線形代数/線型代数 2

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線形代数/線型代数 2

1 名前：１３２人目の素数さん [04/07/25 20:15]: 線形代数に関する話題全般のスレッドです。

宿題の丸投げは止めましょう。

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前スレ
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2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/25 20:16]: 2次形式
3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/25 21:51]: 「１次結合」に対応して「ｎ次結合」ってのはあるんですか？
4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/26 02:49]: >>3
一次結合って何なの？その定義を正確に言えれば自ずと出て来るだろう。
5 名前：１３２人目の素数さん [04/07/26 10:39]: >>4
定義は言えるが出てこないぞ。どこをn次にすれば良いかわからん。
6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/27 18:24]: >5
定義を言ってみてくんな。
7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/27 19:26]: さだよし
8 名前：１３２人目の素数さん [04/07/28 01:10]: >>6
それぐらい自分で調べろ。基礎の基礎。
9 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 11:00]: 前スレの質問に答えて
10 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/07/31 11:02]: n次独立ってのはあるんですか？
などといってみるテスト。
11 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 11:06]: ジョルダン標準形の理論を単項イデアル整域の有限生成束縛加群
の理論として述べる。

A を単項イデアル整域とし、 A 上の有限生成束縛加群 M を
考える。M の元 x に対して、Ann(x) = {a ∈ A; ax = 0 }
とおく。Ann(x) は　A のイデアルだから単項 (r) である。
r を x または Ax の位数と呼ぶ。x の位数は A の可逆元との積
の違いを除いて一意に定まる。
Ann(M) = {a ∈ A; ax = 0 for all x ∈ M} とおく。
r を素元の積 Π(p_i)^(n_i) として素因子分解すると
A/(r) = ΠA/((p_i)^(n_i)) となる(Chinese Remainder Theorem)
これから x は位数 (p_i)^(n_i) の元の積として表せることが
わかる。よって素元 p に対して
M(p) = {x ∈ M; (p^n)x = 0 for some n > 0} とおくと、
M = ∑M(p) (直和)となる。p は A の全ての素元を動くが
M(p) ≠ 0 となる p は有限個である。これは
M(p) ≠ 0 ⇒ px = 0 for some non-zero x ∈ M ⇒
p|r where Ann(M) = (r) よりわかる。
M(p) は有限生成だから A-加群として長さ有限の組成列を持つ。
この長さを n としたとき p^n を M(p) の容量といい |M(p)| と
書く。|M| = Π|M(p)| と書き、M の容量という。
容易にわかるように |M(p)| は M(p) を零化する。即ち
|M(p)| M(p) = 0 となる。よって |M| は M を零化する。
この事実は Hamilton-Cayley の定理の抽象版とも言える。
よって |M| は Ann(M) で割り切れる。
12 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 11:09]: M は巡回加群つまり単項加群の直和となる。
証明
M = M(p) の場合に証明すればよい。
|M| = p^n として n に関する帰納法を使う。
M の位数最大の元を t として N = At とする。
t の位数を p^m とする。
M/N の位数 p の元を Ns とする。ps = at となる。
p^(m-1)(at) = p^(m-1)(ps) = (p^m)s = 0
よって p|a となる。t' = (a/p)t とおくと、
pt' = ps よって r = s - t' とおくと pr = 0
で r は N に含まれない。L = Ar とおく。
N ∩ L = 0 であり |L| = p である。
M/L は N と同型な部分加群 NL/L を含むから
|M/L| に帰納法の仮定がつかえて、
M/L は (N + L)/L と K/L の直和となる。
これから N ∩ K ⊆ L となり、N ∩ K = 0 または
N ∩ K = L となる。後者は N ⊇ L となって矛盾するから
N ∩ K = 0 となる。位数を考慮すると M = N + K (直和)
となる。証明終
13 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 11:14]: >>12は抽象ジョルダン標準形の定理とも言うべきもので
これから普通のジョルダン標準形の定理が簡単に出る。
14 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 11:22]: >>11
|M| は M の容量というより位数といったほうが良かったかも
しれない。
15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/31 11:45]: >>11
> M(p) は有限生成だから A-加群として長さ有限の組成列を持つ。
> この長さを n としたとき

行列の場合で考えてみると、n が固有多項式における p の指数であることを示さないと、
Hamilton-Cayley の一般化を示したことにならないのでは？
16 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 12:16]: >>15
M を体 K 上の有限次ベクトル空間で線形写像 f が作用している
K[X]-加群と考える。ここで K[X] は多項式環。
p = X - a として、M(p) の K[X]-加群としての長さを n とすると
M(p) の K 上の次元は n となる。
よって M(p) への f の制限の固有多項式を F_p とすると
F_p = (X - a)^n となる。よって F_p = |M(p)| である。
17 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 12:25]: >>11-16
well known and trivial
18 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 12:36]: >>17
例えばどこに書いてある？
19 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 12:41]: trivialじゃないだろ。どう見ても。
20 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 13:19]: >>
全部同一人
今井と同類
21 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 13:32]: やば。>>15と>>17と>>20以外はこのスレどころかこの板のレス全部
俺が書いてるんだけど。何で知ってるんだ？
22 名前：17 でないが mailto:sage [04/07/31 13:47]: >>18
今現在繋がらないが、
mailweb.pue.udlap.mx/～sobczyk　にある、（～を半角英数にお置き換える）
d01.dvi ,CHLIN1.pdf～CHLIN7.pdf
等に詳しい記述がある。
23 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 13:52]: >>22
つながるとこはないの？
24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/31 13:57]: well-known ではあると思う。
演習で単因子論の問題のときにそういうことを言っていたのがいた。
25 名前：11 [04/07/31 13:59]: >>17
単項イデアル環上の束縛加群の理論は単因子論としてよく
知られているけど、>>11,>>12のような説明はめずらしいと思うよ。
特に位数(容量)の概念。
26 名前：11 [04/07/31 14:01]: >>24
だからどこに書いてあるのか聞いてるんんだけど。
27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/31 14:27]: >>26
>>17、>>24 は判りやすい基本事項に基づいて進められている話だから、適当に喋っているだけだろう。
判りやすいがこの議論の進め方は一般的に知られたことでは無く、比較的新しい。
何れ >>22 のリンクが復活したら見れば良い。
28 名前：１３２人目の素数さん [04/07/31 17:01]: trivialに見えるほどわかりやすい証明。これが理想だろう。
29 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 00:31]: 線形代数の固有値論についての専門書でなにかおすすめのものって
ありますか？
30 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 00:38]: 　　　　　　　　　　|　1+x　0　|
　　　　　　　　　　|　0　1+x　|　　←２の時とする

|　1+x　0　0　|
|　0　1+x　0　|　　　　　　　　←３の時とする
|　0　0　1+x　|

|　1+x　0　0　0　|
|　0　1+x　0　0　|
|　0　0　1+x　0　|　　　　　　　４の時とする
|　0　0　0　1+x　|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　さて、ｎの時はどうなる？
31 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 00:39]: 　間違えた。

　　　　　　　　　　|　1+x　0　|
　　　　　　　　　　|　0　1+x　|　　←２の時とする

|　1+x　x　0　|
|　x　1+x　x　|　　　　　　　　←３の時とする
|　0　x　1+x　|

|　1+x　x　0　0　|
|　x　1+x　x　0　|
|　0　x　1+x　x　|　　　　　　　←４の時とする
|　0　0　x　1+x　|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　さて、ｎの時はどうなる？
32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/01 00:57]: >>22
mailweb.pue.udlap.mx/~sobczyk/non.html
Now the link is active.
~ mutst be latin.
33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/01 03:39]: >30-31
|　1+x | = ⊿_1

|　1+x　z　|
|　y　1+x　| = ⊿_2

|　1+x　z　0　|
|　y　1+x　z　| = ⊿_3
|　0　y　1+x　|

|　1+x　z　0　0　|
|　y　1+x　z　0　|
|　0　y　1+x　z　| = ⊿_4 とする。
|　0　0　y　1+x　|

漸化式：　⊿_n = (1+x)･⊿_{n-1} - yz･⊿_{n-2}.
　⊿_0=1, ⊿_1=1+x, ⊿_2=(1+x)^2-yz より
一般項：　⊿_n = {b^(n+1) - a^(n+1)}/(√D),
　ただし　a≡(1+x-√D)/2, b≡(1+x+√D)/2, D≡(1+x)^2-4yz.

単純ヒュッケルMO法でポリアセチレンの電子状態など計算するとき出て来そうだが。
ぬるぽ
34 名前：某大学壱回生 [04/08/01 20:57]: ﾗﾝｸ求めるときiにたいしてi倍したらダメ？i＝√-1
35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/01 21:03]: >>34
問題ない
36 名前：１３２人目の素数さん [04/08/01 21:47]: >>34
ダメ
i(愛) と π(おっぱい) なら e （イー）
37 名前：１３２人目の素数さん [04/08/02 21:54]: このスレ終わり
38 名前：１３２人目の素数さん [04/08/03 15:21]: >>29
良さそうな新刊本が書店にあったが詳細は忘れた。
39 名前：１３２人目の素数さん [04/08/05 00:35]: R^ｎの双対空間を(R^n)^＊とする

(1) (ｅ1，ｅ2，e3，・・・en)の双対基底(f^1，ｆ^2，f^3，・・・f^n)(f^j∈(R^n)^*)を求めよ。
(2) 各f∈(R^n)^*はf(x)＝∑（i=1→ｎ)x^iai，x∈R^ｎという形になることを証明せよ。
ただし、aj(j=1，2，・・・n)はｆから決まる定数である。
40 名前：１３２人目の素数さん [04/08/06 15:27]: age
41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/06 15:52]: >>39
(1) は双対基の定義を述べて、その構成法を述べよ、と云うことかな。
今の学生ですぐできるのは、多く無さそうだな。
42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/06 17:33]: >>41
いくらなんでもそこまでレベル低くはないだろ。糞簡単な問題じゃん。
43 名前：１３２人目の素数さん [04/08/06 22:32]: >>42
口頭試問で聞いてみると、大半がパニックって撃沈するよｗ
44 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 22:25]: このスレはなんのスレ?
45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/11 09:41]: 行列の対角化の話で質問です、
たとえば行列Aを対角化せよっていうのだと
線形独立な固有ベクトルを並べた行列をPとして
P^-1APってやるけど、もってる本の説明を見たら
Aはこれらの固有ベクトルを基底とした場合対角行列となる、
って書かれてた。
これはある線形写像Tがあってそれの基底<e1,･･･,en>
に関しての表現行列がAだった場合、固有ベクトルを並べた行列P
によって定めた新たな基底<p1,･･･,pn> (=(e1,･･･,en)P)
に関してTの表現行列は対角行列（P^-1AP)になる。
という理解でいいのですか？
46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/11 21:16]: >>45
その通り。そのまま計算して証明できるでしょ。
47 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 19:32]: 基底の変換
48 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 20:02]: >>41
逆行列の計算を一瞬で出きるかといわれると。
直交行列だと面白くないし、口頭試問では使いにくいような希ガス。
49 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 21:22]: 前スレよりレベルが落ちるな。
50 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 07:13]: リー代数や単因子，二次形式って位相空間論とか圏論と何か関係あるかなあ？
51 名前：１３２人目の素数さん [04/08/17 17:29]: >>50
無関係ではないが、
直接の関係は無い。
52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/18 12:50]: 最近線形代数を学び始めたんだが、一体これは何なんだ？このままだと単位落としてしまう。誰か教えて下さい。
53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/19 03:37]: >>52
とりあえず頑張って勉強しろ。
個々の問題でわからないものがあったら質問スレへ。
54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/21 15:12]: 私も大学で線形の講義聞いても「何やってんだろ・・・」としか思えなかったです。
（特に線形空間）
でも、違う人に教わってみるとｽﾊﾟｰｯとイメージができました。

違う人に教わる手間なく行きたいので、しっかり勉強しまつ
55 名前：１３２人目の素数さん [04/08/21 23:25]: アホはアホに教わると良く分かる。
教えるアホも一段上の理解に到達する。
これ上等。
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/22 12:10]: ↑
馬鹿な教師のいいそうなことだ。
57 名前：１３２人目の素数さん [04/08/25 00:02]: 連立方程式を行列を用いてとく場合、係数行列がどんな場合に解を持たないんでしょうか。
教えてください
58 名前：１３２人目の素数さん [04/08/25 00:19]: b∈Im(A)が成り立っていれば解をもち、そうでなければ解をもたない。
59 名前：１３２人目の素数さん [04/08/27 00:39]: >>58の言うように、係数行列だけじゃ判別できないな。
たとえば、
x+2y=1
2x+4y=2
は解を無数にもつが、
x+2y=1
2x+4y=1
は解を持たない。

だから係数行列だけじゃどうにもならん。
それとも、解を一意にもつ場合が聞きたかったのかな？
それだったらdetA≠0だな。
60 名前：１３２人目の素数さん [04/08/30 21:51]: >>56
このスレ、落ちたものだなぁ
61 名前：１３２人目の素数さん [04/09/01 20:37]: >>57
そんな簡単な質問は質問板にいけよ
質問するならこのスレにあったもう少しまともな質問してくれ
62 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 06:54]: 対称行列の固有値の式は？
63 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 07:05]: 対称行列の行列式の値は？
64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/02 07:07]: >>62-63 なにがききたいのかわかりません
65 名前：１３２人目の素数さん [04/09/02 09:37]: >>62
何が訊きたいのか全く分からんが、対称行列の固有値は全て実数で、
x^T x=1のとき、　λmin≦x^T A x≦λmax　となることは証明できるよな？
66 名前：１３２人目の素数さん [04/09/05 12:52]: >>62
複素対称行列か?
67 名前：１３２人目の素数さん [04/09/05 14:46]: 斎藤p.102[3.7]でVにノルムが入っているとφは連続になると思うのですが、うまく示せません。
0∈Vでの連続性を言えばよいのだろうけど…
68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/06 22:50]: >>67
問題うつせよ･･･
69 名前：67 mailto:sage [04/09/06 23:58]: V：n次元線形空間
E=<e_1,…,e_n>：Vの基底
φ：V→K^n　（Eの定める同型写像）
です。すまそ
70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 05:55]: >>67
V が計量を持つ実線型空間のとき。
(u,v) を V の内積とし、(u,v) の定める V のノルムを ||v|| とする。
また、x∈R^n の通常のノルムを |x| とする。
(u,v)=φ(u)^T A φ(v) となる実対称行列 A が存在する。
A は正値対称行列なので対角化可能で、固有値はすべて正の実数。
A の最大固有値を α, 最小固有値を β とすれば、
β|φ(v)|^2 ≦||v||^2=v^T A v ≦ α|φ(v)|^2.
したがって、任意の ε>0 に対し ||v||<(√α)ε ならば |φ(v)|<ε となり、
逆に、|x|<ε/√β ならば ||φ^{-1}(x)||<ε となる。

複素線型空間のときも同様。正値エルミート行列が出てくる。
71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 21:14]: >>70
わかりました。どうもありがとうございました。
72 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 18:37:33]: 522
73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/17 17:44:52]: >62
実対称行列の固有値は実数.
一般に、エルミット行列の固有値は実数.
74 名前：１３２人目の素数さん [04/09/18 01:49:19]: 731
75 名前：１３２人目の素数さん [04/09/20 15:30:29]: 金玉痒い
76 名前：１３２人目の素数さん [04/09/25 22:45:40]: 782
77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/25 23:02:37]: このスレ、前スレに比較したらさえないなぁ
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/25 23:31:20]: また一つさえなくなったね。
79 名前：１３２人目の素数さん [04/10/01 06:25:37]: 119
80 名前：１３２人目の素数さん [04/10/06 05:19:43]: 714
81 名前：１３２人目の素数さん [04/10/11 12:32:42]: 452
82 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん]: あぼーん
83 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/11 16:18:02]: Re:>82 お前普段何してるの？
84 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 17:06:10]: ちょっとした疑問なんですが、
行列Aの転置行列をｔAとして、これの逆行列ｔA＾(-1)を考えたとき
Aの転置行列ｔAを求めてから逆行列を求めるのと
Aの逆行列を求めてから転置するのとどちらも同じになるのでしょうか？
くだらなさすぎたらすみません。。
85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 17:16:23]: >>84
なるよ
Aの逆行列をBとするとAB=E
両辺の転置行列をとるとtBtA=tE=E
従ってtBはtAの逆行列であり，すなわち
t(A^(-1)) = tB = (tA)^(-1)
86 名前：84 [04/10/13 17:41:33]: >>85
ありがとうございます！！
疑問が解けてすっきりしました！！
87 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 17:56:17]: n 次複素行列 A, B が AB = 7BA を満たすとき、(AB)^n = 0.
88 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/13 20:06:59]: Re:>87 一般の体係数では？

Aが可逆のとき、Bの固有値は0のみなので、ABの固有値も0のみになる。
Bが可逆のとき、同様にABの固有値は0のみである。
AもBも可逆でないときはどうしよう？
89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 20:42:26]: 標数2の体上ではAB=BAだから結論は出てこない。
90 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/13 20:44:48]: Re:>89 標数2だと[>88]の議論も成り立たないわけだ。
91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 20:57:53]: LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw
はもう出るな
92 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/13 21:00:16]: Re:>91 じゃあ、お前がn次複素係数行列A,Bに対して、AB=7BAならば(AB)^n=0を示してくれ。
93 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 21:27:54]: そのやり方はお前の常套手段だな
94 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/13 21:36:54]: Re:>93 出来るのか？出来ないのか？
95 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 21:38:40]: 悔しかったら自分で解いてみろ
96 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 22:43:52]: >>87
こんな回答でどう

一般に行列ABとBAの固有多項式は等しい，つまり，多重度も含めて
固有値が一致する．

行列ABが0以外の固有値aを持つと仮定する．対応する固有
ベクトルをxとおくと，
BAx = (1/7) ABx = (a/7) x
より，a/7は行列BAの固有値である．a/7は行列ABの固有値でもあるから，
行列BAはa/(7^2)を固有値に持つ．この操作は無限に繰り返せるから
行列AB，BAがn次行列であることに矛盾する．つまり，0以外の固有値は存在しない．

固有多項式はX^n = 0であるから，ハミルトン－ケーリーの定理により
(AB)^n = (BA)^n = 0が成り立つ．
97 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 23:03:10]: なるほど。これは気が付かなかった。
thanks
98 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 15:40:59]: ２次の正方行列で、固有方程式が重根をもつが対角化可能な例ってありますか？
99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 15:42:29]: >>98
単位行列がまさにその通りだが
100 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 15:50:31]: なるほど！有難うございました。
101 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 15:51:27]: なるほど！有難うございました。
102 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 15:55:49]: Ｗｈｏ’ｓＹｏｕｒＤａｄｄｙ？
103 名前：１３２人目の素数さん [04/10/18 01:34:42]: 斎藤「線型代数入門」のp9なのですが、
例1で、
x = x_1 + ta で直線が与えられる時
x_0' = x_1 + ta、 (a, x_0-x_0') = 0 から
tを消去、とあるのですが、
どうやってtを消去するのか分かりません・・・

なお、t以外の文字は全てベクトルです。
どうか宜しくお願いいたします。
104 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん]: あぼーん
105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 03:39:00]: >>103
x_0 - x_0' = x_0 - x_1 -taだから
aとの内積をとると
<a, x_0 - x_0'> = <a, x_0 - x_1 -ta>
= <a, x_0 - x_1> - t<a,a> =0

これからtが
t = <a, x_0 - x_1>/<a,a>
と求まる．
106 名前：１３２人目の素数さん [04/10/18 10:59:49]: >>105
ありがとうございました。
私は<a , x_0 - x_0'> に x_0' = x_1 + ta
を代入して考えましたが、それでも大丈夫でしょうか？

あと、(4)から(5)への変形が1ヶ所納得いきません。
|a| = √(a,a) を使っていることはわかるのですが、

x_0' x_1 + (a, x_0 - x_1)/(a,a) ・ a　　　(4)
の一番右のベクトルaが消えてしまっている気がするのですが・・・

|x_0 - x_0'| = (√( |a|² |x_0 - x_1|² - (a, x_0 - x_1)² ) / |a|　　　　(5)

この式はx_0 - (4)式としてベクトル方程式をたて、
長さを求めたんですよねぇ・・・
うーん・・・　やっぱり足りない気がする・・・
107 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/18 19:41:48]: Re:>104 人のメアドを勝手に載せるな。
108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 22:54:04]: >>106
言っちゃ悪いが、そこで詰まるんじゃ斉藤は止めたほうがいい。
この本は本文中にも暗に練習問題が散りばめられている本だから。
109 名前：１３２人目の素数さん [04/10/18 23:13:36]: >>106
|x0-x0'|^2にx0'を代入し計算して、ルートとるだけだよ。
残念ながら俺も108に同感する。
110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 23:14:59]: >>106
それから、大丈夫と他人に聞かなければいけないような学習態度はさっさと改めるべきだね。
111 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん]: あぼーん
112 名前：１３２人目の素数さん [04/10/18 23:42:56]: >>108
え・・・・
斎藤がダメなら何に行けばいいのでしょうorz
113 名前：１３２人目の素数さん [04/10/19 00:05:46]: >>112
マジレスすると、ころころ変更すると結局何も身につかないよ。粘れ。
ただ今の場合は、まだかなり最初のほうみたいだし、ほんとに厳しそうだから、
別の本に乗り換えるのも良いかもしれないけれど。
さっきの質問のレベルを考えると、高校レベルもあやしいんじゃないの？
ちょっと簡単すぎるかなってくらいの本を読んでからまた斉藤にチャレンジしてみたら。
114 名前：１３２人目の素数さん [04/10/19 00:24:24]: 斉藤がだめなら石村園子がるさ
115 名前：１３２人目の素数さん [04/10/19 00:52:06]: やる気はあるんですがorz

p11の問1～問3も必死こいてやりました。
答えがないからつらいです・・・

2x-y+3z = 1 を表す平面のベクトル、っていうのも
実際にx_1=(1/2,0,0) x_2=(0,-1,0) x_3=(0,0,1/3)と
3点具体的に求めてから
x_2 - x_1 とx_3 - x_1 を計算し、出したのですが
こんな地道なやり方でよいのですかね・・・
大学の数学ってのがまだよく分からないです。
116 名前：物理学生 [04/10/19 01:04:13]: 物理をやるには、線形代数は全部理解できてないとだめですか？
117 名前：１３２人目の素数さん [04/10/19 01:13:45]: 線形代数と線型代数と、どちらが正しいのでしょうか?
118 名前：１３２人目の素数さん [04/10/19 07:06:45]: 線形代数が正しい。
線型代数は線型代数学の略。
119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/19 09:53:50]: >>116
　全部って何だよ。教科書に書いてあることが全部じゃないぞ。
　マジレスするとまずは行列式・ランク・固有値の概念をちゃんと理解しろ。
　そうすると何が必要かわかってくるから。
120 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/10/19 10:32:59]: テンソルまでじゃね？
121 名前：１３２人目の素数さん [04/10/19 10:41:05]: ジョル団細胞ってなんかｷﾓｲね。
他に細胞なんて名前が付いてるものってある？
122 名前：１３２人目の素数さん [04/10/19 12:18:42]: 細胞具
123 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/19 12:21:03]: Re:>111 人のメアドを勝手に載せるな。
Re:>118 形と型は同じ字だというが。
124 名前：１３２人目の素数さん [04/10/19 12:56:45]: 胞体複体
125 名前：１３２人目の素数さん [04/10/19 19:00:29]: 抱腹絶倒
126 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 23:25:09]: n 次実正方行列 A, B が A^2 = B^2 = (AB)^2 = -E
を満たすなら n は 4 の倍数
127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 03:16:33]: >>123
型理論ってあるけど形理論とは書かないね。
128 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 12:08:44]: 　　　　　　　　　 ...,､ -　､∞
　　　　　　,､ '　ヾ　、;;;; 　丶,､ -､
　　　　／;;;;;;;;;;;　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/　　　i　 i　;;;;　　ヽ　.__.ヽヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.　　l;;; ﾄ　　ヽ　ヽ .___..ヽ　丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l　　i　ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'+:::ヽ　　　　'n‐┘ .}　/　 i l　l　　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:ﾉ　　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　私もみすぼらしく
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　 |　なったわねぇ・・・・・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　イ　　∫　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　▽　/　　｀　‐- 、
　　　　　　　　／ヾ_　　◎/　　　　 ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　 /　　　　,,;'''／:.:.i＼
129 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/23 12:50:13]: Re:>127 これも慣習の問題か。
130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 13:13:42]: >>126
答えquibonne
131 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 13:14:38]: >>126あげ忘れ
答えquivonne
132 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 14:22:56]: >126
とりあえず、a11=aであと0のとき考えてみたら？
133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 14:31:44]: ＞あと0
全部 0 ってこと？
134 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 04:03:52]: wakatta
135 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 08:17:49]: 対角化の可否についてお尋ねします．
3次の正方行列の固有方程式が2重根と単根持つときに，
対角化できるときと，できないときがありますが，
その区別は固有方程式を見ただけではわからないですよね．
やはり，A-λE のランクとか調べない限りわからないものなのでしょうか？
136 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 10:18:50]: >>135
その通りです。
λ を2重根とするとき、
A - λE のランクが 1 なら対角化可能、
そうでなければ対角化不可能
137 名前：135 [04/10/24 11:48:40]: >>136
どうも有り難うございました．
138 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 12:19:17]: >>134
wakaran
139 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 12:32:49]: 　　　　　　　　　　ヽ∂ﾉﾉﾉﾉﾉﾉ ∂☆
　　　　　　　　　ﾉﾉ;;;;;;;;;;;;;;;;｀';;;;;;;ﾉﾉ☆
　　　　　　ヽ/;;;;;;;;〃/´ヾﾍ;;;;;;;;;;;ヽ ☆
　　　　　　　ヽ/;;;;;;;（（,/　　　 i;;;;ノ;;ノ;i ☆　　　　漏れ、解析系。D3。
　　　　　　ヽ|;;;;;;;;;i !/　─ 　.ﾉノ）ﾉノ|☆ 　　　　夢はフィールズ賞だ！
　　　　　ノ |;;;;;;;;;|　　６　　∂ i;;;;;i| ☆　　　　北海道のﾃｨﾑﾎﾟはうまいよ、
　　　　　　ノ　|;;;;;;;;i　”” 　　ゝ　 |;;;;;;;|☆ 　　　　　それ喰ってフィールズ賞とってやるぜ！
　　　　　　　　!ノ;）ﾉ＼　　≪＞ .ﾉ;;;;;〈　　 Ψ　　　覚えた事は光速度で忘れる。
　　　　　　　　|（（/´ i ｀ー─ 'iヽヾ);;）|｀i ω∩　　　頭の中はいつも「ブ」ランク定数。　　
　　　　　　　ヽ／＼￣￣｀ヽノ　 i (＼_l　!)))　　　　　　　　　　　楽天ガニよりシタラバガニ　　
　　　　　ヽ／　　　￣￣ヾ〃´　ヽ/ ) ' ﾉ
　　　　ヽ　／　　V　A　K　Ａ　Ｄ　Ａ　N　A
140 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 00:07:58]: クルミのガンコのワカランジン
141 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 04:10:38]: >>126
H:={wE+xA+yB+zAB | w,x,y,zは実数} はハミルトン四元数体になっとる。
それに気づけば何とかなるが気づかなければ泥沼か。
142 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 05:36:39]: >>118
線形代数と線型代数学は違うものだとでも言うのか?
143 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 13:29:01]: >>141
なるほど、その方法がありましたか。
でも最後まで行きません。
大学１年の範囲で行くんですか？
144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 18:18:03]: >>141
GJ。なるほど。もしA^2=B^2=(AB)^2=-Eとなる行列の組があればそれは
R-代数H=R<x,y>/M<x^2+1,y^2+1,(xy)^2+1>の表現になるが
Hは斜体なのでその表現はすべてHの幾つかの直和に同型。
Hは実4次元なのでその表現の実次元は4の倍数でなくてはいけない。
代数の表現論がぴったりだな。
145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 18:45:00]: 表現の実次元っていくつ。
146 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 18:55:55]: >>144
n が偶数なら、 n^2 は 4 の倍数じゃないの？
147 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 03:52:41]: 大学1年程度の証明を書いてやるから暫く待ってろ
148 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 04:27:50]: 横やりですいません。

