関数方程式レッスド

1 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 09:19] Cauchy 方程式 f(x+y)=f(x)+f(y) の解を求めて下さい。 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 09:26] f(x) = c 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 09:32] Hamel basis で変な関数が作れるらしい。 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 09:53] >>2 f(x) = cx と言いたかった? 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 12:41] 変分問題って関数方程式と言う？ 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 14:08] >>5 それは何、変分問題は常に関数方程式に還元できるかと言うこと? 方程式は常に変分問題になると先生は主張していたけど。 7 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 14:44] なんだ、こりゃ！？ 　　　　 ,,----、,,,,,,,,,､､　　　　カリスマ２ちゃんねら〜の東京kitty様が７ゲット（＠ｗ荒 　　　 / ,,-‐―、ヽヽヽヽ　　 　　 〔/　 　 　））））ヾヽヽ　ニュー速愚民が嫉妬で顔を歪めながらのたうちまわってるよ！！（＠ｗぷ　＞２ 　　 /.,,,,、､　,ヽξ＼Ξ/　公判で泣きながらヲレに許しを請う姿が　楽しみだ（＠ｗぷ　＞３ 　　/ ==/　 .,==- 　 レi!　一生無名で終わる雑魚名無したちがｳﾞﾁｷﾚたようだ（＠ｗぷ　＞４ 　 〔、　,(_,､ﾉ（ "",,ﾉ:: 6）　　渋谷飛鳥と早く共演したいものだ（＠ｗ荒　＞５ 　　λ:" ‐＝‐＾ﾝ ...::::: |/ 　　いや、かなりｶｯｺいいが？（＠ｗ荒　＞６ 　　 λ:::::. .::.. ::...::::::/ λ 　　じゃあまず「お前が死んで手本を見せろよ」と　　＞８ 　 　　＼::::::::::::::／/ .　λ、　HNも出せないようなﾍﾀﾚが何を言っても説得力ないよ（＠ｗぷ　＞９ 　　　　　￣|￣　　　 　　/~~￣⌒＼　おまえら死ねよ（＠ｗ荒　＞１０−１００１ 8 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 20:27] はめる気？ 9 名前：ｄ [03/06/17 20:36] だ 10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 20:47] （・∀・）ﾊﾒﾙ!! 11 名前：１３２人目の素数さん [03/06/26 21:14] f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y), g(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y) の解は？ 12 名前：mathmania ◆uvIGneQQBs [03/06/27 15:19] sinh(x+y)=(exp(x+y)-exp(-x-y))/2=(2exp(x)exp(y)-2exp(-x)exp(-y))/4 =(exp(x)exp(y)-exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(y)-exp(-x)exp(-y)+exp(x)exp(y)+exp(x)exp(-y)-exp(-x)exp(y)-exp(-x)exp(-y))/4 =(exp(x)+exp(-x))(exp(y)-exp(-y))/4+(exp(y)+exp(-y))(exp(x)-exp(-x))/4=sinh(x)cosh(y)+cosh(y)sinh(x) cosh(x+y)=(exp(x+y)+exp(-x-y))/2=(2exp(x)exp(y)+2exp(-x)exp(-y))/4 =(exp(x)exp(y)+exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(y)+exp(-x)exp(-y)+exp(x)exp(y)-exp(-x)exp(y)-exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(-y))/4 =(exp(x)+exp(-x))(exp(y)+exp(-y))/4+(exp(x)-exp(-x))(exp(y)-exp(-y))/4=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y) よって、f=sinh,g=coshは[11]の解になる。 13 名前：１３２人目の素数さん [03/06/27 17:33] 『　超過激＆超かわいいイエローキャブのライブチャット登場　』 　　あなたの命令で若い娘たちがヌレヌレモード＆イクイクモード ☆★ アメリカ西海岸発 ☆★ 当然モザイクありません ☆★ 　あなたの言葉で「若い娘」を・・・ヌードにさせてくださいmase 　あなたの指で「イエローキャブ」を・・感じさせてくださいmase 　あなたの声で「ＧＡＬ」を・・・イ・カ・セ・テ・くださいmase 　寂しがりやの日本人留学生の若い娘たちがお待ちしております！ ☆★もちろん、オナニー&バイブ好きの娘ばかり☆★ 　あなたのチャットをお待ちしております！！ 　日本人留学生のハレンチな「性」を覗いてみてくださいmase 　チャット・セフレをお探しのあなた！今すぐ！ Let's Live!! ☆★１０分間無料で体験できるほか７日間会費無料でございます 　www.gals-cafe.com 14 名前：１３２人目の素数さん [03/06/27 17:35] 　　　　　　　巛彡彡ミミミミミ彡彡 　　　　　　 巛巛巛巛巛巛巛彡彡　　　　　　　 　　　r､r.r ､|:::::　　　　　 　　　　　|　ﾊｧ? 　　r |_,|_,|_,||::::::　　　　 ／'　　'＼ |　 　　|_,|_,|_,|/⌒　　　 　 (・ )　　(・ )|　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣ 　　|_,|_,|_人そ(^i　　　　⌒ ) ･･)'⌒ヽ　　／ 　　|　)　　 ヽﾉ　|.　　　┏━━━┓|　＜　　レッドス？ 　　|　　`".｀´ 　ﾉ　　 ┃　ノ￣i　┃|　　　＼ 　 人　　入＿ノ´　　　┃ヽﾆﾆノ┃ﾉ＼　　　＼＿＿＿＿＿＿＿ ／　　＼＿／＼＼　　 ┗━━┛/|＼＼ 　　　　　 ／　　 ＼　ト ───ｲ/　　 ヽヽ 　　　　 /　　　　　 ｀　─┬─ イ　　　　 i i 　　　　/　　　　　　　　　 | 　　　　　Y　　| | 　　　 / 　　　　　　　　　 | 　　　　　ヽ＿_|_| 15 名前： ◆14get.kr8M [03/06/27 17:55] あとちょっとでじゅうよんげっと 16 名前：mathmania ◆uvIGneQQBs [03/06/27 17:59] 関数方程式 xΓ(x)=Γ(x+1) tan'(x)=1+(tan(x))^2 17 名前：mathmanic [03/07/03 14:36] 12>双曲関数の加法定理そのもんジャン（ｗ 18 名前：１３２人目の素数さん [03/07/12 15:45] 関数方程式の本で良いのないですか？ 自分は Kuczma と Aczelの本しか知りません。 19 名前：１３２人目の素数さん [03/07/27 18:42] 任意の実数 x, y に対して f(x+y) = { f(x) + f(y) }/2 が成り立つとき、f(x) は定数関数であることを示せ。 20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/27 19:01] f(x)が連続である、って条件は無いのか？ 21 名前：１３２人目の素数さん [03/07/27 22:13] 普通、双曲関数っていうか？ 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/27 22:57] >>21 ぢゃぁなんていうの？ハイパボリック関数でつか？ はいぱぼりっくってそうきょくせんのことだよね(-＿-) ･･･ 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/27 23:52] >20 不要。 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 01:03] >>19 x=x, y=0 を代入して終わりか。簡単だったな 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 10:42] そうきょくせんかんすう。 26 名前：この本どう？ mailto:sage [03/07/28 19:23] G. Belitskii, V. Tkachenko, One-dimensional Functional Equations 2003. 224 pages. Hardcover ISBN 3-7643-0084-1 English Operator Theory,vol.144 This monograph is devoted to the study of functional equations with the transformed argument on the real line and on the unit circle. Such equations systematically arise in dynamical systems, differential equations, probabilities, singularities of smooth mappings, and other areas. The purpose of the book is to present modern methods and new results in the subject, with an emphasis on a connection between local and global solvability. The general concepts developed in the book are applicable to multidimensional functional equations. Some of the methods are presented for the first time in the monograph literature, in particular, a functional parametrization of local mappings, the gluing of local solutions, and a decomposition method. The book is addressed to graduates and researchers interested in dynamical systems, differential equations, operator theory, or the theory of functions and their applications. Table of contents: Preface .- 1. Implicit Functions .- 2. Classification of One-dimensional Mappings .- 3. Generalized Abel Equation .- 4. Equations with Several Transformations of Argument .- 5. Linear Equations .- Bibliography .- Index 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/09 18:59] 525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：03/08/09 02:32 (i) F(1,0,0,1)=1 (ii) F(ka,b,kc,d)=k*F(a,b,c,d) (iii) F(a,b,c,d)=-F(b,a,d,c) (iv) F(a+e,b,c+f,d)=F(a,b,c,d)+F(e,b,f,d) を満たす関数F:R^4→Rを全て求めよ。 って問題が出てた。 28 名前：１３２人目の素数さん [03/08/20 05:50] 7 29 名前：ムック剛 mailto:sage [03/08/22 08:17] F(a,b,c,d)=F(a,0,0,d)+F(0,b,c,0)+F(a,b,0,0)+F(0,0,c,d) 　　　　　=ad-bc+p(a-b)+q(c-d) 30 名前：１３２人目の素数さん [03/08/30 22:23] f(x)が x=0 で微分可能で、 f(2x)=f(x+sin x)+f(x-sin x) をみたすとき、f(x)=ax であることを示せ。 31 名前：１３２人目の素数さん [03/08/30 22:40] やだ！ 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/30 22:44] >>30 質問は質問スレで 33 名前：１３２人目の素数さん [03/08/30 22:55] >>30 f(0)=0,f(x+y)=f(x)+f(y)とできる。 34 名前：１３２人目の素数さん [03/08/30 23:00] x+sinx=yとすると、その解は存在する。 この解のひとつをtとおくと、f(2t)=f(y)+f(t-sint) sint=y-tから、f(2t)=f(y)+f(2t-y) 2t-yをxとおきなおすと、2t=x+yだから、f(x+y)=f(y)+f(x)なり。 蛇足スマソ 35 名前：１３２人目の素数さん [03/08/30 23:35] x と y が独立でないような・・・ 36 名前：supermathmania ◆ViEu89Okng [03/09/12 16:52] Hamel basisで、変な関数を作れるらしいが、fが連続であるという条件を付けると、 f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=cなる関数はf(x)=cxしかない。なぜなら、有理数上でf(x)=cxになるからだ。 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:f(x)=e^x [03/09/12 21:57] 関数f(x)は微分可能で,次の条件(1)(2)を満たしている (1)f(x)≧x+1 (2)全ての実数hに対し,f(x+h)≧f(x)f(h) f(x)を求めよ 解答はﾒｰﾙらん 38 名前：１３２人目の素数さん [03/09/12 22:17] 大昔の入試問題か？ 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/09/12 23:16] いや、オリジナル 多分求められると思う 当方高卒以上大学入学未満です 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/09/21 03:03] R上で連続な関数fで、∀x,y f(x)+f(y)=f(√(x(y^2+1))+√(y(x^2+1)))を満たす物を全部求めよ。 R上で連続な関数fで、∀x,y f(x)+f(y)=f((x+y)/(1-xy)) (xy≠1)を満たす物を全部求めよ。 41 名前：１３２人目の素数さん [03/10/14 07:57] 9 42 名前：１３２人目の素数さん [03/10/28 07:55] Aequationes Mathematicae という雑誌は 一流ですか？ 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/28 18:57] (?Д?)ヴ??ヴ??　?勹?ス??? ?????????ヴ?????? ??????????????? うぉぐ！(*゜∀゜)〜????? ??ν?..._〆(゜▽゜*)?? (?Д?)ヴ??ヴ??　?勹?ス??? ?????????ヴ?????? ??????????????? うぉぐ！(*゜∀゜)〜????? ??ν?..._〆(゜▽゜*)?? 44 名前：１３２人目の素数さん [03/11/10 07:30] 3 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/03 17:51] o 46 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 18:16] o 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/12 17:41] ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ 48 名前：１３２人目の素数さん [03/12/24 05:57] 6 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/09 16:47] 354 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/15 20:46] 654 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/31 05:26] 017 52 名前：１３２人目の素数さん [04/02/03 01:27] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 53 名前：１３２人目の素数さん [04/02/23 22:53] \ell 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 01:24] 934 55 名前：１３２人目の素数さん [04/03/31 07:19] 375 56 名前：１３２人目の素数さん [04/04/06 11:06] 229 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/25 22:34] 786 58 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 15:56] hh 59 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 16:28] なまなま 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/09 03:45] 184 61 名前：１３２人目の素数さん [04/05/28 08:49] 704 62 名前：１３２人目の素数さん [04/06/02 04:01] 226 63 名前：１３２人目の素数さん [04/06/10 03:04] 794 64 名前：１３２人目の素数さん [04/06/17 00:25] ﾎｳｹｰｲ 65 名前：１３２人目の素数さん [04/06/26 13:28] 871 66 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/04 09:03] x>0で定義される関数f(x)で、 f(x+1)=xf(x) for all x>0かつ、 fは連続関数 になるようなものは、ガンマ関数以外にありうるか？ 67 名前：ムック剛 mailto:sage [04/07/04 09:30] >>66 いっぱいあるですよ。 実解析関数でもいっぱいある。 ガンマ関数に特定するには、さらに対数凸性が必要。 68 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/04 10:18] Re:>67 それと、f(1)=1であること。 69 名前：１３２人目の素数さん [04/07/26 05:23] 842 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/26 20:23] >>21 双曲関数も双曲線関数もどっちもあるみたい。 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/26 20:25] >>67 対数凸性ってなんですか？ 72 名前：１３２人目の素数さん [04/08/03 07:59] 584 73 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/08/03 08:07] Re:>71 元の関数に対数をかけたものが凸関数であること。 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/03 12:00] >>66 f(x) = Γ(x)･g({x}), ここに{x}はxの小数部、g(0)=g(1)=1 75 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/08/03 12:03] Re:>74 うひょーっ！ 76 名前：１３２人目の素数さん [04/08/03 12:48] >>66 f(x) = Γ(x)･g(sin (2πx)), g(x) = x^2 + 1 等 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/03 20:43] >>66 f(x) = Γ(x)･g(x), ここにg(x+1)=g(x) (周期函数) 78 名前：１３２人目の素数さん [04/08/06 05:39] 関数方程式の本を紹介してください、今でも売ってるやつで… 　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪ 　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ 　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪ 　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ 　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/" 　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　' 　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／ 　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､ 　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､ 　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、 　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/06 11:49] www.amazon.co.jp/exec/obidos/tg/listmania/list-browse/-/M4HMI29X3MSY/qid=1091760484/sr=5-1/ref=sr_5_2_1/249-8481115-8353929 80 名前：１３２人目の素数さん [04/08/09 17:36] 任意の実数x,yに対して、次をみたす定数関数でないfを求めよ。 f(x+y) = {f(x)+f(y)}/{1+f(x)f(y)} 微分可能って書いてないから、どうするんでせう？ 81 名前：１３２人目の素数さん [04/08/09 17:37] 予想 はいぱぼりっくたんじぇんと 82 名前：１３２人目の素数さん [04/08/09 17:52] >81ッ！ 君の意見を聞こうッ！ 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 18:50] 最近、関数方程式が好きになりますた。 関数方程式の本（桑垣）で、こんなのを見つけましたが、 答えがないので、教えて下さい。 f(x+y+z)=f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x) を解け。 関数方程式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 18:57] >83は f(x)≡0, f(x)≡1/3 だけですか？ 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 19:02] f(xyz)=f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x) は解けるのかなぁ？ 自作自演 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ 86 名前：１３２人目の素数さん [04/08/09 19:19] では私も桑垣から。 f (x + y) = g (x) + h (y) 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 19:31] >85も f(x)≡0, f(x)≡1/3 でしたな。 桑垣の復刊をキボンヌ。 　　 ＿＿＿ 　.／　f(x) ＼　　　　関数不等式ヲタ発見！ 　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ 　|::::: (●　(● | 　ヽ::::... .∀....ノ 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 19:39] >>85 f(x)≡0, f(x)≡1/3 だけ 変数のlogを取れば本質は同じ 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 19:44] 関数不等式 log(x+y) < (log x)(log y) とか？ 90 名前：１３２人目の素数さん [04/08/09 19:57] >>87 図書館にあるだろ。 大したこと(深いこと)は書いてない本だよ。 高校生向き。 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 20:39] >>80 与えられた関数方程式を満たす定数でない連続関数 f(x) を求める。 f(0)=2f(0)/(1+f(0)^2) より、f(0)=0,1,-1. f(0)=1 とすると、1=f(0)=f(x+(-x))=(f(x)+f(-x))/(1+f(x)f(-x)) より、 (1-f(x))(1-f(-x))=1-f(x)-f(-x)+f(x)f(-x)=0 ゆえに、f(x)=1 または f(-x)=1 が成立する。 したがって、0 の近傍に値 1 を取る点が稠密に存在するので、 f(x) は 0 の近傍で恒等的に 0. ところが、f(a)=1 ならば f(2a)=2f(a)/(1+f(a)^2)=1 なので、 f(x) は恒等的に 1 となってしまう。 f(x) は定数ではないので、f(0)≠1. 同様にして、f(0)≠-1 も証明できる。 