∠APB) = cos(∠CQD) = -33/65,　sin(∠APB) = sin(∠CQD) = 56/65,
　cos(∠BAP) = cos(∠DCQ) = 218/(13√365)， sin(∠BAP)= sin(∠DCQ) = 119/(13√365),
　cos(∠ABP) = cos(∠CDQ) = 82/(5√365),　　sin(∠ABP) = sin(∠CDQ) = 49/(5√365),
　PA = QC = 91/(8√365), PB = QD = 85/(8√365), PQ = 66/(8√365) (←死んでお詫びを･･･AA省略)
　∴ (左辺) = { 13(91+91) + 14･66 + 15(85+85) }/(8√365) = 2√365.
ぬるぽ
257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 11:54:48 ]: 一辺１の正方形ABCDの辺上に2点P、Qをとる。このとき
　13(PA + QC) + 14PQ + 15(PB + QD) ≧ 28 + 8√3　(=41.85640646055…)
って成り立ちますか？
258 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/13(水) 14:29:23 ]: ａ,ｂ,ｃが実数で、ａ^2＞ｂｃ,ａｃ＞ｂ^2ならばａ≠ｂであることを証明するには、どんな考え方をすればよろしいのでしょう？
259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 14:29:45 ]: ｻｹﾞ忘れ
260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 15:16:19 ]: >258
　0 < (a^2 -bc) + (ac-b^2) = (a-b)(a+b+c) ∴ a-b≠0 とか.
261 名前：BlackLightOfStar ◆mBZJN.ruEw [2005/04/13(水) 16:07:13 ]: あげ
262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 18:12:16 ]: >258 ↓で

ハイリホー♪
hobby5.2ch.net/test/read.cgi/knife/1108152339/8-11
that3.2ch.net/test/read.cgi/sepia/1066654353/38
www.yomiuri.co.jp/komachi/reader/200409/2004092600079.htm#0008
homepage2.nifty.com/-kasi-/200410.htm　のスパイシー10/26
263 名前：253=255 mailto:sage [2005/04/13(水) 22:57:02 ]: >>256
㌧クスですぬるぽ神。　
264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/14(木) 00:54:32 ]: 関数 f : R→R が任意のxに対して f(3x)=3f(x)-4f(x)^3 を満たし、
x=0 で連続のとき、 |f(x)|≦1
265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/14(木) 01:36:03 ]: >264
g(x) = 1-f(x)^2 とおく。
題意により、 g(3x) = g(x){4g(x)-3}^2 だから、g(x)≧0 ⇒ g(3x)≧0.
(略証)
　g(0)=1 より、あるε>0 があって、 |x|≦ε ⇒ g(x)>0.
　任意のx∈Rに対し、 n > Ln(x/ε) となる n(x)∈N が存在する。（←アルキメデスの原理）
　ところで、g(ε)>0 と上記により、|x| ≦ (e^ｎ)ε < (3^n)ε ⇒ g(x)≧0.
　∴ x∈R ⇒ g(x)≧0 ⇔ |f(x)|≦1.
266 名前：265 mailto:sage [2005/04/14(木) 01:48:32 ]: (訂正)
　f(3･0)=3f(0)-4f(0)^3 より f(0)^2 =0, 1/2　∴ g(0)=1, 1/2 ですた。
267 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/14(木) 02:10:17 ]: 「すべてのｘに対して、ａｘ^2－ｘ＋２ａ＞０」が偽であるようなａの値の範囲は、『－√2/４≦ａ≦√2/４』であってますか？
268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/14(木) 02:48:24 ]: 不等式だったら何でもここに書いていいわけじゃないぞ！
質問スレに逝け、クズ！
269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/14(木) 10:20:26 ]: >267 ↓のあたりに回答

さくらスレ１６２
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1113314531/38-39
270 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [2005/04/14(木) 13:31:15 ]: Re:>261 お前誰だよ？
271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/15(金) 20:45:24 ]: 連続関数 f : I=[0,1]→R が任意の x,y∈I に対して xf(y)+yf(x)≦1 を満たすとき
∫[0,1]f(x)dx≦π/4 を示し、等号が成立するような f を見つけよ。
272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/16(土) 17:33:01 ]: >271
　x=cosθ, y=sinθ とおき 0<θ<π/2 で積分する。等号成立は f(x)=√(1-x^2) のとき
273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/18(月) 12:07:27 ]: >272
　それならｆは↓を満たせば十分か？
(x,y)∈C に対して xf(y)+yf(x)≦1, ここに C={(x,y)|x>0, y>0, x^2+y^2=1}

　そうすると等号条件は↓になるか？
　 f(x) = p√(1-x^2) + q/{2√(1-x^2)} (ただしp+q=1)
274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/23(土) 05:29:47 ]: | a + b√2 + c√3 | < 10^(-11)
を満たす、すべては0でなく、いずれも絶対値が10^6未満の整数 a,b,c が
存在することを示せ。
275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/24(日) 01:13:42 ]: >274
A={0,1,2,……,m-1}, S={r+s√2+t√3 | r,s,t∈A} とおく。 #A=m.
r+s√2+t√3 の値はすべて相異なるから、#S=(#A)^3=m^3.
Sの任意の要素xは区間 [0,d]の中にある。 d≡(1+√2+√3)(m-1).
この区間を(#S-1)等分すると、Sのある2つの元が同じ小区間内に存在する。　←鳩ノ巣原理(ディリクレ)
小区間の幅は d/(#S-1) = (1+√2+√3)/(m^2 +m+1) < 4.1462643…/[m(m+1)].
0< |x-y| ≦ d/(#S-1) となるので、x-y, y-xが求めるものである。(終)

秋山＋富蘭:[完全攻略] 数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社(1991.11)
276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/25(月) 08:07:38 ]: >274 (補足)
> r+s√2+t√3 の値はすべて相異なるから、

【補題】{1,√2,√3}はQ上1次独立
(略証) r+s√2+t√3 = 0, r,s,t∈Qとする。
r,s,tのうちの2つが0なら残りも0.
st≠0 のとき √6 = {r^2 -2s^2 -3t^2}/(2st) ∈Q
s=0, t≠0 のとき √3 = -r/t ∈Q
s≠0, t=0 のとき √2 = -r/s ∈Q
いづれも矛盾なので、 s=t=0, r=0 (終)
277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 22:05:33 ]: 【問題】 \sqrt[3]{10} と \sqrt[3]{3/2}+1 の大小を華麗に評価せよ。
278 名前：ヒラメ mailto:sage [2005/04/27(水) 08:18:53 ]: 0<b<1 のとき y=x^b は上に凸ゆえ、2{(a+1)/2}^b > a^b +1. a=3/2, b=1/3 とおく。
279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/29(金) 09:30:10 ]: (1) f(x)を無限回微分可能な関数、f(-1)=f(1)=0とする。
|∫[-√3,√3]f(x)dx|≦A
を満たす定数Aの最小値を求めよ。

(2) 辺の長さが1の正方形の内部に n (>2) 個の点を取る。このとき、
これらに適当に P(1) , P(2) , ... , P(n) と名前を付けて、
Σ[k=1,n] |P(k-1)P(k)|^2 ≦ 4 とできることを示せ。　但し、P(0)=P(n)
280 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/04(水) 14:17:53 ]: >>279
|∫[-√3,√3]f(x)dx|
は幾らでも大きくなりうる
281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/10(火) 01:14:51 ]: いまさらこんな問題で俺様が釣ら…ｸﾏｰ
www.springer-tokyo.co.jp/contest/contest8.pdf
282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/11(水) 20:01:14 ]: >281
第８回シュプリンガー数学コンテスト
【問題】
　a,b,cを3角形の3辺の長さとする。このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
　3/2 ≦ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≦ 2.

　→詳しくは　www.springer-tokyo.co.jp/contest.html
283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/12(木) 08:21:11 ]: >281-282
いまさらこんな問題で俺様が釣ら…

[左側]（Shapiroの巡回不等式）.
　(ⅰ) 与式 = 2s{1/(b+c) +1/(c+a) +1/(a+b)} -3 として相加･調和平均.
　(ⅱ) f(x)=x/(2s-x) は下に凸. (0<x<2s=a+b+c)

[右側]
　三角不等式から (分母) ≧ (a+b+c)/2 =s.

クマー！
284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/14(土) 14:51:40 ]: >281-282

[定理]
　n≦13と正の数a_kに対して
　a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/2.

　[1] H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954).
　[2] mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html
　[3] ｢不等式への招待｣, 大関信雄･大関清太, 近代科学社 (1987.10), p.28-30

[類題]　[ASU 1969.14]
　正の数a_kに対して
　a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/3.

　[前スレ.497(2) & 501]
285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/14(土) 22:01:04 ]: 巡回不等式って、なんとなくエロくてたまらん。
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/17(火) 01:32:14 ]: (1) [Moldova Olympiads 2002]
3≧a≧b≧c≧0 のとき、
　 (a- b)/(a^2-9) + (a-c)/(b^2-9) + (b-c)/(c^2-9) ≦ 36

(2) a, b, c > 0、a+b+c=1 のとき、
　 1/(a+bc+3abc) + 1/(b+ca+3abc) +1/(c+ab+3abc) ≦ 1/(ab+bc+ca+abc)

(3) 0 ≦A, B, C, D ≦ π/2 のとき、
　 (2+sinA+sinB)/(2+sinB+sinC) + (2+sinC+sinD)/(2+sinD+sinA) ≦ 4(2+sinA+sinC)/(2+sinB+sinD)

ひさびさの不等式ヲタです ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/17(火) 01:33:12 ]: 　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　ネタを仕入れてきました
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　存分にﾊｧﾊｧしてください
　　　　　人つゝ人,,　　　　　　　　　ﾃﾍｯ！
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/18(水) 23:06:26 ]: >286 (2)
　基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。さらに st+3u=X とおく。
　(左辺) = 1/(a^2･s +X) +1/(b^2･s +X) +1/(c^2･s +X)
　= {(t^2 -2su)(s^2) +2(s^2 -2t)sX +3X^2}/{(s^3)(u^2) +(t^2 -2su)(s^2)X +(s^2 -2t)sX^2 +X^3}.
　(右辺) = ２/(st+u) と思われ...
　∴ 2s{(s^3)(u^2) +(t^2 -2su)(s^2)X +(s^2 -2t)sX^2 +X^3} - (st+u){(t^2 -2su)(s^2) +2(s^2 -2t)sX +3X^2}
　= …… = (u^2){4(s^3 -4st+9u) +(st-9u)} + 2(s^2)tu(s^2 -3t) ≧0.
　∴ (左辺) ≦ (右辺), 等号成立は a=b=c のとき。

ひさびさのハｧハｧです。

　(1) の左辺は分子が正、分母が負になる洋館
289 名前：286(1)の訂正 mailto:sage [2005/05/18(水) 23:50:55 ]: 条件を書き間違えていました。 0≦a≦b≦c≦3 でした。（切腹 AA略）
290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/19(木) 18:17:41 ]: >289
　286(1)は
　　(b-a)(9-a^2) + (c-a)(9-b^2) + (c-b)(9-c^2) < 36.
　を示す問題ぢゃない?
291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/19(木) 22:20:55 ]: 実は (1) はまだ解いてないから、右辺がいくらになるのか知らな…
292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/20(金) 09:58:09 ]: >290 (286(1)+289)
　左辺は, aについては単調減少, bについては b=b0=(c+a)/2 で極大.
　(左辺) = (c-a){18 -a^2 -b^2 -2b0(c-b)} = (c-a){18 -(3/4)(c-a)^2 -2ac -(b-b0)^2}
　= 18t -(3/4)t^3 - ⊿ = f(t) -⊿ = 24√2 - (3/4)(4√2 +t)(2√2 -t)^2 -⊿.
　ここに t=c-a≧0, ⊿=t{2ac+(b-b0)^2}≧0.
∴ (左辺) ≦ 24√2 < 34,
　等号成立は ⊿=0 より a=0, b=b0=(c+a)/2, c=a+2√2 のとき。

www.mathlinks.ro/Forum/topic-3673.html
www.artofproblemsolving.com/Forum/topic-3673.html
293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/20(金) 15:31:10 ]: >>292
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/21(土) 22:57:18 ]: 【Ｑ２】
　f(z) = z + Σ[k=2,∞) a_k･z^k は |z|<1で正則な一価函数としまつ。
　このとき |a_2|≦2, 等号成立は Koebe函数 z/(1-z)^2 のrotationに限る。
　を示してくださいです。

exp(-iθ)･f(exp(iθ)z) を f(z)のrotationとか言うらしい。

ヒント
【面積定理】
　g(z) = z + Σ[k=0,∞) b_k/z^k は |z|>1で正則な一価函数とする。このとき
　Σ[k=1,∞) k･|b_k|^2 ≦ 1.

mathworld.wolfram.com/BieberbachConjecture.html
L.Bieberbach: "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln."
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., p.940-955, (1916).
295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/21(土) 23:03:14 ]: 【Ｑ４】
　f(z) = z + Σ[k=2,∞) a_k･z^k は |z|<1で正則な一価函数としまつ。
　このとき |a_4|≦4, 　等号成立は Koebe函数 z/(1-z)^2 のrotation に限る。
　を示してくださいです。

ヒント
【面積定理の拡張】(Grunsky)
　g(z) = z + Σ[k=0,∞) b_k/z^k は |z|>1で正則な一価函数とし、
　Ln{[g(w)-g(z)]/(w-z)} = - ΣΣ[j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[(w^j)(z^k)] とおく。このとき
　|ΣΣ[j=1,N][k=1,N] γ_(j,k)･x_j･x_k| ≦ Σ[k=1,N] (1/k)|x_k|^2.

mathworld.wolfram.com/BieberbachConjecture.html
R.Garabedian and M.Schiffer: "A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient." J.Rational Mech.Anal.,４,p.427-465(1955)
L.de Branges: "A proof of the Bieberbach conjecture." Acta Math.,１５４, p.137-152, (1985).
296 名前：294 mailto:sage [2005/05/22(日) 20:02:26 ]: 〔294の補足〕
CをJordan閉曲線とする。Cの内部の面積Sはストークスの公式より
　S = ∬ 1 dxdy = ∮_C (xdy-ydx) = -(i/2)∮_C (x-iy)(dx+idy) = -(i/2)∮ z~･dz.　(z=x+iy)
また、∂{P'(z)･P(z)~}/∂z~ = P'(z)･P'(z)~ = |P'(z)|^2 より
　0 ≦ ∬_C |P'(z)|^2 dxdy = -(i/2)∮_C P'(z)･P(z)~･dz.

〔面積定理〕
円周C(r) = {z,| ∥z∥=r>1}とする。w=g(z) によるC(r)の像D(r)の面積は
S(r) = ∬_D 1･dudv = -(i/2)∮_D w~･dw = -(i/2)∮_C g(z)~･g'(z)･dz
これに g(z) = z + ∑[k=0,∞) b_k/(z^k) を代入し、円周C(r) = { z=r･exp(iθ) | 0<θ<2π} で積分すると、
S(r) = π{r^2 - ∑[k=1,∞) k･|b_k|^2 /r^(2k)}
よって r→1 として所期の不等式を得る。(終)
297 名前：295 mailto:sage [2005/05/22(日) 21:52:57 ]: 〔295の補足〕
〔面積定理の拡張〕(Grunsky)
　Ln{[g(ζ)-g(z)]/(ζ-z)} ≡ - ΣΣ[j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[(ζ^j)(z^k)]
は {|z|>1,|ζ|>1} で正則であり、γ_(j,k)=γ_(k,j). （Grunsky係数とか言うらしい.）
さて、これをζで微分することにより
　ζ･g'(ζ)/[g(ζ)-g(z)] = ζ/(ζ-z) + ∑∑[j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[j(ζ^j)(z^k)] ≡ ∑[j=1,∞) F_j(g(z))/ζ^j,
　を得る。ここに F_j(g(z)) = z^j + j∑[k=1,∞) γ_(j,k)/(z^k) はg(z)の多項式である。（j次のFaber多項式とか言うらしい.）
　F_1(w)=w-b_0, F_2(w)=(w-b_0)^2 -2b_1, …, F_j(w)=w^j + …
　N次の多項式P(w)を Faber多項式の一次結合に展開する。係数をλ_k として
　P(g(z)) = ∑[k=1,N] (1/k)λ_k･F_k(g(z)) = ∑[k=1,N] (1/k)λ_k･z^k + ∑[k=1,∞) β_j /z^j, β_j = ∑[k=1,N] γ_(k,j)･λ_k.
　0 ≦ ∬_D |P'(w)|^2 dudv = -(i/2)∮_D P'(w)･P(w)~･dw = π{∑[k=1,∞) (1/k)|λ_k|^2･r^(2k) - ∑[j=1,∞) j|β_j|^2 /r^(2j)} .
　よって r→1 として (左辺) = ∑[j=1,∞) j|β_j|^2 ≦ ∑[k=1,N] (1/k)|λ_k|^2 = (右辺) を得る。
　一方、シュワルツの不等式から (左辺)*(右辺) ≧ | ∑[j=1,N]β_j･λ_j |^2.
　∴ | ∑∑[j=1,N][k=1,N] γ_(j,k)･λ_j･λ_k | = | ∑[j=1,N] β_j･λ_j | ≦ (右辺).
　を得る。（Grunsky不等式とか言うらしい.）　(終)

(文献)
　小中澤: ｢函数論と不等式｣, 数理科学, ３３(8), 特集･現代の不等式, p.25-29 (1995.8)
　R.N.Pederson: "On unitary properties of Grunsky's matrix." Arch. Rational Mech. Anal.,２９, p.370-377, (1968).
298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/23(月) 00:28:34 ]: 〔294-295 のヒント〕
f(z) を |z|<1 で正則な一価函数とし、g(z) = 1/√f(1/z^2) と置きまつ。
　g(z) は |z|>1 で正則な一価函数となる（奇函数）。
　ﾛｰﾗﾝ係数の関係は、
　 b_1=-(1/2)a_2, b_3=(3/8)(a_2)^2 -(1/2)a_3, b_5=(3/4)a_2･a_3 -(5/16)(a_2)^3 -(1/2)a_4,
　　b_{2k} = 0.
　Grunsky係数は、
　　γ_(1,1) = b_1 = -(1/2)a_2,
　　γ_(1,3) = γ_(3,1) = b_3 =(3/8)(a_2)^2 -(1/2)a_3,
　　γ_(3,3) = (1/3)(b_1)^3 + b_1･b_3 + b_5 = -(13/24)(a_2)^3 + a_2･a_3 -(1/2)a_4.
　ついでに N=3, λ_1:λ_2:λ_3 = λ:0:1 と置くといいらしい。
299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/27(金) 11:00:46 ]: 三角函数スレにありますた。

【ネタ】　1994 Russian math. olympiad final round
　cos(cos(cos(cos(x)))) > sin(sin(sin(sin(x)))).

　|x| ≧ |sin(x)| ≧ |sin(sin(x))| ≧ …….
　|t|≦1 ⇒ 0 ≦ cos(t) -√(1-t^2) ≦ 2.
　0.0160822310385 = cos(cos(1)) -sin(1) ≦ cos(cos(sin(x))) -sin(sin(x)) ≦ cos(cos(1)) +sin(1) = 1.6990242006543
　0 ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) -cos(cos(sin(x))) ≦ cos(cos(cos(1))) -cos(1) = 0.11398748462964
　0.1095… ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) - sin(sin(sin(x))) ≦ cos(cos(1)) +sin(sin(1)) = 1.60317735751195
　0.16585… ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) - sin(sin(sin(sin(x)))) ≦ cos(cos(1)) +sin(sin(sin(1))) = 1.535983693207

　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/734-735
　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/879
300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/27(金) 19:34:49 ]: 三角函数スレにありますた。

【ネタ】 x>0 のとき
　sin(sin(sin(sin(x)))) < (1/2){tanh(x) +x/(1+x^2)} < sin(sin(tanh(x))) < tanh(tanh(x)) < (1/2){Arctan(x) +x/(1+x^2)} ≦ Arctan(tanh(x)) < π/4.

　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/880

　x>0 のとき sin(sin(x)) < tanh(x) < Arctan(x) < Min(x,π/2).
　　(左)　[前スレ.903](3) [前スレ.909]
　　(中) {tanh(x)} ' = 1/cosh(x)^2 = 1/{1+sinh(x)^2} < 1/(1+x^2) ={Arctan(x)} '.

>294
　[298]のようにおくと、b_1=-(1/2)a_2. 面積定理から |b_1|≦1. よって|a_2|≦2 (終)

300げとー.
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/27(金) 21:35:10 ]: しょぼいけど、３問

問 A.371
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200504&t=mat&l=en
問 387
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_may.pdf
問 3040
www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n4/PDF/v31n4syn.pdf
302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/27(金) 22:23:44 ]: 　　　　　　　ヽl ヽ　l/i ;;;0i｀　ヽ_ ! _,.=-､!ヽ l　　　 l　　　 l
　　　　　　　　　ﾒ　 l P''' l　　　　　 i ,;;0jヽ｀l　　　 l　　　 !　復刊したんですね
　　　　　　　　 / i　 ,' "''''ﾞﾞ　　　　　 jo''' l ｀ |　　　 l　　　 l　
　　　　　　　　i /i　'､ ' ' '　 ’　　　　"''''‐ﾞﾞ　l　　　 l　　　 l
　　　　　　　　 l　l　　＼　　｀ｰ　　' ' '　　　 i　　　 l　　　 !
　　　　　　　　ゝl　人 /｀　､ _ _,.　　　-‐''"l　　　 l　　　/
　　　　　　　　/｀ヽ/　 '　/ 　i　ﾉ　　　　　 /　　　/!　/／、
　　　　,============, l　　l -､　,.-‐‐　/ /　／ !／　　＼
　　　 '============' i　　/｀‐--,---'/／i／　　　　　　　ヽ
　　　 i 不等式入門 i. |　./　　○i　　ヽ　 /／　　　　　　　 i
　　　 l　　　　　　　　l. l /　　　　 l　　　＼.i/　　　　　　　　　|
　　く丶　.　　　　　　l. l'ゝ､　　○l　　　　/　　　　　　　　　 /
　　く丶j　/ヘ;;;;;　⊂ニ｀ヽ.　　 l　　　く __,.-‐つ　　　 _,.-j
　　く_`j　 ';=r=‐ﾘ｀--､　　ヽ ○l　　　　{_________________j-''
　　く__j 　ヽ二/　 `--､　　 j 　 l　　　　/　　　　　 /
　　　 L________________.｀-､_　　＼ l　　　 /　　　　　 /　www.morikita.co.jp/cgi-bin/kensaku-bunya2.cgi?id=1456
303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/28(土) 20:23:33 ]: ■ 数学ライブラリー教養篇　不等式入門　POD版

元慶應義塾大学教授　渡部隆一／著
A5判・162頁・定価2940円
ISBN4-627-01049-4 C3341 1969年2月発行

■目次　
算術平均と幾何平均
凸関数
累乗平均
コーシーの不等式
累乗和
ヘルダーの不等式
ミンコフスキーの不等式
積分に関する不等式
対称式に関する不等式

不等式は数学のほとんどあらゆる部門に現われ，その内容も証明方法もきわめて多種多様である.
しかも，ごく簡単な不等式でさえ，意外に証明のやりにくいものが多い．
本書は，不等式の中でも最も基本的で，かつ，有名な算術平均と幾何平均に関する不等式および，
その仲間と考えられるいくつかの初等的な不等式について解説した．
不等式には，その内容はもちろんであるが，その証明方法にきわめて興味深いものが多いので，
本書ではなるべく多くの証明法を紹介するように努めた．
304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/28(土) 20:57:19 ]: >301
問 387.
　a,b,c,d は実数で av-bu=1 のとき a^2 +u^2 +b^2 +v^2 + au+bv ≧ √3 を示せ.

　a^2 +b^2 =c, u^2 +v^2 =w とおく。
　(au+bv)^2 = cw - |av-bu|^2 = cw -1.
　(左辺) = c+w +(au+bv) = 2･√(cw) ±√(cw-1)
　↓の補題により、 (左辺) ≧ √3, 　等号成立は c=w=2/√3, au+bv=-1/√3, av-bu=1 のとき.
　　(例) a = -b/√3 = u = v/√3 = ±(1/2)√c.

【補題】 x≧1 のとき 2√x -√(x-1) ≧ √3.
(略証) y=√x は上に凸だから
　√(x-1) + √3 = √(x-1) + 3･√(1/3) ≦ 4･√(x/4) = 2√x, 等号成立は x=4/3 のとき.(終)
305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/30(月) 09:23:16 ]: π(n)をnを超えない素数の個数とする。

n^( π(2n)-π(n) ) ＜ 4^n

を示せ
306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/01(水) 11:16:15 ]: 【問題】実数値関数 f(x, y) = (x+2y+3)/(x^2 + 2y^2 + 3)
のとりうる値の範囲の求め方を、いろいろな方法でキボンヌ。
307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/01(水) 15:31:59 ]: >306
　とりあえず一つ。
　u=(x+2y)/√6, v=(y-x)√(2/3) のように直交変換すると
　f(x,y) = (u√6 +3)/(2u^2 +v^2 +3) ≡ g(u,v).
　v≠0 のとき |g(u,v)| < |g(u,0)| なので、g(u,0) を考えれば十分。
-(√2-1)/2=a, (√2+1)/2=b とおくと ab=-1.
　b(2u^2 +3) - (u√6 +3) = 2b(u +(a/2)√6)^2 ≧0 より g(u,0) ≦ b.
　 (u√6 +3) -a(2u^2 +3) = -2a(u +(b/2)√6)^2 ≧0 より g(u,0) ≧ a.
　∴ a ≦ g(u,0) ≦ b,
　等号成立は (u,v)=(-(b/2)√6, 0) 及び (-(a/2)√6, 0).
　∴ -0.20710678118655… = a ≦ f(x,y) ≦ b = 1.2071067811865…
308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/01(水) 21:59:16 ]: >>306
最大値を求めてみました。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

x+2y = z とおくと、
　 x^2 + 2y^2 = (z-2y)^2 + 2y^2 = 6(y- z/3)^2 + (z^2)/3
だから、 x = y = z/3 で最小値 (z^2)/3 をとるから、
　 f(x, y) = (z+3)/(x^2 +2y^2 +3) ≦ (z+3)/{(z^2)/3 +3} = 3(z+3)/(z^2 +9) … [1]
実数 z が変化するとき、[1] の右辺の最大値は、z+3 > 0 の場合を考えればよい。
　 3(z+3)/(z^2 + 9) = 3(z+3)/{(z+3)^2 -6(z+3) +18} = 3/{(z+3) +18/(z+3) -6} … [2]
z+3 > 0 より、相加平均・相乗平均の関係から、
　 (z+3) +18/(z+3) ≧ 2・\sqrt{(z+3)・18/(z+3)} = 6√2
が成り立つ。等号は z+3 = 18/(z+3) かつ z+3 > 0 より z = 3√2のとき。したがって
　 [2] ≦ 3/(6√2 -6) = (√2 +1)/2 … [3]
以上より、 f(x, y) ≦ (√2 +1)/2 である。
　等号成立条件は、 [1]、[3] の両方で等号が成り立つときで x = y = z/3 = √2 -1 のとき。
ゆえに、最大値は f(√2 -1, √2 -1) = (√2 +1)/2
309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/02(木) 08:54:54 ]: >301
問 A.371' 実数a,b,cについて a+b+c+1≧0, a+b≦c+1, b+c≦a+1, c+a≦b+1 が与えられている。次を示せ。
　a^2 +b^2 +c^2 ≦ 2abc +1.

(略証)　a+b+c+1=s, (a+1)-(b+c)=x, (b+1)-(c+a)=y, (c+1)-(a+b)=z とおくと
　1-c=(x+y)/2, 1+c=(z+s)/2.
　⊿ ≡ (2abc +1) - (a^2 +b^2 +c^2) = (1-c^2) - [(1-c)/2](a+b)^2 - [(1+c)/2](a-b)^2
　= [(1-c)/2]{(c+1)^2 -(a+b)^2} + [(1+c)/2]{(1-c)^2 -(a-b)^2}
　= [(1-c)/2](a+b+c+1)[c+1-(a+b)] + [(1+c)/2][b+1-(c+a)][a+1-(b+c)]
　= (1/4)(x+y)sz + (1/4)xy(z+s) = (xyz+xys+xzs+yzs)/4.
　∴ s,x,y,z≧0 ⇒ ⊿≧0.

　[307]と[308]の関係は: u√2 =(x+2y)/√3 = z/√3, v = (y-x)√(2/3) = (y- z/3)√6.

ハｧハｧ
310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/02(木) 11:39:09 ]: 問 366
　正の実数x,y,z, xyz=1 のと狐に次が成立つような最大の数r キボンヌ。
　(x^2 +y^2 +z^2 +xy+yz+zx)/(√x +√y +√z) ≧r.

　www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_feb.pdf
311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/02(木) 13:26:26 ]: しょぼいけど、２問

問 B.3821
　正の数a,b,cは正の数で a^2+b^2+c^2=1 とする。次の和の最小値キボンヌ
　S = ab/c + bc/a + ca/b.

問 B.3829
　a_1,a_2,……,a_n を正の数とせよ。次を示せ。
　Σ[k=1,n] (a_k)^2／(a_k +a_{k+1}) ≧ (1/2)(a_1 + a_2 +……+ a_n).
　a_{n+1} = a_1.

www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200504&t=mat&l=en
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200505&t=mat&l=en
312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/03(金) 10:42:15 ]: >301
問 3040
　左辺をF(a,b,c), 1/a-1/b=x, 1/b-1/c=y とおく。
　{a,b,c}を入れ替えたときF(a,b,c)が最大になるのは a<b<c の場合、を示す。
　F(a,b,c) - F(a,c,b) = (1+1/a)y,
　F(a,b,c) - F(c,b,a) = 2(2+1/b)(x+y),
　F(a,b,c) - F(b,a,c) = (3+1/c)x,
　F(a,b,c) - F(b,c,a) = (3+1/c)x + (1+1/b)(x+y),
　F(a,b,c) - F(c,a,b) = (3+1/b)(x+y) + (1+1/a)y.
　∴ {a,b,c}を入れ替えたときF(a,b,c)が最大になるのは x>0,y>0 のとき。
　∴ a<b<c としてよい。a≦2, b≦3, c≦4. F(a,b,c) は a,b,cについて単調減少だから、
　F(a,b,c) ≦ F(2,b,c) ≦ F(2,3,c) ≦ F(2,3,4) = (3/2)(7/3)(13/4) = 91/8.

( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ
313 名前：312 mailto:sage [2005/06/03(金) 10:47:37 ]: 問題は↓ですた。

問 3040
　3つの相異なる自然数 a,b,c>1 について次を示せ。
　　 (1+1/a)(2+1/b)(3+1/c) ≦ 91/8.
314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/03(金) 21:39:00 ]: 【abcd不等式(2)】 (saikorodeka)
　a,b,c,d≧0 かつ右辺の各因子≧0 のとき
　abcd ≧ (a+b+c-2d)(b+c+d-2a)(c+d+a-2b)(d+a+b-2c).

messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=175
315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/06(月) 07:49:56 ]: 21.
　a,b,c≧0 のとき (bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.

30. （USAMO 1977/5)
　0<p≦a,b,c,d,e≦q のとき
　(a+b+c+d+e)(1/a +1/b +1/c +1/d +1/e) ≦ 25 + 6(p/q +q/p -2).

　mathcircle.berkeley.edu/inequalities.ps
316 名前：風あざみ [2005/06/07(火) 00:18:44 ]: y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。
317 名前：風あざみ [2005/06/07(火) 01:01:14 ]: 誤爆スマソ
318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/07(火) 18:05:56 ]: このスレは無限に降下する...

【問題】
　u,v,x,y∈Ｚ, u^2+v^2=x^2, u^2-v^2=y^2 ⇒ v=0

さくらスレ１６６
　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117681200/383

証明は >>395-398 をご覧ください.

>>395で仮定した、x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
　x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること・・・※
の証明が知りたければ
　aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node25.html
をご覧ください。
319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/07(火) 21:41:11 ]: 395 ：風あざみ：2005/06/07(火) 00:18:26
>>383
x^2-y^2とx^2+y^2が共に平方数ならばx^2-y^2=ａ^2、x^2+y^2=ｂ^2
したがってｘ^4-ｙ^4=(ｘ^2+ｙ^2)(ｘ^2-ｙ^2)=(ab)^2
したがって、x^4-y^4は平方数である。

以下で、x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しないことをいいます。

証明には
x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること・・・※
を証明なして使います。

x^4-y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、xの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod　4で考えると、x_0が奇数でy_0が偶数と奇数の場合のみが起こりえます。

y_0が奇数のとき

({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)*({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)={(z_0)/2}^2
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2と{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2の公約数は
x_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)+({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)、y_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)-({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)
の公約数となるので、これは1以外にはありえない。
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2=u^2、{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2=v^2
とおくとu^4-v^4=(u^2+v^2)(u^2-v^2)={(x_0)(y_0)}^2
(x_0)^2＞u^2={(x_0)}^2+(y_0)^2}/2となってx_0の最小性に反する。
320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/07(火) 21:41:32 ]: 396 ：風あざみ：2005/06/07(火) 00:19:27
y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。
321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/07(火) 21:41:51 ]: 398 ：風あざみ：2005/06/07(火) 00:26:01
>>395-396より
x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しないから、x^2-y^2とx^2+y^2とも平方数ならば、y=0あるいはz=0でなければならない。
仮定よりy≠0だからz=0ゆえにx=y
したがって2x^2=b^2よってb/x=√2

よって、x^2-y^2とx^2+y^2とも平方数ならば、y=0でなければなりません。
したがって、√2が有理数となって不合理。
322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/08(水) 16:44:49 ]: >311

B.3821
　A=a^2, B=b^2, C=c^2 の基本対称式をA+B+C=s, AB+BC+CA=t, ABC=u とおく。
　t^2 -3su = (AB)^2 +(BC)^2 +(CA)^2 - (A+B+C)ABC = (1/2){A^2(B-C)^2 +B^2(C-A)^2 +C^2(A-B)^2} ≧0.
　t ≧ √(3su).
　与式 = (AB＋BC+CA)/√(ABC) = t/√u ≧ √(3s).

B.3829
　(a_k)^2 /(a_k +a_{k+1}) = (3/4)a_k -(1/4)a_{k+1} + ⊿_k ≧ (3/4)a_k -(1/4)a_{k+1}.
　これを循環的にたす。
　なお、⊿_k = (a_k -a_{k+1})^2 /[4(a_k +a_{k+1})] ≧ 0.
323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/08(水) 16:57:56 ]: >315
【21】a,b,c≧0 のとき
　(bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ (1/3)(a+b+c)^6 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.
(略証)　基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左側)
　s^2 -3t = (a+b+c)^2 -3(bc+ca+ab) = (1/2){(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2} ≧0.
　∴ t ≦ (1/3)s^2.
(右側)
　9(a^3 +b^3 +c^3) = 9{s(s^2 -3t) +3u} = 9s^3 -27st+27u = s^3 +8(s^3 -4st+9u) +5(st-9u).
　st-9u = (a+b+c)(bc+ca+ab)-9abc = a(b-c)^2 +b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧0.
　s^3 -4st+9u = a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a) +c(c-a)(c-b) = a(a-b)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) +c(b-c)^2 ≧0.
　(↑ bはa,cの間にあるとしてよい. (a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0)
　∴ s^3 ≦ 9(a^3 +b^3 +c^3).

【30】a_1,…,a_n>0 のとき
　n^2 ≦ (a_1 + a_2 + … + a_n)(1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_n) ≦ n^2 + N(p/q +q/p -2), N=[(n/2)^2]
(略証)
　(中辺) -n^2 = Σ[1≦i<j≦n] (a_i/a_j +a_j/a_i -2) ≡ f(a_1,a_2,…,a_n) とおくと、
f(p,a,q) - 2f(p,q) = f(p,a)+f(a,q)-f(p,q) = -(p+q)(q-a)(a-p)/(paq) ≦0 (反･三角不等式)
　また p≦a_1≦a_2≦……≦a_n≦q としても一般性を失わないから
　f(a_1,…,a_n) ≦ f(p,a_2,…,a_{n-1},q) ≦ f(p,p,a_3,…,a_{n-2},q,q) ≦ ……
　 ≦ f(p,p,…,p,q,…,q,q) = Nf(p,q) = N(p/q +q/p -2).
　nが偶数のとき N=(n/2)^2, nが奇数のとき N={(n+1)/2}{(n-1)/2}=(n^2-1)/4=[(n/2)^2].
324 名前：323 mailto:sage [2005/06/08(水) 17:04:12 ]: 訂正、スマソ
【30】0<p≦a_1,…,a_n≦q のとき
325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/13(月) 07:02:57 ]: >>286 (3)
　a=sin(A), b=sin(B), c=sin(C), d=sin(D) とおくと　0≦a,b,c,d≦1.
　(左辺) ≡ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+c+d)/(2+d+a) ≦ (2+a+b)/(2+b) + (2+c+d)/(2+d)
　= 2 + a/(2+b) + c/(2+d) = 2 +[a(2+d)+c(2+b)]/[(2+b)(2+d)] ≦ 2 + 3(a+c)/[2(2+b+d)]
　= [2(2+b+d)+(3/2)(a+c)]/(2+b+d) ≦ 4･[2 +(3/8)(a+c)]/(2+b+d) = 4･(2+a+c)/(2+b+d) ≡ (右辺).
　等号成立は a=c=0, b=d=1 のとき。
ぬるぽ
326 名前：325 mailto:sage [2005/06/13(月) 07:44:07 ]: >>286 (3)
【系】0≦a,b,c,d≦1 のとき
　4 ≦ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+b+c)/(2+c+d) + (2+c+d)/(2+d+a) + (2+d+a)/(2+a+b) < 4 +3/2 = 11/2.
　(略証) 　[325]より、(325の左辺) ≦ 2 + 3(a+c)/[2(a+b+c+d)].
327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/20(月) 10:57:51 ]: [前スレ.818]の拡張 (saikorodeka)

△ABCの3辺を BC=a, CA=b, AB=c, f(x)を単調減少函数とするとき、
(b+c)cos(A)f(a) +(c+a)cos(B)f(b) + (a+b)cos(C)f(c) ≧ af(a) + bf(b) + cf(c).

messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=219
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/26(日) 19:46:49 ]: >299
　cos(cos(cos(cos(x)))) > |sin(sin(sin(sin(x))))|.

(略証)
　まず cos(cos(u)) ≧ |sin(u)| が成り立つ。
　∵　|t| > |sin(t)| より　1-t^2 < cos(t)^2.
　これに t=cos(u)を入れると…….　( 等号成立は u= (n+1/2)π のとき)
　|sin(u)| も cos(cos(u)) も 0 ≦ u < π/2 では単調増加.

　(左辺) ≧ cos(cos(|sin(x)|)）> |sin(sin(x)| ≧ … ≧ (右辺) または
　(左辺) > |sin(cos(cos(x)))| ≧ sin(|sin(x)|) ≧ … ≧ (右辺).　(終)

三角函数スレ
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/937

出題（不等式）
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=230
329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/27(月) 09:43:28 ]: (続き)
^nでn重合成函数を表わせば

【299の一般化】
　cos^(2n)(x) > |sin^n(x)|.
　n≧4 のとき　cos^(2n)(x) ≧ cos^(2n)(0) > sin^n(π/2) ≧ |sin^n(x)|.
(補足説明)
　0≦x≦π/2 では cos^(2n)(x) も |sin^n(x)| も単調増加ゆえ
　cos^(2n)(0) ≧ cos^8(0) = 0.722102425026708…
　sin^n(π/2) ≦ sin^4(π/2) = 0.678430477358956…

出題（不等式）
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=233
330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/01(金) 12:11:28 ]: 問題[3](1) n≧2のとき
　　π/4 < ∫_[0,1] √{1 -x^n +x^(2n)} dx < 1

www.math.kyushu-u.ac.jp/gakufu/2004sugakukiso.pdf
九大院、数理学府　H17年度修士　数学基礎科目問題（数学コース）
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/01(金) 19:35:58 ]: >>330
グッジョブ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/02(土) 17:13:26 ]: >330 ついでに

【類題】n≧1 のとき
　　1 -(2-√3)/n < ∫_[0,1] √{1 -x^n +x^(2n)} dx < 1

　n=1のときは ∫√(1-x+x^2) dx = (1/2)(x -1/2)√(1-x+x^2) +(3/8)Ln{x -1/2 +√(1-x+x^2)} +c.
　I_1 = 1/2 +(3/8)Ln(3) = 0.9119796082505…
　n≫1では I_n ～ 1 -1/4n らしい.

hint(?)
　3/4 ≦ (3/4) + (1/2-y)^2 = 1-y+y^2 = 1-y(1-y) < 1　(0<y<1).
　1-√(1-z) = z/{1+√(1-z)}.
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/04(月) 10:49:50 ]: 【220】(saikorodeka)
(π/4)√2=a とおくとき
cos{a*sin(x)} ≧ |sin{a*cos(x)}| = sin{a|cos(x)|} ≧ sin{a*cos(x)^2} ≧ sin{a*cos(2x)}.

messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=220
及び 253
334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/04(月) 20:30:40 ]: >>333
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/04(月) 20:40:53 ]: Prob.390
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_jun.pdf
227, 224 など
www.math.ust.hk/excalibur/v10_n2.pdf
336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/06(水) 08:47:06 ]: >333

【220'】(saikorodeka)
0≦a<(π/4)√2 のとき
　cos{a*sin(x)} > |sin{a*cos(x)}| = sin{a|cos(x)|} ≧ sin{a*cos(x)^2} ≧ sin{a*cos(2x)} ≧ -sin(a),
　0 ≦ sin(a) < sin(√2 * π/4) = 0.896018935926807….