Ｋ^ｍとＫ^ｎをＫ上テンソルすると次元はどうなりますか？
また、Ｋ上テンソルしてゼロならどちらかがゼロは真ですか？
149 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 06:43:48]: >>143
n 次元実縦ベクトル空間 R^n の 0 でない元 v に対して
Hv:={wv+xAv+yBv+zCv | w,x,y,z は実数}（C:=AB）
が実 4 次元になるというのはイイですか？
wv+xAv+yBv+zCv = 0 （w,x,y,z は実数）
の両辺に左から wE-xA-yB-zC をかけて左辺を展開すればわかるんだけど。
150 名前：126 [04/10/29 09:43:48]: 分かった。環でなくて加群を考えればよかったんだ。
thx
151 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 20:02:35]: もう解けたので 147 の出番ではないかもしれないが一応書いておこう。
（概略だけ。）実 Jordan 標準形の理論より、
A =
|0,-E|
|E, 0|
と仮定してよい。さらに
B =
|B_1,B_2|
|B_3,B_4|
として関係式に代入すると
B_1 が偶数次である事がすぐ出る。
152 名前：１３２人目の素数さん [04/11/01 22:57:25]: 次の行列Ａの固有値、固有ベクトル(または固有空間)を求め、対角化せよ。またＡ^ｎを求めよ

　　　　|　　３　　４　|
　Ａ＝　|　－２　－３　|

全くわかりません　誰か教えてください
153 名前：ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw [04/11/01 22:59:46]: Re:>152
これは線型代数でよくあるパターンの問題だ。
初めに、固有多項式から求めよう。
154 名前：152 [04/11/01 23:17:26]: >>153さん　夜分すいません　アドバイスありがとうございます
でもまださっぱりわかりません　すいません
対角行列って
｜１　０　０　｜
｜０　２　０　｜
｜０　０　３　｜
のような行列ってことくらいしかわかりません　
155 名前：１３２人目の素数さん [04/11/01 23:38:40]: >ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw,
King、おまえ、恥ずかしくないか？
いいかげんに引っ込め、くそ荒らし。
156 名前：working woman mailto:sage [04/11/02 01:29:23]: >>155
何も荒らして無いでしょ
あなたこそ引っ込んでよ
157 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 11:12:35]: 実対称行列の固有値と固有ベクトルって必ず実になるのでしょうか?
すいません教えて下さい。
158 名前：king983 [04/11/02 12:11:24]: >>157
＞実対称行列の固有値
は実になる。

＞固有ベクトルって必ず実に
なるのではなくて、実に取れる。
159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 12:40:17]: 固有ベクトルが実になる、とは何ぞや。
160 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 18:25:13]: 次の命題はすべて真ですよね。

ｎ次正方行列Aについて

1．固有方程式の根がすべて単根のとき、固有多項式と最小多項式は一致する。

2．固有方程式が重婚をもつとき、Aが対角化可能ならば、最小多項式は固有多
項式の零点の重複度をすべて1としてものと一致する。

3．固有方程式が重婚をもつとき、Aが対角化可能でないならば、固有多項式と最
小多項式は一致する。

1．と2．はわかりますが、3．がちょっとわかりません。教えて頂ければ幸いです。
161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 18:29:47]: >>160
3.はなりたたないんでわ？
162 名前：160 [04/11/02 18:38:08]: >>161
そうですか．．．
反例を教えて頂ければ嬉しいです。
163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 18:38:38]: >>160
[[2,1,0]
,[0,2,0]
,[0,0,2]]
は固有方程式(x-2)^3=0は重婚をもってるいて対角化も可能でないけど
最小多項式(x-1)^2と固有多項式(x-2)^3はちがうと思う。
164 名前：160 [04/11/02 18:57:21]: >>163
どうも有り難うございます。
という事は、3．の場合、最小多項式を求めるには個別に計算するしか
ないって言う事ですか。
A-λE （λは固有値）のランクとかからはわからないでしょうか？
165 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 19:06:00]: >>158
実に取れる

ってことは取れない場合が存在するって事ですか?
それはどんな場合なんですかね?
たびたび質問すいません。
166 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 19:14:45]: >>165

|0,-1|
|1, 0|

の場合は実の固有ベクトルが存在しない
167 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 19:15:40]: 　ＶＡＩＯ

　　↓

＼／-＼｜○

　　↓

　＿ﾄ￣|○
168 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 19:17:46]: >>165
回転行列は、例外もあるが、固有ベクトルの定義からいっても無理。
169 名前：king101 [04/11/02 19:18:56]: >>167
既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出
170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 19:23:32]: >>165
じゃなくて実でないものもとれるってことだろ。
A=
[[1,0],
[0,2]]
の固有ベクトルとして
[1,　と　[0,
0]　　　2]
をとってもいいけど
[i,　と　[0,
0]　　　2i]
だって固有ベクトルであることに変わりないんだから。
171 名前：１３２人目の素数さん [04/11/04 12:40:20]: ｎ次正方行列の固有方程式がｎ重根を持ち，かつ対角化可能ならば，
単位行列のスカラー倍である事を示せ．
172 名前：king247 [04/11/04 13:16:54]: >>171
A がその行列であるとすると、対角化可能性より。
P^(-1)AP = B は対角行列と取るとき、 A の固有値は
B の対角要素だから、 B の対角要素は全て一致し、
B = aE （単位行列の定数倍）
P^(-1)AP = B = aE より
A = aE
173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/04 13:33:45]: science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1084120582/960
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1084120582/961
私も普通は ROM だが、
回答するときにはまとめ解答てしている。
174 名前：１３２人目の素数さん [04/11/04 16:11:14]: 正則行列と正則関数って関係有るんでっか
175 名前：１３２人目の素数さん [04/11/04 17:29:25]: 正則行列と正則関数と正則空間って関係あるんでっか
176 名前：king133 [04/11/04 18:09:17]: ある訳ない
177 名前：working woman [04/11/06 20:44:11]: >>136さんの答え、ちょっとだけ減点
178 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 22:33:02]: 微分は線型代数か？
179 名前：ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw [04/11/06 22:52:21]: Re:>178 微分作用素は線型である。
180 名前：king134 [04/11/06 22:53:35]: 馬鹿だな非線形微分作用素もあるでよ
181 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 22:56:41]: アホやね
182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/06 22:57:32]: Garbage in, garbage out.
183 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 23:32:04]: 擬微分作用素は線形である。
184 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 23:37:41]: 馬鹿だな。
現在理論が出来ているのが線形と言うだけだよ。
既成数学からはみ出したく無いという馬鹿は大体想像できる。
流行の話題で論文を手っ取り早く書こうとする
アカポス狙いだなｂ
185 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 23:45:17]: >>183には新理論は絶対に作れない
186 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 23:48:54]: 相撲はプロレスか？
187 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 23:49:28]: フーリエ積分作用素は線形である。
188 名前：１３２人目の素数さん [04/11/06 23:51:39]: >>184-185
擬微分作用素の定義をいってみなｗ
189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/06 23:53:32]: >>184は包茎である。
190 名前：１３２人目の素数さん [04/11/07 00:01:39]: このスレ、レベルが低くなったな。
191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/07 00:09:23]: もともと２ちゃねる、高が知れてる。
192 名前：１３２人目の素数さん [04/11/07 00:43:58]: ×　高
○　多寡
193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/07 00:47:17]: 恥ずかしい知ったかぶり野郎

高が知れてる　○
多寡が知れてる　×
194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/07 06:48:46]: 多寡をくくれ
195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/07 08:47:44]: ガダルカナル多寡
196 名前：１３２人目の素数さん [04/11/08 02:36:33]: 多寡多寡可算個
多寡関数
多寡木貞治
197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/08 03:09:53]: 非線形微分作用素ってのはd(x+y)=d(x)+d(y)となるとは限らないけど
d(xy)=xd(y)+d(x)yとなる作用素を意味するのかね。

とすると例えばZ上ではd((2k+1)*2^n)=(2k+1)2^(n-1) (n>0)　 d(2k+1)=0 d(0)=0
で定義されるd:Z→Zとかになるのかな。
198 名前：１３２人目の素数さん [04/11/08 14:57:48]: スレ違い
199 名前：１３２人目の素数さん [04/11/08 19:26:04]: n次正方行列の固有多項式が最小多項式を因数に持つのはどうしてでしょうか？
200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/08 21:45:05]: >>199
ハミルトン-ケーリーの定理と体上の一変数多項式環で割り算定理が成立することによる。
201 名前：１３２人目の素数さん [04/11/10 20:31:33]: 線型代数は体力だだだだだだだぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ
202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/11 01:16:49]: >>201
勘違いはよくあるけど，もうちょっと良く考えようね♪
203 名前：working woman [04/11/11 14:29:16]: 問題を１題出すわね。易しいけれど。

V を実数体 R 上のアレフゼロ次元ベクトル空間とするとき、
その双対空間 Hom (V, R) は R 上アレフ次元である。

暇な人解いてみて。
204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/12 13:18:30]: >>203
V の基底を Z+ で番号づけると、Hom (V,R) の任意の基底は、それによって 0 に移される
V 基底の部分集合で分類できる。その類の数は Z+ の部分集合の数で 2^Z+ と表現できる。
2^Z+ がアレフ濃度であることは周知のことである。各類に少なくとも一つの０でない元が存在し
各類の元が互いに異なることは容易に確認できる。

ではどう？
学部生なら V についての基本の確認まで必要かな？
205 名前：working woman [04/11/13 02:29:04]: >>204
その議論あかしく無い事?
もし正しければ同様な議論で、
V が n 次元なら Hom (V, R) は 2^n 次元?
206 名前：204 mailto:sage [04/11/13 10:15:52]: >>205

可笑しいでつね。逝きます！
207 名前：204 mailto:sage [04/11/13 13:08:48]: >>205
戻って来ました。>>204 の
＞各類の元が互いに異なる
がいい加減だった。V の次元が有限で無い時は部分集合の有限個の組に対し、
互いに独立な元を選べることをちゃんと言わなきゃいかんかった。

追加のアイデアだけ。V 基底を v_i ；i = 1.2,…,n,… とおく。
Hom (V, R) の基底セットとして v*_i ； v_j ---> δ_ij 、を含むものが採れる。
N ＝ { i } を Z+ の無限部分集合とする時、 f ＝ f(i) v*_i、f(i) ≠ f(j)；for i≠j ∈ N 、とおき、
f^k ＝ f(i)^k v*_i とおくと、f^k ；k ＝ 1.2,…,m,… は一次独立である。(ここは雑かな？)

ある無限部分集合 N に対して、その相異なる真部分集合の幾つかの組 { N_j } に定められた、
g_j は互いに一次独立とすると、 N のある無限真部分集合 N＿n に対して得られる ( g_n )^k；k＝1.2,…
は他の一次結合ではを表すことはできない。よって N に対し、g_1 , g_2 , … , g_n , … , と ( g_n )^k
の一次結合で得られるある f を選べ { g_j } と独立にできる。
互いに異なる無限部分集合の数がアレフは明らかで良いかな。

といった感じでどうでしょ！！、無限は面倒だ。
208 名前：１３２人目の素数さん mailto:あげ♪ [04/11/13 21:57:59]: 線形代数の分かりやすい参考書ありませんか？
問題もついているようなのがいいです(；´∀｀)

学校で使用しているテキストは問題の答えがなく、
とても分かりづらいので・・・。

御願いします。
209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/13 22:08:39]: >>208
www.math.tohoku.ac.jp/~kojihas/index-j.html
こやつの書いた本が一番。誤植訂正表も見よ。
210 名前：１３２人目の素数さん [04/11/14 00:00:41]: >209
高いよ
211 名前：１３２人目の素数さん [04/11/14 00:33:31]: 線形代数キャンパスゼミ
馬場敬之
212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/14 00:39:22]: >>208
石村園子「すぐわかる線形代数」
213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/14 01:53:29]: >>209
最近その本を薦めるやつが多いな・・・。あやしい。
214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/14 10:05:22]: >>213
おれはちょっと勧めたけど一番だとは思わんな。
215 名前：１３２人目の素数さん [04/11/14 16:50:17]: もっと安いのないのか？
216 名前：１３２人目の素数さん [04/11/14 18:55:00]: 「新修線形代数」
梶原壌二
217 名前：working woman [04/11/15 13:18:25]: >>207
レスが遅くなってご免なさい。
何度か読んでみたけど私には理解不能だわ。
もう少し明快な言葉で書き直してくださらない？
218 名前：204 mailto:sage [04/11/15 13:57:04]: 証明をちゃんと書くのは、手間取りそう。

考え方は、n 次元ベクトル空間の双対空間は、n 個の点からなる集合上の R 値関数と
捉えられる。

1、無限個の場合、単射関数のベキは互いに一次独立。

2、可算無限個の集合 Z+ には無限個の元を含む部分集合(可算部分集合)はアレフ個ある。

3、m 個の異なる可算部分集合の上の関数は一次独立な関数を m 個採れる。

と云う事をベクトル空間の言葉で書いてみたつもりだが、そう読めなかった？
1、2、3、の何処か変か？

と書いている内に気付きました、

1’、無限個の場合、単射関数の実数ベキは互いに一次独立。

で十分でしたね。やはり簡単だった？
おかげさまで勉強なりました。
219 名前：204 mailto:sage [04/11/15 14:00:29]: >>218

訂正

＞1’、無限個の場合、単射関数の実数ベキは互いに一次独立。
===＞
1’、無限個の場合、正値単射関数の実数ベキは互いに一次独立。
220 名前：１３２人目の素数さん [04/11/15 18:09:46]: >>218
まだ意味不明なので模範解答を書いておくわね。

i) R, Hom (V, R) の濃度は何れもアレフなので、
次元もアレフ以下

ii) a ∈ R について w_a ∈ Hom (V, R) を
w_a = (1, a, a^2, a^3, ......) と置くと、ヴァンデルモンドの行列式より、
{w_a | a ∈ R} は一次独立、よって次元はアレフ以上。
但し、 (b_1, b_2, .... ) は V の基底 v_1, v_2, ..... を b_1, b_2, .... ∈ R に写す元。

これらより出る。
221 名前：204 mailto:sage [04/11/15 18:32:27]: >>220

なるほど。

>>217 の導入部、>>218 両方とも、分らないですか？
おれ、なんか勘違いしてるかな？
222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/15 19:30:55]: >>220
では、R の代わりに Z/2Z だったら？
223 名前：working woman [04/11/15 20:25:40]: >>220
名前忘れ
>>222
当然アレフ次元
>>221
用語の意味が不明確ね。
224 名前：222 mailto:sage [04/11/15 20:29:31]: >>223
証明できる？
225 名前：204 mailto:sage [04/11/15 20:34:56]: >>222
>>217 が判れば自明。
226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/15 20:56:44]: >>225
すまないが、>>207 は定義されていない記法だらけでよくわからない。
しかし、記号の解釈が間違っていなければ、Z/2Z だと f=f(i) v*_i=f(i)^k v*_i=f^k だ。
227 名前：204 mailto:sage [04/11/15 22:07:04]: >>226

リンクの不注意で済まなかった。>>218、>>219 が本論。

双対空間の元は、可算個の基底セットに対し、各基底に Z/2Z ＝ { 0 ,1 } の値を定める。
双対空間の元 f は基底の集合を二つのの部分集合に分ける。

部分集合の濃度＝双対空間の濃度＝アレフ。係数体が二個の集合だから

双対空間の基底セットの濃度×2＝双対空間の濃度＝アレフ、
よって、双対空間の基底セットの濃度＝アレフ

こう言えば良かったのですね。ありがとう。R より楽ですね。207、218、はゴミかも。

まだ危ないか？
228 名前：204 mailto:sage [04/11/15 22:11:43]: >>227

×2 は不要？

どうも危ない！
229 名前：204 mailto:sage [04/11/15 22:44:08]: >>227

双対空間の元 f は有限個の基底の和だから

双対空間の基底セットの濃度×アレフゼロ＝双対空間の濃度＝アレフ

でした。よって双対空間の基底セットの濃度＝アレフ

モタモタでした。
230 名前：５０５ mailto:sage [04/11/16 16:32:35]: 簡単な問題なのかもしれませんが、解けなくて困ってます。
どなたか教えてください・・・。
『正方行列A,BがAB＝０を満たしているとき、AまたはBの行列式は０であることを証明せよ。』
231 名前：１３２人目の素数さん [04/11/16 16:34:32]: ＞２３０
ワロタ
232 名前：１３２人目の素数さん [04/11/16 17:11:14]: >>230
バカか？
AB=O　∴det(AB)=det(O)=0　∴det(A)det(B)=0　∴det(A)=0 or det(B)=0　N.L.P.
233 名前：１３２人目の素数さん [04/11/18 23:23:18]: 線形代数の問題なのでこちらに書きます。
行列A=(...) の固有多項式が(x-a)^3(x-b)^2 なのですが、A の最小多項式を求めるには
(A-aI)^3(A-bI)^2
(A-aI)^2(A-bI)^2
(A-aI) (A-bI)^2
(A-aI)^3(A-bI)
(A-aI)^2(A-bI)
(A-aI) (A-bI)
を全部計算して確かめる以外にどんな方法がありますか？
5×5行列の計算を回も計算するのが手間なのでもう少し限定したいのです。
234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/18 23:48:09]: この行列の場合はA-aIやA-bIのランクを計算するといいかも。
235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/19 00:05:48]: >>234
rankが関係するか？
236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/19 00:10:18]: >>235
するよ。教科書読めば？
237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/19 00:30:44]: ん？ rank A-aI, rank A-bI が5だった場合以外は全部計算しないといけないよな？
なんか間違ってた？
238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/19 00:32:57]: >>237
もっとよく考えろ。
それに rankA-aI = 5 になることはないぞ。
239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/19 00:48:48]: >>238
そうか、見落としてた。サンクス

固有多項式だから rank は 5にならない
それと次数が3次と2次だからもう少し限定される

他に何かある？
240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/19 01:01:37]: >>239
5-rankA-aI は固有値aに属する固有空間の次元。
それがわかればジョルダン細胞の形がすぐにわかるだろ。
aの広義固有空間はたかだか3次しかないんだから。
241 名前：１３２人目の素数さん [04/11/19 20:04:05]: 正規形の定数係数線形常微分方程式系 dx/dt = Ax で，
係数行列 A が交代行列である場合の性質等を詳しく扱っている本
（洋書・邦書問わず）がありましたら教えていただきたいのですが．
242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/19 20:08:55]: >>233
対角化可能なら (x-a)(x-b)
243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/20 16:15:42]: a = b なら、 x - a と言う事もあり得る。
244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/21 06:59:56]: 固有多項式って |A-xE| と |xE-A| のどっちよ？
245 名前：１３２人目の素数さん [04/11/21 09:17:07]: それ気になる
とりあえず自分は|xE-A|使ってる
246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/21 09:25:36]: |xE-A| を使ってる方がセンスいいけどな。
247 名前：１３２人目の素数さん [04/11/23 20:06:10]: |E + Ax| のほうがセンス良い。
248 名前：ChaosicSoul ◆/yaJbLAHGw [04/11/23 20:08:41]: Re:>247 ?
249 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん]: あぼーん
250 名前：１３２人目の素数さん [04/11/23 20:48:06]: 深夜や休日など、込み合った時間を避けてカウント厨や
糞スレが立ったり上がったり
ウザイあぼーん候補レスが沢山つくのは数学版の仕様でつか?
251 名前：１３２人目の素数さん [04/11/23 20:48:30]: 246>>
固有多項式は|xE-A| でしょう。
|A-xE| は永年…かな？
252 名前：１３２人目の素数さん [04/11/23 21:23:22]: 線形代数をしっかりと独学できる本を教えてください。
253 名前：１３２人目の素数さん [04/11/23 21:37:03]: 484 ：：04/11/23 19:11 HOST:YahooBB219174040245.bbtec.net<8080>
152 ：依頼：04/10/11 15:38:30 HOST:33.93.215.220.ap.yournet.ne.jp
執拗なまでのコピペ荒しです。「うんち食いたい」や、某コテハンのアドレスを各スレにコピペしながら回っているようです。
これでもまだ1/5ぐらいの量です。よければ削除お願いします。永久アク禁してもらいたいぐらいですが。
153 ：依頼２：04/10/20 23:24:48 HOST:14.91.215.220.ap.yournet.ne.jp
名前「********@yahoo.co.jp」（名前がメールアドレスなので一応隠しました）と、
名前「LettersOfLiberty ◆～～～～～」（～～～はいろいろと）、
名前「FeaturesOfTheGod ◆～～～～～」における共同荒らしが２ヶ月ほど絶え間なく続いていて数学の議論ができない状態です。
このキーワードでレスを摘出していただければわかります。
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1097495449/
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1095390340/
この２スレを見ていただければ、続いている荒らしについての議論がされています。
挙げた例はほんのわずかな例です。上から順にスレを開けばほとんどのスレが荒されているのがわかります。
いくつかすでにレスが削除されている様子ですが、それは荒らしレスの1/100ほどです。
尋常じゃないです、どうにかしていただきたい。
157 ：∂ ：04/11/20 05:40:32 HOST:65.98.66.20
163 ：π ：04/11/20 21:11 HOST:tetkyo024225.tkyo.te.ftth2.ppp.infoweb.ne.jp<80><8080>
171 ：：04/11/23 16:10 HOST:glass.ipe.tsukuba.ac.jp<80><8080><3128><8000><1080>
254 名前：１３２人目の素数さん [04/11/24 23:18:09]: センスの無い奴らめ
255 名前：１３２人目の素数さん [04/11/26 00:02:37]: SL(2,Z) は位数6の元を持つ
256 名前：１３２人目の素数さん [04/11/26 13:28:36]: 非線形代数ってなんなの
257 名前：１３２人目の素数さん [04/11/26 20:01:17]: >>2^8
非(線形代数学)≠(非線形)代数学みたいなものだ
258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/27 11:16:04]: その説明では
１＋１≠１１みたいなものだ
と言っているのに変わりない
259 名前：伊丹公理 [04/11/27 16:37:04]: >>257
口出すなアホ
260 名前：１３２人目の素数さん [04/11/27 17:29:45]: 口が駄目なら顔に出す
261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/27 17:44:26]: お腹にって言ったのに！
262 名前：１３２人目の素数さん [04/11/27 18:35:00]: 線形空間の１つの一般化として、左Ｒ加群というのがありますが、
他にどのような一般化があるでしょうか？
263 名前：伊丹公理 [04/11/27 18:37:38]: 色々ある。
加群層、位相加群、・・・
264 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/11/27 18:49:11]: >>260-261
ワロタ
265 名前：１３２人目の素数さん [04/12/02 08:21:06]: Imっていったいどういうことなんでしょう？初歩の初歩だと思うのですがいまいち理解できません。
266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/02 08:53:52]: ドイツ語で in dem の省略形。確かに初歩の初歩。