したがって、f(0)=0 でなければならない。 f(0)=0 であり、f(x) は値 ±1 をとらないことから、中間値の定理より -1<f(x)<1. g(x)=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))} とおく。 1-f(x)>0 より、g(x) は全ての実数で定義された連続関数である。 g(x+y)=1/2log{(1+f(x+y))/(1-f(x+y))} =1/2log{(1+f(x)+f(y)+f(x)f(y))/(1-f(x)-f(y)+f(x)f(y))} =1/2log{(1+f(x))(1+f(y))/(1-f(x))(1-f(y))} =1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))}+1/2log{(1+f(y))/(1-f(y))} =g(x)+g(y) g(x+y)=g(x)+g(y) と g(x) が連続であることより、g(x)=cx となる c がある。 1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))}=cx を解いて f(x)=(e^(cx)-e^(-cx))/(e^(cx)+e^(-cx)) 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 20:49] g(x)=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))} の部分が天下り的だと思うのは漏れだけか？ 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 20:49] うはっ！ ありがとうございます。 g(x)を自力では見つけられそうにないです。 94 名前：93 mailto:sage [04/08/09 20:53] 上のほうで tanh と書いてあったので、 試行錯誤して、g(x+y)=g(x)g(y) をみたすように g(x)=(1+f(x))/(1-f(x)) とおいてやりました。 95 名前：１３２人目の素数さん [04/08/09 20:56] f’（0） の存在がわかれば f’（x）＝f’（0）［1-｛f（x）｝^2］ が出て簡単なんだけどね。 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 20:58] ところで f(xyz)=f(x)f(y)f(z)+f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x)+f(x)+f(y)+f(z) をみたす関数が f(x)≡0 以外に見つけられないんですが、教えて下さい。 左辺が f(x+y+z) の場合は、f(0)の値で場合分けして何とか解けましたが、 この場合の解は、間違ってなければ… f(x)=e^(ax)-1、 f(x)≡-1、 f(x)=-e^(ax)-1 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 20:58] >>94 おみそれしますた。 98 名前：１３２人目の素数さん [04/08/09 20:58] では、桑垣に無い有名難問 R 上の定数でない実連続関数で、 f (x) + f (2x) + f (3x) = 0 を満たすものを一つ求めよ。 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:08] >98 有名問題ですか…、さっぱり分かりません。 ほかにもあったら、もっと教えて下さい。ﾊｧﾊｧ… 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:10] >>96 g(x)=f(log x) ってしてみてごらん 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:12] >>100 逆でしたまあいいか 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:17] (*ﾟ∀ﾟ)=3 ｳﾋｮｯ！ そんな手があるんですね。 gが f(x+y+z)= の等式をみたすから、解は… f(x)=e^(a(e^x))-1、 f(x)≡-1、 f(x)=-e^(a(e^x))-1 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:18] (；ﾟдﾟ) … 104 名前：１３２人目の素数さん [04/08/09 21:20] >>96>>100>>101 関数の定義域は与えられているのか自分d決めるのか? 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:22] 定義域は実数でやってます 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:27] >96を g(x)=f(e^x) としても、f(x+y+z)= をみたすから 　 f(x) = x^a-1, -1, -x^a-1 となりますか…。>102の結果と同じ？ 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:30] あぁそうか、g(x)=f(log x) だと g(x+y+z) = f(log(x+y+z)) で、みたさないのか… 　 ,､|,､ 　(f⌒i 　 U j.| 　　UJ 　　 ： 　 ‐＝‐ 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:38] >>98 [1,3]をf(1)+f(2)+f(3)=0となるような連続関数として決めたら、あとは帰納的に全部決まるんじゃ？ 1<x方向へは、まずf(x)=-{f(x/3)+f(2x/3)}で2x/3=3までつまりx=9/2まで決まる 次は2x/3=9/2つまりx=27/4まできまる・・・・ x<1方向へは、まずf(x)=-{f(2x)+f(3x)}で2x=1までつまりx=1/2まで決まる 次は2x=1/2までつまりx=1/4まできまる・・・・ そうか、f(0)=0で連続になるようにするわけか それは[1/2,1]での関数の値域が[1,3]でのそれよりも狭くなればいいわけだ 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:41] >>102 そのg(x)が定数関数だからf(x)は？ 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:46] 定義域の問題もあるのか… g(x)=f(e^x)とおくには、fの定義域が正の実数でないとダメか… 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:56] このスレ、積分方程式もOKですか? 112 名前：１３２人目の素数さん [04/08/09 21:58] >>108 だからどうしたのよ 定数以外にあったのか？ 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 21:58] この場合は f(x) が解ならば f(-x) も解なので g(x)=f(-e^x) とおくことができます。 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 22:02] >>110 g(x)=f(-e^x)でもいいよ 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 22:05] >111 積分方程式もOKです。とにかくﾊｧﾊｧ… >113 >f(x) が解ならば f(-x) も解なので この部分が分かりません。お願いします、 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 22:09] >>115 f(-xyz)=f((-x)(-y)(-z))=f(-x)f(-y)f(-z)+f(-x)f(-y)+f(-y)f(-z)+f(-z)f(-x)+f(-x)+f(-y)+f(-z) 117 名前：１３２人目の素数さん [04/08/09 22:13] >>115 >113 >f(x) が解ならば f(-x) も解なので この部分が分かりません。お願いします ＞>f(x) が解ならば f(-x) も解なので ＞この部分が分かりません。お願いします f (0) = 0 はすぐ出るから、 x が正の場合と不の場合に独立に考えてよいということ 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 22:19] なるほど、定義域が正の数で求めた解 (>106) 　 f(x) = x^a-1, -1, -x^a-1 について、F(x)=f(-x) を考えると、Fも関数方程式をみたすから解だと…。 気になるのは、f(x+y+z)=… の解を求めるときに、fは連続だとして求めたので、 x<0のときは、上の解は、aが偶数じゃないとヤバイ？ 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 22:43] f(x)≡0も解 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 22:57] f(x)≡0 は f(x) = x^a-1 に含まれてるじゃん。だめぽ漏れ 121 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 06:09] >>108 それだけでは恒等式は満たされない 122 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 09:12] >98を解説してください。 　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪ 　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ 　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪ 　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ 　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/" 　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　' 　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／ 　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､ 　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､ 　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、 　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/10 09:14] 発掘品を。 f(x+y+z)-f(x+y)-f(y+z)-f(z+x)+f(x)+f(y)+f(z)=0 124 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 10:42] >>123 「桑垣」に典型例として載っている。 125 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 10:48] >>123 「桑垣」には、 f(x+y+z)-f(x+y)-f(y+z)-f(z+x)+f(x)+f(y)+f(z)- f(0) =0 の形で載っていたから、 f(0)=0 として終わり。 126 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 11:04] たとえば f(x)=x とか f(x)=x^2 も満たしていますが… 127 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 11:05] 桑垣ッ！ 君の意見を聞こうッ！ 　　　　　　　　　　　　　　　 ､　　　　　‐;､ 　　　　　　　　　　　　 _,..rｰ' ｀``ヾヽ`､ﾉ i,, ､ 　 　　　　　　　　　　 i､|` ⌒ヾ ､`､／　 ノi　‐'ｿ 　　　 　　　　　　　　　　 ﾄ､/　　=｀ヽ　//／__ ヽ　￣ヽ 　　　　　　　　　　 'ｧl!　/　 ､､ i 〃, ‐､ ヽ |‐､ヾ ｀) 　 　 　 　 　 　　 　{i/,ﾉ　 | r=---‐ｧ |__{. { ､､ il>′ 　 　 　　　　　　　　{/ ,ﾉノ !|..:::.　 .:'）ﾉ　li; } l/ lヽ 　　　　　　　　　　 r''v‐'- .,,`＿::_＿,. -‐''iノ　丶｀ヽ 　 　 　 　 　 　 　　|{i ト ､;::: :::::;>‐<:::::: ;ィ′`''i ヽ,　l 　　　　　　　　　　　l>,i　 l ￣　 ,:::l;:'￣l |、 　　ヽ |! | 　　　　　　　　　　O'ri!l　 |　　　､;/　　'/ `O　　,!ﾉ / 　　　　　　　　　　　|＼ヽ　　-===-‐ /ﾉ!　　　く ｣'′ 　　　　　　　　　　　l｀`ヽ､＼　 'T''　/／!　　　_ﾉﾉ 　 　 　 　 　　　　　 |;;|｀`'〒,ヽ ＿,/'i'´ |､ 　　　　　　　　　 ,. ィ|;;`;;,､_|;;;;;;;;;|||;;;;;| _,.|└;_ 　　　　　　,.. ィ"i　 l　ヽ'､ ;;;;;;;:;;;;|||;;;;;;'／;//;;;ヽ、 ─-､‐''"´;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ヽ,` ｀`'''-､;○／;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;`''ｰ-=＝'''ヽ、 128 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/08/10 13:30] >>91 ０≦ｘのときｆ（ｘ）＝１であればｆ（ｘ）＝１またはｆ（−ｘ）＝１になる。 ｆ（ｘ）が−１と１にならないことの証明がない。 ｆ（ａ）＝１のとき 　ｆ（ｘ） ＝ｆ（（ｘ−ａ）＋ａ） ＝（ｆ（ｘ−ａ）＋ｆ（ａ））／（１＋ｆ（ｘ−ａ）ｆ（ａ）） ＝（ｆ（ｘ−ａ）＋１）／（１＋ｆ（ｘ−ａ）） ＝１。 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/10 17:30] なるほど。 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/10 17:32] f(xy-zw)=f(x)f(y)-f(z)f(w) をみたす連続関数fは、 f(x)=ax (aは任意定数) でよろしいでせうか？ 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/10 22:35] >130 ちがった、f(x)=x, f(x)≡0 だけか 132 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 22:46] >>98は周期関数を使わないとできそうにないと思うが．．． 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/10 22:49] では三角関数を使うのかな？ 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/11 05:16] >>98の問題について、 www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_pro_a090.htm の一番下の(注)に解答の指針が書いてあった。 誰か具体的に計算してみてくれ 135 名前：１３２人目の素数さん [04/08/11 09:31] むずかしいぽよ ○|￣|_ =３　ブッ 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/11 14:05] >>134 これはちょっとexplicitに表せてないんですっきりしな罠。 137 名前：１３２人目の素数さん [04/08/11 14:57] 　　　　　　　　　＿＿_ 　　　　　　　,∠==､ヽ `i'ｰ- . 　　　　　　/　　　　ヽ|　｢｀'ｰ､`ｰ､　　　　　　　　　　　 　　　 　 　l　　　　　ﾐ| /　　　`ｰ､ヽ　　････ｺﾞﾒﾝﾅｻｲ 　　　　　　j　　　　 R|ｲ ｰ-､.　　ﾉ7┐　 　　　　　　`Vﾊﾊﾊ/ヽ.｢~￣　｀''ｧf‐┘　　　　　　　　 .　　　　　　　　 `､ }ｰ-`､__..._／::l　　　　　 　　　　　　　　　　`|:::::::|ヽ／l:;:;:;| .　　　　　　 　 　　 |::::::::l:::::::::::::::l .　　 　 　　　　　　 l::::::::l:::::::::::::::l 　　　　　　　　　　 l:::::::::l::::::::::::::l 　　　　　　　　　　 l;::::::::{:::::::::::::l 　　 　 　 　 　 　 　`iiiiiiiﾊiiiiiiiij´ 　　　　　　　　　　∠-､ﾚ'ヽ〃〕 138 名前：１３２人目の素数さん [04/08/11 20:39] >>123-125 「桑垣」に ｘ　の高々二次関数と書いてある。 関数方程式を論ずるなら。、 桑垣アキラ、函数方程式概論、朝倉 ぐらいは読んでおけ。 139 名前：１３２人目の素数さん [04/08/12 00:15] f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y) をみたす関数f(x)をすべて求めよ。 ただしｆ（ｘ）は実数全体で定義され、実数値をとる。（高１レベル） 140 名前：１３２人目の素数さん [04/08/12 04:26] >>139 ＞f(x+y)=f(x)+f(y) は既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/12 09:12] >139 荒らすな、氏ね！ 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/12 09:31] 　　　　　　r;ｧ'N;:::::::::::::,ｨ／　　　　　 >::::::::::ヽ .　　　 　 〃　　ヽﾙ1'´　　　 　 　 ∠:::::::::::::::::i 　　 　 　 i′　　___,　-　,. = -一　 ￣ｌ:::::::::::::::ｌ .　　　　　 ! , -＝=､´r'　　　　　　　 　 l::::::/,ﾆ.ヽ　　　　　>>139 　　　　　　ｌ　　　　　　　　_,, -‐''二ゝ　 ｌ::::l fﾞヽ |、 ここはお前の日記帳じゃねえんだ 　　　 　 　 ﾚー-- ､ヽヾﾆ-ｧ,ﾆ;＝、_　　 !:::l ） } ト 　　　　　　 ヾ¨'７"ry､｀ 　 ｰﾞ='ニ,,,｀　 　 }::ヽ(ノ 　チラシの裏にでも書いてろ :ｰゝヽ､ 　 　 !´ "￣ 'l,;;;;,,,.、　　　　　　　,i:::::::ﾐ ::::::::::::::::ヽ.-‐ ﾄ、　r'_{　　 __)｀ニゝ、　 ,,iﾘ::::::::ﾐ ::::::::::::::::::::Vi／l:::V'´;ｯ`ﾆ´ｰ-ｯ-,､:::::`"::::::::::::::;ﾞ　, 　な！ :::::::::::::::::::::::::N. ﾞ､::::ヾ,.｀二ﾆ´∠,,.i::::::::::::::::::::/／／ :::::::::::::::::::::::::::::l　ヽ;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::／　／ ::::::::::::::::::::::::::::::!　:|.＼;::::::::::::::::::::::::::::::／　／ 143 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/08/12 13:00] >>83 ｘ＝０，ｙ＝０，ｚ＝０としてｆ（０）＝０，１／３。 ｙ＝０，ｚ＝０としてｆ（ｘ）＝ｆ（０）＾２／（１−２ｆ（０））。 144 名前：１３２人目の素数さん [04/08/12 23:29] >>140 f(xy)=f(x)f(y)がついているのは既出ではないんでは 145 名前：１３２人目の素数さん [04/08/12 23:30] いまさらだが「レッスド」って耳新しいな。 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/13 17:58] 次をみたす連続関数fを求められませぬ。 たのもー、たのもー f(xy) = {a{f(x)f(y)}+1} / {f(x)+f(y)} 147 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/08/13 19:00] >>1の解は>>123の解になる。 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/14 10:31] >146を解説してください。 　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪ 　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ 　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪ 　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ 　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/" 　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　' 　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／ 　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､ 　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､ 　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、 　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ 149 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/08/14 11:10] 方程式から簡単な関係を出すために 同じものが出るように代入する。 ｆ（ｘ）とｆ（ｙ）とｆ（ｘｙ）がある場合は ｘ＝ｙかｘ＝ｘｙかｙ＝ｘｙとなるようなものを代入する。 150 名前：１３２人目の素数さん [04/08/14 19:55] >>146 定数関数しかないじゃん 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/14 20:07] >150 それはどうかな、明智君！ aの値で場合分けするのは当然として、 鼻クソほじくって、よく考えろ！ 152 名前：１３２人目の素数さん [04/08/14 20:54] y = 1 と置くとおのずと･･･ 153 名前：１３２人目の素数さん [04/08/14 20:55] f(1)をまず求めにゃあかん 154 名前：１３２人目の素数さん [04/08/14 21:06] >>146 f(xy) のように、f の中に一次式以外のものが入ってきたら 定義域を決めるのが普通。 f(xy) = f(x) + f(y) のように。この場合はどこで考えているのかな。 x > 1000000000 かな? 155 名前：１３２人目の素数さん [04/08/14 21:43] それも含めて考えろと言う問題なんじゃない？ 156 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 04:43] 関数方程式って一般論無いの？ 157 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 07:52] 有る分けないがな 分類なら｢一般論｣はあるが。 158 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 08:13] ちょっと思いついた方法が、たとえばf,gを超幾何関数だと仮定して代入、 両辺を簡約化してf,gを具体的に出すとか。 これで何でも解けるとは思えないけど。 159 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 08:15] www.kudpc.kyoto-u.ac.jp/Service/Application/REDUCE/reduce3.7/node772.html こーゆーの使ってね。 関数方程式でも、クラスを限定すれば結構一般的解法はあるんじゃないかなぁ。 160 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/08/15 09:00] >>146 ａ≠１のときｆ（ｂ）≠ｆ（ｃ）となるｂ，ｃをとり ｆ（ｂ（ｃｘ））＝ｆ（ｃ（ｂｘ））を展開する。 161 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 21:53] >>146 f(xy) = {a{f(x)f(y)}+1} / {f(x)+f(y)} 定義域が正の数に限るなら、 g (x) = f(e^x) と置いて一般加法定理に帰着。 162 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 01:50] Meijer G Functionに有理数乱数を代入して関数テーブルを作り、 片っ端から関数方程式に代入というのを考えた。 163 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 01:59] documents.wolfram.com/v5/Built-inFunctions/MathematicalFunctions/HypergeometricRelated/FurtherExamples/MeijerG.html ね、たいていの関数方程式に出てきそうな関数は全部Meijer G Functionで 表せる訳よ。 引数ベクトルを指定して乱数成分とかを与えれば、ある限定されたクラスの 関数を全て網羅するテーブルが生成できることになる。 んでそいつを代入。 164 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 12:14] 桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣 165 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 22:35] >>164 桑垣にMeijer G Functionを使った方法が出てるのか？ 