出題(不等式)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=257
337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/06(水) 23:50:36 ]: nCrスレがないので、ここで…
[11164]
www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-06-jun05.pdf
338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/07(木) 10:17:42 ]: 【258'】(saikorodeka)
　0≦a≦π, |x|≦1 のとき、
　2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) + cos{a√(1-x^2)} ≦ 1 +cos(a).

(略証)
　(a/2)|x| ≧ sin{(a/2)|x|} ≧ sin(a/2)･|x|
　1 -(1/2)(ax)^2 ≦ cos(a|x|) = 1 -2sin{(a/2)x}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･x^2.
　1 -(1/2)(a^2)(1-x^2) ≦ cos{a√(1-x^2)} = 1 -2sin{(a/2)√(1-x^2)}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･(1-x^2).
　辺々加えて、2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) +cos{a√(1-x^2)} ≦ 2 -2sin(a/2)^2 = 1 +cos(a).

出題(不等式)
post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=261
339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/08(金) 22:49:36 ]: 不等式もあるyo.

[11145]
　Ａ(a_1,…,a_n) = (1/n)Σ[i=1,n] a_i
　Ｈ(a_1,…,a_k) = k / Σ[j=1,k] 1/a_j
とおく。
　n≧1, a_1,…,a_n>0 ⇒ Σ[k=1,n] Ｈ(a_1,…,a_k) ≦ c･n･Ａ(a_1,…,a_n)
が成立つような最小のcをキボンヌ.

Amer. Math. Monthly, Vol.112, No.4 (Apr 2005)
www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-04-apr05.pdf

deadline: August 31, 1995
340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/09(土) 01:20:39 ]: >>339
問題 [11148] と [11149] にも (´д｀；)ﾊｧﾊｧしました。まだできてないけど…
341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/11(月) 09:09:20 ]: >337
[11164]
左辺 = Σ[1≦i≦j≦k≦n] (-1)^(k+1) Ｃ[n,k] 1/(ij)
　　= Σ[i=1,n] 1/i Σ[j=i,n] 1/j Σ[k=j,n] (-1)^(k+1) Ｃ[n,k].
　　に補題↓を3回適用する。

[補題]
　1≦x≦n のとき　Σ[y=x,n] (-1)^(y+1) Ｃ[n,y] = (-1)^(x+1) Ｃ[n,x] (x/n).
(略証)
　左辺にＣ[n,y] = Ｃ[n-1,y-1] + Ｃ[n-1,y] を代入する。ただしＣ[n-1,n]=0 とする。
　次にＣ[n-1,x-1]=Ｃ[n,x] (x/n) を使う。(終)
　特に x=1 のとき 1+(1-1)^n =1.

(類題)
　① Σ[1≦i≦n] (-1)^(i+1) Ｃ[n,i] = 1.
　② Σ[1≦i≦j≦n] (-1)^(j+1) Ｃ[n,j] 1/i = 1/n.
　④ Σ[i≦i≦j≦k≦L≦n] (-1)^(L+1) Ｃ[n,L] 1/(ijk) = 1/n^3.
　⑤ Σ[i≦i≦j≦k≦L≦m≦n] (-1)^(m+1) Ｃ[n,m] 1/(ijkL) = 1/n^4.
342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/11(月) 09:18:20 ]: 不等式もあるyo.

[11139]
X_n = {1^p +3^p + … + (2n-1)^p}/{(2n+1)^p + … +(4n-1)^p} は
p>1 または p<0 ⇒ 単調増加,
0<p<1 ⇒ 単調減少.

Amer. Math. Monthly, Vol.112, No.3 (2005 Mar)
www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-03-mar05.pdf

Y_n = 1 +1/X_n を考え加比の理を使うらしい...

【加比の理】bd>0 のとき, r=(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/11(月) 12:46:36 ]: >>341
すげぇょ！ ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ
344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/11(月) 12:47:29 ]: >>342
見た瞬間から (´д｀；)ﾊｧﾊｧが止まりません！
345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/11(月) 13:28:43 ]: まぁ、予想どおりの証明でしたね。
www.springer-tokyo.co.jp/contest/ans_sol8.pdf
346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/15(金) 11:28:24 ]: 【命題268】(math_board_watcher)
f(x)は|x|≦1で正則な解析函数で、マクローリン展開の係数がすべて非負実数かつ
f(0)=0, f(1)=1 のとき
g(x)=x^r (r>0)とおくと, I=[0,1]において
　r>1 　⇒ f(g(x)) ≧ g(f(x)).
　0<r<1 ⇒ f(g(x)) ≦ g(f(x)).
が成立する。

【系】
f^(-1)(x) [f(x)の逆函数] が命題の条件をみたすなら, I=[0,1]において
　r>1 　⇒ f^(-1)(g(x)) ≧ g(f^(-1)(x)) より f(g(x)) ≦ g(f(x)).
　0<r<1 ⇒ f^(-1)(g(x)) ≦ g(f^(-1)(x)) より f(g(x)) ≧ g(f(x)).
が得られる。

出題(不等式)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=268
347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/15(金) 11:31:26 ]: >346

(証明272) の概略
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k) とマクローリン展開されたとする。
f(1)=1 より Σ[k=1,∞)a_k =1.
もし係数a_kがすべて非負実数であれば、Jensenの定理より（収束について適当な条件のもとで）
r>1 ⇒ g(x)=x^r は下に凸 ⇒
f(g(x)) = Σ[k=1,∞) a_k･{g(x)}^k = Σ[k=1,∞) a_k･g(x^k) > g{Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)} = g(f(x)).
0<r<1 ⇒ g(x)=x^r は上に凸 ⇒
f(g(x)) = Σ[k=1,∞) a_k･{g(x)}^k = Σ[k=1,∞) a_k･g(x^k) < g{Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)} = g(f(x)).
が得られる。

出題(不等式)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=272
348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/15(金) 12:07:01 ]: >342
【加比の理】
　bd>0 ⇔ r=(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
(略証)
　ad-bc =⊿ とおく。
　(a/b) -r = ⊿/{b(b+d)},
　r -(c/d) = ⊿/{d(b+d)}.
　を辺々かけて
　{(a/b) -r}{r -(c/d)} = ⊿^2 /{bd(b+d)^2}.　(終)
349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/15(金) 12:55:09 ]: ここの住民は神か？俺なんて手も足も出ないよ。orz
350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/15(金) 14:33:31 ]: >342 (補足)
X_nの分母・分子は奇数のp乗の和でつ。
分子 = {1^p +3^p +5^p +… +(2n-3)^p +(2n-1)^p}
分母 = {(2n+1)^p +(2n+3)^p + … +(4n-3)^p +(4n-1)^p}
351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/16(土) 18:19:29 ]: The Cauchy-Schwarz Master Classから一問。
[Exercise 12.8] (Weierstrass's Polynomial Product Inequality)

複素数 a_1, a_2, …, a_n と b_1, b_2, …, b_n が
1≦j≦nにおいて |a_j|≦1、 |b_j|≦1 を満たすとき、
|a_1*a_2*…*a_n - b_1*b_2*…*b_n| ≦ ∑ [1≦j≦n] |a_j - b_j|
の証明キボンヌ。
352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/16(土) 21:20:34 ]: >351
(左辺) ≦ Σ[1≦j≦n] |b_1･b_2……a_(j-1)･{a_j-b_j}･a_(j+1)……a_(n-1)･a_n| ≦ (右辺). (終)

「Cauchy-Schwarz不等式」専用スレ
　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/18-19
353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/16(土) 21:33:36 ]: >>21
[前スレ.563(7)] [前スレ.973]
　0≦x≦1≦m,n に対して、 (1-x^n)^m + {1-(1-x)^m}^n ≧ 1.

(略証)
　f(x) = 1 - (1-x)^m とおくと (左辺) = {1-f(x^n)} + f(x)^n.
　f(x) の逆函数を f~(x) と書くと、
　f~(x) = 1 - (1-x)^(1/m) = (1/m)x + (1/2m)(1-1/m)x^2 + (1/3m)(1-1/m)(1-1/2m)x^3 + ……
　a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)m}･a_{k-1} > 0 かつ f~(0)=0, f~(1)=1.
　∴ f~(x) は >346 の【命題268】の条件をみたす。
　∴ その【系】から, I=[0,1]において, {1-f(x^n)} + f(x)^n ≧ 1. (終)

>352
　 |b_1･b_2……b_(j-1)･{a_j-b_j}･a_(j+1)……a_(n-1)･a_n|
354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/17(日) 22:11:12 ]: 今年の数オリの不等式たん(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
解けねーよ！
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/17(日) 22:11:44 ]: >>354
ttp://www.mathlinks.ro/Forum/topic-44481.html
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/20(水) 08:35:08 ]: >354-355
[IMO 2005, Problem 3]
　正の実数x,y,z があって xyz≧1 とせよ。このとき次を示せ。
　(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≧ 0.

(略証) xyz≧1 を使って分子・分母を同次形に直す。
　x^5 -x^2 ≧ x^5 -(x^2)xyz = x{x^4 -(x^2)yz} ≧ x{x^4 -(x^2)(y^2+z^2)/2}
　≧ x(2x^2 -y^4 -z^4)/4,
　0 < x^5 + y^2 +z^2 ≦ x^5 + (y^2 +z^2)xyz = x{x^4 +(y^2 +z^2)yz}
　≦ x{x^4 +(1/2)(y^2 +z^2)^2} ≦ x(x^4 +y^4 +z^4).
　∴ (x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (1/4)(2x^4 -y^4 -z^4)/(x^4+y^4+z^4).
　これを循環的にたす。等号成立は x=y=z=1 のとき. (終)
357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/20(水) 10:14:18 ]: >>356
さすが神！（３行目は x(2x^4 -y^4 -z^4)/4 でつね）

　　　　　 |
　　＼　　__　　／
　　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ
　　　　　|ミ|
　　／　.｀´　＼
　　　　 ('A`)　　　　　　　　相加相乗かぁ！ﾊｧﾊｧ…
　　　　ノヽノヽ
　　　　　　くく
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/20(水) 20:27:24 ]: >355
　www.mathlinks.ro/Forum/forum-32.html
　ご参考
359 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/21(木) 08:18:38 ]: ＞　∴ (x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (1/4)(2x^4 -y^4 -z^4)/(x^4+y^4+z^4).

ここがよくわからん。負の場合もOKなの？
360 名前：356 mailto:sage [2005/07/21(木) 11:27:22 ]: >359 訂正、スマソ

(略証) (L.Radzivilovsky)　分子の符号によらず,
　(x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (x^5 -x^2)/{x^5+(y^2+z^2)x^3} = (x^2 -1/x)/(x^2+y^2+z^2).
　これを循環的にたす。 xyz≧1 を使って、
　(左辺) ≧ (x^2+y^2+z^2 -1/x 1/y -1/z)/(x^2+y^2+z^2) ≧ {(yz-1/x)+(zx-1/y)+(xy-1/z)}/(x^2+y^2+z^2) ≧0.

　または、分母をコーシーして 1/x ≦ yz ≦ (y^2+z^2)/2 を使う。(iandrei2)
　　　(x^5+y^2+z^2)(1/x+y^2+z^2) ≧ (x^2+y^2+z^2)^2.

Problem3 IMO2005
www.mathlinks.ro/Forum/topic-44480.html
361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/21(木) 12:35:13 ]: Σ(ﾟДﾟ) そっか、負の場合を考えてなかった…
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/21(木) 13:11:41 ]: >>360
リンク先の掲示板見て、外国も2chと一緒だなと思った。
夏厨が沸いてるな
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/22(金) 18:07:39 ]: >354-355
n変数の場合は↓かな。。。

Ａ_i = {(x_i)^(2n-1) -(x_i)^(n-1)}/{(x_i)^(2n-1) +Σ[j≠i] (x_j)^(n-1)}
とおけば A_1 +…+ A_n ≧ 0.
364 名前：356 mailto:sage [2005/07/23(土) 18:25:47 ]: >361
[356]の補足(Ra Mla F)
　xyz≧1を使って
　x(x^4+y^4+z^4) ≧ x^5 +y^2 +z^2 ≧ x^4 /yz +y^2 +z^2 ≧ x(x+y+z).
　これらより
　(x^5)/(x^5+y^2+z^2) ≧(x^4)/(x^4+y^4+z^4),　x/(x+y+z)≧(x^2)/(x^5+y^2+z^2).
　循環的にたすと Σ'(x^5)/(x^5+y^2+z^2) ≧ 1 ≧ Σ'(x^2)/(x^5+y^2+z^2).
365 名前：356 mailto:sage [2005/07/23(土) 19:34:12 ]: >364
【補題】(Vasc-Petrov)
　x_1･x_2……x_n≧1, p>1のとき s={(n-1)p+1}/n とおくと
　(x_1^p)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ (x_1^s)/{(x_1)^s +……+ (x_n)^s}.
(略証)
　1<s<p だから (x_2)^s +……+(x_n)^s ≧ (x_2……x_n)^(p-s)･(x_2+……+x_n) ≧ (1/x_1)^(p-s)･(x_2+……+x_n).
　これに (x_1)^s を加えて整理する。(終)
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/25(月) 13:43:35 ]: >342,350
[11139]
　X_n = {1^p +3^p +……+(2n-3)^p +(2n-1)^p} / {(2n+1)^p +(2n+3)^p +……+(4n-1)^p},
　Y_n = 1 + 1/X_n = {1^p +3^p +……+(4n-3)^p +(4n-1)^p}/{1^p +3^p +……+(2n-3)^p +(2n-1)^p}
　　　= (a_1 +a_2 +……+a_n)/(b_1 +b_2 +…… +b_n),
　ここに a_k = (4k-3)^p +(4k-1)^p, b_k = (2k-1)^p とおいた。
　a_k / b_k = (2^p)[(1-δ)^p +(1+δ)^p] = 2^(p+1)f(δ), δ=1/{2(2k-1)} →0 (k→∞).
　p>1 または p<0 ⇒ f(δ)は下に凸の偶函数、 a_k/b_k は単調減少 → 2^(p+1)、
　　　加比の理から Y_nも単調減少→2^(p+1)、X_nは単調増加。
　0<p<1 ⇒ f(δ)は上に凸の偶函数、 a_k/b_k は単調増加 → 2^(p+1)、
　　　加比の理から Y_nも単調増加→2^(p+1)、X_nは単調減少。
367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/26(火) 12:14:25 ]: >>323 の簡略版
　1 ≦ A/H ≦ 1 + L(p/q +q/p -2), L=1/4.
(略証)
　0 ≦ Σ(q-a_k)(a_k-p)/a_k = Σ(p+q-a_k-pq/a_k) = n(p+q-A-pq/H).
　∴ A/H ≦ (A +pq/H)^2 /(4pq) ≦ (p+q)^2/(4pq) = 1 +(p-q)^2 /(4pq) = 1 + (1/4)(p/q +q/p -2).

出題(不等式)
post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=307
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/27(水) 08:13:13 ]: >365 を拡充しますた。

【補題】(Vasc-Petrov)
　x_k>0, Ｇ^n = x_1･x_2……x_n ≧1 とする。
　(i) p>1 ならば (x_1^p)/(x_1^p +x_2 +…… +x_n) ≧ (x_1^s)/{(x_1)^s +…… +(x_n)^s}.
　　ここに、s={(n-1)p+1}/n.
　(ii) 1<q<n+1 ならば x_1/(x_1^q +x_2 +…… +x_n) ≦ (x_1^r)/{(x_1)^r +…… +(x_n)^r}.
　　ここに、r=1 -(q-1)/n.

(略証)
　(i) 1<s<p だから相加･相乗平均より
　(x_2)^s +(x_3)^s +…… +(x_n)^s ≧ (n-1)(Ｇ^n /x_1)^(s/(n-1)).
　に(1 -1/s)を掛ける。また、
　(1 -1/s)･(Ｇ^n /x_1)^(s/(n-1)) + (1/s)(x_k)^s ≧ (Ｇ^n /x_1)^(p-s)･x_k　　(k=2,3,…,n)
　辺々加えて
　(x_2)^s +(x_3)^s +…… +(x_n)^s ≧ (Ｇ^n /x_1)^(p-s)･(x_2+……+x_n) ≧ (1/x_1)^(p-s)･(x_2+……+x_n).
　これを (x_1)^s で割って 1をたす。
　{(x_1)^s +(x_2)^s +…… +(x_n)^s}/(x_1)^s ≧ {(x_1)^p +x_2 +…… +x_n}/(x_1)^p.

　(ii) 0<r<1 だから相加･相乗平均より
　(x_1)^q +(1-r)(x_2+x_3+……+x_n) ≧ {1+(n-1)(1-r)}x_1･Ｇ^{n(q-1)/((n-1)q+1)} ≧ {1+(n-1)(1-r)}x_1.
　(1-r)x_1 + r･x_k ≧ (x_1)^(1-r)･(x_k)^r　　　　(k=2,3,…,n)
　辺々加えて
　(x_1)^q + x_2 +x_3 +…… +x_n ≧ x_1･{(x_2)^r +(x_3)^r +…… +(x_n)^r}/(x_1)^r.　(終)
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/27(水) 13:52:20 ]: すげぇ Σ(ﾟдﾟ；)！
さすが神！そこに痺れる憧れるぅ～
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/31(日) 11:26:33 ]: (問題) 0<r<1, Ｓ_k = Σ[n=1,∞) (n^k)(r^n)/(1-r^n) とおくとき
　Ｓ_0 > r/(1-r),
　Ｓ_1 > r/(1-r)^2,
　Ｓ_2 > r(1+r)/(1-r)^3,
　Ｓ_3 > r(1+4r+r^2)/(1-r)^4,
　Ｓ_4 > r(1+11r+11r^2+r^3)/(1-r)^5,
　Ｓ_5 > r(1+26r+66r^2+26r^3+r^4)/(1-r)^6.
を示してくださいです。

---------------------------------------------------
(例) r=exp(-2π) のときは
　Ｓ_1 =(1/24)- 1/(3π) = 0.0018779308936928…,
　Ｓ_3 = (1/80)(ω/π)^4 -1/240 = 0.0018990120511196…,
　Ｓ_5 = 1/504 = 0.0001984126984126984…
らしいです。。。
　ω =∫_[0,1] 2/√(1-x^4) dx = Γ(1/4)^2 /√(8π) = 2.6220575546888…
371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/31(日) 12:37:21 ]: >360,363 を拡充しますた。

【補題】(L.Radzivilovsky)
　Ｇ^n = x_1･x_2……x_n≧1, 1≦p≦(2n-1)/(n-1) のとき s={(n-1)p+1}/n とおくと
　Σ' (x_1^p -x_1)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ 0

　(略証) x_1 -1 の符号によらず
　　(x_1^p -x_1)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ (x_1^p -x_1)/{x_1^p +(x_2+……+x_n)x_1^(p-1)}
　　= {x_1 -x_1^(2-p)}/(x_1 +x_2 +……+x_n).
　ところで s={(n-1)p+1}/n とおくと
　　(2-s)x_1 + ((p-1)/n)(x_2 +…+x_n) = (2-p)x_1 +(p-1)Ａ ≧ (2-p)x_1 +(p-1)Ｇ
　　≧ x_1^(2-p)･Ｇ^(p-1) ≧ x_1^(2-p).
　循環的に加えて、x_1 +x_2 +… +x_n ≧ x_1^(2-p) +x_2^(2-p) +… +x_n^(2-p).　(終)

>370
　Ｓ_5 = 1/504 = 0.001984126984126984…
372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/02(火) 22:58:47 ]: (1) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、
　 2 ≦ √{(1-a)/(1+a)} + √{(1-b)/(1+b)}+ √{(1-b)/(1+b)}+ ≦ 1 + 2/√3

(2) 正の実数 a, b, c, d が a+b+c+d=1 をみたすとき、
　 abcd/{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)} ≦ 16(abc+bcd+cda+dab)/81

(3) 非負実数 a, b, c に対して
　 a^3+b^3+c^3+3abc ≧ ab√(2a^2+2b^2) + bc√(2b^2+2c^2) + ca√(2c^2+2a^2)

(4) 非負実数 a, b, c に対して
　 (a^3+b^3+c^3+3abc)^2 ≧ 2(ab+bc+ca){ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + ca(c^2+a^2)}

(5) 0 < a, b, c < 1、ab+bc+ca=1 に対して、a+b+c+abc のとりうる値の範囲をキボンヌ。
　 www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2004/n6/PDF/v30n6syn.pdf

(1)は凸不等式だろうけど、エレガントなのはないでしょうか？
　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　軽めのネタを仕入れてきました
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　　
　　　　　人つゝ人,,　　　　　　　　
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
373 名前：おまけ mailto:sage [2005/08/03(水) 08:15:59 ]: (6) a, b, c≧0、x > 0 のとき、 x^a + x^b + x^c ≦ x^(a+b+c) +2

(7) a, b, c≧1 のとき、 2^(a+b+c+1) ≧ 2^(a+b) +2^(b+c) +2^(c+a) +4

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/03(水) 17:08:51 ]: >>373
(6)の下限は、これでいいですか？
　 3・x^((a+b+c)/3) ≦ …
375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/03(水) 21:03:54 ]: まず｢おまけ｣から

(6) 相加･相乗平均、
　　右側は x^a ≦ {a･x^(a+b+c) +b +c}/(a+b+c) を循環的にたす。

(7) a,b,c≧1 より
　2^(a+b+c-1) ≧ 2^(a+b), 2^(b+c), 2^(c+a), 2^2.
　辺々たす。
ぬるぽ
376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/03(水) 22:38:39 ]: >>373
(6) 右側の別解

a, b, c≧0、x > 0 に対し、 x^a + x^b ≦ x^(a+b) + 1 … (☆) を示す。
x = 1 のとき、等号成立
x > 1 のとき、x^a, x^b≧1、x < 1 のとき、x^a, x^b≦1 でどちらの場合も
　x^(a+b) + 1 - (x^a + x^b) = (1-x^a)(1-x^b) ≧ 0

(☆) を２回用いて示すべき不等式をゲット。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/04(木) 22:30:16 ]: >372(5) [問.2971]
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　題意より、1-s+t-u = (1-a)(1-b)(1-c)>0, ∴ s+u<1+t=2.
　a,b,cのいずれか→1 のとき上限 2.

　I(a,b,c;k) = (a+b+c) +abc -k(ab+bc+ca-1) とおいて極値を求める。
　∂I/∂a = 1 + bc - k(b+c), などより k=(3+t)/2s = 2/s,
　a=b=c=1/√3 のとき最小値 10/(3√3).
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/05(金) 23:15:40 ]: 使えそうで使えない不等式を、チラシの裏に書き留めておこう。
証明は、差を取って Lagrangeの恒等式を…。

　(1+a^2+b^2)(1+c^2+d^2) ≧ (a-c)^2+(b-d)^2
379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/06(土) 10:09:22 ]: >378
　ラグランジュの恒等式
　(x^2+a^2+b^2)(y^2+c^2+d^2) = (xy+ac+bd)^2 + {(ay-cx)^2 + (by-dx)^2 +(ad-bc)^2}
　で x=y=1 とおく。
380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/07(日) 06:22:13 ]: Lagrangeの恒等式って、n（≧5）文字でも成り立つんだろうか？
381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/07(日) 07:10:50 ]: 不等式の証明に使えそうで使えない（？）等式

P=ax+by+cz, Q=ay+bz+cx, R=az+bx+cy のとき、
　 (a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz) = P^3+Q^3+R^3-3PQR
382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/07(日) 20:48:02 ]: >380
　{∑[i=1,n] (x_i)^2}{∑[j=1,n] (y_j)^2} = {∑[k=1,n] x_k･y_k }^2 + ∑[1≦i<j≦n] (x_i･y_j-x_j･y_i)^2.
>381
　x^3+y^3+z^3-3xyz =
　｜x y z｜
　｜z x y｜
　｜y z x｜
383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/07(日) 20:55:04 ]: >380
　mathworld.wolfram.com/LagrangesIdentity.html
384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/07(日) 20:59:05 ]: >>382-383
㌧㌧クス。

行列式とはエレガントですな。
昼間、置き換えたりしながらゴリゴリ展開して苦戦してたのが馬鹿だった…
385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/07(日) 21:09:46 ]: >>377
最小値は、他の方法では出せないでしょうか？

1/a, 1/b 1/c を tanA, tanB, tanC (π/4 < A, B, C < π/2) とおくと
条件式は A+B+C=π となったけど、a+b+c+abc が簡単になりそうにな…
386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/10(水) 03:35:53 ]: >>385
(a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) = 3、 a+b+c > 0 より
　 a+b+c ≧ √3
1-a, 1-b, 1-c > 0 より、相加相乗と上述の不等式から
　 0 < (1-a)(1-b)(1-c) ≦ (1/27)(3-a-b-c)^3 ≦ 2 - 10/(3√3)
(1-a)(1-b)(1-c) = 2-(a+b+c+abc) を代入してポン！

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?highlight=inequalities&t=16133
387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/11(木) 04:24:44 ]: >>372
> (4) 非負実数 a, b, c に対して
> 　 (a^3+b^3+c^3+3abc)^2 ≧ 2(ab+bc+ca){ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + ca(c^2+a^2)}

a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて
　（左辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+9s^2t^2-36stu+12s^3u
　（右辺） = 2(s^2t^2-stu-2t^3)

　（左辺）-（右辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+7s^2t^2-34stu+12s^3u+4t^3

ここから、うまくでけん。次が出てくるように括ればいいんだろうけど
　s^2-3t≧0, st-9u≧0, 2s^3-7st+9u≧0, s^3-4st+9u≧0, t^2-3su≧0, …
388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/11(木) 06:02:18 ]: >>387
間違ってた…
　（左辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+9s^2t^2-36stu+36u^2

　（左辺）-（右辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+7s^2t^2-34stu-4t^3+36u^2
389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/15(月) 19:42:27 ]: 　 (a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3b + b^3c + c^3a)

の証明が20％くらいできません！おねがいします！
390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/15(月) 23:39:54 ]: 初歩ですみません．次の不等式の導き方が分かりません．

Σ[i=1,n]|a_i| ≦ n^(1/2)(Σ[i=1,n](a_i)^2)^(1/2)

また，こういうものまで網羅している不等式の本てあるのでしょうか？
>>1 の参考文献の [1] には載ってないようでした．
391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/16(火) 06:36:29 ]: >>390
コーシーシュワルツの不等式そのまんま。

つ参考文献 [5] ほか高校の参考書を嫁
392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/16(火) 07:30:59 ]: >>391
ありがとうございます．そのまんまでしたね．
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/16(火) 10:56:52 ]: >>390
> >>1 の参考文献の [1] には載ってないようでした．

読んでいない証拠
夏休みの宿題は質問スレに行け
二度と来るな
394 名前：390=392 mailto:sage [2005/08/16(火) 16:29:24 ]: >393
初めてなのに釣れたっ！
これからも私の宿題をお願いしますね、電卓さん！
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/16(火) 18:12:26 ]: まあ、工房がシュプリンガー読むわけないわね。
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/16(火) 23:23:51 ]: >>389
見た目は簡単なのに、その証明のなんと難しいことよ。
397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/17(水) 00:26:35 ]: >>389
(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 3(a^3b + b^3c + c^3a)
　= a^2(a-b)(a-2b) + b^2(b-c)(b-2c) + c^2(c-a)(c-2a)

これが0以上であることを示せれば…。
とりあえず a≧b≧c≧0 として、Schurの不等式のときみたいに考えたけど、うまくいかない
不等式オタどもはお盆休みなのか？
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/17(水) 11:42:10 ]: >>35-36
ムーアヘッドの不等式がイマイチよく分かりません。
簡単な不等式の例で説明してもらえると嬉しいです。
399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/17(水) 22:43:20 ]: >372(4), 387-388

>>38 の補題を使いますた。>>1 の参考書[1]の定理80.
【補題】
　F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b)
　= (a^n)(a-b)^2 + (a^n -b^n +c^n)(a-b)(b-c) +(c^n)(b-c)^2 ≧0.
　(略証)　bがa,cの中間にあるとすると、 a^n -b^n +c^n ≧0, (a-b)(b-c)≧0. (終)

　(左辺) = (s^3 -3st+6u)^2 = (s^3 -3st+6u)(F_1 +st-3u).
　(左辺) -(右辺) = (s^3 -3st+6u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.
　F_0 = s^2 -3t ≧0,　F_1 = s^3 -4st +9u ≧0.

残りの項Rも同様にして
　R ≡ ab(a^2 +b^2 -c^2)(a-b)^2 +bc(b^2 +c^2 -a^2)(b-c)^2 +ca(c^2 +a^2 -b^2)(c-a)^2
= X(a-b)(a-c) + Y(b-a)(b-c) +Z(c-a)(c-b)
= X(a-b)^2 + (X-Y+Z)(a-b)(b-c) +Z(b-c)^2 ≧0.
　ここに X={(b+c)a^2 +(b-c)(b^2 -c^2)}a≧0, Y={(c+a)b^2 +(c-a)(c^2 -a^2)}b≧0, Z={(a+b)c^2 +(a-b)(a^2-b^2)}c≧0.
　〔∵ bはa,cの中間にあるとすると X-Y+Z =2ac(a^2 -b^2 +c^2) ≧0, (a-b)(b-c)≧0.〕

>372(3)
　(4)の右辺にコーシーを適用。
400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/17(水) 23:20:03 ]: >>398
例えば「数学ライブラリー教養篇　不等式入門　POD版」（>>303） P.150 問１(1)

2(a^6) + 2(b^6) + 2(c^6)
≧ (a^4)(b^2) + (a^4)(c^2) + (b^4)(c^2) + (b^4)(a^2) + (c^4)(a^2) + (c^4)(b^2)
≧ (a^3)(b^2)c + (a^3)(c^2)b + (b^3)(c^2)a + (b^3)(a^2)c + (c^3)(a^2)b + (c^3)(b^2)a
≧ 6(a^2)(b^2)(c^2)

[p, q, r] = (a^p)(b^q)(c^r) + (a^p)(c^q)(b^r) + (b^p)(c^q)(a^r) + (b^p)(a^q)(c^r) + (c^p)(a^q)(b^r) + (c^p)(b^q)(a^r)

で表すと、(6, 0, 0) ゝ(4, 2, 0) ゝ(3, 2, 1) ゝ(2, 2, 2) だから、Muirhead の不等式から
　[6, 0, 0] ≧ [4, 2, 0] ≧ [3, 2, 1] ≧ (2, 2, 2)
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/17(水) 23:40:16 ]: >>399
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
(4)の右辺にコーシー使ったら(3)になるなんて気づきませんでした ( ﾟ∀ﾟ)！

>>38
F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0 について。

〔Schurの不等式〕
任意の実数 r と、正の数 x, y, z に対して
　F_r ≡ (a^r)(a-b)(a-c) + (b^r)(b-c)(b-a) +(c^r)(c-a)(c-b) ≧ 0
証明は、>>1 の参考書[3]のPP.27-28。
402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/18(木) 06:42:48 ]: >399
　(左辺) -(右辺) = t･F_2 +(s^3 -3st+4u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.
403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/18(木) 13:37:36 ]: >>399
それにしても凄いな！
いま計算を追っているけど、とても自分では思いつかないなぁ…
404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/20(土) 10:16:42 ]: >389, 396-397
　等号成立は [a,b,c]=[1,1,1] または [a,b,c]=[1, t, (1/t)(1-t)^2] のとき（4つ）

　ただし、tは (t-2)^3 -7(t-2) -7=0 の根、0.307978528369905…, 0.643104132107791…, 5.04891733952231…。
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/20(土) 12:47:54 ]: >>404
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！

等号成立条件に変なのが入っているので
　（左辺）-（右辺） = A(a-b)^2+B(b-c)^2+C(c-a)^2 ≧ 0
になるとは限らないんでしょうね
('A`)
406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/22(月) 21:39:51 ]: >389
a,b,cの基本対称式をs,t,uとする。
(左辺)-(右辺) = (a^2+b^2+c^2)^2 -3(a^3b+b^3c+c^3a)
　= (s^2 -2t)^2 +3t^2 -3s(u+a^2b+b^2c+c^2a)　　……(1)
　これは対称式ぢゃないんですぅ…。そこで、

>404 のゼロ方向(3つ)は1次独立なので、それをX,Y,Z軸とする（斜交軸）。
　a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
　これを(1)に代入すると、うまく対称式になりますた。
　(左辺)-(右辺) = (1/14){X^2(Y-Z)^2 +Y^2(Z-X)^2 +Z^2(X-Y)^2} ≧0.
　等号成立は [X,Y,Z]= [1,1,1], [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] のとき.
ぬるぽ
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/22(月) 21:47:03 ]: >406
Q:　(a,b,c) ⇔ 反変成分(X,Y,Z) の1次変換
　a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
　に出てくる p,q,r って何?

A:〔補足説明〕
・3軸の向き（ゼロ方位）を
　X軸: [a,b,c]=[p,q,r]
Y軸: [a,b,c]=[r,p,q]
Z軸: [a,b,c]=[q,r,p]
　としますた。
　p=0.34929169541609…, q=0.10757434232607…, r=0.54313396225783…
　（ θ^3 -θ^2 +(2/7)θ -(1/49)=0 の3根.）

・基本対称式の関係
　X,Y,Zの基本対称式をS,T,Uとするとｓ＝S, t=(T+2S^2)/7, u+a^2b+b^2c+c^2a=(U+S^3)/7.
　これを(1)に代入すると
　(左辺)-(右辺) = (1/7)(T^2 -3SU) = (1/14){X^2(Y-Z)^2 +Y^2(Z-X)^2 +Z^2(X-Y)^2}.

・X,Y,Zは負のこともある。
408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/22(月) 22:39:45 ]: >>406-406
まず >404 のゼロ方向や、3軸の向き（ゼロ方位）という言葉がよく分かりません。
つぎに [a,b,c]=[p,q,r] これは、何かの演算が等しいってことですか？
409 名前：406 mailto:sage [2005/08/24(水) 02:47:46 ]: >408
　ゼロ方向は、(1変数の)ゼロ点と同じ意味。
　[a,b,c]はデカルト座標（3Dグラフを考えますた。）

　[1,1,1]方向から見ると、X,Y,Z軸はc,a,b軸から33.6311315…°程ずれている。
　これを一致させて対称性を回復する所が本題のミソ。
410 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/28(日) 00:49:39 ]: 保守あげ
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/28(日) 19:44:24 ]: ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問より
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/l50

81 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/08/23(火) 15:59:35

> e^{e^(e-1)-e}<(e-1)^{e^e-e^(e-1)} を示せ。ただし、eは自然対数の底

131 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/08/28(日) 16:27:44

> >>81ってホントに問題あってるの？計算機で計算したらすげー値に開きが
> あるんだけど。こんなに開いてるならスゲーラフな評価でできるとおもうんだけど。
> どっかまちがってんじゃね？
412 名前：406 mailto:sage [2005/08/30(火) 06:34:25 ]: >389
こんどは直交軸だけで解いてみますた... 直交変換を次のようにおく。
　a=p'X'+r'Y'+q'Z', b=q'X'+p'Y'+r'Z', c=r'X'+q'Y'+p'Z'
　ここに、p'､q'､r'は θ'^3 -θ'^2 +(1+2√7)/(27√7) =0 の3根.{ [1,1,1]軸のまわりの回転 }

・基本対称式の関係
　X',Y',Z' の基本対称式を S',T',U' とおくと、s=S', t=T'. また u+a^2･b+b^2･c+c^2･a については、
　　(X'^2･Y'+Y'^2･Z'+Z'^2･X') の係数 (p'^3+q'^3+r'^3 +6p'q'r') +(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2)と
　　(X'･Y'^2+Y'･Z'^2+Z'･X'^2) の係数 (p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') +3(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2)
　が等しいとおくと、4(p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') + 5(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2) = (p'+q'+q')^3, 係数は (4-√7)/9.
　p'q'r'+p'^2･q'+q'^2･r'+r'^2･p'= (1+2√7)/27, (p'^3+q'^3+r'^3 +3p'q'r') + 6(p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') = (11+4√7)/9 より、
　u+a^2･b+b^2･c+c^2･a = ((1+2√7)/27)(S'^3 -3S'T'+3U') -((4-√7)/9)(S'T'-3U') +(√7)U'
　= ((1+2√7)/27)S'^3 -{(√7 -1)/3}S'T' +(√7)U' = (1/7)(U +S'^3).

　これを(1)に代入すると
　(左辺)-(右辺) = (S'^2 -2T')^2 +3T'^2 -(3/7)S'(U+S'^3)
　　= (1/7){(7T'-2S'^2)^2 -3S'U}
　　= (1/2)[X^2(Y'-Z')^2 +Y^2(Z'-X')^2 +Z^2(X'-Y')^2］≧0.
　　ここで、X=(X'-S/3)√7 +S/3,　Y=(Y'-S/3)√7 +S/3,　Z=(Z'-S/3)√7 +S/3.
U = XYZ = (7√7)U'-(7/3)(√7 -1)S'T' +{2(7√7-10)/27}S'^3.
　　>406 と同じことだが。
413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/30(火) 21:40:33 ]: >>354
大数９月号に解説が載っていたので買っていた（ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ？）

示すべき不等式を
　(x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^5+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≦ 3　 … (1)
として、Cauchyの不等式を用いて
　(x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) ≦ (yz+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)
を示し、巡回させて和をとると
　(1)の左辺 ≦ 2 + (xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2) ≦ 3

----------------------------------------------------------------------
より強い不等式が載っていた。証明は同様にするらしいけど… ('A`) お願いします。

正の実数x,y,z が xyz≧1 をみたすとき、
　(x^5)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5)/(x^2+y^2+z^5) ≧ 1 ≧ (x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^2)/(x^2+y^2+z^5)
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/30(火) 21:58:37 ]: >>413
>>364
415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/31(水) 00:35:43 ]: Σ(ﾟДﾟ) ﾊｯ！
416 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/06(火) 12:00:05 ]: ager
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/09(金) 04:24:39 ]: 「数学オリンピック２」スレより
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1121775239/134
> 134 名前：sage[] 投稿日：2005/09/08(木) 12:00:58
>
> 微積分不等式
>
> x0, 1, x2, …,xn を x0 + x1 + x2 + … + xn = 1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ．
>
> ∑( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) ) < π / 2
>
> 解答
>
> ∑( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) )
> 　< ∫( 0 , 1 ) dt / ( √ ( 1 - t^2 ) )
> 　 = π / 2
418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/10(土) 16:54:49 ]: >417
　∑(i=0,1,…,n) ぢゃないか?

解答
　x_0 + x_1 + … + x_{i-1} = sin(θ_i) とおくと、0 = θ_0 < θ_1 < … < θ_n < θ_(n+1) = π/2.
　(左辺) = ∑[i=0,n] {sin(θ_(i+1)) - sin(θ_i)} / cos(θ_i).
　ところで、{sin(Ａ+⊿)-sinＡ}/cosＡ = sin⊿ - (1-cos⊿)tanＡ < sin⊿ < ⊿.
　(左辺) < ∑[i=0,n] {θ_(i+1)) -θ_i} = θ_(n+1) - θ_0 = π/2.
ぬるぽ
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/12(月) 03:17:01 ]: 「★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問」
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/221
> m個の正の実数a1,a2,..amと正の整数k,lについて
> (a1^k++a2^k+...+am^k)(a1^l+a2^l+...am^l)≦m(a1^(k+l)+a2^(k+l)+...am^(k+l))
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/12(月) 20:32:14 ]: >>419
Σ[i=1 to m]ti=1、ti≧0、p+q=1、p,q>0とする。x^p,x^qは凸関数なので、
0≦(Σ(1/m)(ti)^p)≦(Σti/m)^p=m^(-p)
0≦(Σ(1/m)(ti)^q)≦(Σti/m)^q=m^(-q)
よって、
(Σ(1/m)(ti)^p)(Σ(1/m)(ti)^q)≦m^(-p-q)=1/m
(Σ(ti)^p)(Σ(ti)^q)≦m
等号はti=1/mのとき成立。

ti=ai^(k+l)/Σai^(k+l)、p=k/(k+l)、q=l/(k+l)とおいて示せる。
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/12(月) 20:37:00 ]: >>420
凸関数→上に凸　or 凹関数に訂正
422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/12(月) 23:02:19 ]: チェビシェフそのものって感じもするが
423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/13(火) 21:55:07 ]: ５ページ目の問題313は既出だっけ？
www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n5/PDF/v31n5syn.pdf
424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/13(火) 21:58:32 ]: >>422
たしカニ
　　　*　　　　　　　　　　+
　　　(V)∧_∧(V)
　+ 　　ヽ(ﾟ∀ﾟ)ノ　　ｻｲﾀﾏｻｲﾀﾏ　　　　+
　　　+　/　 /　　　　　　　　　　　　+
　　　　ノ￣ゝ　　　　　　*
　　　　　　　　+　　　　　　　　　　　　+
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　*
.　　　　+　　　　　 (V)∧_∧(V)
　+　　　　　　　　　ヽ( 　　)ノ　　ｻｲﾀﾏｻｲﾀﾏ
.　　　　　　　*　　　　/　 /　　+
　　　+　　　　.......... ノ￣ゝ　　　　　+
425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/16(金) 13:27:44 ]: >>423
Jensenで瞬殺かと思ったけど…、あまいあまいッ！あまいわッ！
426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/16(金) 14:55:35 ]: 5ページ目の問3073
www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n6/PDF/v31n6syn.pdf

見たことあるような、ないような ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/16(金) 15:42:10 ]: 正の数 a、b、c が abc=8 をみたすとき、
　 (a^2)/\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3

ABMO 2005
www.cms.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo2005.html
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/17(土) 11:21:02 ]: たしか初参加

>>427
AM-GMを繰り返し使って

　(a^2)/\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)
≧ 3( a^2b^2c^2 / {(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)} )^(1/3)
≧ 36 / {(1+a^3) + (1+b^3) + (1+c^3)}
≧ 36 / (3+3abc)
= 4/3

等号は a=b=c=2
429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/17(土) 13:03:54 ]: >423
[313]
In 1965 the Romanian mathematician T.Popoviciu proved the following inequality
　f(x) + f(y) + f(z) +3f((x+y+z)/3) ≧ 2f((x+y)/2) + 2f((y+z)/2) + 2f((z+x)/2),
where f is a convex function on an interval Ｉ and x,y,z∈Ｉ.