ていうかどんな文脈で出てくる Im よ？
関数の image のことか？ y ∈ Im(X) みたいな？
267 名前：１３２人目の素数さん [04/12/02 09:12:38]: >>266
そうですです。
T：A→Bがあったとして
任意のAがもれなくBの範囲に収まればIm（T)ってことなのでしょうか？
定義だと思ってたらあとあとにIm(T)の基底を求めよとなってたのでまたまたわからんくなってしまいました
268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/02 09:29:05]: >>267
> Im（T)ってことなのでしょうか？

その文、何が述語なんだよ・・・。
Im(T) って、文じゃなくて物の名前だよ・・・。

> T：A→Bがあったとして
> 任意のAがもれなくBの範囲に収まれば

いや、収まるからこそ T が A から B への関数になるんだよ・・・。
収まんなかったら普通は B への関数って言わないからね・・・。

具体的にその
> T：A→Bがあったとして
で書くとだな。 Im(T) は、 B の要素のうち、 A の要素を T で送った
送り先になっている要素からなる空間のこと。
例えば T が T(a) = 0 を満たす、つまりすべての a∈A を 0∈B に
送る関数だったら、 Im(T) = { 0 } だ。 0 だけからなる空間。
それでは A=B=R で T(a) = a/2 だったら、 Im(T) はどうなる？
269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/02 10:19:06]: Im(T:A→B) = T(A)
270 名前：268 mailto:sage [04/12/02 10:39:56]: >>269で納得されたら俺の立場がねえ・・・

ていうか>>267よ、別に礼とかは要らんが返事はしてよね
271 名前：１３２人目の素数さん [04/12/02 10:55:08]: >>268
おそくなりますた
答えはIm(T)＝｛a∈R：T(a)＝a・1/2｝
ですか？
272 名前：268 mailto:sage [04/12/02 11:01:03]: なんだ、集合論の記法使っても大丈夫だったか。

> 答えはIm(T)＝｛a∈R：T(a)＝a・1/2｝
> ですか？

いや、結果的にはそれでもあってるんだが、できれば
Im(T)=R と答えて欲しかった。問題がよくなかった。

ていうかたぶん誤解してそうなので第2問。

A=B=R^2 、ユークリッド平面ね。で、 T(x, y) = (x, 0) 。
さて Im(T) はどんなだ。
273 名前：１３２人目の素数さん [04/12/02 11:13:46]: Im(T)＝｛Im(T)=R^2：T(ｘ)＝ｘ、T(y)=0｝
でどうでしょう？
こういう場合基底とかどうなりますでしょう？
274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/02 11:38:00]: > Im(T)＝｛Im(T)=R^2：T(ｘ)＝ｘ、T(y)=0｝
> でどうでしょう？

間違っちょる。
ていうか書いてることがあまり意味をなしてないぞ。
T(y)=0とか、書いてておかしいと思わないか？

集合論の記法で Im(T) を定義するとな、
　Im(T) = { b∈B ： ∃a∈A ( T(a)=b ) }
　Im(T) = { b∈B ： T(a)=b となるような a∈A が存在する }
となるんだが、ここまではわかる？
275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/02 21:20:20]: つか、像空間が分からなければ、値域も分からないんじゃないの？
高校のとき何やってたんだ？
276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/03 21:09:39]: Ker(T)もあるね
277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/04 03:20:21]: 行列の大きさって何なのでしょう？
よく行列式を使うけど、ほんとにアレでいいのでしょうか？

一応、体積云々の説明は聞いたのですが、どうも納得がいかないです。
たとえば2次元でも、行列式は行列の大きさとして妥当なのですか？

( 11 7 ) ( 9 5 )
(　7　5 ) ( 2 3 )
私には左の方が大きい行列に感じるのですが？
278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/04 23:43:56]: >>277
「何のため」に行列の大きさを評価したいか、
それを教えてもらわないと、
行列式の評価が適当か否か判らんよ。
279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/05 00:23:12]: >278
工学部の1年です。
線形代数の講義で「行列と行列式の関係は，数と絶対値みたいなもの」
と言われて納得できなかったんです。
特に「何のために」評価するとかは考えていないのですが、
評価方法はいくつかあるのでしょうか？
280 名前：278 mailto:sage [04/12/05 02:52:49]: >>279
世の中にある指標だけで勝負するの？

例えば、>>277 での左の方が「大きい感じがする」というのを
素直に指標化したいならば、
　※全ての要素の絶対値の和
を指標として評価すれば、
　左=30　＞右=19
となるよね。

行列式は、数学的には、ｎ次正方行列に対応する体(スカラー)で、
　det(A)=Σsgn(σ)a[σ(1)1]・a[σ(2)2]・・・a[σ(n)n]
　σ … n次置換の符号
が定義。で、例えば、 2次の正方行列のときで考えて、これを
縦ベクトルが２つ並んだモノと思ったとき、A=(ベクトルa ベクトル,b)として
　※ベクトルaとベクトルbのなす平行四辺形の面積
という幾何的意味づけをつけることができるのだった。このとき、
>>277 の例で言えば、
　※左の例は、要素は大きいけど、なす角が小さいから、面積が小さくて
　　なす角の大きい右に負ける
という意味を考えることができる。(ホントは向き付けによる符号もあるが。。。
（３次の正方行列ならば、３つのベクトルのつくる立体の(向き付けによる符号付き)体積）

行列それ自体には、数学的には意味がないから、>>278 で言いたかったのは、
　※どういう目的で行列を使おうとして、その目的に対して
　　どういう指標を用いるかを考えねばならない
ということ。２番目の例のようなことを考えるときなら行列式は指標として役立つよね？
　
281 名前：278 mailto:sage [04/12/05 02:55:08]: >>280の補正
行列それ自体には、数学的には意味がないから、
↓
行列それ自体は、数を方形に配置したもので、
いろんな意味づけが考えられるから、
282 名前：１３２人目の素数さん [04/12/05 05:23:30]: age
283 名前：１３２人目の素数さん [04/12/05 07:40:06]: 人間の大きさって何なのでしょう？
よく身長を使うけど、ほんとにアレでいいのでしょうか？
284 名前：１３２人目の素数さん [04/12/05 08:01:46]: シローの第二定理をチョーわかりやすく説明してくれ。
本の丸写しはやめてくれ!!
285 名前：１３２人目の素数さん [04/12/05 10:25:27]: マルチやめれ
286 名前：１３２人目の素数さん [04/12/05 18:50:31]: このすれは親切な香具師が多いな
287 名前：268 mailto:sage [04/12/05 19:07:06]: おーい、>>265よ、もういいのかー？
288 名前：１３２人目の素数さん [04/12/05 23:58:56]: 当方物理学科で量子力学をやり、無限次元における線形写像の固有値とか習っています
零空間と零点、零集合の違いがいまいち分かりません
289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/06 12:50:39]: >>288
定義書いて見ろ
290 名前：１３２人目の素数さん [04/12/06 18:08:17]: 今度の冬休み線型代数を極めようと思ってます。
佐竹一郎、斎藤正彦の本以外でやるべき本はありますか？
よろしくお願いします。
291 名前：１３２人目の素数さん [04/12/06 20:05:33]: >>290
佐竹一郎、斎藤正彦など捨ててブルバキ代数2,3で冬休みを無駄に過ごそう。
292 名前：１３２人目の素数さん [04/12/06 20:12:04]: >>290
それで十分
ブルバキは読むな
293 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [04/12/06 20:43:05]: ブルバキ数学書は今年は読めないだろう。
論文書かなくていい年に読めばいいか。
294 名前：１３２人目の素数さん [04/12/07 18:26:45]: 実係数のｎ次正方行列で、実数の固有値を持たないものが
存在するための、ｎに関する必要十分条件を教えてください。
295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 18:31:58]: ｎは２以上であることが必要十分
296 名前：sage [04/12/07 18:56:20]: >>295
証明のポイント、ご教授願えますか？
297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 19:02:29]: - n=1であれば固有値は常に実数
- n>=2であれば，例えばn次単位行列の
左上隅4箇所を
a_11=a_22=0, a_12=-1, a_21=1
に変更した行列を考えればよい
この行列は実固有値をもたない
298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 19:08:00]: >>297
ふーむ、ありがとうございます。
ちょっとやってみます。
299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 19:52:54]: n=3のとき任意の実係数のｎ次正方行列は特性多項式３次だから実数の固有値を持つのでは？
300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 20:06:37]: ｎが偶数のときだな
301 名前：２９８ mailto:sage [04/12/07 20:25:08]: 理解できたっぽいです。
ありがとうございました。
302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 21:12:13]: ぽい　で理解とは傲慢甚だしいぞ。
303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 13:32:17]: 平凡なテキスト風(斉藤or 佐竹スタイル)でない特色のある本ってありますか？
今考えているのは、ギルバート・ストラングの「線形代数とその応用」ですけど、他にも
個性的な本はあるのかなと。

「やさしい...」シリーズは結構です。
304 名前：伊丹公理 [04/12/08 23:03:13]: あるよ。
マリツェフ（マルシェフ）、線形代数学、 I, II, 東京図書
305 名前：１３２人目の素数さん [04/12/08 23:37:02]: マルチスレになって申し訳ないのですが
ベクトルaがa_1,a_2,…,a_rの１次結合で、a_i(i=1,2,…,r)が
b_1,b_2,…,b_sの１次結合で表されるとき、aはb_1,b_2,…,b_sの
１次結合で表されることを示せ。(a,bは全てベクトルです)
だれか教えてください
306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 23:54:40]: >>305
その文章を数式に置き換えるだけだよ。定義を思い出せ。
307 名前：１３２人目の素数さん [04/12/09 09:44:36]: >>303
『線型代数とその応用』については，慶應の戸瀬せんせが
「文系学部の学生に教えることになってこの本で勉強したが，
たいへんよくわかった．」
とか言ってたなあ．
308 名前：１３２人目の素数さん [04/12/11 20:48:13]: はき出し計算が苦手なんですが、なんかコツとかありますか？
309 名前：１３２人目の素数さん [04/12/11 21:58:49]: >>305
線形代数とは何かソーヤー岩波書店
はどうよ？絶版だから図書館で見てちょ。
310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/11 22:01:51]: >>308
機械的な操作だろうが。
女ぬ子のあそこをシェイクでもして指を鍛えとけ。
311 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [04/12/11 22:19:31]: Re:>310 シェイクは私に代わってくれ。
312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/11 23:34:41]: うちのばあさんを紹介するよ
313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/13 10:03:23]: すみません、教えてください。

Ｗ1,Ｗ2をＶの部分空間とするとき、
　dim(Ｗ1+Ｗ2)＝dim(Ｗ1)+dim(Ｗ2)-dim(Ｗ1∩Ｗ2)を詳しく証明せよ

という問題でお手上げです、、
方針としてはdim(Ｗ1∩Ｗ2)=ｒ,dim(Ｗ1)=r+s,dim(Ｗ2)=r+tとおき、
Ｗ1∩Ｗ2の基{a1,･･･，ar}をとったりするのらしいのですが。。
お願いします。
314 名前：とらぬ狸 mailto:sage [04/12/13 11:10:52]: Ｗ_1∩Ｗ_2の基底{a_1,･･･, a_r}
W_1の基底{a_1,･･･, a_r, b_1, ・・・, b_s}
W_2の基底{a_1,･･･, a_r, c_1, ・・・, c_t}とする。
∑_{i=1}^s k_ib_i + ∑_{j=1}^t l_jc_j = 0とする。
∑_{i=1}^s k_ib_i ≠0とすると、∑_{i=1}^s k_ib_i∈Ｗ_2
なので、∑_{i=1}^s k_ib_i＝0⇒k_1=・・・=k_s=0
b_1, ・・・, b_s, c_1, ・・・, c_t は一次独立

あるいは、Ｗ_1 ⊕ Ｗ_2 → W_1 + W_2　(a,b)→a-b
のkernelがＷ_1∩Ｗ_2（と同型）
315 名前：313 mailto:sage [04/12/13 11:20:30]: >>314

ありがとうございます！！
316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/14 09:20:27]: 線形独立とは簡単にいうとどういうことなんでしょうか？
317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/14 10:57:07]: 線形性を満たした上で、独立になっている。
318 名前：１３２人目の素数さん [04/12/14 11:24:11]: アホ
いい加減なことを言うな
319 名前：１３２人目の素数さん [04/12/14 17:47:25]: ｎ次の正方行列A,Bに対して AB＝E ならば BA＝E を示せ。

の証明は高校の範囲では無理ですか？
320 名前：１３２人目の素数さん [04/12/14 17:57:30]: >>316
ベクトルの組{v1,v2,..,vn}が線形独立とは、その中のどの一つも
他のものの線形結合にならない。だから無駄がない。
321 名前：１３２人目の素数さん [04/12/14 18:04:37]: >> 319
AB=Eの両辺の逆行列をとると B^-1 A^-1=E 。左からB、右から A を掛けると
E=BA 。
322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/14 18:06:35]: >>321
だめ
323 名前：自力じゃ無理だろう mailto:sage [04/12/14 18:35:44]: >>319

でも、以下を理解できる者は居るだろう。

AB=E , BA'=E ならば -----> はじめの等式に左から A' を掛ける ABA'=A'
この等式の左辺後半に二番目の等式を適用すると、
ABA'=A よって A=A' 、これを二番目の等式に代入して BA=E
324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/14 18:37:45]: >>321
>>321
>>321
>>321
>>321
>>321
>>321
>>321
>>321
325 名前：１３２人目の素数さん [04/12/14 21:28:56]: >>323
BA'=EとなるA'の存在はなぜいえるの？
326 名前：自力じゃ無理だろう mailto:sage [04/12/14 21:44:25]: >>325

体係数の正方行列については、直接 A' を構成されるが、高校生向きではない。
A' の存在は仮定。つまり、別の話にすり替えた。悪かったかな。
327 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [04/12/14 22:23:22]: 集合Sに結合法則を満たす二項演算が入っていて、
∃e∈S,∀a∈S,ea=a,
∀a∈Sに対して左逆元が存在するとき、
実はSは群になる。
([>319]の問題をこの定理に持ち込みたいわけだが、果たしてできるだろうか？)
328 名前：１３２人目の素数さん [04/12/15 05:57:10]: AB=E ならば R^n の一次変換 x -> Bx は単射。したがって全射。
よって BA'=E となる A' がある。
A=AE=A(BA')=(AB)A'=EA'=A'だから BA=E。

「R^n の一次変換が単射ならば全射である」
が高校の範囲で何とかなるのか。
329 名前：１３２人目の素数さん [04/12/15 08:27:49]: >>319は帰納法で高校生向きになんとかならないかな。
330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/15 09:13:48]: AB=E⇔B=A^{-1}, A=B^{-1} 正則な行列の積は正則。とか言っちゃってもいいですか?
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/15 10:45:16]: 逆行列の定義は AB=BA=E だから、それでは駄目なんだよね。
332 名前：自力じゃ無理だろう mailto:sage [04/12/15 11:21:36]: >>328

うまいね。参考になる。

でも、R^n の一次変換となると、普通の高校生にはマネージできないね。
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:」 [04/12/17 01:10:42]: >>331
だめじゃないんだよね。
334 名前：１３２人目の素数さん [04/12/17 22:17:32]: 今の高校生ってnxn次の行列までやるの？
335 名前：伊丹公理 [04/12/17 22:38:58]: やらないよ
336 名前：１３２人目の素数さん [04/12/17 23:33:23]: 3ｘ3はやる。
337 名前：伊丹公理 [04/12/18 00:00:42]: スレが停滞しているので、前スレにあった質問から一つ引用しよう。
勿論明快な答えレスもついていた。

正方行列 A の逆行列を A^ で表す事にする。
A, B が正定値実対称行列で、 A - B も正定値なら、 B^ - A^ も正定値。
であることを示してください。
338 名前：伊丹公理 [04/12/19 02:22:39]: 線型代数の易しい演習問題を一つ
次の行列式を計算せよ

|100 101 102 103|
|104 105 106 107|
|108 109 110 111|
|112 113 114 115|

制限時間10秒
339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 02:33:18]: ヲイヲイ．．．
340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 02:44:13]: >>338
一分以上かかっちゃったよ…。
341 名前：伊丹公理 [04/12/19 03:38:21]: 等差中項を知らんのか?

第1列 + 第3列 = 第2列×2
第4列にかかわりなく行列式 = 0
342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 07:50:48]: 10秒でそんな偶然には気づきませんって
作問者には必然なんだろうけど

ってか誰にも解けない因数分解の問題くらい
中学生でも作れるぞ
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 09:36:35]: >>342
「制限時間10秒」と書かれたら
行／列ベクトルの線型従属性を
探すのが反射神経というもんだ
344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 09:44:01]: なにその無駄な反射神経
345 名前：１３２人目の素数さん [04/12/19 09:53:06]: 俺は線形従属性を探すまでもなく0とわかったけどな。
制限時間10秒ときたら、答えは0か1にきまっとる。
346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 09:56:27]: 線型従属性を探すのにかかる時間なんて
338の場合なら高々1~2秒だよ
347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 10:01:49]: >>345
0になることを10秒以内に示すには
線型従属性を示すしかないが
348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 10:05:15]: 「制限時間10秒」から線型従属性を探せばよいと1秒で判断
⇒2*4C2=12通りを1通りあたり0.75秒でチェック

うーん、俺には無理じゃないかなあ
練習したらできるようになるかもしれないがそんな練習したくねー
349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 10:11:21]: この程度の問題に練習が必要なようであれば
数学的直観が未成熟ということです

線型代数の教科書を繰り返し読みましょう
350 名前：１３２人目の素数さん [04/12/19 10:17:57]: >>348
12通りも探さなくても、等差数列になってるのは気づくだろうに。
351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 14:23:30]: 村上直樹みたいなやつばっかだな
352 名前：１３２人目の素数さん [04/12/19 16:33:41]: 村上直樹って、馬鹿なのか?
353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 19:30:54]: >>338
いい問題だ。
口答試験に使えそう。
354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 19:33:53]: 百の位は要らない気がする
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 19:51:23]: >>354
100の位をつけることで、あえて、自力計算しにくくしているのだと思う。
3でなく、あえて4次にしているところとか。
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/20 17:50:31]: V={X∈M(n,R) | TrX=0}
について、Vの次元と基底を求めろという問題なんですが、
どういう風に考えたらいいでしょうか？
解答を見ても、意味がわからなくて困ってます。
よろしくお願いします。
357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/20 17:57:03]: >>356

まず教科書を読むべきだな。
M(n,R) の基底の例を挙げる事はできるのか？
358 名前：伊丹公理 [04/12/21 16:42:01]: 線型代数演習問題・理論編

a_ij, b_j, i = 1, 2, 3, .... , n, j = 1, 2, .... , m を有理数とする。
この時、未知数 x_i, i = 1, 2, .... , n に関する連立方程式

a_1j*x_1 + a_2j*x_2 + ...... + a_nj*x_n = bj
(j = 1, 2, .... m)

が複素数の範囲で解を持つなら、有理数の範囲で解を持つ。
359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 17:23:06]: >>358
どれくらい詳しい解答を求めるかが微妙な問題だな。
「解は（存在するなら）a_ij, b_jの有理式で表されるから明らか」って解答は○にするのか×にするのか？
360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 17:30:50]: >>359
(a_ij)の逆行列が存在すると仮定してるようなので×。
361 名前：伊丹公理 [04/12/21 17:31:39]: >>359
口頭諮問の時、大声で「明らか」と答えれば　○
それ以外はつっこむ。
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 17:36:05]: >>361
ﾜﾛﾀ。しかし実際にはそれでだいたいわかるかも。
363 名前：伊丹公理 [04/12/21 17:40:18]: >>359
矢張り
＞(a_ij)の逆行列が存在すると仮定してるようなので　×。
だな。
364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 17:41:35]: ハ？もう一度問題言ってもらえますか？（ここ出来るだけいぶかしむような感じで）
「a_ij , （ｒｙ」
え？でもそれって明らかじゃありません？
なんでそういう問題が出るか良く分からないんですけど。

これでｵｹｰ
365 名前：１３２人目の素数さん [04/12/21 17:42:26]: ってか解を持つなら逆行列が存在するから
それが空気のような常識になっている、と言うことでいいじゃん
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 17:47:16]: >>365
>ってか解を持つなら逆行列が存在するから

それは違う
367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 17:48:50]: >>360,363
普通の人間が>>359を読めば
「解は掃き出し計算によって求められるのでa_ij, b_jの有理式で表される」
という意味に解釈する

問題文にはどこにもn=mとは書いてないんだから
逆行列云々を議論しているわけない

キミらレベル低すぎ
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 17:51:36]: b_j ＝ 0 の時、逆行列がなくとも解はある。

この場合、唯一の解しか無いとき、逆行列が在る。
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 17:52:20]: ホントだ書いてねー！orz
370 名前：368 mailto:sage [04/12/21 17:54:36]: m、n を見落とした。
371 名前：１３２人目の素数さん [04/12/21 18:01:17]: >>368
x + y = 0
x + 2y = 0
x + 3y = 0

の解は唯一だが、逆行列は持たない。
372 名前：１３２人目の素数さん [04/12/21 18:01:33]: 論理的に完璧な解答を書こうとするとかなり長たらしくなりそうだな。
いかに簡潔に解答を書けるかがポイントになるかも。

>>359の解答は俺は×にはしないと思うが、減点はすると思う。
373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 18:04:01]: 出題者自身がこの問題を理解できていないようだからスルーしれ
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 18:08:54]: >>372
解答欄を埋め切る程度の詳しさで記述すれば無問題
375 名前：解等は4行 mailto:sage [04/12/21 20:08:36]: 係数行列のランクを r とする。必要なら、添え字の順序を交換することで
A'=(a_ij:1≦i,j≦r)を正則と仮定してよい。j>r のとき x_j=0 として、
Σ a_ij x_j= b_i (1≦i,j≦r)をとけば、A'の逆行列は有理数を成分にもつ
ことから x_j (1≦j≦r) も有理数なので、有理数解になる。
376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 20:14:03]: >>375
0点
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 20:16:24]: >>375
０点
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 20:16:47]: おー、かぶったｗ
379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 20:22:27]: かぶるんじゃね～ゴルァｗ

と言ってみるテスト
380 名前：１３２人目の素数さん [04/12/21 20:51:27]: >>378
何かぶった?

どこかのスレに
「臭いが鼻にこびりついて取れない」
と言うのがあったな。
381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 21:04:50]: ？何いってんの？
382 名前：１３２人目の素数さん [04/12/21 21:06:51]: >>380
www.media-k.co.jp/jiten/imgbbs/bbs1/img-box/img20040511223603.jpg
383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 22:59:06]: 「よくかぶる線形代数」FeaturesOfTheGod・伊丹公理著
384 名前：伊丹公理 [04/12/21 23:36:18]: コテは何をしても叩かれる。
コテはほめられない。

次に出す問題を10秒で解いてみろ
385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/21 23:52:09]: 「○○さん、いつもありがとうございます」と感謝されている
コテもいる。数学板にいないだけｗ
386 名前：１３２人目の素数さん [04/12/21 23:56:56]: >>385
それってうｐ職人とかじゃねーの？ｗｗｗ
387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 00:02:14]: 伊丹公理さんは親切な人だよ。質問に何度も答えてくれた。俺は感謝しているぞ。
388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 00:45:52]: 俺以前ぼるじょあとか（´∀｀）やってたけど叩かれたこと無いぞ
（・３・）　まあぼるじょあは共同体で連続体で群生体だから
コテハンじゃないけどNA
389 名前：１３２人目の素数さん [04/12/22 00:49:25]: ぼるじょあは一見してアホだと分かるから、
誰も相手にしなかったんだよ。
390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 00:50:18]: いや、最後は結局のところ人徳にいきつくと思う
391 名前：１３２人目の素数さん [04/12/22 00:52:46]: ネット人徳って何だ
392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 00:54:01]: まずは荒らさないことが必要条件だな

KINGとその一派は荒らしまわったから蛇蝎のごとく嫌われている
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 00:54:09]: >>358
複素数体を有理数体上のベクトル空間と考え、1 を含む基底をひとつ固定する。
複素数解 x_1,x_2,...,x_n に対し、各 x_i をこの基底の線型結合で表したときの、
1 の係数を y_i とすれば、y_1,y_2,...,y_n が求める有理数解。
394 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [04/12/22 01:06:27]: （・３・）エェー　俺間違ったこと書いたこと無いと思うYO
395 名前：１３２人目の素数さん [04/12/22 01:08:39]: そんな事言って無いよ。
感心する書き込みが無い。
396 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [04/12/22 01:10:52]: （・３・）エェー　だって主に高校生スレで質問に答えてあげてただけだYO
　　　　　　　　　感心させる書き込みなんてやりようが無いZE
397 名前：１３２人目の素数さん [04/12/22 01:13:56]: だから>>388のような発言になるのだろう
398 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [04/12/22 01:15:11]: （・３・）　エェー　ぼるじょあ復活かＹＯ！
399 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [04/12/22 01:16:40]: （・３・）アルェー　他個体が現れたYO
400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 01:23:01]: トリップ割れてるの？
401 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [04/12/22 01:26:42]: （・３・）　先程も言ったけど、ぼるじょあは共同体で連続体で群生体だYO
　　　　　だから複数居るんだZE
402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 01:27:06]: エェー忘れたorz
403 名前：伊丹公理 [04/12/22 01:34:43]: >>393
超明解!
次に出す予定の問題まで解かれてしまった。：

a_ij, i, j = 1, 2, ....... を有理数からなる二重数列、
b_i, i = 1, 2, ....... を有理数列とし、
j を固定したとき、 a_ij ≠ 0 なる i は有限個とする。
このとき、未知数 x_1, x_2, ...... に関する方程式

a_1j*x_1 + a_2j*x_2 + ...... + ........... = b_j
（仮定からこれは有限和）
(j = 1, 2, .... ,.........)