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/17 03:38] >146 a=1のとき, f(x) = coth[(c/2)Log(x)] = (x^c -1)/(x^c +1), c:定数. 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/18 21:33] f(x)+f(1/x)=c, cは定数 略解ぐらい欲しいものだ＞桑垣 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/18 22:18] >167 f(x) = c/2 + b*Log(x), b,c:定数 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/19 00:26] >168様。 一体どうやって解くのでしょうか？ この愚か者めに教えてちょんまげ！ 170 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/08/19 07:00] ｆ（ｘ）＝ｃ／２＋（ｘ−１／ｘ）ｇ（ｘ＋１／ｘ）。 171 名前：１３２人目の素数さん [04/08/19 13:01] 解き方を教えろっちゅーに。 172 名前：１３２人目の素数さん [04/08/19 13:10] >170 前から気になるのだが、BhMath2chk の意味を教えれ！ Bh … 意味不明。 Math2chk … これは分かる、2ch数学板ｷﾗｰ、つまり「数ヲタ殺し」だな。 173 名前：１３２人目の素数さん [04/08/19 13:29] >168 正しい答えは こうじゃないかね？ ゴゴゴゴゴ… 　f(x) = c/2 + b*Log|x|, b,c:定数 丈太郎ッ！ 君の意見を聞こうッ！ 174 名前：１３２人目の素数さん [04/08/19 14:21] それは証明と、 定義域がそこに行き着いた 理由を聞いてから。 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/19 15:03] ある関数方程式を解いていて、 任意の実数xに対して f(2x)=f(x) をみたす f(x) は 定数関数に限りますよね？ 176 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/08/19 19:04] Re:>175 0でのみ異なる値をとる関数というのもある。他にもたくさんある。 177 名前：１３２人目の素数さん [04/08/19 19:10] >>175 そうでもないよ。ディリクレ関数なんかは違うと思うが。 178 名前：１３２人目の素数さん [04/08/19 20:29] >>175 連続ならそれのみだが、それ以外に沢山有る。 179 名前：１３２人目の素数さん [04/08/20 09:46] >>175 区間 (-2, -1], {0}, [1, 2) で f を任意に定めれば f(2x)=f(x) を満たす f が一意に定まる。 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/21 12:08] >>167 f(x) = c/2 +{h(x)-h(1/x)}･g(x+1/x). 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/21 20:41] だめだこりゃ 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/22 01:22] レッスド だからな。 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/24 16:53] f(x+y) = {f(x)}^2+f(y) …(1) をみたす実関数fを求めよ。 (1)に x=0を代入して f(0)=0 (1)に y=0を代入して f(x)={f(x)}^2 …(2) (2)から、各xについて f(x)=0 または f(x)=1が成り立つ. fの連続性が仮定されていなかったら、f(x)≡0 または f(x)≡1 は出せませんよね？ 184 名前：１３２人目の素数さん [04/08/24 18:39] >>183 f(x)≡0 はでてくるがな 185 名前：１３２人目の素数さん [04/08/24 22:49] がながな 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/25 03:52] 関数方程式を解く仮定で、x=0 とか x=y を代入して、 既知の関数方程式に帰着させたりして解くけど、 得られた解は必要十分でしょうか？ 元々の関数方程式を満たすことを確認して完成でしょうか？ 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/25 09:15] いや十分ではない。 f(x+y)=x+2y には解はない。 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/25 15:47] なるほど、ありがとうございます 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/30 06:09] 関数方程式にハマってしまった。パズルみたいだからかな？ 任意の実数x,yに対して、次をみたす関数fを求めよ。 (1) f(x+y) = f(x)f(y)f(xy) 　[INMO 2001] (2) f(xy){f(x)-f(y)} = (x-y)f(x)f(y) 　[IMO shortlist 2001] 　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪ 　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ 　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪ 　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ 　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/" 　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　' 　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／ 　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､ 　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､ 　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、 　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/30 17:21] 　　　　　　　　 ＿＿＿ 　　　　　　　.／　 nCr ＼　　　神降臨まだぁ〜 　　　　　　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ 　　　　　　　|::::: (●　(● | 　　　　　　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆ 　　　　　　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆ 　　　　　　|＼￣￣￣￣旦￣＼ 　　　　　　|　|￣￣￣￣￣￣￣| 　　　　　　＼|　　愛媛みかん　| 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/30 22:58] >>189 (2) f(x)≠0ならばy=1を代入して、 f(x)(f(x)-f(1))=(x-1)f(x)f(1) 両辺をf(x)で割って f(x)-f(1)=(x-1)f(1) よって f(x)=cx 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 01:26] >189(2) y=1 を代入して f(x){f(x)-xf(1)}=0 各xに対して、f(x)=0 または f(x)=xf(1) が成り立つ。 fの連続性が仮定されているならば、f(x)=ax (aは任意定数) が解。 連続性が仮定されてないから、どうやればよいのか… 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 02:56] わからんちん 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 03:06] >192から続けると、 　「各xに対して、f(x)=0 または f(x)=xf(1) 」 どちらの場合にも f(0)=0 が成立。 f(c)=0 をみたす c≠0 が存在しないとき、 f(x)=xf(1) より f(x)=ax, a≠0 を得る。 f(c)=0 をみたす c≠0 が存在するとき、 与式に y=c を代入して f(cx)f(x)=0 が任意のxに対して成り立つ。 　「各xについて、f(cx)=0 または f(x)=0」 これから f(x)≡0 が言えれば楽なのだが…。 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 04:06] >>189(1) f(x+y)=f(x)f(y)f(xy) 与式に x=y=0 を代入して f(0)={f(0)}^3 より、f(0)=0,1 f(0)=0 のときは、与式に y=0 を代入して f(x)≡0 f(0)=1 のとき…、どうするんだろう？ 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 04:13] >>194 c≠0 を勝手な定数としたとき、 f(x)= cx (x≧0 のとき), 0 (x<0 のとき) とか、 f(1)=c, f(x)=0 (x≠0 のとき) はこの関数方程式の解なので、一筋縄ではいかないみたい。 一般に、乗法群 R-{0} の部分群 S が与えられたとき、 f(x)=cx (x∈S のとき), 0 (x∈S でないとき) も解だけれど、これが答？ 197 名前：196 mailto:sage [04/08/31 04:15] > f(1)=c, f(x)=0 (x≠0 のとき) f(1)=c, f(x)=0 (x≠1 のとき) 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 05:02] >189(2) の IMO shortlist は解答をwebで晒してないのかなぁ？ 自分は よう見つけられなんだけど…。 >195 >f(0)=1 のとき… もしf(a)=0をみたすa≠0が存在するとすると、 与式にy=aを挿入して、任意のxに対しf(x+a)=0が成り立つことになるが、 x=-aのときf(0)=0となって仮定に反する。 とりあえず、f(0)=1のときには、fは0にならない。 これが分かっても、なんにもならんなぁ…、だめぽ 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 06:21] >195 >与式に x=y=0 を代入して f(0)={f(0)}^3 より、f(0)=0,1 f(0)=0,1,-1 だった。 結局、答えは f(x)≡0,1,-1 になりそうな予感。 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 07:01] 問題 f(f(x)+y)-f(f(y)-x)=2x をみたす実関数f(x) 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 07:25] >196 は正しいみたい。 必要条件を示す。f(1)=c≠0 のときを考える。 >194 より、f(x)≠0 と f(x)=cx は同値となることに注意する。 S={x∈R | f(x)≠0} とおくと、S は乗法に関し群となることを示す。 0) 1∈S は f(1)=c≠0 より明らか。 1) x,y∈S かつ x≠y ならば xy∈S となること。 f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y) の右辺≠0 より、f(xy)≠0. 2) x∈S ならば 1/x∈S となること。 x=1 ならば 1/x=1∈S なので、x≠1 としてよい。 f(1)(f(x)-f(1/x))=(x-1/x)f(x)f(1/x) である。 ここで、f(x)-f(1/x)=c(x-1/x) または f(x)-f(1/x)=cx であるが、 いずれの場合も f(x)-f(1/x)≠0 なので f(1/x)≠0 となる。 3) x∈S ならば x^2∈S となること。 この場合も x≠1 としてよい。 f(x)(f(1/x)-f(x^2))=(1/x-x^2)f(1/x)f(x^2) であるが、 2) より f(1/x)≠0. f(1/x)-f(x^2)=c/x または f(1/x)-f(x^2)=c(1/x-x^2) だがx≠1 より 1/x-x^2≠0 なので f(1/x)-f(x^2)≠0. したがって左辺≠0 なので f(x^2)≠0. 0)-4) により、S は乗法に関し群となることがわかった。 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/31 21:57] (1) f(f(x)+x) = f(x) (2) f(f(x)+y) = f(x)+f(y) 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/01 00:28] >189 (2) f(a)=0 となる a が存在すれば、任意の x に対し f(x)=f(a)f(x-a)f(a(x-a))=0 となる。 そこで、f(x)=0 となる x が存在しない場合を考える。 f(x) が解のとき g(x)=-f(x) とおくと、 g(x+y)=-f(x+y)=-f(x)f(y)f(xy)=(-f(x))(-f(y))(-f(xy))=g(x)g(y)g(xy) より、g(x) も解となるので、f(0)>0 となる解を決定すればよい。 f(0)=f(0)^3 より、f(0)=0, ±1 なので、f(0)=1 である。 f(x-1)=f(x)f(-1)f(-x)=f(-(x+1)) より、f(-2)=f(0)=1. 一方、f(x+1)=f(x)f(1)f(x)=f(1)f(x)^2 より f(0)=f(1)(f(1)f(-2)^2))^2=f(1)^3f(-2)^4=f(1)^3 なので f(1)=1 である。 したがって f(x+1)=f(x)f(1)f(x)=f(x)^2 なので、 任意の x に対し、f(x)>0 であり 任意の整数 n に対し、f(n)=1 となる。 f(x)=f(x+1)f(-1)f(-x-1)=f(x)^2 f(-x-1) なので f(x)f(-x-1)=f(x)√f(-x)=1. よって f(-x)=1/f(x)^2. x に -x を代入して f(x)=1/f(-x)^2=f(x)^4 なので f(x)=1. したがって、f(0)>0 となる解は f(x)≡1 に限り、f(0)<0 となる解は f(x)≡-1 に限る。 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/01 04:45] >>203 なるほど、そうやるのか！ さすがです。ありがとうございます。 　　　　　　　　 ＿＿＿ 　　　　　　　.／　 nCr ＼　　　神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！ 　　　　　　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ 　　　　　　　|::::: (●　(● | 　　　　　　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆ 　　　　　　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆ 　　　　　　|＼￣￣￣￣旦￣＼ 　　　　　　|　|￣￣￣￣￣￣￣| 　　　　　　＼|　　愛媛みかん　| 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/01 04:57] >202 (1) 　f(f(x)+x) = {f(x)+x}-x と変形して、z ∈ A = {f(x) | x∈R}として 　f(z+x) = z-x を考えていたけど挫折。 >202 (2) 与式のxとyを入れ替えた式の右辺は、元の右辺に等しいから 　f(f(x)+y) = f(f(y)+x) もし、fが単射であることが証明されれば、 　f(x)+y = f(y)+x より、f(x)-x = f(y)-y は変数に無関係な定数となって 　f(x) = x+c （cは任意定数） 単射であることが言えればナー 206 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/09/01 07:00] >>189 　ｆ（ｘ＋ｙ＋ｚ） ＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ＋ｚ）ｆ（ｘ（ｙ＋ｚ）） ＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）ｆ（ｚ）ｆ（ｙｚ）ｆ（ｘｙ）ｆ（ｘｚ）ｆ（ｘ＾２ｙｚ）。 ｆ（ｘ＾２ｙｚ）＝ｆ（ｘｙ＾２ｚ）。 ｘｚ＝１，ｙ＝１としてｆ（ｘ）＝ｆ（１）。 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/01 23:32] >206 こりゃ思いつかんわ。 >189(2) と 202(1)(2) をたのもー 208 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/09/02 07:00] >>202 ｆ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）。 ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｘとするとｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＋ｘで ｆ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）はｇ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｇ（ｙ）となるので ｆ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）という条件は ｆ（Ｒ）の元がｇの周期になることと同じ。 ｆが連続のときのｆは０とｘ＋ａ。 ｆが連続でない解の例はｈを［０，１）−＞Ｚの関数 ｎをｘの整数部分としてｆ（ｘ）＝ｎ＋ｈ（ｘ−ｎ）。 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 08:30] 任意の実数xに対して f(f(x))=x の解はどうなるのでしょう？ とりあえず fは全射。 f(x)=f(y)のとき、x=f(f(x))=f(f(y))=yより単射だから、与式は 　f(x)=f^{-1}(x) これ以上の情報は得られないのかなぁ…。 たのも〜 （ＡＡ略） 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 08:47] >>209 f=f^-1　なので、y=f(x) のグラフが直線 y=x に関して 対称になるものはすべて解になります。 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 08:58] >210 ありがとうございます。次の解はどうなりますか？ 　f(xf(y)) = yf(x) x=y=0を代入して、f(0)=0 y=f(x)を代入して、f(x^2) = {f(x)}^2 ≧ 0 y=xを代入して、f(xf(x)) = xf(x) これから>210の解の一部だろう…、とここまではいけましたが。 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 10:07] >211　f(xf(y)) = yf(x) x=y=0を代入して、f(0)=0 y=f(x)を代入して、f(x^2) = {f(x)}^2 ≧ 0 y=xを代入して、f(xf(x)) = xf(x) 与式でxとyを交換した式を与式に代入して f(f(xf(y))) = f(yf(x)) = xf(y) A={xf(y) | x,y∈R}, B={xf(x) | x∈R} とおくと 　x∈Aのとき f(f(x))=x, x∈Bのとき f(x)=x これ以上わからんちん。たのも〜 （ＡＡ略） 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 11:09] f(a)=0 となる a≠0 が存在したとすると、 f(xf(a))=af(x) より　0=f(0)=af(x). 次に、そのような a は存在しないとする。 b=f(1) とおくと、 f(b)=f(1・f(1))=1f(1)=b よって b は f(x) の不動点である。 f(1・f(x))=xf(1) より f(f(x))=bx. また、 f(b・f(x))=xf(b) より f(bf(x))=bx. b≠0 なので>>209 と同じ論法により、f(x) は全単射。よって f(x)=f^-1(bx), bf(x)=f^-1(bx) これより b=1 でなければならない。 よって　f(f(x))=x >>210 より、y=f(x) のグラフは y=f(x) に関して対称になる。 ところが、このような関数は次の２つのタイプしかない。 (1) y=x (2) 単調減少：x>1 の範囲に f(x) の零点が１つある。 (2) は仮定に反するので、(1)のケースしかありえない。 以上をまとめると、f(x)=0 または　f(x)=x となる。 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 11:13] >>210 より、y=f(x) のグラフは y=f(x) に関して対称になる。 y=f(x) のグラフは [y=x] に関して対称になる。 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 11:29] しまった。>>213 の分類には f(x) の連続性を仮定している。 連続を仮定しなければ、他にも>211の解はある。 f(x)=1/x 216 名前：211 mailto:sage [04/09/04 11:45] あぁ確かに…。 　f : R(+)→R(+)、lim[x→∞]f(x)=0 の解を求めさせる問題が 1983.IMO でした。その解が f(x)=1/x 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 11:46] R(+) は正の実数の意味で書きました。 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 14:12] y=f^-1(z)　を元の式に代入すれば、f=f^-1 だから f(xz)=f(x)f(z) になる。f の不動点集合を S とすれば、 log S={log a|a∈S} は Q-vector space になる。 S={-1,0,1} のときは xf(x)∈S だから xf(x)=±1 になる。 sgn f(ab)=sgn f(a)・sgn f(b) より、 sgn f(a)={sgn f(√a)}^2=1.　よって f(x)=1/x S=R のときは y=x. それ以外のときは S は dense set になる。 Q に関する R の Hamel basis を A_1∪A_2∪A_3 (背反和）とする。 ここで A_1 は log S の基底、＃(A_2)=＃(A_3) となるように取る。 F:A_2→A_3 （全単射）を固定する。 f(p):=F(p),p∈A_2；f(q):=F^-1(q),q∈A_3 とし、 f の乗法性を用いて R 全体に f を拡張する。それは明らかに f(f(x))=x をみたしている。 以上より、S により解を場合分けすると、 (1) S={0}　f(x)=0 (2) S={-1,0,1} f(x)=1/x, f(0)=0 (3) S=R f(x)=x (4) それ以外。上の構成法による解。 219 名前：訂正 mailto:sage [04/09/04 14:15] f(exp p)=exp F(p)　 p∈A_2 f(exp q)=exp F^-1(q)　q∈A_3 でした。 220 名前：１３２人目の素数さん [04/09/05 17:56] そろそろ｢桑垣｣から又一丁出すか 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/05 19:09] >220 どうぞ出してください。「桑垣」とやらの本から。 それで満足したら帰ってください。 イオナズンのガイドラインPart5 that3.2ch.net/test/read.cgi/gline/1088477164/ 222 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 18:39] では｢桑垣｣からごく簡単なのを一題。 k ＞ 0 (定数)とするとき f (x + y) = k*f (x)*f (y) 少しづつ難しくしていくぞ。 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 19:43] >>222 g(x)=k f(x) とおけば、g(x+y)=g(x)g(y). 連続な解は g(x)=exp(cx) または g(x)≡0. よって、f(x)= (1/k)exp(cx) または f(x)≡0. 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:28] >>222 あれあれ、レスが止まってますよ？ 進行役はしっかり動きましょうよ！ 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 23:40] 　　　 ＿＿＿　　　　しょうがないなぁ 　　.／　　≧　＼　　　222が来るまで、私が相手だ！ 　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ 　　|::::: (●　(● |　　　　　　　ﾊﾞｰﾝ！　不等式ヲタが現れた！ 　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆ 　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆　　　【問題】 　|＼￣￣￣￣旦￣＼　　　　正の実数上で定義された実数値連続関数 f, g, h で 　|　|￣￣￣￣￣￣￣|　　　　　　f(x+y)+g(xy) = h(x)+h(y) 　(x,y>0) 　＼|　　愛媛みかん　|　　　　をみたすものをすべて求めよ。 