(略証) yはxとzの間（端点も含む）にあるとしてよい。このとき M = (x+y+z)/3 もxとzの間にある。
(M-x)/(z-M) = t とおくと 1/2≦t≦2.
(i) yがxとM の間にあるとき、1/2≦t≦1.
　f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2),　ｔf(z) + (2-t)f(M) ≧ 2f((y+z)/2),　(1-t)f(z) + (1+t)f(M) ≧ 2f((z+x)/2).
　辺々たす。
(ii) yがMとzの間にあるとき、1≦t≦2.
　(1/t)f(x) + (2 -1/t)f(M) ≧ 2f((x+y)/2),　f(y) + f(z) ≧ 2f((y+z)/2),　(1 -1/t)f(x) + (1 +1/t)f(M) ≧ 2f((z+x)/2).
　辺々たす。
430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/17(土) 15:06:58 ]: >426
[3073]　Let x,y,z be positive real numbers. Prove that
　1/(x+y+z+1) -1/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≦ 1/8.
and determine when there is equality.

(x+y+z)/3=A とおく。相加相乗平均より (x+1)(y+1)(z+1) ≦ (A+1)^3, 等号成立はx=y=zのとき.
(左辺) = 1/(x+y+z+1) - 1/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≦ 1/(3A+1) -1/(A+1)^3 = (A^2)(A+3)/[(3A+1)(A+1)^3]
　= 1/8 - (A-1)^2(3A^2 +8A+1)/[8(3A+1)(A+1)^3] ≦ 1/8.
等号成立は x=y=z=1 のとき。
431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/17(土) 16:16:29 ]: >>428
pu
432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/17(土) 20:41:36 ]: >>428
> AM-GMを繰り返し使って

> ≧ 36 / {(1+a^3) + (1+b^3) + (1+c^3)}
> ≧ 36 / (3+3abc)

不等号の向きが逆になるのでは？
433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/17(土) 20:43:43 ]: 言葉をつつしみ給え！君達はラピュタ王の前にいるのだぞ！

　　 /ヘ;;;;;　
　　 ';=r=‐ﾘ　　　|　|
　　ヽ二/　　　　　|　|　ｶﾞｯ
　と　　　　）　　 |　|
　　Ｙ　/ノ　　　人
　　　 /　）　　 < 　>__Λ∩
　＿/し'　／／. Ｖ｀Д´）/　←>>431
　（＿フ彡　　　　　　　/
434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/18(日) 01:37:54 ]: ﾊｽﾞｶｼｽ
435 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/19(月) 09:37:36 ]: 1≦a,b,c,d,e≦2のとき、
25≦(a+b+c+d+e)(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e)≦28を示せ。
436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/19(月) 15:47:54 ]: >435
　>>315, >>323-324
　【30】（USAMO 1977/5)　L=6/25.
　messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=234
　mathcircle.berkeley.edu/inequalities.pdf

L=1/4 なら簡単
　messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=307
437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/19(月) 17:50:59 ]: >436
　L=1/4, N=(n^2)/4 の方だけ...
　0 ≦ Σ(q-a_k)(a_k-p)/a_k = Σ(p+q-a_k-pq/a_k) = n(p+q-A-pq/H).
　∴ A + pq/H ≦ p+q.
　∴ A/H ≦ (A +pq/H)^2 /(4pq) ≦ (p+q)^2/(4pq) = 1 +(1/4)(p/q +q/p -2).
438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/20(火) 02:09:35 ]: >>430
もし最大値が 1/8 と分かっていなかった場合は、どうするのでしょうか？
微分以外で…。
439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/21(水) 00:55:53 ]: LMO 2002 らしい
正の数 a、b、c、x、y、z が a+x = b+y = c+z = 1 をみたすとき、
　 (abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3

( ﾟ∀ﾟ) 分からんぽよ。
440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 06:02:07 ]: >>439
こうかな？
s=1/√x、t=1/√y、u=1/√zとして1/(ay)+1/(bz)+1/(cx)=s/(a/s)+t/(b/t)+u/(c/u)。
y=1/xに関する凸不等式より
(s/(s+t+u))(a/s)+(t/(s+t+u))(b/t)+(u/(s+t+u))(c/u))≧1/((ax+b+c)/(s+t+u))=(s+t+u)/(a+b+c)。
∴1/(ay)+1/(bz)+1/(cx)≧(1/√x+1/√y+1/√z)^2/(a+b+c)。
∴(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))(a+b+c)≧(1/√x+1/√y+1/√z)^2―(1)。
同様にして
∴(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))(x+y+z)≧(1/√a+1/√b+1/√c)^2―(2)。
(1)+(2)より
3(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))
≧(1/√a+1/√b+1/√c)^2+(1/√x+1/√y+1/√z)^2
≧(3/(√(abc))^(1/3))^2+(3/(√(xyz))^(1/3))^2
=9/(abc)^(1/3)+9/(xyz)^(1/3)
≧18/(abcxyz)^(1/6)。
∴(1/3)(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))≧2/(abcxyz)^(1/6)―(3)。
一方で
1/(abc+xyz)≦(1/2)/√(abcxyz)―(4)。
ここで1/2=(a+x)/2≧√(ax)、1/2=(b+y)/2≧√(by)、1/2=(c+z)/2≧√czであるから
abcxyz≦1/64。∴2/(abcxyz)^(1/6)≧(1/2)/√(abcxyz)―(5)。
(3),(4),(5)より
(1/3)(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))≧1/(abc+xyz)。
∴(abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3
441 名前：440 mailto:sage [2005/09/22(木) 07:24:02 ]: しまった。(5)の不等号逆だ･･･orz 吊って来る。
442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/23(金) 14:43:32 ]: >439
こうかな?
　a+x-1=ξ, b+y-1=η, c+z-1=ζ とおく。
　abc = a(1-y+η)c, xyz = (1-a+ξ)yz より,
　(abc + xyz)(1/ay) = c/y -c +(c/y)η + z/a -z +(z/a)ξ = c/y +z/a -1 -ζ +(c/y)η +(z/a)ξ.
　循環的にたすと、
　(左辺) = (c/y + y/c) + (a/z + z/a) + (b/y + y/b) -3 + ⊿
　　= 3 + (y-c)^2 /cy + (z-a)^2 /az + (y-b)^2 /by + ⊿
　　≧ 3 + ⊿.
　ここに、⊿ = (z/a -b/x -1)ξ +(x/b -c/y -1)η +(y/c -a/z -1)ζ.
　題意より, ξ=η=ζ=0,　∴ ⊿=0,　∴ (左辺) ≧ 3.
ぬるぽ
443 名前：442 mailto:sage [2005/09/23(金) 14:52:08 ]: しまった。xがyに変わってる…orz　釣って来る。
　(左辺) = (c/y + y/c) + (a/z + z/a) + (b/x + x/b) -3 + ⊿
　　= 3 + (y-c)^2 /cy + (z-a)^2 /az + (x-b)^2 /bx + ⊿
　　≧ 3 + ⊿.
444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/23(金) 16:28:07 ]: >>439
> 正の数 a、b、c、x、y、z が a+x = b+y = c+z = 1 をみたすとき、
> 　 (abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3

これですな。しかし harazi の証明が分からんぶー
www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?highlight=Leningrad+Olympiads+2002&t=2926
445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/23(金) 18:56:29 ]: >444
　abc + (1-a)(1-b)(1-c) = (1-b)(1-c) + ca + ab-a.
これを使って次の式を得る。
　[abc + (1-a)(1-b)(1-c)] * 1/(a(1-b)) = (1-c)/a +c/(1-b) -1.
循環的にたす。
　LHS = {(1-c)/a + a/(1-c)} + {(1-a)/b + b/(1-a)} + {(1-b)/c +c/(1-b)} -3.
Apply now AM-GM for these 6 numbers.
446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/24(土) 02:56:04 ]: みなさん、乙です。
シンプルなのに難しいですね。ﾊｧﾊｧ…
447 名前：429 mailto:sage [2005/10/02(日) 03:38:33 ]: >>423
[429]の改良
(略証) yはxとzの間（端点も含む）にあるとしてよい。このとき M = (x+y+z)/3 もxとzの間にある。

(i) yがxとM の間にあるとき、　x, y, M, (z+x)/2, (y+z)/2, z の順。
　∴ 線分(M、f(M))－(z,f(z))は線分((z+x)/2,f(…))－((y+z)/2,f(…)) より上にある。
　∴ f(z) + 3f(M) ≧ 2f((y+z)/2) + 2f((z+x)/2).
　一方、f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2).
　辺々たす。

(ii) yがMとzの間にあるとき、　x, (x+y)/2, (z+x)/2, M, y, z の順。
　∴ 線分(x、f(x))－(M,f(M))は線分(x+y)/2,f(…))－((z+x)/2,f(…)) より上にある。
　∴ f(x) + 3f(M) ≧ 2f((x+y)/2) + 2f((z+x)/2).
　一方、　f(y) + f(z) ≧ 2f((y+z)/2).
　辺々たす。　　　　　　　　　　　　　　(終)
448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/04(火) 00:04:23 ]: >>411
　e^(1-t) = 1/e^(t-1) < 1/t より、
　e^{1 -e^(1-x)} < e^{1-(2-x)} = e^(x-1) = {e^(1 -1/x)}^x < x^x.
　両辺を e^(e-1)乗して、x=e-1 とOK.

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/446
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/04(火) 02:37:33 ]: >>447
エレガントですね。
450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/04(火) 22:59:08 ]: MOCP 2005-9 問406
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_sept.pdf

このタイプは初めてかな…
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/05(水) 08:58:59 ]: >>448
なるへそ！ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾋﾞ！
問題の式が複雑なので、どこから手をつけていいか分かりませんでした。
452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/08(土) 19:54:45 ]: >450

406. Let a,b,c be natural numbers such that the expression
　　　(a+1)/b + (b+1)/c + (c+1)/a
　is also equal to a natural number. Prove that the greatest common diviser of a,b and c, gdc(a,b,c),
　does not exceed (ab+bc+ca)^(1/3), i.e.,
　　　gdc(a,b,c) ≦ (ab+bc+ca)^(1/3).

[略解]
　(与式) = k とおいて通分すると、ca(a+1) + ab(b+1) +bc(c+1) = k･abc.
　ab + bc + ca = k･abc -ca^2 -ab^2 -bc^2 = (a,b,cの3次の整式).
　gcd(a,b,c)=d とし、a=da', b=db', c=dc' とおくと
　a'b'+ b'c'+ c'a' = (a',b',c'の3次の整式)d ≧ d.
　ab + bc + ca ≧ d^3.
　(ab + bc + ca)^(1/3) ≧ d.
453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/09(日) 04:40:26 ]: 東大スレより

462 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/08(土) 19:39:30
logf(x)=logx /x（x>0）とする。
(1)f(x)の増減表を書け。
(2)99^100と100^99の大小を比較せよ。

465 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/09(日) 01:34:05
>462 (2)
　Ｃ[n,k] = n(n-1)…(n-k+1)/(k!) < (n^k)/(k!) なので、二項定理より、
　(1 +1/n)^n = ∑[k=0,n] Ｃ[n,k] (1/n)^k < ∑[k=0,n] 1/(k!) < e.
　(n+1)^n / {n^(n+1)} = (1/n)(1+1/n)^n < (1/n)e <1.　　(n≧3)
　∴ n^(n+1) < n^(n+1).
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 23:14:01 ]: 非負実数 s(1),s(2),...,s(2004) が
s(1)+s(2)+...+s(2004)=2,
s(1)s(2)+s(2)s(3)+...+s(2003)s(2004)+s(2004)s(1)=1
を満たすとき、s(1)^2+s(2)^2+...+s(2004)^2 の最大値、最小値を求めよ。
455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 23:41:16 ]: x,y∈[0,π/2]のとき
sin√(xy) ≧ √(sin(x)sin(y))
を示せ。
456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 23:44:05 ]: >>454-455
幼稚園児向けの問題ですか？
457 名前：園児にあ mailto:sage [2005/10/26(水) 03:19:23 ]: >454
　最大値は　s(1)^2+s(2)^2+･･･+s(n)^2 ≦ {s(1)+s(2)+･･･+s(n)}^2 -2{s(1)s(2)+s(2)s(3)+...+s(n-1)s(n)+s(n)s(1)} =2^2 -2 =2.
　s↑=(1,1,0,･･･,0) のとき。

　最小値は 3/2, s↑=(1/2,1,1/2,0,･･･,0)のとき、かな？？
458 名前：園児にあ mailto:sage [2005/10/28(金) 18:20:10 ]: >455
　x∈(0,π/2) では 0 < sin(x) < x < tan(x).
　f(x)≡log{sin(x)/x} とおく。
　f '(x) = 1/tan(x) -1/x <0 (単調減少)より、f(√(xy)) > f((x+y)/2).
　f "(x) = -1/sin(x)^2 +1/x^2 < 0 (上に凸)より、f((x+y)/2) > {f(x)+f(y)}/2.
　辺々たすと f(√(xy)) > {f(x)+f(y)}/2,　かな？？
459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/29(土) 03:47:04 ]: >458
　g(t)≡log(sin(e^t)) とおく。
　g '(t) = (e^t)/tan(e^t), g "(t) = -(2e^t -sin(2e^t))(e^t)/{1-cos(2e^t)} <0 (上に凸)
　∴ g(log√(xy)) > {g(log(x)) + g(log(y)) }/2
460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/02(水) 22:13:29 ]: Let x and y denote non-negative real numbers. Prove that sqrt(x/2) + sqrt(y/2) ≦ sqrt(x+y)
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200510&t=mat&l=en
461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/03(木) 03:02:16 ]: >460
　{sqrt(x/2)+sqrt(y/2)}^2 + {sqrt(x/2)-sqrt(y/2)}^2 = x+y から。
462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/03(木) 14:09:52 ]: >460 の所にありますた。

〔A.380〕
　単位正方形の内部に凸n角形Ｋがある。
　この多角形の3つの頂点を、それらが 80/(n^3)より小さい面積の三角形をなすように、
　選べることを示してくださいです。。。

〔A.380〕
　The convex n-sided polygon Ｋ lies in the interior of a unit square.
　Show that it is possible to select three vertices of the polygon
　that form a triangle of smaller area than 80/(n^3) units.
463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/03(木) 14:33:44 ]: >460
　v↑=(sqrt(x),sqrt(y))， e↑=(sqrt(1/2),sqrt(1/2)) とおくと、
　v↑・e↑ ≦ |v↑|.
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/03(木) 14:53:52 ]: (；´Д｀)'`ｧ'`ｧ
たまらんね。
不等式に萌える自分は異常かもしれない…、だがやめられん。
465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/03(木) 14:56:52 ]: >>462
これは、一辺が１の正方形内に凸n角形が入っていれば、
それがどんな凸n角形であろうとも、うまく３点を選べば、
80/(n^3)より小さい面積の三角形をなすことを示せということですよね？
むじゅ…
466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/05(土) 16:07:26 ]: 東大入試スレにありますた。

786 ：１３２人目の素数さん：2005/11/05(土) 00:26:13
a>0, b>0のとき、(a^b) + (b^a) >1　を示してくださいです。。。

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/786
467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/05(土) 16:18:37 ]: >466
　a≧1 のとき a^b≧1, b^a>0 より成立。　b≧1 のときも同様。
　残るは 0<a,b<1 のときである。
　ベルヌーイの不等式で 1+x=1/b とおくと
　　　(1/b)^a < 1 + a(1/b-1) = (a+b-ab)/b.
　　　∴ b^a > b/(a+b-ab),
　同様に a^b > a/(a+b-ab).
　辺々たして a^b + b^a > (a+b)/(a+b-ab) >1.　(終)

〔ベルヌーイの不等式〕
　(1+x)^a < 1+ax　　if 0<a<1, x>-1.

　mathworld.wolfram.com/BernoulliInequality.html
468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/07(月) 06:58:09 ]: >>466->>467
( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ

ネタ投下
３ページ目 Prob.239
www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 01:43:18 ]: >468
　【Prob.239】
　鋭角三角形 ABC について、次を示せ。
cos{(A-B)/2} + cos{(B-C)/2} + cos{(C-A)/2} ≦ ((√2)/2){(a+b)/√(a^2+b^2) + (b+c)/√(b^2+c^2) + (c+a)/√(c^2+a^2)}.
470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 02:38:33 ]: １ページ目の問３の関数方程式（不等式の友達の等式の親戚として大目に見てやって…）
１ページ目の問４の不等式と最大値の問題もサッパリでつよ
www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/09(水) 23:14:17 ]: >468-469
（Prob.239）
倍角公式, cos(C)>0 (C<π/2), 第二余弦定理より
　{2(a^2 +b^2)}sin(C/2)^2 = (a^2 +b^2){1-cos(C)} ≦ a^2 +b^2 -2ab･cos(C) = c^2.
　∴ sin(C/2) ≦ c/√{2(a^2+b^2)}.
これと補題から
　cos((A-B)/2) ≦ (a+b)/√{2(a^2+b^2)} ≦ 1,　等号は a=b, A=B のとき.　　(終)

【補題】
　△ABC に対し cos((A-B)/2) = {(a+b)/c}sin(C/2), など.
(略証)
　∠C の2等分線とABの交点をD, CからABに下ろした垂線を CH とすると、∠DCH = |A-B|/2.
　△ABC = (1/2)CH･c = (1/2)CD{c･cos[(A-B)/2]}.
　△BCD = (1/2)CD{a･sin(C/2)}.
　△ACD = (1/2)CD{b･sin(C/2)}.
　これを △ABC = △ABD + △ACD に代入する。(終)

※ a>0,b>0 のとき、2(a^2+b^2) ≧ (a+b)^2 ≧ 4ab,　　等号は a=b のとき.
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 02:08:29 ]: (Prob.232)
　線分AD上に2点B,Cがある。
AB=CD ならば任意の点Pに対して PA+PD ≧ PB+PC.
473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 06:33:37 ]: >>472
P が線分 AD 上にある場合や、P が線分 AD の延長線上にある
場合には、題意は明らか。よって以下、そうでない場合を考える。

B （または C）が線分 AD の端点と一致する場合は題意は自明。
よって以下、そうでない場合を考える。

はじめに、B と C が一致しない場合を考える。

示すべき式の形から、4 点 A B C D は、この順に並んでいるとして
さしつかえない。このとき、AD の中点を M とすれば、5 点 A B M C D
はこの順に一直線に並んでいて、また M に関して対称である。

Mに関してPと対称な点をQとすると、対称性から PD = QA、
また PC = QB。したがって我々は「PA + AQ ≧ PB + BQ」を
示せば十分である。

仮定から、点 B は三角形 APQ の内部にある。したがって、直線
PB を B の側に延長すれば、その延長線は三角形 APQ の周と
共有点をもつ。その点を R として、R が三角形のどの辺上にあるか
考えるが、直線 PR すなわち直線 PB は辺 PA および辺 PQ の
いずれとも一致しないから、R はこれら二辺の辺上にはなく、
したがって R は辺 AQ 上の点である。

三角形 PAR および三角形 BRQ で三角不等式からそれぞれ
PA + AR ≧ PR、BR + RQ ≧ BQ がいえていることに注意すると

　PA + AQ ＝ PA + AR + RQ
　　　　　　 ≧ PR + RQ
　　　　　　 ≧ PB + BR + RQ ＝ PB + BQ

これが示すべきことであった。B と C が一致する場合も同様である。
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/12(土) 01:51:13 ]: >473
　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!

　直線ADに関してPと対称な点Rをとって
　凸多角形F ⊂ 閉曲線G　⇒　(Fの周長) < (Gの周長)
　でもいいらしい。

　凸多面体S ⊂ 閉曲面T　⇒　(Sの表面積) < (Tの表面積)
ハｧハｧ
475 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/27(日) 21:06:17 ]: ？
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/29(火) 23:02:07 ]: >>58 問題Ｄ(7)
これでどうだ？おらっ！

Σ[k=0 to ∞](C[2k,k]/{(2k+1)*16^k})Σ[j=0 to k](-1)^jC[2k+1,k+j+1](2j+1)^(2p+1) = ?
477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/29(火) 23:09:56 ]: 　　(　⌒　)
　　　l | /
　　 ∧_∧　　
⊂（*・∀・）　ん～これか？ほしいんだろ、これが！
　/　　　ﾉ∪ 　　　　　　　
　し―-J　|l| |　　　
　　　　　人ﾍﾟｼｯ!!
　　　　　　　＿＿
　　　　　　　＼　＼
　　　　　　　　￣￣
自然数 m, n に対して、(m+n) !/(m+n)^(m+n) < (m!/m^m)・(n!/n^n) を示せ。
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/30(水) 13:22:44 ]: >>477
ﾊｧﾊｧ…
479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/01(木) 20:39:40 ]: おれの解析の参考書(野本久夫著、｢解析入門｣、サイエンス社)にのってる式
　
　(√n)n^n＜e^n･n!/√(2π)＜(√n)n^n(1+1/4n) (n≧2)
　
をつかわせてもろたら簡単なんだけどな･･･この式証明まんどくせー
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/03(土) 01:12:31 ]: >477
a>0,b>0 のとき
　{(m+n)!/(m!n!)}(a^m)(b^n) = C[m+n,m](a^m)(b^n) < (a+b)^(m+n).
ここで a:b=m:n と桶。

(参考書)
　ﾊｲｾﾞﾝﾍﾞﾙｸﾞ:「部分と全体－私の生涯の偉大な出会いと対話－」みすず書房
　Werner Heisenberg: "Der Teil und das Ganze －Gesprache im Umkreis der Atomphysik－"
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/03(土) 01:56:34 ]: >>479
>>480
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　|::::: (●　(● |　明日、図書館に行ってみます
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/03(土) 02:07:40 ]: >476
　δ_(p,0) らしいYo.

シンプルで難しい問題
　ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1011067036/414-417
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/03(土) 02:21:57 ]: 不等式の問題： MOCP （問418、問420）

( ﾟ∀ﾟ)つ www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_dec.pdf

>>482
どうみてもグッジョブです。本当にありがとうございました。

どう見ても○○のガイドライン
ex13.2ch.net/test/read.cgi/gline/1132234454/l50
484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/03(土) 03:02:36 ]: >483
[問418]
　(a) Show that, for each pair m,n of positive integers, Min{m^(1/n), n^(1/m)} ≦ 3^(1/2).
　(b) Show that, for each positive integer n, (1+1/√n)^2 ≧ n^(1/n) ≧1.
　(c) Determine an integer N for which　n≧N ⇒ n^(1/n) ≦ 1.00002005。 Justify your answer.

[問420]
　Two circles intersect at A and B. Let P be a point on one of the circles.
　Suppose that PA meets the second circle again at C and PB meets the second circle again at D.
For what position of P, is the length of the segment CD maximum ?
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/03(土) 03:19:32 ]: なんか、Pを動かしてもCDの長さは変わらない気がするんだけど
486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/03(土) 19:54:31 ]: >483-484
[問418]
(a) 1<m<n としてもよい。Min = m^(1/n) ≦ (n-1)^(1/n).
　f(x) = (1/x)log(x-1) とおくと、f '(x) = {1 +1/(x-1) -log(x-1)}/(x^2) = g(x)/(x^2), g(x) は単調減少。
　x≦4 のとき g(x) ≧ g(4) = (4/3)-log(3) = 0.23472104･･･ >0, f '(x) >0, f(x) ≦ f(4) = (1/4)log(3).
　x≧5 のとき g(x) ≦ g(5) = (5/4)-log(4) = -0.13629436･･･ <0, f '(x) <0, f(x) ≦ f(5) = (1/5)log(4).

　n≦4 のとき (n-1)^(1/n) ≦ 3^(1/4) = 1.31607401･･･
　n≧5 のとき (n-1)^(1/n) ≦ 4^(1/5) = 1.31950791･･･
　∴ Min = m^(1/n) ≦ (n-1)^(1/n) ≦ 4^(1/5) = 1.31950791077289･･･

(b) n=1 の場合は明らかゆえ、n>1 とする。 1+x ≦ exp(x) より、
　1 +1/√n = 1/[1 -1/(1+√n)] > exp(1/(1+√n)) = {exp(-1+√n)}^(1/(n-1)) > (√n)^(1/(n-1)) = n^{1/(2(n-1))}.
　∴ (1+1/√n)^2 > n^(1/(n-1)) > n^(1/n) >1.

(c) 1+1/√n < √1.00002005,　1/√n < 1.002494975･･･×10^(-5), n ≧ 0.9950286628×10^10 =N.
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/03(土) 20:26:14 ]: >483 の所にありますた。

[問421] 次を示してくださいです。。。。
　(a) 平面上の4角形 ABCD について、 AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD
　(b) 空間内の4面体 ABCD について、 AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD

ヒント
　mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/04(日) 03:32:59 ]: >487
[解421]
(a) ∠A, ∠B, ∠D ≦π としてよい。∠A の内部の点Eを、△ABE と △ACD が等角になるようにとる。　　
　　△ABE ∽ △ACD　　･････　(1)
　だから、AB:AC = AE:AD そして ∠BAC = ∠EAD.　ゆえに二辺夾角の相似定理により
　　△AED ∽ △ABC　　･････　(2)
　(1)から AB･CD = AC･BE,　(2)から AD･BC = AC･ED を得る。
　辺々加えて、AB･CD + AD･BC = AC･(BE+ED) ≧ AC･BD.

　小平邦彦: ｢幾何のおもしろさ｣　数学入門ｼﾘｰｽﾞ 7, 岩波書店 (1985), 定理111, p.252-254
　矢野健太郎: ｢幾何の有名な定理｣数学ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ双書36, 共立出版 (1981), p.47-48

(a) 複素数平面を考え、A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
　(b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) ≡ (c-a)(d-b). 　　(← ﾔｺﾋﾞの恒等式)
　∴ |b-a|･|d-c| + |d-a|･|c-b| ≧ |c-a|･|d-b|.

　栗田稔: ｢数学100の定理｣数ｾﾐ増刊, p.16 (1983)

(b) AC,BDに平行な平面Π上に射影する。右辺は減少し、左辺は元のまま。
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/04(日) 06:38:35 ]: >>488
(a) 幾何学的証明と複素数を用いた証明は、どちらも >>1[3] PP.23-24 にも載ってまつ。
(b) なるほど！その手があったか！さっぱり気づかなかったです。
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/05(月) 03:37:08 ]: これは既出ですか？

( ﾟ∀ﾟ)つ正の数 a、b、c に対して (a/b + b/c + c/a)^2 ≧ (a+b+c)(1/a + 1/b +1/c)
491 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/05(月) 07:49:56 ]: talk:>>490
c=1としても一般性を失わない。
(a/b+b+1/a)^2-(a+b+1)(1/a+1/b+1)
=((a^2+ab^2+b)^2-ab(a+b+1)(ab+a+b))/(ab)^2,
(a^2+ab^2+b)^2-ab(a+b+1)(ab+a+b)
=a^2b^4+a^4+b^2+2a^3b^2+2a^2b+2ab^3-ab(a^2b+a^2+ab+ab^2+ab+b^2+ab+a+b)
=a^2b^4+a^4+b^2+2a^3b^2+2a^2b+2ab^3-a^3b^2-a^3b-a^2b^3-ab^3-3a^2b^2-a^2b-ab^2
=a^2b^4+a^4+b^2+a^3b^2+a^2b+ab^3-a^3b-a^2b^3-3a^2b^2-ab^2

新しい問題。
a,bが正の数のとき、a^2b^4+a^4+b^2+a^3b^2+a^2b+ab^3-a^3b-a^2b^3-3a^2b^2-ab^2≥0を証明せよ。
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/05(月) 09:41:41 ]: talk:>>491
c=1などとして対称性を失わない。
(a/b+b/c+c/a)^2-(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=((ca^2+ab^2+bc^2)^2-abc(a+b+c)(ab+bc+ca))/(abc)^2,
(ca^2+ab^2+bc^2)^2-abc(a+b+c)(ab+bc+ca)
=c^2a^4+a^2b^4+b^2c^4+2(a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3)
　　　　　　　　　　-abc(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc)
=c^2a^4+a^2b^4+b^2c^4+(a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3)-abc(ab^2+bc^2+ca^2+3abc)
=c^2a(a^3+b^3-b^2a-ab^2)+a^2b(b^3+c^3-b^2c-bc^2)+b^2c(c^3+a^3-c^2a-ca^2)
=c^2a{(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)}+a^2b{(b+c)(b^2-bc+c^2)-bc(b+c)}+b^2c{(c+a)(c^2-ca+a^2)-ca(c+a)}
=c^2a(a+b)(a-b)^2+a^2b(b+c)(b-c)^2+b^c(c+a)(c-a)^2
≧0
493 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/05(月) 15:59:25 ]: talk:>>492 c=1などとしないほうが分かりやすかったのか。
494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/06(火) 01:08:17 ]: >476
>>58 問題Ｄ(7)
　1/Ｃ[n-1,k] + 1/Ｃ[n-1,k+1] = n/{(n-1)Ｃ[n-2,k]} を使いますた。

与式の左辺を S_n とおくと、
S_n = (1/n)Σ[k=0,n-1] 1/Ｃ[n-1,k]
　= (1/2n){∑[k=0,n-2] 1/Ｃ[n-1,k] + ∑[k=1,n-1] 1/Ｃ[n-1,k] + 2}
　= (1/2n)∑[k=0,n-2] { 1/Ｃ[n-1,k] + 1/Ｃ[n-1,k+1] } + 1/n
　= (1/2n)∑[k=0,n-2] n/{(n-1)Ｃ[n-2,k]} +1/n
　= {1/2(n-1)}{∑[k=0,n-2] 1/Ｃ[n-2,k]} + 1/n
= (1/2)S_(n-1) + 1/n.
　∴ (2^n)S_n = {2^(n-1)}S_(n-1) + (2^n)/n = ･･････ = ∑[k=1,n] (2^k)/k.
　∴ S_n = ∑[k=1,n] 2^(k-n)/k = (右辺).
ぬるぽ
495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/08(木) 00:02:53 ]: >490
　a,b,c>0 に対して (a/b + b/c + c/a)^2 ≧ (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9.

(略証) b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと xyz=1. 与式の各辺は
　(x^2 +2/x) + (y^2 +2/y) + (z^2 +2/z),　(x+1 +1/x) + (y+1 +1/y) + (z+1 +1/z),　3 + 3 + 3.
のように分けられるので、
　x>0 のとき、 x^2 +2/x ≧ x+1 +1/x ≧ 3.
に還元される。これは
　(x^2 +2/x) -(x+1 +1/x) = (1/x)(x+1)(x-1)^2 ≧0,
　(x+1 +1/x) - 3 = (1/x)(x-1)^2 ≧0.
により成立。　等号は x=y=z=1, a=b=c のとき。
ぬるぽ

【類題】
　(a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 3[(1- a/b)(1- b/c)(1- c/a)]^(2/3) ≧ 9.
　[前スレ.704](8), 解答は [前スレ.808]
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 01:18:01 ]: 29 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 21:58:26
三角ABCの内接円、外接円の半径をそれぞれｒ、Rとするとき R≧2ｒを示せ。

30 ：１３２人目の素数さん：2005/12/12(月) 22:25:19
だから宿題をココに投下するなって

東大入試作問者スレ６
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/29
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 01:24:13 ]: >496
① 三角形の3辺を切る円は、内接円を含むから、半径>r.
② 各辺の中点A',B',C'を通る円(つまり△A'B'C'の外接円)の半径は, Rの1/2.
①②より、R≧2r.
なお、n次元では R≧nr らしい。（清水多門氏)

参考書[3]の p.7～8 例題4.
498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 02:44:28 ]: 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　>>496
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　懐かしい。
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　　　これは球殻不等式ですね。
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　せっかくなので、毒電波入りの別証を…。
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ
------------------------------------------------------------------------------
やっときましたね。おめでとう。

　　△ABCの面積 S = (1/2)ab・sinC に正弦定理を用いて、R = abc/(4S)
　　△ABCの半周長を s = (a+b+c)/2 とおくと、S = rs
　　これより、示すべき不等式は abc ≧ 8S^2/s

なに　かんがえてんだ！

　　右辺にヘロンの公式 S^2 = s(s-a)(s-b)(s-b) を用いると、上式は abc ≧ 8(s-a)(s-b)(s-c)

どういうことだ？

　　ここで x = s-a、y = s-b、z = s-c とおくと、結局、示すべき不等式は、
　　x、y、z > 0 の条件下で、(x+y)(y+z)(z+x) ≧ 8xyz となる。

そこでそうかそうじょうへいきんか！

　　そう！そのとおり！！　わたしは　ふとうしきを　うちたおす　ヒーローが　ほしかったのです！

なにもかも　あんたが　かいた　すじがきだったわけだ。

　　なかなか　りかいが　はやい。（以下略）

神のガイドライン ex13.2ch.net/test/read.cgi/gline/1131772534/l50
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 02:50:16 ]: ﾜﾛｽ
500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/16(金) 10:13:49 ]: 三百三十三日三時間三十三分三十三秒。
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/17(土) 09:29:40 ]: >>494
ついでに、こやつめも殺っちゃってください。

( ﾟ∀ﾟ)つ Σ[n=4 to ∞] Σ[k=2 to n-2] 1/C[n,k] = 3/2
502 名前：466 mailto:sage [2005/12/17(土) 18:32:18 ]: ☆東大入試作問者スレ6　にありますた。

154 ：１３２人目の素数さん：2005/12/17(土) 15:07:50
nを自然数とする。
∫[0,n] log(2^(2^x)+1) dx ＜ 2^n を証明せよ。

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/154-157
503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/17(土) 19:50:21 ]: >>502
うほっ！ムズそう！
504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/18(日) 10:15:22 ]: 　　(　⌒　)
　　　l | /
　　 ∧_∧　　
⊂（*・∀・）　これは、まだ解いてないですよね？
　/　　　ﾉ∪ 　　　　　　　
　し―-J　|l| |　　　
　　　　　人ﾍﾟｼｯ!!
　　　　　　　＿＿
　　　　　　　＼　＼
　　　　　　　　￣￣
正の数 a、b、c が a+b+c+abc=4 をみたすとき、次を示せ。
a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) ≧ (a+b+c)/sqrt(2)
505 名前：466,502 mailto:sage [2005/12/18(日) 17:24:28 ]: >503
元スレの解答は...
　log(1+y) < y.
　2^x > e･log(2)x > x/log(2) より 2^(2^x) > e^x.
　log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)] < (2^x)log(2) + e^(-x).

∫[0,n] (2^x)log(2) dx < (左辺) < ∫[0,n] { (2^x)log(2) + e^(-x) }dx
∴　[ 2^x ](x:0→n) < (左辺) < [ 2^x - e^(-x) ](x:0→n)
∴　2^n -1 < (左辺) < 2^n -e^(-n) < 2^n.

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/159
506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/18(日) 22:31:42 ]: >501
先にnの和を取る。
　1/Ｃ[n,k] = k!/{n(n-1)…(n-k+1)}
　= {1/(k-1)}{ k!/[(n-1)(n-2)…(n-k+1)] - k!/[n(n-1)…(n-k+2)] }
　= {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[n-1,k-1] - 1/Ｃ[n,k-1] }.　より
　∑[n=k+2,∞) 1/Ｃ[n,k] = k/{Ｃ[k+1,k-1](k-1)} = k/{Ｃ[k+1,2](k-1)} = 2/{(k+1)(k-1)} = 1/(k-1) - 1/(k+1).
そこで kの和をとると、
　∑[k=2,∞) {1/(k-1) -1/(k+1)} = 1 + 1/2 = 3/2.

〔不等式ぢゃねぇのにﾊｧハァしちまった。今は反省している。〕
507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/20(火) 01:18:25 ]: >>506
> 先にnの和を取る。

ｎと k は別々に極限をとっていいのですか？
その辺がよく分からないので、もう少し詳しくお願いします。
自分は、次のように考えて、止まりました。

lim[m→∞] ∑[n=4, m] ∑[k=2, n-2] 1/Ｃ[n, k]
= ∑[k=2, m-2] ∑[n=4,m] 1/Ｃ[n, k]
= ∑[k=2, m-2] k/(k-1) ∑[n=4,m] {1/Ｃ[n-1, k-1] - 1/Ｃ[n, k-1] }
= ∑[k=2, m-2] k/(k-1)*{1/Ｃ[k+1, k-1] - 1/Ｃ[m, k-1] }
= ∑[k=2, m-2] 2/(k-1)(k+1) - ∑[k=2, m-2] k/{(k-1)*Ｃ[m, k-1]}
= 1 + 1/2 - 1/(m-2) -1/(m-1) - ∑[k=2, m-2] k/{(k-1)*Ｃ[m, k-1]}

第２項の変形が、上手くいかね…
508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/20(火) 01:36:29 ]: >507
　絶対収束の場合は，収束性が項の順序に無関係になるらしい。。。

高木: ｢解析概論｣改訂第三版, 岩波書店, p.173 (1961), 第4章 §50.二重級数
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/20(火) 02:55:48 ]: >>508
なるほど、ありがとうございました。

>>325
その変形が、思いつきそうにないです。差をとって簡単にできないでしょうか？
510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/20(火) 02:57:29 ]: > (左辺) ≡ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+c+d)/(2+d+a)
> ≦ (2+a+b)/(2+b) + (2+c+d)/(2+d) = 2 + a/(2+b) + c/(2+d) = 2 +[a(2+d)+c(2+b)]/[(2+b)(2+d)]
> ≦ 2 + 3(a+c)/[2(2+b+d)] = [2(2+b+d)+(3/2)(a+c)]/(2+b+d)
> ≦ 4･[2 +(3/8)(a+c)]/(2+b+d) = 4･(2+a+c)/(2+b+d) ≡ (右辺)

この変形のことです
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/20(火) 22:33:01 ]: >>505
２行目の
> 　2^x > e･log(2)x > x/log(2) より …

ここが、さらっと出ないんですけど、どう考えるのですか？
おねげぇしますだ。
512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 01:10:43 ]: >511
　1行目で 1+y=Y とおくと、log(Y)<Y-1, e･Y<e^Y, 2^x = exp{log(2)･x} > e･log(2)･x,
　ｅ･{log(2)}^2 ≒ 1.3060067 > 1.
513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 01:26:09 ]: >504
f(x) = 1/sqrt(x) は f>0, f'<0, f">0 を満足する。
よって Jensen により
　(左辺) = a･f(b+c) +b･f(c+a) + c･f(a+b) ≧ s･f(2t/s).
ここに、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいた。
補題↓により t≦s だから
　s･f(2t/s) ≧ s･f(2) = (右辺).
ぬるぽ

〔補題〕a,b,c>0, a+b+c+abc=4 ならば ab+bc+ca ≦ a+b+c.
(略証)
a,b,c の基本対称式を s,t,u とおく。題意により s+u-4=0.
　s^3 -4st +9u ≧ 0.　　　　　　(← 参考書[1]の定理80 >>38 >>399 n=1の場合）
　(s/3)^3 +s -4 ≧ u +s -4 =0, 左辺は単調増加だから s≧3.
これらより、
　4s(s-t) = (s^3 -4st +9u) +(s^2 -9)u - (s+u-4)s^2 ≧0.
　∴ t≦s. (終)　
514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 02:21:50 ]: >>286
> (3) 0 ≦A, B, C, D ≦ π/2 のとき、
> 　 (2+sinA+sinB)/(2+sinB+sinC) + (2+sinC+sinD)/(2+sinD+sinA) ≦ 4(2+sinA+sinC)/(2+sinB+sinD)

>>325
> 　a=sin(A), b=sin(B), c=sin(C), d=sin(D) とおくと　0≦a,b,c,d≦1.
> 　(左辺) ≡ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+c+d)/(2+d+a) ≦ (2+a+b)/(2+b) + (2+c+d)/(2+d)
> 　= 2 + a/(2+b) + c/(2+d) = 2 +[a(2+d)+c(2+b)]/[(2+b)(2+d)] ≦ 2 + 3(a+c)/[2(2+b+d)]
> 　= [2(2+b+d)+(3/2)(a+c)]/(2+b+d) ≦ 4･[2 +(3/8)(a+c)]/(2+b+d) = 4･(2+a+c)/(2+b+d) ≡ (右辺).
> 　等号成立は a=c=0, b=d=1 のとき。
> ぬるぽ

>>325 をみて、こうやったけどＯＫ？

（右辺） - （左辺）
＝ 4(2+a+c)/(2+b+d) - (2+a+b)/(2+b+c) - (2+c+d)/(2+d+a)
≧ 4(2+a+c)/(2+1+1) - (2+a+b)/(2+b+0) - (2+c+d)/(2+d+0)
＝ a+c - a/(2+b) - c/(2+d)
＝ a{1-1/(2+b)} + c{1-1/(2+d)}
≧ 0

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
しかし、この方法では >>326 の系の証明に使えない…

> 【系】0≦a,b,c,d≦1 のとき
> 　4 ≦ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+b+c)/(2+c+d) + (2+c+d)/(2+d+a) + (2+d+a)/(2+a+b) < 4 +3/2 = 11/2.
> 　(略証) 　[325]より、(325の左辺) ≦ 2 + 3(a+c)/[2(a+b+c+d)].
515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 02:30:00 ]: >>512
嗚呼！成る程、感謝ナリ
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 02:41:29 ]: >>326
つまり、こういうことですか？

1≦a、b、c、d≦2 に対して、
　4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) ≦ 11/2

　　　　　　　　　　　　　　 _.. ..‐::´／
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　　　　　　 /:::::::::::::::::::::|´|ヽ　　　|/_:::.::／
　　_ .. -─':::::::::::::::､::|｀'　　,　　　.!::∠
　　｀''　‐-.._:::::::;-‐､｀（●）　　（●）　|::::｀::-､　　　オッス！オラ悟空
　=ﾆ二::::::::::::::::|６　　＼＿＿_／､｜　-──｀クリスマスを一人で過ごすというのに
　　　　‐=.二;;;;;｀‐ｔ　　　＼／　　ノ　　　　　　　なんだかすっげえワクワクしてきたぞ！
517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 02:42:46 ]: >>516
あ、右辺の不等号をミスった。書き直し。

1≦a、b、c、d≦2 に対して、
　4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 11/2．
518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/22(木) 01:38:55 ]: >514
【系】(>>326)
(略証)　0≦a,b,c,d≦1 より
(2+a+b)/(2+b+c) ≦ (2+a+b)/(2+b) = 1 + a/(2+b) = 1 + 1.5a/(3+1.5b) ≦ 1 + 1.5a/(a+b+c+d).
　循環的にたす。
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/22(木) 07:18:54 ]: >>518
さすがでござるよ、ﾆﾝﾆﾝ。 ( ﾟ∀ﾟ)
520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/22(木) 09:47:33 ]: >>513
> 〔補題〕a,b,c>0, a+b+c+abc=4 ならば ab+bc+ca ≦ a+b+c.