が複素数の範囲で解を持つなら実数の範囲で解を持つ。

>>373の馬鹿には解けなかっただろうな。
404 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [04/12/22 01:35:37]: ぼるじょあ◆yBEncckFOUがヒッキー・初心者の為に質問を聞いてあげるYO♪
ぼるじょあ◆yBEncckFOUは共同体で連続体で群生体だから
無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだYO 24時間、いつでも質問オッケー♪

（・３・）　エェー　どんどん質問してYO♪

答えてくれる人はみんなぼるじょあ◆yBEncckFOUだYO！
名前欄に「ぼるじょあ#ぶるじょあ」って書けばキミも今日からぼるじょあ◆yBEncckFOUだYO！
*ぼるじょあ◆yBEncckFOUはコテハンじゃないYO！
*ぼるじょあ◆yBEncckFOUはみんななれるからイイぼるじょあも悪いぼるじょあもいるYO！
*ぼるじょあ◆yBEncckFOUはエムエクースとニーはよくわからないYO！
*ぼるじょあ◆yBEncckFOUはPC初心者板の人気者だYO！

ぼるじょあ◆yBEncckFOUのフリーソフトを置いてくれてるHPだYO
www.geocities.co.jp/SiliconValley/3908/
405 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [04/12/22 02:03:37]: （・３・）　エェー　ほんとかぁ、試して見るYO
406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 02:05:20]: >>404
そこまでバラしちゃ、荒らしにも悪用されるよ。
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 08:54:50]: >>406
ぼるじょあは半分あらしの代名詞だけどね。

【ﾂﾏﾗﾅｲ】ぼるじょあ（・３・）雑質箱469【人生】
pc6.2ch.net/test/read.cgi/pcqa/1103471537/
408 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [04/12/22 14:16:00]: （・３・）　エェー　ほんとかぁ、試して見たYO
一人増えた?
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 17:10:33]: 選択公理を使わなくてもいい問題に選択公理を使わんでも。
410 名前：伊丹公理 [04/12/22 18:11:40]: >>409

>>384
で出題予告していた問題
>>403
の問題の回答にはこれを想定していたよ。
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 18:28:32]: レベル低杉
412 名前：１３２人目の素数さん [04/12/22 20:04:56]: >>411が「レベルの高い線型代数」のスレ作れよ
413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/22 20:43:25]: >>410
>>409
414 名前：伊丹公理 [04/12/22 21:02:11]: 勿論選択公理を使わない回答も当然あるが、
>>403の問題に対して、に対して>>393の回答ほど程短くて明快なものがあるか?
415 名前：伊丹公理 [04/12/22 21:24:28]: その話題はこれぐらいで終わりにして、今晩の演習問題。

V を複素数体 C 上の n 次元ベクトル空間とする。
これを実数体 R 上のベクトル空間とみなすと 2n 次元になるが、
V の R 上部分空間で GL_C (V) で移らないものはいくつあるか。
問題の意味はお分かりですね。

>>411なら10秒で解けるよな。
416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/23 00:05:47]: ぷ
417 名前：１３２人目の素数さん [04/12/24 05:42:20]: age
418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/24 22:47:26]: >>415
みだらに人を煽るもんじゃないよ。
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/24 23:51:49]: 淫らに？ねぇ、妄りに、でしょう。

レデーは気をつけましょ。
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/25 11:04:53]: 煽りはスルー
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/25 14:16:00]: 問題の意味はお分かりではありません。
422 名前：伊丹公理 [04/12/25 15:48:24]: >>421
出題意図が良く理解されていなかったか。

V = C^n の実線型空間としての線型部分空間 A, B に対し、
V の複素線型空間としての自己線型全単射 f ： A → B があって、
f(A) = B なるとき、 A, B は同値と言う事にする。
このとき同値で無いものはいくつあるかと言う意味です。

複素線型部分空間なら次元によって決まるから、 n + 1 個。
これならお分かりですね。
423 名前：１３２人目の素数さん [04/12/25 18:13:28]: >>393
代数素人なので質問させてください。
>>複素数解 x_1,x_2,...,x_n に対し、各 x_i をこの基底の線型結合で表したときの、
とありますが、
これは有限和なのでしょうか？
また1の係数が解に成るのはなぜなのでしょう？
424 名前：１３２人目の素数さん [04/12/25 18:20:30]: 意味不明。
問題全文書け。
425 名前：伊丹公理 [04/12/25 23:37:18]: >>234
基底だから有限和になります。(位相を考えない限り無限和は出てこない。)

＞また1の係数が解に成るのはなぜなのでしょう？
左辺は有理係数の有限和になり、右辺に出てくる基底は 1 のみなので、
基底の係数を比較する事によって出ます。
426 名前：伊丹公理 [04/12/25 23:39:05]: >>425

引用間違い。

>>423に対するレスです。
427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/27 16:05:27]: ちょっとした事から
一般逆行列やら特異値分解やらを少しやらないと
いけなくなってしまったんですが、
この辺の事が分かりやすく載っている本が
ありましたら、教えて下さい。

よろしくお願いします。
428 名前：１３２人目の素数さん [04/12/27 21:18:16]: age
429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/28 00:39:49]: うーん、日本語の本なら一般線形代数とか、
あとはOPACとかamazonとかを一般逆行列とかでぐぐってみてくれ
なかには大型書店や大学生協で売ってるものもあるかもしれない。

洋書は知らないので、上で調べた本で、手にとって見ることが出来た本の
後ろの参考文献を参照してくれとしか言えないorz

役に立たないレスをｽﾏｿ
430 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 05:40:35]: >>423
有限次元でない空間の基底のことって斉藤でも書いてないし結構知らんよな。
松坂の集合位相(のZornの補題のとこ)を見るといいよ。
431 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 11:30:32]: >>427
もし量子情報関係でやるはめになったのなら、
Quantum Computation and Quantum Information, Nielsen and Chuang
のlinear algebraのところ。
432 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 11:41:37]: >>431
何で量子がこのスレに出て来るんだ?
433 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 12:48:39]: 量子論と線型代数はめちゃくちゃ関係あるが・・・
434 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 12:50:03]: >>433
語りたければ別スレ立てろ
435 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 13:35:17]: 何だ、スレ立てる勇気も知識も無いのか。
436 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 14:53:10]: >>431の温かいレスを擁護した>>433が蹴飛ばされる羽目になるのか
437 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 15:16:25]: スレ立てればいいじゃん
438 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 15:40:21]: お前、勃たないのか？
439 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 16:03:12]: だれかヒントでも良いから教えてくで～

dy/dx = 2y+ 3y'-2y''
dy'/dx = -3y+14y'-7y''
dy''/dx = -5y+19y'-9y''

という連立微分方程式の解き方が教科書に載っていて
その解はexp(2x)、x*exp(2x),exp(3x)
の線形結合で表されると書いてあって，

y=C1*exp(2x)+C2*x*exp(2x)+C3*exp(3x)　C1~3は定数

としてみて、実際に上の連立をみたすのかどうか確かめたんだけど、
上の連立方程式を１段目から満たさない、、ような、、気がするので
どなたか、私のアホな所をお教え下さい
440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/28 17:36:25]: >>439
行列
2　3　-2
-3　14　-7
-5　19　-9
の固有値が2（重解）､3　だから
t(y,y',y'')（tは転置）が3行1列の定ベクトルC1↑、C2↑、C3↑を使って
t(y,y',y'')=C1↑*exp(2x)+C2↑*x*exp(2x)+C3↑*exp(3x)
とexp(2x)、x*exp(2x)、exp(3x) の線形結合で表される。
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/28 21:48:00]: 質問に答えるとスレを立てなくちゃいけなくなるのか。
442 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 22:10:19]: >>440
すいません、頭のいい人には当然のことなのかもしれませんが，
結局yはどのように書き表されるのでしょうか？

y=C1*exp(2x)+C2*x*exp(2x)+C3*exp(3x)　C1~3は定数

ではないのでしょうか？
でもこの式ならば、この式からy'、y''を作ってみて
連立微分方程式の式、例えば一段目
dy/dx = 2y+ 3y'-2y''
を満たさない、、、と思うのですが，，、
443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 01:50:00]: 教科書に書いてあることを誤解している。
444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 12:00:42]: >>443

そこの所、詳しくお願いします、ヒントなりサイトなりなんなりで良いので，

tp://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffcomp/node18.html

でも、解をサラリと書いてあるだけなので，、、私には、、、
445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 14:02:15]: >>444
d/dx と　' は同じものなの？
だとしたら問題が変じゃないかな？
なんて本の何ページ？
446 名前：１３２人目の素数さん [04/12/29 15:12:16]: age
447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 20:04:59]: >>445
実は放送大学の線形代数2という講義の教科書です
線形代数の応用として線形微分方程式の解き方を
紹介しています。

>d/dx と　' は同じものなの？
すみません、ここが私の勘違いの部分でした。実際は
dy1/dx = 2y1+ 3y2-2y3
dy2/dx = -3y1+14y2-7y3
dy3/dx = -5y1+19y2-9y3
と書かれていて、y1,y2,y3という別個の関数を上から求める
ということなんですよね。やっと、わかりました。
別の箇所に微分方程式y'''-6y''+11y'-6y=0の解き方として
y1=y
y2=y'=y1'
y3=y''=y1''=y2'とおいて
dy1/dx = y2
dy2/dx = y3
dy3/dx = 6y1-11y2+6y3
を線形代数的に解くやり方が説明されていましてそういう
解き方だと思っていました。やっと理解できました。ありがとうございます。
448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/30 22:52:32]: 暇つぶしにやってみた学コンの問題です
xの整式p(x),q(x),r(x),s(x)を成分とする行列
A(x)=( p(x) q(x) )
　　　 ( r(x) s(x) )
が、A(0)=E、A(x)A(y)=A(x+y)を満たしている。
定数成分の行列A_0,A_1,・・・,A_kに対して、
　　A(x)=A_0+x*A_1+x^2*A_2+・・・+x^k*A_k
とおけば、A_j=(1/j!)(A_1)^j (j=1,2,・・・)となることを示せ。

これ本当に成り立つ？証明なかなかできねぇ・・・orz
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/31 00:47:45]: >>448
成分が整式だからその最大次数を n とおく。
A_1 (x) = { A(x) - A(0) } / x も整式で成分の最大次数は n-1。
同様に A_2 (x) = { A_1 (x) - A_1 (0) } / x も整式。同様に帰納法により
A_k (x) = { A_(k-1) (x) - A_(k-1) (0) } / x は成分の最大次数 n-k の整式。
A_n = A_n (x) は成分の最大次数 0 の整式だから定数行列。A_k = A_k (0) とおく。
A_(n-1) (x) = A_(n-1) + x A_n 、A_(n-2) (x) = A_(n-2) + x A_(n-1) + x^2 A_n /2
成分毎に区間 [0,x] で定積分を繰り返して
A(x) = A(0) + x A_1 + x^2 A_(n-1) /2 + … + x^n A_n (x) / n! -----1

一方 A(0)=E、A(x)A(y) = A(x+y) より A_1 (x+y) = A (x) A_1 (y) -----2
特に y = 0 とおけば、A_1 (x) = A (x) A_1 よって 2 を繰り返して
A_k (x) = A(x) (A_1)^k 、 A_k (0) = (A_1)^k -----3
1、3 より QED。
少し雑かも知れん。
450 名前：449 mailto:sage [04/12/31 00:55:27]: >>449

記号がずれて、少し怪しい。適当に参考にしてくれ。
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/31 01:37:55]: >>449
サンクス、ひとつ重要なこと忘れてた！
最大次数はｋって書いてあった！すみません、今読んでみます
452 名前：１３２人目の素数さん [05/01/01 18:53:37]: age
453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/04 04:32:30]: 2 1 ... 1 1
1 2 ... 1 1
...
1 1 ... 2 1
1 1 ... 1 2

という m-1 次正方行列の行列式は m になると思うのですが、証明方法(方針)を教えてください。
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/04 05:08:37]: 一列目と最後の列を入れ替えて、一行目を
1 0 0 0 0 ... 0
と変形して、泥臭くは計算できました。

別の方法(があれば)を紹介してください。
明快な方法がありそうなので、、、
455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/04 07:30:09]: 全部の行を足してみる
456 名前：１３２人目の素数さん [05/01/04 07:37:23]: 2 1 ... 1 1
1 2 ... 1 1
...
1 1 ... 2 1
1 1 ... 1 2

m 1 ... 1 1
m 2 ... 1 1
...
m 1 ... 2 1
m 1 ... 1 2

1 1 ... 1 1
1 2 ... 1 1
...
1 1 ... 2 1
1 1 ... 1 2

1 0 ... 0 0
1 1 ... 0 0
...
1 0 ... 1 0
1 0 ... 0 1
457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/04 10:51:43]: >>455-456
サンクス。こっちのほうが明快ですね。

皆さん、今年もよろしくお願いします。
458 名前：伊丹公理 [05/01/04 20:58:45]: >>453　一般に n - 1 次正方行列

a 1 ... 1 1
1 a ... 1 1
...
1 1 ... a 1
1 1 ... 1 a

の行列式は (a + n - 2)*(a - 1)^(n-2)
459 名前： ◆.PlCC3.14. [05/01/05 13:15:29]: Vをベクトル空間，u, u_1, ・・・, u_n をV上の線形形式とする．
Ker(u)⊃∩_[1≦i≦n]Ker(u_i)　ならば　
uはu_1,・・・,u_nの線形結合で書けることを示せ．
460 名前：伊丹公理 [05/01/05 15:43:15]: >>459
∩__[1≦i≦n]Ker(u_i) = {0} の場合に帰着して容易
461 名前： ◆.PlCC3.14. [05/01/06 16:38:00]: n次の正方行列(a_{ij})は，i-j=±1ならa_{ij}=1, そうでなければa_{ij}=0
(a_{ij})の固有値を求む．
462 名前：１３２人目の素数さん [05/01/07 14:52:35]: 461 って質問なんですか？それとも、問題？読み間違えていなければ、有名問題なので、
わざわざ書くのは気が引けるのですが、質問かもしれないので、一応書いておきます。
sin( k*j*pi / (n+1) ) が固有ベクトルになって、固有値は 2*cos(k*pi / (n+1)) では？
(固有ベクトルが、exp(a*j)の線形結合になる事はすぐに分かる。あとは、j=0, j=n+1 で
0 になるようにすれば端の辻褄も合う。固有値は固有ベクトルをかければ求まる)。
間違えていたらごめんなさい。
463 名前：伊丹公理 ◆EniJebfj1w [05/01/07 14:54:12]: >>460は偽者。
最近騙りが多くなったので、トリップつける事にした。
最近の前出は偽者。
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/07 15:04:05]: >>463
トリップが違うな
465 名前： ◆.PlCC3.14. mailto:sage [05/01/07 20:13:04]: >>462
ご丁寧に痛み入ります．
間違っておりません．
466 名前：１３２人目の素数さん [05/01/10 02:57:32]: ａ1,…,ａn　が一次独立であってｂがａ1,…,ａnの線形結合で書けないならば
ａ1,…,ａn,ｂは一次独立であることを示せ。

・・・おｒｚ
467 名前：１３２人目の素数さん [05/01/10 07:57:04]: a_1, a_2, ..., a_nが一次独立．
bはa_1, ..., a_nの線型結合で書けないと仮定する．
このとき，a_1, ..., a_n, bが一次従属であると仮定すると，
c_1 a_1 + c_2 a_2 + ... + c_n a_n + c' b = 0 ・・・(*)
を満たす，自明でないc_1, ..., c_n, c' が存在する．
このとき，(*)を変形すると
b = -1/c' (c_1 a_1 + c_2 a_2 + ... + c_n a_n)
となって，bはa_1, ..., a_n の線型結合となって矛盾．

でよろしいでしょうか？
468 名前：１３２人目の素数さん [05/01/10 08:00:05]: 追加だけど，c'=0 の時は自明ね．
469 名前：313 mailto:sage [05/01/10 21:42:03]: 『すみません、教えてください。

　Ｗ1,Ｗ2をＶの部分空間とするとき、
　　dim(Ｗ1+Ｗ2)＝dim(Ｗ1)+dim(Ｗ2)-dim(Ｗ1∩Ｗ2)を詳しく証明せよ

　という問題でお手上げです、、
　方針としてはdim(Ｗ1∩Ｗ2)=ｒ,dim(Ｗ1)=r+s,dim(Ｗ2)=r+tとおき、
　Ｗ1∩Ｗ2の基{a1,･･･，ar}をとったりするのらしいのですが。。
　お願いします。』

という投稿をし、とらぬ狸さんに解答を指南していただいたのですが、
教授に「全然違うねー」とダメ出しされてしまいました。。

何が違って何が足りないのかサッパリです。。
どなたかご教授お願いします。
470 名前：466 mailto:sage [05/01/10 22:44:56]: >>467
神様、ありがとうございます。
471 名前： ◆.PlCC3.14. mailto:sage [05/01/10 23:47:54]: >>469
b_1, ・・・, b_s, c_1, ・・・, c_t が一次独立だからといって，
a_1,･･･, a_r, b_1, ・・・, b_s, c_1, ・・・, c_t が一次独立とは
限らないからでは？
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/11 00:09:08]: >>469

キミが教授に提出した「解答」をまずUっぷしたらどうかね
方針はあっているんだからね
473 名前：１３２人目の素数さん [05/01/11 00:11:36]: >>469
とらぬ狸さんが何と答えて、あなたが何と教授に
解答したかが全然分からないので
私としても何が違って何が足りないのかサッパリです。
ガウスやガロアみたいな天才ならテレパシーとか
以心伝心で分かるのかもしれないですけど……ｗ
たぶん貴方が
　∑_{i=1}^s k_ib_i ≠0とすると、∑_{i=1}^s k_ib_i∈Ｗ_2
　なので、∑_{i=1}^s k_ib_i＝0⇒k_1=・・・=k_s=0
　b_1, ・・・, b_s, c_1, ・・・, c_t は一次独立
のところを（とらぬ狸さんは大分省略して書いてます）
あまり分かってないのではないかと愚考いたしますです。。。
もしよく意味が分かっているなら、この部分をもっと丁寧に
書いたらいかがでしょうか。（行間を埋める、と言う奴）
線形代数では超有名な事実なので、線形代数の本には
必ずと言ってよいほどこの定理の証明があるので
五冊か十冊、この定理の証明のところだけ読んでみてもいいかもー
474 名前：１３２人目の素数さん [05/01/11 00:12:45]: ごめん、
　とらぬ狸さんが何と答えて
の所はｻｸｰｼﾞｮキボンヌ。
推すより敲くの方が良いもんねえ
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/11 00:41:43]: Ｔが羃零の時、Ｔの特性根がすべて0になることを示せません。
どうやるんですか？
476 名前：１３２人目の素数さん [05/01/11 02:57:15]: Tx=txとかおいて、あとはひたすらTを両辺に掛ける？
477 名前：313 mailto:sage [05/01/11 18:57:02]: なるほど、丁寧なレス感謝です。
478 名前：伊丹公理 ◆EniJeTU7ko [05/01/13 15:39:25]: K を無限体とする。 K 上 n 次元ベクトル空間は、
有限個の n - 1 次元ベクトル空間の和集合にはならない。
479 名前：１３２人目の素数さん [05/01/14 12:04:25]: 2*3の行列式の逆行列はどうしたら求めれますか？
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/14 13:15:00]: 釣れますか?
481 名前：１３２人目の素数さん [05/01/14 13:24:20]: 雑魚が一匹釣れました(^^ゞ
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/14 15:39:53]: >>479
逆行列は求まるよ。
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/16 01:55:20]: >>479
逆行列の性質を一般化した、一般化逆行列というものがあって、それを満たすようなものを考える。たとえば、ムーア・ペンローズ型一般逆行列などがある。
484 名前：１３２人目の素数さん [05/01/16 04:03:39]: そうですか。
485 名前：１３２人目の素数さん [05/01/17 00:54:04 ]: ムーア・ペンローズ型一般逆行列
って、何だい？
486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/18 15:38:43 ]: 明日、試験なのですが…。
講師がどうやら、黒板を間違えたようで、連立微分方程式がとけません…。｡･ﾟ(ﾉд｀)ﾟ･｡

ﾎﾞｽｹﾃ、エロイひ～と。
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/19 19:15:04 ]: >>480
そのカキコだけでこっちに何をしろと？
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [05/01/22 17:33:27 ]: 放送大学で線型代数学んでますが、
難しすぎ。。。

肝心の講義が英語なんだもの…
ヒッツアー先生…日本語で講義してくれよ…

orz
489 名前：１３２人目の素数さん [05/01/22 18:51:07 ]: 来年度から線形代数の教科書を使うことになるな…。
490 名前：１３２人目の素数さん [05/01/22 19:09:11 ]: >488
長岡が外国かぶれ
491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 19:32:46 ]: >>488
何か教科書買えば？
数学が得意（東大京大の上位レベルくらい？）なら
マリツェフがお勧めですよ。あとストラングとかもよかったかと。
492 名前：１３２人目の素数さん [05/01/22 22:34:38 ]: 1.任意のＣ係数正方行列Ｘは、適当なエルミート行列Ａ，Ｂにより
　Ｘ＝Ａ＋iＢの形に一意的に書ける。
2.さらにこのときＸが正規行列であるにはＡＢ＝ＢＡが必要十分。
以上を証明せよ。

A_ij=a_ij +i*α_ij (A_ji=a_ij-i*α_ij )
B_ij=b_ij +i*β_ij (B_ji=b_ij-i*β_ij)
でごちゃごちゃやったんですが、うまくいきません。
どなたかお願いします。
493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 23:18:23 ]: >>492
１．Ｘ＝Ａ＋iＢより　Ｘ^*＝Ａ^* - iＢ^* = A - iB
A=(X + X^*)/2 , B=(X - X^*)/(2i) とすればいい。
２．Ｘ(Ｘ^*) = (A+iB)(A-iB)=A^2+B^2-i(AB-BA)
(Ｘ^*)Ｘ = (A-iB)(A+iB)=A^2+B^2+i(AB-BA)
だから　Ｘ(Ｘ^*) ＝(Ｘ^*)Ｘ ⇔　ＡＢ＝ＢＡ
494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/23 00:43:56 ]: ユニタリ、エルミート行列の実例を示すには、
例えばどのように示せばいいのですか？教えてください。
495 名前：１３２人目の素数さん [05/01/23 01:30:00 ]: (1)
Ａが正則であることとＡの余因子行列が正則であることを
証明せよ。

(2)
Ａが実対称行列ならば余因子行列Ａも対称行列であることを
証明せよ
496 名前：１３２人目の素数さん [05/01/23 01:43:39 ]: 質問なんですけど、ユニモジュラ行列って何ですか？
岩波数学辞典にも載ってないよ・・・
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/23 01:50:41 ]: >>496
行列式が±1の成分が整数の行列。
成分が整数なのに逆行列がある。
さらに行列式が±1なので全体が群になる。

数学辞典に載ってないってマジ?
498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/23 02:35:03 ]: >>497
蛇足かもしれんけどいちおう訂正。
>>成分が整数なのに逆行列がある。
「ユニモジュラ行列の逆行列はユニモジュラ行列になる。」
くらいが正しいかな。

ちなみに日本語で言うと「単模行列」。
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/23 03:02:22 ]: そんな日本語初めて聞いたｗ
500 名前：４９２ mailto:sage [05/01/23 03:28:35 ]: >>493
いけました。
どうもです。
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/23 03:57:01 ]: >>497
あー、そうでした。
502 名前：１３２人目の素数さん [05/01/23 05:20:45 ]: だれか＜４９５＞解いてください。
お願いします。
503 名前：１３２人目の素数さん [05/01/23 05:36:41 ]: 問題
漸化式　x(n+k)+a(k-1)x(n+k-1)+…+a0xn=0　(n=0,1,2,・・・)
を満たす数列{xｎ}全体の次元を求めよ。

答えはkで、それは良いんですが、
どうやってkという答えに持っていくのかがわかりません。
504 名前：１３２人目の素数さん [05/01/23 05:51:52 ]: >>502
マルチはさっさと氏ね
505 名前：伊丹公理 ◆EniJeTU7ko [05/01/23 09:58:03 ]: >>503
どの様にベクトル空間とみなすか書いてないが･･･