226 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 22:17] >>224 簡単すぎたからレスしなかったんだ。 勿論正解。 それに私は忙しいので、毎日見る暇も無い。 次の問題はもう少し後で。 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 22:31] >226 ケッ！ ヤル気ね〜奴め シヌェ！ 228 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 23:41] では（その２）｢桑垣｣53p から。 a, b, c, d を定数として、 f (x + y) + f (x - y) = a*f (x)*f (y) + b*f (x) + c*f (y) + d 229 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 23:04] ケッ！ 解けね〜奴め シヌェ！ 230 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 23:08] グリーン関数について語れ。 King以外でよろ 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 06:21] >230 232 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 09:22:34] 解答を作ったのにレスをつけないと文句を言うくせに 解けないときは解けないと正直に言わないんだな 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 10:12:33] >>232 簡単すぎたからレスしなかったんだ。 234 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 13:22:59] >>233 では書いてみろ (それほど難しくないのは確かだが) 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 13:26:24] ﾏｽならいくらでもかいてやる。 236 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 13:33:52] では、｢桑垣｣100p. から難問を一つ。 f (x + y) = g (x)*h (y) + k (x) + l (y). 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 19:06:05] >234 場合分けがややこしくて… 　　　　　　　　　　　○|￣|_ =3 ﾌﾞｯ 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 19:36:52] >>237 では a ≠ 0 でいいよ。 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/16 23:29:48] f(x,z)+f(y,z)=f(xy,z), xyz≠0 f(x,y)+f(x,z)=f(x,yz), xyz≠0 f(x,1-x)=0, x≠0,1 をみたすf(x,y)は定まりますでしょうか？ 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/17 00:05:01] はじめの２条件をみたす連続な解 f : (R-{0})×(R-{0}) は 　 f(x,y)=c(log|x|)(log|y|) でＯＫですか？ ３番目の条件も考えると f(x,y)≡0 でＯＫですか？ 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/17 08:23:12] ちがうっぽい… 242 名前：１３２人目の素数さん [04/09/17 12:11:31] >>239 universal symbol K_2 (R) 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/17 14:40:34] >242 はぁ？ 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/21 21:55:03] f:N→N f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-1996 をみたす関数を求めよ。 やり方を教えて下さいぽよ。 245 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/21 22:15:49] Re:>244 f(n+2)≠0とすると、f(n+3)=(f(n)+f(n+1)+1996)/f(n+2). f(n+2)≠=0とすると、f(n)+f(n+1)=-1996,f(n-1)+f(n)=-1996となる。 ここから、f(n+1)=f(n-1)が分かる。 f(n-2)+f(n+1)=(-1996-f(n+1))f(n+1)-1996が得られる。 これをf(n+1)について解くと、x^2+1997x-1996-f(n-2)の根であり、 f(n+1)=(-1997­ 246 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/21 22:16:11] Re:>244 すまね、手が滑った。 247 名前：１３２人目の素数さん [04/09/21 23:42:36] >>245-246 この落書きは？ 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/22 00:13:15] >>244 勘でf(偶数)=α、f(奇数)=βの形を仮定すると α+β=αβ-1996 (α-1)(β-1)=1997 より(α,β)=(1998,2),(2,1998)。なんとなくこんな形しかない羊羹。 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/22 11:47:01] 神降臨待ち 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/23 19:05:13] f(n)+f(n+1) =f(n+2)f(n+3)-1996 f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)f(n+4)-1996 より、 f(n)-f(n+2)=f(n+3){f(n+2)-f(n+4)} …(#) よって f(n+2)-f(n+4) は f(n)-f(n+2) の約数である。…(*) また、f(n+3)>0 と(#)より、２つの数列 A:f(1), f(3), f(5), f(7),...と B:f(2), f(4), f(6), f(8),... はそれぞれ狭義単調増加(or減少）数列または定数列である。 しかし、fの値域が自然数なので、単調減少はありえない。（マイナスになってしまう） また、数列の第２項以降の中に 1 が含まれている場合は、 その数列はすべて 1 になる（狭義単調増加が不可能だから）。…(**) (*)より、|f(n+4)-f(n+2)|≦|f(n+2)-f(n)|. この式を recursive に使えば、必ず等号が成り立つ n が存在する。 その n に対して(*)式の f(n+3)=1 が成り立つ。 (**)より、A,B の少なくともどちらか一方が 1 の定数列になる。 後はそれぞれの場合について、f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-1996 を使って値を求めていけばよい。 (1) A が 1 の定数列の場合、f(n) の値は 1 a 1 a+1997 1 a+1997*2 1 a+1997*3 … (2) B が 1 の定数列の場合、 b 1 b+1997 1 b+1997*2 1 b+1997*3 … a,b は任意の自然数。 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/23 20:05:13] >>248>>250 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/25 00:05:29] f : N→N f(x+f(y)) = f(x)+y をみたす関数を求めよ。こやつめを たのもー (ＡＡ略) x=y=1を代入して f(1+f(1)) = f(1)+1 a=1+f(1) は f の不動点で、条件 f : N→N より、a≧2 任意の自然数 k に対して f(ka)=ka の成立が帰納法で示せる。 ここで止まった ○|￣|_ =3 ﾌﾞｯ 253 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/09/27 03:00:00] ａをｆ（ａ）＝ａを満たす正の整数とする。 ｆ（ｘ＋ａ）＝ｆ（ｘ＋ｆ（ａ））＝ｆ（ｘ）＋ａ。 ｆ（ｆ（ｘ））＝ｆ（ａ＋ｆ（ｘ））−ａ＝ｆ（ａ）＋ｘ−ａ＝ｘ。 ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ＋ｆ（ｆ（ｙ）））＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）。 ｆ（ｘ）＝ｆ（１）ｘ。 ｆ（ａ）＝ａからｆ（１）＝１なのでｆ（ｘ）＝ｘ。 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/27 04:54:21] >253 3行目の ｆ（ｆ（ｘ））＝ｆ（ａ＋ｆ（ｘ））−ａ が謎々博士 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/27 17:09:58] 昨日まで無職童貞だったけど、これは面白かった。 マジおすすめ。（なんのこっちゃ） f : R→R f(x+y)+f(x)f(y) = f(xy)+f(x)+f(y) 256 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/09/27 23:00:00] ｆ（ｘ＋ａ）＝ｆ（ｘ）＋ａのｘにｆ（ｘ）を代入してｆ（ｆ（ｘ）＋ａ）＝ｆ（ｆ（ｘ））＋ａ。 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/27 23:04:47] >255 訂正。 R^(+)={x \in R | x>0} f : R^(+)→R^(+) f(x+y)+f(x)f(y) = f(xy)+f(x)+f(y) 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/28 01:25:58] >256 なるほど。 ありがとうございます。 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 16:37:48] この問題を お願いしますだ。 次をみたす f は存在しないことを示せ。(1998 Bulgaria) f : R^(+)→R^(+) {f(x)}^2 ≧ f(x+y){f(x)+y}. (1998 Roumania) Find all functons g : R→R for which there exists a strictly monotonic function f : R→R such that 　 f(x+y)=f(x)g(y)+f(y), 　x,y∈R. 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 21:49:26] >259の上側の問題 条件をみたす f が存在すると仮定して矛盾を導く。 与式に y=x(>0) を代入して、{f(x)}^2 ≧ f(2x){f(x)+x} > f(2x)f(x) 条件より f(x)>0 だから、f(x)>f(2x) 与式に y=f(x) を代入して {f(x)}^2 ≧ 2f(x+f(x))f(x) f(x)>0 より、f(x) ≧ 2f(x+f(x)) これ以上 分かりません ○|￣|_ =3 ﾌﾞｯ 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 22:25:49] >259の下の問題 >strictly monotonic function f : R→R この狭義単調関数って、狭義単調増加関数か狭義単調減少関数で 定数関数は含まないんですよね？ 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 22:42:04] >259の下の問題 与式に x=0 を代入して整理すると、f(0)g(y)=0 f(0)≠0 のとき g(x)≡0. このとき与式は f(x+y)=f(y) より、f は定数関数となって条件に反する。 f(0)=0 のとき、与式に y=0 を代入して整理すると、f(x){1-g(0)}=0. f は定数関数でないから g(0)=1. これ以上 分かりません ○|￣|_ =3 ﾌﾞﾘﾌﾞﾘｯ！ 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 23:42:53] 　　　　　/ /　　.,' /　 /　　　 ,　 ',　 '、　ヽ　 ヽ,　 ヽ. ヽ,ヽ＼. 　　',　 , '　　　　　　_,, .　　　　/ /　 　.i ,' 　.,'　　　　ﾄ　 ﾞ、　'､.　 ﾞ､　　'､　 ヽ、ヽ＼ヽ　　i／　　　　　 ／ .　　 　,'　i　　　.i ! 　 !　　 !　 ﾊ　 .i､　,ﾙ--,､、　 ﾞ､ ﾞ、'､､ ﾞ､ヾ､ﾞｖ',ﾉ　　　　　 , ' 　　　 ,　.i 　　　l l　 _i､- -ﾄ.　i ',　 !ﾞｒ'´ !ﾞ,　',ﾞ,｀ヽ、i　ﾞ,. ﾞ,ヽ ',. ﾞ,'､ﾞ、　　　　 , ' 　　　 i.　l.　　　 !,r'".i| 　 'l　 ,'　!　'　i　,ｊ､L_l',i ',　　i.　i　i. ﾞ､.i　ﾞ,ﾞ､',　　　 , ' 　　　 !.　ｌ　　　 ', ',　!', ,,,'_ﾄ./　 ! ,'　 ｒ',ｒ''‐=-ヽ,',. 　!　l　l　 ',l　 ﾞ､',ﾞ, 　 , ' 　　　 l　 ',　　 　',ヾ,r''-=:-､､　 '/　　ﾘ ﾄ-ｲiii::ﾊﾞi.　,i　,i　ﾊ 　! 　 ',ﾞ,i ／ 　　　 ',　 ﾞ,　　　 ',,i ﾄ-ｲiii:::ﾊ　'　　　　 !ゞ::!r''::ﾘ,l. ,'.! ,'.ｊ/ ﾞ,', 　 　 ﾚ!ﾞ 　　 　 i.　 ', 　 　 'l{. !ゞ::!!r''ﾘ　　　､.　　ヽ-=='　,'ｲ.,'/.ﾒ;　.i',',　 　 !.! 　　　　', ./ '、　　 ',　`‐-‐ '　　,-‐　''',　　　　　　j,'／　i. ,' ',', 　 .,' 　　　　 ', ﾞ ､ヽ 、.　',　　　　　　{　　　 }　　　　 ,. '"　 　.l.,'　i !　 .,' 　　たのも〜！！ 　　　　　'､'､｀`､ﾞ､　 ﾞ､.　　　　　ﾞ､　　ﾉ　　,､‐'"i　　　　 !', ' ',.!　/ .　　　　　 ' ,ヽ, ヽヽ　ヽ`' ‐-　､、,｀,,´､-ﾔ　 ',　ﾞ,　　　 , '　　i.!,.' 　　　　　　 ヽ､＼ヽ＼ ヽ,､ゝr'ヽ　　　　 ﾊ 　 ',　', 　 , '　　　j,' 　　　　　　 　 ヽ. ヽ`,>ﾄ､v　.!　　　　　 ﾉ　ﾞ,　 ﾞ､ ', ./　　　　/ 　　　　　　　　　　／　l　i＼iヽ､,　　 ／,､‐'　　 ヽy'　　　　 ' .　　　　　　　　.／　 　',. !　 ゝ--｀‐´''´　　　　　 ＼ 264 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/10/01 08:00:00] ｘ，ｙを正の数とする。 ｆ（ｘ）＾２≧ｆ（ｘ＋ｙ）（ｆ（ｘ）＋ｙ）≧ｆ（ｘ＋ｙ）ｆ（ｘ）で ｆ（ｘ）≧ｆ（ｘ＋ｙ）となるのでｆは減少関数。 ｆ（ｘ＋ｙ）≦ｆ（ｘ）＾２／（ｆ（ｘ）＋ｙ）≦ｆ（ｘ）−ｙ＋ｙ＾２／ｆ（ｘ）。 ｎ，ｋを０≦ｋ＜ｎを満たす整数として ｘ，ｙにｘ＋ｋｙ／ｎ，ｙ／ｎを代入して 　ｆ（ｘ＋（ｋ＋１）ｙ／ｎ） ≦ｆ（ｘ＋ｋｙ／ｎ）−ｙ／ｎ＋ｙ＾２／ｎ＾２ｆ（ｘ＋ｋｙ／ｎ） ≦ｆ（ｘ＋ｋｙ／ｎ）−ｙ／ｎ＋ｙ＾２／ｎ＾２ｆ（ｘ＋ｙ）。 ｋについての和をとって ｆ（ｘ＋ｙ）≦ｆ（ｘ）−ｙ＋ｙ＾２／ｎｆ（ｘ＋ｙ）。 ｎ−＞∞としてｆ（ｘ＋ｙ）≦ｆ（ｘ）−ｙ。 ｆ（ｘ）＜ｙのときｆ（ｘ＋ｙ）＜０となるので条件を満たすｆは存在しない。 ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）＋ｆ（ｙ）。 ｆ＝０のときｇは任意の関数。 ｆ≠０のときｆ（ａ）≠０となるａが存在する。 ｆ（ａ＋（ｘ＋ｙ））＝ｆ（（ａ＋ｘ）＋ｙ）を展開してｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）。 ｆ（ａ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ａ）＋ｆ（ａ）。 ｆ（ａ）（ｇ（ｘ）−１）＝（ｇ（ａ）−１）ｆ（ｘ）。 ｇ（ｘ）−１＝ｂｆ（ｘ）。 ｂ＝０のときｇ＝１でｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）。 ｂ≠０のときｆ（ｘ）＝（ｇ（ｘ）−１）／ｂでｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）なので ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）＋ｆ（ｙ）を満たす。 265 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/10/01 19:00:00] ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）＋ｆ（ｙ）。 ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）＋ｆ（ｙ）＝ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｙ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）。 ｆ（ｘ）（ｇ（ｙ）−１）＝ｆ（ｙ）（ｇ（ｘ）−１）。 ｆ≠０，ｇ≠１のときｇ（ａ）≠１となるａが存在する。 ｂ＝ｆ（ａ）／（ｇ（ａ）−１）とおくとｆ（ｘ）＝ｂ（ｇ（ｘ）−１）でｆ≠０なのでｂ≠０。 ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）＋ｆ（ｙ）からｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）。 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 04:31:11] >264-265 どうもありがとうございます。 >264の４行目の不等式の右側の 　 f^2/(f+y) ≦ f-y + y^2/f は、どうやって作ったのですか？ 確かに差をとれば y^3/{f(f+y)} > 0 となりますが… ＞ｆ（ａ＋（ｘ＋ｙ））＝ｆ（（ａ＋ｘ）＋ｙ）を展開してｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）。 ここの部分に (;´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／/ア／/ア！！ 267 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/10/02 22:00:00] ０≦ｗのとき １／（１＋ｗ）＝１−ｗ＋ｗ＾２−ｗ＾３／（１＋ｗ）≦１−ｗ＋ｗ＾２。 　ｆ（ｘ）＾２／（ｆ（ｘ）＋ｙ） ＝ｆ（ｘ）／（１＋ｙ／ｆ（ｘ）） ≦ｆ（ｘ）（１−ｙ／ｆ（ｘ）＋ｙ＾２／ｆ（ｘ）＾２） ＝ｆ（ｘ）−ｙ＋ｙ＾２／ｆ（ｘ）。 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 03:33:57] >267 なるほど なるほど！ ありがとうございます。 269 名前：１３２人目の素数さん [04/10/07 21:36:54] 341 270 名前：LettersOfLiberty ◆rCZIZG7cQU [04/10/07 22:01:18] うんこ食べたよ 271 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/07 22:02:48] Re:>270 そんなことより、関数方程式について考えてくれ。 272 名前：１３２人目の素数さん [04/10/07 22:04:25] >>270 トリップ割れでもしてんのか？ 273 名前：LettersOfLiberty ◆rCZIZG7cQU [04/10/07 22:05:37] ＵＦＪ食べたよ 274 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/07 22:08:44] Re:>273 訳の分からぬ言葉を使うな。 275 名前：LettersOfLiberty ◆rCZIZG7cQU [04/10/07 22:17:42] ＵＦＪおいしい 276 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 02:45:24] 277 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 07:01:16] f : Q^(+) → Q^(+) f(1/x)=f(x) f(x+1)=(1 + 1/x)f(x) をみたす関数 f をお願いしまする。 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 08:40:59] 条件より f(x)>0 なので、g(x)=f(x)/f(1) とおくと g(1)=1 で、 　g(1/x)=g(x) 　g(x+1)=(1 + 1/x)g(x) をみたす。第２式を変形して g(x+1)/(x+1) = g(x)/x これを繰り返し用いて、自然数 n に対して 　1 = g(1)/1 = g(2)/2 = … = g(n)/n より、g(n)=n を得る。あと分かったことは、有理数 x に対して 　g({x+1}/x) = g(1/x + 1) = (x+1)*g(1/x) ここで小一時間悩んで挫折しました。一つ目の条件式を、まだ使ってないし…。 たのも〜。 ＿ﾄ￣|○ 279 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/10/13 09:00:00] ａ／ｂが既約分数のときｆ（ａ／ｂ）＝ａｂｆ（１）。 証明はａ＋ｂについての数学的帰納法。 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/17 10:27:56] [Austrian-Polish 1994] a,bは実定数のとき、次式をみたす関数 f : R^2 → R を求めよ。 　f(x, y) = af(x, z)+bf(y, z) 多変数のときって、難しそうなんですが…。 桑垣の本を借りてくるか…。 281 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/10/17 19:00:00] ｆ＝０は条件を満たす。 ｆ≠０とする。 ｙ，ｚにｘを代入して（１−ａ−ｂ）ｆ（ｘ，ｘ）＝０なので ａ＋ｂ＝１またはｆ（ｘ，ｘ）＝０。 ａ＋ｂ＝１のときｙにｘを代入してｆ（ｘ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｚ）なので ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ，ｘ）とおくとｆ（ｘ，ｙ）＝ｇ（ｘ）。 条件からｂｇ（ｘ）＝ｂｇ（ｙ）なのでｂ＝０またはｇは定数関数。 ｆ（ｘ，ｘ）＝０のときｚにｙを代入して（１−ａ）ｆ（ｘ，ｙ）＝０なのでａ＝１。 ｙにｘを代入して０＝（ａ＋ｂ）ｆ（ｘ，ｙ）なのでａ＋ｂ＝０からｂ＝−１。 ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ，０）とおくとｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，０）−ｆ（ｙ，０）＝ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ）で これは条件を満たす。 よって条件を満たす関数は （１）ｆ＝０。 （２）ａ＋ｂ＝１のときｆは定数関数。 （３）ａ＝１，ｂ＝０のときｆ（ｘ，ｙ）＝ｇ（ｘ）。 （４）ａ＝１，ｂ＝−１のときｆ（ｘ，ｙ）＝ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ）。 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 16:53:56] >281 なるほどなるほど、ありがとうございます。 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/19 15:58:23] x,y,z∈R, f(x,y)f(y,z)f(z,x)=1 の解はどうなりますか？ log|f(x,y)|=g(x,y) とおくと Sinzowの方程式をみたすから 　|f(x,y)| = e^{h(x)-h(y)}, h(x)は任意関数 ここまでは出ましたが、これ以上は出ませんか？ fが連続だとか条件がいるのでしょうか？ 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/19 16:42:07] 数を減らして x,y∈R, f(x,y)f(y,x)=1 の解は、 　|f(x,y)| = e^{h(x,y)-h(y.x)}, h(x,y)は任意関数 fが連続なら f(x,y)| = ±e^{h(x,y)-h(y.x)} でＯＫですか？ 285 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/10/19 20:00:00] ａ＝ｆ（０，０）とおくとａ＾３＝１で ｆ（ｘ，ｘ）ｆ（ｘ，０）ｆ（０，ｘ）＝１＝ｆ（０，０）ｆ（０，ｘ）ｆ（ｘ，０）からｆ（ｘ，ｘ）＝ａ。 ｆ（ｘ，ｙ）ｆ（ｙ，ｘ）ｆ（ｘ，ｘ）＝１なのでａｆ（ｘ，ｙ）＝１／ｆ（ｙ，ｘ）。 ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ，０）とすると ｆ（ｘ，ｙ）＝１／（ｆ（ｙ，０）ｆ（０，ｘ））＝ａｆ（ｘ，０）／ｆ（ｙ，０）＝ａｇ（ｘ）／ｇ（ｙ）。 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/20 07:56:13] >285 なるほど！ ありがとうございます。 284の場合だと、0にならない任意関数 g(x) を用いて f(x,y)=g(x)/g(y) と書けそうですね。 計算でどうやって出すかは分かりませんが…。 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/20 08:04:01] >286 そういう訳にはいかんですね。 f(x,y)のxとyが分離できるとは限らないし…。 だめぽ。 