条件式と相加相乗から 1≧abc なので、a+b+c≧3 （等号はa=b=c=1）
対称性から a≧b≧c (>0) としてもヨーシヨシいい子だ。このとき a≧1≧c (>0)
b = (4-c-a)/(1+ca) より、
a+b+c-(ab+bc+ca) = {(c+a-2)^2 + ca(a-1)(1-c)}/(1+ca) ≧ 0 （等号はa=b=c=1）

ｱｯﾃﾏｽｶ？ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/22(木) 10:05:52 ]: >>513
a, b, c に上限があるから、a･f(b+c) +b･f(c+a) + c･f(a+b) の最大値も求まるでしょうか？
522 名前：518 mailto:sage [2005/12/22(木) 23:39:00 ]: >514
【系】(>>326)
　(2+a+b)/(2+b+c) + …… ≦ 5.
(略証)
0≦a,b,c,d≦1 より (a-c)/(2+b+c) ≦ 1/2, 2-b-c≧0.
加比の理より、　　　( >>348 )
　(2+a+b)/(2+b+c) = 1 + (a-c)/(2+b+c) ≦ 1 + [a-c +(2-b-c)/2]/[2+b+c +(2-b-c)] = 1 + [1+a -(1/2)b -(3/2)c]/4.
循環的に加える。
　(左辺) ≦ 4 + [4-(a+b+c+d)]/4 ≦ 5.
523 名前：513 mailto:sage [2005/12/23(金) 00:25:42 ]: >520
まる。
　www.hakutsuru.co.jp/maru/index.html
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/23(金) 05:04:59 ]: >>522
おー、すげっ！
でも、等号成立条件が分からないです。
右辺の等号成立条件は a+b+c+d=0 (0≦a,b,c,d≦1) のときだから、a=b=c=d=0
これを左辺に代入すると（左辺）=4 となって…
525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/23(金) 05:12:24 ]: >>348の加比の理の証明の中で ⊿ = ad-bc = 0 のときだから、
>>522の証明の中で (a-c)・(2-b-c) - (2+b+c)・[(2-b-c)/2] = 0 を解いて
　2a=2+b+3c (0≦a,b,c,d≦1) ⇔ a=1, b=c=0
てことは、等号は成立しないってことですね？
526 名前：522 mailto:sage [2005/12/23(金) 11:15:04 ]: >524-525
訂正....

【系】0≦a,b,c,d≦1 のとき
　4 ≦ (2+a+b)/(2+b+c) + …… < 5.
　等号成立は a=c,b=d のとき。
527 名前：513 mailto:sage [2005/12/23(金) 22:59:10 ]: >521
a=c=ε, b=(4-2ε)/(1+ε^2) とおいて ε→0 とすると…

もうだめぽ
　ttp://a-cats-yawn1986.seesaa.net/article/10671208.html
528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/23(金) 23:47:50 ]: >>527
なるほど。

ΩΩ Ω ＜ﾅ、ﾅﾝﾀﾞｯﾃｰ
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/23(金) 23:51:58 ]: 正の数 a, b, c が ab+bc+ca+abc=4 をみたすとき
1+a+b+c ≦ abc+ 1/a + 1/b + 1/c を示せ。

似たようなのがあったようなハロゲンガス
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/24(土) 00:08:05 ]: 連続関数 f(x) に対して、∫[0, 1]e^{f(x)}dx ≦ e^(∫[0, 1]f(x)dx) を示せ。
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/24(土) 01:14:15 ]: >>530
∫[0,1]f(x)dx=aとおく。e^t≧(e^a)(t-a)+e^aが任意のtで成立するゆえ
e^{f(x)}≧(e^a)(f(x)-a)+e^a。∴∫[0,1]e^{f(x)}dx≧∫[0,1]((e^a)(f(x)-a)+e^a)dx=e^a=e^(∫[0,1]f(x)dx)
･･･不等号逆じゃね？
532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/24(土) 02:05:48 ]: >>531
> ･･･不等号逆じゃね？

仰せの通りにごぜえます

　|
　8 ＜ｼﾝﾃﾞｵﾜﾋﾞｦ…
　'`
　￣
533 名前：531 mailto:sage [2005/12/24(土) 02:27:41 ]: >>532
ィ㌔
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/25(日) 22:53:51 ]: >529
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　題意より t + (t/3)^(3/2) ≧ t + u = 4, 左辺は単調増加だから t≧3.
　(右辺) = u + t/u = 3u/4 + [t^2 -(t-u)(t+u-4)]/(4u) +1 = 3u/4 + (t^2)/(4u) +1 だから
　s ≦ 3u/4 + (t^2)/(4u).
　を示せばよい。
　(左辺) - (右辺) = s -(t^2)/(4u) -3u/4 = (4su-t^2)/(4u) -3u/4
　ここで、t^3 -4stu +9u^2 ≧0 (*) を使うと
　(左辺) - (右辺) ≦ 9u/(4t) -3u/4 = -3(t-3)u/(4t) ≦ 0.
ぬるぽ

*) Schur の不等式　　>>399 , 参考書[1]の定理80, 参考書[3]のp.28
　F_n = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧0.
　n=-2 の場合は
　F_(-2) = (1/a^2)(a-b)(a-c) + (1/b^2)(b-c)(b-a) + (1/c^2)(c-a)(c-b)
= (t^3 -4stu +9u^2)/(u^2) ≧0
535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/30(金) 16:11:30 ]: さくらスレ182にありますた。

905 ：１３２人目の素数さん：2005/12/30(金) 10:13:33
絶対値が1より小さい4つの実数a,b,c,dに対し、a+b+c+d < 3+abcd が成り立つことを示せ。

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134810000/905 ,913
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/30(金) 17:36:54 ]: >>535
|a|, |b| < 1 に対して、(1+ab)-(a+b) = (1-a)(1-b) > 0 より、a+b < 1+ab が成り立つ。

|a|, |b|, |c|, |d| < 1 のとき、|ab|, |abc| < 1 より、上の不等式を繰り返し用いる。
　(a+b)+c+d < 1+ab+c+d < 2+abc+d < 3+abcd

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/02(月) 05:02:02 ]: 123
538 名前：534 mailto:sage [2006/01/02(月) 18:09:21 ]: >529
Schurの不等式について　(補足)
F_(-n)≧0 と F_(n-1)≧0 は同値
　F_(-n) (a,b,c) = F_(n-1) (1/a,1/b,1/c)
　F_n(a,b,c) = G_n(s,t,u) とおくと、
　G_(-n) (s,t,u) = G_(n-1) (t/u,s/u,1/u)
539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/06(金) 00:26:58 ]: ( ﾟ∀ﾟ)つ「正の数 a, b, c, d に対して、
　　　　　　　sqrt(a+b+c+d) + sqrt(b+c+d) + sqrt(c+d) + sqrt(d) ≧ sqrt(a+4b+9c+16d) 」
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/06(金) 02:20:05 ]: さくらスレにありますた。

276 ：１３２人目の素数さん：2006/01/04(水) 20:54:36
　π^e とe^3 はどっちが大きいか教えてください。
　計算機に頼らないとき方はないですか？

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136023134/276-280 ,395
541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/06(金) 02:50:04 ]: >539
　√(a+b+c+d)=w, √(b+c+d)=z, √(c+d)=y, √d=x とおくと、0≦x≦y≦z≦w.
　(左辺)^2 = (x+y+z+w)^2 = (x^2+y^2+z^2+w^2) + 2x(y+z+w) +2y(z+w) +2zw ≧ 7x^2 +5y^2 + 3z^2 +w^2 = a + 4b + 9c +16d = (右辺)^2.
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/06(金) 11:43:23 ]: >>540
395 ：１３２人目の素数さん：2006/01/06(金) 02:15:34

　9/4<e<3 より、(9-e)(2e-3)/2 = e^2 + (4e-9)(3-e)/2 > e^2.
　∴ log{(9-e)/2} > 1 + log{e/(2e-3)} = 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} = 3/e.
　∴ π^e > {(9-e)/2}^e > e^3.
543 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/06(金) 12:13:07 ]: talk:>>540
19/7<e, 28/9<πなので(これも要証明だが省略。)、
19/7*ln(28/9)が3より大きいことを証明すればよい。
exp(21/19)が28/9より小さいことを示すことにしよう。
exp(21/19)<1+21/19+(21/19)^2/2*∑_{n=0}^{∞}((7/19)^n)=467/152<28/9.
よってπ^e>e^3.
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/06(金) 16:50:00 ]: >>540
改造したくなるのが不等式ヲタの…
(
ﾟ∀ﾟ)つ「 e^π > π^e > e^3 を示せ。」
545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/06(金) 19:55:23 ]: >>539
つ【三角不等式】
546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/06(金) 20:17:16 ]: >>542
> 　9/4<e<3 より、(9-e)(2e-3)/2 = e^2 + (4e-9)(3-e)/2 > e^2.
> 　∴ log{(9-e)/2} > 1 + log{e/(2e-3)} = 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} = 3/e.
> 　∴ π^e > {(9-e)/2}^e > e^3.

２行目の 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} を解説お願いします。
もっとスッキリした証明はないのでしょうか？
547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/06(金) 20:48:43 ]: >545,539
【n角不等式】
　|x↑| + |y↑| + |z↑| + |w↑| + … ≧ |x↑ + y↑ + z↑ + w↑ + … |
に
　x↑ = (√d,　0,　0,　0,0,0,…),
　y↑ = (√d,√c,　0,　0,0,0,…),
　z↑ = (√d,√c,√b,　0,0,0,…),
　w↑ = (√d,√c,√b,√a,0,0,…),
を代入する？

>544
　y=exp(x) は下に凸だから exp(x) > 1+x　(x≠0),
　p≠e とする。log{log(p)}≠log(1)=0 だから log(p) > 1 + log(log(p)).
　∴ p > e･log(p)
　∴ e^p > p^e.

『大学への数学』(1970.11)
「数学の問題 = 第③集」数セミ増刊、日本評論社 (1988.9) 第27問
548 名前：542 mailto:sage [2006/01/06(金) 21:02:45 ]: >546
>547 の exp(x) > 1+x から -log(1+x) > -x.
　これに x=1-(3/e) を代入する。
　もっといい証明があればうpシロン.

>547 の訂正
　p>1, p≠e とした。　(p≦1 の場合は明らか)
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/06(金) 21:22:05 ]: >>546
> ２行目の 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} を解説お願いします。 … ★

つ ★ ⇔ log{2-(3/e)} < 1-(3/e)

('A`) ：なに　かんがえてんだ！

つ ★ ⇔ 1-3/e = t とおくと、log(1+t) < t

('A`) ：どういうことだ！

つ【y=log(1+x)の原点における接線】

('A`) ：なにもかも　あんたが　かいた　すじがきだったわけだ

つ　なかなか　りかいが　はやい。（以下略）
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/09(月) 14:40:05 ]: 東大スレ [381-313] より。

面積1の三角形の三辺の長さをx,y,zとする。
1/(x+y-z) + 1/(y+z-x) + 1/(z+x-y) の最小値を求めよ。

X = y+z-x > 0, Y = x+z-y > 0, Z = x+y-z > 0 とすると
x = (Y+Z)/2, y = (X+Z)/2, z = (X+Y)/2, x+y+z = X+Y+Z
s = (x+y+z)/2 = (X+Y+Z)/2

三角形の面積が1なので、
√s(s-x)(s-y)(x-z) = √((X+Y+Z)/2)(X/2)(Y/2)(Z/2) = 1
∴ √((X+Y+Z)XYZ) = 4 <=> XYZ(X+Y+Z) = 16 -- (1)

ところで相加相乗調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 3/(XYZ) <= (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) <= 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺辺掛け合わせて
27/(XYZ(X+Y+Z)) <= (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27/16)^(1/4) = 3^(3/4)/2 <= 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/3)

ところで相加･相乗･調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 27/(XYZ) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺々掛け合わせて
(27･9)/(XYZ(X+Y+Z)) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27･9/16)^(1/4) = 3^(1/4)･(3/2) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/4) のとき。
551 名前：540 mailto:sage [2006/01/09(月) 16:20:51 ]: >542-543
　ｸﾞｯｼﾞｮﾋﾞ!

>544
改造したくなるのが不等式ヲタの…
( ﾟ∀ﾟ)つ「e^e < 3^e < e^3 < π^e < e^π < 3^3 < π^3 < 3^π < π^π を示せ。」

出題(不等式)
　messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=377
552 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/09(月) 17:20:57 ]: talk:>>551 難しいのは e^π < 3^3 の部分だけだ。( e^3 < π^e は済み。)
553 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/09(月) 18:00:59 ]: talk:>>551
e=∑_{n=0}^{∞}(1/n!)>0かつe=∑_{n=0}^{∞}(1/n!)<1+∑_{n=0}^{∞}(2^(-n))=3より、e^e<3^e.
x>0でxをx^(1/x)に対応させる関数をfとおくと、fの導関数は、(1-ln(x))/x^2*exp(ln(x)/x)なので、
fは0より大かつeより小のところで単調増加、eより大のところで単調減少。よって、3^e=(3^(1/3))^(3e)<(e^(1/e))^(3e)=e^3.
π=4*∑_{n=0}^{∞}((-1)^n/(2n+1))で、π>4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11=10312/3465>3より、
e<3<π.よってπ^e<e^π.さらに、3^3ππ^3<π^3<3^π<π^π.
これでほとんどの部分は示した。
e^π<3^3については、π<13/4を示して、e^(13/12)<3であることを証明すればよい。
π<4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+4/13-4/15+4/17-4/19+4/21=47028692/14549535<13/4であり、
e^(13/12)<1+13/12+169/288*∑_{n=0}^{∞}(3^(-n))=619/216<3.
554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 22:18:11 ]: >>507
こやつめも、ぜひ、こらしめてください。

( ﾟ∀ﾟ)つ Σ[k=1 to n] C[n、k]*C[kn、n] = -(-n)^n

MOCP 429
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_jan.pdf
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 22:42:14 ]: (1-(1+x)^n)^n = (-x)^n (Σ_[k=0,n-1] (1+x)^k)^n
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 01:03:47 ]: >554

>555 の式を展開すると
　∑[k=0 to n] (-1)^k Ｃ[n,k] (1+x)^kn = (-x)^n {n + (xの1次以上の項)}^n.
その x^n の係数は
　∑[k=1 to n] (-1)^k Ｃ[n,k]*Ｃ[kn,n] = (-n)^n.
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 14:21:47 ]: >>555-556
なるほど、ありがとうごぜいます。( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ
558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 22:41:14 ]: 問題１． 0<x<1 に対して、{1+x^3(1-x)^3}(1-x^2)/(1+x^2) < sin(πx)/(πx)

問題２．複素数 a,b,c に対して、sqrt(a^2+b^2+c^2) ≦ max(|a|+|b|, |b|+|c|, |c|+|a|)
　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　　
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　　彡
　　　　　人つゝ人,,　　　
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　　　よろしくお願いします。
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/15(日) 21:13:44 ]: >554,557

( ﾟ∀ﾟ)つ Σ[k=2 to n] (-1)^k Ｃ[n,k]*Ｃ[kn,n+1] = (-1)^n･(1/2)(n-1)･n^(n+1)

( ﾟ∀ﾟ)つ Σ[k=2 to n] (-1)^k Ｃ[n,k]*Ｃ[kn,n+2] = (-1)^n･(1/8)(n -5/3)(n+1)(n-1)･n^(n+1)
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/16(月) 00:58:38 ]: 問題(1)
nを6以上の自然数とするとき、
　√{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) > 2^(n+1)
となることを示してくださいです。。。
ただしＣ(n,k)を二項係数、[x]をガウスの記号としまつ。

整数論の問題を出し合うスレ
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/181 ,230
を改作
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/17(火) 05:10:09 ]: >>559
x^(n+1)、x^(n+2) の係数を比較するのでつね。
562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/17(火) 13:38:42 ]: >>560
>　n≧6　⇒　√{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) > 2^(n+1)
> をnに関する帰納法で示しまつ。
> n=6 のとき 7Ｃ[6,3] = 7･20 = 140 > 128 = 2^(6+1) で成り立つ。
> n=7 のとき √(56)･Ｃ[7,3] > 7.4･35 = 259 > 256 = 2^(7+1) で成り立つ。
> n=2m-1 のとき成り立てば、
> 　Ｃ(2m,m) = (2m)!/(m!)^2 = 2*(2m-1)!/{(m-1)!m!} = 2Ｃ(2m-1,m-1)
> 　Ｃ(2m+1,m) = (2m+1)!/{m!(m+1)!} = 4{(2m+1)/(2m+2)}･Ｃ(2m-1,m-1) > 4√{2m/(2m+2)}･Ｃ(2m-1,m-1)　←(*)
> より n=2m,2m+1 のときも成り立つ。(終)
>
> (*) (2m+1)^2 = 2m(2m+2) +1 > 2m(2m+2) ゆえ {(2m+1)/(2m+2)}^2 > 2m/(2m+2).
>
> なお、左辺は右辺 2^(n+1) の 140/128倍を超えない。

最後の行について、　(35/32)*2^(n+1) > √{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) の証明をきぼんにゅ。
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/17(火) 14:21:09 ]: >>562
n≧4で成り立つのではアルマジロ？
564 名前：560 mailto:sage [2006/01/20(金) 23:57:21 ]: >562
r(n) = (左辺) / (右辺) = √{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) / 2^(n+1) ≦ 140/128 を示しまつ。
r(n) = r(n-2)･n√(n^2 -1) /{4[n/2](n-[n/2])},
r(2m) = r(2m-2)･√{(2m)^2 -1} /(2m) < r(2m-2),　単調減少.
r(2m+1) = r(2m-1)･(2m+1) /√{(2m+1)^2 -1} > r(2m-1),　単調増加.
また、r(2m) = r(2m+1)･√{(2m+2)/(2m+1)} > r(2m+1)　より有界なので収束する。　(*)
∴ 140/128 = r(6) > r(8) > … > r(2m) > … > √(7/2π) > … > r(2m+1) > … > r(7) > r(5) > 1.

*) 高木: ｢解析概論｣改訂第三版, 岩波, p.8 (1961.5), 第Ⅰ章, §4, 定理6
565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/21(土) 03:59:03 ]: >>564
r(n)の極限はどうやるのですか？
566 名前：564 mailto:sage [2006/01/21(土) 16:18:34 ]: >565
( ﾟ∀ﾟ)つ [ワリスの公式]

　√(2m+1)･Ｃ(2m,m) / (2^m)^2
　= √(2m+1)･(2m)! / [(m!)(2^m)]^2
　= √(2m+1)･(2m)! / [(2m)!!]^2
　= √(2m+1)･(2m-1)!! / (2m)!! →　√(2/π).　(m→∞)

高木: ｢解析概論｣改訂第三版, 岩波, p.116 (1961.5), 第3章, §35
mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html

r(2m) →　(1/2)･√7･√(2/π).　(m→∞)
r(2m+1) = r(2m)･√{(2m+1)/(2m+2)} → 同上
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/22(日) 03:05:56 ]: >>566
成程。ありがとうございまふ。
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/23(月) 01:14:59 ]: ( ﾟ∀ﾟ)つ　{(n!)^(1/n)} /n > 1/e.

分かスレ２２８
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1137775255/184 ,222
を改作
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/23(月) 02:43:02 ]: >>568
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/23(月) 04:32:22 ]: >>568
> 対数を考えると、
>　(1/n)log(n!) - log(n) = (1/n)Σ[k=1,n] log(k/n) → ∫[0,1] log(x)dx = [ x･log(x) -x ](x=0,1) = -1.
>　∴ 与式 = 1/e.
571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/23(月) 04:33:46 ]: >>570
これは lim_[n→∞]{(n!)^(1/n)}/n = 1/e の証明でした…
572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/23(月) 21:50:05 ]: >568 を改作

( ﾟ∀ﾟ)つ　∫[1/n,1] log(x)dx - (1/2n) >　log{(n!)^(1/n) /n} > ∫[1/2n, 1-(1/2n)] log(x)dx > -1.
573 名前：ｽﾀｰ林檎 mailto:sage [2006/01/24(火) 00:18:33 ]: >572 から
　log{(n!)^(1/n) /n} = (1/n)Σ[k=1,n] log(k/n) > ∫[1/2n, 1+(1/2n)] log(x)dx
　= [ x･log(x) -x ] = (1 +1/2n)log(1 +1/2n) +(1/2n)log(2n) -1 ≧ (1/2n)log(2en) -1. 　←(*)

∴　n! > n^(n+1/2)･e^(-n)･√(2e).
　
*)　a>0　⇒　(1+a)log(1+a) = -(1+a)log{1 - a/(1+a)} ≧ a.
574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/24(火) 00:38:06 ]: >573
　n! ～ n^(n +1/2)･e^(-n)･√(2π) だが...

たまには意味の無いことも
ttp://mash1.or.tv/centerlink/patio/patio.cgi?mode=view&no=37
575 名前：ｽﾀｰ林檎 mailto:sage [2006/01/24(火) 01:26:15 ]: 遅れましたが自己紹介させていただく
名はリンゴォ・ロードアゲイン
３年ほど前、砂漠で「能力」を身につけた「スタンド使い」…
能力名は「マンダム」
そう認識していただきたい
ほんの「６秒」、それ以上長くもなく短くもなく
きっかり「６秒」だけ「時」を戻すことができる
それが能力　ゴゴゴゴゴ…
576 名前：574 mailto:sage [2006/01/25(水) 01:45:30 ]: スター林檎の不等式は
　n^(n +1/2)･e^(-n +1/12n)･√(2π) > n! > n^(n+1/2)･e^(-n)･√(2π)　だが...

高木: ｢解析概論｣改訂第三版, 岩波書店, p.258-260 (1961.5) 第5章 §69

たまには意味の無いことも
ttp://centerlink.chu.jp/patio/patio.cgi?mode=view&no=37
577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/25(水) 05:48:00 ]: >>576
> たまには意味の無いことも
> ttp://centerlink.chu.jp/patio/patio.cgi?mode=view&no=37

ほんと意味不明。なにが言いたいのか？
578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/25(水) 07:50:04 ]: 複素数 a, b に対して、三角不等式 |a+b| ≦ |a|+|b| が成り立ちますが、
この成立条件は一方が他方の定数倍のときですが、これを繰り返し用いると、

複素数 a, b, c に対して、三角不等式 |a+b+c| ≦ |a|+|b|+|c| が成り立ちますが、
この等号成立条件は一体何でしょうか？
579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/27(金) 02:16:44 ]: >578
　n角不等式
　a,b,c,… が互いに非負実数倍のとき。
580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/27(金) 08:08:48 ]: >>579
なるほど。ありがとうございます。
非負実数倍じゃないとだめぽですね。
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/31(火) 04:02:55 ]: nを自然数とするとき、次式の大小を比較せよ。
{(2^n - 2)/(n-1)}^(n-1)、 {(2^n - 1)/n}^n、{(2^n)/(n+1)}^(n+1)

よろしくおねがいしまする。
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/01(水) 11:19:43 ]: >>581
わかんね。
583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/02(木) 14:00:15 ]: a, b, c, x ,y, z > 0 のとき、a^2/x + b^2/y + c^2/z ≧ (a+b+c)^2/(x+y+z) を示せ。

この不等式って、置き換えたら有名不等式だった～なんていう秘密はありますか？
584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/02(木) 15:26:40 ]: >>583
( ﾟ∀ﾟ)つ【Jensenの不等式】
585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/02(木) 20:50:23 ]: >>583
( ﾟ∀ﾟ)つ【Cauchyの不等式】

∵ (a/√x, b/√y, c/√z) と (√x, √y, √z) の内積は a+b+c.
586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/02(木) 21:51:58 ]: >>581
　n=2,3 のときは直接代入する。
　n≧4 のとき　N = 2^n -1 > 3(n+1) > e(n+1).
　補題↓により、 {N/(n-1)}^(n-1) < (N/n)^n < {N/(n+1)}^(n+1)

〔補題〕
　{(n+1)/n}^n <e.
(略証)
　{(n+1)/n}^n = (1 + 1/n)^n= Σ[k=0,n]Ｃ[n,k] (1/n)^k = Σ[k=0,n] (1/k!) (1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n) < Σ[k=0,n] 1/k! < e.
　※ 左辺はnについて単調増加。
587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/02(木) 23:30:22 ]: >>584-585
潮騒キボンヌ！
588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/03(金) 21:32:25 ]: >>584-585
やっと理解しました。ありがとうございます。
いや、このスレの空気からすると、こういうべきなんでしょうか？
( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ
589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/04(土) 07:02:55 ]: >>586
まだ分からないです。

n≧4 のとき　N = 2^n -1 > 3(n+1) > e(n+1).
補題により、{(n+2)/(n+1)}^(n+1) > {(n+1)/n}^n > {n/(n-1)}^(n-1)

ここから、{N/(n-1)}^(n-1) < (N/n)^n < {N/(n+1)}^(n+1) に持っていくやり方をお願いします
590 名前：586 mailto:sage [2006/02/04(土) 17:58:11 ]: >589
　{n/(n-1)}^(n-1) <e.
　1/N < 1/(en).
　を辺々掛けて
　{N/(n-1)}^(n-1) / {(N^n)/n^(n-1)} < 1/n.

　{(n+1)/n}^n <e.
　1/N < 1/{e(n+1)}.
　を辺々掛けて
　(N/n)^n / {N^(n+1)/(n+1)^n} < 1/(n+1).

　※ 以下は蛇足ですた。

〔別法〕
　f(x) = x^(1/x) とおくと　{log f(x)} ' = {(1/x)log(x)} ' = [1-log(x)]/(x^2).
　x>e では f(x)は単調減少なので
　f((N/(n-1)) < f(N/n) < f(N/(n+1)).
591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/05(日) 11:03:55 ]: 正の数 a, b, 自然数 m, n に対して、次式を示せ。
　 a^(m+n) + b^(m+n) ≧ a^m・b^n + aa^n・b^m
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/05(日) 18:38:08 ]: >591
　(左辺) - (右辺) = a^(m+n) + b^(m+n) - (a^m)(b^n) - (a^n)(b^m) = (a^m -b^m)(a^n -b^n),
　a^m -b^m, a^n -b^n の符号は a-b の符号と一致する(*)ので、右辺≧0,　等号は a=b のとき。
　　　　（m,n が偶数の場合は、実数 a,b に対して成り立つ.）

※ a≠b >0 のとき
　(a^m -b^m)/(a-b) = a^(m-1) + a^(m-2)b + … + ab^(m-2) + b^(m-1) >0.
　(a^m -b^m)/(a-b) = a^(n-1) + a^(n-2)b + … + ab^(n-2) + b^(n-1) >0.
593 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/05(日) 18:56:41 ]: 面積が4√3の鋭角三角形ABCがあり、辺AB,BC,CAの中点L,M,N,においてLM,MN,NLを折り目として折り返してできる四面体の体積の最大値を求めよ。

某スレより
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/05(日) 21:49:17 ]: >>592
さすがです。
ありがとうございまする。
よく見たら、問題文の右辺で aa^n って書き間違ってましたね、すまそん。
595 名前：592 mailto:sage [2006/02/05(日) 23:16:47 ]: >594
　なのでこちらも一番下の行で nの所をmと間違えときますた。(ｳｿ)
596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/07(火) 00:03:12 ]: ( ﾟ∀ﾟ)つ www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/jmo16yq.html 第11問
597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/07(火) 00:04:42 ]: (；´Д｀)つ www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/apmo17q.html 第2問
598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/07(火) 14:51:05 ]: >>590
理解できました。ありがとうございます。
599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/08(水) 03:07:58 ]: >596
11.　0以上1以下の実数x,yに対して
　　　　f(x,y) = x(y^2)√(1-x^2) -(x^2)y√(1-y^2)
　とする。次の条件をみたす定数cの最小値を求めよ.

　　2以上の任意の整数nと 0 ≦ a_1 < a_2 < …… <　a_n ≦ 1 をみたす任意の実数
　　a_1,a_2,…,a_n に対して
　　　　f(a_1,a_2) + f(a_2,a_3) + …… + f(a_(n-1),a_n) < c
　　が成り立つ.

　第16回(2006年)JMO予選の問題
600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/08(水) 03:14:56 ]: >597
2.　正の実数a,b,cが abc=8 をみたすとき, 次の不等式を示せ.
　　(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3.

　　第17回APMO(2005)の問題
601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/08(水) 14:21:39 ]: >>591
プチ改造しました。もっと面白くできないかなぁ…

正の数 a, b, 自然数 m, n に対して、
　a^(m+n) + b^(m+n) ≧ a^m・b^n + aa^n・b^m ≧ 2(ab)^{(m+n)/2}
　a^(m+n) + b^(m+n) ≧ {(a+b)/2}^(m+n)

上下のどれかを比較できませんか？
602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/08(水) 14:41:34 ]: >>601
つまり、(a^m・b^n + a^n・b^m)/2 と {(a+b)/2}^(m+n) の大小比較ですな。
603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/09(木) 01:22:28 ]: 【Jensenの定理】
[a,b]で定義された実関数fが
　f((x+y)/2) ≧ (f(x)+f(y))/2　　　　　… (1)
を常に満たすとする．このとき，α≧0, β≧0, α+β=1なるすべてのα，βに対し，
　f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)　　　　… (2)

分かスレ２３１
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1139159696/436
604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/09(木) 01:26:53 ]: >603
　(1)を [x,(x+y)/2] に適用すれば f((3x+y)/4) ≧ {f(x)+f((x+y)/2)}/2 ≧ {3f(x)+f(y)}/4.
　また、[(x+y)/2,y] に適用すれば f((x+3y)/4) ≧ {f((x+y)/2) +f(y)}/2 ≧ {f(x)+3f(y)}/4.
　で、[x,y] の4等分点についても成り立つ。
　同様にして [x,y] の 2^n等分点についても成立つことを示せる。
　fは連続だから、任意の ε>0 に対して或る δ>0 があって、|z-(αx+βy)| < δ ⇒ |f(z)-f(αx+βy)| < ε/3.
　アルキメデスの原理より、(2^n)|y-x|δ >1, (2^n)(ε/3)/f(x) >1, (2^n)(ε/3)/f(y) >1 となる自然数nがある。
　α:βに最も近い2^n等分比をa:bとすると、|α-a| < 1/(2^n)　より、|z-(αx+βy)| < δ,
　∴ f(αx+βy) ≧ f(ax+by) -ε/3 ≧ af(x) +bf(y) -ε/3 ≧ αf(x) + βf(y) -ε.
　∴ f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)　　… (2).

　大関: >>1 の参考書[3] 第3章, p.96-97 (1987)
　C.Alsina: "General Inequalities 2", Birkhauser Verlag, p.419-427 (1980)
605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/09(木) 08:54:10 ]: fは連続なの？
606 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/09(木) 20:10:16 ]: >604
すみません，連続性は仮定してないんです．反例はありますか?
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/09(木) 23:26:28 ]: 既出は許して

(1)
a>1、x_i>0 (i=1,2,3,...,n)のとき
�(x_i*log_[a]x_i) ≧ (1/n) * �x_i * �log_[a]x_i

(2)自明だけど
2^(n-1) ≦ n! ≦ n^n

(3)
n≧2のとき
(√(n/2))^n ＜ n! ≦ (n^n)/(2^(n/2))

(4)ガウスの評価
n^(n/2) ≦ n! ≦ ((n+1)/2)^n

(5)
e(n/e)^n ≦ n! ≦ en(n/e)^n

(6)
n! ≦ e(√n)(n/e)^n

何使おうと人の勝手だけどスターリングはちょっと哀しいかも。
608 名前：604 mailto:sage [2006/02/09(木) 23:38:32 ]: >605-606
　>604 は fを連続と仮定してますた。ｽﾏｿ.

〔凡例〕
qを1つの無理数として、
　f(x) = 1,　　x-q ≠ 有理数のとき
　f(x) = 0,　　x-q ＝有理数のとき

ついでに >604 を修正
　fは連続だから、任意の ε>0 に対して或る δ>0 があって、|z-(αx+βy)| < δ ⇒ |f(z)-f(αx+βy)| < ε/2.
　アルキメデスの原理より、(2^n)δ > |x-y|, (2^n)(ε/2) > |f(x)-f(y)| となる自然数nがある。
609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/09(木) 23:49:15 ]: 　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！不等式ﾊﾞﾝｻﾞｲ！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/10(金) 00:02:26 ]: >>608
反例になってねえだろ
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/10(金) 00:18:55 ]: >>608
　x=有理数, y=2q+有理数のとき f((x+y)/2) = 0 < 1 = {f(x)+f(y)}/2.
だろ
612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/10(金) 02:18:16 ]: >607
(1)　∑{同順序積} ≧ ∑{乱順序積}

(2)　自明

(3) 1≦k≦n-1 に対して ↓を掛け合わせ、√する。
　2n ≦ (k+1)(n+1-k),　k(n-k) ≦ {n^2 - (2k-n)^2}/4 ≦ (n/2)^2.
　(√(2n))^(n-1) < n! ≦ (n^n)/(2^(n-1)).

(4) 1≦k≦n に対して ↓を掛け合わせ、√する。
　n ≦ k(n+1-k) ≦ ((n+1)/2)^2.
　n^(n/2) ≦ n! ≦ ((n+1)/2)^n.

(5) >>570-573 から、
　√(2en)･(n/e)^n < n! < en(n/e)^n
613 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/10(金) 19:07:00 ]: 解析学の基本は不等式。
代数学の基本は等式～～～～きれいごと。
幾何学～～～～～もはや数学ではない。
614 名前：612 mailto:sage [2006/02/11(土) 03:14:56 ]: >>607 (6)
y=log(x) は上に凸なので折れ線より上側にあるから（>>572 の左側）
　∫[1/n,1] log(x)dx +(1/2n)log(1/n) > (1/n)∑[k=1,n] log(k/n) = log{(n!)^(1/n) /n} から
　n! < e(√n)(n/e)^n.

>>573 と合わせて
　√(2en)･(n/e)^n < n! < e(√n)･(n/e)^n.

ｽﾀｰ林檎は n! > √(2πn)･(n/e)^n.
615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/11(土) 08:46:18 ]: >>607(2)
では俺も一つ。

( ﾟ∀ﾟ)つ貧弱な評価ですが、「自然数 n に対して、 (2n+1)! < n^(2n-1)」
616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/11(土) 08:53:23 ]: >>614
ｽﾀｰ林檎…。
いま気づいて、思わず叫んでしまった。スターリングのことかー！！！

　「_￣ﾌ　　ﾉ^ｰ┐　///////////ノ/
　,-､二、　ｰク /　　7_／////////^
　`ー‐‐'　　`ｰ'　　　　 ///////し
　　 _l^l_　　i^i　i^i　　 ///////
　 / ,--┘　Ｕﾉ |　　//////^
　 !__ニｺ　　lﾆ.ノ　　7///　　　　_,,.. .　__
　__l^l__へ　 i^i　i^i　　//^　　　．．　＿　｀ヽ
　ﾞ┐r┐Tﾞ　∪ ﾉ |　 |/ 　　　/：：／.┬".)　　l
　く,ﾉr'_,ﾉ　　lﾆ.ノ　　７　　 _iゞ/ｲ｡_ﾉ　　　_r'''､
　　　|　　　 ,へ　,ﾍ　/　　　/ ﾆ-''^＼¨　　 ∠.} l
　　　|　　　　`ﾞ / /　|.　　　｜l､ヾ⌒-|　 u　 r_ﾉﾉ "
　　　|　　ヾ二ノ　　|　　　ヽ |`´_,--|　　i､ﾆイ
　　　|　　　 /,ﾆ^＼.　|　　　＼ｌ<-ﾆﾌ　,ノ ,.　＼、'
　　| | | |　　| しリj |　＼　　　＼￣ ,／ノ/　, |　Z
　　ﾟﾟﾟﾟ　　`ｰ" ｰ' 　〔　　　　　 /￣／ '", //／　,.
617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/11(土) 15:28:42 ]: >616,>>575-577
mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B4%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC
www.yk.rim.or.jp/~y_satou/beatles/news/news96.html#RingoTakaraCM
618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/11(土) 16:06:26 ]: >615
k(2n-k) = n^2 - (n-k)^2 ≦ n^2.
　k=1,2,…,2n-1 について掛け合せて√すると　(2n-1)! < n^(2n-1).
619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/11(土) 20:25:35 ]: >>603-606,>>608-611
反例できた
R を Q係数のベクトル空間と見て、基底を e_1, e_2, … とする
x∈R として x = q_1*e_1 + q_2*e_2 + …
のとき f(x) = q_1 とすれば、これが反例になってることは明らか
620 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/11(土) 22:10:36 ]: ２００６年本選
５．任意の正の実数x1,x2,x3,y1,y2,y3,z1,z2,z3に対して不等式

　(x1^3+x2^3+x3^3+1)(y1^3+y2^3+y3^3+1)(z1^3+z2^3+z3^3+1)≧Ａ(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)

　　が常に成り立つような実数Ａの最大値を求めよ。
　　またＡをそのようにとるとき、等号が成立する条件を求めよ。

数学オリンピックスレより
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1121775239/l50
621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/12(日) 01:08:45 ]: >>620
今年も数ヲリ不等式ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
622 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/12(日) 21:02:53 ]: あ
623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 21:05:21 ]: >620
　A=3/4, x = y = z = (1/6)^(1/3) のとき
かな?
624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/22(水) 03:17:37 ]: ( ﾟ∀ﾟ)つ www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2006/n2/PDF/v32n2syn.pdf 問101
どっかで見たことあるよね。
625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/28(火) 22:36:23 ]: >>620
(略解)
　f(v1,v2,v3) = v1^3 + v2^3 + v3^3 +1 とおくと、
　Ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) = f(x1,x2,x3)f(y1,y2,y3)f(z1,z2,z3) - Ａ(x1+x2+x3)(y1+y2+y3)(z1+z2+z3),
変数が9つもあると大変…
　∂Ｆ/∂x1 = (3x1^2)f(ｙ)f(ｚ) - Ａ(s2･s3) =0
　∂Ｆ/∂y1 = f(ｘ)(3y1^2)f(ｚ) - Ａ(s2･s3) =0
　∂Ｆ/∂z1 = f(ｘ)f(ｙ)(3z1^2) - Ａ(s2･s3) =0
等から
　xi = λ√{f(ｘ)/si},　ｘ=(x1,x2,x3)
　yi = λ√{f(ｙ)/si},　ｙ=(y1,y2,y3)
　zi = λ√{f(ｚ)/si},　ｚ=(z1,z2,z3)
　ここに si≡ xi +yi +zi (i=1,2,3)とおいた。辺々加えて
　xi +yi +zi = λ{√f(ｘ) +√f(ｙ) +√f(ｚ)}/(√s_i)
　∴ (si)^(3/2) = λ{√f(ｘ) +√f(ｙ) +√f(ｚ)}.
　右辺はiによらないから、 s1 = s2 = s3.
　∴ x1=x2=x3, y1=y2=y3, z1=z2=z3　
　この場合のみを考えればよいので結局次の3変数の問題に帰着する。

【５'】任意の正の実数 x, y, z に対して不等式
　　　　(3x^3 +1)(3y^3 +1)(3z^3 +1) ≧ Ａ(x+y+z)^3
　　が常に成り立つような実数Ａの最大値を求めよ。
　　またＡをそのようにとるとき、等号が成立する条件を求めよ。
626 名前：625 mailto:sage [2006/02/28(火) 22:59:25 ]: >>620
[625]の続き
3変数の対称式と来れば …… x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおく(基本対称式)。
Ｆ~(x,y,z) = (3x^3 +1)(3y^3 +1)(3z^3 +1) -Ａ(x+y+z)^3
　= 27(xyz)^3 + 9{(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3} + 3(x^3+y^3+z^3) +1 -Ａ(x+y+z)^3
　= 27u^3 + 9{3u^2 + t(t^2-3su)} + 3{3u + s(s^2-3t)} +1 -Ａs^3
　= (3u+1)^3 + 3s(s^2-3t) -Ａs^3 + D_1
　= (81/4)u + 3s(s^2-3t) -Ａs^3 + D_1 + D_2
　= (3/4 -Ａ)s^3 + D_1 + D_2 + D_3.
　≧ (3/4 -Ａ)(x+y+z)^3.