数列は最初の k 個の値（初期値）で一意的に決定されるので k 次元。
506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/23 19:56:25 ]: 一時独立というのは、ベクトルの【大きさ、方向】のうち、
　・方向が別である（同一直線状に存在しない。
　・つまり同一方向のベクトルでスカラー量だけが違うという関係ではない。

という意味だと考えていいのでしょうか？
507 名前：１３２人目の素数さん [05/01/23 23:23:06 ]: >>506
ベクトルが二つだけの場合はそれでもいいけど、３つの場合にはだめ。
平面上の３つのベクトルは、方向が別だけど、一次独立ではない。
「どのベクトルをとっても、他のベクトルの一次結合では表せない」でないと。
508 名前：１３２人目の素数さん [05/01/24 05:43:28 ]: だれも４９５とけないのかこのやろ。
つかえねー連中らだな。ぷっ。
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/24 06:07:28 ]: マルチ馬鹿、必死だな。
教科書読んだほうが早いぞ。締め切りは今日の9時か？
510 名前：506 mailto:sage [05/01/24 09:41:26 ]: >>507
ありがとうございます。理解しました。
511 名前：１３２人目の素数さん [05/01/24 12:47:07 ]: >>508 >>495
＞(1)
Ａが正則であることとＡの余因子行列が正則であることを
証明せよ。

そんなことは成立しない。
512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/24 15:20:34 ]: >>511

？？？
513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/24 16:21:47 ]: >>512
自分の書いた文章が数学的におかしいことがわからん奴だという指摘だろう。
514 名前：１３２人目の素数さん [05/01/25 00:51:13 ]: お前ら全員おかしいいから、残念！
数学オタクで全く女に相手にされませんぎり～！！
515 名前：１３２人目の素数さん [05/01/25 02:13:00 ]: 線形代数と線型代数の違いはなんですか？
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/25 02:30:34 ]: >>515
字。
517 名前：１３２人目の素数さん [05/01/27 00:24:13 ]: 　　　　　6　　-1　　5　
A=　　｛　-3　　2　　-3　　｝
　　　　 -7　　1　　-6

の時行列多項式ｆ（A)＝A^8+A＾4＋A^2+Eの固定値を求めよとなるのですが、
これはAの固有値を求めて-1、1、2で、
λ1＝（-1）＾8＋（－1）＾4＋（-1）＾2＋1
λ2＝1＋1＋1＋1
λ3＝2＾8＋2＾４＋2^2＋1
でいいのでしょうか？
518 名前：１３２人目の素数さん [05/01/27 00:30:01 ]: AU=UR
A=URU^
S=A^8+A＾4＋A^2+E=U(R^8+R^4+R^2+E)U^
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/27 00:51:13 ]: >>517
Aの固有ベクトルをxとすると　Ax = λx
一般に A^n x = λ^n x （ｎ=1,2,3...）だから
f(A)x = f(λ)x となるので、それでOK 。
520 名前：１３２人目の素数さん [05/01/27 09:00:13 ]: >>519
ありがとんございます。
線形代数は複雑なので自信が持てなくて；；
521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/27 11:44:47 ]: 線型代数は複雑ではない。そう思うのはお前の頭の問題だ。
522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/30 00:32:09 ]: GL(n, Z) な(行列)群はなにか特別な名前がついていますか?
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/30 13:26:37 ]: ゲームには全く興味は無いんだが・・・

www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4939007375/250-7774108-2634621

ブクオフで、この本が(定価に比べ)凄く安く売ってて、中身見たら面白そうだったので即購入。
今から読みます～
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/30 14:11:45 ]: >>522
general linear group over Z
525 名前：伊丹公理 ◆EniJeTU7ko mailto:sage [05/01/30 14:37:57 ]: 線型代数演習問題。
A を実n次正方行列とし、 P^(-1)AP が対角行列となる直交行列 P が、
少なくとも一つ存在し、且つ有限個であるとする。
その時、このような P は幾つあるか
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/31 09:44:04 ]: >>525
それだけの条件なら有限個はありえない。
Pが正規直交行列なら有限個になるけど。
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/31 16:59:43 ]: > 正規直交行列
何ですかそれ。
528 名前：１３２人目の素数さん [05/02/04 07:44:41 ]: 2 -1 3 | 0
-6 3 9 | 0
-4 2 6 | 0
これを掃き出し法で解いて係数行列の階数を教えてください。
詳細に解答してくれるとうれしいです
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/04 08:09:05 ]: aho?
530 名前：１３２人目の素数さん [05/02/04 20:48:41 ]: >528
うーん難しい！
531 名前：１３２人目の素数さん [05/02/04 21:06:36 ]: aho?
532 名前：１３２人目の素数さん [05/02/05 16:05:12 ]: ハミルトンケーリーの定理は行列Aの固有値が全て異なるときは、φ(A)×X(Aの固有ベクトルを並べた行列)＝０でXは逆行列を持つから右から掛ければ
φ(A)＝０が分かるが、一般の場合もこんな感じに簡単にできないんですか？二、三行ぐらいのものをお願いします。
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/05 16:30:44 ]: >>532
俺も考えたことがあるけど、２，３行では無理そうだった。てことで俺からもお願いします。
534 名前：伊丹公理 ◆EniJeTU7ko [05/02/05 16:48:02 ]: 複素数体なら一行。
固有値が相異なる行列全体はdenseだから。
535 名前：１３２人目の素数さん [05/02/06 15:12:15 ]: ｎ次の行列Ａの固有値λについて
固有空間Ｗの次元をｋ、重複度を
ｍとするとき、ｋ<=ｍを示せ。

という問題はどう解けばいいんでしょうか？
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/06 15:13:20 ]: >>535
まず、マルチしないことだな。
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/06 22:21:53 ]: >>534
ありがとうございます。しかし、俺の頭では理解不能ぽいです。
デンスって稠密の意味があったような気がするけど、行列がデンスって意味わかめ。
検索するとグラフ理論の話がでてきましたけど、あれじゃないよね。
阿呆向けにその証明が書かれている本とかないですか。
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/08 04:26:04 ]: 交代行列 A (transpose A = -A; transpose は転置) の固有値がすべて純虚数であることの証明ができませぬ。

A の固有値αと対応する固有ベクトル u に対して
　　　Au = αu
だから、複素共役を bar(B) と表すとして
　　　α = －bar(α)　　　　・・・　（１）
を示せばよいと思い、内積を (u, v) と表すとして
　　　α(u, u) = (αu, u) = (Au, u) = (u, bar(transpose A)u) = (u, －bar(A)u)
　　　－bar(α)(u, u) = (u, －αu) = (u, －Au)
としたところでハタとつまってしまいました。
ここで bar(A) = A なら、めでたくイコールでつながって（１）が成り立つのに、
A が実行列などという条件はどこにも書いてありません。
一体どうすればいいのでしょうか。
539 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [05/02/08 04:29:48 ]: それとも、交代行列というのは暗黙で実行列なのでしょうか。
教科書にはそのような記述が見当たらないのですが・・・。
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/08 05:15:27 ]: >>538 >>539
>それとも、交代行列というのは暗黙で実行列なのでしょうか。
そのとおり。複素行列の場合は歪エルミート行列（transpose(A) = -bar(A))なるものを考える。
そもそも、一般に証明しようとする前に簡単な例で考えてみたほうがいいよ。
0 i
-i 0
の固有値は何になる?
541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/08 05:20:58 ]: >>537
任意の「固有値が重複する行列」は「固有値が相異なる行列」の極限として表せる、っていうこと。
行列の収束や極限については、ちょっと高度な線型代数の本には書いてあるはず。
542 名前：１３２人目の素数さん [05/02/08 13:44:33 ]: 2点質問です

①固有空間の次元が、特性根の重複度より大なることがないのはなぜでしょうか。

②線形代数入門（斉藤）p149の定理3.1の証明の最後で、
「一方明らかにW_i’⊂W_i であるから、W_i'＝W_iでなければならない」
とありますが、これはなぜですか。

初歩的なことで申し訳ありませんが、ご教授願います。
543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/08 14:43:50 ]: >>542
固有値 α に対する固有空間の基底を全空間の基底に拡張し、
その基底に関する表現行列の特性多項式における α の重複度
を考える。
544 名前：542 mailto:sage [05/02/08 15:50:55 ]: >>543
おおっーーー！なるほどぉー！！①の疑問は解決しました。
ありがとうございます。

というか斉藤先生の本は行間多すぎれす・・・。
545 名前：538 mailto:sage [05/02/08 18:18:00 ]: >>540
＞そもそも、一般に証明しようとする前に簡単な例で考えてみたほうがいいよ。
ああ、たしかに実行列でないと固有値は純虚数ではないですね・・・。
どうもありがとうございました。
546 名前：１３２人目の素数さん [05/02/09 14:32:03 ]: 次の証明を教えてください。

任意の正定値行列 M=(m_ij) について、
Π[i=1,n]m_ii >= log|M|
等号が成り立つのは M が対角のとき、かつ、そのときに限る。
547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/09 14:46:31 ]: >>546
|M| の定義は？
548 名前：１３２人目の素数さん [05/02/09 14:56:11 ]: 行列式です。
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/09 15:00:13 ]: >>548
そうすると、対角行列のときは Π[i=1,n]m_ii = |M| なのだが。
550 名前：１３２人目の素数さん [05/02/09 15:02:02 ]: >>546
すいません！問題を間違えていました。
書き直します。
551 名前：１３２人目の素数さん [05/02/09 15:02:50 ]: 次の証明を教えてください。

任意の正定値行列 M=(m_ij) について、
Π[i=1,n]m_ii >= |M| (|M| は行列式)
等号が成り立つのは M が対角のとき、かつ、そのときに限る。
552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/09 15:21:12 ]: >>540
0 i
-i 0
はエルミート行列
複素数でも、Aが歪エルミート行列⇒Aの固有値は純虚数が成り立つ。
証：vを固有値λに属する固有ベクトル、fをAの表す一次写像とする。
(f(v),v)=(v,f*(v))
(λv,v)=(v,-λv)
λ(v,v)=bar(-λ)(v,v)
したがって、λ=bar(-λ)となりλは純虚数。　□
553 名前：552 mailto:sage [05/02/09 15:24:47 ]: あ、意味が分かった。スルーしてください。
554 名前：１３２人目の素数さん [05/02/09 18:50:30 ]: 　∥|　∥|
　∥|　∥|
　∥|　∥|　ｷｷｷｷｷｷｷ━━━━
　∧∧ ∩
　( 　　)ﾉ
　| 　　|
　～　|
　∪∪
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/10 01:52:47 ]: (∩；ﾟдﾟ)ｲﾔｰ
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/10 09:14:05 ]: >>551
回答がもらえないので、別スレで質問します。
557 名前：１３２人目の素数さん [05/02/10 20:55:59 ]: 上三角行列の逆行列は上三角でしょうか？
558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/10 22:00:41 ]: はい
559 名前：１３２人目の素数さん [05/02/11 00:05:49 ]: 存在すれば
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/11 17:12:55 ]: 線形写像の証明法と部分空間の証明法って似てるけど
部分空間を示す場合にx+yとaxじゃなくて、x=f(a) y=f(b) として
f(a)+f(b)とλf(a)を証明したらだめなん？
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/11 17:27:44 ]: 理科大が線形代数に興味を持ったようです
562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/11 23:11:03 ]: >>561
無意味にうちの大学をけなすのはやめてくれませんか。理科大が何かしましたか。
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/11 23:28:23 ]: >>560
あなたはそう書いて理解されると思って書いてるんですか？
564 名前：１３２人目の素数さん [05/02/12 01:25:01 ]: >>562
理科大といっても沢山ある。
お前どこの理科大だ？
565 名前：562 mailto:sage [05/02/12 02:25:52 ]: >>564
東京理科です。スレ違いの書き込み、すみませんでした。
566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/13 12:49:50 ]: 整数の合同みたいに，ベクトルの合同（？）を扱った話はあるのだろうか？
つまり，ベクトルxの線形変換行列をAとした時に，
Ａｘ≡ｙ（mod p）
となるような話である。ただし，ベクトルの各成分について，それぞれ
合同となるような話なのだが……。

欲しいのは，ここでの行列Ａの逆行列。しかも，ｍ×ｎ行列。
とりあえず，ムーア・ペンローズの逆行列を求めようとするが
各成分がpを法にして合同であるため，単純にいきそうではなくて。
567 名前：１３２人目の素数さん [05/02/13 13:10:38 ]: 前々から思っていたんですが、これどうしてレス番が7個ずれているんですか？
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/13 16:40:12 ]: >>566
よくわからないが、相応の体上の線形空間を考えればいいんでは？
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/13 16:43:37 ]: >>551 自己レス
Hadamardの定理といって、
行列式を展開して2次形式の理論から証明できる。
570 名前：１３２人目の素数さん [05/02/13 16:51:43 ]: Hadamardの定理は直感的にも明らか
571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/13 17:12:12 ]: >>570 どうして？
572 名前：１３２人目の素数さん [05/02/14 04:20:00 ]: A が正規行列、かつ、固有値がすべて実数であるならば、
A はエルミート行列であることはよく知られている。

では、A が正規行列ではなく、かつ、固有値がすべて実数であり、
かつ、A がエルミートではないという反例はあるのだろうか？
573 名前：１３２人目の素数さん [05/02/14 08:07:48 ]: >>527
|1 1|
|0 1|
574 名前：１３２人目の素数さん [05/02/14 23:54:16 ]: 問題

区間[-π，π]における連続関数f(x)に対し，n次以下のフーリエ多項式
　　g(x)=a_0+Σ[k=1→n](a_k*coskx+b_k*sinkx)
で，||f-g||^2=∫[-π→π]|f(x)-g(x)|^2dxを最小にするようなg(x)を求めよ．
575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/15 10:56:02 ]: 問題

d次元（1≦d≦∞）計量線形空間Vのn+1次元部分線形空間における直交基底をe[0],e[1],…,e[n]とするとき,
v∈Vに対し
u = Σ[k=0→n] a_k e[k]
で, ∥v-u∥^2 = (v-u, v-u) を最小にするようなuを求めよ（a_iをvやe[i]を用いて表せ）。
576 名前：１３２人目の素数さん [05/02/15 12:17:35 ]: >>571
図を書いてみたらそうだろう
577 名前：１３２人目の素数さん [05/02/15 12:24:51 ]: >>575
a_i = v*e[i]
578 名前：１３２人目の素数さん [05/02/15 22:17:01 ]: 線形代数の問題というより, ベクトル, 行列の記法に関する質問なのですが, 他に書く所が
見つからなかったので, ここで質問させてください.

画像処理系の論文を書くときの話です. 紙面をかせぐために, 列ベクトル A, B を
A=(a1 a2)^T, B=(b1 b2)^T と行ベクトルの転置で記述しました. a1, a2, b1, b2 は実数です.
さらに列ベクトル Q=(a1 a2 b1 b2)^T というのを A, B を使って書こうと思ったのですが,
Q=(A^T B^T)^T なのか Q=(A B)^T なのか迷ってしまいました.

私の予想としては前者が正解だと思っています. 後者は
a1 b1
a2 b2
という2x2 の行列の転置だろうと思うのですが,
A
B
というベクトルと考えるのかなとも思えてきます.
そこで教えていただきたいのですが, どちらなのでしょうか.
579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/16 03:15:23 ]: >>572
紛らわしいからA,Bを使わないで書くのが正解。
580 名前：１３２人目の素数さん [05/02/16 12:48:16 ]: ここでは例えとして A, B の 2 つのベクトルで説明しましたが,
本当は A, B, ..., K くらいまであるため, Q を A, B, ..., K を使って
記述したいと考えたのですが, やはり紛らわしいのでしょうか.
581 名前：１３２人目の素数さん [05/02/16 13:05:59 ]: >>580
紙面を稼ぐより、読む側にはっきり伝わる方が大切。
まずコミュニケーション学の勉強からし直してこい。
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/16 13:24:31 ]: >>581
けど、今回の場合はベクトルだからそうも言えるが、行列だったらどうするよ？
あと、ブロック記法 (だっけか?) の有効性は、紙面の節約だけじゃなくて、
要素の意味的なまとまりとか演算とか他にも意味があるから大事じゃない？
やっぱり、数学の記法はやっぱり数学のルールに従うのが筋じゃないかな。
元の問題に対して俺もどっちが正しいのかは分からんが。
583 名前：582 mailto:sage [05/02/16 13:29:50 ]: 言葉が足りなかった.

>やっぱり、数学の記法はやっぱり数学のルールに従うのが筋じゃないかな。
というのは、「もしちゃんとした解釈が定義されているのなら」ね。
そうじゃないのなら曖昧性を避けるのは当然、コミュニケーション学以前の話。
584 名前：１３２人目の素数さん [05/02/16 14:57:32 ]: スカラーｋと1次元空間上のベクトルｖ＝（ｖ）の違いを教えてください。
585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/16 18:13:29 ]: >>578
A = (a1 a2) となってるとき
(A) = ((a1 a2)) = (a1 a2) となるわけだが、
この内側の括弧を外して外の括弧の中に配置するのを展開と呼ぶと、
問題は展開と転置のどちらが先なのかということだな。
どちらかが正しいというわけではないだろうから、
注釈に明記しておくものだろう。
ただ、感覚的には前者のほうが分かり易いが見にくいので、
いっそのこと別の記法を導入するのが一番いいと思う。
例えば列ベクトルにしても紙面の関係で
[a1 a2] = (a1 a2)^T という記法を使うこともあるし、
[] を流用して [A B] と書くときは [a1 a2 b1 b2] を表すと決めて、
混乱が起きないように注意しつつ使うとか。
586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/16 18:20:08 ]: >>584
ベクトル空間の公理って知ってる?
587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/16 18:38:22 ]: >>576
どんな図を描けばいいのでしょうか？
588 名前：１３２人目の素数さん [05/02/16 21:25:23 ]: >>587
3次元なら平行6面体。
体積=底面積×高さ。＝行列式の絶対値。
一点に集まる3辺が直交するとき、体積が最大になる。
高次元も同様。
589 名前：１３２人目の素数さん [05/02/18 17:01:59 ]: >>588
それが明らかなのは、対応する各辺の長さが同じ場合ですよね。
|M| <= m_1...m_n
という式において、左辺の平行四辺体の辺の長さは、
右辺の直方体の辺の長さに一致しないので、
あきらかじゃないですよね。
590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/18 17:12:26 ]: >>589
あきらかに変なこと言ってますよ
591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/18 18:56:32 ]: >>589
他スレに正値性より、 M = N^2 と置く、と書いてあっただろう。
M とは直接関係無い。
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/23 10:12:04 ]: TとUを、R^nの全てのxに対してT(U(x))=xとなる一次変換としたとき、
R^nの全てのxに対してU(T(x))=xが言えますか？
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/23 10:32:54 ]: いえる。
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/23 10:49:45 ]: レス感謝です。
そう言える理由を教えていただけますか.

Aが可逆行列なら一次変換Tも可逆で、
(1) S(T(x))=x for all x in R^n
(2) T(S(x))=x for all x in R^n
となる一次変換S(S:R^n→R^n)が存在すると教科書に書いてあったのですが、
(1)か(2)のどちらかが示せればAは可逆と言えるということですか？
595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/23 11:29:02 ]: AB=E(for some B)
⇔detA≠0
⇔Aは可逆
⇔Aを表現行列とするTも可逆
596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/23 12:11:52 ]: ありがとうございます。
597 名前：１３２人目の素数さん [05/02/23 18:47:51 ]: 実対称行列の対角化法としてヤコビ法がよく知られていますが、
複素エルミート行列に対してもヤコビ法により対角化することが
できるのでしょうか？
598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/24 12:49:48 ]: >>597
少し計算してみると分かると思いますが、
複素数では非対角要素を除去するGivens変換が定義できないので、
単純な拡張では無理でしょう。
599 名前：１３２人目の素数さん [05/02/24 12:52:42 ]: 線型代数を極めたいのですが、
これを読んでいればほぼ何でも分かる、っていう
定番本はないですか？
(洋書でも結構です。日本語の本は薄っぺらいの多くてよくない気がする)
600 名前：１３２人目の素数さん [05/02/24 13:01:06 ]: >>599
既に佐武その他は完全理解したと言う事だな。
601 名前：１３２人目の素数さん [05/02/24 13:34:51 ]: >>600
すいません、佐武って何でしょうか？
602 名前：１３２人目の素数さん [05/02/24 14:35:34 ]: >>601
＞線型代数を極めたいのですが、
お前厨房か
603 名前：１３２人目の素数さん [05/02/24 15:09:07 ]: >>602
中学生ではないです。
604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 09:46:04 ]: >>599
Lie環やれ。
605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 10:55:44 ]: 線型代数極めるなら、
佐武は当然として、マリツェフ、同演習、
一般線型代数くらいかな、と
線型代数の洋書は一寸あまり見ないので分からん。
606 名前：１３２人目の素数さん [05/02/25 12:00:51 ]: >>604
ありがとうございます。やってみます。
>>605
佐武さんの書いた教科書は昔読みました(思い出した)。
伊理さんの「一般線型代数」はだいたい読みました。
マリツェフさんの本は絶版らしいですが。。
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 12:35:03 ]: じゃあ後はストラング（と二階堂副包？）くらいかな
というか何故線型代数ばっかりやるの？
それに佐武さんの本の巻末の文献を見れば分かるけど
良い教科書書く人は、大体ブルバキやファン・デル・ヴェルデンとか
ラングのAlgebraとかシュバレーとかポントリャーギンとか
ワイルとか吉田の函数解析とか読みまくってるみたいですけど……
彼の専門分野のことを考えて差し引いても、極めるのは大変だ、
ということは推察されるかと

ところで、線型代数史とかが載ってる本とかあったら誰か教えてください
微分積分学史なら結構色々あると思うんだけど
608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 16:15:36 ]: そもそも「線型代数を極める」って意味がよくわからん。
線型代数は数学やってりゃどこにでもでてくるから、「極め方」は異様にたくさんある。
具体的に何に興味を持ってて、何故「線型代数を極め」たいのか書いてもらわないと
何も答えられない。
609 名前：１３２人目の素数さん [05/02/25 16:32:34 ]: >>607 何故線型代数ばっかりやるの？
>>608 何故「線型代数を極め」たいのか

統計処理関係の仕事をやっているので、
統計の理論書を読むときに不自由しないくらいは最低やっておきたい。
それから、独自の理論展開も必要になってくるので、
線型代数をバリバリ使いこなしたい。

線型代数って、基礎理論は難しくないですが、
いろいろなテクニックとか応用話題があったりするので、
できるだけたくさんの知識をつめこんでおきたい。

たとえば、こういった形式の行列の固有値問題はどう解くのか、とか、
こういった性質をもつ線型写像はこういう形式に限る、とか、
あまり知られていないけどこういう概念があって
こういう計算をするときに便利だよ、とか。
そういうのなんでもかんでも知りたい。

応用志向で極めたいということです。
逆に、体や環や加群に抽象化した線型代数の理論を極めたいとは
思いません (それにより見通しがよくなるなら別ですが)。
610 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [05/02/25 16:47:18 ]: 「道具としての線型代数」一石賢(著) 日本実業出版社
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4534038461/qid=1109317488/sr=1-22/ref=sr_1_2_22/249-0098868-6901910

をやろうかと思ってるのですが、この本は良い本なのでしょうか？
611 名前：１３２人目の素数さん [05/02/25 16:48:53 ]: 人にぐちゃぐちゃ聞いてるうちは良いも悪いもない
612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/25 16:55:33 ]: >>610
その本は読んだことないが、同じ著者の「道具として物理数学」だかって本はｸｿ本だった。
613 名前：１３２人目の素数さん [05/02/25 20:42:36 ]: 行列の分解とは要するになんの為に行うのでしょう？
614 名前：１３２人目の素数さん [05/02/25 21:01:46 ]: cos(A)、Aはｎxnの行列を定義してみな。
615 名前：１３２人目の素数さん [05/02/25 21:02:51 ]: 定義できません
www.geocities.com/toshibafubai3/
616 名前：１３２人目の素数さん [05/02/25 21:10:20 ]: できるよ。答えは行列になるんだよ。
617 名前：１３２人目の素数さん [05/02/25 21:24:30 ]: log(A),Aはnxn行列を定義してみな。
log(x)のテイラー展開にAをほりこんで。。。
618 名前：607 mailto:sage [05/02/26 01:08:02 ]: >>609
それを最初に言わないと……
じゃあマリツェフとかLieとかは要らないですね
ただ、最低限知っていれば、あとは必要になったときに
勉強すればどうにでもなるんでないの？知らないけど
619 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [05/02/26 07:42:41 ]: Re:>614 どっかで見たんだけど、どのスレか教えてくれないか？cos(A)=(exp(iA)-exp(-iA))/2と書いてあったのだが。
620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/02/26 14:30:16 ]: cos(A)=∑_{n=0}^{∞}((-1)^n/(2n)!)A^{2n}
621 名前：１３２人目の素数さん [05/03/01 00:50:58 ]: >>319って説明してない本が多いと思うんだけど
松坂、斉藤以外にある？
622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/01 02:12:07 ]: AB=E⇒BはAの逆行列
ということが分かればいいわけだから、
論理展開から明らかな場合も多いと思うけどね
623 名前：１３２人目の素数さん [05/03/01 12:27:28 ]: >>319は、次のように言い換えたほうがかえってわかりやすい。
有限次元ベクトル空間 V の線型変換 f: V → V について、
f が単射 ⇒ f が全単射。
（あるいは、f が全射 ⇒ f が全単射）

