不等式スレッド

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不等式スレッド

1 名前：１３２人目の素数さん [03/12/27 16:28]: 有名な不等式からマニアックな不等式について語り合いましょう。
2 名前：2 [03/12/27 16:28]: 2
3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/27 16:39]: ベルの不等式が有名だすね
4 名前：まる [03/12/27 16:40]: だるま不倒式
ダルマさんが倒れないための条件を与える不等式です。
5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/27 16:56]: ちんこ不等式
6 名前：１３２人目の素数さん [03/12/27 17:01]: チェビシェフだろ
7 名前：１３２人目の素数さん [03/12/28 00:19]: seele futousiki
8 名前：１３２人目の素数さん [03/12/28 00:21]: 三角不等式が一番使える。
9 名前：１３２人目の素数さん [03/12/29 01:17]: AMGM
10 名前：１３２人目の素数さん [03/12/29 01:19]: 0≦1
これ有名。＝を抜かさないのがｶｺｲｲ
11 名前：ティム [03/12/29 01:35]: コーシーシュワルツエネッガーの不等式だっけ？」
12 名前：１３２人目の素数さん [03/12/29 01:46]: >>11
エいらないよ。とマジレスしてみるテスト
13 名前：ティム [03/12/29 02:38]: >>12
ミスった。
シュワルツェネッガーね。
14 名前：ティム [03/12/29 02:45]: ヤッホーでシュワルツネッガーで検索すると
　＿
／！＼キーワードに間違いはありませんか？　シュワルツェネッガーでオ☆ニーをしてください。
￣￣￣
ってでましたが何か？
15 名前：１３２人目の素数さん [04/01/09 16:42]: age
16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/09 17:13]: 相加相乗調和
ヘルダーの不等式
ミンコフスキーの不等式
17 名前：１３２人目の素数さん [04/01/09 19:58]: 良スレじゃねぇか
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
18 名前：１３２人目の素数さん [04/01/09 20:38]: 不等式だけ集めた本もある。
19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/09 21:00]: このスレに期待していいのですか？
(；´д｀)ﾊｧﾊｧ
20 名前：１３２人目の素数さん [04/01/09 21:09]: 自分で調べて自分でネット検索して自分で
考えて
考えて
考えて
喜ぶ。
ちなみにその本には確かこうある。
ある者は蝶を集め、ある者は切手を収集し、ある者は不等式を集める。
21 名前：１３２人目の素数さん [04/01/09 21:41]: 不等式への招待現代数学ゼミナール
大関信雄 (著)
三角形の3辺の長さについての不等式
超越関数を含まない不等式
三角関数、指数・対数関数についての不等式と単調性
(相加平均)≧(相乗平均)の証明方法
相加平均・相乗平均を含む不等式
凸関数についてのJensenの定理
負にならない2次形式について
不等式の作成と証明法
凸関数と優数列について
22 名前：１３２人目の素数さん [04/01/09 21:43]: 三角形の3辺の長さについての不等式
超越関数を含まない不等式
三角関数、指数・対数関数についての不等式と単調性
(相加平均)≧(相乗平均)の証明方法
相加平均・相乗平均を含む不等式
凸関数についてのJensenの定理
負にならない2次形式について
不等式の作成と証明法
凸関数と優数列について
積分の不等式
23 名前：１３２人目の素数さん [04/01/09 21:53]: 不等式
[原書名：Inequalities〈Hardy, Godfrey Harold；
Littlewood, John Edensor；P´olya, George〉 ]
４１７ｐ　２１ｃｍ（Ａ５）
シュプリンガー・フェアラーク東京 (2003-10-04出版)

・ハーディ，Ｇ．Ｈ．〈Ｈａｒｄｙ，Ｇｏｄｆｒｅｙ　Ｈａｒｏｌｄ〉・リトルウッド，Ｊ．Ｅ．〈Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ，Ｊｏｈｎ　Ｅｄｅｎｓｏｒ〉・ポーヤ，Ｇ．【著】〈Ｐ´ｏｌｙａ，Ｇｅｏｒ
[A5 判] NDC分類:413.51 販売価:\4,800(税別)
本書は、Ｇ．Ｈ．ハーディ、Ｊ．Ｅ．リトルウッド、Ｇ．ポーヤという数学界
の巨星たちが、数学のあらゆる分野において重要な役割を果たす不等式たち
について、その起源を遡り、コンパクトに証明をまとめた書。
本書の前半部分では、まず解析学において重要かつ基本的な算術平均と幾何
平均の定理（定理９）、ヘルダーの不等式（定理１１）、ミンコフスキの不
等式（定理２４）を紹介し、それぞれについて、いくつもの視点からの全く
異なる証明を与えている。
そして後半部分では、前半で提起された問題についてさらに詳細に考察がな
されており、複素関数の理論、フーリエ級数の理論、直交関数系の一般論な
どへの格好の入門書ともなっている。

第１章　序論
第２章　基本的平均
第３章　関数の平均と凸関数の理論
第４章　微分積分学の応用
第５章　無限級数
第６章　積分
第７章　変分法の応用
第８章　双線形形式と多重線形形式に関する定理
第９章　ヒルベルトの不等式とその類似と拡張
第１０章　再配列
24 名前：１３２人目の素数さん [04/01/10 10:57]: 不等式ヲタからの質問。

不等式（大関信雄、青木雅計）槇書店
P.153, 5-7行があやしい。
あれでは a_kとb_kが無関係でなくなるのでは？
25 名前：１３２人目の素数さん [04/01/26 02:52]: 名スレ上げ
26 名前：１３２人目の素数さん [04/01/26 22:37]: 0≧1≧2
27 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/01/27 03:52]: a<=bから束を作ってみる。
a<=bに相当する関係式をa∪b=b,a∩b=aとする。
a∪b=max{a,b},a∩b=min{a,b}とすると、a<=bならばa∪b=b,a∩b=aである。
また、a>bならば、a∪b≠b,a∩b≠aである。
よって、通常の順序に対応する束の演算は、maxとminである。
28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/27 13:12]: >>24
考えて見るかと思って、見たんだが、俺の持っているのではP１５３はTから
Zまでの索引であった。ちなみに１９９２初版第２刷となっておる。
29 名前：２８ mailto:sage [04/01/27 13:17]: >>24
本が違ってた。
俺のは「不等式への招待」近代科学社
君のは不等式なんだね。
30 名前：２８ mailto:sage [04/01/27 13:35]: >>24
式書いてみて？
数学の本にはよく誤植があるから、、、。
31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/01 05:15]: 716
32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/14 04:10]: ここに書くには余白が…
質問しておいて偉そうだが、図書館で読んで欲しい。
私は古本屋で運良く手に入れた。
33 名前：１３２人目の素数さん [04/02/15 04:55]
34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/18 02:04]: タイトルは(；´д｀)ﾊｧﾊｧなのに、誰もいない悪寒…。
>>1はどこヘ逝った？建て逃げかよ…。 _ト￣|○
ところで小難しいのを見つけたのですが、スッキリ証明できません。
よろしくお願いします。

正の数a,b,x,yに対して、次の不等式を証明せよ。等号成立条件も示せ。
　(ax^2+by^2)^3 ≦ (a^3+b^3)(x^3+y^3)^2
35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/18 09:46]: ただのヘルダーの不等式
36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/18 15:47]: >>35
＿ト￣｜○ 知らなかった…

とりあえず、ヘルダーの不等式を調べてみまつ。
37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/18 21:03]: おれはついに、ハーディー、リトルウッド、ポリヤの不等式を買った。
これから、浸かります。
38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/18 21:55]: 俺は、>>37さんの言う本も、最近出た「不等式の工学へ応用」
も買ったが、いまだ読んでいない
39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/21 20:44]: 「恐ろしく難解な問題をだせ！ 223,241,967」より

1 ≧ F(a,b,c) ≡ a/(b+c+1) + b/(c+a+1) + c/(a+b+1) + (1-a)(1-b)(1-c) ≧ 7/8.

f(x)=1/(x+1)-1+x/2 とおくと、与式=a･f(b+c)+b･f(c+a)+c･f(a+b)+1-abc だから、求める式は、f(b+c)≦bc/3, etc.
0<x<1のとき、f(x)=-x(1-x)/2(x+1)<0≦bc/3.
1<x<2のとき、f(x)-(x-1)/3=(x-1)(x-2)/2(x+1)<0 より f(b+c)<(b+c-1)/3≦bc/3. q.e.d.

a+b+c=s とおき、F(a,b,c) ≧ F(s/3,s/3,s/3) ≧ 7/8 と分ける。
右側は F(m,m,m)＝3m/(2m+1)+(1-m)^3＝7/8+(m-1/2)^2･{1/2+m(3-2m)}/(2m+1)≧7/8.(0≦m≦1)
等号成立は m=1/2のとき.

基本対称式を a+b+c=s, bc+ca+ab=t, abc=u とおくと、
F(a,b,c)－F(s/3,s/3,s/3)＝(s+1){(7s/3+2)(s*s/3-t)-3(s^3/27-u)}/[(2s/3+1){(2s/3+1)^2-(s+1)(s*s/3-t)+(s^3/27-u)}]
-(s*s/3-t) + (s^3/27-u).

基本対称式を使って表すところが、うまくいかんですだ。
もっと楽な方法ないですか？
40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/23 09:16]: オレの計算力では、うまくいかん…
_ト￣|○
41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/23 09:48]: >>39
F(a,b,c)－F(s/3,s/3,s/3)＝(s+1){(7s/3+2)(s*s/3-t)-3(s^3/27-u)}/[(2s/3+1){(2s/3+1)^2-(s+1)(s*s/3-t)+(s^3/27-u)}]
-(s*s/3-t) + (s^3/27-u).

負の数-(s*s/3-t)が混じっているのだが、これが正の数になるのか？
42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/23 10:52]: F(a,b,c)－F(s/3,s/3,s/3)
=(s+1){2(s^2-3t)+(2s^3-7st+9u)}/[(2s+3)(a+1-a)(s+1-b)(s+1-c)]
　+(s^3-9s^2+27t-27u)/27
右辺第一項は正だから、第二項が正になることを示せばよいのだけど…
[補足]
s^2-3t = {(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2 ≧ 0
2s^3-7st+9u
=(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 ≧ 0
43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/23 10:55]: 第二項は (s,t,u)=(1,0,0)のとき負になるから
やっぱり、第一項と第二項を一緒に考えて、
正の数になることを示さないといけないのか…
44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/23 11:20]: 降参です。
>>39の問題を書いたやつ出て来いや
ヽ(｀д´)ノ　ｶﾞﾛｧ!
45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/23 12:53]: F(a,b,c)－F(s/3,s/3,s/3)≧0
の反例が見つかれば楽なんだけど…
46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/23 13:18]: 計算が大変そうだが、F(a,b,c)をaの関数とみて微分して
0≦a≦1の範囲で最小値を求める方法を考えてみるかな…
47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 00:02]: 　　　　　　　　　　　　　　☆ ﾁﾝ

　　　　　 ☆　ﾁﾝ　　〃　∧＿∧ 　
　　　　　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）　経過報告まだぁ～？
　　　　　　　＼＿／⊂　⊂＿)＿
　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣／|
　　　　　　　　| ￣￣￣￣￣￣￣:|　:|
　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　 |／
　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣
48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/24 02:58]: ﾁﾝ　　　　　　☆　　ﾁﾝ　　　　　　　☆
　　　　　　　ﾁﾝ　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～　　　ﾁﾝ　　　　　♪
　　　　　　　　　　　♪
　　　　♪　　　　　　　　　　☆ﾁﾝ　　　 .☆　　ｼﾞｬｰﾝ！　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～!
　　　　　 ☆　ﾁﾝ　　　〃　 ∧＿∧ 　ヽ　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　ヽ　　＿＿_＼（・∀・ #）　／＼＿／　＜　まだー？
　　　　　ﾁﾝ　　＼＿／⊂　　　　つ　　∥　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣／| 　　 ∥　　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～!
　　　　　　　　| ￣￣￣￣￣￣￣:|　:|　　／|＼
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49 名前：１３２人目の素数さん [04/02/26 00:21]: 期待あげ
50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/26 00:56]: >>39の問題未定定数法でとけるとおもうけど。
F(a,b,c)≧F(s/3,s/3,s/3)をしめすんでしょ？
a+b+c=sという束縛条件下で
L=･･･-λ(a+b+c-s)とおいて
La=Lb=Lc=Ls=0をとく。たぶんがんばればa=b=c=s/3がでると思うんだけど
がんばらなくてもa=b or b=c or c=aまではなんとかでるからそれから
f(x)= x/(x+s-2x+1) + x/(s-2x+x+1) + (s-2x)/(x+s+1) + (1-x)(1-x)(1-s+2x)
の増減表かいたらできたよ。
51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/26 20:34]: >>39の問題を複雑な計算を極力さけるというコンセプトのもとにといてみました。
変数が鬱陶しいのでp=1-a、q=1-b、r=1-cとおいて目標は

　0<p<1、0<q<1、0<r<1の範囲で
　F(p,q,r)=(1-p)/(3-q-r)+(1-q)/(3-r-p)+(1-r)/(3-p-q)+pqr≧7/8 （等号はp=q=r=1/2のとき)
　
でこれをしめすために補題として
G(x,y,z)=(1-x^2)/(3-t^3/x)+(3-y^2)/(3-t^3/.y)+(3-z^2)/(3-t^3/z)+t^6 とおくとき
　
　(1)0<t<1に対し0<x<1、0<y<1、0<z<1、xyz=t^3の範囲で
　　G[t](x,y,z)≧G[t](t,t,t) （等号はx=y=z=tのとき)
　
　(2)0<p<1、0<q<1、0<r<1の範囲でF
　　(p,q,r)≧G[√(pqr)](√p√,q,√r)
　
　(3)G[t](t,t,t)≧7/8 (0<∀<1) (等号はt=1/2のとき)
　
をしめせば十分。(2)は相加相乗平均、(3)は微分すればよし。でやや大変なのは(1)。
G(x,y,z)=(x-x^3)/(3x-t^3･x^2)+(y-y^3)/(3y-t^3･y^2)+(y-y^3)/(3y-t^3･y^2)+t^6
を考える。まずx=e^u、y=e^v、z=e^wと変換して範囲はu,v,w<0、u+v+w=logt。この領域で
(x-x^3)/(3x-t^3･x^2)は(t^3<x<1)において下に凸な関数でx=e^uも凸だから合成関数
(e^u-e^(3u))/(3e^u-t^2･e^(2u))も所与の(u,v,w)の範囲で凸。よってG[t]は所与の範囲で凸。
しかも狭義凸なので最小値はあっても一ヶ所のみでgradG[t]=(0,0,0)なる点が内部にあれば
そこが最小。一方束縛条件を無視するとG[t]はx,y,zの置換で不変なので
gradG[t](t,t,t)もx成分、y成分、z成分の置換で不変ゆえそれは(1,1,1)に平行。
それは束縛条件のgradと等しいので特に束縛条件下では(x,y,z)=(t,t,t)でgradG[t]は0ベクトル。
つまりここが最小。
52 名前：51 mailto:sage [04/02/26 22:42]: スマソ。計算まちがいしてた。
＞(x-x^3)/(3x-t^3･x^2)は(t^3<x<1)において下に凸な関数
これ成立しません。最終的に３つたしたg[t]が凸はあってるみたいだけど･･･
今一歩ｶｺﾜﾙｲ。もちょっとなんとかならんものか･･･
53 名前：51 mailto:sage [04/02/26 23:13]: 修正と差し替え
まずG[t](x,y,z)の定義は
G(x,y,z)=(1-x^2)/(3-2t^3/x)+(3-y^2)/(3-2t^3/.y)+(3-z^2)/(3-2t^3/z)+t^6
でこれにx=e^u、y=e^v、z=e^wを代入してえられる関数のu+v+w=3logt、u,v,w＜0における
凸性の証明を以下にさしかえ。
H(u)=log(e^u-e^(3u))-log(3e^u-2t^3)とおく。第１項は微分すると
log(e^u-e^(3u))'=(e^u-3e^(3u))/(e^u-e^(3u))=3+4e^u/(e^u-3e^(3u))は単調増大ゆえ凸。
第２項は凸関数-log(3e-2t^3)に凸関数e=e^uを合成したものなので凸。
ゆえにH(u)は凸。よってe^H(u)=(e^u-e^(3u))/(e^u-2t^3)は凸。よってG[t](e^u,e^v,e^w)は
所与の領域で凸。
54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/26 23:18]: しまった･･･まだまちがってる。もういや。
55 名前：54 mailto:sage [04/02/26 23:40]: いやあってた。これ以上はスレ汚しくさいので撤退。
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/27 06:08]: >>50-55
ありがとうございます。
印刷してジックリ追ってみます。
57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/27 07:59]: ムズイ。
普通の高校生にも分かるような解き方は無理でしょうかねぇ…
58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/01 15:07]: 2004 JMOの問題らしい。
別解が挙げられてたが、JMOの模範解答も知りたいです… (つД‘)･ﾟ･｡

a+b+c=1を満たす正の実数a,b,cに対して
{(1+a)/(1-a)}+{(1+b)/(1-b)}+{(1+c)/(1-c)}≦2{(b/a)+(c/b)+(a/c)}
が成立することを証明せよ．ただし,等号が成立する条件を述べる必要はない.

別解　a+b+c=1から(1+a)/(1-a)=1+2a/(1-a)=1+2a/(b+c)などとなるので、示すべき不等式は
3+2(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))=＜2(b/a+c/b+a/c)
と同値であり、さらに、a/c-a/(b+c)=ab/c(b+c)などにより、これは、
ab/c(b+c)+bc/a(c+a)+ca/b(a+b)＞=3/2
と同値である。この式の両辺はa,b,cについての斉次式なので、a+b+c=1の条件を取り除いて、
任意の正の実数a,b,cについて上の不等式をしめせばよい。そのためには、abc=1なる正
の実数a,b,cについて
S=1/c^2(b+c)+1/a^2(c+a)+1/b^2(a+b)>=3/2
を示せば十分である。コーシー・シュワルツの不等式より、
{(b+c)+(c+a)+(a+b)}S>=(1/c+1/a+1/b)^2=(ab+bc+ca)^2
なので,S>=(ab+bc+ca)^2/2(a+b+c)となる。この式の右辺が3/2以上であることを示せば良いが、それは
(ab+bc+ca)^2/2(a+b+c)>=3/2⇔(ab+bc+ca)^2>=3(a+b+c)
⇔(ab+bc+ca)^2>=3(a+b+c)abc
⇔1/2{(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2}>=0
からわかる。よって示された。
59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/01 20:01]: 　　　　　　　　　　　　　　　＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |
　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　＜　JMOの模範解答ＵＰはまだかね？！　　　　　　＞
　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿|
　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨
　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　 /ヘ;;;;;　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪
　　　　　　　　　＝≡＝　　';=r=‐ﾘ　　　　　　☆
　　　　　　♪ 　　／　〃　ヽ二/　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ
　　　　♪　　　〆　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ
　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコノ　　||
　　　　　　　　　||　ΣΣ 　.|:::|∪〓　||　　　♪
　　　　　　　 .／|＼人＿.ノノ _||_.　／|＼
60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/06 03:32]: [分からない問題はここに書いてね４]より

a,b,c は三角形の３辺で、x,y,z は x+y+z=0 をみたす実数のとき
　 a^2xy + b^2yz + c^2zx ≦ 0

とりあえずx,y≧0≧zとして一般性をうしなわない。左辺に(-1)かけてzを消去して
左辺×(-1)
=a^2xy + b^2yz + c^2zx
=(c^2)x^2+(b^2+c^2-a^2)xy+(b^2)y^2
=(c^2)x^2+2bc(cosθ)xy+(b^2)y^2　　←abcを三辺とする３角形のaの対辺の角をθとした。
≧(c^2)x^2-2bcxy+(b^2)y^2
=(cx-by)^2
≧0
61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/06 03:35]: [分からない問題はここに書いてね４ : 226-]より

a,b,cは三角形の３辺、rは内接円の半径、Rは外接円の半径のとき
　r/(2R) ≦ abc / sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}
（出典 MOCP 2000.37）
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2000/sol_oct.pdf

鋭角三角形の場合は模範解答が有効なので、Aが鈍角の場合を考えまつ。

⊿ = (bc/2)sin(A) ≦ bc/2 ･･････ (1).
A≧π/2 より, (b^2+c^2) ≦ a^2 ･･････ (2).
となるので、残りの (a^2+b^2)(a^2+c^2) が 2(as)^2 より小なることを示しまつ。
F = 2(as)＾2 - (a^2+b^2)(a^2+c^2)
= (1/2)(a^2+2bc)(a^2-b^2-c^2)＋(b+c-a)a^3 ＋bc(b^2-bc+c^2)
> (1/2)(a^2+2bc)(a^2-b^2-c^2).
ここで A≧π/2 なので、F>0.
∴ (a^2+b^2)(a^2+c^2) < 2(as)^2 ･･････ (3).