D_1 = 9t(t^2-3su) = (9t/2){(xy-yz)^2 +(yz-zx)^2 +(zx-xy)^2} ≧0,
D_2 = (3u+1)^3 -(81/4)u = {(3/4)u +1}(6u-1)^2 ≧0,　　(9u,3/2,3/2 の相加-相乗平均)
D_3 = (9/4)(s^3 -4st +9u) ≧0,　　　　　　(Schur不等式,n=1 >>399-401)

　上式が常に ≧0 となるようなＡの最大値は 3/4.
　Ａ=3/4 と取るとき、等号が成立する条件は, u=1/6 から x=y=z=(1/6)^(1/3).
ぬるぽ
627 名前：625 mailto:sage [2006/02/28(火) 23:06:45 ]: >>625 の訂正 … ｽﾏｿ
　Ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) = f(x1,x2,x3)f(y1,y2,y3)f(z1,z2,z3) - Ａ(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3),
628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/03(金) 01:15:05 ]: >>21
[前スレ.360(2)]
　Σ[k=1,m] x_k↑ = s↑, (m-2)Σ[k=1,m] |x_k| +|s| =L,　Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j| =R
とおく。まず補題として
　D = (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2 +|s|^2 - Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2 =0.
を示すのだが、これは内積を使えば簡単である。

次に L-R ≧0 を示そう。
(L-R){ Σ[k=1,m] |x_k| +|s| } = (m-2){Σ[k=1,m] |x_k|}^2 +(m-1){Σ[k=1,m] |x_k|}|s| + |s|^2 -R{……}
　= 2(m-2)∑[i<j] |x_i||x_j| +(m-1){Σ[k=1,m] |x_k|}|s| - R{……} + (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2 + |s|^2
　= 2(m-2)∑[i<j] |x_i||x_j| +(m-1){Σ[k=1,m] |x_k|}|s| - R{……} + Σ[i<j] |x_i +x_j|^2 +D
　= ∑[i<j] {(|x_i|+|x_j|)(∑[k≠i,j] |x_k| +|s|) - {……}|x_i+x_j| + |x_i+x_j|^2 } +D
　= ∑[i<j] {|x_i|+|x_j|-|x_i +x_j|}･{∑[k≠i,j] |x_k| +|s| -|x_i+x_j|} +D
　≧ D =0.
{……} >0 だから L-R ≧0.

*)　∑[k≠i,j] |x_k| +|s| -|x_i+x_j|
　　= (∑[k≠i,j] |x_k| -|∑[k≠i,j] x_k| ) + (|s -x_i -x_j| +|s| -|x_i +x_j|) ≧0

参考書[3] の p.34
629 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/03(金) 23:23:28 ]: >>626
Schur不等式ってなんですか？　あと、バンチってのも知りたいんだけど、よかったら教えて。
630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/04(土) 02:04:07 ]: >629
　>>399-401
　参考書[1] の定理80
　参考書[3] のp.27-28

"The BUNCH" (Burroughs, UNIVAC, NCR, CDC, Honeywell)。
　汎用コンピューター・メーカーで規模のやや大きいIBM対抗5社の頭文字か?
631 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/04(土) 02:59:56 ]: (x1^3+x2^3+x3^3+1)(y1^3+y2^3+y3^3+1)(z1^3+z2^3+z3^3+1)≧Ａ(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)
G=f(x,y,x)-r(h-a)-s(g-b)-t(k-c)
Gx1=3x1^2f(y)f(z)-s=0->f(y)f(z)=s(3x1)^-2
Gx2=0->f(y)f(z)=s(3x2)^-2
Gx3=0->f(y)f(z)=s(3x3)^-2->x1=x2=x3,y1=y2=y3,z1=z2=z3
(3x^3+1)(3y^3+1)(3z^3+1)>=A27xyz
G=(3x^3+1)(3y^3+1)(3z^3+1)-r(xyz-a)
Gx=9x^2f(y)f(z)-ryz=0->f(y)f(z)=ryz/9x^2=ar/9x^3->(3x^3+1)f(y)f(z)=h=ar/3+ar/9x^3
Gy=0->f(x)f(z)=rxz/9y^2=ar/9y^3->h=ar/3+ar/9y^3
Gz=0->f(x)f(y)=rxy/9z^2=ar/9z^3->h=ar/3+ar/9z^3->x=y=z=a^1/3
Gr=0->xyz=a->f(x)f(y)f(z)=(ar)^3/(9a)^3=(r/9)^3
p=(3x^3+1)(3y^3+1)(3z^3+1)/27xyz=((3a+1)^3)/(27a)
dp/da=((3a+1)^2)/3a-((3a+1)^3)/(27a^2)=0
3a+1=9a->a=1/6
p>=6(3/2)^3/27=6/8=3/4=A
632 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/04(土) 07:58:47 ]: f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)
f(Ax+By)=f((2ax+2(1-a)y)/2)>=(f(2ax)+f(2(1-a)))/2=(f(Ax)+f(By))/2,A+B=1 (a=0->.5)
633 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/04(土) 09:19:24 ]: 正の実数a,b,cが abc=8 をみたすとき, 次の不等式を示せ.
(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3
G=(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)}
+ (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} -r(abc-8)

Ga=2af(a)f(b)-3/2a^4f(a)^3f(b)-3/2a^2c^2f(c)f(a)^3-rbc=0
Gb=2bf(c)f(b)-3/2b^4f(b)^3f(c)-3/2a^2b^2f(a)f(b)^3-rac=0
Gc=2cf(c)f(a)-3/2c^4f(c)^3f(a)-3/2b^2c^2f(b)f(c)^3-rab=0

2a^2f(a)f(b)-3/2a^5f(a)^3f(b)-3/2a^3c^2f(c)f(a)^3-r8=0
2b^2f(c)f(b)-3/2b^5f(b)^3f(c)-3/2a^3b^2f(a)f(b)^3-r8=0
2c^2f(c)f(a)-3/2c^5f(c)^3f(a)-3/2b^3c^2f(b)f(c)^3-r8=0
634 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/04(土) 09:23:42 ]: 2a^2f(a)f(b)-3/2a^5f(a)^3f(b)-3/2a^3c^2f(c)f(a)^3-r8=0
2b^2f(c)f(b)-3/2b^5f(b)^3f(c)-3/2b^3a^2f(a)f(b)^3-r8=0
2c^2f(c)f(a)-3/2c^5f(c)^3f(a)-3/2c^3b^2f(b)f(c)^3-r8=0
635 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/04(土) 10:03:08 ]: 正の実数a,b,cが abc=8 をみたすとき, 次の不等式を示せ.
(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3
G=(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)}
+ (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} -r(a^3b^3c^3-8^3)

G=(a^2/3)/√{(1+a)(1+b)} + (b^2/3)/√{(1+b)(1+c)}
+ (c^2/3)/√{(1+c)(1+a)} -r(abc-8^3)

G=(a-1)^2/3(ab)^-.5+(b-1)^2/3(cb)^-.5+(c-1)^2/3(ac)^-.5-r((a-1)(b-1)(c-1)-8^3)
636 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/04(土) 12:40:14 ]: Rose Ballのパレードの場所をgoogle　mapで見てみたい
メーシーズのパレードは終わったのかな？
637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/07(火) 01:10:07 ]: さくらスレ１８７にありますた。

(問題)　自然数n, 実数xに対して
　|∑[j=1,n] sin(jx) /j | ≦ 2n/(n+1).
を示して下さいです。。。
638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/11(土) 22:10:34 ]: >>21
[前スレ.705]
　a,b ≧ 2.
(i) 1/3 < (b-2)/(a-2) < 3 のとき
　a+b < 4(a-1) ≦ 2^a,　a+b < 4(b-1) ≦ 2^b.
　1/(a+b) > (1/2)^a,　　1/(a+b) > (1/2)^b.
　{1/(a+b)}^(1/a) > 1/2,　{1/(a+b)}^(1/b) > 1/2　より成立.

(ii) (b-2)/(a-2) ≦ 1/3 のとき
　a + b ≦ a + (a-2)/3 +2 = (4/3)(a+1) = (a+1)/0.75.
　{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) ≧　{0.75/(a+1)]}^(1/a) + {0.75/(a+1)}^(1/2) = g(a).
　ここに g(x) = {0.75/(x+1)}^(1/x) + {0.75/(x+1)}^(1/2) とおいた。
　x>2 では 1 < g(x) ≦ 1.0403408655163817…　@x=50.47477… (証明略)

(iii) (b-2)/(a-2) ≧3 のとき
　(ii)と同様。
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/12(日) 19:09:58 ]: 603 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/03/12(日) 18:51:49
>>586
それでは今月号のエレファント解答を…

　D = (xy^2 +yz^2 +zx^2)^3 -xyz(xy+yz+zx)^3
　= Axy^2(y-z)^2 + Byz^2(z-x)^2 + Czx^2(x-y)^2,
　A = x^2(y+z)^2 + 3xyz^2 + 2z^4 > 0　
　B = y^2(z+x)^2 + 3yzx^2 + 2x^4 > 0　
　C = z^2(x+y)^2 + 3zxy^2 + 2y^4 > 0　
より　D≧0. 題意より xyz>1 だから
　xy^2 + yz^2 + zx^2 ≧ (xy + yz + zx)(xyz)^(1/3) > xy + yz + zx.

604 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/03/12(日) 19:08:40
>>586
今月号のエレガントな(？)解答

相加・相乗平均より
　(2/3)xy^2 + (1/3)zx^2 ≧ xy(xyz)^(1/3) > xy.
これを循環的にたす。
640 名前：638 mailto:sage [2006/03/14(火) 02:07:08 ]: x>2 ⇒ g(x) = {0.75/(x+1)}^(1/x) + √{0.75/(x+1)} >1

(略証)
　(x/2,x/2,1) の相加･相乗平均から {(x+1)/3}^3 > (x/2)^2.
　∴ 1/x < 3√{0.75/(x+1)} -1 = 3y-1.
　上式の第2項 √{0.75/(x+1)} =y とおいた。x>2 より 0<y<1/2.
　また (2y/e)^2y ≧ 1/e,
　e^(±(1-2y)) > 1 ±(1-2y)　　　(← 下に凸)
　8/e >e　　　　(← log(2) > 2/3) より
　y^(2/x) > y^(6y-2) = (2y/e)^(6y-2)･(e/2)^(6y)･(1/y)^2 > e^(-3(1-2y))･e^(2(1-2y))･2^(2-6y)
　= (1/2)･(8/e)^(1-2y) > (1/2)e^(1-2y) > (1/2){1+(1-2y)} = 1-y.
　∴ g(x) = y^(2/x) + y > 1.
　y=1/2, x=2 のときは等号成立。

おやすみ。
641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/15(水) 21:26:18 ]: >640
　1/x > 3√{0.75/(x+1)} -1 = 3y-1.
　y^(2/x) < y^(6y-2).
なので…
642 名前：638 mailto:sage [2006/03/15(水) 21:36:58 ]: x>2 ⇒ g(x) = {0.75/(x+1)}^(1/x) + √{0.75/(x+1)} >1

(略証)
上式の第2項を y とおくと
　g(x) = y^(2/x) + y = y^{2(y^2)/(0.75-y^2)} + y

h(y) = 2(y^2)log(y) - (0.75-y^2)log(1-y) とおいて
　0<y<1/2　⇒　h(y)>0 を示す。
h '(x) = 4ylog(y) + 2ylog(1-y) +3y +1 -0.25/(1-y).
h "(x) = 4log(y) + 2log(1-y) +9 -2/(1-y) -0.25/(1-y)^2　　(←上に凸)
h "'(y) = 4/y - 2/(1-y) -2/(1-y)^2 -0.5/(1-y)^3　　　　(←単調減少)
　　　= {-0.5 -1.5(1-y) +6(1-y)^3}/{y(1-y)^3}.
　h "' はただ一つの根 y0 = 0.379994095141187… をもち、(y0-y)h "'(y) ≧0.
　あとはこれを元に増減表を作る。

　(y2-y)(y-y1)h"(x) ≧0,　y1 = 0.2814220413428536…,　y2 = 0.477737467426340…
　　h "(y0) = 0.297421638543268… >0 (極大)

　(y3-y)h'(x) ≧ 0,　y3 = 0.132713083245667…
　　h '(y1) = -0.11691236892110… <0　(極小)
　　h '(y2) = -0.077743191346139… <0　(極大)

　h(y) >0　　　　　(← h(0) = h(1/2) =0)

*)　y0 = 1 - (1/2){(3-√6)/9}^(1/3) - (1/2){(3+√6)/9}^(1/3).

>640 は取り下げまする。ｽﾏｿ.
643 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/18(土) 17:13:13 ]: 〔相加-相乗平均不等式〕（行列式）

　A, B を正定値対称行列とするとき、
　{ det(A)det(B) }^(1/2) ≦ det( (A+B) /2 )

分かスレ２３５
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142561148/28-29
644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/19(日) 16:03:47 ]: 絶対不等式
ttp://www.nikonet.or.jp/spring/zettaiti/zettaiti.htm
645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/19(日) 19:48:51 ]: >>643
28 ：１３２人目の素数さん：2006/03/18(土) 07:23:18
A, B を正定値対称行列とするとき、相加相乗平均不等式
( (det A)(det B) )^{1/2} ≦ det( (A+B) / 2 )
を出来るだけエレガントに示したいのですが、どうすればいいでしょうか？

29 ：１３２人目の素数さん：2006/03/18(土) 08:44:20
両辺に左右から det(B^(-1/2)) = (detB)^(-1/2) をかけると、示す式は
(det(B^(-1/2)AB^(-1/2)))^(1/2) ≦ det((B^(-1/2)AB^(-1/2)+I)/2)
となる。B^(-1/2)AB^(-1/2)を対角化すればよい。
646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/20(月) 00:11:55 ]: >>21

[前スレ.908(3)]
q=1 のとき、 |p-√2| ≧ √2 -1 > 6-4√2.　　　　(← √2 > 7/5)
q≧2 のとき、 √(1+2q^2) ≦ (3/2)q.
　|p-q√2| =⊿ とおくと、
　(⊿+2q√2)⊿ ≧ (p+q√2)⊿ = |p-q√2|(p+q√2) = |p^2 -2q^2| ≧ 1.
　∴ (⊿+q√2)^2 -1-2q^2 ≧0.　
　⊿ ≧ √(1+2q^2) - √(2q^2) = 1/{√(1+2q^2) + √(2q^2)} ≧ 1/{(3/2)q +(√2)q} = 2/{(3+2√2)q} = (6-4√2)/q.
　等号は q=2, p=3 のとき。

mathworld.wolfram.com/LiouvillesApproximationTheorem.html
647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/20(月) 02:23:31 ]: >>646
グッジョブです！
648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/23(木) 02:42:03 ]: >>21
[前スレ.565(5)]

0<x<1,　y=x(1-x) とおくと 0<y≦1/4.
(1+x)(1-y+y^2) = (1+x){1-x(1-x) +(x^2)(1-x)^2} = 1+x^2 -(1-x)x^4 < 1+x^2　…(1)

0<x≦1/2 のとき
sin(πx)/(πx) ≧ 1 -(1/3!)(πx)^2 +(1/5!)(πx)^4 -(1/7!)(πx)^6
　　≧ 1 -(1/3!)(πx)^2 + {(1/5!) - (π^2 /7!)/4}(πx)^4　　　　(← 1-4x^2 ≧0)
　　= 1 -2x^2 + 0.355065933151774x^2 + 0.764054469252832x^4
　　≧1 -2x^2 + 1.04170958160908x^3　　　　　　　　(←相加･相乗平均)　　
　　> 1 -2x^2 +x^3 = (1-x)(1+x-x^2) = (1-x)(1+y).　　　　　　　　…(2)
この式は x=1/2 に関して対称な形になるから、1/2≦x<1 でも成り立つ。

(1),(2) より,
sin(πx) /(πx) > (1-x)(1+x-x^2) > {(1-x^2)/(1+x^2)}(1-y+y^2)(1+y) = {(1-x^2)/(1+x^2)}(1+y^3).

[791],[811(1)] は未解決でござるな...
649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/24(金) 00:22:41 ]: >>21
[前スレ.791]

3辺の長さを AB=c, BC=a, AB=c とおく。
題意により sin(A) = sin(2B) = 2sin(B)cos(B),　cos(C) <0.
正弦定理・第二余弦定理を使って、角の関係を辺の長さの関係に直す。
　a/b = 2cos(B) = (c^2+a^2-b^2)/(ca),　-2ab < a^2+b^2-c^2 <0.
　(c-b){a^2-b(b+c)}=0,　0 < (a+b)^2 -c^2 < 2ab.
　c>b より (c-b)^2 < b(b+c) = a^2 < c^2 -b^2.
　∴ c-2b < b < c-b,
　∴ 2b < c < 3b,
　∴ 3b < b+c < 4b,
　∴ (√3)b < a < 2b,
　∴ a+b+c > (3+√3)b.
　b≧17　⇒　a+b+c ≧ 17(3+√3) = 80.4448637286709… >77 なので,
　4≦b≦16, (√3)b < a < 2b なる(a,b)を求め、b|(a^2) を満たすものを残す。
　b=16, a=28 のみが該当する。
　c=33, cos(A)=17/32, cos(B)=7/8, cos(C)=-7/128.

注) LCD(b,b+c) = LCD(b,c) =d　とすると、b(b+c)=a^2 から d|a.
　本問では最小解が問題なので d=1 に限ってもよい。
　そうすれば b,b+c は互いに素となり平方数に限られる。
650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/24(金) 06:27:22 ]: ( ﾟ∀ﾟ) さすがです。乙！です。
651 名前：649 mailto:sage [2006/03/25(土) 01:35:40 ]: 蛇足 >649

　もしも条件 cos(C)<0 が無ければ、a+b+c=15 が最小.
　a=β(β+1)d, b=(β^2)d, c=(2β+1)d のとき a+b+c=(β+1)(2β+1)d, cos(C)=(2β^3-3β-1)/(2β^3), β>1.
　a=15, b=9, c=16 のとき a+b+c=40, cos(C)=5/27.
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/26(日) 02:22:05 ]: 〔名前知らず〕 (行列ノルム)

A,B を n次正方行列，A=(a_ij)，B=(b_ij)
　∥X∥= max[j] { Σ[i=1,n] |x_ij| }
と定義するとき，∥A∥･∥B∥ ≧ ∥AB∥ を示せ．

さくらスレ１８８
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142460000/470 ,496
653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/26(日) 02:58:01 ]: >>21 (前スレの未解決問題)

[前スレ.360]　　>>628

[前スレ.563(7)]　>>353　〔命題268(math_board_watcher)〕を使った。 >346-347

[前スレ.705]　　>>638-642

[前スレ.565(3)]　>>29-30 (風あざみ)

[前スレ.565(4)]　>>76

[前スレ.565(5)] >>648

[前スレ.791]　　>>649

[前スレ.811(1)]　未解決?

[前スレ.908(3)]　>>646

[前スレ.992]　　>>23 (m=nのみ), >28〔系〕
654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/26(日) 09:16:12 ]: >>652
解答は出ているん？
655 名前：652 mailto:sage [2006/03/26(日) 17:32:00 ]: >654

さくらスレ１８８
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142460000/496

三角不等式より
　|(AB)_(ij)| = Σ[k=1,n] a_ik・b_kj | ≦ Σ[k=1,n] |a_ik|･|b_kj|.
Σ[i=1,n] すると
　Σ[i=1,n] |(AB)_ij| ≦ Σ[k=1,n] ( ∑[i=1,n]|a_ik| )･|b_kj| ≦ Σ[k=1,n] ∥A∥･|b_kj| = ∥A∥Σ[k=1,n] |b_kj|.
max[j] すると
　∥AB∥ = max[j] {Σ[i=1,n] |(AB)_(ij)| } ≦ ∥A∥･max[j] { Σ[k=1,n] |b_kj| } = ∥A∥･∥B∥.

注）ノルムの記号を変えた。
656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/26(日) 20:37:09 ]: >>655
さんくすです。
657 名前：638 mailto:sage [2006/03/27(月) 02:30:55 ]: >>21
[前スレ.705]

(i)　a+b ≦ 2^a, 2^b のとき
　　{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) ≧ 1/2 + 1/2 =1.

(ii) a+b ≧ 2^b のとき
　{1/(a+b)}^(1/b) =z とおくと z ≦ 1/2.
　b/(a+b) = b･z^b = {bz/(b-1)}(b-1)･z^(b-1) < (b-1)･z^(b-1) < … < 2z^2　　　(b>2).
　a/(a+b) > 1 -2z^2.
　{(b/a)log(z) - log(1-z)}*a/(a+b) > (2z^2)log(z) - (1-2z^2)log(1-z) ≡ H(z)　とおく.
　0<z<1/2　では H(z)>0 (>658)より
　(b/a)log(z) - log(1-z) >0,
　z^(b/a) + z >1.

(iii) a+b ≧ 2^a のとき
(ii)と同様。

>>638 + >>642 と比べても変わり映えしねぇ...
658 名前：657 mailto:sage [2006/03/27(月) 02:32:19 ]: >657
　0<z<1/2　⇒　H(z) >0.
(略証)
　H '(z) = 4zlog(z) +2z +4zlog(1-z) +(1-2z^2)/(1-z)
= 4zlog(z) +2z +4zlog(1-z) +2 +2z -1/(1-z).
H "(z) = 4log(z) +6 +4log(1-z) -4z/(1-z) +2 -1/(1-z)^2
　　　　= 4log(z) +6 +4log(1-z) +4 -4/(1-z) +2 -1/(1-z)^2.　　　(← H "は上に凸)
　H "'(z) = 4/z -4/(1-z) -4/(1-z)^2 -2/(1-z)^2.　　　　　　　　　(← H "'は単調減少)
　H "'(z)はただ一つの根z0 = 0.239310146597716… をもち (z0-z)H "'(z) ≧0.
　H "(z) < H "(z0) = -1.800645807939490 <0 ゆえ H(z)も上に凸。
　H(0)=H(1/2)=0 なので H(z)>0.　　(終)

*) z0 = 1 -(1/2){1 +√(26/27)}^(1/3) -(1/2){1 -√(26/27)}^(1/3).
659 名前：657 mailto:sage [2006/03/29(水) 23:12:32 ]: >657
　0<z<1/2　⇒　(2z^2)log(z) > 2(1-log(2))z^2 -z > (1-z)log(1-z) > (1-2z^2)log(1-z).
(略証)
　H_1(z) = { (2z^2)log(z) - 2(1-log(2))z^2 +z }/z = 2zlog(2z)-2z +1 = ∫[z,1/2] {-2log(2z')} dz' > 0,
　H_2(z) = { 2(1-log(2))z^2 -z - (1-z)log(1-z) }/(z^2) = (3/2 -2log(2)) - Σ[k=3,∞) {1/(k(k-1))}z^(k-2)　ゆえ単調減少　(← *)
　　∴　H_2(z) > H_2(1/2) =0.
　H_3(z) = (1-z)log(1-z) - (1-2z^2)log(1-z) = -z(1-2z)log(1-z) >0.

*)　Maclaurin展開　-log(1-z) = Σ[k=1,∞) (1/k)z^k から。
660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/30(木) 21:45:31 ]: 東大スレより

725 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/03/26(日) 05:52:34
n次元空間E^n内の点Ｏを中心とし半径1の超球面上に相異なるn+1個の点がある。
これらが作る超多面体に内接する超球の半径rは1/n以下であることを示せ。

大関: ｢不等式への招待｣近代科学社 (1987) p.7-8

726 名前：724[sage] 投稿日：2006/03/26(日) 17:17:50
>725
　超多面体をＰ, その頂点をP_i (i=1～n+1) とする。
　P_i以外のn個の頂点からなる超対面の重心をQ_iとすると、
　　OQ_i↑ = (1/n)Σ[j=1～n+1,j≠i] OP_j↑
　Q_i (i=1～n+1)が作る超多面体Ｑは、Ｐの1/nの大きさである。
　{P_i}を通る超球の半径はR=1だから、Ｑのそれは1/nである。
　{Q_i}を通る超球はＰの各超表面と交わる(or接する)から、Ｐに内接する超球はこれに含まれる(or一致する).
　よって r ≦ R/n = 1/n.　　　　　　　　　　　　　　　 (清水多門氏)
661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/32(土) 16:51:12 ]: 【補題407】(ritozumy2)
　　√(ab) < (a-b)/{log(a) -log(b)} < (a+b)/2.
　勿論，a,b>0 で a≠b です．

出題(不等式)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=407 ,414
662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/02(日) 03:53:23 ]: >>661
〔補題〕
　√x < (x-1)/log(x) < (x+1)/2.
　勿論, x>0, x≠1 です.

左側:
　1/√x - log(x)/(x-1) ={1/(x-1)}∫[1,√x] (1-1/z)^2･dz > 0.

右側:
　(1/z)log{(1+z)/(1-z)} = (1/z)∫[0,z] {2/(1-z'^2)}dz' > 2.
　z=(x-1)/(x+1) とおくと (x+1){log(x)/(x-1)} > 2.

つ [参考書]

大関: ｢不等式への招待｣, 近代科学社 (1987) p.46-47　例題6, [注意] (ii)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=415
663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/02(日) 05:39:08 ]: 〔補題416〕
　s≧1/3, x>0, x≠1 ⇒　(x-1)/log(x) < {(1+x^s)/2}^(1/s).
.　　　　　　　　　　　　sinh(t) /t < {cosh(st)}^(1/s).

出題(不等式)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=416
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/02(日) 17:50:16 ]: >>367, >>436-437

参考書[3] の p.139, 例題1, [注意](ii)
665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/02(日) 17:55:26 ]: >663

参考書[3] の p.49, 例題8.
　α=1/s, αA=α'A'=t.
666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/02(日) 23:01:06 ]: がんばっとるのぉ
積分ヲタとか恒等式ヲタとか二項係数絡みの和、級数ヲタとか知ってるけど
不等式はヲタが多いのかな?
667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/03(月) 01:09:13 ]: >>666
( ﾟ∀ﾟ) 愚問だ！
668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/03(月) 02:19:39 ]: 愚問かいな。
669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/03(月) 16:51:00 ]: 特殊函数ヲタとか積分ヲタは物理や工学の人間に負けたら
恥ずかしいから結構大変だろうと思われる

ラマヌジャンは一種の級数ヲタと言ってよいかな
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/03(月) 16:55:47 ]: スレを維持するだけのネタ出しが困難だった三角関数スレ住人もいます。
671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/03(月) 17:45:53 ]: 不等式ヲタかつ三角関数ヲタかつ nCrヲタもいます ( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ
672 名前：666 mailto:sage [2006/04/04(火) 00:51:57 ]: いろんなヲタがいるんだな。
自分は学部入ってからM2まで、いわゆる有限群論の分類ヲタだった。
夢中で単純群の分類やってた時期で本当に楽しかったなあ(人には言えない青春なんだが)
でもM2の年に有限単純群の分類完成が宣言されて(年がバレるww)、一気に冷めてしまった。
そして専門変更→失敗→(略

話が全然不等式と関係なくなってるけど、言いたいことは要するに
ヲタになるのはやる気を維持できるので良いと思うけど、できるだけ漠然とした対象にしましょう。
不等式ヲタとか級数ヲタなんてのは理想的だね。廃れる心配がないから。

ちなみに>>666で
＞積分ヲタとか恒等式ヲタとか二項係数絡みの和、級数ヲタとか知ってるけど
と言った3人は研究者やってますわ。

ってな訳で頑張れ。
673 名前：663 mailto:sage [2006/04/04(火) 02:23:07 ]: >>663の続き (s=1/3の場合)

〔補題419〕t≠0 のとき
　1 < sinh(t)/t < exp{ √(9+t^2) -3 } < cosh(t/3)^3 < cosh(t).

出題(不等式)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=419
674 名前：673 mailto:sage [2006/04/04(火) 23:59:07 ]: >673 の続き

〔補題421〕t≠0 のとき
　1< cosh(t/3) < {cosh(t)}^(1/3) < sinh(t)/t.

出題(不等式)
post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=421
675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/07(金) 00:47:10 ]: >>57 問題B

(8)　A,B < π/2, C'=Min{C,π-C} としてよい。 0<A,B,C'≦π/2, A+B+C' ≦π.
　f(x)={sin(x)^2}/x とおくと
　(与式) = f(A)+f(B)+f(C) ≦ f(A)+f(B)+f(C') ≦ 3f((A+B+C')/3) ≦ 3f(π/3) = (27/4π)　(← *)
　 = 2.14859173174058703287993080552894….　等号はA=B=C=π/3 (正三角形)

*)　0<x≦π/3 では tan(x)/x ≦ √3 だから
　f '(x) = {2-tan(x)/x}cos(x){sin(x)/x} >0, fは単調増加で上に凸 (0<x≦π/3).
　g(x)=sin(x),　h(x)=sin(x)/x とおくと補題より f"(x)<0 (0<x≦π/2).

〔補題〕
　f(x)=g(x)h(x), g(x)≧0, h(x)≧0 とするとき
　　g "≦0, g 'h '≦0, h "≦0　⇒　f "≦0.
　　g "≧0, g 'h '≧0, h "≧0　⇒　f "≧0.
(略証)
　　ライプニッツの公式 f " = (gh)" = g "･h + 2g '･h ' + g･h " より.
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/07(金) 15:17:16 ]: ( ﾟ∀ﾟ)つ www.springer-tokyo.co.jp/contest/contest14.pdf
677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/07(金) 23:47:26 ]: >676

第14回シュプリンガー数学コンテスト

問題　次の不等式を示せ.　
　　　　(1/2)(3/4)(5/6)……(999999/1000000) < 1/1000

（原文では，「両辺を平方した後，積についての "telescoping" が使えるように(分子を)わず
かに増やせ」とあります．ただし，このヒントにしたがう必要はありません．）
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/07(金) 23:53:41 ]: >>58　問題C

(5) y=(√x)/(1-x) に直接Jensenの定理を適用したいが、これは原点の近くで上に凸なのでだめ。
　　そこで、原点をとおる接線ｙ＝Cxをひいて、上に非凸な曲線y=f(x)をつくる。(**)
　　f(x) = Cx,　　　　　(0≦x≦1/3)　ここに C=(1/2)√27 = 2.5980….
　　f(x) = (√x)/(1-x)　(x≧1/3)
　とおく。 (√x)/(1-x) ≧f(x).　またf(x)は上に非凸だからJensenの定理より　　(← *)
　　(左辺) ≧ f(a_1^2) + f(a_2^2) + …… + f(a_n^2) ≧ nf(a^2) = (右辺).　　(← a^2 >1/3)

*)　x<4/3 のとき、(1/3)^3 - x{(1-x)/2}^2 = (1/4)(4/3 -x)(x -1/3)^2 ≧0.　　(←相加-相乗平均)
　　x/{(1-x)^2} -(27/4)x^2 = x{1-(27/4)x(1-x)^2}/(1-x)^2 ≧ 0 ゆえ (√x)/(1-x) ≧ f(x) ≧ Cx.
　　f '(x) = (1+x)/{(2√x)(1-x)^2} >0,　単調増加.
　　f "(x) = {3(1+x)^2 -4}/{(4x√x)(1-x)^3} >0,　下に凸.　(x≧1/3).

**)　mathworld.wolfram.com/FunctionConvexHull.html 函数凸包
679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/08(土) 00:35:59 ]: >>58　問題C　ついでに.....

(3) の別法
　　cosθ + cosθ + 1/(cosθ)^2 = 2z + 1/z^2 = 3 + (1+2z)(1-z)^2 /z^2 ≧3.　(← 相加･相乗平均)
　　これをθで積分して 2sinθ + tanθ > 3θ. (Snelliusの式).
　　これと tanθ > θ > sinθ から簡単.
680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/08(土) 02:32:53 ]: ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/08(土) 03:53:26 ]: >>677
別スレで見た
(2n-1)!!/(2n)!! ≦ 1/√(3n+1)
を数学的帰納法で証明するらしい

n=1 のとき成立
n まで成立してるとすると
(2n+1)!!/(2n+2)!! ≦ {1/√(3n+1)}{(2n+1)/(2n+2)} ＜ 1/√(3n+4)
で n+1 でも成立

２番目の不等号は
(3n+1)(2n+2)^2 - (3n+4)(2n+1)^2 = n ＞ 0
から言える
682 名前：681 mailto:sage [2006/04/08(土) 04:03:56 ]: その問題は
999999!! / 1000000!! ＜ 0.001√(2/3) を証明せよ
だったから、>>677 はもっと簡単な評価で行けそうだな
683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/10(月) 01:40:05 ]: >>57　問題A

(5)　a^2=A, b^2=B, c^2=C, d^2=D, e^2=E とおく。
　f(x)=1/√(3x) は下に凸なので、Schwarz と Jensen より
　(左辺) ≧ A/√{3(B+C+D)} + B/√{3(C+D+E)} + C/√{3(D+E+A)} + D/√{3(E+A+B)} + E/√{3(A+B+C)}
　　　　　= A･f(B+C+D)} + B･f(C+D+E) + C･f(D+E+A) + D･f(E+A+B) + E･f(A+B+C).
　　　　　≧ (A+B+C+D+E)･f( {A･(B+C+D)+B･(C+D+E)+C･(D+E+A)+D･(E+A+B)+E･(A+B+C)}/(A+B+C+D+E) ),

　一方、（A+B+C+D+E)･f( (3/5)(A+B+C+D+E) ) = (1/3)√{5(A+B+C+D+E)} = (右辺).

　あとは A･(B+C+D)+B･(C+D+E)+C･(D+E+A)+D･(E+A+B)+E･(A+B+C) ≦ (3/5)(A+B+C+D+E)^2 を示すだけ。
　線形代数ヲタに頼もう。
　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134640067/85-87
684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/10(月) 22:52:24 ]: >>58　問題D

(9)の別解
　2xy/(x+y)=H, √[(x^2+y^2)/2]=RMS, √(xy)=G, (x+y)/2=A とおく。
　RMS^2 -G^2 = (x^2 +y^2)/2 - xy = (1/2)(x-y)^2 = (1/2)(x+y)^2 -2xy = 2(A^2 -G^2).
　　　RMS - G ≦ 2(A - G)　から、または直接に　　　　　　　　(← y=√x は上に凸)
　RMS + G ≦ √[2(RMS^2+G^2)] = 2A.
　辺々割って
　RMS - G ≧ A - (G^2)/A = A-H.
　H + RMS ≧ G + A. (終)

｢s乗平均｣を　f(X,s) ＝ {(1+X^s)/2}^(1/s)　とおけば (saikorodeka)
　y･f(x/y,-1) = H,　y･f(x/y,0) → G,　y･f(x/y,1) = A,　y･f(x/y,2) = RMS.
　f(X,-1) + f(X,2) ≧ f(X,0) + f(X,1)
　しかしf(X,s)は s≦0 で下に凸、s≧1/2 で上に凸なのでJensenは使えない....

出題(不等式)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=412
685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/11(火) 23:08:16 ]: >681-682
　[前スレ.816]
686 名前：684 mailto:sage [2006/04/13(木) 22:16:41 ]: 〔補題〕
　f(X,s) はsについて単調増加.
　sが整数、s≠0,1 のとき　f(X,s+1)-f(X,s) < RMS-A < A-G.

　… < f(X,-2) - f(X,-3) < H - f(X,-2) < G - H < A - G > RMS - A > f(X,3) - RMS > f(X,4) - f(X,3) > ….

出題(不等式)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=430
687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/16(日) 00:47:38 ]
688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/17(月) 20:03:44 ]: ささっ、どうぞ。

( ﾟ∀ﾟ)つ www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2006/n4/PDF/v32n4syn.pdf 問3141
689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/18(火) 01:06:06 ]: >688
問3141.
　Let a,b and c be the sides of a scalene triangle ABC. Prove that
　∑[cyclic] (a+1)bc/{(√a-√b)(√a-√c)} < (a^4 +b^4 +c^4)/(abc).

scalene tringle: 不等辺三角形
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/25(火) 17:44:02 ]: >>633
a^2/√(1+b^3)(1+c^3)+b^2/√(1+a^3)(1+c^3)+c^2/√(1+a^3)(1+b^3)

=2a^2/2√(1+b^3)(1+c^3)+2b^2/2√(1+a^3)(1+c^3)+2c^2/2√(1+a^3)(1+b^3)

≧2(a^2/(2+b^3+c^3)+b^2/(2+a^3+c^3)+c^2/(2+a^3+b^3))=Sとする。 ...(*)

a+b+c≧3(3√(abc))=6 ...(**)

√2+b^3+c^3,√2+a^3+c^3,√2+a^3+b^3
a/√2+b^3+c^3,b/√2+a^3+c^3,c/√2+a^3+b^3にCauchy-Schwarzの不等式を適用すると

(2+b^3+c^3+2+a^3+c^3+2+a^3+b^3)S/2≧(a+b+c)^2

=(a^3+b^3+c^3+3)S≧(a+b+c)^2

≧(3+3*8)S≧(a+b+c)^2

S≧(a+b+c)^2/27≧36/27=4/3.

等号成立条件:
a=b=c=2の時。

正直合ってるかわからん。間違えてたらｽﾏｿ

問題:
a^3+b^3+c^3+6abc≧(a+b+c)^3/4を証明せよ。(a,b,c>0).
691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/26(水) 01:31:38 ]: >690
　(a^3 +b^3 +c^3 +3)S ≧ (a+b+c)^2.
から
　(3+3*8)S ≧ (a+b+c)^2.
を出すところがムズイ...

解答.
　a^3 +b^3 +c^3 + (15/4)abc ≧ (1/4)(a+b+c)^3.
　(左辺) - (右辺) = (3/4){(a^3 +b^3 +c^3) - (a^2)(b+c) - (b^2)(c+a) - (c^2)(a+b) -2abc} + (15/4)abc
　= (3/4){ (a^3 +b^3 +c^3) - (a^2)(b+c) - (b^2)(c+a) - (c^2)(a+b) + 3abc }
　= (3/4){ a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) }
　≧ 0.

〔Schur不等式〕
　F_n = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b)
　= (a^n)(a-b)^2 + (a^n -b^n +c^n)(a-b)(b-c) + (c^n)(b-c)^2 　　(← bはa,cの中間にあるとしてよい.)
　≧ 0.

　>>399 ,>>38　参考書[1]の定理80, 参考書[3]のp.28
692 名前：690 mailto:sage [2006/04/27(木) 23:13:27 ]: 乙です。あっさりと解かれてしまったようで。

>　(3+3*8)S ≧ (a+b+c)^2.
>　を出すところがムズイ...

あ～。そこを減らせないんだったorz　後日、再挑戦します。

問題:
xyz(x+y+z)=1（x,y,z>0）の時、
(x+y)(y+z)の最小値を求めよ。
693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/27(木) 23:47:48 ]: >692
解答:
　(x+y)(y+z) = xz + y(x+y+z) ≧ 2･√{xyz(x+y+z)}.
694 名前：690 mailto:sage [2006/04/29(土) 01:13:35 ]: さすがですね。乙です。

問題:
1/√（4+5(x1)）+1/√（4+5(x2))+･･･+1/（4+5(xn))≦(n-1)/2を証明せよ。
ただし、
n≧3､(x1)*(x2)･･･*(xn)=1．

難易度はあがったかな･･･と思います。
695 名前：x^3+y^3+z^3の評価 [2006/04/30(日) 16:37:32 ]: いつも、良い御仕事、ご苦労様です。既出であれば、申し訳ないのですが、、、、。

「x,y,xは実数の時、A=x+y+z,B=x^2+y^2+z^2,C=x^3+y^3+z^3に関して、
　　-2A^3/9+AB-(B-A^2/3)^(3/2)/√6≦C≦-2A^3/9+AB+(B-A^2/3)^(3/2)/√6 」

解法１．(x,y,z)を座標とみなして、x=y=z方向に新しく、座標Xを取って、この軸と(x,y,z)との距離をr
として座標変換で求まりました。 (x,y,z)=>(X,r,t)
解法２．３次方程式の解法から、ω=(-1+√3)/2とした時、x+ωy+ω^2z=α+iβ,x+ω^2y+ωz=α-iβと置いて、
３次方程式の解法時の√内つまり、差積が負(x,y,zが実数の時)からも求まります。この方が直接計算。

解法１から、x^n+y^n+z^nの時にも同種の式が算出されます。全て-1≦cos(3t)≦1に
帰着されます。
私が知りたいのは、これが、4,5,,,,,∞の際の同種の式です。（つまり、x,y,z,w,v,,,,,,,と増やした場合）
御存知の文献等あれば、御教え下さい。
696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/30(日) 17:07:57 ]: ageてしまった事を「舌かんで死んじゃいたい」くらいの後悔の念とともに深く
御詫び致します。
697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/30(日) 17:54:47 ]: >694
nに関する帰納法で…
　x_1 ≧ x_2 ≧ … ≧ x_(n-1) ≧ x_n >0 としてよい。題意により x_1 ≧ 1 ≧ x_n. 　