この定理ならどの本にも大抵載ってるんじゃない？
624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/01 23:46:01 ]: 佐武の本にも書いてあるよ。
斉藤の本は帰納法で証明してて、結構大変。

>>623
それが逆行列とどう結びつくかわかってない香具師が結構いるのが実情なのでは？
>>319近辺のレスを見てて思った。
625 名前：１３２人目の素数さん [05/03/03 17:05:52 ]: >>599は行列特論も読みなされ
626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/03 17:42:52 ]: >>609のような目的に行列特論は違うんじゃないの。
627 名前：１３２人目の素数さん [05/03/04 03:21:54 ]: あらま。なら取り消し
628 名前：１３２人目の素数さん [05/03/04 20:52:31 ]: Aを4*4の正方行列、det(A)=3とするとき、
det(A^4), det(4A), det(4(A^-1)), det((4A)^-1)
を求めよ。っていう問題なのですが、det(4A)以降の問題が分かりません。
Aに係数がついた場合の処理はどのようにすればいいのでしょうか？
629 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [05/03/04 20:54:00 ]: Re:>628 256倍すればいいんじゃないの？
630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/04 20:56:29 ]: あ、そうか。愚問失礼しました。
631 名前：１３２人目の素数さん [05/03/05 22:02:00 ]: 線形代数を一から学べる良書があったら教えてください
632 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [05/03/05 22:32:42 ]: Re:>631 線形代数の教科書はいっぱいある。とりあえず、目次を見て行列の加法、掛け算、線形写像の項目がある本を探せばいいんじゃないの？
633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/07 13:20:55 ]: 馬でも分かる線型代数
石村園子
634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/07 16:13:54 ]: やさしく学べる線形代数
石村園子 (著)
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4320016602/249-9176073-3220344
635 名前： ◆27Tn7FHaVY mailto:sage [05/03/07 17:39:58 ]: >>634
近くのブックオフで頻繁に見かける
演習に特化していて、人気があるみたい
636 名前：１３２人目の素数さん [05/03/08 16:23:32 ]: age
637 名前：１３２人目の素数さん [05/03/12 03:00:43 ]: 質問です。
佐武一郎、線型代数学、裳華房、p82
Pfaffianの一般式の証明の中で
(1/(2^(p-1))(p-1)!)∑_σ ε(σ)x_12x_σ(3)σ(4)・・・x_σ(n-1)σ(n)
-(1/(2^(p-2))(p-2)!)∑_σ ε(σ)x_1σ(3)x_2σ(4)x_σ(5)σ(6)・・・x_σ(n-1)σ(n)
=(1/(2^p)p!)∑_γ ε(γ)x_γ(1)γ(2)x_γ(3)γ(4)・・・x_γ(n-1)γ(n)
があるのですが、証明できません。どなたかお願いします。
ここに、n=2p,σは(3,4,...,n)のすべての順列にわたる、γは(1,2,...,n)のすべての順列にわたるものとし、
　　　　ε(σ)はσの符号とする。
638 名前：１３２人目の素数さん [05/03/12 06:48:44 ]: 帰納法
639 名前：１３２人目の素数さん [05/03/12 18:26:17 ]: >>319ってAB=Eの両辺のdetとって、準同型性から逆行列がある。
で議論始めちゃだめ？
640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/13 18:05:29 ]: 質問させてください。
二次形式-x^2-y^2-z^2+4xy+4yz+4zxを対角化する際に、
固有値λ=3に属する固有ベクトルは直線x=z=y上に、
λ=-3に属する固有ベクトルは平面x+y+z=0上に存在する

とあるのですが、何故そのような事が分かるのでしょうか？
641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/13 19:06:22 ]: 線形代数のテキスト読めや
642 名前：１３２人目の素数さん [05/03/14 17:05:16 ]: >>639だめ
643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/14 19:19:54 ]: >>639
・det(AB) = det(A) det(B)
・A が正則⇔ det(A) ≠ 0
の2つを既知とすればそれでもいいかな。
644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/14 19:35:09 ]: >>639
その方法だと任意の係数環で >>319 を簡単に示せるね。
そのほうが優れてるかも。
645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/15 02:42:29 ]: >>319
Aの写像をfとする。
まずfは全射である。なぜなら任意のR^nの元xに対してBxを取ってあげれば
A(Bx)=(AB)x=Ex=xであるから。
ここでdimKerf+rkf=n使えばdimKerf=0でf単射。
（この公式はがんばって証明してくれ。高校生には無理かな・・・？？？）
したがってf全単射なのでA^-1が存在する。
BA=((A^-1)A)BA=(A^-1)(AB)A=(A^-1)EA=(A^-1)A=E
646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/15 05:15:24 ]: >>645
>>639 の方法のほうが簡単。
AB = E より、det(A) det(B) = 1 だから、det(A) も det(B) もゼロでない。よって A も B も正則。
後は同じ。
647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/15 11:37:33 ]: ところで
・det(AB) = det(A) det(B)
・A が正則⇔ det(A) ≠ 0
の証明って簡単なの？
648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/15 21:46:43 ]: やっぱり難しいみたいだね。
だからdimKerf+rkf=n、dimKerf=0⇔f単射を使ったほうが簡単だと思う。
この証明は基底の概念と線形写像の性質さえ知っていればできるからね。
649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/16 11:18:21 ]: I can be shown that the algebraic multiplicity of an eigen-
value λ is always greater than or equal to the dimension of the
eigenspace corresponding to λ. Find h in the matrix A below
such that the eigenspace for λ=5 is two-dimensional:
A=
｜5 -2 6 1｜
｜0 3 h 0｜
｜0 0 5 4｜
｜0 0 0 1｜

拙訳：
固有値λのalgebraic multiplicityはλに対応する固有空間の
次元と等しいか、それより大きいことが示すことが出来る。
λ=5の時の固有空間が2次元であるような行列Aのhを求めよ。

特性方程式の項にあった練習問題ですが、
何を言ってるかすらさっぱりです。
求め方だけでも良いのでご教授お願いします。
650 名前：１３２人目の素数さん [05/03/16 11:44:00 ]: 難しいかどうかはともかく>>319の問題を見て>>639の解き方が思い付かないのは問題だろう。

なお、微妙に循環論法になるかもしれないが639の議論でGLの元である事がわかるので群の逆元の一意性から導かれる。
651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/16 12:05:11 ]: >>649
Ax=5xとなるxを求める
652 名前：６４９ [05/03/16 12:17:52 ]: ありがとうございます。やってみます。
653 名前：BlackLightOfStar ◆27QTQsYmvQ [05/03/16 12:48:24 ]: 数板住人は死ね、くたばれ、消えろ、潰れろ、馬鹿、あほ、間抜け、ドジ、ガラクタ、クズ、最低以下の下劣、下等種族、下衆野郎、腐れ外道、
邪道、外道、非道、ウジ虫、害虫、ガン細胞、ウィルス、ばい菌、疫病神、病原体、汚染源、公害、ダイオキシン、有毒物質廃棄物、発ガン物質、猛毒、毒物、
ダニ、ゴキブリ、シラミ、ノミ、毛虫、蠅、掃き溜め、汚物、糞、ゲロ、ほら吹き、基地害、デタラメ、穀潰し、ろくでなし、夏厨、ヤクザ者、社会の敵、犯罪者、反乱者、前科者、
インチキ、エロ、痴漢、ゴミ虫、毒虫、便所コオロギ、詐欺師、ペテン師、危険分子、痴呆、白痴、悪霊、怨霊、死神、貧乏神、奇天烈、変人、
毒ガス、サリン、糞豚、邪鬼、クレイジー、ファッキン、サノバビッチ、小便、便所の落書き、不要物、障害物、
邪魔者、不良品、カビ、腐ったミカン、腐乱、腐臭、落伍者、犯人、ならず者、チンカス、膿、垢、フケ、化膿菌、放射能、放射線、異端者、妄想、邪宗、異教徒、
恥垢、陰毛、ケダモノ、監獄、獄門、さらし首、打ち首、戦犯、絞首刑、斬首、乞食、浮浪者、ルンペン、不良品、規格外、欠陥品、不要物、
埃、塵埃、インチキ、居直り、盗人、盗賊、残酷、冷酷、薄情者、クソガキ、ファッキン、有害物質、発ガン物質、誇大妄想狂、アホンダラ、怠け者無能、無脳、
脳軟化症、思考停止、人格障害、極道息子、見栄っ張り、不良、イカレ、狼藉者、放蕩息子、道楽息子、迷惑、厄介者、異端者、タリバン、オサマ・ビン・ラディン、テロリスト、
チェチェン、嘘つき、不正、叩き上げ、ケチ、裏切り者、ムネヲ、抵抗勢力、悪性新生物、原爆を落とした奴、アルカイダ、宮崎勤、吉岡（旧姓：宅間）守、朝鮮将校、乞食、
知覚的障害者、邪教祖、DQN、覚せい剤、エイズウイルス、SARS、テロリスト、荒らし部隊、アーレフ（旧：オウム真理教）、精神年齢3歳、3審は必要なし、
金正日、宇田川慶一、奥田碩、上新庄、放射性廃棄物、割れたコップ、血歯死者、廣嶋死者、パナウェーブ研究所、
あの1１歳の少女以下の知能、国民の資格なし、白血病の原因、ハイブリッドカーの排気ガス、IQ10！
そして、この板に書き込む権利も価値もないクズ
654 名前：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU [05/03/16 15:47:04 ]: Re:>653 お前誰だよ？
655 名前：たけい [05/03/17 00:53:27 ]: 院試近付いて来たのでだれか演習問題だしてください。
656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/17 01:01:32 ]: 過去問はもうやった？
657 名前：１３２人目の素数さん [05/03/17 17:16:03 ]: 【演習問題】
一般線型群 GL(n,R) を Lie 群とみた場合、
自然だと思われる Riemann 計量を３種類定義しなさい。
658 名前：１３２人目の素数さん [05/03/17 17:24:57 ]: >>657
幾らでもある罠
659 名前：１３２人目の素数さん [05/03/17 17:26:58 ]: >>653
荒らすなアホ
660 名前：１３２人目の素数さん [05/03/17 17:31:24 ]: >>653
荒らすなドアホ
661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/17 18:43:25 ]: >>640
(与式) = (x+y+z)^2 -{(x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2} = 3u^2 -3(v^2 +w^2).
λ=3 に属する固有ベクトルは u=(1/√3, 1/√3, 1/√3)
λ=-3 に属する固有ベクトルは v=(1√6, -2/√6, 1/√6), w=(1/√2, 0, -1/√2).
662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/17 20:49:19 ]: >>658
たとえば？
663 名前：たけい [05/03/17 22:59:29 ]: >>656まだやってません。

>>657えっそういうのできなきゃだめなんですか？
定義がわからない…
ちなみに639は僕です。
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/03/17 23:01:34 ]: ぢゃあとりあえず過去問やったらいいじゃん
665 名前：661 mailto:sage [05/03/18 10:12:40 ]: >640 (記号の修正)
　u=(x+y+z)/√3, v=(x-2y+z)/√6, w=(x-z)/√2
　固有ベクトルを ↑e_u =(1/√3,1/√3,1/√3), ↑e_v=(1/√6, -2/√6, 1/√6), ↑e_w=(1/√2, 0, -1/√2)
すまそ。
666 名前：１３２人目の素数さん [2005/03/30(水) 20:28:47 ]: 933
667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/03/30(水) 22:01:33 ]: 544
668 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/05(火) 11:36:50 ]: 【問題】
rank(A) = rank(A^H A) を示せ。
669 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/06(水) 11:53:12 ]: >>668 教科書に載っていそうな問題にどんな意図が？...
とりあえず、反応してみる。
A x=0 <=> (A x, A x)=0 <=> (x, A^H A x)=0 <= A^H A x=0
A x=0 => A^H A x =A^H 0=0
よって rank(A)=rank(A^H A) はあきらか。
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/06(水) 21:14:31 ]: >>669
ありがとう。わからんかった。
671 名前：ACタイガー ◆NC1AxUg.ec mailto:age [2005/04/06(水) 21:19:22 ]: 線形代数/線型代数 2
新着レス 2004/04/02(金) 23:25
1 名前：１３２人目の素数さん投稿日： 04/07/25 20:15
線形代数に関する話題全般のスレッドです。

宿題の丸投げは止めましょう。
672 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/13(水) 20:59:53 ]: 置換sgnで逆置換というのが分かりません。
上の段と下の段を入れ替えればいいんでしょうか？
（１２３）　　　（３１２）
（３１２）　→ （１２３）

逆置換ともとの置換との符号は等しいといいます。
けど、
（１２）　（２１）
（２１）　（１２）
の符号は等しくならないんです。
私のやりかたが間違っているんでしょうか
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 21:16:31 ]: （１２３）
（３１２）
ってのはどういう意味か日本語で言ってみ
674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 21:18:10 ]: 間違っていると思います。
>>672氏は
（１２）　（２１）
（２１）　（１２）
の符号をどう計算したのでしょうか？
675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 21:28:10 ]: >>673
１が３、２が１、３が２へ対応していること、、でしょうか。。
>672
下の段の数字を比較しました。
左の数が右の数より大きい場合が偶数個ある場合は符号が＋１
奇数個ある場合が－1
という感じでやったんですが。
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 21:34:31 ]: 上が123...となっているときはそれで良い。
677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 21:43:41 ]: >>676
上が１２３となっていないときは違うんですか？（′A、、、
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 21:51:36 ]: （２１）　（１２）
（１２）＝（２１）って分かる？
679 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/13(水) 21:59:01 ]: 連立方程式を解くとき、行列演算でとけっていうのは
クラメールでもなくガウスでもなく拡大行列とかを使ってとくってことですか？
680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 22:39:57 ]: >>678
わかりませぬ・・・
上と下を入れ替えてるものは、上の段で符号を考えるんですか？
681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 23:04:22 ]: >>680
阿弥陀くじで隣同士を入れ替えているわけだよ。
682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 23:13:44 ]: >>681
なるほど。。
列は入れ替えても符号は変わらないというわけですね？
683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/13(水) 23:17:39 ]: はい。
684 名前：682 mailto:sage [2005/04/14(木) 18:58:15 ]: 勘違いしてました。
上の段の数字が１２３・・・の順になっている場合について
符号を定義されているんですね。。
685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/14(木) 20:39:44 ]: ？
例えば
（２１）　（１２）
（１２）＝（２１）だから

sgn（２１）＝sgn（１２）
　　（１２）　　　　（２１）
もちゃんと定義されてるよ
686 名前：お願いします [2005/04/16(土) 17:21:33 ]: 【問題】
対角行列を D=[d1,...,dn] (di>=0) とし、
d = max di とする。
任意の直交行列 U に対して、U^T D U の対角成分は
常に d 以下であると言えるか？
言えるのであれば証明せよ。
687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/17(日) 12:06:05 ]: >>686
一言で言えば、 <= d　は自明だな。

U^T D U の対角成分は e_i=(i成分だけが 1であるような縦ベクトル)
をつかって e_i^T D U e_i　とかける。ところで、
U e_i =(U　の i 列目) だから、 U e_i は単位ベクトルになっている。
(U e_i のj成分=u_ij)
式であらわに書けば、
U^T D U の ii 成分 = \sum_{j=1}^{n} d_j u_ji^2
これは、u_ji^2 を weight とした、d_jの平均値だから、max d_i 以下であることは
自明だが、念のためにこの先をかけば、
\sum_{j=1}^{n} d_j u_ji^2　<= \sum_{j=1}^{n} d u_ji^2 = d
だな。で、どんな教科書でも載っているようなことだと
思うが、実際のところ、何が問題だったのかな？
688 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/20(水) 21:43:58 ]: 群のことなんですが、線型代数の教科書にのってるので、こっちで質問します

置換群の符号sgnσが定義できる理由が、偶置換か奇置換かのいずれかに
なることがわかっている。。。としか載ってません。検索した範囲でもそういう
「既知である」という説明ばかりです。

とりあえず、今のところここだけムズムズしてたまらないのですが、良い証明
を与えているサイト等はないでしょうか？
689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/20(水) 22:03:54 ]: 図書館で適当に線型代数の本借りて
読めば、結構載ってるよ
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/20(水) 22:08:18 ]: まあ・・・そうなんですよね。それか群の教科書読むかなんでしょう
ちょっと、次大学いくのが来週になるので、それまでイライラするのが
たまらなくて。。。

自力では互換の積への分解までは分かったんですが、偶奇の一意性
までは手が届かない
691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/20(水) 22:15:36 ]: じゃあ
差積でぐぐって下さい

って何で次大学に行くのが来週？
まだ水曜だぞ
692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/20(水) 23:25:05 ]: >>691
納得いく証明のpdfが見つかりました。有難うございます。
693 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/20(水) 23:52:03 ]: 質問です、
(1)Tを直行行列（T∈O(n))、u∈R^nに対して、f:R^n→R^nを
　　f(x)=Tx+u
とするとき、fは合同変換であることを示せ
(2)逆に、任意の合同変換f:R^n→R^nはあるT∈O(n)とu∈R^nを用いて
　　f(x)=Tx+u
と表せることを示せ。

以上の2題ですがわかりません。距離dの定義は
　　d(x,y)=||x-y||=<x,y>^(1/2)
となっています。ご教授お願いしますです。。。
694 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/21(木) 12:10:05 ]: 距離の定義がそれだと、必ずしも実数にならないような気が...
<x-y,x-y>^(1/2) でないの？
d(x,y)=<x-y,x-y>^(1/2) として、
合同変換の定義が、任意の2点の距離を変えない事ならば、自明だね。
任意の2点の像の間の距離を計算して (Tの転置) T = (単位行列) を使えばよい。
fが線形写像ならば、ノルムが保存 <=> 内積が保存という命題と、
ごっちゃになっている気がする。
逆は、f がアフィン変換なら、自明だけれども、そうでなかったらめんどうそう。
でも、いかにも教科書に載っていそうだ。
695 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/21(木) 12:37:49 ]: なんか、ぐぐったら、「アフィン合同かつ、距離も角度も保存する」のが「合同」だと
出ておった。この定義によるなら、逆も話は簡単だなぁ。f(0)=u として、g(x)=f(x)-u
定義とすれば、g(x) は線形写像。ところで、||a±ib||^2=||a||^2 +||b||^2±i(<a,b>-<b,a>)、
||a±b||^2=||a||^2+||b||^2±(<a,b>+<b,a>) から、
<a,b>=[(||a+b||^2-||a-b||^2)+(||a+ib||^2-||a-ib||^2)/(2i)]/4
(勢い余って、複素でやったが、今は、実だから、前2項で充分だった。 )
だから、線形写像 g が距離を保存するなら、内積も保存する。
よって、g(x)=A x とすると、 <Ax,Ay>=<x,y> 。この左辺は
<x,transpose(A) A y>=<x,y> 。e_i=(i成分のみ1それ以外0のベクトル)
をつかって、x=e_i, y=e_j ととれば、 [transpose(A) A]のij成分=δ_{ij}
つまり、A は直交行列。よって、f(x)=g(x)+u=Tx+u とかける。
694 を含めて、色々とバカな事を長々と書いてしまった気がするし、
間違いも有るかもしれないけれども、勘弁してね。
696 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/21(木) 12:42:40 ]: さっそく間違い。
||^2)/(2i) -> ||^2)/i
この左辺は <x,transpose(A) A y>=<x,y> -> この左辺は <x,transpose(A) A y>
他にもありそうだけれど、ご勘弁を。
697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/21(木) 12:45:12 ]: >>694
内積を間違えてしまい申し訳ないっす
本を探したけど逆が載っていなくて・・・。
>>695
サンクスコです。ゆっくり読んでみます
698 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/26(火) 21:48:04 ]: 今大学1年で線形代数習ってるのですが
行基本変形・掃き出し法がわかりません。教えてください。
　３　　２　３
　８　－３　３
－２　　２　４
の逆行列を求めてほしいのですが・・・。
とりあえず
１　０　０
０　１　０
０　０　１
までは出ますた。この先がわかりません。
699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/26(火) 21:53:43 ]: 　３　　２　３　１　０　０
　８　－３　３　０　１　０
－２　　２　４　０　０　１

をまとめて行基本変形していく。
左側が単位行列になったらおしまい。
700 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/27(水) 00:05:27 ]: 行基本変形のｺﾂがわかりません。とりあえず単位行列Eになるように考えて変形するしかないのですか？
701 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/27(水) 14:11:08 ]: >>700
例えば、下三角を掃き出してから、上三角に手を付ける。途中、枢軸選択が必要に
なる場合もあるが、機械的にやろうと思えば、その手段はある。なるべく少ない手順で、
と思うと、全体を見渡した方が良いが、700 のような質問をしているうちは無理かもな。
702 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/28(木) 20:49:23 ]: 線形部分空間同士を「＝」で結ぶときは両方の次元が等しくないとだめですか？
703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/28(木) 21:06:10 ]: お前は直線と平面が同一だと主張するのか？
704 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/28(木) 21:10:55 ]: そりゃあそうですねｗあたりまえのこと聞いてすいませんでした。

まだよく線形代数を理解していないみたいです。。。
705 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2005/04/29(金) 01:16:34 ]: 線形代数を簡単な問題集で問題解きながらさら～っと復習したいんですが
いい問題集ないですかね？
706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/29(金) 07:44:12 ]: やさしいものなら　　明解演習　線形代数　小寺平治　著
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4320010787/
707 名前：１３２人目の素数さん [2005/04/30(土) 20:30:56 ]: 行列式の定義があのようになった経緯をおすえて下さい
708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/30(土) 20:40:57 ]: ブルバキの数学史とかに書いてありそうな気がする
709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/30(土) 20:48:48 ]: >>707

連立方程式を解こうとすれば必然的に出てくる形。

何を考えているのか？
710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/30(土) 20:52:23 ]: >>709
詳しく
711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/04/30(土) 21:48:45 ]: >>710

ax+by=p
cx+dy=q

a_11 x + a_12 y + a_13 z = b_1
a_21 x + a_22 y + a_23 z = b_2
a_31 x + a_32 y + a_33 z = b_3

等をまじめに解いて見ろ。
712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/01(日) 06:49:12 ]: 多重線型で列同士の交換で符号が変わる式
713 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/08(日) 16:46:02 ]: 高校生なんでこんなところで質問するのは恐縮なんですが

　　　λ　１　０
Ａ＝（０　λ　１）とするとき、Ａ^ｎを求めよ
　　　０　０　λ

ちなみに（）は行列全体にかかってます。

Ａがｎ次正方行列のとき
（Ｅｎ　０　）＾ｋ
　Ａ　　Ｅｎ　　　を求めよ
（）は行列全体でｋ乗は行列全体にかかってます。
お願いします。
714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/08(日) 16:50:36 ]: (1)予測して証明するとか
A=P+λE, P^2=Oで2項定理

(2)^2を計算すると見えてくるはず
715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/08(日) 16:51:11 ]: 間違い
(1) P^3=Oです
716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/09(月) 23:18:02 ]: キーポイント線形代数読み終わったあたりで
ちょうど良い演習所ありませんか？
717 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/16(月) 21:23:52 ]: 部分空間の間の正準角について
詳しく書かれた書籍はありませんか？
718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/16(月) 22:03:08 ]: 斉藤以外でお勧めの演習書教えて下さい。
719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/16(月) 22:39:59 ]: 「線型代数学」(服部昭)
720 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/22(日) 13:00:45 ]: 余弦定理を内積の性質を自由に使って
証明せよ。
教えてください
721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/22(日) 20:24:15 ]: >>714
内積の定義による。
722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/23(月) 04:45:33 ]: >>720
a^2=|BC|^2=|AC-AB|^2=|AC|^2+|AB|^2-2AC・AB=b^2+c^2-2bc*cos∠BAC
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/23(月) 17:06:18 ]: 多項式行列に関してわかりやすく、しかも詳しく書かれている文献が
あったら、教えていただけませんか？すみません。
724 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/23(月) 17:24:10 ]: >>７２０
　どうもです
725 名前：７２４ [2005/05/23(月) 17:25:17 ]: すまん>>７２２だった
726 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/26(木) 15:41:05 ]: 助けてください…
i.i2ch.net/z/-J00.--8/89/AdjMC/99n
727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/05/27(金) 18:24:34 ]: 量子力学の理論は線形代数そのものである
728 名前：GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ [2005/05/27(金) 18:42:05 ]: ヒルベルト空間の閉部分空間からなる集合を量子理論という。

などと、よく分かってもいない話を書き込んでみるテスト。
729 名前：１３２人目の素数さん [2005/05/28(土) 23:41:28 ]: >>717
Grassmann 多様体における距離
730 名前：高木 [2005/05/28(土) 23:42:57 ]: >>728
やれやれ、kingともあろうものが、そんなトンデモ理論を持ち出すとは。
世も末だぜ。
731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/07(火) 12:18:10 ]: normal matrixの最小多項式は平方因子をもたないことを証明せよ