上記 (1)^4 ×(2)×(3) より,
(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)･(⊿^4) < (1/8)(abc)^4･(s^2).
∴ r/(2R) = 2(⊿^2)/(abcs) < abc/sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}.
62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/06 03:42]: くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(27桁略)9502 [711-727] より

実数a,b,cが a<b<c かつ a+b+c=0 をみたすとき
「ア」> (a^2+b^2+c^2)/{(a-c)^2} ≧ 「イ」

(a^2+b^2+c^2)/{(a-c)^2}
=2(a^2+ac+c^2)/{(a-c)^2}　　(b=-a-cを代入)
=2(t^2+t+1)/(t-1)^2　　（t=a/c　とおいた）
=6{1/(1-t) - (1/2)}^2 + 1/2

条件 a<(-a-c)<c から -2<t<-1/2 なので、1/(1-t)=x とおくとき、
1/3<x<2/3 における 6(x-1/2)^2+1/2 の最大最小値問題。

∴ 2/3 > (a^2+b^2+c^2)/{(a-c)^2} ≧ 1/2
63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 12:24]: くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(27桁略)9502 [751]より

実数a,b,cに対し、
√{a^2+(b-1)^2}+√{b^2+(c-1)^2}+√{c^2+(a-1)^2} ≧ 3/(√2)

解法は… 　　　＿|￣|○
64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 12:26]: くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(27桁略)9502 [761]より

√{(x+1)^2+(y-1)^2}+√{(x-1)^2+(y+1)^2}+√{(x+2)^2+(y+2)^2} ≧ ？

点P(x,y), A(-1,1), B(1,-1), C(-2,-2)とおくと、
PA+PB+PCの最小値だから Pはフェルマー点で…
65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 14:55]: √{a^2+(b-1)^2}+√{b^2+(c-1)^2}+√{c^2+(a-1)^2}
>= (|a|+|b-1|)/√2 + (|b|+|c-1|)/√2 + (|c|+|a-1|)/√2
= {(|a|+|a-1|) + (|b|+|b-1|) + (|c|+|c-1|)}/√2
>= 3/√2
66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 18:40]: >>65
神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!! 感謝。
自分では思いつけそうもないや…。＿ﾄ￣|○
67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 20:42]: (1/4)≦a≦b≦c≦1, x+y+z=0 のとき ayz+bzx+cxy≦0 を示せ。

たぶん、一文字消してゴチャゴチャでしょう。
68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 21:39]: ttp://www.kalva.demon.co.uk/bmo/bsoln/bsol903.html より

実数x,y,zに対して √(x^2+y^2-xy)+√(y^2+z^2-yz) ≧ √(z^2+x^2+zx)
69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 21:54]: [I] x,y,zの中に0であるものが存在すれば、結論の不等式が成り立つことはすぐにわかる。

これ以降x,y,z≠0としてよく、(a/x)+(b/y)+(c/z)の符号をみていくことにする。

[II] x,y,zの内、1つが負、2つが正の時
(i) x or yが負の場合
　それぞれ場合について(a/x)+(c/z)≧0,(b/y)+(c/z)≧0が成立するから、
　(a/x)+(b/y)+(c/z)≧0
(ii) z が負の場合
　(a/x)+(b/y)+(c/z)≧(1/4)(1/x)+(1/4)(1/y)+(1/z)≧0（∵凸不等式）

(i),(ii)のいずれの場合も(a/x)+(b/y)+(c/z)≧0ゆえ、
両辺にxyz(<0)を掛けて、結論が得られる。

[III] x,y,zの内、2つが負、1つが正の時
x,y,zの替わりに-x,-y,-zを考えれば、[II]に帰着できる。
70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 22:49]: またもや神降臨 >>69は>>67の解答っすね。
ｷﾀｰ *･゜ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜（ﾟ∀ﾟ)ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜ﾟ･* !!!!!
71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/07 22:52]: >>68
∠AOB = ∠BOC = ∠AOC/2 = π/3、OA=a, OB=b, OC=c とおいて、AB+BC≧CA
等号成立条件は a=b=2b または b(c+a)=ca でＯＫですか？
72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 15:30]: >>69で
>[II] x,y,zの内、1つが負、2つが正の時
>(i) x or yが負の場合
>　それぞれ場合について(a/x)+(c/z)≧0,(b/y)+(c/z)≧0が成立するから、

ここが分かりません… ＿|￣|○
73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 15:34]: 72は引用先のミス

(ii) z が負の場合
　(a/x)+(b/y)+(c/z)≧(1/4)(1/x)+(1/4)(1/y)+(1/z)≧0（∵凸不等式）

ここがわかりませんです。
74 名前：１３２人目の素数さん [04/03/09 17:05]: 　　　　　　　　　 ...,､ -　､
　　　　　　,､ '　ヾ　、　　丶,､ -､
　　　　／　　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ
　／ヽ/　　　i　 i　　　　ヽ　.__.ヽヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.　　l　ﾄ　　ヽ　ヽ .___..ヽ　丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l　　l.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ　ヽ
　l:/ /l　l.　　l　　i　ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l　　ﾚ'__　　　　'"i:::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
.　l l　lミ l ／r'!:::ヽ　　　　'‐┘ .}　/　 i l　l　　／教科書読みましょう。
　 l l　l.ヾlヽゝヾ:ﾉ　　 ,　　　　 !'" 　　i i/ i＜　その程度自分でやりましょう。
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　　　 ,' ,'　'　 |　脳味噌ありますか？無いんですか？
　　 |l. l　　｀ ''丶　　.. __　イ　　　　　　　　　｜それなら学校辞めて
　　　ヾ!　　　　　　　 l.　　 ├ｧ､　　　　　　　＼ペプシ工場で働きましょうよ。
　　　　　　　　　　／ﾉ!　　　/　　｀　‐- 、　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　／ヾ_　　　/　　　　 ,,;'' /:i
　　　　　　　 /,,　　',. ｀　 /　　　　,,;'''／:.:.i
75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 22:07]: >>74
氏ね。
76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 22:20]: そういえば、高校のころはJMO系のマニアックな不等式が
一番苦手だったなぁ。下手に評価を緩くしてあったりすると
逆に難しく見えたりするんだよね。
77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 22:25]: ＴＶみながら考えてて分かった。
>>74
(1/4)(1/x)+(1/4)(1/y)+(1/z)≧0（∵凸不等式）

凸不等式を使ってるのは、はじめの２項だけですね。
謎はすべて解けたッ！
とりあえず、ｺﾖﾀﾝは二度と来るな！
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 22:25]: 　　　　　　　　　 ...,､ -　､
　　　　　　,､ '　ヾ　、　　丶,､ -､
　　　　／　　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ
　／ヽ/　　　i　 i　　　　ヽ　.__.ヽヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.　　l　ﾄ　　ヽ　ヽ .___..ヽ　丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l　　l.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ　ヽ
　l:/ /l　l.　　l　　i　ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
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79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/14 19:06]: くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(27桁略)9502 [923,931]

非負実数a,b,cがa^2+b^2+c^2+abc=4をみたすとき
0≦ab+bc+ca-abc≦2を示せ。

まずD={(a,b,c) | a,b,c≧0＆a^2+b^2+c^2+abc≦4}とおく。
関数a^2+b^2+c^2+abcは凸関数なのでDは凸領域。
0≦ab+bc+ca-abc≦2＆与式
⇔8≦(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2≦12＆与式
なのでコレをしめす。まずDにおいてa+b+c≦3をしめす。Dは凸なのでa+b+cは境界で最大。
a=0orb=0orc=0などではa+b+c≦2。a^2+b^2+c^2+abc=4上では
Dの凸性から(a,b,c)=(1,1,1)のときが最大でa+b+c≦3。
よって(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2≦3((2a+2b+2c)/3)^2≦12。
つぎにE={(a,b,c) | a,b,c≧0＆(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2＜8}とおく。Eも凸であり凸性から同様にして
E上でabc≦(1/3)^(3/2)。よってabc≦3(abc)^(2/3)でありよって
abc≦3(abc)^(2/3)≦(ab+bc+ca)
よってa^2+b^2+c^2+abc≦a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca)≦(1/2)((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)＜4
とくにD＆E=φ。よって(a,b,c)∈D⇒(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2≧8
(実は(a,b,c)=(2,0,0)において等号が成立するので最小値でもある。)

>>78
言うだけ無駄かもしれんが、いい子にして荒らすなよ。
80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/14 20:13]: デタラメな解凍貼るな馬鹿
81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/14 20:17]: >>80
すまん、読まずに貼り付けた。
間違ってたのか… ＿|￣|○
82 名前：１３２人目の素数さん [04/03/19 12:43]
83 名前：１３２人目の素数さん [04/03/29 23:59]: ,
84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/30 00:12]: そういえばシュプリンガーから『不等式』なんて本が
出てたよね。アレ読んだ人感想キボンヌ。
85 名前：１３２人目の素数さん [04/03/30 03:20]: 買うには買ったがまだ味読してる程度。
86 名前：１３２人目の素数さん [04/03/30 14:49]: 買うには買ったが、本棚に飾ってる程度。
87 名前：１３２人目の素数さん [04/04/04 19:18]: <<
88 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/04/11 14:39]: 『不等式への招待』なる本を見つけたのでとりあえずage
89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/11 19:19]: >>88
(ﾟ∀ﾟ) ｲｲﾖｲｲﾖ-
これで君も同志だ！
90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/12 21:34]: 実数a,b,cがa+b+c=1をみたすとき、
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a) ≧ 1000/27

a,b,c>0, a+b+c=S≦3 とする。
F(a,b,c) = (a+1/b)(b+1/c)(c+1/a) = abc + S + (1/a+1/b+1/c)+ 1/(abc)
相乗平均≦相加平均 (1) より、abc ≦ (S/3)^3 ≦1.
g(u)≡u+1/u に対し、平均変化率 [g(v)-g(u)]/(v-u) = 1-1/(uv).
∴ 0<u<v≦1のとき、[g(v)-g(u)]/(v-u) < 0.
∴ g(abc) ≧ g{(S/3)^3}.
調和平均≦相加平均 (2) より、(1/a+1/b+1/c)≧9/(a+b+c) = 9/S.
以上を加えて、 F ≧ (S/3)^3 + S + 9/S + (3/S)^3 = (S/3+3/S)^3.
等号成立は a=b=c=S/3 のとき.

(注1) (a+b+c)^3 - 27･abc = (3a+S/2)･|b-c|^2 + (3b+S/2)･|c-a|^2 + (3c+S/2)･|a-b|^2 ≧0.
(注2) (a+b+c)･(1/a+1/b+1/c)≧ 3^2 (Cauchyの不等式)
91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/12 21:57]: a+1/b = a+9/(9b) >= 10*(a/(9b)^9)^(1/10)

(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a) >= 1000*(1/((3^27)*(abc)^4))^(1/5) >= 1000/27
92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/12 23:52]: >>90-91
こんな数ヲタ達に囲まれて、ぼかぁ幸せ者だ…

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93 名前：１３２人目の素数さん [04/04/14 02:08]: 非アルキメデス付値に関しての、不等式を論じた本は無いものだろうか?
94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/14 02:42]: >>93
その話で盛り上げてください
95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/14 03:11]: >>92
>こんな数ヲタ達に囲まれて、ぼかぁ幸せ者だ…

誉めています、念のため…。
96 名前：１３２人目の素数さん [04/04/15 01:10]: 変数が整数に限定される場合にのみ成り立つ，有用な不等式を挙げてみて下さい．
97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/15 02:07]: 　　　　　言い出したお前が書け！
　　　　￣￣￣￣￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣

　　　　　　　　　　　　　　　　　∧ 　　　　　　　 ∧
　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼/　ヽ_　　　　　　 / .∧
　　　　／　　　　　　　　　　　/　　｀､⌒ヾ⌒ヽ/　　∧
　　　/　　　　　　　　　　　／　　u (.....ノ(....ノ　　　／ヽ
　　 l:::::::::.　　　　　＼,, ,, |　　　　　　　　　　u　.:（....ノノ
　　 |:::::::::: 　　（●）　　/￣￣ヽ　　　　　 ::::::::::::::／`ヽ
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　　ヽ:::::::::::::::::::.　　＼／　ヽ　　u ::::::::::::::::::::::::::::ノ

　　　　　　　　　　　　　　　∧ 　　　　　　　∵ ∧ 　　　☆
　　　　　　　　　　　　　　ζ　*　　　　　 *：/ .∧　　：
　　　　　／￣￣￣￣￣　｀、⌒ヾ⌒ヽω*：ミ/／／；
　　　／　　　　　　　　＼（ (.....ノ(....ノ／ヽ χ*
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98 名前：１３２人目の素数さん [04/04/15 09:18]: >>92
でもさー包茎でも禿げでもデブでも病気にしろ不等式でも
そこに悩みが有って、それに対してどうして良いのか判らない人達に
解決策を示せるのは何にしろ価値が有る事だと思うなぁ。
99 名前：39 [04/04/18 03:47]: >44
出所は
秋山仁+Peter Frankl 共著「完全攻略数学オリンピック」日本評論社,p.24-25(1991.11)
ガロアって不等式ヲタ？
>45
値分布を調べた結果、≧7/8と推定しますた。
100 名前：１３２人目の素数さん [04/04/18 18:49]: 100げとー
ガロアは代数・群論ヲタかと・・・
101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/26 03:05]: 479
102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/29 07:11]: 不等式ヲタが保守します。また教えて下さい。

　　　　　キ　　　　　 //　　　/::::://O/,|　　　　/
　　　　　　ュ　　　　　/　|'''' 　 |::::://O//|　　　　/
　　　　　　.ッ　　　＼ |‐┐ |::://O/ ノ　　ヾ､/
　　　　　　：　　　　　　　|__」　|/ヾ. ／　　　　／
　　　　　　　ヽ／＼　　ヽ___ﾉ　／ . へ、,／
　　　　　　　／　 ×　　　　/ 　{　く　　／
　　　　　く　／＿＼　　 !､.ノ `ー''"
　　／＼　　　　　　　''"　 //
　| ＼／､／　　　　　　ﾞ′
　|＼／|＼￣
　　　＼|
103 名前：１３２人目の素数さん [04/05/04 15:57]: 【問題】(JMO-1997 本選, 第2問)
a,b,c>0 のとき
(b+c-a)^2/{(b+c)^2+a^2} + (c+a-b)^2/{(c+a)^2+b^2} + (a+b-c)^2/{(a+b)^2+c^2} ≧ 3/5.
を示してくださいです。

※ 左辺第1項 ≧ 2-9･(3/25){1+2a/(a+b+c)} らしいYo.
104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/04 16:41]: 不等式ヲタのＡＡもアレを流用するか…
105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/04 22:32]: 口元を変えてみた。

　　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼　　　　　　　　 .┏━┓┏━┓
　┏┛┗┓┃┏┓┃　　　　　　／　　　不等式ヲタ　　＼.　　　　　　　┃ 　┃┃　 ┃
　┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━━/　　　　　　　　　　　　　　　ヽ.━━━┓┃ 　┃┃　 ┃
　┏┛┗┓┃┏┓┃┃　　　 l:::::::::　　　　＼　　　　／　　　|　　　　 ┃┃ 　┃┃　 ┃
　┗┓┏┛┗┛┃┃┗━━━|:::::::::: 　　（●）　　　（●）　　 |━━━┛┗━┛┗━┛
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　　 ┗┛　　　 ┗┛　　　　　　ヽ::::::::::::::::::.　　＼／　　　　.ノ　　　　　　┗━┛┗━┛
106 名前：１３２人目の素数さん [04/05/05 00:14]: 【問題】 For a,b,c>0,
a/(b+2c) + b/(c+2a) + c/(a+2b) ≧ (a+b+c)^3/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}
≧ (1/3)(a+b+c){1/(b+2c)+1/(c+2a)+1/(a+2b)} ≧ 1.
Equality: a=b=c

※ 中央は Sierpinski(AAH≧GGG≧AHH), 右側は A≧H らしいyo.
107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/05 00:35]: >>106 示すべき不等式を X≧Y≧Z≧1 で表す。

[X≧Y]
(左辺)-(右辺) = {a(a-c)^2+b(b-a)^2+c(c-b)^2} ≧ 0
[Y≧Z]
A=b+2c, B=c+2a, C=a+2b とおいて、(A+B+C)^2 ≧ 3(AB+BC+CA) を示す。
(左辺)-(右辺) = (1/2){(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2} ≧ 0
[Z≧1]
相加平均≧調和平均、あるいはCauchy-Schwarzの不等式による。

　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼
　　　　／　　　不等式ヲタ　　＼.　　ﾜｸﾜｸ
　　　/　　ノ（　　　　　　　　　　　ヽ　　ｿﾞｸｿﾞｸ
　　 l:::::::::　＾　　　＼　／　　　　|　　ﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
　　 |:::::::::: 　　（●）　　（●）　　|　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　|::::::::::::::::: 　　＿＿　　　　　|　　　　　ｾﾞｴｾﾞｴ
　　ヽ:::::::::::::::::::.　　＼／　　　　ノ
108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/05 00:38]: ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞと言ってくれ！

　.／￣￣￣＼.
　|:::: 　＼ .／　|　ﾜｸﾜｸ
　|::::　(●　(● |
　ヽ:::::::.....∀...ノ
109 名前：106 [04/05/05 01:12]: >107-108
Very good job!!
Sierpinskiは牛刀．．．
X－Y = {a(a-c)^2+b(b-a)^2+c(c-b)^2}／{(a+2b)(b+2c)(c+2a)} ≧0.
110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/05 01:42]: >>109
分母を書き忘れてたか。修正ｻﾝｸｽｺ。

　.／￣￣￣＼.
　|:::: 　＼ .／　|　ﾜｸﾜｸ
　|::::　(●　(● |
　ヽ:::::::.....∀...ノ
111 名前：103 mailto:sage [04/05/05 20:19]: ※ の説明
左辺第1項 = (b+c-a)^2 /{(b+c)^2+a^2} = (3-2x)^2 /{(3-x)^2+x^2}
= 2－9/{(3-x)^2+x^2} ≡ 2-9･f(x).
x=1での接線は、 y = f(1) + f'(1)(x-1) = 1/5 + (2/25)(x-1) = (3/25)(1+2x/3).
(3/25)(1+2x/3)－f(x) = (2/25)f(x)(1+2x)(1-x)^2 ≧ 0.
等号成立は x=1, 3a=a+b+c.
112 名前：111 mailto:sage [04/05/05 20:25]: 3a/(a+b+c) =x と置きました。
113 名前：１３２人目の素数さん [04/05/09 12:59]: シンプルで易しい問題
a>0,b>0
y=b^x のグラフは下に凸
∴ (1,b)→(x,b^x) の平均変化率はxと共に単調増加。
∴ (b^x-b)/(x-1) > b-1.
【１】
a>1 ⇒ b/(a+b-ab) > b^a > ab+1-a.
a<1 ⇒ b/(a+b-ab) < b^a < ab+1-a.

(a^b)-a, (b^a)-b, (a-1)(b-1) の符号は一致する。
【２】
(a-1)(b-1)>0 ⇒ a^b+b^a > ab+1 > a+b.
(a-1)(b-1)<0 ⇒ a^b+b^a < ab+1 < a+b.
114 名前：113 mailto:sage [04/05/09 19:29]: 訂正　スマソ.
【１】
a>1 ⇒ ............ b^a > ab+1-a.
a<1 ⇒ b/(a+b-ab) < b^a < ab+1-a.
115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/11 07:44]: >【２】
>(a-1)(b-1)>0 ⇒ a^b+b^a > ab+1 > a+b.
>(a-1)(b-1)<0 ⇒ a^b+b^a < ab+1 < a+b.

この辺が分からない私は、生産ラインに組み込まれる人材ですか？
116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/11 15:03]: 正の数 a_k に対して、次の不等式を示せ。
Σ[k=1 to n]1/(1+a_k) ≧ n/{1+(Π[k=1 to n]a_k)^(1/n)}

帰納法で解こうと思い、n=2のときは差をとって示しましたが、
そのあとがうまくいきません。おしえてください。
117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/11 16:11]: 　　＿＿＿
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118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/12 00:41]: >116
G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
G>1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G)
G<1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≦ n/(1+G)
Equality: a_k=const or G=1.
119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/12 00:55]: >116,118
a_k≧1 (k=1 to n) に限定すれば成立するが．．．．
120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/12 04:37]: (；ﾟдﾟ) ﾊｯ！すみません。
問題文見なおしたら、a_k≧1だった・・・
どうやって次を示すのですか？

G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
G>1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G)
121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/12 16:02]: 　　＿＿＿
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122 名前：凡例 mailto:sage [04/05/12 20:16]: >118,120
a_1=1/10, a_2=2, a_3=5 のとき、左辺 < 1+1/3+1/6 = 3/2 = 右辺 (G=1).
a_1=10, a_2=1/2, a_3=1/5 のとき、左辺 > 0+2/3+5/6 = 3/2 = 右辺 (G=1).
123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/12 23:15]: ('A`)
124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/14 19:35]: >120
G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
　a_k>1 (k=1～n) ⇒ ∑[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G).
0<a_k<1 (k=1～n) ⇒ ∑[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≦ n/(1+G).
Equality: a_k=const.
125 名前：124 mailto:sage [04/05/14 19:37]: (証) a_k=G (k=1～n)のときは、明らかに成立。 a_k≠G (k=1～m)とし、mに関する帰納法による。
a_m>G, a_{m-1}<G （またはその逆）としても一般性を失わない。
いま a_m, a_{m-1} を、それらの中間にある b_m=G, b_{m-1}=a_m･a_{m-1}/G=p/G で置換えてみる。
b_m + b_{m-1} = a_m + a_{m-1} - (a_m-G)(G-a_{m-1})/G < a_m + a_{m-1} = s.
上記の置換えにより、積pは不変で和sは減少する。
S = 1/(1+a_m) + 1/(1+a_{m-1}) = 1 + (1-p)/(1+s+p) は和sについて単調に増加／減少する。
∴ a_k>1 ⇒ p>1 ⇒ S > 1/(1+b_m) + 1/(1+b_{m-1}).
∴ a_k<1 ⇒ p<1 ⇒ S < 1/(1+b_m) + 1/(1+b_{m-1}).
上記の置換え｛a_1,～,a_m} → {a_1,～,a_{m-2},b_{m-1},b_m} により mが1つ減少し、Sも減少／増加した。
帰納法の仮定により m-1 に対しては成立しているから、mに対しても成立する。（終）

相加・相乗平均の証明法を使いました．．．
126 名前：１３２人目の素数さん [04/05/15 00:48]: >120
【定理】(Klamkin,1974)
0<a_k<1, e_k>0 (k=1 to n), Σ[k=1 to n]e_k=1, G'=Π[k=1 to n](a_k^e_k) のとき
Σ[k=1 to n] e_k/(1+a_k) ≦ 1/(1+G').

で e_k=1/n (k=1～n) とおく。（終）

※ 大関信夫・大関清太: ｢不等式への招待｣近代数学社(1987) のp.83
127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/15 01:48]: >>124-126
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128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/15 09:31]: 「数学しりとりスレ 232-233」より

【inglebyの不等式】
x>0のとき、{1+x^2+x^4+…+x^(2n)}/{x+x^3+…+x^(2n-1)} ≧ (n+1)/n

【Ky Fan の不等式】
0 < x_k ≦ 1/2 のとき、S = Σ[k=1 to n](x_k) とおくと
Π[k=1 to n]{(x_k)/(1-x_k)} ≦ {S/(n-S)}^n
129 名前：124 mailto:sage [04/05/15 15:56]: Note to [124] & [126]
Inequalities in [124] are equivalent.
∵ 1/(1+a) + 1/{1+(1/a)} = 1, 1/(1+G) + 1/{1+(1/G)} = 1.