(i)　n=3 のとき
　まづ x_1 ≧1 を固定して考える。増減表から
　1/√(4+5x_2) + 1/√(4+5x_3) は x_2 = x_3 = 1/√(x_1) で極大となり、両側で単調である。
　次に x_1=x,　f(x) = 1/√(4+5x) + 2/√{4+5/(√x)}　とおく。
　f '(x) =0 から x=1, x→∞ で極大となり、最大値は1. 等号成立は(x_1,x_2,x_3)=(1,1,1),(∞,0,0)のとき。

(ii)　次にnについて成り立つことを示す。
　y_i=x_i (i=1,2,…,n-1),　y_(n-1) = x_(n-1)･x_n とおいて帰納法の仮定を使うと、結局
　1/{4+5x_(n-1)} ≦ 1/√(4+5y_(n-1)},　1/√(4+5x_n) ≦ 1/2.
　に帰着する。
　x_n≦1　∴ y_(n-1) ≦ x_(n-1)　∴ 成立する。等号成立は x_(n-1) = x_n = 0 のとき。(終).

〔類題〕
　0≦y≦1 または 0≦z≦1 のとき　1/√(4+5y) + 1/√(4+5z) ≦ 1/√(4+5yz) + (1/2)
　が成り立ちまつ。　さて y>1,z>1 のときは？
698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/02(火) 22:58:03 ]: むかし某所にうｐした不等式の劣化バージョン。
つ www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200604&t=mat&l=en A.400
699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/04(木) 19:18:03 ]: >695

n変数のときは
-(2/n^2)A^3 +(3/n)AB -k{B-(A^2)/n}^(3/2) ≦ C ≦ -(2/n^2)A^3 +(3/n)AB +k{B-(A^2)/n}^(3/2).
かな.　ここに k=(n-2)/√{n(n-1)}.

1～3次の基本対称式 A, {(A^2)-B}/2, (2C-3AB+A^3)/6 の間の関係から
D = B - (A^2)/n >0,　
AD/(n-1) ≦ C - AB/n ≦ AD,
| (C-AB/n) - (2/n)AD | ≦ kD^(3/2).
700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/05(金) 00:52:23 ]: >698

A.400. Prove that
x/(y+2z+3u) + y/(z+2u+3x) + z/(u+2x+3y) + u/(x+2y+3z) ≧ 2/3.
for all real numbers x,y,z,u.

(略解)
　X = 0x +1y +2z +3u,
　Y = 3x +0y +1z +2u,
　Z = 2x +3y +0z +1u,
　U = 1x +2y +3z +0u.
とおくと、
x =(-5X +7Y +Z +U) /24,
　y = (X -5Y +7Z +U) /24,
z = (X +Y -5Z +7U) /24,
u = (7X +Y +Z -5U) /24.
"対角項" 以外は係数>0 なので、
　(左辺)*24 = (x/X +y/Y +z/Z +u/U)*24
　　= -20 + 6(Y/X + X/U + U/Z + Z/Y) + (Y/X + X/Y) + (Z/Y +Y/Z) +(U/Z +Z/U) +(X/U +U/X) +(Z/X +X/Z) +(U/Y +Y/U)
　　≧ -20 + 6･4 + 6･2 = 16　　　　　　(←X,Y,Z,Uは同符号とした.)
∴ (左辺) ≧ 2/3.
701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/05(金) 01:00:29 ]: >698
ついでに....

B.3902. P is an interior point of the triangle ABC. The perimeter of the triangle is 2s. Show that
s < PA + PB + PC < 2s.

(略解)
　Pは△ABCの内部の点だから AB < PA + PB < CA + CB
　循環的にたして2で割る.
702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/05(金) 01:01:29 ]: グッジョブでございます。
703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/05(金) 17:02:52 ]: 【sin】高校生のための数学の質問スレPART62【cos】
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1146134655/537

537 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/05/01(月) 21:19:29
正数a,b,cにたいし、a+b≦c+1、b+c≦a+1、c+a≦b+1であるとする。
このとき　a^2+b^2+c^2≦2abc+1　であることを示せ。

手も足も出ません。。。
704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/06(土) 14:58:45 ]: >703
　1+a-b-c=2A, 1+b-c-a=2B, 1+c-a-b=2C とおくと題意により A,B,C≧0, A+B+C≦3/2.
　a=1-(B+C), b=1-(C+A), c=1-(A+B) を与式に代入する。

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1146700446/494-496
705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/06(土) 23:20:49 ]: >703
　a≧b>0，b+a-1≦c≦b-a+1 としてよく，そのとき
　a≦1，-(1-b)(1-a) ≦ c-ab ≦ (b+1)(1-a),　|c-ab| ≦ (b+1)(1-a).
だから
　a^2 + b^2 + c^2 -2abc -1 ≦ …… ≦ -2(a-b)(b+1)(1-a) ≦ 0.

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1146700446/537
706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/08(月) 02:14:57 ]: 〔問題〕
正の整数 n と 0 < c(0) < c(1) < …… < c(n) に対して、方程式
　c(0)z^n + c(1)z^(n-1) + …… + c(n-1)z + c(n) =0 の全ての解は絶対値が1より大きい
ことを示せ。

分かスレ２４０
　science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1146985151/51,54,58

ﾋﾝﾄ: 非負実数の根がないことは明らか。
707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/13(土) 20:51:44 ]
708 名前：１３２人目の素数さん [2006/05/21(日) 02:12:09 ]: 誰か自分を助けてください。宿題なんですが、
二次方程式２X~2－２KX＋K~2－８＝０が異なる2つの実数解をもつような定数Kの値の範囲を求めよ。
という問題がとけません。ほんとに困ってます。助けてください。
709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/21(日) 03:42:34 ]: うせろカス！
710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/21(日) 17:46:11 ]: >708
↓ここら辺に解答.....

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148174572/70-73
711 名前：１３２人目の素数さん [2006/05/21(日) 23:17:13 ]: exp[∫(0→q) { -x^6 (t x^2-1)^2 + t^2 x^8} dt ]

は (q，x)∈[0，1] ｘ［0，∞）で上に有界だが、

exp[∫(p→q) { -x^6 (t x^2-1)^2 + t^2 x^8} dt ]

は (p，q，x)∈[0，1] ｘ [0，1] ｘ［0，∞) ( p≦q )で上に非有界である事を示せ。
712 名前：１３２人目の素数さん [2006/05/21(日) 23:52:03 ]: 96 nを実数とする。
n≦0 のとき
　x^n-x は単調減少により成立。等号は x=1/2.
n>0 のとき
　(左辺) - (右辺) = (´д｀)^n -x^n +x -(1-x) = f(x) とおくと
　f(0)=0, f(1/2)=0, f "(x) = n(n-1){(＾д＾)^(n-2) -x^(n-2)}.
　・0<n<1 or 2<n のとき f "(x)≧0(下に凸), f(x)≦0 により成立. 等号はx=0,1/2.
　・n=1,2 のとき f "(x)=0, f(x)=0 により等号成立.
　・1<n<2 のとき f "(x)≦0(上に凸), f(x)≧0 だから逆向き. 等号は x=0,1/2.
ぬるぽ
713 名前：711 mailto:sage [2006/05/22(月) 07:54:12 ]: exp は意味無かったか。
外してね。
714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/22(月) 16:14:49 ]: >>711は不等式の問題なのか？
スレ違い？
715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/22(月) 17:35:52 ]: >>714
まだまだだな。
716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/22(月) 21:43:57 ]: >>715
では解いてみてください。
717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/22(月) 23:23:35 ]: 前半なら解けるが。
718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/23(火) 01:56:19 ]: [前スレ.951] (2)

a+b+c=sとおくと　(a/s) + (b/s) + (c/s) = 1.
重みつき相加･相乗平均を使うと,
{(a+b-c)/a}^(a/s) * {(b+c-a)/b}^(b/s) * {(c+a-b)/c}^(c/s) ≦ (a/s){(a+b-c)/a} + (b/s){(b+c-a)/b} + (c/s){(c+a-b)/c} = 1.
これを s乗する。

出題(不等式)
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=488
719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/23(火) 03:28:19 ]: >711,713,716
　そう言われても…　方針だけ書けば、
　1<a<2 とする。
　|tx^2 -1| < c/(x^a)　⇒　(与式第1項) > -(c^2)･x^(6-2a)　… ここら辺に鋭峰がある。
　p=1/(x^2) -c/{x^(2+a)}, q=1/(x^2) +c/{x^(2+a)} とおくと,
　⊿t=q-p=2c/{x^(2+a)}　で　(与式第2項) ～ x^4 ± 2cx^(4-a) ～ x^4. 　
　∴　与式～ x^4 * 2c/{x^(2+a)} = 2cx^(2-a) → ∞ （x→∞)
　かなぁ。
720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/23(火) 08:46:12 ]: >>719
なんかよく分からないけど感動した。
目の付け所が違うって感じですね。
721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/24(水) 02:33:21 ]: >711,713,716
上の方は…

F(t,x) = -(x^6)(tx^2 -1)^2 + (x^8)t^2 = (x^6){(1+x)xt-1}{(1-x)xt+1},
I(q,x) = ∫(t=0→q) F(t,x) dt
　= ∫(t=0→q) { -(x^6)(tx^2 -1)^2 + (x^8)t^2 } dt
= [ -(1/3)(x^10)t^3 +(x^8)t^2 -(x^6)t +(1/3)(x^8)t^3 ](t=0,q)
= -(1/3)(x^10)q^3 +(x^8)q^2 -(x^6)q +(1/3)(x^8)q^3.

I(q,x) の増減を知るため、F(t,x)の符号を調べる。
(1)　0 < x ≦ (√5 -1)/2 のとき、
　　F(t,x)<0 だから I(q,x) <0.

(2)　(√5 -1)/2 < x ≦ (√5 +1)/2 =x0 のとき、
　　0<t< (1/x) -1/(1+x) で F(t,x)<0, (1/x) -1/(1+x) ≦t で F(t,x)≧0.
　　I(q,x) ≦ I(1,x) または I(q,x)<0.
　　I(1,x) = (1/3)(-3x^6 +x^8 -x^10) +x^8 ≦ (17972+4294√19)/(3･5^5)　≒ 3.91350528678012…　@ x^2=(8+√19)/5 ≒ 2.47177978870813…

(3)　(√5 +1)/2 = x0 < x のとき、tm(x)=1/(x-1) -(1/x) とおく。
　　0 < t < (1/x)-1/(1+x) で F<0, (1/x)-1/(1+x) < t < tm(x) で F>0, tm(x) <t で F<0.
　　I(q,x) ≦ I(tm(x),x) または I(q,x)<0.
　　I(tm(x),x) = -(1/3)(x^5)(x-2)/(x-1)^2 は単調減少で、
　　I(tm(x),x) ≦ I(tm(x0),x0) = (1/3)(x0)^5 ≒ 3.69672331458316…
722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/24(水) 08:14:35 ]: >>721
凄いﾊﾟﾜｰに感心するけど、
相加、相乗使えば早いのでは？

I(q,x) ≦ ( 1 - 2/√3 + q/3 ) (x^8)q^2
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/24(水) 22:44:34 ]: >721
　ここでは最大値は不要だから、x>2 のとき
　I(q,x) = -(1/4)(x^6)(qx^2 -2)^2 -(1/12)(x^8)(x^2 -4)q^3 < 0.

>722　q=1 のとき
　I(1,x) ≦ (1 - 2/√3 + 1/3)(x^8) = 0.1786328…(x^8) → ∞　(x→∞)
724 名前：722 mailto:sage [2006/05/25(木) 00:28:22 ]: >>723
そういう意味で書いたんじゃないよ。
q が 1 - 2/√3 + q/3 ≦ 0 を満たす範囲では上に有界。
それ以上の q で上に有界は自明。
725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/25(木) 00:40:33 ]: >>723
＞I(q,x) = -(1/4)(x^6)(qx^2 -2)^2 -(1/12)(x^8)(x^2 -4)q^3
間違えてないか？
726 名前：723 mailto:sage [2006/05/25(木) 15:21:32 ]: >724
>>　それ以上の q で上に有界は自明。
　詳細キボン（x→∞のとき)

>725
　I(q,x) = -(1/4)(x^6)q(qx^2 -2)^2 -(1/12)(x^8)(x^2 -4)q^3 < 0
　訂正、スマソ.
727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/25(木) 16:08:29 ]: >>726
0＜c＜1 なる定数 c に対して、q∈[c，1] のとき

-(1/3)(x^10)q^3 +(x^8)q^2 -(x^6)q +(1/3)(x^8)q^3
≦-(1/3)(x^10)c^3 +(x^8) -(x^6)c +(1/3)(x^8)

これは明らかに上に有界。（x^10の項が効いている）
もっと厳密に言えるけどもういいかな？
728 名前：726 mailto:sage [2006/05/25(木) 18:15:09 ]: >727
　レスありがとうございます。
　なるほど！納得しますた！㌧㌧！
729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/26(金) 18:47:15 ]: science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148148000/416-417

416 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/05/26(金) 04:35:01
x, yは非負の実数である。
(x^3) + (y^4) <= (x^2) + (y^3) のとき、(x^3) + (y^3) <= 2 であることを示せ。

両辺 y^2 で割って相加相乗とか無意味なことを色々と考えみましたが、わかりませんでした。
お願いします。

417 名前： ◆BhMath2chk [sage] 投稿日：2006/05/26(金) 06:00:00
ｘ＾２，ｙ＾４を消してｘ＾３，ｙ＾３の関係を求める。
４ｙ＾３≦３ｙ＾４＋１。
３ｘ＾２≦２ｘ＾３＋１。
　３ｘ＾３＋４ｙ＾３
≦３ｘ＾３＋３ｙ＾４＋１
≦３ｘ＾２＋３ｙ＾３＋１
≦２ｘ＾３＋３ｙ＾３＋２。
730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/26(金) 22:01:41 ]: >>729
ぐじょぶ。
731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/27(土) 07:30:36 ]: >>711
>>721のI(q,x)を使わせて貰うと、

I(1/{x(x-1)} , x) - I(1/{x(x+1)} , x) = 4x^5/{3(x^2-1)^2} ～ x
732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/30(火) 03:58:06 ]: Berkeley Math. Circle にあったらしい…

23.　次を証明せよ。もし a,b,c が三角形の辺の長さならば、
　a^2 b(a-b) + b^2 c(b-c) + c^2 a(c-a) ≧ 0.　

23.　Prove that if a, b, c are sides of a triangle, then
　a^2 b(a-b) + b^2 c(b-c) + c^2 a(c-a) ≧ 0.

出題(不等式)
messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=503 ,506
mathcircle.berkeley.edu/inequalities.ps
733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/31(水) 01:12:35 ]: >732

b+c-a=2x, c+a-b=2y, a+b-c=2z とおくと x,y,z>0.
(左辺) = 2yz(z-x)^2 + 2zx(x-y)^2 + 2xy(y-z)^2 ≧ 0.
を使う.

出題(不等式) [508]
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/05(月) 00:14:34 ]: a,b,cを三角形の3辺の長さとする。このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
3/2≦{a/(b+c)}+{b/(c+a)}+{c/(a+b)}≦2
735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/05(月) 00:21:07 ]: >>734
前スレにあったやうな…
736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/05(月) 00:43:32 ]: >>734
　　　,　ﾉ）
　　ﾉ)ノ,(ノi
　 (　　　　(ノし
┐)　∧,∧ 　ﾉ　いける、俺ならやれる。
..|(　( ....:::::::) (
￣⊂/￣￣7 )
　（/ 川口 /ﾉ
　　￣TT￣
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/05(月) 05:29:44 ]: >735
このスレにもあるyo
>>281-283
738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/05(月) 19:31:52 ]: 鋭角三角形ABCに対して、次の不等式を示せ。
(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)/(cosA・cosB・cosC) ≧ 8(tanA+tanB+tanC)^3/{27(tanA+tanB)(tanB+tanC)(tanC+tanA)}

　　　　　　　 ,ｲ　　　　　　　　━┓¨
　　　　　　　/ | 　　　　　　　　━┛
　　 ,r‐､λノ　ﾞi､_,､ﾉゝ　　　━┓¨
　　ﾞl　　　　　　　　ﾞ､_　　 ━┛
　 .j´　　ヽ('A`)ﾉ　　　　（.　 ━┓¨
　 {　　　　　(　 ) 　　　 /　　━┛
　　)　　　ﾉ　| 　　　,l~

取っ掛かりがさっぱり分からんが、燃えてきた、萌えてきた～！
この不等式にﾊｧﾊｧした君は、間違いなく不等式ヲタだッ！m9(ﾟ∀ﾟ) ﾋﾞｼｯ！
739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/05(月) 22:21:16 ]: (右辺)/(左辺)が簡単な形になるだろ
740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/11(日) 17:36:06 ]: f(x)を実係数のn次の整式とし、すべての実数xに対して、f(x)≧0とする。
このとき、すべての実数xに対し、f(x)+f'(x)+・・・+f^(n)(x)≧0で
あることを示せ。(f^(k)(x)はf(x)のk次導関数を表わすとする)

お願いします
741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/11(日) 20:00:05 ]: >740
　F(x) = f(x) + f'(x) + f"(x) + …… + f^(n)(x) とおくと、
　F(x) - F'(x) = f(x).
　{exp(-x)F(x)} ' = exp(-x){-F(x)+F'(x)} = -exp(-x)f(x) ≦ 0.　　(単調減少)
一方、Lim[x→∞) {exp(-x)F(x)} = Lim[x→∞) a_0･x^n / exp(x) → 0.　(ロピタル)
∴ exp(-x)F(x) ≧ 0.
∴ F(x) ≧ 0.　でいいのかな?
742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/11(日) 22:44:50 ]: >>741
ありがとうございます。
743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/15(木) 16:40:47 ]: 実数 x, y が 2sin(x)sin(y) + 3cos(y) + 6cos(x)sin(y) = 7 をみたすとき、
tan^2(x) + 2tan^2(y) の値を求めよ。

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
744 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/06/15(木) 17:28:29 ]: talk:>>743 で？
745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/15(木) 21:59:38 ]: 荒らすな、馬鹿キング！
746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/15(木) 22:05:05 ]: ( ﾟ∀ﾟ) ＜荒らしていると言うことは、気づいていない証拠ですな。 kingも落ちたものだ、嘆かわしい。
　　　　　　ぬるぽの意見を聞こうッ！
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/15(木) 22:07:46 ]: 面白い問題おしえて～な 11問目
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/655-656

任意の関数f:{1,2,...,n}^2→{-1,1}に対してΣ[x,x']Σ[y,y']f(x,y)f(x,y')f(x',y)f(x',y')≧n^3となる事を証明せよ

与式＝Σ[x,x']{Σ[i＝1～n]f(x,i)f(x’,i)}^2
＝Σ[x＝x']{Σ[i＝1～n]f(x,i)f(x’,i)}^2＋Σ[x≠x']{Σ[i＝1～n]f(x,i)f(x’,i)}^2
≧Σ[x＝x']{Σ[i＝1～n]f(x,i)f(x’,i)}^2
＝Σ[x＝1～n]{Σ[i＝1～n]f(x,i)f(x,i)}^2
＝Σ[x＝1～n]{Σ[i＝1～n]1}^2
＝n^3
748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/15(木) 22:34:44 ]: >743
　sin(x) + 3cos(x) = (√10)cos(x-a), a=arctan(1/3) より
　2sin(x)sin(y) + 3cos(y) + 6cos(x)sin(y) = (2√10)cos(x-a)sin(y) + 3cos(y) ≦ √{40cos(x-a)^2 +3^2} ≦ 7.
ところで題意により
　(x,y) = (a, b), (π+a, -b), b=arctan((2√10)/3),
　{tan(x)}^2 + 2{tan(y)}^2 = (1/3)^2 + 20(2/3)^2 = 81/9 = 9.
749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/15(木) 22:55:14 ]: >>748
( ﾟ∀ﾟ) ＜乙ですが、肝心なことを忘れています。
　　　　　　ここは不等式ヲタの溜まり場なのです。
　　　　　　我々不等式ヲタをﾊｧﾊｧさせてください。
750 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/06/15(木) 22:57:59 ]: talk:>>745-746 お前に何が分かるというのか？
751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/15(木) 23:17:48 ]: 　　　　(ﾟдﾟ ) こたえがでればいいぢゃないか！

( ﾟ∀ﾟ) ぉゃぉゃ、いままでなにをまなんできたのですか？

　　　　(ﾟдﾟ ) なんだと！

( ﾟ∀ﾟ) すうをたならば、もんだいはとけてあたりまえ。

　　　　(ﾟдﾟ ) うっ…。

( ﾟ∀ﾟ) このすれをよみなおしたまえ！

　　　　(ﾟдﾟ ) どういうことだ！

( ﾟ∀ﾟ) といたらそれっきりなんてもんだいはひとつもない！

　　　　(ﾟдﾟ ) たしかに。かいけつしたもんだいのべっかいをわすれたころにだしているし、
　　　　　　　　べつのもんだいにうまくりようしているのもあるな

( ﾟ∀ﾟ) なかなか　りかいが　はやい。わたしははぁはぁさせてくれるかいほうがほしかったのです！

　　　　(ﾟдﾟ ) なにもかもがおまえのかいたすじがきだったというわけだ！

( ﾟ∀ﾟ) さぁ、わたしをはぁはぁさせるかいほうをかんがえなさい！
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/16(金) 21:00:35 ]: >>743
　　　,　ﾉ）
　　ﾉ)ノ,(ノi
　 (　　　　(ノし
┐)　∧,∧ 　ﾉ　ふふふ、そういうことか…
..|(　( ....:::::::) (
￣⊂/￣￣7 )
　（/ 川口 /ﾉ
　　￣TT￣
753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/18(日) 20:30:42 ]: 　　人人人人人人
≪ 　ヽ( "･ω･゛)ﾉ　≫　ﾋﾞﾘﾋﾞﾘ
　　^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ　
754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/19(月) 15:38:52 ]: でエレガントな解答はまだ？
755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/19(月) 22:11:44 ]: >>743,749,751,754

　(6/7, 2/7, 3/7) = ｅ↑,
　（cos(x)sin(y), sin(x)sin(y), cos(y)） = ｒ↑
とおくと、
　|ｅ| = |ｒ| = 1.
与式より
　(ｅ･ｒ) = 1.
　∴ |ｒ－ｅ|^2 = |ｒ|^2 + |ｅ|^2 -2(ｅ･ｒ) = 2 - 2 = 0.
　∴ ｒ↑ = ｅ↑.
　∴ tan(x)=1/3, tan(y)=±(2/3)√10.

ハｧハｧ....
756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/19(月) 22:31:57 ]: 　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　>>755 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　|::::: (●　(● |　　そう、それを待っていたのです！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/23(金) 20:24:55 ]: 有理数c/d(d<100)が存在して、k=1,2,3,･･･,99に対して
[k*(c/d)]=[k*(73/100)]
となることを示せ。
758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/23(金) 22:21:40 ]: >757
c/d = 27/37 = 54/74 の希ガス.
759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/24(土) 00:42:03 ]: >757
　c=27, d=37 とすると　73/100 = c/d + 1/(100d).
　k*(73/100) = k*(c/d) + k/(100d) ≦ k*(c/d) + (1/d) -1/(100d).
　ところで　0 ≦ { k*(c/d) } ≦ 1 - (1/d).
　∴ { k*(c/d) } + k/(100d) ≦ 1 - 1/(100d) <1.
　∴ { k*(37/100) } = { k*(c/d) } + k/(100d).
　∴ [ k*(73/100) ] = [ k*(c/d) ].
760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/04(火) 03:16:07 ]: 既出だろうけど、これから何か得られないかな？
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200605&t=mat&l=en 問3916

三角関数ヲタに如何？
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/sol_feb.pdf 問431

(屮ﾟДﾟ)屮カモーン
761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/05(水) 02:24:26 ]: >760

〔問B.3916〕
Prove that the inequality
(1/3)(x^2 +xy +y^2) ≦ (1/2)(x+y)√{(x^2 +y^2)/2}
holds for all positive numbers x,y.

(略解)　左辺を L, 右辺を R とおくと、
　(3L)^2 - (xy)^2 = (3L+xy)(3L-xy) = (x+y)^2 (x^2 +y^2) = 8R^2.
一方、相加･相乗平均より、xy ≦ (x+y)/2 ≦ √{(x^2+y^2)/2},　xy ≦ R.
∴　9L^2 = (xy)^2 + 8R^2 ≦ 9R^2.
∴　L ≦ R　等号成立は x=y.

〔問431.〕
　Prove the following trigonometric identity, for any natural number n:
　　　　sinθ･sin(3θ)･sin(5θ) …… sin((2n-1)θ) = 1/(2^n).
　where θ = π/(4n+2).
762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/05(水) 02:57:16 ]: >>761
ぐっじょぶ。
763 名前：１３２人目の素数さん [2006/07/06(木) 03:44:04 ]: [1,2]においてf(x)>0のとき
∫[1,2](xlogf(x)-f(x))dx ≦ 2log2-9/4
を示せ。
764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/06(木) 03:50:00 ]: ｘｌｏｇ（ｆ（ｘ））－ｆ（ｘ）≦ｘｌｏｇ（ｘ）－ｘ。
（ｄ／ｄｘ）（ｘ＾２ｌｏｇ（ｘ）／２－３ｘ＾２／４）＝ｘｌｏｇ（ｘ）－ｘ。
765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/06(木) 04:12:56 ]: ひゅ～
766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/06(木) 22:14:18 ]: ((a_1+a_2)/2)((a_2+a_3)/2)((a_3+a_4)/2)...((a_n+a_1)/2)
≦((a_1+a_2+a_3)/3)((a_2+a_3+a_4)/3)((a_3+a_4+a_5)/3)...((a_n+a_1+a_2)/3)
を示せ。ただし、0<a_i,1≦i≦n.
767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/06(木) 22:20:12 ]: 相加相乗ですぐできるやん
768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/07(金) 22:31:43 ]: >760　ついでに....

〔B.3912〕
　Prove that every convex quadrilateral has a vertex, such that
its inversion with respect to the midpoint of the line segment connecting the two adjacent verteces
does not lie outside the quadrilateral.

　凸4辺形には、次の条件を満たす1つの頂点があることを示せ。
その頂点を、両隣の頂点を結ぶ対角線の中点の周りに反転した点は、
この4辺形の外部にない。
769 名前：768 mailto:sage [2006/07/07(金) 22:41:53 ]: Note:　line segment connecting the verteces = diagonal
770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/08(土) 05:14:25 ]: >764
　f(x)/x >0　⇒　log{f(x)/x} ≦ f(x)/x －１　を使ったな？

>767
　すご

>768-769
凸4角形をABCDとする。
対角線BDの中点Nの周りにAを反転した点をA'とする。
　A'⊆△BCD　⇔　∠CBD－∠A'BD ≧ 0　かつ　∠CDB－∠A'DB ≧ 0.
ところで、
　∠CBD-∠A'BD = ∠CBD－∠ADB ≡ u,　∠CDB－∠A’DB = ∠CDB－∠ABD ≡ v. 　……　(Ａ)
ここに
　∠CBD - ∠ADB = ∠DAC - ∠BCA = u　　(← ∠ADB + ∠DAC = 180ﾟ－∠AXD = ∠CBD + ∠BCA )
　∠CDB - ∠ABD = ∠BAC - ∠DCA = v　　(← ∠ABD + ∠BAC = 180ﾟ－∠AXB = ∠CDB + ∠DCA )
なので、(Ａ)の頂点を循環させると……
771 名前：766 mailto:sage [2006/07/08(土) 15:59:13 ]: >>767
気づかなかったorz
自分は遠回りしたので、意味もなく難しく思ってた。
すまんです。
772 名前：Peierls mailto:sage [2006/07/09(日) 04:02:21 ]: >766
　n=2m,　b≠0, a_k = 1 + {3(-1)^k}b　(k=1,2,…,n)　のとき

　(左辺) = 1 > (1-b^2)^m = {(1+b)(1-b)}^m = (右辺).
773 名前：Peierls mailto:sage [2006/07/09(日) 04:31:22 ]: >766
　n=3L,　c≠0,　|c|<1/2,　a_(3k-2) = 1+2c,　a_(3k-1)=1-2c,　a_(3k)=1,　(k=1,2,…,L)　のときは

　（左辺) = {1(1-c)(1+c)}^L = (1-c^2)^L < 1 = (右辺).

　で成立してるお。ふむふむ。
774 名前：766 mailto:sage [2006/07/10(月) 20:09:30 ]: 766です。

>767
相加相乗で出来ません・・・出来たらやり方教えてくれませんか？

↓自分の証明です。一応。

まず、
補題　a_1/b_1+a_2/b_2+a_3/b_3 ... +a_n/b_n ≧ n(a_1+a_2+a_3+...+a_n)/(b_1+b_2+b_3+...+b_n)
を示します。(b_i≠0、1≦i≦n、a_i≦a_i+1　1≦i≦n、b_j≦b_j+1　1≦j≦n）

証明:Chebychefより、LHS≧(1/n)（a_1+a_2+a_3+...+a_n)(1/b_1+1/b_2+1/b_3+...+1/b_n)
相加相乗より、1/b_1+1/b_2+1/b_3+...+1/b_n≧(n^2)/(b_1+b_2+b_3+...b_n)
なので、証明されました。

次に、与式を
(3/2)^n≦((a_1+a_2+a_3)/(a_1+a_2))...((a_n+a_1+a_2)/(a_n+a_1))
と変形します。さらに、a_i≦a_i+1　1≦i≦n､a_(n+1)=a_1､a_(n+2)=a_2とします。

(a_k+a_(k+1)+a_(k+2))/(a_k+a_(k+1))=(a_k+a_(k+1)+a_(k+2))/(a_k+a_(k+1)+0)
=1/(a_k+a_(k+1)+0)/(a_k+a_(k+1)+a_(k+2))≧3/2（補題により）
なので、kを1≦k≦n内で動かせば示されます。
775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/10(月) 20:55:35 ]: >>766,774
　｢補題｣は
　　{a_1, a_2, …, a_n} の順序と {b_1, b_2, …, b_n} の順序が平行している
　ことを仮定しているようなので、
　｢補題｣を使うときは、そのことを確かめた方がよいでしょう.

>772は、nが偶数のとき凡例がありそうだ、と言ってまつyo.
　b≠0, |b| < 1/3,
　a_1 = a_3 = … = a_(n-1) = 1-3b,
　a_2 = a_4 = … = a_n = 1+3b　のとき....
776 名前：766 mailto:sage [2006/07/15(土) 15:05:09 ]: 766です。試験で忙しかったので暫く来れませんでした。すいません。

>>772ですが、確かにそうですね・・・。本からのうｐでしたが、どうも完全な問題ではないようです。申し訳ありません。

また半年間romってきます。
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/15(土) 18:57:15 ]: 数オリスレにありますた。

　| ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) | ≦ (1/4)(a^2+b^2+c^2)^2.

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1121775239/717
数オリ２
778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/15(土) 19:31:41 ]: >>776
元ネタがあるときは、参考文献も書いておくといいよ。
大概は既知の問題だろうけど…。
それに書いてある模範解答以外の答えを出せるときがあるし…。
779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/28(金) 17:10:55 ]: 972
780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/29(土) 20:55:34 ]: 今日、たまたま相加平均・相乗平均のいろいろな証明方法が載っている本を見つけて買いました。

( ﾟ∀ﾟ)つ「数学トレッキングツアー」教育出版、2006.7.1、1800円、PP.93-135
www.amazon.co.jp/gp/product/toc/4316801988/ref=dp_toc/250-6050543-0532225?ie=UTF8&n=465392
781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/03(木) 09:35:44 ]: >>777
これですな。(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

問１も不等式だね。問４もﾊｧﾊｧ…
www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/imo47q.html
782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/05(土) 08:48:46 ]: 実数 a、b、c が a^2+b^2+c^2=1をみたすとき、次式を示せ。
　1/(1-ab) + 1/(1-bc) + 1/(1-ca) ≦ 9/2

実数 a、b、c、d が a^2+b^2+c^2+d^2=1をみたすとき、次式は成り立つか？
　1/(1-ab) + 1/(1-ac) + 1/(1-ad) + 1/(1-bc) + 1/(1-bd) + 1/(1-cd) ≦ 8

( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…
783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/05(土) 17:50:54 ]: >781
Q1.　三角形ABCの内部に点Pがあって, 等式
　　　∠PBA + ∠PCA = ∠PBC + ∠PCB
をみたすとき, AP≧AI を示せ. ここにIは△ABCの内心である.
また、等号成立は P=I のとき。

Q3.　任意の実数a,b,cに対して不等式
　　|ab(a^2-b2) + bc(b2-c^2) + ca(c^2-a^2)| ≦ M(a^2+b^2+c^2)^2
が成り立つような, 最小の実数Mを求めよ.

Q4.　以下の等式を満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ.
　　　　　1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2.

A3.　M = 12･17^3 / 385^2 ≒ 0.3977466689…　　( a:b:c = 1:(25/8):(-9/8) の辺り.)

A4.　(x,y) = (4,23)
784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/05(土) 19:58:12 ]: >>782
過去ログに、こんなのあったような…

実数 a、b、c が a^2+b^2+c^2=1をみたすとき、
　1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ca) ≧ 9/4
785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/06(日) 17:19:47 ]: >782　改造しますた
　n個の実数 x1,x2,…,xn が x1^2 + … + xn^2 =s をみたすとき、次式は成り立つか？
　　∑[1≦i<j≦n] s/(s-xi･xj) ≦ (n^2)/2.

>784
[前スレ.519]
【問題Ｃ】正の数 a,b,c が a^2 +b^2 +c^2 =s をみたすとき
(6) 1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ca) ≧ 9/(3+s).

　相加･調和平均で瞬殺だった...

makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082.html#519
makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082.html#530
786 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/09(水) 00:17:10 ]: これどうすか。
{√(bc)+√(ca)+√(ab)}/3≦{(b+c)(c+a)(a+b)/8}^{1/3}
787 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/09(水) 00:24:36 ]: もちろんa,b,c≧0
788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/09(水) 04:39:05 ]: >>786
グッジョブ (*ﾟ▽ﾟ)b

>>780で紹介した本の P.122 に載っていますね (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
もしかして、この不等式、このスレには初登場？
789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/09(水) 07:42:30 ]: 【問題】
ある直方体の6つの面のうち、5面の面積の和がaである。
このような直方体の体積の最大値を求めよ。

【解答】
直方体の3辺をh,k,Lとすると
　a = 2hk+2kL+Lh,
相加･相乗平均で
　(2hkL)^(2/3) ≦ (2hk+2kL+Lh)/3 = a/3.
　hkL ≦ (1/2)(a/3)^(3/2).

【ネタ元】
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問より
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/120-121
790 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/09(水) 13:02:05 ]: muirheadの不等式って、巡回置換じゃ成り立たないの？
791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/09(水) 13:30:00 ]: 成り立たない。
792 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/09(水) 13:34:55 ]: >>791
なるほど　さんくす
793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/09(水) 14:39:18 ]: 本当？
794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/09(水) 14:41:54 ]: >>793
優級数って、ひとつの順序でしょ。
巡回置換は（巡回）対称性があるから順序にならんのじゃない？
795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/09(水) 18:35:45 ]: >>786 念のため解答

　√(bc)=x, √(ca)=y, √(ab)=z とおくと,
　(左辺) = (x+y+z)/3 ≦ √{(x^2+y^2+z^2)/3} = √{(bc+ca+ab)/3}
　≦ {(a+b+c)(bc+ca+ab)/9}^(1/3) ≦ {[(a+b+c)(bc+ca+ab) -abc]/8}^(1/3)
　= {(b+c)(c+a)(a+b)/8}^(1/3) = (右辺).
ここで
　√{(bc+ca+ab)/3} ≦ (a+b+c)/3,
　(a+b+c)(bc+ca+ab) - 9abc = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧ 0,
を使った。
796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/10(木) 11:46:52 ]: >>786
やはり、一般化せずにはいられまいな ( ﾟ∀ﾟ)

B.C.Carlson, R.K.Meany, S.A.Nelson (1971)
正の数 a_i (1≦i≦n) に対して、
　(1/n)*Σ[k=1 to n] \sqrt [n-1] {Π[i≠k]a_i } ≦ \sqrt [n] { Π[k=1 to n] {(1/(n-1))*Σ[i≠k]a_i } }
797 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/10(木) 21:15:30 ]: >>796
ヘルダー使って証明するやつだな。もっと一般化されてたと思うが。同じ論文だったか定かじゃないが。
拡張の証明は、>>795の方法のままで出来ない？ヘルダー使わずに。
798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/10(木) 21:29:42 ]: a_1,……,a_n≧0とするとき，
Σ[k=1 to n]√(Σ[i=k to n] a_i) ≧ √(Σ[k=1 to n] (k^2 a_k))
799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/10(木) 21:58:34 ]: >>797
> もっと一般化されてたと思うが。

もっとくぁしく！
800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/10(木) 22:04:07 ]: >>799
www.ams.org/proc/2004-132-09/S0002-9939-04-07384-8/home.html
801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/10(木) 22:08:42 ]: >>800
C_n^kって何ですか？
802 名前：800 mailto:sage [2006/08/10(木) 22:10:03 ]: あぁ、たぶん nCkのことですね。失礼。
外国では C_n^kと書くのか…、へんなの！
803 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/10(木) 22:28:33 ]: >>802
ヒント: TeX
804 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/10(木) 22:28:34 ]: >799
もっといけるで。左辺のｋと右辺のｋは同じじゃなくても大丈夫。
足してｎより大なら。
805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/10(木) 22:39:41 ]: >>803
つまり TeXで _nC_k と書くつもりが、書き間違えたわけだ！なさけない・・・
806 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/10(木) 22:40:21 ]: ちげーよｗ
807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/10(木) 22:41:48 ]: >>801-803,805
nCkをC_n^kと書くのは，日本以外のアジア地域の標準的記法
808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/10(木) 22:43:53 ]: >>807
そうでしたか
日本以外のアジアか。
どおりで AMM 読んでも、そんな表記はなかったわけだ。
809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/11(金) 07:57:27 ]: >>800
これの証明はどうするのでしょうか？
私は３変数の証明でいっぱいいっぱいです。
810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/13(日) 19:44:35 ]: >>797-800,809
ヘルダーを使わずに… (粗筋だけでｽﾏｿ)

#A=k, n/2 < k ≦ n
a_1,a_2,…,a_n のj次の基本対称式を S_j とおく。C[n,k]=N とおく.

x_A = {Π[i∈A] a_i}^(1/k) とおくと, ∑[#A=k] (x_A)^k = S_k,
補題より　{(1/N)∑[#A=k] x_A}^(n-k) ≦ (1/N)S_(n-k).

(左辺)^n = {(1/N)∑[#A=k] x_A}^n ≦ (1/N^2)S_(n-k)･∑[#A=k] (x_A)^k
　= (1/N^2)S_(n-k)S(k)
　= (1/N){ [1,1,…,1] + C(n-k,1)C(k,1)[2,1,…,1,0] + C(n-k,2)C(k,2)[2,2,1,…,1,0,0] + … + C(k,n-k)[2,…,2,1(0),…,0] }
　≦ (1/N){ [1,1,…,1] + (terms of order ≦2) + (terms of orders >2 ) }　　　　　(← Muirhead)
　= {1/(n-1)}^n･Π[#A=k] {∑[i∈A] a_i}
　= (右辺)^n.

(terms of order･･･) の係数は、個別に求めている…

〔補題〕 n/2 ≦ k ≦ n のとき
　{(1/N)∑[#A=k] x_A}^(n-k) ≦ (1/N)S_(n-k).
　S_(n-k) は a_1,a_2,…,a_n のn-k次の基本対称式。
(略証)
各x_A は (a_j)^(1/k) のk次積なので、左辺を展開すると (a_j)^(1/k) のk(n-k)次積となる。
各a_jは高々n-k個しかないから、重複なくk組に分けられる。(← n-k≦k)
x_A1･x_A2…x_A(n-k) = (k組の相乗平均) ≦ (k組の相加平均).
すべての A1,A2,…,A(n-k) について加えて平均すると対称性によって (1/N)S_(n-k) となる。 (終)
811 名前：810 mailto:sage [2006/08/13(日) 20:21:02 ]: >810 は独立変数を a_1,…,a_n で表わしてまつ.（>800 は別の文字を使ってまつ).
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/13(日) 21:01:03 ]: >804
S_k / C[n,k] = P_k とおくと >810 より
　(左辺)^n ≦ (1/C[n,k]^2)S_(n-k)･S_k = P_(n-k)P_k.
ところで P_k は単調減少で上に凸。P_(k+1)/P_k が単調減少だから
　(左辺)^n ≦ P_(n-k)P_k ≦ P_(n-k+1)P_(k-1) ≦ P_(n-k+2)P_(k-2) ≦ … ≦ P_([n/2])P_(n-[n/2])
813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/13(日) 23:21:28 ]: jien otu
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/15(火) 12:23:15 ]: >804,812

【補題】i≦i≦n-1 のとき
　(P_i)/P_{i-1} ≧ P_{i+1}/(P_i).