という問題、誰かわかる人いませんか？？
732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/07(火) 23:22:15 ]: 正規行列は対角化可能。
さらにある正方行列が対角化可能であるための必要十分条件は
その行列の最小多項式が平方因子を持たないこと。
いずれも一般論の範囲なのであとは教科書を。
733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/08(水) 12:11:21 ]: 対角化可能であることと、その行列が平方因子を持たないのは
同値なのは分かるんですが、正規行列が対角化可能であることを示すのは
教科書見たら結構難しそうですね。
なんとかやってみます。
レスサンクスです！
734 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/09(木) 00:31:12 ]: マセマのキャンパスゼミシリーズとかは？
735 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/12(日) 05:00:40 ]: 線型代数の基本問題が網羅された問題集教えて下さいm(_ _)m
736 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/12(日) 11:13:01 ]: 本屋の人が、せんがた代数学って言ってた
737 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/12(日) 12:30:14 ]: 扇型代数学
738 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/12(日) 12:37:37 ]: toric だろう
739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/12(日) 13:19:34 ]: ノートの表紙に線形台数と書いてるﾔｼは数学以外だとよくいるが、、、。
740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/13(月) 18:00:44 ]: ┌ １　２　３ ┐
│ ４　５　６ │
└ ７　８　９ ┘

行列をこんな風に書いても数学的には問題ないでしょうか？
741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/13(月) 18:21:21 ]: >>740

良い。

欲を言えば、枠線を上下に伸ばす。五行使う事になるな。
742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/13(月) 22:45:54 ]: 数学的には、などというなら、「～というように書く」と先にきちんと約束しておけば
どういう表記を用いたところで問題ない。
混乱を招かないかとか、一般的な表記法かどうかとかはまた別の話だ。
743 名前：１３２人目の素数さん [2005/06/14(火) 12:52:34 ]: すいません、おねがいしますどなたかこの問題教えてください
お願いしますお願いしますorz

ラプラス変換を用いて次の初期値問題を解け。

(1) y''+4y=sin2t, y(0)=1, y'(0)=1

(2) y''+4y=sinωt,y(0)=1, y(0)=1, y'(0)=1, ω^2≠4
744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/14(火) 13:31:20 ]: >>735
シャームから出版されてる本でもやったら?
745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/14(火) 14:34:50 ]: >>743

本気なら、y と sin 2t のラプラス変換を書いてみてくれ。
746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/14(火) 15:03:02 ]: マルチに本気か尋ねるアホ
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/06/26(日) 02:10:16 ]: mu
748 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/14(木) 22:40:43 ]: 519
749 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/17(日) 16:01:55 ]: 二次正方行列のうち簡約なものは次のもので尽きる事を確かめよ（＊は任意の数字）
0 0 0 1 1 * 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1

学部一回生のまだまだ初学者なんですが、解答に答えが載ってなくて困ってます
よろしければどなたか解説していただけないでしょうか？
750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/17(日) 16:33:02 ]: 2 次行列を A=(u↑ v↑) とおく。
このとき、u↑,v↑について 1) 2-a) 2-b-i) 2-b-ii) のどれか一つが成立する。

1) u↑,v↑が線型独立
2) u↑,v↑が線型従属
2-a) u↑≠0↑
2-b) u↑=0↑
2-b-i) v↑≠0↑
2-b-ii) v↑=0↑

それぞれの場合、A を簡約した行列は順に次のようになる。

[10][1*][01][00]
[01][00][00][00]

最初の場合分けですべての場合を尽くしているので、
簡約された行列は上のもの以外にない。
751 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/17(日) 18:54:25 ]: 線形写像の概念が分かりません。
その前の章の線形空間は概要の理解までに４８時間かかりましたorz

なんで線形の教科書はこんなに分かりづらいのか・・・定義もしてない
記号が突然出てくるし。
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:さげ [2005/07/17(日) 18:59:59 ]: x,y,z 軸の正の向きの単位ベクトルを u,v,w とすると、
(u,v)=cosα,(v,w)=cosβ,(w,u)=cosγ.
これを使って (λ1u+μ1v+ν1w,λ2u+μ2v+ν2w) を計算する。

計算してください。。。
753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/17(日) 19:02:52 ]: 線型空間の概要なんて、大学入ってから 6 年間の勉強で入り口のほんのちょっとしかわからんかったな。
それを48時間で理解した>>751はもう博士論文提出できるんじゃねーか？
754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/17(日) 22:11:00 ]: >>751

まず写像の概念を述べてみよ。
755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/18(月) 14:39:12 BE:131300892- ]: >>751
ある日わかるときが来る
756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/18(月) 17:54:37 ]: > 定義もしてない記号が突然出てくるし。
これはちょっと引っかかるな。
定義を省略するような本は数学書として怪しいか、
読者がその分野をある程度知っていることを前提としている。
757 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/18(月) 23:47:47 ]: すいません、どなたか以下の問題、解けないでしょうか。よろしくお願いします。
（１）次の連立方程式をクラメル（Cramer）の公式を用いて解け。

1 1 -1　x 1
0 1 1　 y = 2
1 0 -1　z 3

3×3の行列にxyzを掛けると123になるって問題です。

（2）n次行列Ａが整数を成分として、|A|=1を満たすとき、連立1次方程式Ax=cは、cの成分が全て整数ならば、整数解を持つことを証明せよ。
758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/19(火) 00:56:06 ]: >>757
(1) については教科書、参考書を読めとしか。
持っていなければ、買うか借りるかする。
759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/19(火) 01:41:50 ]: >>757
(1)教科書読め
(2)自明
760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/19(火) 02:07:14 ]: 定義を調べて手を動かすだけで解ける問題
定義を知ってれば自明な問題

をここで聞く時点で、教科書は読まんだろうな(w
761 名前：760 mailto:sage [2005/07/19(火) 02:09:43 ]: ごめん、さすがに「定義」ではなかったね。
762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/19(火) 19:29:45 ]: 明日試験だ…1回生から般教で線形代数なんか取らんとけばよかった…
言葉がわからん、記号がわからん、表記がわからん。何もわからん。
何のこっちゃと読み進めたら高校でやった程度の式が最後に出てきたり。
難解すぎる。
763 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/07/20(水) 07:37:57 ]: talk:>>762 高校卒業程度の知識で最初から読めば分かる本もあるよ。
764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/20(水) 09:28:23 ]: やはり大学数学で皆が最初にコケるのは微積より線形代数なのかな。
765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/20(水) 09:37:17 ]: 線形代数は応用してみないとその便利さが分からないから、それまではやたら苦痛なんだよな
766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/20(水) 10:46:29 ]: 線型代数の練習問題はある意味拷問だとおもう
767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/20(水) 12:38:23 ]: 7!/6!=7
768 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/22(金) 01:38:34 ]: 逆行列の図形的意味ってどういうことですか？日本語の意味がわかりません・・・

Ａ－１＝１＼Ａの図形的意味なんてどうすれば？？よいのでしょぅ（涙）
769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/22(金) 05:19:35 ]: まずは表記を正せ。
A^(-1)=1/A
770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/22(金) 13:47:21 ]: 行列の図形的意味は？
771 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/23(土) 12:38:25 ]: 誰か７６８をＨＥＬＰしてあげてくれ。俺もわからん
772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/23(土) 12:46:00 ]: 基底を固定した上での線型写像の表現としてどんな感じかということ？
というわけではないよな、別に図形的意味じゃないし。
773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/23(土) 15:58:39 ]: 図形的意味はない
774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/23(土) 16:19:12 ]: >>768
ある程度限定した行列でないと、訳ワカラン
無理やり考えるなら固有値・固有ベクトルを考えたらイメージできるかもしれないが、一般的な行列ではやっぱり良くわからん。
2x2とか3x3とか、対称行列とか直行行列とかなら多少意味も考えられるかもしれない。
775 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/24(日) 09:24:02 ]: ||x||
ってノルムｘでいいのでしょうか？それとも単にノルム？
776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/24(日) 09:35:20 ]: 何言ってるの？読み方？
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/24(日) 14:51:58 ]: 絶対値の絶対値
778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/24(日) 14:55:58 ]: 好きに読めば良いじゃん
ノルムだけだと普通に考えて
||x||＜||y||
をノルム小なりノルムとか読むわけだから意味不明だと思うけどね
779 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/26(火) 05:14:03 ]: a b c d e
f g h i j
k l m n p
v w x y z

の行列式のckwの係数を求めよ。という問題の意味がわかりません。
具体的に何をすればよいのでしょうか･･･。
780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/26(火) 05:36:37 ]: >>779
ラプラス展開の前振りの問題ではないかと思う。
781 名前：779 [2005/07/26(火) 05:54:34 ]: ↑レスありがとうございます。
当方、大学１年生でラプラス変換という名前ではやっていないのですが、
余因数を考える、ということでしょうか。
昨日の期末試験に出てきたのですが、解けなくて…。
782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/26(火) 06:01:09 ]: とにかく、行列式の定義にあてはめて ckw が現れる項を全部書き出してみる。
783 名前：779 [2005/07/26(火) 06:33:43 ]: ありがとうございました。無事、解けました。
784 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/26(火) 23:35:26 ]: >>781ラプラス変換とラプラス展開は別ものだが
785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/27(水) 07:32:13 ]: 正方行列以外にも行列式が定義されるの？
786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/27(水) 15:57:37 ]: >>785

n 次正方行列の行列式は n 個の縦ベクトルが作る n 次元の平行多面体の
体積と向きを表現する。

n×m ：m<n なる行列については、nCm 個の m 次小行列式のセットを
を以て行列式の拡張概念と捉えて良い。

m 次小行列式のセットは m の縦ベクトルが生成する m 次元並行多面体の
体積と方向を表すと言っても良い。この方向は nCm －１次元の広がりを持つ。

三次元空間では、直線、平面の方向は、二次元射影面の広がりを持つ。
787 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/27(水) 21:39:05 ]: 名前：１３２人目の素数さん
E-mail：
内容：
251 名前：ハッキリいって講師陣が名無しです [2005/07/26(火) 16:14 ID:vPrlZ4zw]
長岡兄が放送大学で線形代数学教えてたけど弟と違ってよくわからんね。

ところで高校対応数学の方って固有値・固有ベクトル教えてくれるって
本当か？長岡のぐんぐんでは教えてる？

252 名前：ハッキリいって講師陣が名無しです [2005/07/26(火) 17:24 ID:???]
>>251
線形代数なんか自分で勉強しろよ。
お前が大学生だか高校生だか知らないけど、そこらへんにあるどの教科書使っても
すんなりわかるだろ。ぐんぐんでは教えるけどあくまで問題の解説であって、
線形代数の教科書読むほうが数倍お得。

253 名前：ハッキリいって講師陣が名無しです [2005/07/27(水) 17:54 ID:JZkxr472]
>>252
自分で勉強してんに決まってるだろ。
それとなそこらへんの線形代数学の本じゃ線形代数学は
理解できないんだよ阿呆。
お前は線形代数学を勉強した事がないからわかららんだろうが。

長岡弟に線形代数学教えてもらいたかったな～★
788 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/27(水) 21:40:30 ]: 257 名前：ハッキリいって講師陣が名無しです [2005/07/27(水) 19:36 ID:???]
>>253
いやいや、線形代数の成績なんか普通にＡでしたが何か？
それも教養としてやるような簡単なやつでなくて。
どこがわからないわけ？？理工系の数学入門コースやれば
たいていの学科なら単位はとれるし、自分の分野に十分応用できるよ。
結局お前が高校生だか大学生だかわからないけど
大学生だとしたらまだ長岡にしがみついてるなんてアホだな。
普通に大学の授業聞いてりゃわかるだろ。自分の学科の先生でわからなかったら
いろんな学科の線形代数の授業にもぐればすむ話。

258 名前：ハッキリいって講師陣が名無しです [2005/07/27(水) 19:40 ID:v7IJooJY]
はいはい、真性童貞キモオタひきこもりの脳内京大生乙。
線形代数をきちんと理解してる人なんてこの世に誰一人存在してません。

259 名前：ハッキリいって講師陣が名無しです [2005/07/27(水) 21:04 ID:???]
また辺なのが現われたな。ここは長岡について話をするスレなんだから
大学生は来るな。

260 名前：253 [2005/07/27(水) 21:11 ID:i-1Ah9y6xw]
>>257
線形代数学を本当に理解しているならランクとは何か言ってみ。まあこれは簡単だから
次元と基底、像と核の定義ではなく本質的な意味を述べてよw
あと最低限としてｼﾞｮﾙﾀﾞﾝ標準形まではちゃんとわかって言ってるんだろうね？
それと俺はただ長岡が線形代数学を教えたら面白いだろうなと思って言っただけだから過大解釈しないでね★

www.milkcafe.net/test/read.cgi/tousin/1113486781/l50
789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/28(木) 00:33:48 ]: 人を試してみたいだけの、煽りなんかコピペしてんじゃねえよカス
790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/28(木) 01:14:00 ]: 両者とも線型代数で鼻高々になっているところが痛いな
というか>>789に同意
詰まらんコピペを持ってくるな、と
791 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/28(木) 23:33:00 ]: ベクトルa,b,c,dが1次独立のとき、次のベクトルの組は1次独立かどうか調べよ
　　a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b

計算の仕方がわからないので計算過程もお願いします
792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/28(木) 23:38:38 ]: >>791
a=((a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b))/3-(b+c+d)、
b=((a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b))/3-(c+d+a)、
c=((a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b))/3-(d+a+b)、
d=((a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b))/3-(a+b+c)、
なのでa+b+c b+c+d c+d+a d+a+bは１次独立。
793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/29(金) 00:16:56 ]: >>791 既に792 が出ているが
a,b,c,d が1次独立のとき a,b,c,d を四次元空間の基底に取れる。
x＝a+b+c 、y＝b+c+d 、z＝c+d+a 、w＝d+a+b をこの基底で
表現した方程式と見れば、この係数を並べて得られる四次行列について、
行列式=0 は一次従属を表し、行列式≠0 はx,y,z,w の一次独立性を表す。
即ち、方程式が解けて a,b,c,d をx,y,z,w で表現できる。

>>786 が判るなら、次の様にも言える。

a∧b で a b の成す部分空間(平面)とそこに出来る平行四辺形
a∧b∧c で a b c の成す部分空間とそこに出来る平行四面体
等を表し、x∧x=0 とおけば、
(a+b+c)∧(b+c+d)∧(c+d+a)∧(d+a+b)=a∧d∧c∧b=-a∧b∧c∧d
は同じ空間を張ることから、一次独立であることが判る。
794 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/29(金) 11:41:42 ]: ttp://www.ice.uec.ac.jp/senko/exam/exam_c_2003/images/im_02_0001.jpg
2のⅰ,ⅱの解き方が分かりません
行列を与えられている問題は分かりますが
このような形で与えられている問題は図書館で本を探しても無く分かりませんでした

単純に係数行列をAx=λxのAにすればよいのでしょうか？
795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/29(金) 15:17:09 ]: >>794
斎藤正彦　線型代数演習　などを参照。
(1) W1
1　0　1　3
2　-1　1　-3　　を基本変形する。
1　0　1　3
0　1　1　9
基底は (1,1,-1,0) , (3,9,0,-1) dim W1 = 2

W2
1　-1　2　0
0　2　-1　3　を基本変形。
1　0　3/2　3/2
0　1　-1/2　3/2
基底は (3,-2,-1,0) , (3,3,0,-2) 　dim W2 = 2
796 名前：794 mailto:sage [2005/07/30(土) 16:40:45 ]: >>795
回答ありがとうございます
これは固有方程式を使わないで解く方法なのでしょうか？
もう少し詳しい計算過程を教えてください
797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/31(日) 04:22:39 ]: >>796
斎藤正彦　線型代数演習
に目を通したのかい?
798 名前：１３２人目の素数さん [2005/07/31(日) 19:43:12 ]: 　　|7 1 -5|
A= |8 4 -9|
　　|8 1 -6|

について、e^(At)を求める問題なのですが(tは適当なパラメータ)、
Aの固有値が-1と3で3が重解となってしまいます。
こういう場合、どうやったら求められるんですか？
射影行列を使うらしいんですが、どう用いるか分かりません。
考え方だけでいいので、どなたかよろしくお願いします。
799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/07/31(日) 19:57:49 ]: バカヌから着ました。うんこ行く前に一言。おまいら天才
800 名前：794 [2005/08/01(月) 13:11:35 ]: >>797
斎藤正彦さんの線型代数演習が学校の図書館にありませんでした
ある線形代数の本をすべて（全てといっても20冊程度）見ましたが
類似問題はありませんでした
801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/01(月) 13:45:59 ]: >>800
同じ人の　線型代数入門は？
802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/01(月) 13:53:41 ]: それどんな学校だよ、と
高校？
803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/01(月) 16:16:51 ]: >>798

笠原晧司：「微分方程式の基礎」，朝倉書店
のセクション17がオレにはわかりやすかったよ。
連立線形微分方程式の章のところね。
804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/01(月) 16:38:34 ]: >>800
(i) の類似問題がないわけないでしょ。
805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/02(火) 16:24:42 ]: >>800
学校の図書館にないなら地域の図書館に行ってみれば？

>>795のW2の基底は書き間違いしているね
806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/03(水) 17:37:50 ]: 行列が
0 2 1
-1 3 1
2 -4 -1
の固有値と固有値ベクトルを求めよという問題で計算すると
固有値が1（重根）、固有ベクトルが0となって答えと違ってしまいます
正しい計算方法を教えてください
807 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/04(木) 08:01:47 ]: age
808 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/04(木) 11:06:06 ]: X－2Yが0になる任意の数を入れておけばいいんでない？
809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/04(木) 20:37:03 ]: 内積空間の Schwartz の不等式のもっとも直感的な証明を求む。
810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/04(木) 21:29:41 ]: >>809
自明
811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/04(木) 22:07:05 ]: >>810
なぜ？角度の概念を使わずにだよ。
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/04(木) 23:09:00 ]: 三角不等式から導くのが宜しいかと
813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/05(金) 08:21:54 ]: > もっとも直感的な証明

なら>>810のような書き方になるだろう
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/05(金) 09:17:42 ]: 「自明」のどこが直感的でどこが証明なんだよｗ
815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/05(金) 20:33:22 ]: >>812
詳しく教えてくれないかな。
816 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/05(金) 22:17:14 ]: hyponormal operator って、日本語で何て訳になる？
817 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/06(土) 00:46:01 ]: >>809
内積空間のSchwartzの不等式だって(w
　　　　　　　　　　　　~~
818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/06(土) 00:53:27 ]: Schwartz

www.google.com/search?hl=en&ie=ISO-8859-1&q=Schwartz&btnG=Google+Search
Results 1 - 10 of about 13,500,000 for Schwartz. (0.09 seconds)
819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/06(土) 08:48:50 ]: >>809
内積空間のSchwartzの不等式だって(w
　　　　　　　~~~~~~~~~
820 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/07(日) 16:03:29 ]: >>806
本当にお願いします
821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/07(日) 16:45:56 ]: >>806
固有値1のときの固有ベクトルは　-x+2y+z=0 を満たすベクトルとして
(1,0,1) , (2,1,0) の2つが取れる。
固有値0のときは (1,1,-2)
822 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/08(月) 01:20:10 ]: 行列Ａ＝（４　２
　　　　　１　５　）
(a)行列Ａの固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。
(b)行列e＾A=I+Σ(１/n!)＊A＾nで定義する。ただしn=1～∞　Ｉは単位行列である。この行列e＾Aの固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。
(c)N≧１に対して、A＾nの各要素をnの関数として表せ。
(d)行列e^Aの各要素を具体的に書き表せ。

(a)しかわかりません。どなたか教えてください。
823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/08(月) 19:29:36 ]: >>822
A = U^T D U (U:ユニタリ行列,D:対角行列) と分解して考えてみな。
824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/08(月) 19:54:09 ]: >>822
固有値は3,6、対応する固有(列)ベクトルとして[[2],[-1]]、[[1],[1]]がとれるので
A[[2],[-1]]=3[[2],[-1]]、A[[1],[1]]=6[[1],[1]]
まとめると
A[[2,1],[-1,1]]=[[2,1],[-1,1]] [[3,0],[0,6]]
∴A=[[2,1],[-1,1]] [[3,0],[0,6]] [[2,1],[-1,1]]^(-1)
∴A^n=[[2,1],[-1,1]] [[3^n,0],[0,6^n]] [[2,1],[-1,1]]^(-1)=略　←ここはできるでしょ？
∴e^A=[[2,1],[-1,1]] [[e^3,0],[0,e^6]] [[2,1],[-1,1]]^(-1)=略　←ここはできるでしょ？
825 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/08(月) 21:17:56 ]: >>823 >>824
ありがとうございます。
826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/08(月) 21:26:55 ]: >>822
なめてんのか？この糞マルチ野郎！
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1122914208/272
827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/09(火) 13:28:47 ]: 2次以下のK-係数多項式の空間P^2(K)の線型変換Tb：f(x)→f(x+b),(b≠0)
がジョルダン標準形で表現されるようなP^2(K)の基底を求めよ。
（斉藤正彦　線型代数入門第6章末の問３）

Tbの表現行列Aは

　1　b　b^2
　0　1　2b
　0　0　1

で、J=J(1,3)への変換行列Pは

　2b^2　2b^2　2b^2
　0　　 2b　　b
　0　　 0　　 1

から、求める基底は<2b^2,bn,2n-n^2> (n=0,1,2)　■

ところが巻末の解答は<2b^2,2bx,x^2-bx>,J=J(1,3)となっています。
上記解答はどこかおかしいですか？
828 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/08/09(火) 14:43:17 ]: talk:>>827 表現行列は合っているのですか？
829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/09(火) 15:36:11 ]: >>828
f(x)=a_0+a_1 x+ a_2 x^2

とおくと、

f(x+b)=a_0+a_1 (x+b)+a_2 (x+b)^2
　　　=(a_0+a_1 b+a_2 b^2)+(a_1+a_2 2b)x+a_2 x^2

より係数比較をして、Tbの表現行列Aを

　1　b　b^2
　0　1　2b
　0　0　1

とおくと

Tb：(a_0, a_1, a_2)→(a_0+a_1 b+a_2 b^2, a_1+a_2 2b, a_2)

となるので合ってると思います。
830 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/08/09(火) 16:31:49 ]: talk:>>829 それでは変換行列とは何か？
831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/09(火) 17:14:36 ]: >>830
もうちょっと考えてみます。
832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/09(火) 17:43:08 ]: >>831
P=
　2b^2　0　　0
　0　　 2b　-b
　0　　 0　 1

でありこれを使うと

(Tb(1) Tb(x) Tb(x^2))=(1 x x^2)A=(1 x x^2)PJP^(-1) と表せて
基底は (1 x x^2)P すなわち (2b^2　2bx　x^2-bx) となる。
833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/09(火) 18:09:02 ]: >>832
ありがとうございます
834 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/10(水) 02:58:47 ]: そもそも「線形」とはどういう意味なのか、いまいち分からない。
もちろんその原因は私の頭が極めて悪いということに他ならないが。
835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/10(水) 03:03:28 ]: まっすぐ
836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/10(水) 03:25:29 ]: >>834

難しく捉えない。
線型写像ならググレば判る。その性質を線型であると形容し、
主として線型写像が活躍する対象に「線型」なる形容詞を付ける。

で、線型写像を簡単に言えば定数項の無い一次式で表現出来る函数と
云う意味、あるいはそれの延長された概念。
837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/11(木) 17:20:52 ]: >>830
これでどうでしょう？

f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2　とおくと、

Tb:f(x)→f(x+b)=(a_0+a_1 b+a_2 b^2)+(a_1 +2a_2)x+a_2 x^2

書き換えて

　　　　　　　 |a_0|　　　　　　　 |a_0+a_1b+a_2b^2|　　　　　　　 |1 b b^2||a_0|
Tb:(1, x, x^2)|a_1| → (1, x, x^2)|　　　　　a_1+2a_2| = (1, x, x^2)|0 1　2b||a_1|
　　　　　　　 |a_2|　　　　　　　 |　　　　　　　　a_2|　　　　　　　 |0 0　 1 ||a_2|

　|1 b b^2|
　|0 1 2b |　＝Aと置くと、Aは基底<1 x x^2>に対するTbの表現行列である。
　|0 0　1 |
838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/13(土) 21:33:41 ]: >>827
基底のとりかたは一意じゃないから、それでもあってるよ。
839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/08/17(水) 11:40:45 ]: 任意の正方行列はある２つの対称行列の積で表せますよね？
でも証明しようとしたら詰まってしまいました。
誰か証明を与えてみてください
840 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/19(金) 08:38:01 ]: age
841 名前：１３２人目の素数さん [2005/08/23(火) 14:20:33 ]: >>839
表わせるの？
842 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/04(日) 22:20:47 ]: 『線型代数―Linear Algebra』長谷川浩司
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535783713/qid=1125840014/sr=1-1/ref=sr_1_10_1/250-9322454-1177825

この本の評価お願いします
843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/04(日) 22:28:56 ]: よさげな本です
応用例として量子力学入門とかも扱っています（飽くまでちょこっとだけ）

少なくとも斎藤正彦の本よりは楽しく線型代数を勉強できるでしょう
佐武一郎の本とどちらを使うかは、興味に応じて選べば良いでしょう
844 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/09(金) 00:24:26 ]: 質問させてください。
なぜ単射性の証明は核={0}が示せればよいのですか?
なぜ核について論じて単射が示せるかがわかりません。
一応これでも本を読み漁りネットで調べたんですが自明としているところが多く
詳細な解答が得られませんでした。
わかる方お願いいたしますm(__)m
845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/09(金) 00:29:06 ]: > 844