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 08:11:46] 151 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 20:05:55] 次の関数方程式の解はどうなるのでしょうか？ (1) f(x,z) = {f(x,y)+t(y,z)}/{1-f(x,y)f(yz)} (2) f(x,y,z)f(y,z,x)f(z,x,y)=1 (1) はサッパリ。(2) は >285 のようにはいかないし…。 おねがいします。 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 21:28:51] >289(1)は、f(x,x)≡0, f(y,x)=-f(x,y)なので、与式は 　f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=f(x,y)f(y,z)f(z,x) となることまでは分かったけど、そこまで…。 分からんプー＞ （：D）|￣|＿ 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 17:41:50] f(x,z) = {f(x,y)+f(y,z)}/{1-f(x,y)f(y,z)}　という関数の場合は f(x,y)=tan(g(x,y)) （-π/2<g(x,y)<π/2　(2)）とおいて tan(g(x,z))=tan(g(x,y)+g(y,z)) g(x,z)=g(x,y)+g(y,z)となる。(1) g(0,0)=g(0,y)+g(y,0)=g(0,0)+g(0,0)よりg(0,y)=-g(y,0)になるから g(x,z)=g(x,0)+g(0,z)=g(x,0)-g(z,0)。ここでg(x,0)=h(x)とおくとg(x,z)=h(x)-h(z) また任意のh(x)に対してg(x,z)=h(x)-h(z)は(1)を満たす。 よってf(x,y)=tan(h(x)-h(y)) h(x)は(2)を満たす任意の関数。 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 08:19:39] >291 ありがとうございます。むずい。 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 22:59:56] f, g ： R →R f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x) の解き方を教えて下さい。 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 23:59:04] 　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪ 　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ 　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪ 　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ 　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/" 　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　' 　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／ 　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､ 　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､ 　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、 　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ 295 名前：１３２人目の素数さん [04/10/30 19:24:23] 　　 　 　 　 　 　 |　: :.:;;;;;;;::;: '".:.::.:::.::::.::::.:::::.::::::.::::.:::.:::.::.:.:. ' 、.:;;;;::.　　　　 　 /　　わしの話題はどうした？ 　　　　　 　 　 　 i | .:.::;;;γ.:.::.:::.::::.:::::.::::::.::::::.:::::.::::.:::.:::.::.:.　　＼.:;:.　 　 　 　 ,' 　　　　　　　　 　 Yi ::::;;;;:i .:.:::.:::::.::::::::.::::::::::.::::::::.::::::::::::::.::.:.　　　＼　　　　　人,＿ 　　　　　 　 _,,,... -‐', : ::;;;|.:.::.:::.::::.::::.::::::::::::::::::::::.::::::.::.:::.::.:.　　ノ（　',　　　　/` 、.:::.~"'''ｰ-　., ＿___,,. -‐''".:.:::.:::.:::.:.' ､,..,i:. '"' . . : .: .:::.:::.::::::::::::::::..:::::.:::..⌒　 ⌒　 |　／^ヽ.:.:::.`、.:::::::::::.::.:.:..~"''ｰ 、 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::i :::i:.⌒"'ｰ ､., .:.:.).::.::::.::::.:.,. -‐'''"~'ヽ　　　,.メ~,. ,　 |:::::::::::.';:::::::::::::::::::::.:::.::.::.:.` ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;':', ::';　-‐‐--　 、!.:::::."''~ --‐‐‐-　、　／ :ﾚ'⌒)　:i;;:;;::;:::;:::.';:::::::::::::::::::::::::::::: : . ::::::::::::::::::::::::::::::;;:;;;;;;;;;':;:;;;', (　　　●　　　Ｙ⌒ヾ|　 ●　 　 　 )　　　 |　/　,';;;;;;;;;;;;;;:;;;;';:::::::::::::::::::::::::::: : . ::::::::::::::;:::;;:;;;;:;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;';::i ､　　　　　 ﾉ.::.:::.（'、　　　　　 ﾉ　　　 ﾉノ　/,;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;',;;:;;;;::;::;:::;::::::::: : . ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;;;;;';i.:.:.~"'''ー'''".:i.:.::.::.::.:.`ｰ--‐‐''":.　　　.::.　／'i;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;',;;;;;;;;;;;;;;;:::::::: : . ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;;;;;;;;;;i.:.:::.:::::.::::::.:::ﾉ.:.::.:::.::::::.::::::.::::.::.:.　　　　 ／ /.:|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;;;;;;;,;;,;, ; , ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;,'､.:.::.:::.::::.:::.'ｰ､ｰ'.:.::.:::.::::.:::.::.::.:.　　 ,'ｰ///.::::i;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;,'､,;;;;;;;;;;;,;;,;, ; , 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/31 19:14:04] ＿|￣|○ ＜ だめぽ 297 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 00:20:47] 888 298 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 23:47:23] >>1 の連続で無い解の構成の仕方を教えて下さい。 299 名前：１３２人目の素数さん [04/11/07 00:04:37] ヒント1： R は Q 上のベクトル空間であるので、基底を取る。 （勿論他にも色々方法はあるが） 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/07 00:10:31] ヒント２をきぼんぬ 301 名前：１３２人目の素数さん [04/11/07 00:24:50] ヒント2：基底の濃度はアレフ。 この事からの帰結として、一次関数 f (x) = cx 全体はアレフ個だが >>1 を満たす関数アレフ個より多い。因って存在。 （存在だけ。構成的でない。） 以上。 302 名前：１３２人目の素数さん [04/11/07 00:48:32] >>3 に書いてあるやん 303 名前：１３２人目の素数さん [04/11/13 03:39:22] 704 304 名前：１３２人目の素数さん [04/11/16 22:44:00] このスレ　オワ 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/20 11:14:14] 　　 ＿＿＿ 　.／　 f(x) ＼ 　|:::: 　＼ .／　|　桑垣の古本 　|::::: (●　(● |　get しました 　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　 ￣￣　　　＼　 　 （ E） フ 　　　 /ヽ ヽ_／／ 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/20 19:55:22] >>305 で、どうだった？ 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/20 20:16:43] いい本ですね。 知らないことばかりで勉強になります。 308 名前：１３２人目の素数さん [04/11/26 07:51:05] では>>236の問題。桑垣の本では微分可能性を仮定して解いている。 連続性だけではどうなのだろう。 だから｢難問｣と書いた。 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/01 02:07:56] 明倫館で、ボロボロの桑垣本を 2500円+送料 で買ったけど、 12月中旬に復刊ですか…。 ダメポ ＞ （：D）|￣|＿ 310 名前：伊丹公理 [04/12/01 21:31:53] 復刊? それは買わなくては。 311 名前：１３２人目の素数さん [04/12/01 21:53:26] ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 312 名前：１３２人目の素数さん [04/12/01 22:00:26] ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 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f(x+y)=f(x)g(y)+h(y) f, g, h は実連続関数 これを f' の連続性を仮定せずに解けますか？ 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/16 03:47:31] 桑垣 P.97 問５ （解答なし） について教えて下さい。 〔問題〕 f(x+y)=f(x)g(y)+h(x)f(y)、 f, g, h∈C^1、 x, y∈R 与式で x=0 または y=0 を代入して整理すると 　(1-h(0))f(y) = f(0)g(y)、 (1-g(0))f(x) = f(0)h(x) … (☆) f(0)≠0 のとき、与式は f(x+y) = {(2-g(0)-h(0))/f(0)}・f(x)f(y) (2-g(0)-h(0))/f(0)=c、F(x)=cf(x) とおくと、F(x+y)=F(x)F(y) だから、F(x)≡0, F(x)=e^(ax) f(0)=0 のとき、(☆)は (1-h(0))f(y)=0、 (1-g(0))f(x)=0 　f(x)≡0 のとき、g, h は任意 　f(x)\not\equiv0 のとき、h(0)=g(0)=1で、この後どうするんでしょうか？ f, g, h∈C^1 をまだ使ってないので、どっかで使うんでせうか？ よろしくおねがいしまする。 327 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [04/12/16 08:34:21] 線型写像をホモと言ったら変ですか？ 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/16 08:41:38] >327 king、king なのか？ 堕ちたものだな…、こんな糞レスしかしなくなるとは… 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/16 12:09:47] たのも〜、たのも〜。 330 名前：１３２人目の素数さん [04/12/16 12:22:49] analytic function = AF 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/17 18:48:58] 【 函数方程式概論 】 先月、明倫館で買った古本（2850円）があるのに、 誘惑（ゆうやく）に負けて、復刊された奴（3360円）を 買い換えてしまった。中身はそのままだった…。 古本のほう、欲しい人あげるよ。 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/17 18:51:09] １冊は実家に置いとくか… 333 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/12/20 02:00:00] >>325 ｆ（ｘ＋（ｙ＋ｚ））＝ｆ（（ｘ＋ｙ）＋ｚ）を展開して ｇ（ｙ＋ｚ）＝ｇ（ｙ）ｇ（ｚ），ｈ（ｙ＋ｚ）＝ｈ（ｙ）ｇ（ｚ）＋ｈ（ｚ）。 ｈ（ｘ＋ｙ）＝ｈ（ｙ＋ｘ）からｈ（ｘ）＝ａ（ｇ（ｘ）−１）。 ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｙ＋ｘ）からｆ（ｘ）＋ａ＝ｂｇ（ｘ）。 >>326 ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｙ＋ｘ）からｈ（ｘ）−ｇ（ｘ）＝ａｆ（ｘ）。 ｐ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＋（ａ／２）ｆ（ｘ）とおくとｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｐ（ｙ）＋ｐ（ｘ）ｆ（ｙ）。 ｆ（（ｘ＋ｙ）＋ｚ）＝ｆ（（ｘ＋ｚ）＋ｙ）を展開して ｐ（ｘ＋ｙ）＝ｐ（ｘ）ｐ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）。 微分可能であることを使うのなら ｙで微分してｙ＝０として微分方程式を解く。 334 名前：１３２人目の素数さん [04/12/20 03:21:22] age 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/20 23:25:03] >>333 ありがとうございます。 f(x+(y+z))=f((x+y)+z)を考える方法は、他の問題でも役立ちそうです。 (；´д｀)ﾊｧﾊｧ 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 05:05:18] 〔桑垣 P.99〕 では、f, h∈C^1 を仮定して 　f(x+y)=g(x)h(y)+k(x) を解いていましたが、「f, h∈C^1」 の仮定なしでは解けないのでしょうか？ 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/26 11:48:28] f(x+y) = f(x)g(y)+h(x)+f(y) をみたす連続関数 f, g, h の求め方をキボンヌ！！ 338 名前：１３２人目の素数さん [04/12/26 13:36:35] 442 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/28 12:15:45] >336-337 は破棄。 次の問題について教えて下さい。 f(x+y)-f(x)-f(y)=g(x)h(y) をみたす連続関数 f, g, h の求め方。 x, y を交換して、g(x)h(y)=g(y)h(x) …(1) g≡0 なら h は任意関数、h≡0 なら g は任意関数で、このとき与式は Cauchyの関数方程式 f(x+y)=f(x)+f(y) となるから f(x)=ax g も h も恒等的に０でないとき、(1) は h(y)/g(y) = h(x)/g(x) となって 変数に無関係な定数であることが分かるので h(y)=cg(y) とおける。 このとき与式は、f(x+y)-f(x)-f(y)=cg(x)g(y) このあと、どうやるのでせうか？ たのも〜。 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/28 12:16:51] >>339 訂正。下から２行目。 このとき与式は、f(x+y)-f(x)-f(y)=(c^2)g(x)g(y) 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/28 12:17:31] >340の訂正は間違い。 寝ぼけてた。忘れてください 342 名前：１３２人目の素数さん mailto: [04/12/29 08:12:13] たのも 343 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/12/29 10:00:02] ｆ（（ｘ＋ｙ）＋ｚ）＝ｆ（ｘ＋（ｙ＋ｚ））から （ｇ（ｘ＋ｙ）−ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ））ｇ（ｚ）＝（ｇ（ｙ＋ｚ）−ｇ（ｙ）−ｇ（ｚ））ｇ（ｘ）。 ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）＝０のときｇ（ｘ＋ｙ）−ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ）＝０。 ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）≠０のとき（ｇ（ｘ＋ｙ）−ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ））／ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）は 定数なのでｇ（ｘ＋ｙ）−ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ）＝ｂｇ（ｘ）ｇ（ｙ）で これはｇ（ｘ）ｇ（ｙ）＝０のときも成り立つ。 ｂ＝０のときｇ（ｘ）＝ａｘでｄ＝ａ＾２ｃ／２とすると ｆ（ｘ＋ｙ）−ｄ（ｘ＋ｙ）＾２＝（ｆ（ｘ）−ｄｘ＾２）＋（ｆ（ｙ）−ｄｙ＾２）。 ｂ≠０のときｂｇ（ｘ＋ｙ）＋１＝（ｂｇ（ｘ）＋１）（ｂｇ（ｙ）＋１）。 ｂｇ（ｘ）＋１＝０のときｆ（ｘ＋ｙ）＋ｄ＝（ｆ（ｘ）＋ｄ）＋（ｆ（ｙ）＋ｄ）。 ｂｇ（ｘ）＋１＝ａ＾ｘのとき 　ｆ（ｘ＋ｙ）−ｄ（ａ＾（ｘ＋ｙ）−１） ＝（ｆ（ｘ）−ｄ（ａ＾ｘ−１））＋（ｆ（ｙ）−ｄ（ａ＾ｙ−１））。 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/04 14:33:21] >>343 ありがとうございます。 >>333の後半 >ｐ（ｘ＋ｙ）＝ｐ（ｘ）ｐ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ） 結局、f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y) をみたす連続関数 f, g を求めることになりますが、 微分可能性を仮定せずに解こうとすると、うまくいかないのですが教えて下さい。 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:芸術はスーパ爆発だ [05/01/04 15:02:05] 初書き込みしてみる 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/04 15:06:11] >>344 レッスドって何だ？ おい！ 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/04 15:27:35] >>346 年始早々 誤爆ですか？ (ノ∀`) ｱﾁｬｰ 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/04 17:12:23] >>347 (ノ∀`) ｱﾁｬｰ 349 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/01/04 20:00:00] ｆはＲ−＞Ｃの連続関数でｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）を満たすとする。 ｆ（ｘ）＝０となるｘが存在するときｆ（ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ−ｘ）＝０。 ｆ（ｘ）＝０となるｘが存在しないとき ｜ｆ（ｘ＋ｙ）｜＝｜ｆ（ｘ）｜｜ｆ（ｙ）｜から｜ｆ（ｘ）｜＝ｅｘｐ（ａｘ）。 ｇ（ｘ）＝ｅｘｐ（−ａｘ）ｆ（ｘ）とすると ｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）ｇ（ｙ），｜ｇ（ｘ）｜＝１，ｇは連続となる。 ｇ（０）＝１でｇは連続だから（−ｃ，ｃ）でｇ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｉｈ（ｘ））， −π／２＜ｈ（ｘ）＜π／２，ｈは連続となるｃ，ｈが存在する。 ｈ（ｘ＋ｙ）＝ｈ（ｘ）＋ｈ（ｙ）となるのでｈ（ｘ）＝ｂｘ。 （−ｃ，ｃ）でｇ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｂｉｘ）でｇ（ｎｘ）＝ｇ（ｘ）＾ｎなので Ｒでｇ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｂｉｘ），ｆ（ｘ）＝ｅｘｐ（（ａ＋ｂｉ）ｘ）。 >>344 ｑ（ｘ）＝ｐ（ｘ）±√（ｂ）ｆ（ｘ）とするとｑ（ｘ＋ｙ）＝ｑ（ｘ）ｑ（ｙ）。 350 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/01/06 09:00:01] >>349 ｆ（ｘ）＝０となるｘが存在しないとき ｆ（０）＝１でｆは連続だから（−ｃ，ｃ）でｆ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｇ（ｘ））， −π／２＜Ｉｍ（ｇ（ｘ））＜π／２，ｇは連続となるｃ，ｇが存在する。 ｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）＋ｇ（ｙ）となるのでｇ（ｘ）＝ａｘ。 （−ｃ，ｃ）でｆ（ｘ）＝ｅｘｐ（ａｘ）でｎ∈Ｚのときｆ（ｎｘ）＝ｆ（ｘ）＾ｎなので Ｒでｆ（ｘ）＝ｅｘｐ（ａｘ）。 ｆがＣ−＞Ｃの連続関数でｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）を満たすとき ｆ＝０またはｆ（ｘ＋ｙｉ）＝ｅｘｐ（ａｘ＋ｂｙ）。 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/12 10:41:40 ] 次をみたす f をキボンヌ。 f ： R^(+) → R^(+) f(xf(y)) = f(xy)+x なんとなく、f(x) = x+1 だろうと予測がつくんだけど キッチリ示すにはどうやるんでしょうか？ おねがいしまする。 352 名前：351 mailto:sage [05/02/13 12:12:28 ] >>351 x=1を代入して、f(f(y)) = f(y)+1 より、 z=f(y) とおくと、f(z) = z+1 だから、 z=f(y) が正の実数全体をとることを言えば解決すると思うんだけど このあとを、たのも〜 （ＡＡ略） 353 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/02/14 11:00:00 ] ｆ（ｆ（ｘ）ｆ（ｙ））＝ｆ（ｆ（ｘ）ｙ）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘｙ）＋ｙ＋ｆ（ｘ）から ｆ（ｘ）−ｘ＝ｆ（ｙ）−ｙなのでｆ（ｘ）−ｘは定数。 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/14 16:58:25 ] >>353 成程、�dクス。 この問題って、f : R → R で考えても問題ないですよね？ なんで R^(+) に限定してるんでしょうね・・・ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ 355 名前：１３２人目の素数さん [05/02/19 03:00:09 ] 345 356 名前：１３２人目の素数さん [05/02/28 02:56:35 ] 746 357 名前：１３２人目の素数さん [05/03/10 12:26:01 ] 998 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/18 22:25:32 ] >>293 > f, g ： R →R > f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x) > の解き方を教えて下さい。 