[126] is equivalent to:
Let e_k>0 (k=1 to n), Σ[k=1 to n]e_k=1, G'=Π[k=1 to n](a_k^e_k), then
a_k>1 (k=1～n) ⇒ Σ[k=1 to n] e_k/(1+a_k) ≧ 1/(1+G').
130 名前：125 mailto:sage [04/05/15 17:09]: >128
【Ky Fan】
x_k=S/n (k=1～n)のときは明らかに成立。 x_k≠S/n (k=1～m)とし、mに関する帰納法による。
x_m>S/n, x_{m-1}<S/n（またはその逆）としても一般性を失わない。
x_m,x_{m-1} をそれらの間にある y_m=S/n, y_{m-1}=x_m+x_{m-1}-S/n で置換えてみる。
y_m･y_{m-1} - x_m･x_{m-1} = （x_m-S/n)(S/n-x_{m-1})≧0. ∴ 和sは不変で、積pは増加する。
P = [x_m/(1-x_m)]･[x_{m-1}/[1-x_{m-1}]] =p/(1-s+p) は、s≦1では、sについて単調増加。
∴ 上記の置換え(x_1,････,x_m)→(x_1,････,x_{m-2},y_{m-1},y_m) により mが1つ減り Pは増加した。
帰納法の仮定より、m-1については成立するので、mについても成立する。（終）

大関信夫・青柳雅計: ｢不等式｣槇書店 p.60,p.128
大関信夫・大関清太: ｢不等式への招待」近代科学社(1987) p.88 例題9
131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/15 20:53]: 　　＿＿＿
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132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/15 23:06]: >128
【ingleby】
F_n ≡ n[1+x^2+x^4+････+x^(2n)] - (n+1)[x+x^3+････+x^(2n-1)] とおく.
F_1 = [1+x^2] - 2x = (x-1)^2 ≧0.
F_{n+1} - F_n = [1+x^2+････+x^(2n)+(n+1)･x^(2n+2)] - [x+x^3+････+x^(2n+1)+(n+1)･x^(2n+1)]
= (1-x){1+x^2+････+x^(2n) - (n+1)･x^(2n+1)}
= (1-x){1+x^2+････+x^(2n) - (n+1)･x^(2n) + (n+1)(1-x)x^(2n)}
= (1-x){Σ[k=0 to n-1]{x^(2k)-x^(2n)} + (n+1)･(1-x)x^(2n))}
= (1-x){Σ[j=0 to n-1](Σ[k=0 to j]1)･(1-x^2)x^(2j) + (n+1)･(1-x)x^(2n)}
= (1-x)^2{Σ[j=0 to n-1](1+j)･(1+x)x^(2j) + (n+1)･x^(2n)} ≧ 0.　(∵すべての係数>0)
∴ xを固定したとき F_{n+1} ≧ F_n ≧ ･････ ≧ F_1 ≧ 0. 等号成立は x=1.（終）
133 名前：130,132 mailto:sage [04/05/15 23:14]: 　　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼　　　　　　　　 .┏━┓┏━┓
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　ついでに出しときますた．．．
134 名前：132 mailto:sage [04/05/16 01:15]: (注) [132]の下から3行目で次を使いますた。
k<n のとき, y^k-y^n = Σ[j=k to n-1] (1-y)y^j
135 名前：132 mailto:sage [04/05/16 12:24]: (注) Gauss の記号 [z] = max{m|z≧m} を使えば、[132]の
F_{n+1} - F_n = (1-x)^2 Σ{j=0 to 2n} [1+(j/2)] x^j
F_n = (1-x)^2 Σ{j=0 to 2n-2} [1+(j/2)][n-(j/2)] x^j
136 名前：１３２人目の素数さん [04/05/16 15:29]: 【例題7】(Klamkin,1975)
a_i>0 (i=1～n)のとき, S≡Σ[k=1 to n]a_k とおくと,
Π[i=1 to n] {(1+a_i/S)/(1-a_i/S)} ≧ {(n+1)/(n-1)}^n.
等号成立は a_i=S/n (n=1～n)のとき (p.85)

【例題10】
a_i≧1 (i=1～n)のとき, G≡(Π[k=1 to n]a_k)^(1/n) とおくと
Σ[i=1 to n](1+a_i) > G･Σ[i=1 to n] {1+(1/a_i)}.
Σ[1≦i<j≦n](1+a_i)(1+a_j) > G^2･Σ[1≦i<j≦n]{1+(1/a_i)}{1+(1/a_j)}. (p.90)

よろしくおながいしまつ。
137 名前：１３２人目の素数さん [04/05/16 22:51]: 不等式でげす。

１/ｐ＋１/ｑ＝１，ｐ＞１，ａ_i≧０，ｂ_i≧０，( ｉ＝1，2，3，･･･，n)としまする。

｛∑[i=1→n](ａ_i)^p｝^(1/p)｛∑[i=1→n](ｂ_i)^ｑ｝^(1/q)≧∑[i=1→n]ａ_iｂ_i

を示せ。

俺にはｻﾊﾟｰﾘ
138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/17 01:59]: >>137
これはヘルダーの不等式かな？ﾊｧﾊｧ
証明は帰納法だったと思う…
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139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/17 02:00]: 【系】でつ。

1/p＋1/q＋1/r = 1, p,q,r>1, ａ_i≧0, ｂ_i≧0, ｃ_i≧0 (i＝1，2，3，･･･，n)としまする。

{∑[i=1→n](ａ_i)^p}^(1/p) {∑[i=1→n](ｂ_i)^q}^(1/q) {∑[i=1→n](ｃ_i)^r}^(1/r) ≧ ∑[i=1→n]ａ_i･ｂ_i･ｃ_i

俺にはｻﾊﾟｰﾘ
140 名前：39 [04/05/17 02:31]: >40-57
>>39の問題を書いたやつ出て来いや

では報告しまつ。
【問題】 0<a,b,c<1, s=a+b+c のとき,
F(a,b,c) ≡ a/(b+c+1) + b/(c+a+1) + c/(a+b+1) ≧ s/(2s/3+1) ≧ 7/8.

【方針】さらに中間項を挟みまつ。 a> (s/3) >b として、
F(a,b,c) ≧ F(s/3,a+b-s/3,c) ≧ F(s/3,s/3,s/3)
141 名前：39 [04/05/17 02:36]: F(a,b,c) ≧ F(s/3,a+b-s/3,c) ≧ F(s/3,s/3,s/3)

a=b=c=s/3 なら明らかに成立。 ∴ a> (s/3) >b とする。
(左側) まづ、a,b をそれらの間にある a'=s/3, b'= a+b-(s/3) = (2s/3)-c で置き換えてみまつ。
a'b'= ab + (a- s/3)(s/3 -b) ≧ ab ∴上の置換えで、和は不変で、積は増大する。またこのとき、
F(a,b,c) = a/(s+1-a) + b/(s+1-b) + c/(s+1-c)
= [(s+1)(a+b)-2ab]/[(s+1)(s+1-a-b)+ab] + c/(s+1-c)
= [(s+1)(s-c)-2ab]/[(s+1)(1+c)+ab] + c/(s+1-c)
≧ [(s+1)(s-c)-2a'b']/[(s+1)(1+c)+a'b'] + c/(s+1-c) = F(a',b',c).
により、Fは減少する。

(右側) b',c≠s/3 のとき、再度置換えを行う: b"=s/3, c'=s/3. 上記と同様にして
F(a',b',c) ≧ F(a',b",c') = F(s/3,s/3,s/3).
が得られますた。（終）

>57
普通の高校生でも分かりそうだな．．．．．(w
142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/23 11:07]: やっぱむずかしいなぁ
143 名前：１３２人目の素数さん [04/05/23 21:50]: 【問題】 IMO-2001 (USA) Problem 2

For any a,b,c>0 and λ≧8, the following inequality holds:

2 ≧ a/√(a^2+λbc) + b/√(b^2+λca) + c/√(c^2+λab) ≧ 3/√(1+λ).

Left equality: abc=0, and right equality: a=b=c.

imo.wolfram.com/problemset/index.html

ヒント： r≧4/3 ⇒ x^2 ≦ 1－(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r), 等号成立は x=1.
144 名前：143 mailto:sage [04/05/23 22:01]: ヒント： λ≧8 ⇒ 1＋λx^2 ≦ (1+λ)･{1＋2(x^r)}^2, r=(3/2)λ/(1+λ).
145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/24 03:47]: 　　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼　　　　　　　　 .┏━┓┏━┓
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146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/24 05:00]: ヒントがあるから楽勝だなって思ってたけど、難しいですね
＿ﾄ￣|○
147 名前：143 mailto:sage [04/05/24 07:35]: ヒント： 1/√(1＋λx^2) ≦ 1/{(√λ)x}.
. x<1 ⇒ 1/√(1＋λx^2) ≦ 1-{1-1/(√λ)}x.
148 名前：147 mailto:sage [04/05/24 12:10]: まちがい、すまそ。
. x<1 ⇒ 1/√(1＋λx^2) ≦ 1-{1-1/(√λ)}x^2. （下に凸だから）
149 名前：143 mailto:sage [04/05/24 19:49]: 【問題】(retold)
For any x,y,z>0, xyz=1 and λ≧8, the following inequality holds:
2 > 1/√(1+λx^2) + 1/√(1+λy^2) + 1/√(1+λz^2) ≧ 3/√(1+λ).
Right equality: x=y=z=1.

変わり映えしませんが、よろしくおながいします．．．
150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/24 20:48]: x=bc/(a^2), y=ca/(b^2), z=ab/(c^2)とおくと、
xyz=1をみたし、a,b,c>0より x,y,z>0 であって、
149 ⇔ 143

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151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/24 22:42]: >150
確かに、その方がシンプルでいいな．．．２乗する意味もないし．．
X=bc/(a^2), Y=ca/(b^2), Z=ab/(c^2) とでもおこうか。
152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/25 01:42]: >150の形で証明できれば、簡単そうですよね…
まだできてないけど＿ﾄ￣|○
153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/27 12:15]: さくらスレにあったよ。

109 ：PrinceMathematician◇ ：04/05/27 12:02
>91
x_k≧0 (k=1,2,･･･,m)のとき・・・（中略）

F(n)≡(1/m)Σ[1≦k≦m] (x_k)^n とおく.
(補題) bc≧0 ⇒ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).

(系1) F(n-1)･F(n+1) ≧ {F(n)}^2.

(系2) {F(n)}^(1/n) はnに関して単調増加.
154 名前：１３２人目の素数さん [04/05/27 19:48]: まだ未解決不等式あるよーｶﾞﾝｶﾞﾚ不等式ヲタ
155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/27 20:27]: >152
xyz=1のとき、 x,y≦1≦z または x≦1≦y,z としても一般性を失わないYo
156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/28 00:13]: 応援＆新ネタ感謝です。
あちこち調べながら、>>149をやってみます
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157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/28 01:32]: >>149 【問題】(retold)
For any x,y,z>0, xyz=1 and λ≧8, the following inequality holds:
2 > 1/√(1+λx) + 1/√(1+λy) + 1/√(1+λz) ≧ 3/√(1+λ).
Right equality: x=y=z=1.

(上限の証明)
λ≧8, t>0 のとき 1/√(1+8t) ≧ 1/√(1+λt) だから、
　 x,y,z>0, xyz=1 に対して
　 2 > 1/√(1+8x^2) + 1/√(1+8y^2) + 1/√(1+8z^2)
を示せばよい。この証明は、運よくコレクションにあった。

t>0 において f(t) = (1+8t)^(-1/2) とおくと、
f'(t) = -4t(1+8t)^(-3/2) < 0 だから単調減少する。
対称式かつ xyz=1 だから、次の２つの場合を考えればよい。

(i) 0<x≦1≦y≦z のとき
f(x)+f(y)+f(z) < f(0)+f(1)+f(1) = 5/3 < 2

(ii) 0<x≦y≦1≦z のとき
0<t≦1 において f(t) ≦ 1-(2t/3) が成り立つ。
これは g(t) = (1+8t){1-(2t/3)}^2-1 の増減を調べれば分かる。
1≦t では f(t) < 1/√(8t) を使うと

f(x)+f(y)+f(z)　<　1-(2x/3) + 1-(2y/3) + 1/√(8z)
　 = 2 - 2(x+y)/3 + 1/√(8z)　≦　2 - 4√(xy)/3 + 1/√(8z)
　 = 2 - 2( 2/3 - 1/√(8z) )/√z　<　2

自分では思いつけません…
158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/28 12:00]: >137
適当に規格化して、Σ[i=1→n](a_i)^p =1, Σ[i=1→n](b_i)^q =1 とする。

(1/p)+(1/q) =1 より (p-1)(q-1)=1.
y=x^(p-1) ⇔ x=y^(q-1) だからヤングの不等式より
a･b ≦ ∫[x=0,a]x^(p-1)･dx + ∫[y=0,b]y^(q-1)･dy = (1/p)(a^p) + (1/q)(b^q).
∴ Σ[i=1→n]a_i･b_i ≦ (1/p)Σ[i=1→n](a_i)^p + (1/q)Σ[i=1→n](b_i)^q = (1/p)+(1/q) =1.
159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/29 04:32]: >>157
最小値のほうは？
160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/29 12:08]: >>149の最小値のほうは、相加相乗を使うと
3/√(1+λ)よりも小さくなってしまって失敗。
ムスカしいなぁ…
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161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/30 15:25]: >160
[144]使え
162 名前：161 mailto:sage [04/05/30 15:34]: 【144】
λ≧8 ⇒ 1＋λx^2 ≦ (1+λ)･{1＋2(x^r)}^2, r=(3/2)λ/(1+λ).

(証) 相乗平均≦相加平均より x^2 ≦ 1－(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r).
これにλを乗じて１を加える。
右辺を平方完成する → ｒが定まる。
163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/31 16:41]: >(証) 相乗平均≦相加平均より x^2 ≦ 1－(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r).

ここが分かりません
どうかこの愚か者に説明してください
164 名前：162 mailto:sage [04/05/31 21:31]: [163] は A,B,C,q,r,s,x≧0, A+B+C=1 のとき
x^(Aq+Br+Cs) ≦ A(x^q) + B(x^r) + C(x^s).
とほぼ同じ。これをどう示すか。。。
165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/01 22:30]: > x^(Aq+Br+Cs) ≦ A(x^q) + B(x^r) + C(x^s).

下に凸な関数 f(t)=x^t に関して、Jensenの不等式から得られるけど
上式が[163]の式とほぼ同じってのが分かりません。
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｳｰﾝ、ｳｰﾝ…
　ヽ::::... .ワ....ノ　
166 名前：164 mailto:sage [04/06/02 22:18]: >165
A=1-(4/3r), B=C=(2/3r), q=0, s=2r とおきますた。
167 名前：１３２人目の素数さん [04/06/02 22:21]: 【問題】 0<a<x,y,z<b のとき、
(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z)
の取りうる値の範囲を求めよ。

さくらスレ１４５
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085311797/465

どんな難しい問題も・・・
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1081052206/151
168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/02 22:23]: >>167
たしか一般化されたのが、幾つかあったような…
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｳｰﾝ、ｳｰﾝ…
　ヽ::::... .ワ....ノ　
169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/02 22:30]: 1977 USAMO 問5 （解答あり）
www.kalva.demon.co.uk/usa/usa77.html

1978 ASU 問13 （解答なし）
www.kalva.demon.co.uk/soviet/sov78.html
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　この不等式ヲタのコレクションに２つあった。
　|::::: (●　(● |　ASUの方の模範解答をキボンヌ。ﾊｧﾊｧ…
　ヽ::::... .ワ....ノ　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞですか？
170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/02 22:48]: （下限）
F(x,y,z) = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = 3 + (x/y+y/x) + (y/z+z/y) + (z/x+x/z)
= 9 + (x/y-2+y/x) + (y/z-2+z/y) + (z/x-2+x/z)
= 9 + {(x-y)^2}/xy + {(y-z)^2}/yz + {(z-x)^2}/zx ≧ 9. (Cauchy)
171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/02 22:51]: （上限） x/y+y/x はx/y=1のとき最小で、両側でx/yに関して単調。すなわち、１から遠ざかるほど増加する。
a<x≦y≦z<bとすると、
F(x,y,z) ≦ F(a,y,b) = 3 + (a/y+y/a) + (y/b+b/y) + (b/a+a/b)
= 3 + (b/a+a/b) + {(a+b)/ab}(y+ab/y) = 1 + (b/a+2+a/b) + {(a+b)/ab}{a+b-(b-y)(y-a)/y}
≦ 1 + (b+a)^2/ab + {(a+b)^2}/ab = 1 + 2{(b+a)^2}/ab.
172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/02 23:00]: 　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　みんなｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/03 00:31]: >>166
なるほど
174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/03 19:26]: >169
1978 ASU Problem 13
USAMO の解答から、Fが最大となるのはn個の変数がすべて a or b のとき。
あとは2組（p,n-p）に分けるだけ。
F(a･･･a,b･･･b)= n^2 + p(n-p){(b-a)^2}/ab だから最大は p=[n/2] or p=[(n+1)/2].
n:even ⇒ F≦n^2･{(a+b)^2}/4ab, n:odd ⇒ F≦1+(n^2-1){(a+b)^2}/4ab, n=3 ⇒ [171].
175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/04 01:59]: [149]の最小値の証明について、>>162-166より
　x^2 ≦ 1－(4/3r) + (2/3r){1+(x^r)}(x^r)
ここで r=(3/2)λ/(1+λ) を代入すると
　1＋λx^2 ≦ {(1+λ)･{1＋2(x^r)}^2}/9 ≦ (1+λ)･{1＋2(x^r)}^2

したがって
1/(1＋λx^2) + 1/(1＋λy^2) + 1/(1＋λz^2)
　≧ 1/(1＋λ)･(1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)})

ここまでは分かりましたが、最後に
1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)} ≧ 3
を示すにはどうすればよいのでしょうか？
176 名前：149 mailto:sage [04/06/04 12:01]: 2 > 1/√(1+λx^2) + 1/√(1+λy^2) + 1/√(1+λz^2) ≧ 3/√(1+λ).
177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/04 13:39]: >>175の計算で 1＋λx^2 ≦ {(1+λ)･{1＋2(x^r)}^2}/9 の後、

1/(1＋λx^2) + 1/(1＋λy^2) + 1/(1＋λz^2)
　≧ 3/(1＋λ)･( 1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)} )

だから、右辺が ≧ 3/√(1+λ) となるには次を示したらいいんですよねえ？

1/{1＋2(x^r)} + 1/{1＋2(y^r)} + 1/{1＋2(z^r)} ≧ 1
178 名前：175 mailto:sage [04/06/04 20:30]: >177
漏れの機種では"√"が表示されないか．．．．．と思ったら１カ所出てるYo.

あとは x,y,z を a,b,c に戻して, 相乗≦相加で (終).
179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/04 21:21]: すみません、もう少し詳しく教えてください。
x,y,z を a,b,c に戻さないと、相乗≦相加できないのですか？
戻して相加相乗しましたが、やっぱり分かりません

a^(2r)/{a^(2r)+2(bc)^r} + b^(2r)/{b^(2r)+2(ca)^r} + c^(2r)/{c^(2r)+2(ab)^r}
　≧ 3{(abc)^(2r)/({a^(2r)+2(bc)^r}{b^(2r)+2(ca)^r}{c^(2r)+2(ab)^r})}^(1/3)
180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/04 21:27]: >>178
わざわざ x,y,z を a,b,c に戻してから相乗≦相加で (終) ということは
a,b,c の式に戻してから、式を何かに変形してからじゃないと
うまくいかないということなのでしょうね？
降参ですから、もったいぶらずに教えて下さいYo.
181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/05 07:15]: x,y,zのままでもやれそうに感じてやってみたら、
いつの間にか符号が逆になってしまった。
182 名前：178 mailto:sage [04/06/07 12:06]: >180
a/√(a^2+λbc) + b/√(b^2+λca) + c/√(c^2+λab)
= 1/√(1+λx^2) + 1/√(1+λy^2) + 1/√(1+λz^2)
≧ {3/√(1+λ)}[1/{1+2(x^r)} +/{1+2(y^r)}+1/{1+2(z^r)}]
= {3/(1+λ)}[(a^r)/{a^r+2(bc)^(r/2)}+(b^r)/{b^r+2(ca)^(r/2)}+(c^r)/{c^r+2(ab)^(r/2)}]
≧ {3/√(1+λ)}[(a^r)/{a^r+(b^r+c^r)}+(b^r)/{b^r+(c^r+a^r)}+(c^r)/{c^r+(a^r+b^r)}]
= {3/√(1+λ)}.
ここに x=(√bc)/a, y=(√ca)/b, z=(√ab)/c.
183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/08 21:41]: (*ﾟ∀ﾟ)=３ｳﾋｮｰｯ！
しまった、そこで使うのか！
ﾊｧﾊｧ、すばらすぃ！
184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/09 02:33]: >178
おかげさまで、やっと理解できました。
ありがとうございます。
185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/09 02:47]: 【問題】正の実数a,b,cに対し、次を示せ。
(a^a)(b^b)(c^c) ≧ (abc)^{(a+b+c)/3}
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　既出？
　ヽ::::... .ワ....ノ　
186 名前：１３２人目の素数さん [04/06/09 22:32]: >>185
勃起してきた　その不等式
　　＿＿＿
　.／　　不　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (≧　(≦ |　
　ヽ::::... .∩....ノ　
187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/09 23:21]: 　　, -‐－-､　　ヽ∧∧∧ //　　|
. 　/////_ﾊヽ＜釣れた！＞　ハ
　ﾚ//ｊけ ,fjlﾘ　/ ∨∨V ヽ　　h. ﾟl;←不等式に魅入られた数ヲタ>>186
　ﾊｲｲﾄ､"ヮノﾊ　　　　　//　　　|::: ｊ　　｡
　 /⌒ヽヾ'ﾘ、　　　　　// 　　　ヾ､≦ '
.　{ 　　j｀ｰ' ﾊ　　　//　ヽ∧∧∧∧∧∧∧∧/
　ｋ～'ｌ　　ﾚﾍ. 　 ,r'ス　＜さぁ、君も今日から＞
　 |　ヽ＼　ト､ヽ-kヾｿ　＜　不等式ヲタだ！　＞
.　 l　　＼｀ｰ‐ゝ-〈/´　　　/ ∨∨∨∨∨∨∨∨ヽ
　　l 　　 `ー-､___ﾉ
　　ﾊ　 ´￣｀　〈/‐-､
188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/09 23:22]: >>185
その証明がまた(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
一粒で２度美味しい(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/10 01:45]: 　　＿＿＿
　.／　　≧　＼　【>>185】　正の実数a,b,cに対し、
　|:::: 　＼ .／　|　　(a^a)(b^b)(c^c) ≧ (abc)^{(a+b+c)/3}
　|::::: (●　(● |　
　ヽ::::... .ワ....ノ　ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…

対称性から a≧b≧c>0 としてよい。

a^(3a)*b^(3b)*c^(3c) /(abc)^(a+b+c)
　= (a/b)^(a-b)*(a/c)^(a-c)*(b/c)^(b-c) ≧ 1

等号成立条件は a=b=c
190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/10 11:53]: >189

> 対称性から a≧b≧c>0 としてよい。

は不要？　　x>0,y>0 ⇒ (x/y)^(x-y)≧1, 等号はx=y.
191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/10 12:11]: ハッ！そうですね。
ってことは、こう書けばよかったんだ。

a^(3a)*b^(3b)*c^(3c) /(abc)^(a+b+c)
　= (a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a) ≧ 1