[前スレ.263(1)], [前スレ.269-271]
makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082.html
815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/15(火) 12:28:23 ]: 【記号の説明】
n個の正の数 a_1,a_2,…,a_n に対して、
基本対称式（k個ずつの積の和）を s_k で表す
(s_k)/項数 = (s_k)/Ｃ[n,k] ≡ P_k とおく
816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/15(火) 12:44:54 ]: >804,812
　微分法を使ったのもある…

[前スレ.480]
makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082/480
817 名前：810 mailto:sage [2006/08/16(水) 03:14:27 ]: >>797-800,809 粗筋 (その2)

(左辺)^k = {(1/N)∑[#A=k] x_A}^k ≦ (1/N)∑[#A=k] (x_A)^k = (1/N)S_k = P_k
　≦ ……
　≦ { Π[#A=k] (1/(n-1))∑[i∈A] a_i }^(k/N)
　= (右辺)^k.

右辺を展開したとき, "terms of higher order" が多く含まれることを示さねば…
818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/17(木) 22:44:32 ]: >817 の続き

∑[i∈A] a_i のiを1づつずらしたn項の積を考える。
nが素数のとき {a_i}の対称式でP_k, P_1･P_(k-1), … の和として表わせるので、
　≧ (P_k)^(n/k),
これを(N/n)組を掛けあわせて(k/N)乗すると
　P_k ≦ (右辺)^k
819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/27(日) 09:02:49 ]: ネタ投下
実数 x , y , z が xy + 2yz + 3zx = 1 を満たすとき |x + y + z| の最小値を求めよ
820 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/27(日) 17:12:37 ]: 保守
821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/27(日) 20:38:58 ]: >819
　|x+y+z|^2 = (4/3)(xy+2yz+3zx) + (2/3)(x+y-z)^2 + (1/3)(x-y-z)^2 ≧ (4/3)(xy+2yz+3zx) = 4/3.
　|x+y+z| ≧ 2/√3,　等号成立は x=z, y=0 のとき.
822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/27(日) 20:54:24 ]: >>821
どっから、そういう変形を思いつくのですか？ ('A`)
コツがあるのですか？
823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/27(日) 21:31:09 ]: >>821
ﾊｧﾊｧ
)ﾊｧﾊｧ
｀)ﾊｧﾊｧ
Д｀)ﾊｧﾊｧ
´Д｀)ﾊｧﾊｧ
；´Д｀)ﾊｧﾊｧ
(；´Д｀)ﾊｧﾊｧ
824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/28(月) 01:04:17 ]: >822

線形代数/線型代数３
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134640067/381-382

ハｧハｧ
825 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/28(月) 09:29:46 ]: brunn-minkowski不等式ってなんダイ？
826 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2006/08/28(月) 11:18:04 ]: 問題投下
正の実数 x , y , z の中で一番小さいものが √3 以上であるとき
不等式 xyz≧x+y+z が成り立つことを証明せよ．
827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/28(月) 11:19:09 ]: >>826
工房は立ち入り禁止
828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/28(月) 17:26:06 ]: >>826
一応一般化しておく。
x_k ≧ n^{1/(n-1)}　(k=1,2,…,n) のとき，
x_1 x_2 … x_n ≧ x_1 + x_2 + … + x_n
を示せ。
829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/29(火) 02:13:21 ]: 　一応示しとくお。

【命題828】　x_k ≧ a >1　(k=1,2,…,n) のとき
　x_1･x_2…x_j ≧ x_1 + x_2 + … + x_j + (a^j) -ja.
(略証)
　jについての帰納法による。
　j=1 のときは明らかだお。
　j>1 とする。
　　j-1 について成り立つとする。
　　x_1･x_2…x_(j-1) =y とおくと、
　　y ≧ x1 + … + x_(j-1) + a^(j-1) -(j-1)a ≧ a^(j-1)　…… (1).
　補題↓より、
　　y･x_j ≧ y + x_j + (a^j) -a^(j-1) -a　…… (2)
　(1)(2)より、j についても成り立つお。(終)

〔補題829〕
　x≧a>1, y≧b>1 のとき xy ≧ x + y + c,　ただし c=ab-a-b.
(略証)
　題意により (x-a)(y-b) ≧0.
　∴ xy ≧ ay + xb -ab ≧ x + y + (a-1)b + a(b-1) -ab = x + y +ab -a -b.
830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/30(水) 17:52:19 ]
831 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/30(水) 18:11:31 ]: age
832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/09/02(土) 00:21:19 ]: 問題投下。
p,q,r>0, x,y,z≧0 のとき，以下の(1)(2)を示せ。
(1) px^2/(q+r) + qy^2/(r+p) + rz^2/(p+q) ≧ xy + yz + zx - (x^2 + y^2 + z^2)/2
(2) pyz/(q+r) + qzx/(r+p) + rxy/(p+q) ≧ xy + yz + zx - (x^2 + y^2 + z^2)/2
833 名前：１３２人目の素数さん [2006/09/04(月) 12:30:59 ]: >>832
とりあえず(1)だけ。
Cauchy-Shwarzから
{(q+r)+(r+p)+(p+q)}{x^2/(q+r)+y^2/(r+p)+z^2/(p+q)} ≧ (x+y+z)^2
∴2(p+q+r){x^2/(q+r)+y^2/(r+p)+z^2/(p+q)} ≧ (x+y+z)^2
これを展開して整理すると(1)を得る。
834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/09/18(月) 18:42:39 ]: a,b,c>0 とするとき、次の不等式が成り立つことを示せ
　　a^3/(a^2+ab+b^2) + b^3/(b^2+bc+c^2) +c^3/(c^2+ca+a^2) ≧ (a+b+c)/3
835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/09/19(火) 10:11:39 ]: >>834
(左辺)-(右辺)を通分すると，
(2a^5b^2 + a^4b^3 + a^3b^4 + 2a^2b^5 + 2a^5bc - a^4b^2c - 2a^3b^3c - a^2b^4c +
2ab^5c + 2a^5c^2 - a^4bc^2 - 4a^3b^2c^2 - 4a^2b^3c^2 - ab^4c^2 + 2b^5c^2 + a^4c^3
- 2a^3bc^3 - 4a^2b^2c^3 - 2ab^3c^3 + b^4c^3 + a^3c^4 - a^2bc^4 - ab^2c^4
+ b^3c^4 + 2a^2c^5 + 2abc^5 + 2b^2c^5 ) / (3(a^2 + ab + b^2)(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bc + c^2))

この分子は，
2Σa^5b^2 - 2Σa^4b^2c^2 + Σa^4b^3 - Σa^4b^2c + Σa^5bc - Σa^3b^3c
と書ける。ただし，Σは(a,b,c)の全ての置換(6つ)に関する和を表す。
Muieheadの不等式より，
　第1項≧第2項
　第3項≧第4項
　第5項≧第6項
なので，(左辺)-(右辺)≧0 が成立。
836 名前：834 mailto:sage [2006/09/19(火) 10:15:10 ]: >>834
MuieheadじゃなくてMuirhead
837 名前：835 mailto:sage [2006/09/19(火) 14:11:41 ]: >>835の第2項目の Σa^4b^2c^2 は Σa^3b^2c^2 の間違い。
838 名前：１３２人目の素数さん [2006/09/20(水) 02:25:42 ]: >>832の(2)は？？？
839 名前：１３２人目の素数さん [2006/09/21(木) 12:40:17 ]: >>834
ムーアヘッド使わなくても。
a^2+ab+b^2≧3abだから、
(左辺第１項)=a-ab(a+b)/(a^2+ab+b^2)≧a-(a+b)/3
この式をcyclicにまわして足す。
840 名前：１３２人目の素数さん [2006/09/28(木) 14:04:08 ]: age
841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/09/28(木) 22:21:36 ]: (1) a、b≧0 が a^2 + b^2 = 1 をみたすとき、a+b ≧ 2^(ab) を示せ。

(2) ３文字以上に拡張できるだろうか？
842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/09/28(木) 23:23:28 ]: 1 + 2ab ≧ 2^(2ab), 0 ≦ 2ab ≦ 1
843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/09/29(金) 02:37:26 ]: >>842
分かるように説明してください。
844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/09/29(金) 22:32:41 ]: >>843
>>842さんの証明方法のままn変数に一般化すればこういうこと。

【命題】
x_1,……, x_n ≧ 0 および
(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2 = 1 のとき，
　x_1 + x_2 + …… + x_n ≧ n^(S/(n-1))
が成り立つ。
ただし S は x_1, ……, x_n から作られる2次の基本対称式。
例えば n=3 なら S= x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1

【証明】
グラフを描けば，指数関数の凸性から分かるとおり，
　1+x ≧ n^(x/(n-1)) (0≦x≦n-1)　　……(*)
が成り立つ。

相加相乗平均より，x_ix_j ≦ ((x_i)^2 + (x_j)^2) / 2 であり，
これを 1≦i<j≦n なる全ての i,j に関して足し合わせると，
　S ≦ (n-1)( (x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2 )/2 = (n-1)/2
が得られる。
よって，0≦2S≦n-1 なので，(*) に x = 2S を代入すると，
　1 + 2S ≧ n^(2S/(n-1))
　∴ (x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2 + 2S ≧ n^(2S/(n-1))
　∴ (x_1 + x_2 + …… + x_n)^2 ≧ n^(2S/(n-1))
両辺の平方根をとればOK. (Q.E.D.)
845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/09/30(土) 05:10:35 ]: >>841-844
>>844とは違う方向で>>841を一般化してみた。

【命題】
p,q は 0<p.q<1, p+q=1 を満たす実数とする。
x,y は x,y≧0, x^2 + y^2 = 1 を満たす実数とする。
このとき，
　px + qy ≧ (min{p,q})^(1-x^(2p)y^(2q))
が成立する。

p=q=1/2 の場合，両辺を２倍すると>>841になります。

証明は，解析的手法でできる。
誰かこれをn変数に拡張よろしく。
846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/09/30(土) 19:33:37 ]: >>844
凄い！
ここのｽﾚはﾚﾍﾞﾙ高っ！
847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/01(日) 13:44:02 ]: >>844
　A = (x_1 + x_2 + … + x_n)/n,
　RMS = √{[(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2]/n}
とおくと
　S = (1/2){(n･A)^2 - n･RMS^2} ≦ (1/2)n(n-1)･RMS^2,

〔命題844〕
　RMS ≧ A ≧ RMS･(1/n)^t,
　ここに　t = (1/2) - S/{n(n-1)･RMS^2}, 0≦t≦1/2.
848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/02(月) 00:33:19 ]: >>832 (2), >838

(略証)
f(x,y,z) = (1/2)(x^2 +y^2 +z^2) + {p/(q+r) -1}yz + {q/(r+p) -1}zx + {r/(p+q) -1}xy
　　　　= (1/2)(x^2 +y^2 +z^2) + Ayz + Bzx + Cxy.
とおく。A,B,C のうち、正のものは高々1つだけ。
小さい方の2つを A=cosα, B=cosβ とする。α,βは鈍角.
　C < cos(α-β) のときは γ = arccos(C),
　C ≧ cos(α-β) のときは γ = |α-β| ≦ arccos(C).
とおくと 3角不等式　α+β≧π>γ≧|α-β|　を満たす。

そこで、互いに角α,β,γをなすように斜交軸 i↑,j↑,k↑ を取る。
r↑= xi↑ + yj↑ +zk↑ とすると
0 ≦ (r↑・r↑)
　　= x^2 +y^2 +z^2 + 2{cosα}yz + 2{cosβ}zx + 2{cosγ}xy
　　≦ x^2 +y^2 +z^2 + 2Ayz + 2Bzx + 2Cxy.　　　　　　(← x,y,z≧0)
　　= 2f(x,y,z).
849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/02(月) 07:59:06 ]: >>844の証明方法をなぞった>>847の〔命題844〕の証明

【命題844】
x_1,……, x_n ≧ 0とする。
　A = (x_1 + x_2 + …… + x_n)/n
　M = √{[(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2]/n}
　S = x_1,……, x_n の2次の基本対称式
とおくとき，
　A≧Mn^[S/{n(n-1)M^2}-1/2]

【証明】
グラフを描けば，指数関数の凸性から分かるとおり，
　nM^2 + x ≧ M^2n^[x/{n(n-1)M^2}+1] (0≦x≦n(n-1)M^2)　　……(*)
が成り立つ。

相加相乗平均より，x_ix_j ≦ ((x_i)^2 + (x_j)^2) / 2 であり，
これを 1≦i<j≦n なる全ての i,j に関して足し合わせると，
　S ≦ (n-1)( (x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2 )/2 = n(n-1)M^2/2
が得られる。
よって，0≦2S≦n(n-1)M^2 なので，(*) に x = 2S を代入すると，
　nM^2 + 2S ≧ M^2n^[2S/{n(n-1)M^2}+1]
　∴ (x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2 + 2S ≧ M^2n^[2S/{n(n-1)M^2}+1]
　∴ (nA)^2 ≧ M^2n^[2S/{n(n-1)M^2}+1]
両辺の平方根をとって両辺をnで割ればOK. (Q.E.D.)
850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/02(月) 14:55:30 ]: (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/03(火) 02:56:36 ]
852 名前：848 mailto:sage [2006/10/04(水) 00:07:12 ]: >848 (続き)

3角不等式のほかに α+β+γ≦2π も示さねば……

γ=|α-β| のときは α+β+γ = 2max{α,β} ≦ 2π.

γ=arccos(C) のとき
　arccos(x) ≦ (2π/3) + (√3){(3/2)/(x+2) -1},　…… (*)
　1/(A+2) + 1/(B+2) + 1/(C+2) =2,
　α+β+γ = arccos(A) + arccos(B) + arccos(C) ≦ 2π.
　ところが、(*) は x<-0.96 では成り立たない …… orz.
853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/09(月) 10:47:44 ]: つい出来心で週末に、前スレ295で紹介されてた参考書を注文したら、もう届いたYo！
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

J. M. Steele:
"The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities" (Maa Problem Books Series.)

www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/052154677X/qid%3D1090270289/ref%3Dsr%5F8%5Fxs%5Fap%5Fi1%5Fxgl14/249-9112872-5627569
854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/09(月) 22:28:50 ]: 題名がカッコいいなｗ
855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/10(火) 22:25:42 ]: >>853
俺も買ったけど読み進んでない。　　orｚ

仕事が忙しすぎるんじゃい！！！
856 名前：853 mailto:sage [2006/10/10(火) 23:03:33 ]: >>855
俺も忙しくって、読み始めるのは来月以降になりそうだ。
同士よ、マイペースでﾊｧﾊｧしていこうぜ！ ( ﾟ∀ﾟ)ノ
857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/25(水) 16:43:13 ]: ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問より
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/l50

平面α上に正三角形ABCがある。
また平面α上にない点Oをとるとき、AO＋BO＞COをしめせ。

ABCは正三角形だから、
　BC･AO + CA･BO > AB･CO.
を示せば十分。（トレミーの不等式の3D版）

直線ABのまわりの回転により、点Oを平面α上（ABに関してCと反対側）の点O' に下ろすと、
　AO'=AO, BO'=BO, CO'>CO.
平面α上の4角形BCAO'にトレミーの不等式(2D)を適用する。
　BC･AO' + CA･BO' ≧ AB･CO'.
等号成立は BCAO'が同一円周上にあるとき。(終)

って、私釣られてる？！

mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html
messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=596
858 名前：１３２人目の素数さん [2006/10/25(水) 21:41:57 ]: king来い
859 名前：１３２人目の素数さん [2006/10/25(水) 21:44:06 ]: さっきそこの道路でkingが車にはねられていた
860 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/10/25(水) 21:45:12 ]: talk:>>858 私を呼んだだろう？
talk:>>859 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/29(日) 09:15:35 ]: >857
〔トレミーの不等式(2D)〕
　　　AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD.

(略証2)
　複素数平面を考え、頂点 A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
　　(b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) = (c-a)(d-b).
　という恒等式が成り立つので、各項の絶対値をとる.(終)

「数学100の定理」数セミ増刊 (1983.10) p.16 栗田稔：「トレミーの定理」
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1147941227/58-61

(別証)
矢野健太郎：「幾何の有名な定理」数学ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ双書36, 共立出版 (1981) p.47-48
862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 07:17:45 ]: ( ﾟ∀ﾟ)つ a, b, c > 0 に対して、(√a + √b + √c)・√(abc) + (a+b+c)^2 ≧ 4√{3abc(a+b+c)}
863 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/03(金) 23:15:52 ]: なぜ、「不等式」であって「非等式」ではないのでしょうか?
864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/03(金) 23:28:59 ]: 「不等式」って名詞だろ。
なら、等しからざる式じゃないと駄目じゃん。
865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/07(火) 22:02:52 ]: >>862

a+b+c=s, abc=u とおく。相加･相乗平均より、
　(√a +√b +√c)√u + (1/9)s^2 ≧ 3u^(1/6)･√u +(1/9)s^2 = u^(2/3) +u^(2/3) +u^(2/3) +(1/9)s^2
　≧ 4{u^2･(1/9)s^2}^(1/4) = (4/3)√(3us).
また、(*) より,
　s^2 ≧ 3√(3us).
辺々加える。

(*)　s^3 -27u = (1/2){(7a+b+c)(b-c)^2 +(a+7b+c)(c-a)^2 +(a+b+7c)(a-b)^2} ≧0,
　　∴ s ≧ 3u^(1/3).
866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/11(土) 16:52:38 ]: 分かスレから…

345 ：１３２人目の素数さん：2006/11/10(金) 22:32:14
　z:複素数のとき、e^(Re{z}) -1 ≦ |e^z -1| ≦ e^|z| -1　が示せません。
　教えてください。

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162905141/345
867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/11(土) 17:19:33 ]: >866

左側
　z=x+iy, z~=x-iy　　… 共軛複素数,　補題より
　|e^z -1|^2 = (e^z -1){e^(z~) -1} = e^(2x) -e^z -e^(z~) +1 ≧ e^(2x) -2e^x +1 = (e^x -1)^2.

右側
373 ：１３２人目の素数さん：2006/11/10(金) 23:42:06
マクローリン展開で,
　|e^z -1| = |Σ[1,∞) (1/n!)z^n | ≦ Σ[1,∞) (1/n!)|z^n| = e^|z| -1.
こうかな?
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162905141/373

〔補題〕　e^z + e^(z~) ≦ 2e^(Re{z}).
　z = x+iy, z~=x-iy とすると、
　e^z + e^(z~) = (e^x){e^(iy) + e^(-iy)} = 2(e^x)cos(y) ≦ 2e^x. (終)
　z + z~ = 2x.
868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/19(日) 15:07:48 ]: >866
　左側は三角不等式で一発だお。
　e^Re{z} = |e^z|.
869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/23(木) 03:58:39 ]: 〔問題〕
a,b,c>0 かつ ab+bc+ca=t のとき
　1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 ≧ 9/4t.
が成り立つことを示せ。

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163724421/597
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163970000/153
870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/23(木) 04:09:55 ]: >869

a,b,c の基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
　(a+b)(b+c)(c+a) = st-u,
　(左辺) = {(s^2 -t)^2 +4su}/(st-u)^2,
　(s^2 -t)^2 -(9/4t)(st-u)^2 = F_2 + (3t/4s)F_1 + (9u/4s)F_0 + (u/4t)(st-9u) ≧0.
　ここに、F_2 = s^4 -5(s^2)t +4t^2 +6su, F_1 = s^3 -4st +9u, F_0 = s^2 -3t. >>399-401
　∴ (左辺) ≧ (9/4t).
871 名前：870 mailto:sage [2006/11/23(木) 04:21:50 ]: >870 の訂正、スマソ

　(s^2 -t)^2 +4su -(9/4t)(st-u)^2 = F_2 + (3t/4s)F_1 + (9u/4s)F_0 + (u/4t)(st-9u) ≧0.
872 名前：870 mailto:sage [2006/11/23(木) 17:10:31 ]: >870　(補足)

　(s^2 -t)^2 +4su -(9/4t)(st-u)^2 = F_2 + (3t/4s)F_1 + (5u/2s)F_0 + (3u^2/4st)F_(-1) ≧0.
　F_(-1) = (t^2 -3su)/u.
　でもよい。
873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/01(金) 08:51:55 ]: abc=1、a,b,c>0 の時(a+b+c/3)^5 ≧ (a^2+b^2+c^2)/3を示せ。
874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/09(土) 07:17:45 ]: 問468、469
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_nov.pdf
問462
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_oct.pdf
問3199
www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2006/n8/PDF/v32n8syn.pdf
A.411、B.3944、3945、C.871、K100
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200611&t=mat&l=en

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　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　クリスマスか…
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　
　　　　　人つゝ人,,　　　　　　ボコボコにしてやるよ…（涙）
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
875 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/12/09(土) 09:45:08 ]: talk:>>874 貴様反乱軍の一味だな！

ちなみに、私は中立だ。
876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/09(土) 10:05:26 ]: >>875
久しぶりに現れたな。せっかくだから解いて行かないか？
877 名前：１３２人目の素数さん [2006/12/09(土) 10:49:01 ]: a,b,c>0 かつ ab+bc+ca=t
　Ｇ＝1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2 ー 9/4t-rt
878 名前：１３２人目の素数さん [2006/12/09(土) 10:50:15 ]: abc=1、a,b,c>0 の時
G=(a+b+c/3)^5 ー(a^2+b^2+c^2)/3ーｒ（aｂｃ－１）
879 名前：１３２人目の素数さん [2006/12/09(土) 11:46:59 ]: g=0,f>0
G=f-rg
∇G=0
r=fa/ga=fb/gb=fc/gc

g=abc=1
afa=bfb=cfc
a=b=c=1
f=1-1=0
f>=0
880 名前：１３２人目の素数さん [2006/12/09(土) 11:53:40 ]: f=c
881 名前：１３２人目の素数さん [2006/12/09(土) 11:58:38 ]: a=(x^3-2)^2
882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/10(日) 10:58:23 ]: >>874

[469]. Solve for t in terms of a,b in the equation
　　√(t^2 -at +a^2) + √(t^2 -bt +b^2) = √(a^2 +ab +b^2).
　　where 0 < a, b.

(略解)　根号を開いていくと　t = (a+b)/(ab).

[B.3944]. Sketch in the cartesian plane the region consisting of the points (x,y) such that
　　x/y + 1/x + y ≧ y/x + 1/y + x.

(略解) 通分すると (左辺) - (右辺) = (x-1)(y-1)(y-x)/(xy) ≧ 0.

[B.3945]. Solve the following simultaneous equations:
　x^3 + y^3 + z^3 = 8　… (1),　x^2 + y^2 + z^2 = 22　… (2),　1/x + 1/y + 1/z + (z/xy) = 0　… (3)

(略解)　(3)から (x+z)(y+z)=0,　すなわち z=-x または z=-y.
　x+z=0 のとき x^3 +z^3 =0, (1)より y=2, (2)より x=-z=±3.
　y+z=0 のとき y^3 +z^3 =0, (1)より x=2, (2)より y=-z=±3.

C.871.　Prove that if the expression
(x^2)/(x-y)(x-z) + (y^2)/(y-x)(y-z) + (z^2)/(z-x)(z-y)
is well-defined, then its value is independent of the values x,y and z.

(略解)　通分すると (x^2)(z-y) +(y^2)(x-z) + (z^2)(y-x) になる。
これは交代式だから差積 (x-y)(y-z)(z-x) で割り切れる、というか、差積そのもの。
これを整理して、結局1.
883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/10(日) 11:05:49 ]: >>874

[K.100]. Solve the following equation on the set of real numbers:
　x^2 +6 +1/(x^2) = 4x + 4/x.

(略解)　(左辺) -(右辺) = (x+1)^4 /(x^2).
　複素数まで考えても x=-1 だけ……ort.

(訂正)
[469]. の解は t=ab/(a+b)　ですた。ｽﾏｿ.
884 名前：883 mailto:sage [2006/12/10(日) 11:12:13 ]: [K.100]. (訂正)

(略解)　(左辺) -(右辺) = (x-1)^4 /(x^2).
　複素数まで考えても x=＋1 だけ……ｽﾏｿ.

ハｧハｧ
885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/10(日) 12:23:37 ]: >>873

a,b,c の基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　s^5 + 81tu +81tu ≧ 81･{s^5･(1/3)t^2･u^2}(1/3),　　(← 相加･相乗平均)
　t^2 - 3su = u･F_(-1) ≧0,
より
　s^5 + 81tu +81tu ≧ 81･s^2･u,
　(s/3)^5 ≧ {(s^2 -2t)/3}u.

ゼェゼェ (←かぜにご注意）
886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/10(日) 12:35:57 ]: お大事に☆
887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/11(月) 02:32:49 ]: >>874
たまには等式も…

[460]. Given two natural numbers x and y for which 3x^2 +x = 4y^2 +y,
　prove that their positive difference is a perfect square.
　Determine a non-trivial solution of this equation.
　(MOCP/2006/prob_oct)

(略解)
　x-y=d とおくと d>0.　与式より,
　x = 4d +√{d(1+12d)}, y = 3d +√{d(1+12d)}.
　d と 1+12d は互いに素だから、共に平方数.
(例)
　√d=2, √(1+12d)=7, x=2*15, y=2*13,
　√d=28, √(1+12d)=97, x=28*209, y=28*181,
　√d=390, √(1+12d)=1351, x=390*2911, y=390*2521,
　√d=5432, √(1+12d)=18817, x=5432*40545, y=5432*35113.

[465]. For what positive real numbers a, is (2+√a)^(1/3) + (2-√a)^(1/3) an integer ?
　（MOCP/2006/prob_nov)

(略解)
　(2+√a)^(1/3) + (2-√a)^(1/3) = b,　(a≧0) とおくと
　b^3 -3{(4-a)^(1/3)}b -4 = 0,
　a = 4-{(b^3 -4)/3b}^3,
(例)
　a =5 のとき b=1,
　a = 100/27 のとき b=2.

ヒｭーヒｭー　(←寒風にご注意)
888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/12(火) 01:47:24 ]: >>874

[462]. For any positive real numbers a,b,c,d, establish the inequality
　　√{a/(b+c)} + √{b/(c+d)} + √{c/(d+a)} + √{d/(a+b)} > 2.
　　（MOCP/2006/prob_oct)

(略解)
　√a =A, √b =B, √c =C, √d =D とおけば
　(左辺) > A/(B+C) + B/(C+D) + C/(D+A) + D/(A+B).　　　(← √(x+y) < √x + √y)
　に帰着する（Shapiroの巡回不等式）　>>284
889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/12(火) 01:51:19 ]: >>874

〔Shapiroの巡回不等式〕　>>284
　n≦13 と F = ∑[i=1,n] A_i /{A_(i+1) + A_(i+2)},　A_(n+1)=A_1, A_(n+2)=A_2 に対して
　F ≦ n/2.
(例証)
　F * ∑[k=1,n] A_k*{A_(k+1) + A_(k+2)} ≦ (A_1 + A_2 + … + A_n)^2　　(←コーシー)
　⊿ ≡ (A_1 + A_2 + … + A_n)^2 - (n/2)∑[k=1,n] A_k*{A_(k+1) + A_(k+2)} ≧0 を示せばよい。
　n=3,5 のとき ⊿ = (1/(n-1))∑[1≦i<j≦n] (A_i -A_j)^2 ≧0,
　n=4 のとき ⊿ = (A_1 -A_3)^2 + (A_2 -A_4)^2 ≧0,
　n=6 のとき ⊿ = (1/2)∑[1≦i<j≦3] {A_i +A_(i+3) -A_j -A_(j+3)}^2 ≧0.
890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/13(水) 22:25:38 ]: >>874
　>889 の補足

　{A_i}の相関函数を G_k = Σ[i=1,n] A_i･A_(i+k) とおけば、G_(n-k) = G_k,
　⊿ = G_0 + G_1 + … + G_(n-1) -(n/2)(G_1 + G_2).
　ただし A_(n+i) = A_i (巡回的)とした。

　n=3 のとき ⊿ = G_0 - G_1 = (1/2)Σ[i=1,3] {A_i -A_(i+1)}^2 ≧0,
　n=4 のとき ⊿ = G_0 - G_2 = (A_1 -A_3)^2 + (A_2 -A_4)^2 ≧0,
　n=5 のとき ⊿ = G_0 - (G_1 + G_2)/2 = (1/4)Σ[i<j] (A_i -A_j)^2 ≧0,
　n=6 のとき ⊿ = G_0 - G_1 - G_2 + G_3 = (1/2)∑[i=1,3] {A_i - A_(i+1) + A_(i+3) - A_(i+4)}^2 ≧0,
891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/13(水) 22:41:54 ]: >887
　[460] の解法。

　√d = a_n, √(1+12d) = b_n の漸化式は
　a_(n+1) =　7a_n + 2b_n,　a_0 =0,
　b_(n+1) = 24a_n + 7b_n,　b_0 =1.
∴共通の漸化式
　c_(n+1) = 14c_n - c_(n-1)
を満たす。特性根は (2±√3)^2.
　a_n = {(2+√3)^(2n) - (2-√3)^(2n)}/(2√12),
　b_n = {(2+√3)^(2n) + (2-√3)^(2n)}/2,
　x = {(2+√3)^(4n+1) + (2-√3)^(4n+1)}/24 -1/6,
　y = {(2+√3)^(4n+1) - (2-√3)^(4n+1)}/(16√3) -1/8.

coshθ =2 なる θ>0 をとると exp(±θ) = 2±√3,
　√d = sinh(2nθ)/√12,　√(1+12d) = cosh(2nθ),
　x = cosh((4n+1)θ)/12 -1/6,
　y = sinh((4n+1)θ)/(8√3) -1/8.
　θ = arccosh(2) = log(2+√3) = -log(2-√3) = 1.316957896924816708625046347308…
ぬるぽ
892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/16(土) 02:06:08 ]: >890 のついでに…

〔補題〕自己相関関数 G_k について
　　-G_0 ≦ G_k ≦ G_0.
(略証1)
　左側：　{A_i} と {-A_i} について　∑(逆順序積) ≦ ∑(乱順序積).
　右側：　{A_i} どうしで　∑(乱順序積) ≦ ∑(同順序積).
(略証2)
　G_0 ± G_k = (1/2)∑[i=1,n] {A_i ± A_(i+k)}^2 ≧0. (終)

風を集めて（風街ろまん）
893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/23(土) 20:23:05 ]: IMO-2004 から

[Q4]
Let n≧3 be an integer, and let x_1, x_2, …, x_n be positive real numbers that satisfy
　(x_1 + x_2 + … + x_n)(1/x_1 + 1/x_2 + … + 1/x_n) < n^2 +1.
Prove that for all i,j,k with 1≦i<j<k≦n,
the numbers x_i, x_j, x_k are the sides of a non-degenerate triangle.

はっぴいえんど
894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/26(火) 00:01:13 ]: >893

[Q4]
n≧3 は自然数、x_1, x_2, …, x_n は正の実数で、
　(x_1 + x_2 + … + x_n)(1/x_1 + 1/x_2 + … + 1/x_n) < (n-3+√10)^2.
を満足する。このとき、1≦i<j<k≦n なるすべての (x_i, x_j, x_k) は3角形の辺をなすことを示せ。

街の外れの背伸びした路地を　散歩してたら染みだらけの　もやごしに起き抜けの路面電車が　海を渡るのが　見えたんです.
それで僕も　風を集めて、風を集めて、風を集めて……
895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/26(火) 00:42:45 ]: >893-894

(略証)　背理法による。
　(x_i + x_j + x_k)/3 = A,　1/x_i + 1/x_j + 1/x_k = 3/H
とおくと
　(左辺) = {3A + 他の(n-3)項}{3/H + 他の(n-3)項} ≧ {3√(A/H) + (n-3)}^2　　(← コーシー)
題意より、任意の1≦i<j<k≦n について
　(3A)(3/H) < 10.
となり、n=3 の場合に帰着する。(Sung-yoon Kim)

n=3 のとき
　(左辺) = 9 + (a-b)^2 /(ab) + (a-c)^2 /(ac) + (b-c)^2 /(bc).
ここで a≧b+c と仮定すると、
　(a-b)^2 /(ab) ≧ (a-b)c/(ab) = c/b - c/a,
　(a-c)^2 /(ac) ≧ (a-c)b/(ac) = b/c - b/a,
∴　(左辺) ≧ 9 + (c/b) + (b/c) -(b+c)/a ≧ 9 + 2 -1 = 10.
∴　題意に矛盾。(billzhao)

www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=14091
www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=14091&sid=2de9b3f61f5b67d9237ed04b57757ff2
896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/29(金) 14:10:51 ]: 東大入試作問者スレ８から

[113]
a,b,c >0, abc =1 を満たすとき
(a^2+b^2)c/(a^3+b^3) + (b^2+c^2)a/(b^3+c^3) + (c^2+a^2)b/(c^3+a^3)
の取り得る値の範囲を求めよ。

[129]
40番
a,b,c ≧0, a+b+c =1 が成り立っているとき、
ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) の最大値を求めよ。

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/113
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/129
897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/29(金) 14:21:42 ]: >896

[129]
40番
a,b,c≧0, a+b+c = s とする。
　(左辺) = s(ab+bc+ca) -abc = (1/4)(s^3 -F_1 -3abc) ≦ (1/4)s^3.
ここに　F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) ≧ 0.　(←Schur不等式) >>38 >>399-401
等号は (a,b,c) = (s/2,s/2,0) のとき。
898 名前：897 mailto:sage [2006/12/29(金) 15:15:54 ]: >897 の訂正

40番
　(与式) = s(ab+bc+ca) -3abc = ……　≦ (1/4)s^3.

ｺﾞﾎｺﾞﾎ … カンキ（寒気･換気）にご注意
899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/30(土) 17:39:32 ]: 大掃除中に出てきた紙切れから。（元ネタも答えもなかった）

(1) Σ[k=1 to n-1]sin(kπ/n) =
(2) Σ[k=0 to ∞](k!)/{(2k+1)!!} =
(3) Σ[k=0 to ∞]{(2k)!}・k!/{(2k+1)!!} =

不等式ぢゃない？いいんだよ、ﾊｧﾊｧできれば…

　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　／　　≧　＼　　　　彡　ビュゥ……
　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　バカップルが初詣とな？…
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　
　　　　　人つゝ人,,　　　　　　ボコボコにしてやんよ…
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/12/30(土) 21:30:14 ]: >899

(1)　加法公式から
　sin(kπ/n) = {cos((k-1/2)π/n) - cos((k+1/2)π/n)}/{2sin(π/2n)} を代入.
　S = {cos(π/2n) - cos(π-(π/2n))}/{2sin(π/2n)} = 1/tan(π/2n).

(2)
　Σ[k=0, ∞) (k!)/{(2k+1)!!} (1-cosθ)^k = θ/(sinθ),
　Σ[k=0, ∞) (k!)/{(2k+1)!!} (1+cosθ)^k = (π-θ)/(sinθ).
に θ=π/2 を代入. S = π/2.

(3) 発散の悪寒...

皆様今年も1年間ありがとう御座いますた。それでは良いお年を。
901 名前：900 mailto:sage [2006/12/31(日) 00:22:24 ]: >899

>900(2) の補足
　k!/{(2k+1)!!} = (1/2^k)∫[0,π/2] sin(x)^(2k+1) dx = (1/2^k)∫[0,π/2] cos(x)^(2k+1) dx
を左辺に代入すると
　(2/sinθ)∫[0,π/2] t･sin(x)/{1+(t･cos(x))^2} dx = (2/sinθ)∫[0,t] 1/(1+u^2) du = θ/(sinθ).
　ここに t = tan(θ/2).
902 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/08(月) 23:52:57 ]: 問題豆乳

(1) a * b * c ≧ 0 のとき
(a + b + c)^3 ≧ (-a + b + c)^3 + (a - b + c)^3 + (a + b - c)^3 を示せ

(2) a , b , c ＞ 0 のとき
(b + c)^2 * (b - a)/(a + b) + (c + a)^2 * (c - b)/(c + b) + (a + b)^2 * (a - c)/(c + a) ≧ 0 を示せ
903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/09(火) 00:58:52 ]: キタコレ！
(1)は、三角形の辺の長さに絡んでるから、図形的に解けるのかな？
(2)は、見たことあるようなないような…

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
904 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/11(木) 16:51:41 ]: a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする
905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/11(木) 17:57:36 ]: sorede?
906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/11(木) 21:31:45 ]: >902
(1)　-a+b+c=A, a-b+c=B, a+b-c=C とおくと a+b+c=A+B+C.
　(左辺) - (右辺) = (A+B+C)^3 -A^3 -B^3 -C^3 = 3(A+B)(B+C)(C+A) = 3(2c)(2a)(2b) = 24abc.
または
　(左辺) - (右辺) = f(a,b,c) とおくと　f(0,b,c)=f(a,0,c)=f(a,b,0)=0.
　因数定理により f(a,b,c) = k･abc,　k=24.

(2)　左辺を通分すると
　(左辺)*(a+b)(b+c)(c+a)/2
　= (b+c)^3 (c+a)(b-a) + (c+a)^3 (a+b)(c-b) + (a+b)^3 (b+c)(a-c)
　= ab^4 +(a^2 +b^2)c^3 -3ab^2･c^2 + cyclic
　= (a-b)^2･c^3 + ab(b+2c)(b-c)^2 + cyclic
　= {c^2 + a(a+2b)}c(a-b)^2 + {a^2 +b(b+2c)}a(b-c)^2 + {b^2 +c(c+2a)}b(c-a)^2
　≧ 0.
　等号成立は a=b=c のとき.

>904
　そのとき、
　(a/c ,b/c) = ((m^2-n^2)/(m^2+n^2),　2mn/(m^2+n^2)),　m,nは整数
と表わせる?
907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/11(木) 21:44:38 ]: >>7
7 名前：風あざみ [sage] 投稿日： 05/01/22 00:35:18
前スレの>>815の問題
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。
908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/14(日) 20:23:33 ]: >896

[113]
a,b≧c と仮定すると
　x≧c>0　⇒　(x^2+c^2)/(x^3+c^3) ≧ (x^2+c^2)/{x^3 +(c^2)x} = 1/x
　(左辺) ≧ 0 + a/b + b/a = 2 + (a-b)^2 /(ab) ≧ 2.
が出る。等号成立は　(a,b,c)=(1,1,0) のとき

[129]
40番
a+b+c=s とすると
　s^3 - 4{ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)} = a(-a+b+c)^2 + b(a-b+c)^2 + c(a+b-c)^2 ≧0.
　∴ ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) ≦ (1/4)s^3.
　(数学カテ不等式トピ saikorodeka 氏による)
909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/15(月) 23:55:54 ]: 投下するつもりじゃなかったんだけどさ・・・。

p1, p2, ･･･, pn > 0 ;fixed.

a1, a2, ･･･, an をΣpk ak = 1 の条件下で動かしたとき、
Σ ak^2 + ( Σ ak ）^2 ≧ 1/ { （n+1)Σpk^2 - (Σpk ）^2 }

Cauchy-Schwartzで出るけど、等号成立条件が見えん。
っつーか、この不等式を使う局面が見えん。

もう三十路、衰えを感じるよ･･･。
910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/17(水) 18:40:17 ]: 二年十二時間。
911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/17(水) 22:05:35 ]: >>910
黙れ！
912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/18(木) 02:06:35 ]: >909

　⊿_n = {Σa_i^2 +(Σa_i)^2}{(n+1)Σ(p_j)^2 - (Σp_j)^2} -(n+1)(Σa_k･p_k)^2,
とおく。
　⊿_2 = {a_1(p_1-2p_2) + a_2(2p_1-p_2)}^2 ≧0,
　等号成立は a_1 : a_2 = (2p_1-p_2) : (2p_2-p_1) のとき。
913 名前：912 mailto:sage [2007/01/24(水) 01:44:57 ]: >909

　⊿_3 = x^2 + y^2 + z^2,
ここに
　x = (2p_2 +2p_3 -s)(a_1 + a_2) - (2p_1 +2p_2 -s)(a_2 + a_3),
　y = (2p_3 +2p_1 -s)(a_2 + a_3) - (2p_2 +2p_3 -s)(a_3 + a_1),
　z = (2p_1 +2p_2 -s)(a_3 + a_1) - (2p_3 +2p_1 -s)(a_1 + a_2),
　s = p_1 + p_2 + p_3.
等号成立は x=y=z=0 より
　a_i + a_j = const.* (2p_i + 2p_j -s),
　a_i = const.* (4p_i -s)　のとき。

一般には
　a_i = const.* {(n+1)p_i -s}　のとき.　ここに s = ∑ p_j.
914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/25(木) 23:19:07 ]: >>909

↑を参考にして
　q_j = (n+1)p_j - s,　s = ∑[j=1,n] p_j,
とおく。

>909 の右辺は
　{ ∑[k=1,n] a_k･p_k }^2 / {∑[j=1,n] (p_j)^2 - (s^2)/(n+1)}
　= { ∑[k=1,n] a_k･q_k + S･s}^2 / { ∑[j=1,n] (q_j)^2 + s^2}.
ここに　S = ∑[i=1,n] a_i.