あるcに対して g(c)=0 とすると、与式に x=y=0 を代入して f(c)=0 与式に y=c を代入して、 f(x) = -cf(x)+g(x) 与式に x=c を代入して、 f(c+g(y)) = cf(y) なんかむりぽ… 　 （：D)|￣|_ 359 名前：１３２人目の素数さん [05/03/19 03:10:06 ] 922 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/19 11:19:40 ] f(x)=ax+b g(x)=cx+d の形の解だけ求めると f(x)=(c/c+1)x-c^2/(c+1) g(x)=cx-c^2 361 名前：１３２人目の素数さん [2005/03/31(木) 18:59:00 ] 746 362 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/17(日) 07:32:47 ] 345 363 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/05(木) 06:26:22 ] 153 364 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/22(日) 03:10:19 ] 304 365 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/08(水) 20:54:56 ] 超低レベルなんだけどよ この直角双曲線の漸近線を求めてくれ 2xy-5x+y-2=0 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/08(水) 23:03:39 ] 2xy-5x+y-2=0 ⇔2xy-y=5x+2 ⇔y(2x-1)=5x+2 ⇔y=(5x+2)/(2x-1) lim[x→∞] y =lim[x→∞] (5x+2)/(2x-1) =lim[x→∞] 5x/(2x-1)+ 2/(2x-1) =lim[x→∞] 5/{2(2x-1)}+5/2+2/(2x-1) =5/2 ゆえに漸近線はx=1/2, y=5/2。 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/08(水) 23:21:24 ] >>365 それをなんで関数方程式スレで質問したの？ 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/09(木) 11:23:21 ] 質問する場所すら選べない馬鹿だからですね。 369 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/13(月) 21:08:58 ] 連続性を仮定しないで、 「f(x+y)=f(x)f(y)」を解けって問題なんて名前だったっけ？ あと、解答ｷﾎﾞﾝﾇ 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/13(月) 21:34:50 ] √3*y(x+9)=x-88 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/17(金) 09:19:30 ] 二年。 372 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/17(金) 12:20:21 ] age 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/03(日) 17:24:30 ] ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　違う板にコピペすると、四角の枠の中に ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　メッセージとURLが現れる不思議な絵。 ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　（その仕組みがリンク先に書いてある） ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　この原理を応用すると、まったく新しい ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　コピペが作れる予感。 ■■■■■■■■■■■■■■■■ 374 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/03(日) 18:28:31 ] 　 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/06(水) 06:46:05 ] どれどれ。 ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　違う板にコピペすると、四角の枠の中に ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　メッセージとURLが現れる不思議な絵。 ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　（その仕組みがリンク先に書いてある） ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　この原理を応用すると、まったく新しい ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　コピペが作れる予感。 ■■■■■■■■■■■■■■■■ 376 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/09(土) 11:21:46 ] age 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/09(土) 16:38:39 ] ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　違う板にコピペすると、四角の枠の中に ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　メッセージとURLが現れる不思議な絵。 ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■ ■　　　　　　アホかお前　　　　　　　 ■　　（その仕組みがリンク先に書いてある） ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　この原理を応用すると、まったく新しい ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　コピペが作れる予感。 ■■■■■■■■■■■■■■■■ 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/11(月) 06:53:33 ] ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　違う板にコピペすると、四角の枠の中に ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　メッセージとURLが現れる不思議な絵。 ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■ ■　　 　　　　 複素多様体　　　　　　 ■　　（その仕組みがリンク先に書いてある） ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　この原理を応用すると、まったく新しい ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　コピペが作れる予感。 ■■■■■■■■■■■■■■■■ 379 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/13(水) 19:30:05 ] age 380 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/28(木) 09:29:07 ] f(x)+f(x+f(x))=x 381 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/31(日) 13:15:41 ] ■■■■■■■■■■■■■■■■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　違う板にコピペすると、四角の枠の中に ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　メッセージとURLが現れる不思議な絵。 ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■ ■　　 　　カンチユーハイ 　　　　　　 ■　　（その仕組みがリンク先に書いてある） ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■ ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　この原理を応用すると、まったく新しい ■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　コピペが作れる予感。 ■■■■■■■■■■■■■■■■ 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/01(月) 00:43:04 ] (1/3)π×3^2×(4-x)+π×3^2×x=(6/7){π×3^2×4-(1/3)π×3^2×(4-x)} のxの値の求め方を教えてください。 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/09(火) 23:11:46 ] このスレは まだ生きていますかにゃ？ 次の問題を f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y) をみたす実連続関数 f を求めよ。 >380 わからんぽよ。 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/10(水) 02:16:29 ] >>380 どうも求まりそうにない。 385 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/10(水) 23:08:17 ] age 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/11(木) 03:14:24 ] では私も援護射撃をしておこう… 　　　　　　　　　　　　　　　 ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿ 　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | 　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　　>>380、>>383の模範解答まだぁ？　　＞ 　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿| 　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨ 　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪ 　　　　　　　　　＝≡＝　∧＿∧　　　　　☆ 　　　　　　♪ 　　／　〃（･∀･ #）　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ 　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ 　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコ ノ　　|| 　　　　　　　　　||　ΣΣ 　.|:::|∪〓 　||　　　♪ 　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼ 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/20(土) 20:39:37 ] 私も援護射撃をしておこうか… 　　　　　　　　　　　　　　　 ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿ 　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | 　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　　>>380、>>383の模範解答まだぁ？　　＞ 　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿| 　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨ 　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪ 　　　　　　　　　＝≡＝　∧＿∧　　　　　☆ 　　　　　　♪ 　　／　〃（･∀･ #）　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ 　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ 　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコ ノ　　|| 　　　　　　　　　||　ΣΣ 　.|:::|∪〓 　||　　　♪ 　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼ 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/20(土) 21:10:32 ] ドッカン 　　　　　　　　　　ドッカン 　　　　　　　　　　　　　　　　　　☆ゴガギーン 　　　　　　　　.＿＿＿＿＿＿ .　　　　　　　　|　　　　|　　　　| 　 　 　∩∩　 |　 　 　|　　　　| 　∩∩ 　　 　 | | | |　 |　　　　|　　　　| 　| | | |　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　　 (　　,,)　 |　 　 　|　　　　|　(・ｘ・ ）＜おらっ！出てこい 　　　/　　つ━━"....ロ|ロ 　 .　|　l　　 |Ｕ　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　〜（　　/　　 |　　　　|　　　　|⊂＿　|〜 　　　し'∪　　└──┴──┘　　∪ 389 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/25(木) 18:11:13 ] age 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/16(金) 13:12:55 ] 実定数 a に対して f(f(x))+f(x) = 2x+a をみたす連続関数 f ： R → R を求めよ。 >>380、>>383 も、おながいします。 391 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 03:18:51 ] age 392 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 07:29:06 ] f(x)=cx f(f(x)+x)+f(x)-x=0 c(c+1)x+cx-x=0 393 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 07:30:18 ] f(x)=cx f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y) c(x+y+c(xy)) = xy+c(x+y) 394 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 07:31:25 ] f(x)=cx f(x+y)=f(x)+f(y) c(x+y)=cx+cy 395 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 07:55:19 ] f(x+y)=f(x)+sin(y) 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/17(土) 08:32:27 ] 私も援護射撃をしておこうか… 　　　　　　　　　　　　　　　 ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿ 　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | 　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　>>380、>>383、>>389の解答まだぁ？　＞ 　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿| 　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨ 　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪ 　　　　　　　　　＝≡＝　∧＿∧　　　　　☆ 　　　　　　♪ 　　／　〃（･∀･ #）　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ 　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ 　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコ ノ　　|| 　　　　　　　　　||　ΣΣ 　.|:::|∪〓 　||　　　♪ 　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼ 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/17(土) 08:33:21 ] ドッカン 　　　　　　　　　　ドッカン 　　　　　　　　　　　　　　　　　　☆ゴガギーン 　　　　　　　　.＿＿＿＿＿＿ .　　　　　　　　|　　　　|　　　　| 　 　 　∩∩　 |　 　 　|　　　　| 　∩∩ 　　 　 | | | |　 |　　　　|　　　　| 　| | | |　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　　 (　　,,)　 |　 　 　|　　　　|　(・ｘ・ ）＜おらっ！出てこい！ いつまで待たせんだよ！ 　　　/　　つ━━"....ロ|ロ 　 .　|　l　　 |Ｕ　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　〜（　　/　　 |　　　　|　　　　|⊂＿　|〜 　　　し'∪　　└──┴──┘　　∪ 398 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 16:49:20 ] f(x)=cx f(f(x)+x)+f(x)-x=0 c(c+1)x+cx-x=0 c^2+2c-1=0 c=(-1+/-2^.5)/2 399 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 16:50:36 ] f(x)=cx f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y) c(x+y+c(xy)) = xy+c(x+y) c^2-1=0 c=+/-1 400 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 17:10:50 ] かなりレベルの低い質問だとは思いますが・・・ 関数y=x^2＋4x (0≦x≦a)において、定数aが次のような範囲にあるとき、この関数の最大値と最小値を求めよ。 (1)0<a≦2　(2)2<a<4　(3)a=4　(4)4<a ていう問題なんですが、解法はわかるんですが、答え方がわかりません。 一応自力で解いてはみたんですが、↓ (1)x=2のとき最大値4, x=0のとき最小値0 (2)？ (3)x=2のとき最大値4, x=0,4のとき最小値0 (4)x=2のとき最大値4, 最小値なし どなたか訂正お願い致しますm(_ _)m 401 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 17:20:32 ] y=x(x+4)>=0,miny=0,maxy=a(a+4) 402 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 17:48:16 ] > y=x(x+4)>=0,miny=0,maxy=a(a+4) これは、(2)の解答なのでしょうか・・・？ 403 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 17:54:27 ] x>=0でyは右肩上がりの>=0ですから最小は0､最大は最大のaの時です。 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/17(土) 18:07:40 ] >>400-403 スレ違い。 405 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/17(土) 18:16:25 ] >>401,403 ありがとうございました。 >>404 どうもすみませんでした・・・。ほか行きます。 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/17(土) 20:45:56 ] ﾏﾀﾞｧ-? （･∀･ ）っ/凵⌒☆ﾁﾝﾁﾝ 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/23(金) 16:28:59 ] いつまで待たせんだよー！ おらおら、お願いします 　　　　　　　　　　　　　　　 ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿ 　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | 　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　>>380、>>383、>>389の解答まだぁ？　＞ 　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿| 　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨ 　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪ 　　　　　　　　　＝≡＝　∧＿∧　　　　　☆ 　　　　　　♪ 　　／　〃（･∀･ #）　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ 　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ 　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコ ノ　　|| 　　　　　　　　　||　ΣΣ 　.|:::|∪〓 　||　　　♪ 　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼ 408 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/23(金) 20:59:22 ] age 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/29(木) 14:23:02 ] 　　　　　　　　　　　　　　　 ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿ 　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | 　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　>>380、>>383、>>389の解答まだぁ？　＞ 　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿| 　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨ 　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪ 　　　　　　　　　＝≡＝　∧＿∧　　　　　☆ 　　　　　　♪ 　　／　〃（･∀･ #）　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ 　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ 　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコ ノ　　|| 　　　　　　　　　||　ΣΣ 　.|:::|∪〓 　||　　　♪ 　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼ 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/29(木) 14:24:16 ] いつまで待たせんだよー！ おらおら、お願いします 　　　　　　　　　　　　　　　 ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿ 　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | 　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　>>380、>>383、>>390の解答まだぁ？　＞ 　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿| 　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨ 　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪ 　　　　　　　　　＝≡＝　∧＿∧　　　　　☆ 　　　　　　♪ 　　／　〃（･∀･ #）　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ 　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ 　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコ ノ　　|| 　　　　　　　　　||　ΣΣ 　.|:::|∪〓 　||　　　♪ 　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼ 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/30(金) 02:40:23 ] >>380、>>383、>>390 が未解決なのに、勝手に問題追加します f(x+f(xy)) = f(x)+xf(y) をみたす ｆ：R→R を求めよ。 