　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　　（´Д｀　）　　　死んでお詫びを…
　　　　　　　 / 　y/　ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　　（ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
192 名前：190 mailto:sage [04/06/10 17:42]: >191
つまり、a_k>0、 (a_1+a_2+････+a_n)/n=A とおくと、
(a_1^a_1)(a_2^a_2)････(a_n^a_n)／{(a_1･a_2････a_n)^A} = Π[i=1 to n](a_i)^(a_i-A)
= Π[i=1 to n] Π[j=1 to n] (a_i)^{(a_i-a_j)/n}
= Π[1≦i,j≦n] (a_i/a_j)^{(a_i-a_j)/n} ≧1 だな。
193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/10 22:04]: 　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ﾊｧﾊｧ…
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）
194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 14:38]: 簡単だがネタを。何通りの証明があるかな？
正の数a,b,cに対して a^4 + b^4 + c^4 ≧ abc(a+b+c) を示せ。
195 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/06/15 15:11]: [>>194]について、
普通に思いつくのが、解析学的な方法。
abc=0のときは、自明である。
以下、abc≠0とする。
a,b,cを-a,-b,-cに変えても左辺と右辺は変わらない。
だから、c>0を仮定してもよい。
a,b,cをka,kb,kc(k>0)にしても不等号は変わらない。
だから、c=1を仮定してよい。
f(a,b):=a^4+b^4-a*b*(a+b+1)
とする。
∂_{a}(f(a,b))=4a^3-2ab-b(b+1)
∂_{a}(f(a,b))=0をaについて解くと、大変なことに…。
196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 15:14]: a^4+a^4+b^4+c^4>=4a^2bc
b,cも同様にして、加えると
4(a^4+b^4+c^4)>=4abc(a+b+c)
197 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/06/15 15:39]: a^4+b^4-ab(a+b+1)
=(a+b)^4-4a^3b-4b^3a-6a^2b^2-ab(a+b+1)
=(a+b)^4-4ab(a^2+b^2)-6(ab)^2-ab(a+b+1)
=(a+b)^4-4ab((a+b)^2-2ab)-6(ab)^2-ab(a+b+1)
そして、(a+b)^2-4ab>=0より、ab<=(a+b)^2/4
さて、x=a+b,y=abとすると、
2y^2+(-4x^2-x-1)y+x^4,y<=x^2/4である。
平方完成(?)すると、
2(y-(4x^2+x+1)/4)^2+x^4-(4x^2+x+1)^2/8となる。
x^2/4<=(4x^2+x+1)/4は容易に分かる。
だから、y=x^2/4のとき、式が非負になればよい。
しかし…。
198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 16:25]: kingって、結局できないのか。たいしたことないな。
分かってから書き込め！ウザイ！
199 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/06/15 16:48]: 失敗のデータは、本当は成功のデータと同じくらい重要なのだ。
失敗のデータは、ここで行き止まりだという情報を含んでいるからだ。
200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 16:49]: がんばれＫＩＮＧ！
201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 22:00]: kingは荒らしてるだけか…、クズめ！
202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 22:24]: 不等式を制する者は解析を制す。
203 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/06/15 22:42]: だれが荒らしていると？
204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 23:14]: 得るもののないレスが多い。
とくにキングマスかきのはな・・・
205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/16 03:30]: ここ10レスで >>196だけか。
糞レスが多すぎ！
206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/16 04:12]: >194 再掲
簡単だがネタを。何通りの証明があるかな？

正の数a,b,cに対して、次を示せ。
a^4 + b^4 + c^4 ≧ abc(a+b+c)
　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　６通りかな
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ
207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/16 04:13]: （解１）相加相乗平均による解法　（by 196 さん）
a^4+a^4+b^4+c^4 ≧ 4a^2bc
a^4+b^4+b^4+c^4 ≧ 4ab^2c
a^4+b^4+c^4+c^4 ≧ 4abc^2　を辺々加える。

（解２）相加相乗平均による解法　（その２）
a^4+b^4+c^4
= (a^4+b^4)/2 + (b^4+c^4)/2 + (c^4+a^4)/2
≧ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2
= (a^2b^2+b^2c^2)/2 + (b^2c^2+c^2a^2)/2 + (c^2a^2+a^2b^2)/2
≧ab^2c + abc^2 + a^2bc
= abc(a+b+c)
208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/16 04:14]: （解３） Cauchy-Schwarzの不等式と相加相乗平均による解法
　(1^2+1^2+1^2)(a^4+b^4+c^4) ≧ (a^2+b^2+c^2)^2
　(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2) ≧ (a+b+c)^2
　(a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3)
a^4+b^4+c^4
≧(a^2+b^2+c^2)^2/3
≧{(a+b+c)/3}^3*(a+b+c)
≧abc(a+b+c)

（解４） Jensenの不等式（凸不等式）と相加相乗平均による解法
　f(x)=x^4は下に凸だから、{f(a)+f(b)+f(c)}/3 ≧ f((a+b+c)/3)
　(a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3)
(a^4+b^4+c^4)/3
≧((a+b+c)/3)^3*(a+b+c)/3
≧abc(a+b+c)/3
209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/16 04:15]: （解５） Cebysevの不等式と相加相乗平均による解法
(a^4+b^4+c^4)/3
≧(a^3+b^3+c^3)/3*(a+b+c)/3
≧abc(a+b+c)/3

（解６）差をとる。
（左辺）―（右辺）
= {a^2+(b+c)^2}(b-c)^2 + {b^2+(c+a)^2}(c-a)^2 + {c^2+(a+b)^2}(a-b)^2
≧0
210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/16 04:16]: 　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　>>196さんの証明が一番気に入ってる。
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ、ﾝ～ﾓｳﾀﾏﾗﾝｯ！
　ヽ::::... .ワ....ノ
211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/16 14:15]: さすが不等式ヲタ
そこにシビれるあこがれる～ぅ！
212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/16 22:44]: >>195
結局両辺をｃ＾4 で割ってるだけだろ。
213 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/06/16 22:52]: どうもおかしいと思ったら、1を足し忘れていた。
214 名前：１３２人目の素数さん [04/06/16 22:58]: ｋｉｎｇは、ただの荒らし

　　　　　　　　　　　放置推奨
215 名前：linear PDE ◆O5M8Y2WWjk mailto:sage [04/06/16 22:59]: 変身忍者嵐
216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/17 00:41]: 居直り強盗
↓
217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/17 04:53]: このスレもとうとう荒らしに目をつけられたか…
218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/17 08:05]: >206-210
【定理】a_i>0 のとき、Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧ Ｇ･Σ[i=1,n] a_i.
ここにＧ≡Π[i=1,n] a_i.

（解１）相加相乗平均による方法 (by [196])
［(a_j)^(n+1) +Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1)］/(n+1) ≧ a_j･Π[i=1,n]a_i = Ｇ･a_j
j=1,･･･,n を辺辺加えて
Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧ Ｇ･Σ[i=1,n] a_i.

（解４） Jensenの不等式（凸不等式）より、
f(x)=x^(n+1) は下に凸だから、{Σf(a_i)}/n ≧ f({Σa_i}/n).
相加相乗平均より、(Σa_i)/n ≧ Ｇ^(1/n).
∴{Σ a_i^(n+1)}/n ≧ {(Σa_i)/n}^n ・(Σa_i)/n ≧ Ｇ･(Σa_i)/n.

（解５）Chebyshev不等式より
(1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧ (1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^n ･ (1/n)Σ[i=1,n] a_i
相加相乗平均より、(1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^n ≧ Ｇ.
∴(1/n)Σ[i=1,n] (a_i)^(n+1) ≧Ｇ･(1/n)Σ[i=1,n] a_i.

（解６）差をとる方法。
（左辺）－（右辺）
= Σ[i=1,n]{(a_i)^(n+1)－Ｇ･a_i} = Σ[i=1,n]a_i･{(a_i)^n－Ｇ}
= Σ[i=1,n](a_i-g)･{(a_i)^n－Ｇ} + g･Σ[i=1,n]{(a_i)^n－Ｇ}
= Σ[i=1,n](a_i-g)･{(a_i)^n－Ｇ} + ng(Ａ－Ｇ).
ここに、g=Ｇ^(1/n), Ａ=(1/n)Σ[i=1,n] a_i.
219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/17 09:13]: 神降臨！
　　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼　　　　　　　　 .┏━┓┏━┓
　┏┛┗┓┃┏┓┃　　　　　　／　　　不等式ヲタ　　＼.　　　　　　　┃ 　┃┃　 ┃
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　　 ┗┛　　　 ┗┛　　　　　　ヽ::::::::::::::::::.　　＼／　　　　.ノ　　　　　　┗━┛┗━┛
220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/17 12:05]: >218 の末尾
= Σ[i=1,n](a_i-g)･{(a_i)^n－g^n} + ng(Ａ－Ｇ) ≧ 0.
ここに、g=Ｇ^(1/n), Ａ=(1/n)Σ[i=1,n](a_i)^n.
221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/17 22:53]: 　|　 |-　20
　|　 |
　|　 |-　10
　|　 |
　|　 |-　0
　|　 |
　|　 |- -10
　|　 |
　| 　|- -20
　| 　|
　|　 |- -30　　∧＿∧　　　／￣￣￣￣￣￣
　|┃| 　　　（´∀｀　）　＜　このスレ寒すぎ
　|┃| 　　　（　　　　）　　＼＿＿＿＿＿＿
. （●）　　　　｜｜　|
　￣　　　　　（＿（_＿）
222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/19 20:24]: だが、それがいい。
223 名前：１３２人目の素数さん [04/06/20 21:39]: ｎを正の整数とするとき、次の不等式を示せ。

√(ｎπ) ＜ {(2ｎ)!!}/{(2ｎ-1)!!} ＜ √{(ｎ+0.5)π}
224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/21 01:53]: >223
偶然だが昨日、次の不等式を証明したよ。
1/(2ｎ+1) ＜ {(2ｎ-1)!!}/{(2ｎ)!!} ＜ 1/√(2ｎ+1)
　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ
225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/21 11:45]: >>196,206
東北学院大・経 (1997)か？
↓にもあるよ

安田亨:「入試数学伝説の良問100」講談社ブルーバックスB-1407 (2003.4) \1155
226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/21 12:53]: (2n)!!/(2n-1)!!=√πΓ(n+1)/Γ(n+0.5)だから、各辺logとって整理すると示すべき不等式は

log(n)<(f(n+1)-f(n+0.5))/0.5<log(n+0.5)　ただし、f(x)=log(Γ(x))

あとは、log(n)=f(n+1)-f(n), log(n+0.5)=f(n+1.5)-f(n+0.5), fは凸関数であることに注意すればよい
227 名前：１３２人目の素数さん [04/06/21 21:58]: 【問題】 0<a<π/4、0<b<π/4 であるa,bについて下の不等式が成立することを証明せよ。

√{tan(a)･tan(b)} ≦ tan((a+b)/2) ≦ {tan(a)+tan(b)}/2

分かスレ１７２
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1087644616/381
228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/21 22:08]: >>227
自明すぎてつまらん．
229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/21 22:44]: >228
y=ln(tan(x)) は上に凸、y=tan(x) は下に凸。
230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/22 07:53]: >227
Right = sin(a+b)/[2cos(a)cos(b)] = Middle/[2cos(a)cos(b)]{1+cos(a+b)}.
(Right - Middle)･[2cos(a)cos(b)] = Middle･[1+cos(a+b)-2cos(a)cos(b)] = Middle･[1-cos(a-b)] ≧0.

Left = tan(a+b)/2[1-tan(a)tan(b)].
Middle = tan(a+b)/2[1-tan{(a+b)/2}^2].
Middle^2 - Left^2 = 1 - 2tan{(a+b)/2}/tan(a+b) - [1 - {tan(a)+tan(b)}/tan(a+b)]
= {2/tan(a+b)}(Right - Middle).
231 名前：１３２人目の素数さん [04/06/22 21:13]: >>223
∫(0→π/2)(sin x)＾ｎ dx を評価すれば出る。
232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/22 21:55]: >231
上式を I_n とおくと、I_n = [(n-1)/n] I_{n-2}.
∴ I_{2m+1} = (2m)!!/(2m+1)!!, I_{2m} = [(2m-1)!!/(2m)!!](π/2)
I_0 = π/2, I_1=1, I_2=π/4, I_3=2/3, ･･･で単調減少
233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/22 23:17]: >>227
昔の京大の問題だから調べてね
234 名前： ◆MC1Z7pcz5k [04/06/23 01:22]: >>227 >>233
'91 前期理 4番
の問題ですね。
結構難易度の高い問題だったはずです。
とくに, 左側の不等式は難問です。
235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/23 08:32]: >>234
左側の不等式は，>>229の書いてるとおり，logとればただの凸不等式．
難問には思えないんだけどなあ．
236 名前：230 mailto:sage [04/06/24 11:57]: 3,4行目に誤り、すまそ。↓に訂正

tan(x)･tan(y) = 1 - {tan(x)+tan(y)}/tan(x+y)
237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/25 23:46]: ネタを幾つか仕入れてきたので、
まずは自分で解いてみてから書き込みます。

　　, -‐－-､　　ヽ∧∧∧ //　　|
. 　/////_ﾊヽ＜釣るぞ！＞　ハ
　ﾚ//ｊけ ,fjlﾘ　/ ∨∨V ヽ　　h. ﾟl;←不等式に魅入られた私
　ﾊｲｲﾄ､"ヮノﾊ　　　　　//　　　|::: ｊ　　｡
　 /⌒ヽヾ'ﾘ、　　　　　// 　　　ヾ､≦ '
.　{ 　　j｀ｰ' ﾊ　　　//　ヽ∧∧∧∧∧∧∧∧/
　ｋ～'ｌ　　ﾚﾍ. 　 ,r'ス　＜さぁ、君も今日から＞
　 |　ヽ＼　ト､ヽ-kヾｿ　＜　不等式ヲタだ！　＞
.　 l　　＼｀ｰ‐ゝ-〈/´　　　/ ∨∨∨∨∨∨∨∨ヽ
　　l 　　 `ー-､___ﾉ
　　ﾊ　 ´￣｀　〈/‐-､
238 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dyzvgzA mailto:sage [04/06/26 08:53]: お勧めトリップ集
KingOfKingMathematicianの後に付けるのがおしゃれ。

H06dWILLhA : #/{\@%YwX
H06djy9xBA : #SgHdO'H%
H06dYXOYLA : #*｢A@?NVF
H06dhKnt9A : #[Aｼsudｾl
H06dWifa1A : #{SfbN(6ｦ
H06dyzvgzA : #QAiEｼEp- 　　←使用中
239 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 02:53]: あげ
240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 11:59]: 非負整数x_kに対し
(x_1)! (x_2)!…(x_n)! ≧ [ { (x_1+ … +x_n)/n }! ]^n
右辺の[a]はガウス記号とする。
241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 12:02]: すまん、書き間違えた。

非負整数x_kに対し
(x_1)! (x_2)!…(x_n)! ≧ ([(x_1+ … +x_n)/n]!)^n

右辺は相加平均にガウス記号つけたものの階乗のn乗です
242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 13:18]: x≧1でlogΓ(x)は単調増大凸関数だから明らか。
243 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 13:40]: > x≧1でlogΓ(x)は単調増大凸関数だから明らか。
x≧2の間違いだな。
まあ、左辺は1より小さくならないから、
明らかであることに変わりはないけど。
244 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 22:07]: 【問題】次式を示してくださいです。。。
-3(√3)/2 ≦ sin(x) + sin(y) + sin(x+y) ≦ 3(√3)/2

さくらスレ１４６
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1087307114/461

面積最大の三角形
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1041437063/198
245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 22:32]: 周期2πだから、|x|,|y|≦πで考えれば十分。
sin(x) + sin(y) + sin(x+y) = 4sin((x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2) と変形できるから、
(x+y)/2の正負で場合分けして、-log(cos(x))の凸不等式を使えばよい。
246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 23:34]: 　どきどき　 | 　　　　　マダー？　　マダー？
　　　　　　 , -┴‐-､ﾟ｡
　　　　　/´ 237 ∠}ヽ　 ∧＿∧　∧＿∧　∧＿∧
　　　　 |　　　u　ノ)）））（　・∀・）（　´∀｀）（ ´･ω･）　
　　　　 | u　　ｄ!!!l　　（　∪ ∪（　∪ ∪ （　∪ ∪
　　　f^ｉﾉ　　u　ﾘノ　　と＿_）__）旦＿）__）旦＿）__）旦
　　「((（(( (（（((ト､
　　　|　 i######|　}
　　　`ｰ'l######レ'　｡oO（ど、どしよ……）
　　　　ﾉ#####〈
247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 21:39]: >245
sin(x) + sin(y) + sin(x+y) = 2sin{(x+y)/2}[cos{(x-y)/2} + cos{(x+y)/2}],
-1 + cos{(x+y)/2} ≦ cos{(x-y)/2} + cos{(x+y)/2} ≦ 1 + cos{(x+y)/2}.
-2･sin{(x+y)/4}^2 ≦ cos{(x-y)/2} + cos{(x+y)/2} ≦ 2･cos{(x+y)/4)}^2.
までは出るが．．．
248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 21:59]: >>247
0≦(x+y)/2≦πなら、sin((x+y)/2)≧0で、sin((x+y)/2)=cos(π/2-(x+y)/2)
-π≦(x+y)/2≦0なら、sin((x+y)/2)≦0で、sin((x+y)/2)=-cos(-π/2-(x+y)/2)
249 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/30 22:02]: どうでもいいけど、「け ,fj」って何？
250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 22:11]: どうして荒らすのかなぁ > Q.man
251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 22:22]: -log(cos(x)) (|x|≦π/2)の凸不等式をつかう。

(x+y)/2≧0のとき
0≦4sin((x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)=4cos(π/2-(x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)≦4(cos(π/6))＾3=3(√3)/2

(x+y)/2<0のとき
0≧4sin((x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)=-4cos(-π/2-(x+y)/2)cos(x/2)cos(y/2)≧-4(cos(-π/6))＾3=-3(√3)/2

∴-3(√3)/2≦sin(x)+sin(y)+sin(x+y)≦3(√3)/2
252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 23:44]: 新ネタ投下ﾊｧﾊｧ

自然数nに対して、次の不等式を示せ。
(n!)e^n > {n+(1/2)}^{n+(1/2)}
253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 23:51]: >>206-210
（解７）
　2{(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)} = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≧ 0
より a^2+b^2+c^2 ≧ ab+bc+ca が成り立つ。
これを２回繰り返す。
　a^4+b^4+c^4 ≧ (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 ≧ abc(a+b+c)
254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 05:56]: >>252
log(x)と接線を考えて積分で評価したら、ちょっとだけいい評価が出た

(n!)e^n > (√2){n+(1/2)}^{n+(1/2)}
255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 06:00]: 　　＿＿＿
　.／　　不　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (≧　(≦ |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .∩....ノ　
256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 12:02]: 実数a,b,c,d,eに対して、次の不等式を示せ。
1 < a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+d) + d/(d+e) + e/(e+a) < 4

まぁだまだ逝くよぉ～
257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 12:44]: n個の正の数 a_1,a_2,…,a_n に対して、
基本対称式（k個ずつの積の和）を s_k で表すとき、次を示せ。
　(s_k)(s_{n-k}) ≧ (s_n)C[n,k]^2

不等式な上に、nCrまで…
　　＿＿＿
　.／　　不　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (≧　(≦ |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .∩....ノ　
258 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/01 15:37]: Re:>256 そういうのいけない。
a=1,b=-.999,c=10,d=1,e=1
範囲を正の数に限定すれば大丈夫だ。
259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 15:57]: う、おっしゃるとおりで。
正の実数でした。
260 名前：１３２人目の素数さん [04/07/01 16:36]: 任意の実数で成り立つ(*´д｀*)ﾊｧﾊｧする不等式はないの？
261 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/01 16:49]: (>_<)
262 名前：１３２人目の素数さん [04/07/01 17:00]: ａｂ≦１/２(ａ^2＋ｂ^2)ぐらいしか思いつかん
263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 20:33]: >257
(s_k)/項数 = (s_k)/Ｃ[n,k] ≡ P_k とおくと P_0=1. もし
(P_i)/P_{i-1} ≧ P_{i+1}/(P_i) ･････ (1)
が成り立てば
(P_k)/(P_0) = Π[i=1,k] (P_i)/P_{i-1} ≧ Π[i=n-k+1,n] (P_i)/P_{i-1} ≧ (P_n)/(P_{n-k}).
∴ (P_k)(P_{n-k}) ≧ (P_0)(P_n).

よって (1) に帰着する。
264 名前：１３２人目の素数さん [04/07/01 20:52]: >>263
等号成立条件は？
　　＿＿＿
　.／　　不　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (≧　(≦ |　ﾆﾔﾆﾔ
　ヽ::::... .∀....ノ　
265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/02 03:54]: >263 神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
しかし、分からない…
266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/02 04:27]: >263さん、あなたにかかっています。
　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ
267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/02 05:43]: >264
等号成立条件は、a_1 = a_2 = … = a_n
　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ
268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/02 08:12]: >254
n! = C･{(n+1/2)^(n+1/2)}/(e^n) とおく。

x=k での接線から Ln(k) > ∫[x=k-1/2,k+1/2] Ln(x)dx.
台形公式から {Ln(k)+Ln(k+1)}/2 < ∫[x=k,k+1] Ln(x)dx.

Ln(n!) = Ln(a!) + Σ[k=a+1,n] Ln(k) > Ln(a!) + ∫[x=a+1/2,n+1/2] Ln(x)dx
= Ln(a!) + (n+1/2){Ln(n+1/2)-1} - (a+1/2){Ln(n+1/2)-1},
∴ Ln(C) > Ln(a!) - (a+1/2)Ln(a+1/2) + a.

Ln(n!) = Ln(a!) + (1/2)Ln(a+1) + ∫[x=a+1,n] Ln(x)dx + (1/2)Ln(n)
= Ln(a!) + (1/2)Ln(a+1) + n{Ln(n)-1} - (a+1){Ln(a+1)-1} + (1/2)Ln(n)
= Ln(a!) + (n+1/2)Ln(n) -n -(a+1/2){Ln(a+1)-1} + 1/2
< Ln(a!) + (n+1/2)Ln(n+1/2) -n -(a+1/2){Ln(a+1)-1}
∴ Ln(C) < Ln(a!) - (a+1/2){Ln(a+1)-1}.

C → √(2π/e)=1.520347 (n→∞)
269 名前：263 mailto:sage [04/07/03 15:28]: >264-266

【263の(1)】
1≦i≦n-1 ⇒ Q_i ≡(P_i)^2 - P_{i-1}･P_{i+1} ≧0.

(略証） n(変数の数)に関する帰納法で示す。

For i=1,
Q_1 = (P_1)^2 - P_0･P_2 = (1/n)^2･(∑[j=1,n] x_j)^2 - {2/n(n-1)}(∑[j>j'] x_j･x_j')
= {1/[n^2･(n-1)]}{(n-1)∑[j=1,n](x_j^2) -2･∑[j>j'] x_j･x_j'}
= {1/[n^2･(n-1)]}∑[j>j'] (x_j-x_j')^2 ≧ 0.
n=2 ⇒ i=1 ∴ n=2のとき成立。

Consider a new member x'= x_{n+1}.
s'_i ≡ s_i + x'･s_{i-1}　　　　(1≦i≦n),
P'_i ≡ [(n+1-i)/(n+1)]･P_i + [i/(n+1)]x'･P_{i-1},
Q'_i ≡ (P'_i)^2 - P'_{i-1}･P'_{i+1},
and
(n+1)^2･Q'_i = (n-i)(n-i+2)･Q_i + (n-i)(i-1)[P_i･P_{i-1}－P_{i+1}P_{i-2}]x' +(i^2-1)･Q_{i-1}(x')^2 +[P_i-P_{i-1}x'}^2.