つまり (n+1)-成分のコーシーだな。
915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/27(土) 02:59:33 ]: (1) 3208
www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2007/n1/PDF/v33n1syn.pdf
しょぼそうだが、3、6、12を文字に変えてみるといいかも。

(2) ３ページ目右下 258
www.math.ust.hk/excalibur/v11_n4.pdf

(3) A414
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200612&t=mat&l=en
過去スレで解いたことがあるような…

【おまけ】不等式じゃないけど気にしない。
472、474、475、477、478
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_dec.pdf
479のタイプは、背景に何かあるのですか？

　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　／　　≧　＼　　　　彡　ビュゥ……
　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　バレンタインか…
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　
　　　　　人つゝ人,,　　　　　　ボコボコにしてやるよ…（涙）
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/28(日) 16:51:01 ]: >915 (1)

3208. Find the largest number k such that:

for all positive real numbers a,b,c, we have
　　(a^3 +3)(b^3 +6)(c^3 +12) > k(a+b+c)^3.

k = 8.09302525347919…

a = 0.90457524553798
b = 1.36887076597586
c = 2.29746180685161
s = 4.57090781836545
917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/29(月) 03:15:06 ]: >915 (1)
　a0 = 0.90457524553798…,
　b0 = 1.36887076597586…,
　c0 = 2.29746180685161…,
k = (a0･b0･c0)^2 = 8.09302525347919… ,
とおく。さらに x=a/a0, y=b/b0, z=c/c0 とおく。

　(左辺) = (a^3 +3)(b^3 +6)(c^3 +12)
　= (abc)^3 + 12(ab)^3 + 3(bc)^3 + 6(ca)^3 + 72(a^3) + 36(b^3) + 18(c^3) + 216
　= k･a0･a0･b0･{(xy)^3 + x^3 +1}
　+ k･a0･b0･b0･{(xy)^3 + y^3 +1}
　+ k･b0･b0･c0･{(yz)^3 + y^3 +1}
　+ k･b0･c0･c0･{(yz)^3 + z^3 +1}
　+ k･a0･c0･c0･{(zx)^3 + z^3 +1}
　+ k･a0･a0･c0･{(zx)^3 + x^3 +1}
　+ k･a0･b0･c0･(x^3 + y^3 + z^3)
　+ (abc)^3 + k^(3/2) + k^(3/2),
　+ k･(a^3 + b^3 + c^3)
　≧ 3k･a0･a0･b0･(xxy) + 3k･a0･b0･b0･(xyy) + 3k･b0･b0･c0･(yyz) + 3k･b0･c0･c0･(yzz) + 3k･a0･c0･c0･(xzz) + 3k･a0･a0･c0･(zxx)
　+ 3k･a0･b0･c0･xyz + 3k･abc + k･(a^3 + b^3 + c^3)
　= k(3aab + 3abb + 3bbc + 3bcc + 3acc + 3aac + 6abc + a^3 + b3 + c^3)
　= k(a+b+c)^3
　= (右辺).
等号成立は x=y=z=1,　a=a0, b=b0, c=c0.
918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/29(月) 03:25:12 ]: >>917
その a0、b0、c0 の値はどこからひねり出したのですか？
919 名前：917 mailto:sage [2007/01/30(火) 03:24:42 ]: >918

まづ
　(k/18)^3 - (49/8)(k/18)^2 +7(k/18) -2 =0.
から k～8.093 を出す。次に
　cosα = √{k/(6･12)}, cosβ = √{k/(12･3)}, cosγ = √{k/(3･6)}, α+β+γ = π.
から α,β,γ を出す。されば、
　a0･tanα = b0･tanβ = c0･tanγ = 2.5419287933840…,
920 名前：917 mailto:sage [2007/01/31(水) 00:54:50 ]: >918 (続き)

　k = (3/2)√(7*151)･cosθ + 3(49/4) ～ 8.093,
　θ = (1/3)arccos{97*337/(7*151)^(3/2)} + 2π/3 ～ 2.199,

>919 より
　a0 = L/tanα = L/√(72/k -1),
　b0 = L/tanβ = L/√(36/k -1),
　c0 = L/tanγ = L/√(18/k -1).
辺々掛けて平方すると
　k = (a0･b0･c0)^2 = (L^6)／{(72/k -1)(36/k -1)(18/k -1)},
　L = {k(72/k -1)(36/k -1)(18/k -1)}^(1/6) ～ 2.542.
921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/01(木) 01:13:10 ]: >915 (2) は解凍月の希ガス

>915 (3)

[前スレ.858] に習い　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
⊿ = {(左辺) - (9/4)} * 4(st-u)^2
　= 4t{[(z+x)(x+y)]^2 + [(x+y)(y+z)]^2 + [(y+z)(z+x)]^2} -9(st-u)^2
　= 4t{(x^2 +t)^2 + (y^2 +t)^2 + (z^2 +t)^2} -9(st-u)^2
　= 4t{(x^4 + y^4 + z^4) + 2t(x^2 + y^2 + z^2) + 3t^2} -9(st-u)^2
　= 4t{(s^4 -4s^2･t + 4su + 2t^2) + 2t(s^2 -2t) + 3t^2} -9(st-u)^2
　= 4t{s^4 -2s^2･t + 4su + t^2} -9(st-u)^2
　= 4ts^4 -17(st)^2 +34stu +4t^3 -9u^2
　= 4t･F_2 +{(3t^2 -su)/s}･F_1 +(s +9t/s)u･F_0　　　(← [前スレ.874] )
　≧ 0.

・Schur不等式 (>>38, >>399-401)
　F_n = (x^n)(x-y)(x-z) + (y^n)(y-z)(y-x) + (z^n)(z-x)(z-y) ≧ 0,
(例)
　F_0 = s^2 -3t =(1/2){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
　F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0,
　F_2 = s^4 -5s^2･t +4t^2 +6su ≧ 0.
922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/03(土) 04:00:47 ]: >915　【おまけ】

472. Find all integers x for which
　(4-x)^(4-x) + (5-x)^(5-x) + 10 = 4^x + 5^x.

　x=2.

474. Solve the equation for positive real x:
　{2^log_5(x) +3}^log_5(2) = x -3.

　x=5.

476. Let p be a positive real number and let |x_0| < 2p. For n > 1, define
　x_n = 3x_(n-1) - (1/p^2){x_(n-1)}^3.
Determine x_n as a function of n and x_0.

　y_n = {(-1)^n (1/2p)}x_n　とおくと　|y_0| < 1,
　y_n = 4{y_(n-1)}^3 - 3y_(n-1) = T_3(y_(n-1)),
ここで、T_3(z) = 4z^3 -3z,
　y_0 = (x_0)/(2p) = cosθ とおくと
　y_n = cos{(3^n)θ} = T_(3^n)(y_0),
　x_n = (-1)^n･2p･T_(3^n)((x_0)/2p),
ここに T_m(x) はm次の第1種チェビシェフ多項式。
923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/03(土) 04:02:21 ]: >915　【おまけ】

478.　Solve the equation
　√{2+√[2+√(2+x)]} + (√3)√{2-√[2+√(2+x)]} = 2x
for x≧0.

　(根号内) ≧0 より 2+x ≧0,
　x>2 とすると左辺第2項の根号内が負になるから、x≦2.
　x = 2cosθ　(0≦θ≦π)　とおく。
　√(2+x) = 2cos(θ/2),　
　√[2+√(2+x)] = 2cos(θ/4),
　(左辺) - (右辺) = 2cos(θ/8) + (2√3)sin(θ/8) - 4cosθ
　= 4cos{(θ/8)-(π/3)} - 4cosθ
　= 8sin{(9/16)θ-(π/6)}sin{(7/16)θ+(π/6)},
　sin{(7/16)θ+(π/6)} ≧ sin(π/6) = 1/2 より,
　sin{(9/16)θ-(π/6)} = 0,
　θ = (8/27)π,
　x = 2cos{(8/27)π} = 1.1943171834055723297037043211679…
924 名前：出題（不等式） mailto:sage [2007/02/04(日) 19:54:00 ]: [644]　(saikorodeka)
a,b,c >0 のとき
　a + b + c ≦ c^2/b + b^2/a + a^2/c.
925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/05(月) 19:27:25 ]: 0
926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/09(金) 10:20:54 ]: >>924
よくある問題だね。
過去スレで解決済みだったような。
927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 13:38:52 ]: 　　　/ ノ　≧　ヽ
　＿|＿＿＿＿_|＿　　　　わたしが訓練教官のハートマン先任軍曹であるッ！
　　　|:::　＼ .／ |　　　　　　話しかけられたとき以外は口を開くな。
　　　|:::: (●　(●|　　　　　　　口でクソたれる前と後に『Ｓｉｒ』と言え！！
　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　　　　　分かったか、ウジ虫どもー！
　　　人つゝ人,,　　　　　　　　　　　　----- sir, yes sir !
　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　ふざけんな！もっと大声をだせー！　
.　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡　　　　　 ----- SIR, YES SIR !!!
　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿　　　よーし、まずは小手調べだ！
　　　　　　　　　　 ⌒～⌒　　　　　　これを解いてみろー！

【問題】
正の数 a、b、c が ab+bc+ca=1 をみたすとき、
　(1+a^2b^2)/(a+b)^2 + (1+b^2c^2)/(b+c)^2 + (1+c^2a^2)/(c+a)^2 ≧ 5/2

ハートマン軍曹とは
d.hatena.ne.jp/keyword/%A5%CF%A1%BC%A5%C8%A5%DE%A5%F3%B7%B3%C1%E2
Sir! 鬼教官ハートマンのガイドラインです 5 Sir!
ex20.2ch.net/test/read.cgi/gline/1170122024/l50
928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 13:18:14 ]: >>927
Sir! 条件 ab+bc+ca=1 をどう使えばよいか分からないであります、Sir!
929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/25(日) 21:13:44 ]: 　　　　　＿　（）)二) )) 、,r:ﾆヽ　　いいぞ　ベイべー！
　@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` ))　不等式を収集し証明する奴は数ヲタだ！！
　　　　　^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-(　　)　　不等式を改造し拡張する奴はよく訓練された数ヲタだ！！
　　　　　　　_/　　＼_ 　　L L　　ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ
930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 16:43:04 ]: 正の数 a、b、c が ①ab+bc+ca=1 をみたすとき、
　②(1+a^2b^2)/(a+b)^2 + (1+b^2c^2)/(b+c)^2 + (1+c^2a^2)/(c+a)^2 ≧ 5/2
ⅰ)abc≠0の時
①よりa+b=-ab/c,b+c=-bc/a,c+a=-ca/b。これを②左辺に代入
②左辺＝(1+a^2b^2)c^2/(ab)^2 + (1+b^2c^2)a^2/(bc)^2 + (1+c^2a^2)b^2/(ca)^2
=c^2/(ab)^2+a^2/(bc)^2+b^2/(ca)^2+a^2+b^2+c^2
≧3/(abc)^(2/3)+3(abc)^(2/3)≧3*2*1=6 （相加相乗平均より）
ⅱ)abc=0の時
c=0としても一般性を失わない。①より、ab=1,b=1/a。
②左辺=2/(a+1/a)^2+a^2+1/a^2=2/(a+1/a)^2+(a+1/a)^2-2
X=(a+1/a)^2と置けば、a>0からa+1/a≧2より、X≧4
②左辺=2/X+X-2=f(X)はX≧4で単調増加。よって、f(X)≧2/4+4-2=5/2で終了。
等号は(a,b,c)=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)で成立。
931 名前：発展 mailto:sage [2007/03/11(日) 16:50:35 ]: ここからの拡張は例えば、a,b,cをa,b,c,dで考えるとかだが、誰かやってくれ。
それから、対称性をそこなわずに証明したかったが、（その方がが問題が発展していく場合が多い）
エレファンになって、俺には何かを得られなかった。
②式左辺は３次元空間上のどんな関数なのかとかおもしろい問題はあろうが、
それは不等式スレではないかもしれぬ。
上の解でも例えば、全部相加相乗平均で済めば少しはエレガントかな？だが、
関数で考えてる所は少し俺の気に入らなかった。
初等的な解ってだけで、特に何か発展していく解でもない気がする。
何かここから、おもしろい問題はあるだろうか？
932 名前：>>930 mailto:sage [2007/03/11(日) 16:52:47 ]: これは言っておきたいが、俺は>>930を得るのにノート30頁使っている。
60頁ぐらい使って誰かおもしろい発展や背後を作ってくれたまえ。
933 名前：>>930 mailto:sage [2007/03/11(日) 16:54:25 ]: ああ、後、②左辺はつまり、不連続関数なのか？それとも俺がどこか間違っているのか？
934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 19:17:48 ]: >>930-933
乙なること、この上なし。
935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/13(火) 22:21:51 ]: こんなところにも不等式が
imo.math.ca/Exams/1978imo.html
936 名前：>>930の間違い mailto:sage [2007/03/14(水) 10:47:36 ]: ⅰ)abc≠0の時
①よりa+b=-ab/c,b+c=-bc/a,c+a=-ca/b。これを②左辺に代入

a,b,c＞０だから、ⅰ)だけで良い。
①よりa+b=(1-ab)/c,b+c=(1-bc)/a,c+a=(1-ca)/b。

舌、噛んで死んじゃいたい。
937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/21(水) 13:07:41 ]: >>927の問題の出典は
www.mathlinks.ro/Forum/contest/6th_Edition/6th_edition_round_1.pdf
だな。
938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/21(水) 14:16:35 ]: >>937
ここに他の問題も載っていたのか…
939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/21(水) 15:08:12 ]: >>937
でかしたぞ！
これは心ばかしのお礼だ
少ないが取っておきたまえ
つ ⑩
940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/16(月) 12:33:29 ]: 正の数 a, b, c, d が a^2+b^2+c^2+d^2=4 をみたすとき、
　a+b+c+d ≧ ab+bc+cd+da

(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ…
941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/19(木) 19:17:46 ]: >>940
(a+b+c+d)^2-4(ab+bc+cd+da)=(a-b+c-d)^2≧0
よって　(a+b+c+d)^2≧4(ab+bc+cd+da) ……(1)

4-(ab+bc+cd+da)=a^2+b^2+c^2+d^2-(ab+bc+cd+da)
　　　　　　　={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2}/2≧0
よって　4≧ab+bc+cd+da ……(2)

(1)(2)を辺々かけて(a+b+c+d)^2≧(ab+bc+cd+da)＾2
よって主張を得る。
942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/19(木) 22:20:35 ]: ('A`(○＝(ﾟ∀ﾟ)＝○)'д`)
943 名前：コーシー mailto:sage [2007/04/20(金) 01:04:52 ]: >>940
　(1+1+1+1)*(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) ≧ (a+b+c+d)^2 = {(a+c)+(b+d)}^2 ≧ 4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da).

ハｧハｧ
944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/20(金) 11:08:08 ]: >>943
ｷﾀ─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ～(ﾟ∀ﾟ)─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ～─ !!
生きててよかった＼(^o^)／
945 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/04/25(水) 11:26:56 ]: 保守＆問題投下

a,b,cは実数で，cは0でない。このとき以下の不等式が成立することを示せ．
c((b^2-4ac)/(4c))^3+ac((b^2-4ac)/(4c))^2+bc((b^2-4ac)/(4c))+c^2≧0
946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/25(水) 11:35:33 ]: 　　　 |　 _＿::. ::: . 　　 ,　　　ｒ┘
　　　 |´, 　　　｀丶、.::;:' 　　　〕
　　　 |/ /　 /　,　　V　　　　ｔ┘
　　　 |,//　/　/ ,　　V.:-　　｣
　　　 | ///　/　,　l　ｉ|::::.　 _｢′
　　　 |,'/ / /　,:'　l　l,'.:　r┘
　　　 |　　 '_＼ //, /　ソ|!》
　　　ｒ､, 　〈::ﾉY/イ寸个l|
　　　ﾄｌ＿_　ィ'刀| ｌ{　l| il やっぱり数ヲタって
　　と j::::::::::::V｜ｌｉ| /' {!　　　　変な人たちばっかりね…
　　　 |ﾉ::::::::::/| ﾊ　! l|
　　　 |ﾄ､::::::「三￢-､ l
　　　 ||::::i‐┘￣＞､〉|
　　　 |j:::::V´￣｀イ l |
　　　 |::::::::|｀ヽ下￣ヽj__
　　　 |､:::::l ﾑ二ｿ　　､__/
　　　 |込ｲ _ｔ.__j〉ｨ └〉
　　　 |九丿｝〈'し'｀┘
947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/26(木) 10:44:25 ]: >>945
とりあえずaについて整理すれば2次式になって平方完成できるな。
意味付けはさっぱりだが。
948 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/29(日) 14:47:30 ]: a>0,b>0,c>0のとき
[1]
(a+b)(a^3+b^3)≧(a^2+b^2)^2
を証明せよ。

[2]
[1]を使い
(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)≧(a^2+b^2+c^2)^2
を証明せよ。
949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 14:55:36 ]: >>948
宿題は質問スレにいけ
950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/29(日) 19:37:36 ]: x,y,zを√x+√y+√z=1を満たす正の実数とする。
(x^2+yz)/√(2x^2(y+z)) + (y^2+zx)/√(2y^2(z+x)) + (z^2+xy)/√(2z^2(x+y)) ≧ 1
を示せ。
951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 04:03:00 ]: >>948
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/
へ逝け。
952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 10:24:02 ]: 二項係数 nCkを素因数分解したときの因子をp^mとすると

p^m≦n となることを証明せよ
953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 17:01:09 ]: 不等式スレもいよいよ２スレ目が終わりに近づいてきたので，
過去スレリンク・不等式埋蔵地などのテンプレをまとめた，まとめWikiを作ってみました。
wiki.livedoor.jp/loveinequality/

>>952の解答は「個別の問題解答やまとめ」のページに載せておきました。
954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 18:21:21 ]: >>953
君の無償の行為、賞賛に値するッ！

　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ　　　∩
　　　　　　　　　　　　　　 ( ⌒)＿　　 ∩_ _　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿　／/,. ノ≧　＼ .i　.,,E）__
　　　　　／ nCr　＼| /　/＼ .／　|/　/ cos ＼
　　_n 　.|::::＼ .／　　|/　/(●　(● |　ノ＼ .／　|
　（　l　　|::●)　●)　.|　/:::... .ワ ....ノ／(●　(● |　　　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
　＼＼ヽ:::::.∀ 　 .ノ　　　　　　／ヽ:::::... .▽....ノ　　n
　　　ヽ__￣　　　ノヽ　　　　　 |　￣　　　＼　　（ E）
　　　　　/ 　　/　　＼　　　　ヽﾌ　　　 / ヽヽ_／／
955 名前：1 mailto:sage [2007/04/30(月) 18:26:05 ]: >>953
次スレ用に、リンクをまとめ直していたんですが、
まとめスレのtopページのところのリンクを
これに入れ替えて欲しいです。

不等式の本
[1]　不等式、ハーディ・リトルウッド・ポリヤ、シュプリンガー、2003年
[2]　不等式、大関信雄・青木雅計、槇書店、1967年、絶版
[3]　不等式への招待、大関信雄・大関清太、近代科学社、1987年
[4]　不等式入門、渡部隆一、森北出版、2005年
[5]　不等式の工学への応用、MICHAEL, BYRON、森北出版、2004年
[6]　不等式（モノグラフ４）、染取弘、科学新興新社、1990年
[7]　数理科学No.386 特集現代の不等式、サイエンス社、1995年8月号
[8]　数学トレッキングツアー第３章、東京理科大学数学教育研究所編、教育出版、2006年
[9]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities (Maa Problem Books Series.)、J. M. Steele
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/052154677X/qid%3D1090270289/ref%3Dsr%5F8%5Fxs%5Fap%5Fi1%5Fxgl14/249-9112872-5627569

不等式の埋蔵地
[1]　IMOリンク集　imo.math.ca/
[2]　Maths problems　www.kalva.demon.co.uk/index.html
[3]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/
[4]　Crux Mathematicorum Synopses www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/

海外不等式ヲタの生息地
[1]　JIPAM　jipam.vu.edu.au/index.php
[2]　MIA Journal www.mia-journal.com/
[3]　Math Forum www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html
[4]　中国不等式研究小組 zgbdsyjxz.nease.net/index1.htm
956 名前：1 mailto:sage [2007/04/30(月) 18:40:08 ]: >>955のリンク先、消えてるところもあるから、いろいろ修正しないといけないなぁ…
957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 18:46:47 ]: シャッキンの不等式
借金＜返済額
958 名前：953 mailto:sage [2007/05/01(火) 01:33:56 ]: >>954
ありがとうございます。そのAAもさっそく保管庫に収録させていただきました。

>>955-956
元のリストと>>955さんのリスト，あとは自分がこのスレ中で拾ったリンクを統合し，
リンク切れサイトは除いて，統廃合しておきました。

参考文献への Amazon リンクを張る作業をしていて，
参考文献[3]「不等式への招待」が絶版になっていることに気づきました。

あと，「個別の問題解答やまとめ」のページに>>798の解答を掲載したり，
このスレでよく使われる不等式のまとめページを作ったりしておきました。

このまとめサイトはWikiなので，誰でも自由に編集できます。
気づいた点があればどんどん修正してください。
（荒らしは困りますが。）
959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 01:41:08 ]: 2χ≧5
960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 02:21:06 ]: >>958
お疲れ様です。
編集の練習のつもりで、AA保管庫に、過去に使ったAAを追加してみますた ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

> 参考文献への Amazon リンクを張る作業をしていて，
> 参考文献[3]「不等式への招待」が絶版になっていることに気づきました。

な、な、な、なんですと！！！
　　　　　　　　_ ,,, _　 __　　　　　　　　　　　〃　ヽ｀_７i⌒'⌒ii‐ｰ,　　ヽ
　　　　　　　　ﾉ-―-｀､ヽ｀ヽ-.、　　　　　　　　　i./　,./-‐｀ """´'ｰ､!　　｀ヽ、
　　　　　　_,,/　 , _---､｀ヽ＼ヽヽ､　　　　　　　ﾉ.／, - ' ´ ￣￣｀ヽ_　＼　　ヽ!
　　　 , ‐'´　r-.　　￣ヽ､　＼'､ヾ､＼　　　ｰ'´ｲ／　　　　　 _,. ィ,.､｀ヽ､ヽ　i l
.　　/　　　 .l　ﾄﾍ　　　　ヽ.　　ヽ　',　ヽ　　　,ｸ´　　　__,. - '／'´　ヽ　　ヾヽl !
　 / /　　　/l　'､＼　ヽ、　＼.　ヽ　　ヽｰ'´7i　,　　,-'-｀!/´ ヽ''ﾆ-｀､　　 ',､〈
　l /　/　 /'´ヾヽ､_ ,＼　ヽ_,. -‐､　',　ヽ､ヽ//./　／　__　　　　　 __　 i､　　l ヾ
　ﾘl //　/　 _,,.＼｀く'　｀´＜ヽ､＼　ヽ＼ｰヽ.,.ｲ　', '´｀ヽ　　 r '' ヾ_,!l　 !l　.!
　!l l l　/ l ､／"｀ヾヽ＼　,' ‐''ヾｰ-､.＼ヽヾｰi､l _l =!　(ﾟ;)　　　　 (ﾟ;)　l= ! _/　 !
　 l V./ゝ !=!　 (ﾟ;)　　　｀　(ﾟ;)　 l=/_7ｰ､=,ヽ｀!.ir､.', '　,_,.　　 i　　､_ ,､｀./'r､i　 !
　　ヽll 'ヽ!!　 , --　　l　　 -- ､｀/r,ヽ　ヽ!　 !ヽ'_,.!　　　　＿＿　　　　i_ ) /　 !
　　ヽﾍ､!l,!　　 , - ､ __,. -.､　　 ,i.l) ﾉ　　　 !. ヽ.ﾍ.　　 !'　　ヽ　　ﾉ､')´ 　 .!
　　　　_ゝlﾍ　　!'´　　　　　.i　 /､ﾘ)　　　　　 ,'　　　｀ヽ､ヽ　＿ﾉ／　./　　　 i
　｀＞'=ノ , ｀ヽヽ　　　　　 l,.ィ＿､_＼_　　　 i　,.. - ､,-､.｀_iｰ--‐.´ﾚ'　/,.へ､ _　',
　〃　　 /,ヽ､r'こl｀ｰ-‐ ',l´'Yヽヽ　｀ヾ´　　 l/　　 '´ /´　 !　　／ ,／/ l　　　ヽ!
　l　　　/ !.　 (　｀ｰ＝-´‐　 )　! '､　　 !　　/　　　　_l＿.　!　/ ／/ ./_,,L　　　　i

　　　　　七_　　　　七_　 l　l　二　ナゝ　　　　　　　　i　　ヽ　|! |!
　　　　　　(乂）　　(乂）　ﾉ　／し　 cト　　￣￣￣　　ヽ　　　・・
961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 02:35:10 ]: よく使う不等式に、相加相乗平均に調和平均を付け加えたいですね。

他には…、
　加重平均、r次平均、チェビシェフの不等式、ミンコフスキーの不等式、並べ替え不等式

あと、よく分からんのが、Majorization Inequality ('A;;;;::::
962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 02:44:26 ]: 前スレでお世話になった「数オリ事典」を参考文献に追加した。
（この本で、並べ替え不等式を知った）
963 名前：953 mailto:sage [2007/05/01(火) 04:38:50 ]: >>961
ご指摘を受けてとりあえず諸々を追加しておきました。
964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 06:32:17 ]: >>963
TeXでまとめて、画像に変換して…と、大変な作業、おつかれ様です。

Texで書いてjpg画像にしたんだけど、画像の貼り方というより、
画像をどこにUPすればよいか、よく分からんのですが…
UPできれば、同じようにリンク先を書いてしまえばいいんだろうけど…
965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 06:45:03 ]: なるほどな～。
試しに、不等式を一つ貼ってみますた。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
966 名前：953 mailto:sage [2007/05/01(火) 11:10:01 ]: >>964-965
収録不等式増強にご協力ありがとうございます。

画像を貼るには，まず，左上の「添付」をクリックしてファイルをアップロードします。
次に，ページ編集画面で，「IMG」と書いてある，画像を貼るボタンがあるので，それをクリックして画像を選択すると貼れます。
あるいは，ソース中で &ref(URL) を直接書いてもよいです。
967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 14:41:23 ]: >>960
ﾜﾛﾀ

絶版か、、買っとけばよかったorz

並べ替え不等式ってのは同順のとき最大、逆順のとき最小ってやつかな。
968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 15:14:20 ]: >>967
> 並べ替え不等式ってのは同順のとき最大、逆順のとき最小ってやつかな。

Exactly（そのとおりでございます）！ AA略
969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 15:23:10 ]: JMO夏季セミナーで、
Cauchy-Schwarzの不等式の一つの一般化ってのが紹介されていたけど
もう見れないんやね

　 __,冖__　,､　 __冖__　　 /　／/　　　　　 ,. - ―-　､
　`,-.　-､'ヽ' └ｧ --'､　〔／　/　　＿／　　　　　　ヽ
　ヽ_'_ﾉ)_ﾉ　　 `r＝_ﾉ　　　 /　／　　　　　　,.ﾌ^''''ー- j
　 __,冖__　,､　　　,へ　　　 /　 ,ｨ　　　　　／　　　　　　＼
　`,-.　-､'ヽ' 　く <´　　　7_／/　　　　 / 　　　 _／^　　､`､
　ヽ_'_ﾉ)_ﾉ　　　　＼>　　　　/ 　　　 /　　　／　_　､,.;j ヽ|
　　　n　　　　　「 |　　　　　/. 　　　　|　　　　 -'''"　=-{_ヽ{
　　　ｌｌ　　　　　|｜ .,ﾍ　　/　　 ,-､　　|　　,r' ／￣''''‐-..,ﾌ!
　　　ｌl　　　　　ヽ二ノ__　｛　　/ ﾊ `l／　 i'　i 　　＿　　｀ヽ
　　　ｌ|　　　　　　　 _| ﾞっ　￣フ.rｿ　　　　 i' l　　r'　,..二''ｧ ,ﾉ
　　　|l　　　　　　　 (,･_,ﾞ> 　／ { '　ﾉ　　　　 l　 /''"´　〈/ /
　　　ｌl　　　　　__,冖__　,､　 >　 >-' 　　　 ;:　|　 !　　　　i　{
　　　ｌ|　　　　`,-.　-､'ヽ' 　＼ l　　 l 　　 ;. ｌ｜　　　|　!
　　　|ｌ　　　　ヽ_'_ﾉ)_ﾉ　　ﾄー-.　　 !. 　　 ; |. | ,. -､,...､| :l
　　　ｌl　　　　　__,冖__　,､　|＼/　　　ｌ　　 ; l　ｉ　　 i　 | l
　　　ｌｌ　　　　`,-.　-､'ヽ' iヾ　l　　　 l　　;: ｌ｜　　{　j {
　　　|ｌ　　　　ヽ_'_ﾉ)_ﾉ　 {　　 |. 　　　ゝ　 ;:i'　｀''''ｰ‐-'　}
.　ｎ.　ｎ.　ｎ　　　　　　　　l　　|　　　::.　　＼ヽ､__ 　　　ﾉ
　 |!　 |! 　|!　　　　　　　　 l　 |　　　 ::. 　　　`ー-｀ニ''ﾌﾞ
　 o　 o 　o　　　　　　,へ　l　|＿＿＿ :.　　＿＿＿＿|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|＿＿| 　　　　＿＿ lヽ,,lヽ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_| ::|_ 　　　 | |Θ|(　　　；）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　|￣￣￣|￣￣|＿　|_|＿|と　　　i
　　　　　　　　　　　　　　　　　　|＿＿＿|＿＿|＿|　 |_|　　しーJ
970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 18:54:55 ]: >>950

(x^2 +yz)/[x√(2(y+z))] + (y^2 +zx)/[y√(2(z+x))] + (z^2+xy)/[z√(2(x+y))] ≧ √((y+z)/2) + √((z+x)/2) + √((x+y)/2)
　≧ √x + √y + √z.

(略証)
・右側
　√((x+y)/2) ≧ (√x + √y)/2　を循環的にたす。
　この式は (x+y)/2 = {(√x + √y)/2}^2 + {(√x - √y)/2}^2,　または f(x)=√x が上に凸, で簡単。
・左側
　yはxとzの中間にあるとすると、(x-y)(y-z)≧0,
　(左辺) - (中辺) = (x-y)(x-z)/[x√(2(y+z))] + (y-x)(y-z)/[y√(2(z+x))] + (z-x)(z-y)/[z√(2(x+y))]
　　= (x-y)^2 /[x√(2(y+z))] + (x-y)(y-z){1/[x√(2(s-x))] -1/[y√(2(s-y))] +1/[z√(2(s-z))]}+ (y-z)^2 /[z√(2(x+y))] 　
　　= (x-y)^2 /[x√(2(y+z))] + (x-y)(y-z){1/√g(x) -1/√g(y) +1/√g(z)}+ (y-z)^2 /[z√(2(x+y))],
　ここに g(ξ) = (ξ^2)(2s-2ξ),　s=x+y+z.
ここから
　g(y) - g(x) = 2(y-x){(x+y)(s-x-y) +xy},
　g(y) - g(z) = 2(y-z){(y+z)(s-y-z) +yz},
　yはxとz の中間にあるとしたから、上の2式の一方は ≧0.
　g(y) - g(min) ≧0,
　1/√g(min) - 1/√g(y) ≧0.
あるいは
　ξ>0 のとき、相加･相乗平均より g(ξ) ≦ (2s/3)^3,　等号成立は ξ=2s/3 のとき。
　すなわちg(ξ)は ξ=2s/3 に極大をもつ。またξ=0に極小をもち、0～2s/3 で単調増加。
　x,y,z のうち 2s/3 以上になるのは高々1個。
　残りの2つは 2s/3 より小さい。
　0 < g(min) ≦ g(y),
　1/√g(min) - 1/√g(y) ≧0.

スレ保存会の皆様、お疲れ様です。
ハｧハｧ
971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/03(木) 16:40:18 ]: 不等式を２つほど…
つ www.math.ust.hk/excalibur/v12_n1.pdf

(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ
972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/03(木) 16:53:26 ]: (486)、489、490、491
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2007/prob_mar.pdf

3241
www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2007/n4/PDF/v33n4syn.pdf

　　　　　＿　（）)二) )) 、,r:ﾆヽ　　いいぞ　ベイべー！
　@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` ))　不等式を収集し証明する奴は数ヲタだ！！
　　　　　^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-(　　)　　不等式を改造し拡張する奴はよく訓練された数ヲタだ！！
　　　　　　　_/　　＼_ 　　L L　　ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ
973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/04(金) 06:34:57 ]: >972

[490] (modified)
　Does there exist a number k for which
　　　min{ (x_i -x_j)^2 | i>j } ≦ k(n){(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2}.
　for any real numbers x_1, x_2, …, x_n ?
　If so, determine the smallest such k(n).

Answer
　左辺を μ^2 とおく(μ≧0)。
　x_1≧x_2≧…≧x_n と並べなおすと、
　|x_i - x_j| ≧ |i-j|μ,　　　(1≦|i-j|≦n-1)
|i-j|=L となる(i,j)は(n-L)組あるから、全部で
　Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 ≧ (μ^2)Σ[L=1,n-1] (n-L)L^2 = (μ^2)*(n^2)(n^2 -1)/12 = (μ^2)*(n/k(n)),
一方,
　Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 ≦ S^2 + Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 = n{(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2},
　ここに S = x_1+x_2+……+x_n.
これらより
　μ^2 ≦ k(n){(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2},
　ここに k(n) = 12/{n(n^2 -1)},
　k(3)=1/2, k(4)=1/5.
974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/04(金) 20:43:31 ]: >971

[Problem 273]
　△ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、次を示せ。
cos(A)/{sin(A)^2} + cos(B)/{sin(B)^2} + cos(C)/{sin(C)^2} ≧ R/r ≧2.
　等号成立は正3角形のとき。
　（Source: 2000 Beijing Math. Contest)

Answer:
・左側は、辺で表わす。
　S = (ab/2)sin(C) = (bc/2)sin(A) = (ca/2)sin(B) = abc/4R より
　(左辺) = (bc/2S)^2･cos(A) + (ca/2S)^2･cos(B) + (ab/2S)^2･cos(C)
　　= (abc/8S^2){(b^2 +c^2)/a -a +(c^2 +a^2)/b -b +(a^2 +b^2)/c -c}, 　← 第2余弦定理

　S = ar/2 + br/2 + cr/2 = (a+b+c)r/2　より,
　1/r = (a+b+c)/2S,
　R=abc/4S　　　　　　　　← 正弦定理
辺々かけて
　(中辺) = R/r = (abc/8S^2)(a+b+c),

　(左辺) - (中辺) = (abc/8S^2){[(b^2)/c +(c^2)/b -b-c] + [(c^2)/a +(a^2)/c -c-a] + [(a^2)/b +(b^2)/a -a-b]}
　　= (1/8S^2){a(b+c)(b-c)^2 + b(c+a)(c-a)^2 + c(a+b)(a-b)^2}
　　≧ 0,

・右側
　△の3辺の中点を通る円の半径 = R/2. この円は△の3辺を切るから、半径 ≧r. (清水多門氏)
　大関: 「不等式への招待」近代科学社 (1987) p.8 >>960

>972
　[491] は >>353 にて解決。 >>21 [前スレ.563(7)]

ハｧハｧ
975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/05(土) 22:02:31 ]: >972

[3241]
　a,b,c は実数で、a^2 +b^2 +c^2 =9 とするとき、次を示せ。
　　3･min{a,b,c} ≦ 1 + abc.
　　等号成立は min=-1, others=2 のとき.
Answer.
min{a,b,c} = c としても一般性を失わない。cを固定して(a,b)平面で考える。
題意より、円周 a^2 +b^2 = 9-c^2 のうち a≧c, b≧c の部分を考える。
〔補題〕
　　a,b ≧c≧0 のとき　ab ≧ c√(a^2 +b^2 -c^2) = c√(9-2c^2).
(略証)
　(ab)^2 - (c^2)(a^2 +b^2 -c^2) = (a^2 -c^2)(b^2 -c^2) ≧0. (終)
・c≦0 のとき
　　相加･相乗平均で　ab ≦ |ab| ≦ (a^2 +b^2)/2 = (9-c^2)/2.
　　3c ≦ 3c + (1-c/2)(1+c)^2 = 1 +c(9-c^2)/2 ≦ 1 + abc,
　　等号成立は a=b=2, c=-1 のとき.
・0≦c≦1.4 のとき
　　補題より ab/c ≧ √(a^2 +b^2 -c^2) = √(9-2c^2) ≧ (3/2)^2,
　　3c ≦ 1 + (3c/2)^2 ≦ 1 + abc,
・√(3/2) ≦c≦√3 のとき
　　(c^2)(9-2c^2) = 9 + (3-c^2)(2c^2 -3) ≧ 9,
　　ab ≧ c√(9-2c^2) ≧ 3,
　　3c ≦ 1 + 3c ≦ 1 + abc.

きょうは子どもの日だ…
フｩハｧ
976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/05(土) 22:18:07 ]: >973
　Σ[n≧i>j≧1]　と書くべきか?

>974
　a,b,c は△ABCの辺の長さ、Sはその面積でつ。

>975
　cが最小のとき、-3≦c≦√3 を使いますた。

いつもｽﾏｿ.
977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/05(土) 22:36:12 ]: フウウウウウウ～～～
わたしは…子供のころ…Cauchy-Schwarzの不等式って
ありますよね…あの不等式…書物で見たときですね。

あの変数がきれいに並んでいる「不等式」…あれ……初めて見た時…
なんていうか……その…下品なんですが…フフ…………
勃起……しちゃいましてね…………
「不等式」のとこだけ切り抜いてしばらく……部屋にかざってました。
あなたのも……切り抜きたい…。
978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 23:43:17 ]: >>977
吉良かｗ
979 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/05/12(土) 09:15:05 ]: >>945と似た問題

a,b,cは実数で，aは0でない。このとき以下の不等式が成立することを示せ．
a((b^2-4ac)/4a)+a^2((b^2-4ac)/4a)^(2/3)+ab((b^2-4ac)/4a)^(1/3)+ac≧0
980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 05:10:00 ]: 不等式への招待第３章
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
981 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/14(月) 17:35:59 ]: age
982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/15(火) 08:40:18 ]: 二年百十八日二時間。
983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/16(水) 06:40:16 ]: 二年百十九日。
984 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/16(水) 11:33:08 ]: 誰か>>979解いて！！(＞＜;)
985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/16(水) 16:05:41 ]: a((b^2-4ac)/4a)＝(b^2-4ac)/4？
986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/16(水) 21:43:48 ]: >>984
元ネタは？
987 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/16(水) 23:00:50 ]: >>986
オリジナルです。
988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/17(木) 07:58:44 ]: 判別式だろ？
989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/18(金) 06:40:17 ]: 二年百二十一日。
990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/19(土) 06:40:16 ]: 二年百二十二日。
991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/19(土) 13:15:03 ]: >>979
(b^2-4ac)/4a=d とおくと、ac+ad=b^2/4
a((b^2-4ac)/4a)+a^2((b^2-4ac)/4a)^(2/3)+ab((b^2-4ac)/4a)^(1/3)+ac
=ad+a^2d^(2/3)+abd^(1/3)+ac=a^2d^(2/3)+abd^(1/3)+b^2/4
=(ad^(1/3)+b/2)^2≧0
992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/19(土) 19:04:20 ]: >>990
荒らすな、クズめ！
993 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/20(日) 01:14:40 ]: 　　　　　　　　　 , -‐- 、　　　　　　/_ '⌒ヽ
　　　　　　　 /'´￣｀　}, -―=' 二' ヾ.)::.　 }
　　　　　　　　　 l　,::-:::rく_）　／　, -‐ ,､｀ｰ､:ﾉ
　　　　　　　　　 V.:::::; ィﾁ　/　／　　 /| ',　ヽ
　　　　　　　 f´￣}ﾌ　l　 /　/　__　//ｌ _l::.　l|
　　　　　　　ｨ」　 _j　人:/:: /　 ∠｀　 ,ﾆﾑ::/'
　　　　_　ｲl 弋.ノ／ﾞヽYニﾍ{Yｆ{_ﾇ　　ﾊﾉ!/　１０００ゲット合戦モード突入開始！
　　 /　　　ヽ.／ｲ　　{ﾊ＿}　ゞノ　__,｀¨卜.
　　{ 　　 _／　　 l　　/　｛ /ﾄ､　　/ Ｖ ∠　}
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994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 01:15:55 ]: 埋めるよ
995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 01:16:54 ]: 埋めるよ
996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 01:20:51 ]: 　　　　　　　＿
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　　　 |　l ! lハ T_立Tlヽ　T立_Tl |_ﾉ　　　 '´
　　　　＼!ヽ l､ヽ!{='_r}　ヽl{='_r} ﾘ| ）　　１０００だったら、イッキ飲み
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997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 01:21:45 ]: 埋めるよ
998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 01:25:17 ]: 埋めるよ
999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 01:26:33 ]: 埋めるよ
1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 01:26:41 ]: 1000
1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread]: このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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