412 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/03(月) 16:09:35 ] age 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/08(土) 17:30:40 ] 4 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/10(月) 03:13:55 ] 　　　　　　　　　　　　　　　 ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿＿∧＿∧＿∧ 　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | 　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　>>380、>>383、>>390、>>411の解答おねがいします　＞ 　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　| 　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨ 　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪ 　　　　　　　　　＝≡＝　∧＿∧　　　　　☆ 　　　　　　♪ 　　／　〃（･∀･ #）　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ 　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ 　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコ ノ　　|| 　　　　　　　　　||　ΣΣ 　.|:::|∪〓 　||　　　♪ 　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼ 415 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 06:53:00 ] age 416 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 09:01:03 ] f(x)+f(x+f(x))=x y'+y'(1+y')=1 2y'+y'y'-1=0 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/16(日) 09:11:30 ] f(x)+f(x+f(x))=x g(x)=x+f(x)とおくと g(x)-x+g(g(x))-g(x)=x g^2(x)=2x 従って f(x)=(-1±√2)x 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/16(日) 09:27:22 ] >>398-399って>>380>>383の解答っぽいけど… f(x)=cxの場合以外がないことを示せってことなんかな。 419 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 09:27:46 ] y'=-1+/-(1+1)^.5=-1+/-2^.5 y=(-1+/-2^.5)x 420 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 09:44:22 ] f(x+f(xy)) = f(x)+xf(y) をみたす ｆ：R→R を求めよ。 f'(1+yf')=f'+f(y) f'=+/-(f(y)/y)^.5 f=+/-((f(y)/y)^.5)x 421 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 09:47:54 ] f(f(x))+f(x) = 2x+a f'f'+f'=2 f'=(-1+/-(1+8)^.5)/2=(-1+/-3)/2=1,-2 f=1x+c,-2x+c 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/16(日) 09:57:05 ] >>420 最後の式の右辺にfが含まれてるんだけど。 >>421 aが消えてるぞ。 423 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 09:59:56 ] f(y)は定数ってことで無視 最初のしきにほりこんでｃをaで表現するとか？ 424 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 10:04:18 ] ここがのぼりんが出没するというスッドレかね？ 425 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 10:06:30 ] f(y)=+/-((f(y)/y)^.5)y からf(y)をとくとか。。 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/16(日) 10:32:05 ] >>390 f(x)=px+qとおくと f(f(x))+f(x)=(p^2+p)x+(p+2)q=2x+a p^2+p=2, (p+2)q=a p=1,-2 従って f(x)=x+(a/3) f(x)=-2x+c (a=0の場合のみ。cは任意の実定数) 427 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 10:44:33 ] f(f(x))+f(x) = 2x+a x+2c+x+c=2x+3c=2x+a c=a/3 f=x+a/3 4x+-2c+c-2x+c=2x=2x+a (a=0) 428 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 10:49:22 ] f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y) f'(1+yf')=y+f' yf'f'=y f'=+/-1 f=+/-x+c x+y+xy+2c=xy+x+y+c->c=0 -(x+y+-xy+2c)=xy+-(x+y+c)->c=0 429 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 11:02:57 ] f(x+y)=f(x)+sin(y) f(2y)=f(y)+sin(y) 2f'=f'+cos(y) f'=cos(y) f=sin(y)+C sin(2y)+C=2sin(y)+C y=0+2npi sin(y)=0 f(x+y)=f(x) f(y)=f(0)=0->y=0 430 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 11:09:00 ] ほとんど微分で片付くのか。。。 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/16(日) 11:18:50 ] >>411 ＞ f(x+f(xy)) = f(x)+xf(y) をみたす ｆ：R→R を求めよ。 x=0を代入すると f(f(0))=f(0) よってf(0)はfの不動点。 f(x)=ax+bとおくと、f(0)=bがfの不動点であるから ab+b=b -> ab=0 -> a=0 or b=0 a=0の場合はf(x)≡0であることがすぐにわかる。 a≠0の場合はb=0すなわちf(x)=ax 元の方程式をこれで簡約すると ax+(a^2)xy=ax+axy よってa^2=a a≠0よりa=1 従ってax+bの形の解はf(x)≡0, f(x)=xの2個となる。 ところで式だけのレスしてる人の言いたいことがよくわからんのだが 誰か解説してくれないか？まさか嵐じゃないよね？ 432 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 11:57:29 ] f(y)=+/-((f(y)/y)^.5)y f^2=fy f=y,f=0 433 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 12:01:31 ] 解けてしまっているのに。。。 434 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 12:08:03 ] fが微分可能なら微分方程式にしてしまえばいい 2変数ならyを定数にして、とで解けばいい。 これでほとんど解けていることがこの問題のおもしろみのないところ 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/16(日) 12:37:56 ] 微分可能性を仮定しなくても自動的に微分可能になってしまう。 これがあの問題の面白いところ。 436 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 13:03:01 ] フラクタルでの関数方程式なら微分しても解けないだろう 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/16(日) 17:23:50 ] 微分可能としても微分して解いてるのは全部でたらめ。 438 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 17:38:20 ] 答えが関数方程式を満たしていればいいだけじゃない 439 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 17:41:38 ] 多項式や初等関数の関数方程式は合成微分可能だから問題ないよ 440 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 17:46:35 ] fがフーリエ変換なんかだったら、解の存在を証明しなきゃ 441 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 17:56:47 ] 与えられた関数方程式に解が存在するかを先に証明すべきだよな。 ウエルデファインドでない微分方程式を与えるようなものだから 442 名前：三平×２ [2005/10/19(水) 19:43:32 ] f(x)=((x^2-2x+1)f(x-1)+2)/x-1 443 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 20:46:13 ] フラクタルが解となる簡単な函数方程式を作ってみよ。 444 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 21:12:03 ] an=((n^2-2n+1)an-1+2)/(n-1) 445 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 19:48:31 ] age 446 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 20:22:00 ] f(f(x))=2/3f(x) 447 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:15:45 ] >> f(x)=(2/3)^(1/2)x 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 18:24:06 ] 違ひます。（高木ヴー） 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 19:37:46 ] 見間違えた。 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/18(金) 10:26:35 ] 647 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/26(土) 18:39:16 ] 不等式スレ２にありますた。 Problem 3. 　Let Ｒ* be the set of non-zero real numbers. 　Find all functions f: Ｒ*→Ｒ* such that 　　f(x^2 +y) = {f(x)}^2 + f(xy)/f(x). 　for all x､y∈Ｒ*, y≠-x^2. www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf の１ページ目 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/470 Ｒ* =Ｒ-{0} らしい. 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/26(土) 18:41:38 ] >451 のサイトにありますた。 Problem 237. Determine (with proof) all polynomials p with real coefficients such that 　　p(x)p(x+1) = p(x^2) 　holds for every real number x. www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf の３ページ目 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/27(日) 01:01:53 ] >444 　a_n/(n-1)! = b_n とおくと与式より 　b_(k+1) = b_k + 2/(k･k!). 　b_n = b_1 + �納k=1,n-1] 2/(k･k!) 　以下(ry 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/27(日) 11:55:29 ] >452 　p(x) = {x(x-1)}^n, n=0,1,2,･･･ 　p(x) = 0. 455 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/29(火) 05:34:39 ] age 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/03(土) 02:03:22 ] f：R→R、f(xf(y)) = yf(x) をもとめにょ。 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/03(土) 15:43:46 ] >446 　f(x) = (±2/3)|x|. 　f(x) = 0. 　f(x)= (2/3)|x| (xは有理数),　f(x)=-(2/3)|x| (xは代数的無理数),　f(x)=0 (xは超越数). >456 　f(x)=1/x　(x≠0), f(0)=0. 458 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 14:05:22 ] age 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/05(月) 19:18:55 ] >>457 どう見ても乙πです。本当にありがとうございました。 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/08(木) 01:34:31 ] >>457 ＞ >456 ＞ f(x)=1/x　(x≠0), f(0)=0. これおかしくないか？ f(x)=x も条件をみたすぞ、こら！ やりなおし。 結果だけじゃなく、過程も書け！ おら！！ 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/02(月) 00:43:33 ] 742 462 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/14(土) 19:05:15 ] f(n+1) > f(f(n))　　をみたす f:N→N を求む。 芋1977 (ﾕｰｺﾞｽﾗﾋﾞｱ) Nは整列集合 → Nの部分集合は最小元をもつ。 463 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/14(土) 19:16:21 ] f(f(n)) = n + 2005　をみたす f:N→N は存在しない。 芋1987 (ｷｭｰﾊﾞ) 右辺の定数は任意の奇数でいいらしい。fは単射 464 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/14(土) 23:22:15 ] >>462 f(n)=n だけ。 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/15(日) 03:26:30 ] >462 fの値域Iの最小元を考える。 　n>1 に対しては f(n)>f(f(n-1))が成り立つので、f(n)は最小元でない。 　∴ 最小元はf(1)のみ。 I-{f(1),･･･,f(k-1)}の最小元はf(k)のみ。 (略証) 帰納法による。 Iの最小限はf(1)のみ。 I-{f(1),･･･,f(m)}の最小元を考える。 n>mについては f(n)>f(f(n-1)) となるが、 f(n-1)は{f(1),･･･,f(m)}には含まれないから、f(n-1)∈I-{f(1),･･･,f(m)}. ∴ f(n)は最小元ではない。∴最小元はf(m)のみ。(終) ∴ 1≦f(1)<f(2)<……<f(n)<……　　　　　　　fは狭義の単調増加 ∴ f(n)≧n. あるkに対して f(k)>k と仮定すると、k+1≦f(k), f(k+1)≦f(f(k)) となり、題意に矛盾。 ∴ すべてのnについて f(n)=n. 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/15(日) 05:26:30 ] f(n)>f(f(n-1)) wo f(n)>f(n-1) to kantigai siteruyounisika mienai 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/15(日) 07:53:04 ] >>466 dousite ro-maji de kakunoka rikai dekinai. 468 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/15(日) 09:47:48 ] f(n)>f(f(n-1)) を f(n)>f(n-1) と カンティガイ スィテルヨウニスィカ 見えない ドウスィテ ロ・マ字 で 書くのか 理解 出来ない． の意味が分からない． 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/15(日) 12:26:54 ] 外国にいるんだろ。 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/15(日) 13:03:23 ] >>467 dousite ro-maji de kakunoka rikai dekinai. 471 名前：465 mailto:sage [2006/01/15(日) 19:16:40 ] >>462 　shuusei,Sumaso. I-{f(1),f(2),……,f(k-1)} の最小元は f(k) のみ。 (略証) kに関する帰納法による。 I-{f(1),･･･,f(m)}の最小元を考える。 n-1>m については f(n-1)∈I-{f(1),･･･,f(m)}. f(m)の定義から、f(n-1) > f(m) 帰納法の仮定から、f(m)>f(m-1)>……>f(2)>f(1)≧1 より f(m)≧m ∴ f(n-1) > m. f(f(n-1)) ∈ I-{f(1),･･･,f(m)} ∴ f(n) > f(f(n-1)) だから、f(n) は I-{f(1),･･･,f(m)} の最小元ではない。 ∴ 最小元は f(m+1) のみ。(終) 472 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/22(日) 22:55:37 ] age 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/05(日) 06:42:18 ] 695 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/17(金) 20:34:05 ] 3.　実数に対して定義され、実数値をとる関数ｆであって、任意の実数x,yに対して 　　ｆ(x)^2 + 2yｆ(x) + ｆ(y) = ｆ(y+ｆ(x)). をみたすものをすべて求めよ。 [JMO 2006年本選] 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/17(金) 22:46:44 ] >474 f(x) = x^2 +c, f(x) = 0. 476 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/18(土) 07:58:35 ] age 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/19(日) 01:40:43 ] >>474 fの連続性を仮定して>>475と同じ解答を出したんだけど、 結局fが連続であることは示せなかった。 478 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/01(水) 12:33:07 ] あの・・増田 <nc02.wf.dion.ne.jp> 人生という道に本当に迷いそうです。人生の１＋１を教えて戴けないでしょうか・・・・・ No.19586 2005/11/20 (日) 21:29 479 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2006/03/01(水) 20:00:00 ] ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｘ＾２とおくとｇ（ｙ＋ｆ（ｘ））＝ｇ（ｙ）なのでｆ（ｘ）はｇの周期。 ２ｙｆ（ｘ）＝ｆ（ｙ＋ｆ（ｘ））−ｆ（ｆ（ｘ））−ｆ（ｙ）＋ｆ（０）なので２ｙｆ（ｘ）はｇの周期。 ｆ≠０のときｆ（ａ）≠０となるａがあるのでｇは定数関数。 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/19(日) 16:18:40 ] 連続関数 f: I=[0,1]→R が任意の x,y∈I に対して xf(y) + yf(x) ≦1 を満たすとき ∫[0,1] f(x)dx ≦ π/4 を示し、等号が成立するような f を見つけよ。 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/271-273 481 名前：中川泰秀 ◆Oamxnad08k [2006/03/21(火) 14:21:46 ] 関数積について知っている人はいますか　？ 482 名前：482 mailto:sage [2006/03/21(火) 18:36:23 ] 4=8/2 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/26(日) 14:55:06 ] 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/04/15(土) 19:01:30 ] 485 名前：１３２人目の素数さん [2006/04/17(月) 08:28:18 ] 1000 486 名前：１３２人目の素数さん [2006/04/23(日) 08:56:23 ] 関数 f : R → R で 二つの恒等式 f (x + y) = f (x) + f (y) f (xy) = x*f (y) + f (x)*y 満たす物は無数にある事を示せ。 但し連続でなくても良い。 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/13(土) 20:12:51 ] 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/05/26(金) 11:59:48 ] 847 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/16(金) 00:09:34 ] 879 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/17(土) 09:19:30 ] 三年。 491 名前：１３２人目の素数さん [2006/06/17(土) 18:59:31 ] age 492 名前：１３２人目の素数さん [2006/06/21(水) 20:57:04 ] キングコング 493 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/06/22(木) 17:10:18 ] talk:>>492 私を呼んでないか？ 494 名前：１３２人目の素数さん [2006/06/22(木) 20:18:44 ] キングはただの暇人なんじゃないの？ 理系大学院卒のニートとかじゃねーの？ 495 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/06/23(金) 22:51:49 ] talk:>>494 何やってんだよ？ 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/24(土) 01:17:01 ] だまれ、ニート！ 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/24(土) 07:45:35 ] 　　　　　　_＿＿__ 　　　　 ／∧＿∧ ＼ 　　　./ 　<　・∀・）､ ｀、 　　/　/＼ ＼つ　 つ、ヽ 　　|　|　　,＼ ＼ ﾉ　　|　| 　　ヽヽ 　レ ＼ ＼ﾌ /　/ 　　 ＼[　king禁止　]' ／ 　　　　ヽ､ _＿＿_,, ／ 　　　　 　　｜｜ 　　　　 　　｜｜ 498 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/06/24(土) 20:04:09 ] talk:>>497 私を呼んでないか？ 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/24(土) 20:16:27 ] 円(X−2)^2＋y^2=9接線のうち、点(6、3)を通るものはy=3と □x−□y−□＝0である。 □内の数字を！ 500 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/06/24(土) 22:09:24 ] talk:>>499 それを関数方程式で解く方法があるのか？ 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/25(日) 08:04:29 ] king氏ね関数の関数方程式は難しい。 