Provided Q_i≧0, Q_{i-1}≧0 for a certain n, then
P_i/P_{i+1} increase monotonously with i: P_i/P_{i+1} ≧ P_{i-2}/P_{i-1}.
∴ Q'_i≧0.
270 名前：263 mailto:sage [04/07/05 20:59]: 【263の系】
P_1 ≦ (P_2)^(1/2) ≦ ････ ≦ (P_k)^(1/k) ≦ ････ ≦ (P_n)^(1/n)
271 名前：263 mailto:sage [04/07/05 21:01]: スマソ

【263(1)の系】
P_1 ≧ (P_2)^(1/2) ≧ ････ ≧ (P_k)^(1/k) ≧ ････ ≧ (P_n)^(1/n)
272 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 21:04]
273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 16:01]: 　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　ﾑｽﾞｶｼ…
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ
274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 21:46]: ここにも燃料を投下していたのですが、過疎スレだけに…。
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/703
275 名前：１３２人目の素数さん [04/07/06 22:15]: ＞274
反例？を書いて来たよ。
276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 22:23]: いい加減自演止めろ、うざい。
277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 23:28]: >276
自演じゃないですよ。

数オリや数セミ外国の月刊誌のAMMなどから
nCrの和や三角関数や不等式の問題を収集してきて
各スレに貼っている数オタは私ですが、解く力は弱い。

その問題を、私の写し間違いまで訂正した上で
一般化までして解説してくれている神は別人ですよ。
278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 23:32]: >>276
失せろ, 嫌なら見るな
279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 23:34]: >>278
氏ね、池沼。
280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 23:44]: あちこちのスレでよく見かけるけど、
池沼の意味が分かんないんですが？
281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 23:49]: >276は ageられたスレを見て、ウザイと反応しているのかな？
282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 23:59]: >>280
おまいの事だよ。
283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/07 09:01]: 荒らしにも困ったものだ。

>256
f(a,b,c,d,e) = a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+d) + d/(d+e) + e/(e+a) とおくと
　f(a,b,c,d,e)+f(a,e,d,c,b)=5 … (1)
また、a/(a+b) > a/(a+b+c+d+e) などから
　f(a,b,c,d,e) > 1 … (2)
これらより、 1 < f(a,b,c,d,e) < 4

f(a^4,a^3,a^2,a,1) → 1 (a→0) だから、これと(1)より、
f(a,b,c,d,e)は1から4の間のすべての値をとる
284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/07 10:24]: ＞また、a/(a+b) > a/(a+b+c+d+e) などから
これは、実数a,b,c,d,eに対して無条件で明らかですか？
ー(a+b)＜c+d+e＜0＜a の時はまずそうですが？

これから、(2) が出るのも、おれには明らかではない？
285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/07 11:14]: あぁ、問題文のミスで、a,b,c,d,eは正の数って約束があるんですよ。
すんません。>>259あたりにそのことが書いてあった。
286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/07 11:25]: 了解。
287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/07 13:37]: ＞227
＞　0<a<π/4、0<b<π/4 であるa,bについて
＞　√{tan(a)･tan(b)} ≦ tan((a+b)/2) ≦ {tan(a)+tan(b)}/2

この相加平均と相乗平均の間に挟まれているタイプの不等式を拾ってきたYo！

異なる正の数a,bに対して
√(ab) < (a-b)/{log(a)-log(b)} < (a+b)/2
288 名前：227 mailto:sage [04/07/08 18:18]: >287
sinh(|x|) ≧ |x| ≧ tanh(|x|) より１≦ sinh(x)/x ≦ cosh(x).
x=(1/2)･Ln(b/a) とおき, 各辺に√(ab) を掛ける。
等号成立は x=0 つまり a=b.
289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/08 22:44]: 【問題】
0<x<y<1 または 1<x<y に対して
　{y^(x^y)}/{x^(y^x)} > y/x > (y^x)/(x^y)

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ﾊｧﾊｧ…
　人　Y　/　ﾓｳﾀﾏﾗﾝ
　(　ヽし
　（＿）＿）
290 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/08 22:55]: 0<x<y<1または1<x<yに対して、
x^y*y-y^x*xをxyで割り、
x^(y-1)-y^(x-1)を得る。
yで偏微分してln(x)x^(y-1)-(x-1)y^(x-2)を得る。
y>=xでそれは正となる(?)。
291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/09 07:52]: >289
（右側）題意より (x-1)(y-1)>0.
Ln(x)/(x-1)>0 は単調減少だから
x<y ⇒ Ln(x)/(x-1)>Ln(y)/(y-1)>0 ⇒ x^(y-1)>y^(x-1)>1 ⇒ y/x > (y^x)/(x^y).
292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/09 14:21]: >291
さすが！

>290
荒らすな！
293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/09 23:41]: 自演はげ
294 名前：１３２人目の素数さん [04/07/18 08:53]: age
295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/20 05:53]: The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities
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296 名前：１３２人目の素数さん [04/07/21 16:48]: マルコフの不等式
297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/22 07:05]: 　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ﾊｧﾊｧ…
　人　Y　/　ﾓｳﾀﾏﾗﾝ
　(　ヽし
　（＿）＿）
298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/22 07:12]: 三角形ABCの内角について、
sin(A)+sin(B)+sin(C) と sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)
の大小関係は定まりますか？
299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/22 08:12]: >298
二等辺三角形(A=B)の場合を考えると
0<A<19.178215°では 2sin(A)+sin(π-2A) ＜ 2sin(A/2)+cos(A)
19.178215°<A< 90°では 2sin(A)+sin(π-2A) ＞ 2sin(A/2)+cos(A)
300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/22 08:48]: >299
ありがとうございます。あと２式のとりうる値について、凸不等式から
0 < sin(A)+sin(B)+sin(C) < 3sqrt(3)/2
sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) < 3/2
となりましたが、下側の式の最小値がうまくでません。
1/2のようなのですが、証明のしかたを教えて下さい。
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/22 09:03]: 書き間違い…

0 < sin(A)+sin(B)+sin(C) ≦ 3sqrt(3)/2
sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) ≦ 3/2
302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/22 12:07]: >300
　1 < sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) ≦ 3/2.
　0 < {sin(A)+sin(B)+sin(C)} / {sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)} ≦ √3.
303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/22 13:11]: >302
ありがとうございます。神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
１行目の式の下限が１になるのは、どのような計算でしょうか？
２行目の不等式を考えてますが、
　sin(A)+sin(B)+sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
　sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) = 4cos(A/4)cos(B/4)cos(C/4)
ここまで変形して、辺々割ってみたんですけど、その後が…
もう少し考えてみますが、よければヒント下さい。
304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/22 19:09]: >303
sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) = 4cos{(π+A)/4}･cos{(π+B)/4}･cos{(π+C)/4} +1
ぢゃないか？？
305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/22 22:54]: >304
ほんとだ間違ってる、ありがとうございます
306 名前：１３２人目の素数さん [04/07/23 07:36]: telescopic 不等式
307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/29 07:24]: 任意の自然数 m,n と任意の正の数 x に対して
　{(x+m)/(n+m)}^(n+m) ≧ (x/n)^n
　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ
308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/29 07:59]: 一般化して、正の数 a,b,c に対して
　{(a+c)/(b+c)}^(b+c) ≧ (a/b)^b
が言えそうですね、ハァハァ。
309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/01 17:38]: >307
平均値の定理（コーシー）より、
{Ln(x+m)-Ln(n+m)}/{Ln(x)-Ln(n)} = {1/(ξ+m)}/{1/ξ} = ξ/(ξ+m).
ところで、ξはxとnの中間の点だから、(ξ-n)(x-n) >0, (ξ-n){Ln(x)-Ln(n)} >0.
∴ (n+m){Ln(x+m)-Ln(n+m)} - n{Ln(x)-Ln(n)} = {(n+m)ξ/(ξ+m)-n}{Ln(x)-Ln(n)}
= {m/(ξ+m)}(ξ-n){Ln(x)-Ln(n)} ≧ 0.
∴ (n+m)･Ln{(x+m)/(n+m)} ≧ n･Ln(x/n).

微分法を使わない方法きぼんぬ
310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/01 18:13]: >307
Ln(x)/(x-1)>0 は単調減少だから
{Ln(z)/(z-1) - Ln(y)/(y-1)}(y-z) >0.
これに z=1+a/(n+m), y=1+a/n を代入して、{(n+m)･Ln[1+a/(n+m)]-n･Ln[1+a/n]}/{n(n+m)} ≧0.
∴ (n+m)･Ln{1+a/(n+m)} ≧ n･Ln(1+a/n).
ここで a=x-n とおく。
311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/01 18:35]: >309
>微分法を使わない方法きぼんぬ
　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　相加相乗でﾊｧﾊｧと…
　|::::: (●　(● |　
　ヽ::::... .ワ....ノ
312 名前：309 mailto:sage [04/08/02 02:16]: >311
thanx. x/n がn個と１がm個でつね。

【系】
　(1+a/n)^n はｎについて単調増加（極限はe^a）
　[略証] 相加相乗ﾊｧﾊｧと･･･ 1+a/n がｎ個、１が１個。
313 名前：１３２人目の素数さん [04/08/04 01:33]
314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/04 04:33]: >312 【系】 (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ
315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/07 19:43]: 掘り出し物

任意の実数 x,y,z に対して、次式をみたすMの最小値を求めよ。
√(x^2+y^2)+2√(y^2+z^2)+3√(z^2+x^2) ≦ M√(x^2+y^2+z^2)
316 名前：１３２人目の素数さん [04/08/07 23:39]: 2√7
317 名前：１３２人目の素数さん [04/08/08 00:18]: >>315
ﾜﾛﾀ。
318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/08 04:30]: >316
ハズレ
319 名前：１３２人目の素数さん [04/08/08 04:49]: M=3+√5
320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/08 04:54]: >319
どないすんねん？
321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/08 04:58]: おらおら！
322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/08 06:23]: 　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも～♪
　　　　　　ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも～♪
　　　　　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　　 `ヽ　r､丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　ｲ/"
　　　　　　　＼　ヽ　ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ｀"ヽ､
　　　　　　　　,ィ"　　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　～（　 x）､ /（x　）～　　｀丶、
　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　ヽ
323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/08 07:39]: >316 の失敗は、シュワルツの不等式でやったんだろうな。
正解は >319 だが、どうやるのかにゃ？
324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/08 09:18]: y=0 のときだと見破れば簡単
325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/08 10:57]: 見破るって…、それでいいのか？
ちゃんとした証明をキボンヌ
326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 01:27]: 普通に束縛条件x^2+y^2+z^2=1を設定して左辺の
x>0,y>0z>0での最小値と
x=0,y,z≧0、y=0,z,x≧0、z=0,x,y≧0での最小値をくらべればいいんじゃないの？
327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/09 01:32]: >>326
＞x>0,y>0z>0での最小値と
↑これ極値ね。最小値であることまで示す必要はない。
･コンパクト領域x,y,z≧0、x^2+y^2+z^2=1のどこかで最小値をとる。
･内点で最小ならそれは極値である。
から境界での最小値と内点での極値のうちいちばん小さいのが最小値。
↑この論法でどんどん変数の次元をさげていくのが一般的な未定定数法の使い方だな。
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/10 02:05]: なるほど。
329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/10 20:06]: >325
x^2=X, y^2=Y, z^2=Z, λ>0, μ=√(1+λ^2) とおく。
コーシーの不等式より、√(X+Y) + λ√(Y+Z) ≦ μ√(X+2Y+Z) ･････ (1)
ルートは上に凸だから、 √(X+2Y+Z) + √(X+Z) ≦ 2√(X+Y+Z) ･････ (2)
∴ √(X+Y) + λ√(Y+Z) + μ√(X+Z) ≦ 2μ√(X+Y+Z).
これに、√(X+Z) ≦ √(X+Y+Z) ･････(3) の(3-μ)倍を加える。
等号成立は (x,y,z)=x(1,0,λ) のとき.
ぬるぽ
330 名前：329 mailto:sage [04/08/11 00:00]: 【類題】
λ≧0とする。　任意の負でない実数 X,Y,Z≧0 に対して次式をみたすM　
の最小値M(λ)を求めてくださいです。。。　
√(X+Y) + λ･√(Y+Z) + (λ+1)･√(X+Z) ≦ M･√(X+Y+Z)　
ぬるぽ　
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/11 08:38]: >330
μ=√(1+λ^2) とおく。
コーシーの不等式より、√(X+Y) + λ√(Y+Z) + μ√(Z+X) ≦ √(1+λ^2 +μ^2)･√{2(X+Y+Z)} = 2μ√(X+Y+Z).
∴ M(λ) = 1+λ+√(1+λ^2).
332 名前：１３２人目の素数さん [04/08/11 09:04]: (ﾟДﾟ )ﾊｧ?
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/11 09:17]: >316のようにコーシーの不等式を使って、
とりえない解を出した前例があるッ！
気をつけろッ！
334 名前：331 mailto:sage [04/08/11 11:43]: (X,Y,Z)=X(1,0,λ^2) で等号成立でつ。。。
335 名前：331 mailto:sage [04/08/11 21:03]: >332
　√(Z+X) ≦ √(X+Y+Z)
の(1+λ－μ)倍を [331]の式に加えれ。
336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/17 15:04]: >331
理解したッ！
君は英雄だ、最大の功績だ！
337 名前：１３２人目の素数さん [04/08/17 16:27]: コーシー・シュワルツの不等式を、ロシアでは
コーシー・ブニャコフスキーの不等式という。
北朝鮮ではなんと言うのだろうか？
金日成の不等式?
338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/20 17:20]: 暑いのぉ…

(a+b+c+d)^2 ≧ 8(ac+bd) が成り立つための実数 a,b,c,d の条件を求めよ。
339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/21 04:37]: 正の数 a,b,c が a^2+b^2+c^2=1 をみたすとき、次式を証明せよ。
　(a^2)bc + a(b^2)c + ab(c^2) ≦ 1/3
　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ｵﾗｵﾗ
　ヽ::::... .ワ....ノ
340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/21 10:15]: >339
左辺 = (a^2)bc + a(b^2)c + ab(c^2) = (a+b+c)abc
= (1/27)(a+b+c){(a+b+c)^3 -3a(b-c)^2 -3b(c-a)^2 -3(a-b)^2} ≦ (1/27)(a+b+c)^4,

(a+b+c)^2 = 3(a^2+b^2+c^2) -(b-c)^2 -(c-a)^2 -(a-b)^2 ≦ 3(a^2+b^2+c^2).
341 名前：340 mailto:sage [04/08/21 11:38]: >339
a^2=A, b^2=B, c^2=C とおく。
左辺 = A{B+C-(b-c)^2}/2 + B{C+A-(c-a)^2}/2 + C{A+B-(a-b)^2}/2
≦ BC + CA + AB = (1/6){2(A+B+C)^2 -(B-C)^2 -(C-A)^2 -(A-B)^2}
≦ (1/3)(A+B+C)^2.

等号成立はA=B=C すなわち a=b=c.
342 名前：１３２人目の素数さん [04/08/21 15:32]: しょうも無い不等式やな。
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/21 17:53]: >338
0 ≦ (a+b+c+d)^2 -8(ac+bd) = (a+b-c-d)^2 +(a-b-c+d)^2 -(a-b+c-d)^2.
ぬるぽ
344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/21 20:52]: ﾊｧ?
345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/21 21:33]: 正の数 a,b,c に対して、次を示せ。
(a^3-a^2+3)(b^3-b^2+3)(c^3-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3
　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ｵﾗｵﾗｵﾗ…
　ヽ::::... .ワ....ノ
346 名前：凡例 mailto:sage [04/08/21 23:08]: >345
a=b=c の場合を考える。
1<t<√3 ⇒ (t^3 -t^2 +3) - 3t = (t-1)(t^2 -3) < 0.
347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/22 01:28]: >346
不等式の証明をしたことがありますか？
348 名前：反例 mailto:sage [04/08/22 01:34]: を挙げますた。証明できんと思われ。 >347
349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/22 05:49]: >345
問題文が違っていると思われ…
確認して切腹せよ！
350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/22 05:53]: ﾁﾝﾁﾝ！ﾁﾝﾁﾝ！（AA省略）
問題文の訂正と、切腹まだあー
351 名前：340 mailto:sage [04/08/22 15:16]: >339
abc = (1/27){(a+b+c)^3 -(3a+s)(b-c)^2 -(3b+s)(c-a)^2 -(3c+s)(a-b)^2} ≦ (1/27)(a+b+c)^3.
s = (a+b+c)/2.

すみません、間違ってました。
死んでお詫びを…

　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　　（´Д｀　）　　　
　　　　　　　 / 　y/　ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　　（ノノノ | | | l ）
352 名前：345の訂正 mailto:sage [04/08/22 18:56]: ｱﾁｬｰ、間違ってました。５乗でした…

正の数 a,b,c に対して、次を示せ。
(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∧＿∧　　死んでお詫びを…
　　　　 _ _　 ξ　　　　　　　　　　　（´Д｀　）
　　　 (´ 　｀ヽ、>>340　　　　　　 / 　y/　ヽ　>>345
　　⊂,_と（　　）⊃　　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ノノノ | | | l ）
353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/24 02:40]: ||
||---
||
||---
||
||
||
||
|| 電柱でござる、電柱でござるぞ。 >351-352
354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/25 16:16]: 任意の複素数 x,y,z に対して
|x|+|y|+|z|+|x+y+z| ≧ |x+y|+|y+z|+|z+x|
　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　懲りずに
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/25 23:08]: 　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも～♪
　　　　　　ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも～♪
　　　　　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　　 `ヽ　r､丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　ｲ/"
　　　　　　　＼　ヽ　ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ｀"ヽ､
　　　　　　　　,ィ"　　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　～（　 x）､ /（x　）～　　｀丶、
　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　ヽ
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/26 01:24]: 　　　　　　　　＿＿＿
　　　　　　　.／　 ≧ ＼　　　神降臨まだぁ～
　　　　　　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　　　　　　　|::::: (●　(● |
　　　　　　　ヽ::::... .∀....ノ／　　ﾁﾝ　☆
　　　　　　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　　　　　　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　　　　　　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　　　　　　＼|　　愛媛みかん　|
357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/26 13:48]: >354
Hlawkaの不等式.

x+y+z=-w, 左辺=|x|+|y|+|z|+|w|=Ｓとおく。

|x+y|=|z+w|, |x+z|=|y+w|, |x+w|=|y+z| ･･････(1)

0 = |x+y+z+w|^2
= (|x+y|^2 +|z+w|^2) +(|x+z|^2 +|y+w|^2) +(|x+w|^2 +|y+z|^2) -2(|x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2).
∴ Ｓ^2 = (|x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2) + 2{|x||y|+|x||z|+|x||w|+|y||z|+|y||w|+|z||w|}
= (1/2){|x+y|^2 +|z+w|^2 +|x+z|^2 +|y+w|^2 +|x+w|^2 +|y+z|^2}
+2{|x||y|+|x||z|+|x||w|+|y||z|+|y||w|+|z||w|}
= |x+y||z+w| +|x+z||y+w| +|x+w||y+z| +2{|x||y|+|x||z|+|x||w|+|y||z|+|y||w|+|z||w|}
= |x+y||z+w| +(|x|+|y|)(|z|+|w|)
+|x+z||y+w| +(|x|+|z|)(|y|+|w|)
+|x+w||y+z| +(|x|+|w|)(|y|+|z|) ･･･････(2)

(1),(2)により、
Ｓ・{Ｓ -(|x-y|+|x+z|+|x+w|+|y+z|+|y+w|+|z+w|)/2}
= Ｓ^2 -Ｓ(|x+y|+|z+w|)/2 -Ｓ(|x+z|+|y+w|)/2 -Ｓ(|x+w|+|y+z|)/2
= |x+y||z+w| +(|x|+|y|)(|z|+|w|) +|x+z||y+w| +(|x|+|z|)(|y|+|w|) +|x+w||y+z| +(|x|+|w|)(|y|+|z|)
-(|z|+|w|)|x+y| -(|x|+|y|)|z+w| -(|y|+|w|)|x+z| -(|x|+|z|)|y+w| -(|y|+|z|)|x+w| -(|x|+|w|)|y+z|)}
= {|x|+|y|-|x+y|)(|z|+|w|-|z+w|) +(|x|+|z|-|x+z|)(|y|+|w|-|y+w|) +(|x|+|w|-|x+w|)(|y|+|z|-|y+z|) ≧0.
∴ Ｓ - (1/2)(|x+y|+|x+z|+|x+w|+|y+z|+|y+w|+|z+w|) ≧0.

大関：「不等式への招待」例題8, p.33 近代科学社 (1987.10) ￥1575
153p, A5判, ISBN:4764910063
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/26 15:16]: お～！
そんなところにありましたか
ありがとうございます。
359 名前：357 mailto:sage [04/08/26 21:39]: (補足)
0 = |x+y+z+w|^2 = (x+y+z+w, x+y+z+w)
= |x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2 +2{(x,y)+(x,z)+(x,w)+(y,z)+(y,w)+(z,w)}
= |x+y|^2 +|z+w|^2 +|x+z|^2 +|y+w|^2 +|x+w|^2 +|y+z|^2 -2(|x|^2 +|y|^2 +|z|^2 +|w|^2).
360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/27 11:48]: 【問題】(D.D.Adamovic)
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
1).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
2).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.
を示してくださいです。。。
361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/29 17:33]: >352
F(x) = x^5 -x^2 +3 ≧ F{(2/5)^(1/3)} = 3 - (3/5)[(2/5)^(2/3)] = 2.67426989 ≡ f.

次の補題を基にして評価する。
【補題】
F(a)F(b)F(c) ≧ 27abc ＋ (1-a)^2 [(f^2)a + (9f/2)(b+c)]
＋ (1-b)^2 [(f^2)b + (9f/2)(c+a)] ＋ (1-c)^2 [(f^2)c + (9f/2)(a+b)].

(1-a)^2 + (1-b)^2 = (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(2-a-b)^2 ≧ (1/2)(a-b)^2 を使って変形すると、

F(a)F(b)F(c) ≧ 27abc ＋ (a-b)^2 {[9f/4 -(f/2)^2]c + (f/2)^2(a+b)}
＋ (b-c)^2{[9f/4 -(f/2)^2]a + (f/2)^2(b+c)} ＋ (c-a)^2 {[9f/4 -(f/2)^2)b + (f/2)^2(c+a)}
≧ 27abc ＋ (a-b)^2 (a+b+7c)/2 ＋ (b-c)^2 (7a+b+c)/2 ＋ (c-a)^2 (a+7b+c)/2
= (a+b+c)^3.