単射の定義わかってますか？
書いてみて。
846 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/09(金) 00:34:19 ]: ええっと、(f:X→Y)とすると
f(x1)=f(x2)ならばx1=x2
またはその対偶
です。
もし違うといわれたら出直してきます…。
847 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [2005/09/09(金) 00:38:27 ]: 線形写像ｆ：Ｖ→Ｗにおいて、Ｋｅｒｆ＝｛０｝だとします。
　　ｆ（ｘ）＝ｆ（ｙ） ⇒ ｆ（ｘ－ｙ）＝０ ⇒ ｘ－ｙ∈Ｋｅｒｆ ⇒ ｘ－ｙ＝０ ⇒ ｘ＝ｙ
です。よって、ｆは単射です。
848 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/09(金) 00:41:31 ]: なるほど！！丁寧な解答ありがとうございました!
とても助かりましたm(__)m
849 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/15(木) 23:09:29 ]: >>842－843
この教科書に、dim(固有空間)≦重複度の証明とか、対角化可能⇔dim(固有空間)=重複度の証明
って出てこなくない？もしどこかで出てきてるなら教えてくれ・・・
850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/15(木) 23:40:32 ]: >>849
Jordan 標準形のところに書いてあるのでは？
851 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/16(金) 00:37:27 ]: >>850
ジョルダン標準形のとこか・・・
でもそれより前の章で明らかにこの事実を使っているくだりがあるんですよ。
実正規行列の標準形の注意書きみたいなところで、「重複度をもつ固有値に対して
重複度だけの個数の正規直行な固有ベクトルを選べば」って言っているから、
あれ？そういうふうに選べる根拠となる定理が以前に出てたのかなと思って・・・
852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/16(金) 01:01:30 ]: そういうふうに論理的に順番が前後することって実はよくあるような
ミラクルスレとして立てようかと思うんだけど、どうかな

論理的な順番が逆になってたり、後の章の知識を使わないと解けない問題とかを
見つけて収集するスレ
853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/16(金) 01:03:36 ]: ただ単に、行間を埋める一環でしかない
854 名前：849 [2005/09/20(火) 11:43:51 ]: また長谷川本について質問。
p300のケーリーハミルトンの公式の証明を、「d_n(A)=Oだから」と一行で片付けてるけど、
d_n(A)=Oって何で？
ちなみに、行列A-tE(tは文字)を多項式基本変形してつくった単因子型が
diag[d_1(t),d_2(t),・・・,d_n(t)](対角行列)です。
855 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/20(火) 14:43:53 ]: 長谷川はびっしりと書いてある割にはカンジンなことの説明がいまいち
三角化と標準化までに的を絞って書いてある本のほうがいい。
どうせテンソルや量子は別の本で勉強するんだから。
856 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/20(火) 18:20:50 ]: 平均的な理系学生が佐武を読んで大体理解できるようになるにはどのくらいの時間がかかりますか？
857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/20(火) 18:50:32 ]: 生物学科とか毎日渋谷で遊んでるような三流大学の留年学生とか
全部含めて平均するなら、そもそも読めないかと
858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/20(火) 18:51:26 ]: っていうか君もうその手の質問はいいよ
859 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/20(火) 19:25:29 ]: 旧帝の平均的な工学部生が佐武を読んで大体理解できるようになるにはどのくらいの時間がかかりますか？
860 名前：849 [2005/09/20(火) 23:45:44 ]: >>855
俺もそう思う。そう思うけど、3500円も出して買ったのに今更引き下がれないしorz
というわけで誰かわかる人いないですか？もしくは詳しい説明があるサイトでも
いいので教えてください
861 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/21(水) 00:13:19 ]: 衝動買いして後悔した本。。。？
862 名前：849 [2005/09/21(水) 00:38:10 ]: 教科書として買わされた
863 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/21(水) 01:11:13 ]: >>859
２日で§1つ～２つ、３つで考えると、２ヶ月。
不意に用事が入って予定が狂ったりするのもいれて。
864 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/21(水) 02:23:12 ]: 教科書はどれも似たりよったりで、みんなが良く使ってるやつは恥じ書かないですむ。
特別優れたやつは数十年前のでも使っているけど、部分的にしか使わない。
最新やつは米のがいい。
865 名前：855 [2005/09/21(水) 06:40:51 ]: >>854
p_A(t)=det(tE-A)=det(D(t))= d_1(t)...d_n(t)
where d_n(t) is a min poly of A i.e. d_n(A)=0
最小多項式、短因子、零化いであるなどは代数の教科書を見た方がいいかも。
866 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/21(水) 09:11:40 ]: >>865
あ、いや、d_nが最小多項式であるっていう証明(固有多項式が0になることを用いずに)
が欲しいんですが・・・まあでも付き合ってくれてどうもありがとうございました
867 名前：855 [2005/09/22(木) 06:45:55 ]: 零化いであるの生成元になるとこは代数の本の方がいいとおもったんやが。
ねじれ加群の直和のたとえ話としてK[t]の変わりにZ、
d_i(t)のかわりに2^iで考えてみてはどうか（もしまだ解決してないのであれば）。
868 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/28(水) 22:55:36 ]: 質問です
次元が同じなら、同じ線形空間とみなしていいですか？
869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/28(水) 23:08:41 ]: 計量が入ってなければおｋ
870 名前：868 mailto:sage [2005/09/28(水) 23:26:18 ]: >>869
ありがとうございました
871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/29(木) 05:39:09 ]: 次元と係数体が同じならOK
872 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/07(金) 15:58:49 ]: >>868
線型空間は線型空間で全て同じと見なしてよい
873 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/07(金) 21:34:55 ]: >>872
ということは、Ｆｎ＝Ｑ＝Ｒ＝Ｃ（すべて一次元線形空間）ということでつか？
874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/08(土) 00:14:22 ]: まあカノニカルな同型があるか無いかで一寸違うけども

とか混乱させてみる
875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/08(土) 00:15:05 ]: >>872,873
同型写像が無ければ違うと見做すのが当たり前なんじゃ、、
876 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/10/08(土) 06:56:49 ]: talk:>>874 canonical同型を考えるのなら、基本となる右R加群、左R加群が当然あるはずだ。それを考えない場合は反変と共変の意味がない。
877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/09(日) 03:10:53 ]: 双一次形式ってどういう一次形式でしょうか?
878 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/11(火) 18:35:02 ]: そういうのです
879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 17:58:13 ]: わかりやすい参考書ってありませんか？
880 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/22(土) 07:18:05 ]: age
881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/30(日) 09:57:11 ]: 余因子ってどういう役割があるんでしょうか？
逆行列を求めるためだけなら、
「余因子」っていう名前はつかないだろうし。。。
882 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/31(月) 00:11:46 ]: age
883 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/31(月) 00:26:37 ]: >>881
V を体 K 上の n 次元ベクトル空間とし、
行列 A の表す線型写像を f ： V → V と書く。
これが導くn-1 次外(積)冪の写像を
g : ∧^(n-1) V → ∧^(n-1) V
とすれば、(自然な基底を取って見れば)これが余因子を導く事は見やすい。
転置行列は双対空間をの間の写像　g^* を取るものと解釈できる。
884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/18(金) 10:56:07 ]: 982
885 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:29:16 ]: （２　　－１　　　０　　　０　　　０　　…　　０)
（－１２　　－１　　０　　　０　　…　　０)
(０　－１　　　２　　－１　　　０　　…　　０)
（　　　　　　　　　　　　・ )
（　　　　　　　　　　　　・ )
（　　　　　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　　）
（０　　　０　　　…　　　０　　　－１　　２　　－１）
（０　　　０　　　…　　　０　　　　０　　－１　　２）

このｎ×ｎ行列の固有値、固有ベクトルをもとめることができません。
だれか教えて下さい。
886 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:32:02 ]: （２　　－１　　　０　　　０　　　０　　…　　０ )
（－１２　　－１　　０　　　０　　…　　０ )
(０　－１　　　２　　－１　　０　　…　　０ )
（　　　　　　　　　　　　・ )
（　　　　　　　　　　　　・ )
（　　　　　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　）
（０　　　０　　　…　　　０　　　－１　　２　　－１）
（０　　　０　　　…　　　０　　　　０　　－１　　２）
887 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:39:24 ]: 外積代数については俺が今、代数的整数論のスレで講義している。
その後、単因子論をやる予定。
だけど、大学１、２年では難しいかも。群、環、体の基礎を仮定してるから。
888 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:42:00 ]: 大学、大学院では数学（の勉強、研究）をやらずに
塾講師と非常勤（中～大学で）をバリバリやってた
奴だけがアカポス獲得競争への参加資格が得られる
時代になった、ということだ。要するにね

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132224232/77
889 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 13:54:07 ]: >>887
速く書いて見ろこの馬鹿
890 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 13:59:11 ]: >>889
208写経先生に何ということを！失礼だぞ！写経には時間がかかるんだよ。
891 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 18:02:24 ]: >>890

逆だろ。写すほうが考えて書くより早い。
892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/18(金) 18:49:16 ]: 写経にはまず精神統一がいるわな。そのあと、筆と墨を準備する。
厳かにすべての手続きを行う事に時間が必要となりますのじゃ。
893 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/19(土) 17:58:04 ]: >>892
般若心経を写経された後の御気分はどうでした？
894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/19(土) 22:07:15 ]: 般若心経は短いので写経はすぐだ。
只、その意味を理解するのに１年はかかる。
895 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 09:21:32 ]: お前等も俺がBourbakiをdead copyしてるとは思ってないだろ。
俺がBourbakiを分かりやすく噛み砕いて説明してるわけ。
しかも、オリジナルな別証まで書いてある。
896 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 15:54:28 ]: >>代数的整数論のスレで講義している。

>>しかも、オリジナルな別証まで書いてある。

とことんトホホな奴。
897 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:03:37 ]: >>896

理由をつけなきゃ何とでも言えるわな
898 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:14:54 ]: とことんトホホな奴。
899 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:17:22 ]: 双一次形式ってどういう一次形式でしょうか?
双二次形式ってどういう二次形式でしょうか?
900 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:23:28 ]: とことんトホホな奴。
901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/21(月) 16:26:22 ]: 板違い
902 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:39:10 ]: とことんトホホな奴。
903 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 19:38:55 ]: あっ
904 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 20:55:06 ]: f(x↑) = ｜x + 2y - z　　｜
　　　　　｜2x - 3y + 2z ｜
　　　　　｜-x + y - 2z　｜
　　　　　｜-2x - 2y + 3z｜

ｘ↑ = ｜ｘ｜
　　　　｜ｙ｜∈　R↑^3
　　　　｜ｚ｜

上のR↑^3からR↑^4への線形写像の核空間の基底の求め方を教えてください。
905 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/06(火) 09:29:01 ]: 無限次元線型空間Vにも次元によるクラス分けをしたりしますか？
dim(V)=アレフゼロとか dim(V)=2^(アレフゼロ) とか書くのですか？
906 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/06(火) 09:35:34 ]: 当然書く。
907 名前：905 mailto:sage [2005/12/06(火) 09:42:00 ]: まるほど。
908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/06(火) 09:46:19 ]: かかねーよ。
909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/06(火) 17:25:45 ]: 次元の基数の一定性って
教養の線型代数とかと同じ方法で示せるんだっけ？
次元で分けたとしてどういう分野でその分類を使うの？
910 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/06(火) 18:15:48 ]: >>909
応用問題：
実数上体の有限次元ベクトル空間の加法群はすべてRの加法群と同型であることを示せ。
911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/06(火) 18:35:38 ]: 実数体上の有限次元ベクトル空間は加法群として見た時、（りゃ
って解釈で良いのかな

解
(a_1,a_2,..........a_n)とa_1を対応させる写像が同型写像となる
912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/06(火) 20:48:28 ]: >>911
同型ってのは全単車じゃないとだめ
913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/06(火) 21:10:58 ]: でした、、何をボケてたんだろう

結構難しいな
914 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2005/12/07(水) 00:52:36 ]: Hamel基底取れば一応証明できるんですね
可算個の直積でも成り立つ

でも何か牛刀をもって鶏をさくきらいがありますし
Qのときとか無限直積のときに通用しませんね

うーむ
915 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/07(水) 04:00:39 ]: >>908
書くよ。この馬鹿
916 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/07(水) 17:33:28 ]: >>915
dim(V)=2^(アレフゼロ)
となるベクトル空間の自明でない例を挙げてみろ、うすら
917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/07(水) 17:56:54 ]: おおっ208参上の惨状
918 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/07(水) 18:25:00 ]: >>916
K を任意の体とし、 X を濃度2^(アレフゼロ) の集合とする。
一般に任意の集合でよい。
X 上の K 値関数で、 0 でない値を取る点が有限個しかない関数全体の空間を V とする。
V は自然に K 上のベクトル空間となるが、その次元は X の濃度に一致する。
919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/07(水) 18:34:14 ]: 何で荒れてるんですか？
理由が分からない
920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/07(水) 18:37:32 ]: 208は荒らしを呼ぶ男なんだよ
脚は短いけど
921 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/07(水) 19:08:11 ]: A=(aij)をn次の正方行列とする（ijは添え字）

-|ai1|-・・・-|aii-1|+|aii|-|aii+1|-・・・-|ain|>0　　（ii-1,ii+1等は添え字）

i=1,2,...,n　ならば　detA=0　でないこと（ノットイコール０）を示せ
922 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/07(水) 19:15:11 ]: n次の正方行列　A=(aij)　の任意の固有値αに対して

n
　　　　　|α|＜＝ max Σ |aij|
1<=i<=n j=1

が成り立つことを証明せよ。

どなたかこの２問を解いてくださいませんか？
是非お願いします。
923 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/07(水) 20:09:59 ]: >>918
横槍だが、それは「自明な例」ですよ・・・
自明でない例くらい、いくらでもあるけどねｗ
924 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 03:44:04 ]: >>923
これは一般的な例である。

>自明でない例くらい、いくらでもあるけどねｗ
だったら自分で書けよこの馬鹿。

R を Q 上ベクトル空間と考えればそうなっている。
925 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 10:06:44 ]: >>924
Q_pをQ上のベクトル空間と考えた時の基底の濃度は？
926 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 11:27:51 ]: 体上の無限次ベクトル空間の基底の濃度は一定の証明ってどうやるの？
927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:36:08 ]: >>925
Rの場合と同じ。2^(アレフゼロ)
928 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 22:22:42 ]: >>926
B、C をふたつの基底とし、#B = 無限とする。各 c∈C に対して B_c := {b∈B | c の b 成分≠0}
とおくとB_c はBの空でない有限集合。これらの合併 ∪_{c∈C} B_c を B' とする。
<B> = <C> ⊆ Σ{c∈C} B_c = <B'> であるから、B = B'。
よって、#B = #B' ≦ #C。 B と C を入れ替えて #C ≦ #B。よって #B = #C。
以上は一般の環上の無限次元自由加群で成り立つ
929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 22:31:55 ]: >>928
ｽﾏｿ。3 行目
誤：<B> = <C> ⊆ Σ{c∈C} B_c = <B'>
正：<B> = <C> ⊆ Σ{c∈C} <B_c> = <B'>
930 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/11(日) 18:54:06 ]: 次元については理解したので、
無限次元空間に関する他の話題はないか？
931 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 09:50:54 ]: >>928
>よって、#B = #B' ≦ #C。

この不等号の証明って？
932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/12(月) 12:09:35 ]: >>931
B' = ∪_{c∈C} B_c、#C は無限で（有限とすると B' = B も有限となり仮定に反す）、
各 B_c は空でない有限集合だから、#B' ≦ #C。
これでわからなかったら集合論の教科書を読むべし。
933 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 12:14:14 ]: >>932

そういわずに。そこが一番肝心なところじゃない。
それ以外はトリビアル。
934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/12(月) 19:51:01 ]: >>933
#B' = # (∪_{c∈C} B_c) ≦ # (直和_{c∈C} B_c) ≦ #C × アレフゼロ = #C
935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 00:40:34 ]: 行列って実生活とかだと、どんなところで役立ってますかね？
936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 00:51:35 ]: グーグルとか
他にも工学とか物理で役に立ってるはずだけどね
937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 00:59:17 ]: 具体的にはどんなのがありますかね？
938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 03:36:34 ]: >>937
経済学のレオンチェフ行列とか。
実生活ってどういうレベルを言ってるのか判らんけど
939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 03:40:56 ]: 経済学板でこんなの見つけたｗｗｗｗ

256 名前：名無しさん＠お腹いっぱい。[] 投稿日：2005/12/13(火) 01:54:54 ID:I21LKJ1E
　　実生活で行列ってどんなときに用いられます？
　　（２＊２以上の大規模なもので）
940 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/13(火) 07:35:28 ]: 影響しあって変化していく系を考えるときに、線形変換を使う。
941 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 09:16:00 ]: >>934
>#C × アレフゼロ = #C

ここの証明が一番肝心なところ。それ以外はトリビアル。
お願いします。
942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 10:31:08 ]: Ｃが無限なら明らかだろ。
もし分からんなら集合質問板のほうが良いと思う。
943 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 10:45:40 ]: 明らかじゃないだろ。ここが唯一ノントリビアルなところ。
おたくもわかってないんだろ。
944 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 10:49:41 ]: 明らかといいつつ他を参照しろというのは痛いな。
いくら明らかと自分で思っていても、それをすぐ証明出来なければ
それは実は明らかではないということ。
945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:12:00 ]: あらしはスルーが一番だが。
というか本当に明らかに見えないのだろうか？

ひんと。無限なら可算集合を部分に含む。
946 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 12:15:45 ]: ヒントはいらないから、証明してみて。
明らかというからには、簡単なんでしょ。
947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:22:21 ]: 横レスしてもいい？
948 名前：946 [2005/12/13(火) 12:23:50 ]: どうぞ
949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:25:43 ]: κ×λ＝min{ κ, λ }
が基数算の定理ですからー、じゃ駄目？
950 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 12:28:09 ]: じゃあ、それを証明してみて
951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:30:20 ]: んじゃ、証明にはいくつか準備が要って、
・整列集合の定義
・順序数の定義
・整列可能定理という名の公理
くらいは要るんだけど、そこはわかる？
952 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 12:31:17 ]: わかる
953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:33:43 ]: あ、949は
κ×λ＝max{ κ, λ }
の間違いね。

それで、
\aleph_0 × \aleph_0 ＝ \aleph_0
の証明は要る？
954 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 12:34:38 ]: いらない
955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:36:45 ]: ほんじゃ、κ≧λと仮定するよ
んで、全単射f : ω×ω→ωがあることも前提にしちゃう
956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:37:50 ]: ていうか
> じゃあ、それを証明してみて
ていう態度がなんかむかついてきた
957 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 12:37:56 ]: ＯＫ
958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:39:04 ]: 面倒だからλ≧ωも仮定しとくか。
959 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 12:41:10 ]: ＯＫ
960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:42:00 ]: んで、fを使って全単射
g : ω×λ→λ
を構成すれ。
fは各(n_1, n_2)とmを1対1対応させるわけだから
(n_1, α＋n_2)とα＋mの1対1対応のさせかたも
わかるね（ここでα＜λは極限順序数）？
それくらいは考えてみれ。
961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:43:21 ]: それができたら今度はgを使って
まったく同じ方法で全単射
h : κ×λ→κ
が定義できるね。終わり。
962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:45:04 ]: 基数の話をするんで整列可能定理は要らんかったね。
集合Cに基数を与えるときに整列させんといかんが。
963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 12:53:02 ]: ていうかやっぱり、集合論スレに誘導されたときは
素直に従うがいいと思うぜ。
ほんと、こんなの基数算の基本中の基本で、
基数を扱うときには普通に「明らか」扱いされるもんなんだしさ。

というわけで、横レスしちゃったが許せ＞>>945。
964 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 13:00:36 ]: 基数算なんて普通使わないだろ。
965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 13:02:19 ]: じゃあ
> 体上の無限次ベクトル空間の基底の濃度は一定の証明
なんて挑戦しないのが身のためだったね。
966 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 13:09:58 ]: >>965

そんなことはない。基数算は昔やったけど忘れた。
忘れても問題ないほど使わないってこと。

整列定理や順序数を使う証明を明らかといわれてもな。
>>928 がその証明を知っていたのか大いに疑問だし。
967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 13:15:10 ]: 今の証明じゃ整列定理は使ってないって言ったよー。
そもそもさ、整列定理や順序数で難しいってんなら
濃度の話なんかしなけりゃいいじゃん。
968 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 13:23:15 ]: お前はわかってんのか？
969 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 13:23:21 ]: satake hachiro
970 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 13:25:03 ]: 誰が難しいって言った？
明らかの反対は難しいじゃないだろ。
971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 13:26:32 ]: 難しくないなら自分で解いてろやカス
972 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 13:26:59 ]: 任意濃度の順序数を使ってる時点で整列定理を使ってるんだよ。
973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 13:28:42 ]: >>972
>>962にも
> 基数の話をするんで整列可能定理は要らんかったね。
> 集合Cに基数を与えるときに整列させんといかんが。
ってあるね。
974 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 13:29:27 ]: >>971

それを初めに言えよ。散々偉そうに中途半端な証明してから
言うんじゃない。
975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 13:31:15 ]: おまえほんとおもしろい子だな。
976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 13:40:59 ]: うむ。明らかの反対は難しいではない。
しかし、整列定理や順序数を使う証明が明らかでないならば、
現在の数学で明らかと言える命題なんてほとんどないだろう。

全く、ここは集合論板ではないのに。スルーしとけばよかった。
977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 13:44:39 ]: そもそもさ、整列定理や順序数で明らかでないってんなら
濃度の話なんかしなけりゃいいじゃん。

っていうことでも言いたいこと通るんで、別に難しくなくてもいいけどね。
まあおもしろい子はスルーしとけばよかったね。反省だ。
978 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 13:47:05 ]: >>976

ちと違う。整列定理や順序数は現代の数学ではあまり使わない。
Zornの補題はよく使うが。
979 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 13:50:11 ]: >そもそもさ、整列定理や順序数で明らかでないってんなら
>濃度の話なんかしなけりゃいいじゃん。

そんなことはないだろ。どっからそういう話になるんだよ。
お前等の説明能力がないだけだろ。または、もっとありそう
こととして、初めから証明を知らなかっただけだろ。
980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 13:51:33 ]: まあ知ってると思うけど。
整列定理⇔Z補題。という意味で言ったのだが。
実際、今回の場合もＺ補題が正解だと思うよ。

あと因みに、976はスルーしなかった人であり、
おもしろい子とは別人です。
981 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 13:56:05 ]: じゃあ、誰かZornの補題を使って証明してみて
982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 13:59:22 ]: > そんなことはないだろ。どっからそういう話になるんだよ。

えっと、>>972参照。順序数でない一般の集合に濃度の概念を
定義してる段階で既に整列定理を使っちゃってるんですけども。

> 今回の場合もＺ補題が正解だと思うよ。

そこは俺もひっかかったんだけど、>>934≠>>976なの？
983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 14:01:12 ]: >>974に
> >>971
> それを初めに言えよ。散々偉そうに中途半端な証明してから
> 言うんじゃない。
とあるので今度は初めに言っておこう。

>>981
難しくないから自分で解いてろやカス。
984 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 14:03:18 ]: >>983

もう遅い
985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 14:05:18 ]: 君の頭が手遅れって意味？
986 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 14:11:01 ]: だから、一旦証明を始めたんだから、もう遅いっての。
最後までキチンと証明しろよ。

なんで、きちんと証明するのに、こんなにスレ費やすんだよ。
うだうだ言わずに証明しろよ。
987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 14:15:33 ]: 一年百四十日十八時間。
988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 14:33:20 ]: すげえオチ
989 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 14:44:44 ]: 人に質問するのはやめよう。
990 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 17:50:07 ]: >>982
>えっと、>>972参照。順序数でない一般の集合に濃度の概念を
>定義してる段階で既に整列定理を使っちゃってるんですけども。

初耳。もっと詳しく教えてもらえませんか？
991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 18:12:58 ]: 横レスだけど
公理的集合論田中尚夫のに、多少書いてあるような
数学の基礎齋藤正彦にもなかったっけ
Scottのtrickがどうの、ってとこ
992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/13(火) 20:15:33 ]: 一年百四十一日。
993 名前：979 [2005/12/14(水) 09:12:09 ]: >>990

濃度の定義では整列定理は使う必要はない。
994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 09:47:52 ]: もう秋田。
集合やりたいんならほか行って。
995 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 09:53:57 ]: 本格的集合論をやろうってんじゃない。
小難しいことを言ってるやつがピントはずれ。
ベクトル空間の(無限)基底濃度が一定というのは基本中の基本。
その証明にこんなに手間どるのがおかしい。
996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 10:10:13 ]: 確かにそんな基本事実の証明をしてくれしてくれと
騒ぎ立てる厨はちょっと頭がおかしいと思う。
997 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/14(水) 10:16:50 ]: ここにいる連中のほとんどはその基本事実の証明を知らない。
だから、あんたの言ってることは的はずれ。
998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 10:27:44 ]: 証明なら上にきちんと出てるよ
999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 10:28:13 ]: てっきり証明に手間どってるんじゃなくて
おもしろい子の扱いに困ってるんだとｵﾓﾀ
1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/14(水) 10:28:46 ]: ・・・おもしろい子！

　ミﾐ､ヾ＝=-　　　〃ゞヾ,〃　)）｀ｰ-=＝ﾆ二三　 i 　
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1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread]: このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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