502 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/06/25(日) 22:58:32 ] talk:>>501 お前に何が分かるというのか？ 503 名前：KingOfUniverse ◆W16ghca5nc [2006/06/25(日) 23:02:34 ] >>502 お前誰だよ 504 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/06/26(月) 20:41:10 ] talk:>>503 お前誰だよ？ 505 名前：１３２人目の素数さん [2006/06/27(火) 09:17:10 ] .　　　　　　　∧＿∧　 ／￣￣￣￣￣￣￣ 　　　　　　　（；´Д｀）＜　スンマセン、直ぐに片付けます 　　-=≡ 　/　　　 ヽ　 ＼＿＿＿＿＿＿＿ .　　　　　 /|　|　　 |. | 　-=≡　/.　＼ヽ／＼＼_ 　　　　/　　　 ヽ⌒)==ヽ_）=　∧＿∧ -= 　 /　/⌒＼.＼　||　　|| 　(´･ω･`) 　　／ ／　　　 >　） || 　 ||　( つ旦Oking 　/　/ 　　　　/ ／＿||＿ ||　と＿)＿) ＿. 　し'　　　　　（＿つ￣(_））￣ (.)）￣ (_））￣(.)） 506 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/06/27(火) 18:29:18 ] talk:>>505 何考えてんだよ？ 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/28(水) 06:45:46 ] f:R^2→Nで ∀x,y,t f(x,t)=f(t,y)→x=y=t を満たすfは存在するか？ 508 名前：１３２人目の素数さん [2006/06/28(水) 09:09:30 ] キングコングの歌 ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ　ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ 大きな山をひとまたぎ　キングコングがやってくる こわくなんかないんだよ　キングコングは友達さ 火山も　津波も　恐竜も　キングコングにゃかなわない 戦えキングコング　ぼくらの王者 ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ　ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ 頭を雲の上に出し　キングコングがやってくる 逃げなくっていいんだよ　キングコングは友達さ 嵐も　地震も　怪獣も　キングコングにゃかなわない 戦えキングコング　世界の王者 509 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/06/28(水) 18:46:35 ] talk:>>508 私を呼んでないか？ 510 名前：１３２人目の素数さん [2006/06/28(水) 22:11:03 ] kingの顔 　　　／ ￣￣￣￣￣ ⌒ヽ　　　 　　/　 　　　　 /i　＼ 　　ヽ　　 　　| |　/////.∧　| | | | ∧ |＼､　　　 　　| | |-| |〔 ==・.〕--〔==・〕--ヽ　　 　　| .|| || ゛｀ー'(､●^●,)ー'゛　ヽ 　　|　　| ||　＊ 　ﾉﾄｪｪｲヽ 　・　　l 　 .|　　| ||::::　　ﾉ ヽ｀ｰ'ﾉ ヽ　::::　/　　　 　|　i　ゝ:::::::::::　　　　 '⌒ヽ　:::: ノ　 　 //∧|　＼＿＿ '､＿＿,ﾉ＿／ 511 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/06/29(木) 06:16:39 ] talk:>510 何考えてんだよ？ 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/29(木) 06:17:26 ] >>507 f:R^2→Nに対し{(x,y)∈R^2|f(x,y)=n}をU_nで表す。 U_0={(x,x)∈R^2}として、R^2のU_0以外の部分は{(x,y)|a<x<b and c<y<d and (b<c or d<a)} という形の領域×可算個で被覆出来る。これをU_1,U_2,…とすればfは条件を満たす。 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/29(木) 18:52:10 ] (　　 ﾟ)ム (　 ﾟд)シ (　ﾟдﾟ)k ( ﾟдﾟ )i (ﾟдﾟ　)n (дﾟ 　)g (ﾟ　　 )氏 (　　　)ね 514 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/06/29(木) 21:39:39 ] talk:>>513 お前に何が分かるというのか？ 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/30(金) 15:30:34 ] Kingがオナニー中毒であることが分かる。 516 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/06/30(金) 18:08:25 ] talk:>>514 それより、人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/06/30(金) 20:09:29 ] kingの脳解析に関してkingはどのような意見を持っていますか？ 518 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2006/07/01(土) 07:33:26 ] talk:>>517 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/05(水) 07:58:01 ] science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1151159011/985 f:R^2→Rは連続、 f( (x^2 + y^2)/2 ) = ( f(x)^2 + f(y)^2 )/2 これ結構面白そうだけどどうでしょ 520 名前： ◆FfUnDlFjRw mailto:sage [2006/07/05(水) 19:30:54 ] >>519 どうして、R^2→Rになるんですか？ 僕が質問したかったのはR→Rですよ。 まぁ、R^2でもいいのかもしれませんが、x^2って普通だったらxがベクトルでも内積になるんで、式がおかしくなりませんか？ 521 名前： ◆FfUnDlFjRw mailto:sage [2006/07/05(水) 19:36:47 ] あと、補足ですが この問題は分からない問題スレに質問している問題です。 私は>>519なので、マルチスレッドではないと思うのですが こういう場合、どうなるんでしょうか？ 522 名前： ◆FfUnDlFjRw mailto:sage [2006/07/05(水) 19:45:51 ] 誤> 私は>>519なので 正> 私は>>519ではないので、 orz 523 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2006/07/05(水) 20:00:00 ] ｘ＝ｙとしてｆ（ｘ＾２）＝ｆ（ｘ）＾２。 ｆ（（ｘ＾２＋ｙ＾２）／２）＝（ｆ（ｘ＾２）＋ｆ（ｙ＾２））／２なので ０≦ｘ，０≦ｙのときｆ（（ｘ＋ｙ）／２）＝（ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ））／２。 ｆは連続なので０≦ｘのときｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ。 ｆ（ｘ＾２）＝ｆ（ｘ）＾２から（ａ，ｂ）＝（０，０），（０，１），（１，０）。 ｆ（−ｘ）＾２＝ｆ（ｘ）＾２でｆは連続だからｆ（ｘ）＝０，１，ｘ，｜ｘ｜。 524 名前： ◆FfUnDlFjRw mailto:sage [2006/07/05(水) 20:55:15 ] どうも、ありがとうございます。 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/07/28(金) 16:46:28 ] 831 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/08/04(金) 21:44:48 ] 問題5. P(x)を次数n (n>1) の整数係数多項式とし, kを正整数とする. このとき, Q(x)=P(P(…P(P(x))…))を考える. ただし, Pはk回現れている. 　Q(t)=t をみたす整数t は高々n個であることを示せ. IMO-47 www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/imo47q.html 527 名前：１３２人目の素数さん [2006/08/30(水) 11:48:31 ] age 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/02(月) 23:11:00 ] 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/07(土) 09:32:58 ] >>526 P(x) = x^2 のとき既に違うんだが。 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/07(土) 23:30:34 ] 0と1だけだから高々2個でおｋなような 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/28(土) 09:46:33 ] 分かスレ２６２から 648 ：１３２人目の素数さん ：2006/10/28(土) 04:06:29 f(x+1)f´(x+1) - f(x+1)f´(x) - f´(x+1)f(x) = 0 で f(1)=1 の時、f(x)を求めよ 649 ：１３２人目の素数さん ：2006/10/28(土) 04:08:17 　↑でfは実関数です science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1161364328/l648-650 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/10/28(土) 09:47:58 ] >531 650 ：１３２人目の素数さん ：2006/10/28(土) 06:47:01 　xで積分すると, 　(1/2){f(x+1)}^2 - f(x+1)f(x) = c/2, 　f(x) = (1/2){ f(x+1) − c/f(x+1) }. 　c<0 のとき　f(x) = ±c'･coth(a/(2^x)), 　c=0 のとき　f(x) = b･(2^x), 　c>0 のとき　f(x) = ±c'･cot(θ/(2^x)). 　c' = √|c|. science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1161364328/648-650 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/11/13(月) 02:21:17 ] 996 534 名前：１３２人目の素数さん [2006/12/23(土) 15:57:32 ] f:R->R f(f(x))=-x 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/01(月) 17:01:38 ] >>534 正の実数全体をペア {x, y} の族に分ける。 f (0)= 0, ペア {x, y}, x ＜ y に対し、 f (x) = y, f (y) = -x, f (-x) = -y, f (-y) = x と置けば一丁上がり。 536 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/23(火) 20:53:14 ] age 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/05(月) 17:33:42 ] 836 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 07:30:09 ] f(x) + f(y) ≦ f(x+y)/2 ( f(x)/x ) + ( f(y)/y ) ≧ f(x+y)/(x+y) を満たすf : { x∈R : x>0 } → Rを全て求めよ。連続性は仮定しない。 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/15(木) 20:22:33 ] >>538 f(x)=cx^2(c≦0)だけ 証明は、g(x)=f(x)/xとおいて、不等式から g(2x)=2g(x)であることと、gが単調減少な関数に成ることを示す。 それから、x=a+h y=a-h とおいて評価、x=a/2 y=(x/2)+h　とおいて評価 の組合せでgの連続性が従う 最後に、2進展開みたいなことをやると、∀x，yに対し g(x)≦(x/y)g(y) が導かれる。x、yを入れ替えると、g(x)=(x/y)g(y)が出てくる y=1とおいてf(x)=g(1)x^2を得る。g(1)≦0である。 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/15(木) 20:23:34 ] ↑ 訂正 y=（x/2）+h とおいて評価→y=（a/2）+h とおいて評価 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 15:03:00 ] 442 542 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/11(日) 17:45:06 ] age 543 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/13(水) 07:47:47 ] 関数 f: R -> R で任意の実数 x, y に対し f(xf(y)+f(x)) = 2f(x) + xy を満たすものをすべて求めよ。 2006 ブラジル数学オリンピック 国内本選 544 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/13(水) 07:56:41 ] 関数 f: R -> R は任意の実数 x, y に対し f (x + f ( y)) = x + f ( f (y)) を満たす。 f(2)=8 のとき f(2005) を求めよ。 2005 ブラジル数学オリンピック 国内予選 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/13(水) 08:07:04 ] 関数 f: R_{+}^{*} -> R_{+}^{*} は無効でない任意の実数 x, y に対し f(x)f(y) - f(xy) = x/y + y/x を満たす。 (a) f(1) を求めよ (b) f(x) の式を一つ見つけよ 2003 ブラジル数学オリンピック 国内予選 546 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/14(木) 21:29:53 ] f(x,f(x))=0 547 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/14(木) 21:31:16 ] f(x,f(x,f(x,...))=0 548 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/14(木) 21:35:55 ] f(1)f(1) - f(1) = x/y + y/x=2 a^2-a-2=0 f(x)f(1) - f(x) = x+1/x 549 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/14(木) 22:08:48 ] f(xf(y)+f(x)) = 2f(x) + xy f(2f(1))=2f(1)+1 f(x)=x+1 f(xf(y)+f(x)) xf(y)+f(x)+1 x(y+1)+x+2 xy+2x+2 2f(x)+xy 550 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/14(木) 22:11:59 ] f (x + f ( y)) = x + f ( f (y)) f(x)=ax+b a(x+fy)+b ax+ay+ab+b x+afy+b x+aay+ab+b a=1 f=x+b 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/14(木) 22:12:06 ] >543 f(x) = x +1, >544 f(x) = x + g(x) とおくと、g(x+f(y)) = g(f(y)), g(x)=const. f(x) = x +6. >545 f(x) = 2, f(x) = x + (1/x). 552 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/14(木) 23:10:29 ] f=2+b=8 b=6 553 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/14(木) 23:57:54 ] f(xf(x))=0 df(f+xdf)=0 fdf+xdfdf=0 df=-f/x df/f=-1/x logf=-logx+c f=c/x 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/17(日) 09:19:15 ] 四年。 555 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/09(月) 15:46:00 ] f(2x²)=4xf(x) 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/09(月) 20:31:06 ] √（24／21）ってどうやって計算すんだ？ 分かる人教えてー。 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/10(火) 01:06:39 ] >555 f(x) = cx･log|2x|,　　cは任意定数. 558 名前：557 mailto:sage [2007/07/10(火) 22:54:47 ] >555 　ただし f(0)=0, とすべきかな。 559 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/19(木) 13:08:21 ] >>12 大学一年の微分積分学でやったよ〜 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/31(金) 16:26:44 ] 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/30(火) 10:02:05 ] 817 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/06(火) 04:13:08 ] 〔問題〕 微分可能な関数f(x)があり、関係式 　f(x) + ∫[0,x] exp(-t) {f(x-t)}^(n+1) dt = exp(-x)/4, を満たしています。ただし n≠0 でつ。 このとき、 　(1)　f'(x) を f(x) を用いて表しなさい。 　(2)　f(x) をもとめよ。 よろしくお願いします。 math.bbs.thebbs.jp/1191505676/77 数学総合質問スレIV 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/06(火) 04:54:17 ] >>562 低俗な質問は、質問スレに逝け！ 失せろ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! >>562 ('A` )　ﾌﾟｳ〜 ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ>>562 　 くく　へﾍﾉ ('A` )　ﾌﾞﾘﾌﾞﾘ… ノヽノ) =3'A`)ﾉ ｳｹﾞ、ﾆｶﾞｯ…>>562 　 くく　へﾍﾉ 564 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/17(土) 12:48:50 ] age 565 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/06(木) 23:17:25 ] f(x+y)=f(x)+f(y),f(0)=0の解はf(x)=cx(c:定数)というような解法だとは思います。 （関数方程式の章に書かれていましたから。) なので両辺を微分したりして解けると思うんですが難しい 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 01:43:46 ] 【問題】 [1] 次式の根 π' を小数点以下5桁目まで求めよ。 　(e^x) - x -20 = 0 たとえばニュートン法で。 [2] 正n角形を１つ書く。その周長を L_n, 面積を S_n とする。 　(L_n)^2 /(4S_n) をnの関数として表わせ。 　また、n→∞ としたときの極限値を求めよ。 [3]　|(L_n)^2 /(4S_n) -π'| が最小になるようなnを求めよ。 お願いしまつ。 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 19:25:58 ] 【問題】 　G(x/2π) = {G(x) -1} /x, 　G(0) =1, の解を求めてください。 568 名前：マクローリン mailto:sage [2008/01/20(日) 19:30:48 ] >567 べき級数展開は 　G(x) = 1 + x + (x^2)/(2π) + …… + (x^k)/{(2π)^((k-1)k/2)} + …… science6.2ch.net/test/read.cgi/sci/1091534329/139- 量子電磁力学スレ 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/28(金) 03:43:35 ] 827 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/05(月) 22:46:43 ] 639 571 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/06(火) 00:27:58 ] age 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/17(火) 10:19:16 ] 五年一時間。 573 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/19(土) 23:57:38 ] age 574 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/27(日) 07:34:08 ] 関数f:(0,∞)→(0,∞)で次の条件をみたすものを全て求めよ。 (条件) wx=yzをみたす任意の正の実数w,x,y,zにたいして {(f(w))^2+(f(x))^2}/{f(y^2)+f(z^2)}=(w^2+x^2)/(y^2+z^2) が成立する。 575 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/27(日) 07:37:09 ] ↑IMO2008より。 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/08(月) 22:31:00 ] 100 577 名前：人 mailto:sage [2008/10/11(土) 17:52:14 ] A(x)は成分が全て、xの実係数多項式である２次正方行列とする。 このとき、A(x+y)=A(x)A(y)を満たす行列A(x)を全て求めよ。 578 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/23(木) 20:09:22 ] age 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 22:43:13 ] 924 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 20:49:14 ] うるさい。 581 名前：１３２人目の素数さん [2008/12/20(土) 17:45:32 ] 三次方程式の解の出しかた教えてください。 582 名前：KingMind ◆KWqQaULLTg [2008/12/20(土) 18:26:18 ] Reply:>>581 x^3+px+qのxにs+tを代入すると、s^3+t^3+(3st+p)x+qとなる。s^3+t^3+q=0, 3st+p=0を解く。一般の場合ははじめにx^3+px+q=0の形にしてから解く。 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/20(土) 19:15:35 ] 関数方程式のfってなんて呼ぶの？変関数？ 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/20(土) 19:57:52 ] >>583 求めるべき関数fのことが言いたいのなら、そりゃ未知関数でしょ 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/21(日) 07:42:58 ] >>584 死ね 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 19:07:04 ] 274 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/28(水) 21:09:37 ] >>39 自宅警備員？ 588 名前：１３２人目の素数さん [2009/01/30(金) 02:46:38 ] age 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/01/30(金) 21:07:41 ] >>566 [1]　π' = 3.1416333028010367067760849799096… [2]　L_n = 2nr*sin(π/n),　S_n = nr^2*sin(π/n)cos(π/n), (L_n)^2 / (4S_n) = n*tan(π/n), [3]　504*tan(π/504) - π' = 3.1416333423109476626428859761861… - π' = 3.951E-08

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