∵ 9f/4 -(f/2)^2 ≒ 4.2291774 > 7/2, (f/2)^2 ≒ 1.78792986 > 1/2.
362 名前：361 mailto:sage [04/08/29 18:13]: 【補題】の略証
F(x) = x^5 - x^2 + 3 = 3x + (1-x)^2 (3+3x+2x^2+x^3) = 3x + G(x) とおく。

F(a)F(b)F(c) = [3a+G(a)][3b+G(b)][3c+G(c)] = 27abc ＋ G(a)･D_a ＋ G(b)･D_b ＋ G(c)･D_c
D_a = 9bc + (3/2)[bG(c)+cG(b)] + (1/3)G(b)G(c),
D_b = 9ca + (3/2)[cG(a)+aG(c)] + (1/3)G(c)G(a),
D_c = 9ab + (3/2)[aG(b)+bG(a)} + (1/3)G(a)G(b).
ここで D_ の上限を２とおりに評価できる。
D_a ≧ (3/2){bF(c)+cF(b)} ≧ (3f/2)(b+c) = 4.01140483(b+c),
D_a ≧ F(b)F(c)/3 ≧ (1/3)f^2 = 2.38390647.
∴ (3+3a)D_a ≧ (f^2)a + (9f/2)(b+c)
また、G(x) ≧ (1-x)^2(3+3x) より,
F(a)F(b)F(c) = 27abc ＋ G(a)･D_a ＋ G(b)･D_b ＋ G(c)･D_c
≧ 27abc ＋ (1-a)^2(3+3a)･D_a ＋ (1-b)^2(3+3b)･D_b ＋ (1-c)^2(3+3c)･D_c
≧ 27abc ＋ (1-a)^2[(f^)a + (9f/2)(b+c)] ＋ (1-b)^2[(f^2)b + (9f/2)(c+a)] ＋ (1-c)^2[(f^2)c + (9f/2)(a+b)].
363 名前：362 mailto:sage [04/08/29 18:19]: >352
等号成立は a=b=c=1 のとき。

[362]の]訂正
D_の下限を２とおりに・・・
364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/30 11:56]: >360 (1)
0 = |Σ[k=1,m] x_k↑ |^2 = Σ[k=1,m] |x_k|^2 ＋ Σ[1≦i<j≦m] 2（x_i, x_j）
= Σ[1≦i<j≦m] {|x_i|^2 +|x_j|^2 +2（x_i, x_j）} － (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2
= Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2 － (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2.
365 名前：ぬるぽ [04/08/31 23:03]: >361　
　f=2 で十分と思われ．．．
　x<1 のとき F(x)> -x^2 +3> 2
　x>1 のとき F(x) = x^2(x^3-1)+3 > 3

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) 　＜ぬるぽ　
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/02 03:26]: いつもお世話になります、だめぽ不等式ヲタです。
いくつか入手したので、分からないのがあったら質問します。
よろしくお願いします。
　　＿＿＿　
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　懲りずに
　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ
367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 10:59]: >>352
F(x) = x^5 -x^2 +3 ≧ x^3 +2 だから次の［命題］に帰着する。
（証）F(x) - (x^3 +2) = x^5 - x^3 -x^2 +1 = (x^3 -1)(x^2 -1) ≧0.（終）

【命題】a,b,c≧0 ⇒ (a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2) ≧ (a+b+c)^3.
（略証）下の補題より、
(a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2) = (abc)^3 + 2{(ab)^3 + (bc)^3 +(ca)^3} + 4(a^3 +b^3 +c^3) +8
= [(abc)^3 +1+1] + [(ab)^3 +a^3 +1] + [(ab)^3 +b^3 +1] +[(bc)^3 + b^3 +1]
+ [(bc)^3 +c^3 +1] + [(ca)^3 +c^3 +1] + [(ca)^3 +a^3 +1] + [a^3 +b^3 +c^3] +a^3 +b^3 +c^3
≧ 3{2abc + (a^2)(b+c) +(b^2)(c+a) +(c^2)(a+b)} + a^3 +b^3 +c^3
= (a+b+c)^3.　
等号成立は a=b=c=1 のとき.（終）

【補題】（相加相乗平均）
x+y+z≧0 ⇒ [x^3 +y^3 +z^3] ≧ 3xyz.
(証)　x^3 +y^3 +z^3 - 3xyz
= (x+y+z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx)
= (x+y+z){(x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2}/2 ≧0.　
　等号成立は x=y=z のとき. (終)
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 12:01]: >367 神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
> (a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2) ≧ (a+b+c)^3

Helderの不等式でもﾊｧﾊｧ…。
　(a^3+1^3+1^3)^(1/3)*(b^3+1^3+1^3)^(1/3)*(c^3+1^3+1^3)^(1/3) ≧ a+b+c
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/04 12:07]: 既出かもしれないけど、保守ついでに…。

a≧b≧c≧0, a+b+c=3 のとき、ab^2 + bc^2 + ca^2 ≦ 27/8

[2002 中国]らしい、確認できなかったけど…）
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/05 15:05]: >369
(a+b+c)^3 - 8(ab^2 +bc^2 +ca^2) -3abc = (a+5c)(a-b)^2 +(4a-4b+c)(b-c)^2 +c(a-b)(b-c) ≧ 0.
∴ ab^2 + bc^2 + ca^2 + (3/8)abc ≦ (1/8)(a+b+c)^3.
でもいいらしい。確認できなかったけど･･･

>368
Hoelder の式は >>137,>>139 にありまつ。略証は >>158
ぬるぽ　
371 名前：370 mailto:sage [04/09/05 18:12]: >369
(a+b+c)^3 - 8(ab^2 +bc^2 +ca^2) -3abc = (a+5b-5c)(a-b)^2 +(4a-4b+c)(b-c)^2 +c(a-b)(b-c) ≧ 0.
でないといけないらしい。すまそ．．．
372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/05 20:32]: 　　＿＿＿
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　ヽ::::... .ワ.....ノ　　|　|　ｶﾞｯ　
　　と　　　　）　　.|　|
　　　Ｙ　/ノ　　　人
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　　　＿/し'　／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>370
　　　（＿フ彡　　　　　　　/
373 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 00:47]: 任意の自然数ｎについて，∫[n-1/2→n+1/2]√ｘdx＜√ｎを示せ．
わからんぽ…教えてくり
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 01:02]: >>373
y=√xの点(n,√n)における接線をy=ax+bとするとax+b≧√x、等号はx=nのときのみ
なので
√n=∫[n-1/2,n+1/2](ax+b)dx＞∫[n-1/2,n+1/2]√xdx
375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 03:06]: >374
y=√x は上に凸なので．．．．．
ぬるぽ
376 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 18:09]: 任意の自然数ｎについて，∫_[n-1,n] √x dx ＞ {√(n-1)＋√n}/2 を示せ．
わからんぽ…教えてくり
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/08 21:16]: >>376
面積比べれ、台形と。
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/09 06:33]: 　　＿＿＿
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379 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 13:01]: もっとおもろいん無いのけ
380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/09 22:20]: >379

面白い問題おしえてーな
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 09:33]: >>357
x,y,zがベクトルのときの Hlawkaの不等式の等号成立条件は
「x,y,zが同じ向きのとき」または「x,y,zの少なくとも一つが0」
でよろしいですか？
382 名前：357 mailto:sage [04/09/10 20:21:09]: >381
等号成立は「x,y,z,wのうちの3つが同じ向きのとき」でつ。
このとき x+y+z+w=0 から他の1つは逆向きとなり、x,y,z,wは共線または0でつ。
「x,y,zの少なくとも一つが0」であっても等号が成立するとは限りません。
ぬるぽ
383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 21:44:27]: 【Hlawkaの不等式】
任意のベクトル x,y,z に対して
|x|+|y|+|z|+|x+y+z| ≧ |x+y|+|y+z|+|z+x|

x,y,zのうちの少なくとも一つ、例えば z=0のとき
(左辺) = (右辺) = |x|+|y|+|x+y|

y=px, z=qx (p,q>0) のとき、
(左辺) = (右辺) = 2(1+p+q)|x|
384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 23:03:48]: 　　＿＿＿
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　ヽ::::... .ワ.....ノ　　|　|　ｶﾞｯ　
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　　　＿/し'　／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>382
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385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 00:09:08]: >382の切腹まだぁ？
386 名前：382 mailto:sage [04/09/11 01:01:59]: >385
等号成立は「x,y,z,wが共線で、その3つが同じ向きのとき」でつ。
このとき x+y+z+w=0 から他の1つは逆向きとなりまつ。（0↑はどの方向とも共線とする）

すみません、間違ってました。
死んでお詫びを…

　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　　（´Д｀　）　　　
　　　　　　　 / 　y/　ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　　（ノノノ | | | l ）
387 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 14:27:44]: 【問題】
f(x),g(x)は 0≦x≦1で連続とし、f(0)=0, f(x)>x, g(1)≦1 を満たし、
f(x)/x, g(x)/x はともに狭義の単調増加であるとする。このとき
　0<x<1 で f(g(x)) ≦ f(x)g(x)/x ≦ g(f(x)).
を示してくださいです。　〔R.P.Boas: Math.Magazine,５２(1979)〕
388 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 15:01:40]: 不等式（ヒルベルト）でげす。

1/p＋1/q=1, p>1, f(x)>0, g(y)>0 (x≧0,y≧0) としまする。

{∫_[0,∞) f(x)^p dx}^(1/p)｛∫_[0,∞) g(x)^q dy}^(1/q) > {sin(π/p)/π}∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy

を示してくださいです。

俺にはｻﾊﾟｰﾘ
389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 19:04:31]: 　　＿＿＿　
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　|::::: (●　(● |　ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ
390 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 19:12:36]: >>387
f(x),g(x)は 0≦x≦1で0≦f(x)≦1とか0≦g(x)≦1とか仮定していいの？
でないとf(g(x))とかg(f(x))とかかんがえるとき困るとおもうんだけど。
391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 22:42:02]: >>388
まず極座標(r,θ)に変換して、rについてヘルダーの不等式を使う。
t = 1/p, tanθ = s とすると、
∫[0,∞) (1+s)s^t ds = π/sin(πt) (0<t≦1/2)を示せばよいことがわかる。
t ≦ 1/2 かつ t が有理数のときは留数定理で計算できる。
tについての連続性からt ≦ 1/2でもこの等式は成立する。
392 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 22:46:44]: 分かスレ１８５にありますた。

513 ：１３２人目の素数さん：04/09/12 13:57:18
a,b,c,d>0 ならば (a+b+c+d)^3 - (a^3+b^3+c^3+d^3) ≧ 15abcd(1/a+1/b+1/c+1/d)
を示してくださいです。

science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1094542985/513,547
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 22:47:36]: 訂正　∫[0,∞) (1+s)s^t ds →　∫[0,∞) 1/{(1+s)s^t} ds
394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 23:16:42]: >>392
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1094542985/547
で解決したんじゃないの？
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/13 03:12:52]: >394
ここは不等式の収集場所だからいいのれす。
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 08:03:10]: >393
> ∫[0,∞) 1/{(1+s)s^t} ds = π/sin(πt) (0<t<1)

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店
　p.242 [例]
　p.264 練習問題(5)-(8)[注意]
397 名前：１３２人目の素数さん [04/09/16 02:17:47]: マルチ
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/16 11:36:25]: >392
【類題】n≧3, a_1～a_nのk次の対称式をＳ_k とおくと、
(Ｓ_1)^3 - Σ[k=1～n](a_k)^3 ≧ {6(n+1)/(n-2)}Ｓ_3.

（略証）
左辺 - 右辺 = 3(Ｓ_1･Ｓ_2 - Ｓ_3) - {6(n+1)/(n-2)}Ｓ_3
= [3/(n-2)]{(n-2)Ｓ_1･Ｓ_2 - 3nＳ_3}

(n-2)Ｓ_2･Ｓ_1 －3nＳ_3
= (n-2)Σ[i<j] a_i･a_j Σ[k=1～n] a_k - 3nΣ[i<j<k] a_i･a_j･a_k
= (n-2)Σ[i<j] a_i･a_j･(a_i+a_j) - 6Σ[i<j<k] a_i･a_j･a_k
= Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}{(a_i)^2 +(a_j)^2} - Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}2a_i･a_j
= Σ[i<j] {Σ[k≠i,j]a_k}(a_i-a_j)^2 ≧ 0.
ぬるぽ
399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/16 14:25:23]: 　　＿＿＿
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　ヽ::::... .ワ.....ノ　　|　|　ｶﾞｯ　
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　　　＿/し'　／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>398
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400 名前：398 mailto:sage [04/09/17 11:52:08]: >392
【類題】n≧r≧1, a_1～a_n>0, j次の基本対称式をＳ_jとおくと、
　(Ｓ_1)^r －Σ[k=1～n](a_k)^r ≧ {((n^r)-n)/Ｃ[n,r]}Ｓ_r,
　等号成立は r=1,2, n=1 または a_1=･･･=a_n のとき。
　Ｃ[n,r]は2項係数でつ。
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/17 16:59:01]: >398の最後の式変形は、解読するのにすごく時間が掛かった。
>400は、もっと大変そうな予感…。
402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/21 13:00:47]: 任意の実数a,bに対して、a^2+b^2+1 ≧ (√2)a(b+1) を示せ。
403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/21 21:59:03]: >402
(a^2 +b^2 +1)^2 - 2{a(b+1)}^2
= a^4 +2(a^2)(b^2 +1) +(b^2 +1)^2 -2(a^2)(b^2 +2b +1)
= a^4 -2(a^2)(2b) + (2b)^2 + (b^2 -1)^2
= (a^2-2b)^2 + (b^2 -1)^2 ≧0.
∴ a^2 +b^2 +1 ≧ √2 |a(b+1)|.
404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/21 22:17:09]: >402
2(b^2 +1) = (b+1)^2 + (b-1)^2 ≧ (b+1)^2.
∴ 左辺 = a^2 + (b^2 +1) ≧ 2|a|√(b^2 +1) = (√2)|a(b+1)| ≧ 右辺.
等号成立は a=√2, b=1 のとき。
ぬるぽ
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/22 07:49:20]: >402
(1/2)a^2 + b^2 = (√2)ab + (a/√2 -b)^2 ≧ (√2)ab, 等号は a/(√2)=b.
(1/2)a^2 + 1^2 = (√2)a　+ (a/√2 -1)^2 ≧ (√2)a,　等号は a/(√2)=1.
辺々たす。
ぬるぽ
406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/23 14:03:31]: キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
405の解き方には全く気づきませんでした
　　＿＿＿
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　　　＿/し'　／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>403-405
　　　（＿フ彡　　　　　　　/
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/25 00:15:05]: 既出だったらスマソ。
正の数 a,b,c に対して、次の不等式を示せ。

1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)
408 名前：１３２人目の素数さん [04/09/25 17:28:13]: ∑[k=1→n]1/2^k＜(n/(2^n))∑[k=0→n](nCk)/(2k+1)を証明せよ

ムズ
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/26 02:15:02]: >400
降参です。
模範解答を教えて下さい。
410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/26 08:35:46]: >>400
相加相乗つかうだけじゃないの？
以下１以上の整数nと整数1≦r≦nを固定する。
D={(di)∈Z^n | diは非負実数}、d∈Dと不定元X1･･･Xnに対し
X^d=Π[i=1,n]Xi^diと書く。Πr={(πi) | π1≧π2≧･･･は非負整数列で∑πi=r}、
π∈Πに対しd(π)=(π1,π2,･･･πn)とする。
n次対称群G=SnをDに自然に作用させてG(d)={σ|σ(d)=d}とさだめる。以下をしめせばよい。
----
またπ∈ΠにたいしてS(π)=∑[σ∈G]X^(σ(d(π)))とする。このとき任意の正の実数の
組(x1,･･･xn)にたいしてS(π)(x1,･･･,xn)≧(n!/C[n,r])Sr(x1,･･･,xn)、等号成立はπ1=π2=･･･πr=1のとき
またはx1=x2=･･･=xnのとき。
(証明)d0=(1,1,･･･,1,0,･･･0,)(最初のr個が1である多重次数)とおく。
このとき相加相乗平均の関係式より
(1/r)∑[σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{σ(d(π))}≧(Π[σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{σ(d(π))})^(1/r)=x^d0
∴∑[σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{σ(d(π))}≧rx^d0
∴∑[τ∈G,σ∈<(1,2,3,･･･,r)>]x^{τσ(d(π))}≧r∑[τ∈G]x^τ(d(0))
等号成立は主張の等号成立条件が成立するとき。左辺はrS(π)
であり右辺は(n!/C[n,r])Sr(x1,･･･,xn)。
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/27 08:33:20]: >408
右辺 = {n/(2^n)}Σ[k=0,n] Ｃ[n,k]/(2k+1)
= ∫_[x=0,1] {n/(2^n)}Σ[k=0→n] Ｃ[n,k] x^(2k) dx
= ∫_[x=0,1] n{(1+x^2)/2}^n dx
> ∫_[x=0,1] n{(1+x^2)/2}^(n-1) xdx
= ∫_[u=1/2,1] n{u^(n-1)} du
= [u^n](u:1/2→1)
= 1-(1/2)^n
= Σ[k=1→n] 1/(2^k)
= 左辺.
ここに u=(1+x^2)/2 ≧x, du=xdx.
ぬるぽ
412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/27 22:15:18]: >>411
すばらしいね。
うまく最後まで持っていくところは感銘を覚える。
ぬるぽ
413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/28 20:31:01]: 分かスレ１８７にありますた。

459 ：１３２人目の素数さん：04/09/28 18:22:22
（前略）
0＜ｂ＋ｃ，0＜ｃ＋ａ，0＜ｃ＜ａ＋ｂならば，1/(ａ＋ｂ) ＜ 1/(ｂ＋ｃ) ＋ 1/(ｃ＋ａ)
の証明を教えてください．

science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1095840922/459,460
414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 15:34:11]: 460 ：１３２人目の素数さん：04/09/28 18:40:18
>>459
(a+b)(a+b+2c)-(b+c)(c+a)
= (a+b)^2 +2(a+b)c -(c^2) -(a+b)c-ab
= (a+b)^2 +(a+b)c -(c^2) -ab
= (a^2)+ab+(b^2) +c(a+b-c) > 0

(b+c)(c+a) < (a+b)(a+b+2c)
1/(a+b) < (a+b+2c)/{(b+c)(c+a)} = {1/(b+c)}+{1/(c+a)}
415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 15:42:57]: 不等式のコレクションがイパーイ！
(;´Д`)ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ／/ア／/ア！！

a,b,c,d は実数。a^2+b^2≦1 のとき次を示せ。
　(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1) ≦ (ab+cd-1)^2
416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 15:46:14]: 正の数 a_1,…,a_n が、
　 1/(a_1+1998) + … 1/(a_n+1998) = 1/1998
をみたすとき、次を示せ
　 {(a_1…a_n)^(1/n)}/(n-1) ≧ 1998
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 15:49:33]: 正の数 a,b,c,d が abcd=1 をみたすとき、次を示せ。
　 (a^3+b^3+c^3+d^3) ≧ max{a+b+c+d, (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)}
418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 16:26:25]: >415-417をたのもー

　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも～♪
　　　　　　ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも～♪
　　　　　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　　 `ヽ　r､丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　ｲ/"
　　　　　　　＼　ヽ　ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ｀"ヽ､
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 22:45:45]: >417
相加相乗の関係（Ｒべき）より、0≦r≦1 に対して
　(1-r)･a^n + (r/3)(b^n +c^n +d^n) ≧ a^{n(1-r)}･(bcd)^(nr/3) = (abcd)^(nr/3)･a^s.
ここに、s=n(1-4r/3) とおいた。
文字変数を巡回的に入れ替えて加えると、
　a^n +b^n +c^n +d^n ≧ (abcd)^(nr/3)･(a^s +b^s +c^s +d^s)
r=(3/4)(n-1)/n のとき s=1, r=(3/4)(n+1)/n のとき s=-1.
ぬるぽ
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 23:19:08]: >415
c^2+d^2≧1 のときは左辺≦0≦右辺より明らか。
c^2+d^2≦1 のときは、0 ≦ 1-a^2 -b^2 ≦ 1-2ab, 0 ≦ 1-c^2-d^2 ≦ 1-2cd より、
左辺 ≦ (1-2ab)(1-2cd) ≦ (1/4){(1-2ab)+(1-2cd)}^2 = (1-ab-cd)^2 = 右辺.
ぬるぽ
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 23:37:05]: 神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！！　いつもありがとうございます。
　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!　　　＿_ 　 ∩　　　　　　　　　　　 ∩ ＿
　　　　　　　　-´─- ､＼H- 、_,,,,.....．イﾍへ、_/７'´＿~二ﾆ
　　　　　　ｒ=＝⊂ｴﾆ/__::_:::＼::／／ハ::::::::V´二二二
　　　　　　　　ｌ　　　／::/:::::::::::＞::::::::::/::ゞ;ｌ;::::::八コ⊃　/
　　　　　　　　 l　／/::/:::/:::／::::::::::::/:ｉ::l:::ｌ::ｌ:::::::::::!ヽ＼
　　　　　　　　　|/::/:::/:::/::/::/|:|:::::／|::|:::|::|!:l:::::::::::|::::ｌ　＼
　　　　　　　　 /|:/|::/:|:::|:::||::|_,!|／::::::!:||::ｊ::|!::l::::::::::|::::::l＿ノ
　　　　　　　 //.|! .!::|::|::|ゞ|V_ｉ:|;､:::::::/ｊﾉjﾑﾉ|/!:::ｌ:::::l:::::::ｌ
　　　　　　 //　　 .|::|::|;;|/〇:ﾞli　ゞノ　ｆl〇::lﾄ |::::ｊ::::ｌ_::::::|ｌ
　　　　　__ `ー-､　|::|::ｆ＾ﾍ.ゞ:ﾉｊ　　　　{|ゞ::ﾉｊ !:::/:::ｊﾘ::∧!　／
　　　　/ 　ｌ　　＼!:|:八! ｀¨´　ｒｰ-ｖ、｀`¨´ ｌ:::/::/ノ　　K´
　 ,．- !､_. {　　　//|:ﾄ;:::::ゝ､.　　!　　ﾉ　　　_ﾉ:/!::/:||　　 |ｌ
. ｊ　　__　）ﾞｉ＿//　ゞｆ⌒ゞ=＞_`_ﾆ　- ェヱ:/〆し||　　 |ｌ
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422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/30 05:46:35]: >415の類題
a,b,c,d は実数。a^2+b^2≦1 のとき次を示せ。
　(a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1) ≦ (ac+bd-1)^2
423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/30 11:59:31]: >422
c^2 +d^2 ≧1 のときは左辺≦0≦右辺で明らか。
c^2 +d^2 ≦1 のときは、(a,b)=ｒ↑, (c,d)=Ｒ↑, ｒ↑･Ｒ↑= s とおくと
1-a^2-b^2=1-r^2, 1-c^2-d^2=1-R^2, 1-ac-bd =1-s, s≦min(rR,2-rR) で、
右辺－左辺 = (1-s)^2 - (1-r^2)(1-R^2) = (r-R)^2 + (rR-s)(2-rR-s) ≧0.
ぬるぽ
424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/30 22:16:33]: ＞４１９
＞相加相乗の関係（Ｒべき）

なんですか、それは？
425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 11:37:32]: >416
a_k/1998 = x_k とおくと、Σ[k=1,n] 1/(1+x_k) - 1 = 0.
(1+x_1)(1+x_2)･････(1+x_n) を掛けて通分すると
Σ[k=0,n] (n-k)Ｓ_k －Σ[k=0,n] Ｓ_k =0.
ここに、Ｓ_k は {x_1,x_2,････,x_n} のk次の基本対称式,
相乗平均 (x_1･x_2･････x_n)^(1/n) = (Ｓn)^(1/n) =u.
0 = Σ[k=0,n] (n-k-1)Ｓ_k
≧ Σ[k=0,n] (n-k-1)Ｃ[n,k]u^k 　　（相加相乗平均）
= Σ[k=0,n] (n-k)Ｃ[n,k]u^k －Σ[k=0,n] Ｃ[n,k]u^k
= nΣ[k=0,n-1] Ｃ[n-1,k]u^k －Σ[k=0,n] Ｃ[n,k]u^k
= n{(1+u)^(n-1)} －(1+u)^n
= (n-1-u){(1+u)^(n-1)}.
∴ u/(n-1) ≧ 1.
ぬるぽ
426 名前：419 mailto:sage [04/10/01 16:56:12]: >424
相加相乗の関係について
　a,b,c,････≧0, r,s,t,････≧0, r + s + t + ･･････ = 1 のとき
　a･r + b･s + c･t + ･････ ≧ (a^r)(b^s)(c^t)････.

べき r,s,t,････∈Ｑ（有理数）の場合、通分すれば相加相乗平均に帰する。
べき r,s,t,････∈Ｒ（実数）の場合は、連続性による。（やや面倒）
427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 21:30:22]: >426
(;´Д`)ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ／/ア／/ア！！

文献の紹介をキボンヌ。
428 名前：426 mailto:sage [04/10/02 01:36:26]: >427
　↓岩波数学辞典の付録の公式の不等式のところ。

　ａ_1,ａ_2, ･････ ,a_n≧0 のとき・・・・・また重みつき平均値について,
　∑[ν=1,n] λ_ν・ａ_ν ≧ Π[ν=1,n] ａ_ν^λ_ν （∑[ν=1,n] λ_ν =1, λ_ν>0）.
　（略証）y=Ln(x) が上に凸であることからJensenの定理を使って導く。
　ぬるぽ
429 名前：426 mailto:sage [04/10/02 02:02:12]: 　y=exp(x) が下に凸であることから導いてもよい。
430 名前：425 mailto:sage [04/10/02 14:27:30]: >416
a_k/1998 = x_k とおく。
【補題】(Klamkin,1974)
　x_k>1 ⇒ ∑[k=1,n] 1/(1+x_k) ≧ n/(1+u), ただし u = (x_1･x_2･･････x_n)^(1/n)：相乗平均。
（略証）nに関する帰納法による。
　x_kがすべて等しいときは明らかに成立するので、 u は x_n と x_{n-1} の間にあるとしてよい。
　いま y_n =u, y_{n-1} =x_n･x_{n-1}/u とおくと積は不変で、和は
x_{n-1} + x_n - y_{n-1} - y_n = (u-x_{n-1})(x_n-u)/u ≧0 だけ減少する。
∴ 1/(1+y_{n-1}) + 1/(1+y_n) ≦ 1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n).
　｛x_1 ････ x_{n-2}, y_{n-1}｝の n-1 個で考えると、相乗平均はu.
∴帰納法の仮定(n-1)により、
　∑[k=1,n] 1/(1+x_k) ≧ ｛∑[k=1,n-2] 1/(1+x_k) + 1/(1+y_{n-1})｝ +1/(1+u)
　≧ (n-1)/(1+u) + 1/(1+u)
　= n/(1+u).
　ぬるぽ
431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 20:07:46]: (;´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ／lア／lア！！

参考文献をキボンヌ！
432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 20:29:35]: (Klamkin's Inequality)

-1 < x,y,z < 1 のとき、
　 1/{(1-x)(1-y)(1-z)} + 1/{(1+x)(1+y)(1+z)} ≧ 2
433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 00:53:28]: >432
　相加相乗ハァハァと･･･
　左辺 ≧ 2/√{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)} ≧ 2.
　ぬるぽ
434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 02:55:14]: 【問題】正の数 a,b,cに対して、次式を証明せよ。

(1) \sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}
　　　≧ abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}

(2) \sqrt(a^4+b^4+c^4) + \sqrt(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
　　　≧ \sqrt(a^3b+b^3c+c^3a) + \sqrt{(ab^3+bc^3+ca^3)

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　勃起しますた。ﾊｧﾊｧ…
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）
435 名前：430 mailto:sage [04/10/03 15:11:14]: >416
（430の続き）
【補題】の条件を、 ∀(i≠j); x_i･x_j -1 >0 に緩めても成立する。
（略証）　1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n) = 1 - [x_{n-1}･x_n -1]/[1-(x_{n-1}+x_n)+x_{n-1}･x_n] は (x_{n-1}+x_n) について単調増加。
∴ 1/(1+y_{n-1}) + 1/(1+y_n) ≦ 1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n).

[416]では 1 > 1/(1+x_i) + 1/(1+x_j) = 1 - [x_i･x_j -1]/[(1+x_i)(1+x_j)] により x_i･x_j -1 >0.

>434
　(2) 相加相乗とコーシーでハァハァと･････
　{√(a^4 +b^4 +c^4) + √[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}／2 ≧ {(a^4 +b^4 +c^4)[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}^(1/4) ≧ √(a^3･b +b^3･c +c^3･a)
　{√(b^4 +c^4 +a^4) + √[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}／2 ≧ {(b^4 +c^4 +a^4)[(ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2]}^(1/4) ≧ √(a･b^3 +b･c^3 +c･a^3)
　辺々たす。
　ぬるぽ
436 名前：387 mailto:sage [04/10/03 16:08:07]: >390
　f(0)=0, 0≦g(x)≦1 ですが、f(x)≦1 は不要。
　たとえば f(x)=arcsin(x) も可。
　大関信雄・大関清太共著：「不等式への招待」,近代科学社 (1987) p.62の定理
437 名前：435 mailto:sage [04/10/03 20:23:45]: >434 (1) ハァハァ
　右辺 = abc･{1+[(a^2 +bc)(b^2 +ca)(c^2 +ab)/(abc)^2]^(1/3)} ≡ abc(1+u).
　左辺 = √{(abc)^2 +(a^2 +bc)(b^2 +ca)(c^2 +ab)} = abc･√{1+(u^3)}.
　u^3 = 8 +{bc/(a^2)+(a^2)/bc -2} +{ca/(b^2)+(b^2)/ca -2} +{ab/(c^2)+(c^2)/ab -2} ≧ 8.
∴ u ≧ 2.
　(左辺)^2 -(右辺)^2 = (abc)^2･{(1+u^3)-(1+u)^2} = (abc)^2･u(u+1)(u-2) ≧0.
∴ 左辺 ≧ 右辺.
　ぬるぽ
438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/05 17:05:22]: >430
>いま y_n =u, y_{n-1} =x_n･x_{n-1}/u とおくと積は不変で、

(y_kの積)
= (x_kの積)^2/{x_1*x_2*u^(n-2)}
= (x_kの積)u^2/(x_1*x_2)
≠(x_kの積)
だと思うのですが…
439 名前：430 mailto:sage [04/10/05 18:21:05]: >438
分かりにくくてすまそ。全部書けば、
　y_k = x_k (1≦k≦n-2),　y_{n-1} = x_{n-1}･x_n/u,　y_n = u.
したがって
　y_{n-1}･y_n = x_{n-1}･x_n,　　(y_kの積) = (x_kの積) ≡ u^n.
ってことでつ。
ぬるぽ
440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/05 21:33:59]: 嗚呼、成程。
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 01:38:03]: この機会に、根号のついた不等式でハァハァしちゃうぞ！

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　　　　　　　　　。　┃　　 Σ　　（⌒ゞ　,l,　､'' 　│ 　て　く
　　　　　　　　　　　┠─ム┼ 　　ゝ,,ﾉ　ﾉゝ.　､,,　.┼ ｧ　Ζ┨　ミｏ''｀
　　　　　　　　　。､ﾟ`。､　　　i／　　　レ' o。了　､''　×　个ｏ
　　　　　　　　○　 ┃ 　　`､,~´＋√ ▽　　',!ヽ.◇　　　ｏ┃
　　　　　　　　　　 ┗〆━┷　Ｚ,.'　/┷━''ｏヾｏ┷+＼━┛,゛；
　　　　　　ヾ　　　⊿　　　　　　　　　　　　　　　'、´　　　　∇
442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 01:41:17]: (1) [Carson's Inequality]　a,b,c>0に対し
　\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)/8} ≧ \sqrt{(ab+bc+ca)/3}

(2)　a,b,c,d>0に対し
　\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)/4} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}

(3)　a,b,c>0に対し
　(|a-b|+|b-c|+|c-a|)/3 + \sqrt[3]{abc} ≧ (a+b+c)/3

(4) [1998,Hong Kong]　a,b,c>1に対し
　\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1} ≦ \sqrt{a(bc+1)}

(5) [1998 APMO]　a,b,c>0に対し
　(1+ a/b)(1+ b/c)(1+ c/a) ≧ 2(1+ (a+b+c)/\sqrt[3]{abc})

(6) [1997 Latvia]　a,b>0、nは自然数のとき、
　1/(a+b) + 1/(a+2b) + … + 1/(a+nb) < n/\sqrt{a(a+nb)}

(7) [1997 Hong Kong]　a,b,c>0に対し
　abc(a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2})/{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)} ≦ (3+\sqrt{3})/9

(8) [1999 Austria-Poland]　a,b≧0に対し
　{(\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2})/2}^(3/2)
　 ≧ (a+\sqrt{ab}+b)/3
　 ≧ (a+\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}+b)/4
　 ≧ {(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2}^2
443 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/06 11:03:05]: さて、
xを0より大きい実数とするとき、
Γ(x+1)≥(x/3)^x
となることを証明せよ。
444 名前：数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo mailto:http://blog.livedoor.jp/fuse3/ [04/10/06 13:27:14]: このスレまじ勃起する
445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 13:32:46]: >443の馬鹿がまた荒らしとる！
446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 13:49:19]: 俺は不等式ヲタの神々とひっそりとﾊｧﾊｧしたいのに、
糞kingは、糞レスしかできないくせにage荒らししやがる！

>>194-204
447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 15:37:26]: 　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|　:|
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|i　|　／>>408￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　| |　　　　　　 | |　　　ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃|　＜　nCrと聞いちゃ、黙っていられ・・・・
　| |　　　　　　 | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.|　|　あれ？開かない・・・？
　| |￣￣￣￣￣￣| |　　　　　　 |┃|:. ,|　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|　i|
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|　:|
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|i　|
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|, :.|
　|_|====――●==|_|＿＿＿＿＿＿|┃|　i|＿＿＿＿＿＿＿
448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 15:43:13]: >>408
示すべき不等式を変形すると (2^n-1)/n < Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1)
>>411のその証明を真似ると、
　Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1) < Σ[k=0,n]C[n,k]/(k+1) = … （以下同様）
結局
　(2^n-1)/n < Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1) < (2^{n+1}-1)/(n+1)
　　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　|┃三　.／　 nCr ＼　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／ |　　／　もっといい
　　　　|┃　≡|::::: (●　(●|　＜　　評価式はできないかなぁ…
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ　＼　　　ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ　　
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 16:48:04]: 自然数nに対して

Σ[k=0,n]C[n,k]/(2k+1)
　≦ Σ[k=0,n]C[n,k]/(k+2)
　= ∫[0,1]Σ[k=0,n]C[n,k]x^{k+1}dx
　= ∫[0,1]x(1+x)^kdx
　= （部分積分して）
　= (n*2^{n+1}+1)/(n+1)(n+2)
　　　＿＿＿
　　.／　 nCr ＼　　　まだいけるかなぁ
　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::... .∀....ノ／　　ﾁﾝ　☆
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 20:22:56]: >442
　(8)の初めの不等号は a or b→0 の場合は成り立たな伊予柑....
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 04:31:33]: 　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|　:|
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|i　|　／>>442,450￣￣￣￣￣￣￣￣
　| |　　　　　　 | |　　　ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃|　＜　確かにAB=0のとき成り立たないね、(8)番
　| |　　　　　　 | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.|　|　あれ？開かない・・・？
　| |￣￣￣￣￣￣| |　　　　　　 |┃|:. ,|　＼＿ (8)は1993年の問題で、…
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|　i|
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|　:|
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|i　|
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|, :.|
　|_|====――●==|_|＿＿＿＿＿＿|┃|　i|＿＿＿＿＿＿＿
452 名前：442(8)の訂正 mailto:sage [04/10/07 04:38:51]: >450 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ
(8)は引用元の問題が既に誤植でした。
別のところから探してきて確認したら、正しい形は以下の通りです。

(8) [1993 Austria-Poland]　a,b≧0に対し
　{(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})/2}^(3/2)
　 ≧ (a+\sqrt{ab}+b)/3
　 ≧ (a+\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}+b)/4
　 ≧ {(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2}^2

　　　　　　　　∧＿∧　　それでは、不等式solverの皆様方、
　　　　　　　（´Д｀　）　　よろしくお願いします。　
　　　　　　　 / 　y/　ヽ　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ　　　　　　とりあえず、死んでお詫びを…　　
　　　　　　（ノノノ | | | l ）
453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 04:58:07]: >444
不等式に勃起する君も、今日から不等式ヲタだ！

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　勃起しますた。ﾊｧﾊｧ…
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 01:43:02]: >443
　Γ(x+1) = xΓ(x) = x∫_[t=0,∞) t^(x-1) e^(-t) dt
　 ≧ x∫_[t=0,x] t^(x-1) e^(-t) dt
　 ≧ e^(-x)∫_[t=0,x] x･t^(x-1) dt
　 = e^(-x) [t^x](t=0,x)
　 = e^(-x) (x^x)
　 = (x/e)^x.
ぬるぽ
455 名前：442(2)に追加 mailto:sage [04/10/08 05:46:03]: >>442(2)
a,b,c,d>0に対し
　\sqrt{(abc+bcd+cda+dab)/4} ≧ \sqrt[3]{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}
456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 05:52:30]: >>455
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0 は重解を含めて４個の正の解をもつ。
y=f'(x)のグラフを考えれば、f'(x)=0も重解を含めて３個の正の解 α,β,γ をもつ。
解と係数の関係を用いて、示すべき不等式を α,β,γ で表すと
　 (αβ+βγ+γα)/3 ≧ \sqrt[3]{(αβγ)^2}
となる。これは相加相乗平均の関係だから不等式は示された。
等号成立条件は α=β=γ で、このとき y=f(x) のグラフを考えて a=b=c=d.
(*ﾟ∀ﾟ)=3
457 名前：442に追加 mailto:sage [04/10/08 06:00:38]: もひとつルートの不等式追加。

(9) 実数 a,b が ab>0 をみたすとき、
　\sqrt[3]{a^2b^2(a+b)^2/4} ≧ (a^2+10ab+b^2)/12
458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 08:37:31]: ちょっと話し変わるけど、
www.kalva.demon.co.uk/short/soln/sh01a3.html

この不等式の証明で、CS不等式を使った後
　√{Σ(b_i)^2} ≦ 1
をどうやって示すのですか？リンク先の最後の行
　(b_1)^2 ≦ (x_1)^2/{1+(x_1)^2} = 1 - 1/{1+(x_1)^2}
の意味は分かりますが、b_2,… について同様にしても得られないのですが。
459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 10:00:59]: 　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ　＼~`"'ー､ﾉ　　　>458をたのも～♪
　　　　　　ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも～♪
　　　　　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　　 `ヽ　r､丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　ｲ/"
　　　　　　　＼　ヽ　ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
460 名前：高１連立不等式 [04/10/08 11:21:12]: 16x+260-13x+20≦300
を整理すると・・
3x≦20

整理途中の計算を教えて下さい
マジレス宜しく御願いしますm(__)m
461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 11:22:41]: そういう質問は質問スレに書け！
462 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 11:26:09]: ワロタ
463 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/08 11:36:44]: Re:>460
不等式の基本事項：
a≤bかつc≤dならば、a+c≤b+d.
任意のcに対して、a≤bとa+c≤b+cは同値。(*)
0<aかつ0<bならば、0<ab.
任意のc>0に対して、a≤bとca≤cbは同値。
(*)により、
16x+260-13x+20≤300
⇔16x+260-13x+20-280≤300-280.
464 名前：高１連立不等式 [04/10/08 11:51:20]: >>463ご丁寧に説明いただき有り難う御座いました
やっと、解く事が出来ました。
465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 12:19:22]: >458
(b_i)^2 = (x_i)^2/[1+(x_1)^2 +(x_2)^2 +...+(x_i)^2]^2
≦ (x_i)^2/[1+(x_1)^2 +(x_2)^2 +...+(x_{i-1})^2][1+(x_1)^2 +(x_2)^2 +...+(x_i)^2]
= 1/[1+(x_1)^2 +(x_2)^2 +...+(x_{i-1})^2] - 1/[1+(x_1)^2 +(x_2)^2 +...+(x_i)^2].
　∴ Σ[i=1,n] (b_i)^2 < 1．
　と読むんだろうな。
ぬるぽ
466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 15:53:04]: ぬるぽ神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！

そうか、その手があったか！！ありがとうございますです！！！
　　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼　　　　　　　　 .┏━┓┏━┓
　┏┛┗┓┃┏┓┃　　　　　　／　　　　　≧　　　　　＼　　　　　　　┃ 　┃┃　 ┃
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467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 23:48:58]: >457
　(9)の不等号は逆向きの悪寒....
468 名前：457の訂正 mailto:sage [04/10/09 00:01:13]: >467 仰せのとおりにございます。

(9) 実数 a,b が ab>0 をみたすとき、
　\sqrt[3]{a^2b^2(a+b)^2/4} ≦ (a^2+10ab+b^2)/12

　 ,､|,､
　(f⌒i
　 U j.|
　　UJ
　　：
　 ‐＝‐
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/09 22:49:28]: >442 (1～5)
(1) (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca) = {(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2 ≧0.
　　(abc)^(2/3) ≦ (ab+bc+ca)/3 ････相加相乗平均
　　∴ (左辺)^3 = {(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}/8 = (1/8)[(√3)-1/(3√3)](ab+bc+ca)^(3/2) ={(ab+bc+ca)/3}^(3/2) = (右辺)^3.

(2) 左側: (a^2 +b^2 +････)/n - {(a+b+････)/n}^2 = {1/(n-1)n}{[a^2+b^2] + ･･･ -(1/n)[a^2+b^2+2(n-1)ab] -････}
　　　= (1/n)^2 {[a^2 +b^2 -2ab] + ････}
　　　= (1/n)^2 {(a-b)^2 +････} ≧0.
　　右側: {(a+b+････)/n}^3 - (abc + ････)/Ｃ[n,3]
　　　= (1/n)^3 {a^3 +b^3 +････ +3(a^2b+b^2c+c^2a) +3(ab^2 +bc^2 +ca^2) + ････ +6(abc+････)} - (abc+････)/Ｃ[n,3]
　　　= {1/n^2Ｃ[n,3]}{(1/3)[a^3 +b^3 +c^3]････+ ((n-1)/2)[a^2b+b^2c+c^2a] +((n-1)/2)[ab^2 +bc^2 +ca^2] + ････+((n-1)(n-2)-n^2)(3n-2)(abc+･･･)}
　　　= {1/n^2Ｃ[n,3]}{(1/3)[a^3 +b^3 +c^3 -3abc]････+ ((n-1)/2)[a^2b+b^2c+c^2a-3abc] +((n-1)/2)[ab^2 +bc^2 +ca^2 -3abc]+･････} ≧0.

(3) u≧min(a,b,c) のとき、左辺 = 2(MAX-min) +3u ≧ 2MAX +min ≧ a+b+c =右辺.

(4) b,c≧1のとき、{√(b-1) +√(c-1)}^2 = bc - {√(b-1)√(c-1) -1}^2 ≦ bc.
　　∴ √(b-1) +√(c-1) ≦√(bc), 等号成立は 1/b +1/c =1.
　　同様に、a≧1, bc≧0 のとき {√(a-1) +√(bc)} ≦√{a(bc+1)}, 等号成立は 1/b + 1/c = a-1.

(5) 相加平均 ≧ 相乗平均 ≧ 調和平均より
　　 (1/3)(a+b+c)(1/a +1/b +1/c) -1 = (1/3){(a/b +b/a)+(b/c +c/b)+(c/a +a/c)} ≧ 2.
(2/3)(a+b+c)(1/a +1/b +1/c) ≧ 2(a+b+c)/[(abc)^(1/3)].
　　辺々たす。
　　ぬるぽ
470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/09 22:57:09]: >442 (6～7)
(6) nに関する帰納法による。
　　n=1のときは明らかに成立
　　(n+1)/√[a(a+(n+1)b)] - n/√[a(a+nb)] = [(n+1)/f -n]/√[a(a+nb)] = cd/[a+(n+1)b]
　　f = √{[a+(n+1)b]/(a+nb)} > 1,
　　c = (2n+1)/[(n+1)/f +n] > 1,
　　d = {a+(n/2)[1+1/(2n+1)]b}/√[a(a+nb)] > 1.
　　∴ 1/[a+(n+1)b] < (n+1)/√[a(a+(n+1)b)] - n/√[a(a+nb)].

(7) a^2 +b^2 +c^2 = (1/3){(a+b+c)^2 +(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} ≧ (1/3)(a+b+c)^2.
　　(a+b+c)(ab+bc+ca) = 9abc + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧ 9abc.
　　∴ abc{(a+b+c)/{(a^2 +b^2 +c^2)(ab+bc+ca)} ≦ abc{(a+b+c)/{(1/3)(a+b+c)^2 (ab+bc+ca)}
　　= 3abc/{(a+b+c)(ab+bc+ca)} ≦ 3/9.
　　abc{√(a^2 +b^2 +c^2)/{(a^2 +b^2 +c^2)(ab+bc+ca)} ≦ abc/{(1/√3)(a+b+c)(ab+bc+ca)}
　　= (√3)abc/{(a+b+c)(ab+bc+ca)} ≦ (√3)/9.
　　辺々たす。
　　ぬるぽ
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/09 22:58:39]: >442 (8～9)
(8) a^(1/6) =A, b^(1/6)=B とおく。
　　上： {[a^(2/3) + b^(2/3)]/2}^3 - {[a+√(ab)+b]/3}^2
　　= (1/8){A^4 +B^4}^3 - (1/9){A^6+(AB)^3+B^6}^2
　　= (1/8){A^12 +3(A^2B)^4 +3(AB^2)^4 +B^12} - (1/9){A^12 +2(A^3B)^3 +3(AB)^6 +2(AB^3)^3 +B^12}
= (1/72){A^12 -16A^9B^3 +27A^8B^4 -24A^6B^6 + 27A^4B^8 -16A^3B^9 +B^12)
　　= (1/72)(A-B)^4{(A^4 -B^4)^2 +AB(4A^2 +10AB +4B^2)(A^4 +B^4)} ≧0.

　　中： [a+√(ab)+b]/3 - [a^(1/3) +b^(1/3)][a^(2/3) +b^(2/3)]/4
　　= [A^6 +(AB)^3 +B^6] - [A^2 +B^2][A^4 +B^4]/4
　　= [A^6 -3A^4B^2 +4(AB)^3 -3A^2B^4 +B^6]/12
　　=(A-B)^2 {A^4 +2A^3B +2AB^3 +B^4}/12 ≧0.

　　下： [a^(1/3) +b^(1/3)][a^(2/3) +b^(2/3)]/4 - [(√a +√b)/2]^2
　　= (1/4)[a^(1/3) +b^(1/3) -2(ab)^(1/6)](ab)^(1/3)
　　= (1/4)[A^2 + B^2 -2AB](AB)^2
= (1/4)(A-B)^2 (AB)^2 ≧ 0.

　なお、{(a^r +b^r)/2}^(1/r) はrについて単調増加
　　(略証) r<R とすると、y=x^(R/r) は下に凸だから、
　　{(a^r +b^r)/2}^(R/r) ≦ (a^R +b^R)/2, {(a^r +b^r)/2}^(1/r) ≦ {(a^R +b^R)/2}^(1/R).

(9) (ab+ab+c^2)/3 ≧ (abc)^(2/3)　････相加相乗平均
　　c=(a+b)/2 とおく。
　　ぬるぽ
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/09 23:13:08]: 神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！いつもながら流石でございます。
ありがとうございます。今夜はタップリ抜けそうです。

　∧＿∧
（　；´∀｀）とにかく一発！　　　
人　Y　/ 　　　　　
(　ヽωつ ο°ｏ。　
（＿）＿）
473 名前：469 mailto:sage [04/10/09 23:26:51]: (2)は次式の略証でつ・・・
　a,b,c,･････>0 に対し
　√{(a^2 +b^2 +c^2 +･････)/n} ≧ (a+b+c+･････)/n ≧ {(abc+･････)/Ｃ[n,3]}^(1/3).

[455]は
　\sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4} ≦ \sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6} ?
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/09 23:40:28]: >473
嗚呼、またもや書き間違い。
[455]ですが仰せのとおりにございます。

　　　　　　　　　　r～～～～～
　　　＿_　　　　_ﾉうっうっうっ・・・
　／__　｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′
475 名前：cubism mailto:sage [04/10/10 00:30:03]: ↓分かスレ１８８から借用

404 ：１３２人目の素数さん：04/10/09 15:59:40
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,／|ﾐ=､
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_,-'"|.　　 |ﾐ|　　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　　　　 _,. -'' "￣~ﾞ三=-_､_　　　 _,.-'"　　 |.　　 |ﾐ|　　　!ﾐﾐﾐ|
　　　　　　　　　 ,,.-''"　r _､　　　　三三ﾀ_,.-''"　　　　 |　　|ミ|　 ,.彡ヾﾐ|
　　　　　　　　／　　　 i {ぃ}} 　　　 _ﾆ/　　　　　 -=三|　　｣ミﾋ彡彡ｲﾐヾ
　　　　　　　/,.､　　　 `--"　　　　　ﾆｌ　　　-=ﾆ三=-''レ彡ﾐﾐr'"　　|ﾐﾐﾐ|
　　　　　　ｌ {ゞ}　　　　i　　　　　　　　.ﾆl==三三ﾆ=''"　　,＞'"|ﾐ|　　　 |ﾐﾐﾐ|
　　　　　　.l　`" i_,,...-''| 　　　　　　ニ`=-=i'"　　　　|　　　|ﾐｌ,..-=彡ヾﾐ|
　　　　　_,.-!　　 !　　i　　　　　　　-ﾆ三三/ 　　　　 L.. -ﾆヾ|ヾ彡'='''"
　　　 l´,.- l 　　＼/　　　　　　 -ﾆ三三／　　　　　　　ヾ-‐''"
　　_.　 !　ｒi　l＼　　　　　　__--三三三='"
　 j'‘´l `´ |　!　 `　ミ三三三三三＝''"
　i',.. '´}　　|　|
　 l,.. r´　　 '´
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 01:01:50]: 世俗と離れた山奥で、ひっそりとやっている感じがたまらなく (ﾟ∀ﾟ) ｲｲｯ!
477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 07:10:14]: 不等式の証明問題って、両辺の文字の次数が一致するものばかりだと思っていた。
一致しなくても、積一定などの与えられた条件を使って書き換えたら一致するのとか。
そうじゃないのもあるって今ごろ知った。

【問題】正の数 a,b,c に対して、次の不等式を示せ。
　 1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 08:55:57]: >>430の補題の仮定 x_k>1 は、x_k≧1 でもOKですよね？
479 名前：430 mailto:sage [04/10/10 15:52:54]: >478
桶
>>118-129 も嫁
480 名前：473 mailto:sage [04/10/10 16:11:36]: >455 (474)
　(k次の基本対称式)/Ｃ[n,k] = Ｐ_k とおくと、問題は　(Ｐ_3)^(1/3) ≦ (Ｐ_2)^(1/2).

【定理】
　相加平均 = Ｐ_1 ≧ （Ｐ_2)^(1/2) ≧ (Ｐ_3)^(1/3) ≧ ･････ ≧ (Ｐ_n)^(1/n) = 相乗平均････(1).
　(略証)　補題の(2)をk乗して掛けあわせ、共通項を約せばよい。

【補題】
　Ｐ_{k-1}･Ｐ_{k+1} ≦ (Ｐ_k)^2 ･･････････････ (2).
　(略証)　f(x) ≡ (x-a)(x-b)････ = ∑[L=0,n] ((-1)^L)･Ｃ[n,L]･Ｐ_L･x^(n-L)
　　　　　g_k(x) ≡ {x^(k+1)}･(d/dx)^(n-k-1) f(x) = {n!/(k+1)!}･∑[L=0,k+1] ((-1)^L)･Ｃ[k+1,L]･Ｐ_L･x^L
　　　　　h_k(x) ≡ (d/dx)^(k-1) g(x) = ((-1)^(k+1))･(n!/2)[Ｐ_{k-1} -2Ｐ_k･x +Ｐ_{k+1}･x^2].
　　　　　f(x)=0 の根はすべて正の実数だから、ロルの定理により、g_k(x), h_k(x) についても同様である。
　　　　　h_k(x)=0 は実根をもつから、判別式Ｑ_k = (Ｐ_k)^2 - Ｐ_{k-1}･Ｐ_{k+1} ≧0. (終)

【参考書】
　「数学の問題=第(1)集」, 第21問日本評論社 (1977)
　E.F.Beckenbach and R.Bellman: "Inequalities", p.11, Ergebnisse叢書, Springer Verlag (1961)
　↑ >>84-86 の本

【別法】nに関する帰納法
　　>>263-271
　ぬるぽ
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 16:39:31]: 【参考書】
ビブンのことはビブンでする向きには
　G.H.Hardy, J.E.Littlewood, G.Polya共著, : 「不等式」, ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京
　　　　　細川尋史訳, A5, 450p. \4800, ISBN 4-431-71056-6
　D.S.Mitrinovic': "Analytical Inequalities", Springer-Verlag (1970)
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 19:57:11]: >>442(7) は、最小値の方は出ないでしょうか？
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 21:19:56]: >482
　a,b,cのうち1つだけ→0 のとき →0 と思われ．．．
　ぬるぽ
484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 04:14:43]: Mを正定数, a,b,cを実定数とする。
f(x)=ax^2+bx+c において |f(-1)|, |f(0)|, |f(1)|≦M ならば、
|x|≦1において |f(x)|≦5M/4 を示せ。
こやつめをたのもー。

a=0 のときは f(x) は一次式以下だから、区間の端点で最大最小値をとるので
|f(x)| ≦ max{|f(-1)|, |f(1)|} = M

a>0のときを考える。（a<0のときも同様にできる）
このとき f(x) は下に凸だから、グラフを考えると
|f(x)| ≦ max{|f(-1)|, |f(-b/{2a})|, |f(1)|} = \max{M, |f(-b/{2a})|}

ということで、|f(-b/{2a})|≦5/4 を示せれば一件落着だと思うのだけど、
そのあとが分からんちん。
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 06:14:32]: 訂正
>ということで、|f(-b/{2a})|≦5M/4 を示せれば…

軸の位置によって、|-b/(2a)|>1のときは
|f(x)| ≦ max{|f(-1)|, |f(1)|} ≦ M

|-b/(2a)|≦1のときは、D=b^2-4ac≧0のときには、
|f(-b/{2a})| の最大値を考えないといけないんだけど
|f(-b/{2a})| = |-b^2/(4a)+c| ≦ (|b|/2)*|b/2a|+|c| ≦ (M/2)*1+M = 3M/2

ここで、|2b|=|f(1)-f(-1)|≦2M、|c|=|f(0)|≦M を用いた。
5M/4にならんのですが…。
486 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/10/13 08:00:00]: 　｜ｆ（ｘ）｜
＝｜ｆ（－１）ｘ（ｘ－１）／２＋ｆ（０）（１－ｘ＾２）＋ｆ（１）ｘ（ｘ＋１）／２｜
≦Ｍ（｜ｘ（ｘ－１）／２｜＋｜１－ｘ＾２｜＋｜ｘ（ｘ＋１）／２｜）。

－１≦ｘ≦０のとき
　｜ｘ（ｘ－１）／２｜＋｜１－ｘ＾２｜＋｜ｘ（ｘ＋１）／２｜
＝１－ｘ－ｘ＾２
≦５／４。

０≦ｘ≦１のとき
　｜ｘ（ｘ－１）／２｜＋｜１－ｘ＾２｜＋｜ｘ（ｘ＋１）／２｜
＝１＋ｘ－ｘ＾２
≦５／４。
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 10:05:09]: >486
なるほど、その手がありましたか！激しくありがとうございます。
係数 a,b,c を f(-1), f(0), f(1) で表すんですね。

この条件の下で、同様に考えると |x|≦1において |f'(x)|≦4M
また、g(x)=cx^2+bx+a を考えると、|x|≦1において |g(x)|≦9M/4, |g'(x)|≦3M

となりますね。たぶん。
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 10:09:58]: [1992 MeXico]
正の数 a,b,c が a+b+c=3 をみたすとき、次の不等式を示せ。
6 < \sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3} ≦ 3\sqrt{5}

右側は Cauchy-Schwarz でも Jensen の不等式でも得られますが、
左側は一体どうやるのでせうか？たのも～。
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 11:30:30]: >487の訂正。
ぬーん、|g(x)|≦2M なのか…。

類題発見。京大1995後期理系３番
hw001.gate01.com/akiyoshi/pdf/95ks.pdf

はっきり言って、a≧0, b≧0 の条件は要らない。
絶対値がついているから a の符号はどっちでもいいし、
x=t,-tの場合を考えれば、bの符号もどうとでもなるし。

|f(x)|≦M の条件は強すぎると思う。
３箇所、例えば |f(-1)|, |f(0)|, |f(1)| ≦ M で十分じゃないの？
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 13:33:42]: >488
　√ は上に凸ゆえ 0<x<3 ⇒ (3+x)/2 < √(2x+3)
　辺々たす。
（3+2√3 も可能）
ぬるぽ
491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 16:38:13]: >490
ありがとうございまする。

0<x<3 において、ｙ＝(3+x)/2 と y=√(2x+3) のグラフを考えるんですね？
ｙ＝(3+√3)x/3 +√3 と y=√(2x+3) のグラフから、3+2√3 を出したんですね

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　|:::: 　＼ .／　|　そうか！
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　ヽ::::... .ワ.....ノ
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/15 06:43:55]: (1) 正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき、
　(1+a)(1+b)(1+c) ≧ 2(1+\sqrt[3]{b/a}+\sqrt[3]{c/b}+\sqrt[3]{a/c})

(2) x>0 に対し、
　[(x+ 1/x)^6-(x^6+ 1/{x^6})-2]/[(x+ 1/x)^3+(x^3+ 1/{x^3})] ≧ 6

(3) 1≦a≦b≦c≦4のとき、
　(a-1)^2 + (b/a -1)^2 + (c/b -1)^2 + (4/c -1)^2 ≧ 12-8√2
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　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ
493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/15 12:17:01]: >492
(1) 相加相乗平均より (b/a)^r +(c/b)^r +(a/c)^r ≧3.
左辺 = -1+(b+1 +1/a)+(c+1 +1/b)+(a +1/c) ≧ -1 +3{(b/a)^(1/3) +(c/b)^(1/3) +(a/c)^(1/3)}
≧ 2 + 2{(b/a)^(1/3) +(c/b)^(1/3) +(a/c)^(1/3)} = 右辺.

(2) x^6 +1/(x^6) +2 = {x^3 +1/(x^3)}^2 より,
　左辺 = (x+ 1/x)^3 - {x^3+ 1/(x^3)} = t^3 -(t^2 -3)t = 3t ??

(3) Σ[k=1,n](x_k)^2 - (1/n){Σ[k=1,n] x_k}^2 = (1/n)Σ[i≠j] (x_i-x_j)^2 ≧0 より
　左辺 ≧ 4{(a/1 +b/a +c/b +4/c)/4 -1}^2 ≧ 4([4^(1/4)] -1}^2 = 4(√2 -1)^2 = 4(3-2√2) = 右辺.
ぬるぽ
494 名前：493 mailto:sage [04/10/15 12:19:58]: 訂正
(2) 左辺 = (x+ 1/x)^3 - {x^3+ 1/(x^3)} = 3(x +1/x) ≧ 6.
495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/15 19:47:10]: >492
(1) [442]の(5)と同じ．．．

(3) r>1 のとき y=x^r は下に凸ゆえ、 {Σ[k=1,n](x_k)^r}/n ≧ {(Σ[k=1,n] x_k)/n}^r.
　∴ Π[k=1,n] a_k =Ｐ ⇒ Σ[k=1,n] (a_k -1)^r ≧ n{(1/n)(Σ[k=1,n] a_k) -1}^r ≧ n{Ｐ^(1/n) -1}^r
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/15 20:20:16]: >493-495
(ﾟ∀ﾟ) うひょっ！ありがとうございます。
(1)が442(5)と同じことに気づかなかったです…。
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/17 10:32:00]: (1) 0≦a,b,c,d≦1 と 0≦x≦1 に対して
　1/|x-a| + 1/|x-b| + 1/|x-c| + 1/|x-d| < 40

(2) [ASU 1969.14] 正の数 a_k に対して
　a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/4
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　　.／　 ≧ ＼　　　(2)を見ると Shapiro の巡回不等式を思い出すけど…。
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　＼|　　愛媛みかん　|
498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/17 10:46:50]: (3) [Ukrine 1992]
a≧b≧c>0 のとき
　(a^2-b^2)/c + (b^2+c^2)/a + (c^2-a^2)/b ≧ 3a-4b+c

(4) a≧b≧c≧d>0, a+b+c+d≧1 のとき
　7a^2+5b^2+3c^2+d≧1

(5) [Vietnam 1980]
正の数 a_k が a_1+ … +a_n=s をみたすとき
　{a_1+ 1/(a_1)}^2 + … +{a_n+ 1/(a_n)}^2 ≧ n{n/s + s/n}^2
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/17 23:51:40]: >498
(3) 因数定理より (a^2 -b^2)/c + (b^2 -c^2)/a +(c^2 -a^2)/b = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)/abc.
　　(2/3)a = b = c のとき左辺 = 2(c^2)/a = (8/9)a < a = 右辺. むずい??

(4) a≧d≧0, b≧c≧0 より、左辺 ≧ 4(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) ≧ (a+b+c+d)^2 ≧ 1.

(5) r≧1 ⇔ (x_1)^r +(x_2)^r +･････+(x_n)^r ≧ n{(x_1 +x_2 +･････+ x_n)/n}^r
　　調和≦相加より (1/n){1/(a_1) + 1/(a_2) +････+ 1/(a_n)} ≧ n/s.
ぬるぽ
500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 14:32:30]: >499(4) その手があったか、さすが！ /lァ／lァ
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/19 21:40:20]: >497
(2) 左辺をＳとおく。
　a/(b+c) +2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] >0.
　∴ a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1.　
　循環的に加えて相加・相乗平均を使えば
　3Ｓ > 2Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) -n > 2n-n = n.
　ただし a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2 とした。
　∴ Ｓ≧ n/3.
ぬるぽ
502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/20 07:13:38]: >501 a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1
　　　　　　　不等式神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
こんな不等式、自力では逆立ちしても思いつきませんです。 (;´Д`) ﾊｧﾊｧ

　　　　　　　　　　　　　　　ゝ_i/ / //　/ | l / !　| l i　　　〉'　⌒⌒_/
　　　　　　　　　　　　　　　｢ﾐ| / /ｨ'｢´!　! l l ｣___| l |l　_,くﾐ､_/￣´
　　　　　　　　　　　　　　〈 j | ﾊ{ ,l-ﾆ!､ | l | ,|=､|ヽ|l/!　'ヽ,-ｧ
　　　　　　　　　　　　　　　ヽ　} j' {i'r':j!　　　,.=､ヾ!/　　　　r'
　　　　　　　　　　　　　　　　|　i' ,, ゞ='　　　i!-':i! i!'　　　　/
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503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/20 12:38:57]: [477]　正の数 a,b,c に対して、次の不等式を示せ。
　 1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)

（解１）次式を整理すれば得られる。こんなもの思いつかんわい！
ab(1+b)(1-ca)^2+bc(1+c)(1-ab)^2+ca(1+c)(1-ab)^2 ≧ 0

（解２）相加相乗平均の関係を用いる。簡単だが気づかんわい！
(1+abc)(左辺)+3
＝ {(1+abc)/(a+ab)+1} + {(1+abc)/(b+bc)+1} + {(1+abc)/(c+ca)+1}
＝ {(1+a)/(a+ab) + (b+bc)/(1+b)} + {(1+b)/(b+bc) + (c+ca)/(1+c)} + {(1+c)/(c+ca) + (c+ca)/(1+a)}
＝ {(1+a)/(a+ab) + (a+ab)/(1+a)} + {(1+b)/(b+bc) + (b+bc)/(1+b)} + {(1+c)/(c+ca) + (c+ca)/(1+c)}
≧ 6

（解３）並べ替え不等式（同順序積）≧（逆順序積）を用いる。かっこよすぎ！
(1+abc)(左辺)
＝ (1/a)*{1/(1+b)}+b*{1/(1+ 1/a)} + (1/b)*{1/(1+c)}+c*{1/(1+ 1/b)} + (1/c)*{1/(1+a)}+a*{1/(1+ 1/c)}
≧ (1/a)*{1/(1+ 1/a)}+b*{1/(1+b)} + (1/b)*{1/(1+ 1/b)}+c*{1/(1+c)} + (1/c)*{1/(1+ 1/c)}+a*{1/(1+a)}
＝ 1/(1+a) + a/(1+a) + 1/(1+b) + b/(1+b) + 1/(1+c) + c/(1+c)
＝ 3

（元ネタ） www.komal.hu/verseny/2003-09/A.e.shtml
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　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ
504 名前：501 mailto:sage [04/10/20 21:41:05]: >503
【補題】a,b,c>0 のとき、u=(abc)^(1/3)とおくと
　　 1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/{u(1+u)}.

　（略証）(解２)と同様に 1+abc = (1+a) -a(1+b) +ab(1+c).　
　∴ (1+abc)/{a(1+b)} = (1+a)/{a(1+b)} -1 +b(1+c)/(1+b).　
　循環的に加えて相加・相乗平均を使えば　
　(1+abc)(左辺) ≧ 3(1/u -1 +u) = 3(1+u^3)/{u(1+u)}
　∴ 左辺 ≧ 3/{u(1+u)}　(終).　

なお、3/{u(1+u)} ≧ 3/(1+u^3) = 3/(1+abc)　は　(1+u^3)-u(1+u) = (1-u)(1-u^2) ≧0 から明らか。
505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/20 22:00:01]: 　　　　　　　　　　　　　.　　+　.　　*　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼　　　　　　　　　　　　　　　　■　■
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506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 13:41:11]: [442](2)　a,b,c,d>0に対し
　\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)/4} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}

ここで、次式が成り立つ。
　(a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}

ということで、次の２つの大小関係は定まりますか？
　\sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}, \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 13:48:36]: あぁ書き忘れた。もう一回書き直すと
[473](2)と[506]の真ん中より、a,b,c,d>0 に対し
　\sqrt{(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)/4} ≧ (a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
　(a+b+c+d)/4 ≧ \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}

右側の２つは比較できないかなと言うことでした。
508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 14:24:32]: >506-507
>>455 (474), >>480 の辺りにないか？
ぬるぽ
509 名前：508 mailto:sage [04/10/21 18:01:28]: >506
Q. 次の２つの大小関係は定まりますか？
　　{(abc+bcd+cda+dab)/4}^(1/3), sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}

A. 定まらないと思われ．．．
　a=b≠c=d のとき, 左辺 = {ac(a+c)/2}^(1/3) < (a+c)/2 = 右辺.
　a=c≠b=d のとき, 左辺 = {ab(a+b)/2}^(1/3) > sqrt(ab) = 右辺.
　a=b=c≠d のとき, 左辺 = {a^2･(a+3d)/4}^(1/3) < sqrt{a(a+d)/2} = 右辺.
　∵ {a･[(a+3d)/4]^2}^(1/3) < (a+d)/2. より {a^(1/2)･(a+3d)/4}^(1/3) < sqrt{(a+d)/2}.
ぬるぽ
510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 21:59:25]: なるほど、ありがとうございまする。
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 08:27:32]: [>>455] の不等号の根号の中身は逆ですね。正しくは
　\sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}

死んでお詫びを…（ＡＡ略）まとめると、こんな感じですか。

A = \sqrt{(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)/4}
B = (a+b+c+d)/4
C = \sqrt{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}
D = \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
E = \sqrt{(ab+bc+cd+da)/4}
F = \sqrt[4]{abcd}

A ≧ B ≧ C ≧ D ≧ F
　　　B ≧ E　　　　≧ F

CとE、DとEの大小は定まらない。
512 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 16:16:30]: あげ
513 名前：480 mailto:sage [04/10/22 20:30:31]: >511 ついでに
　C ≧ {(C^4)/B}^(1/3) ≧ D ≧ {C(F^2)}^(1/3) ≧ F.

>492,503
　なぜかnＣrヲタがやって来る．．．
ぬるぽ
514 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 02:15:00]: a,b,c,d,p,q,r,s>0 かつ a + b + c + d = 1 かつ p + q + r + s = 1 のとき，
a log(a/p) + b log(b/q) + c log(c/r) + d log(d/s) ≧ 0 を示せ．
515 名前：514 mailto:sage [04/10/23 02:16:05]: log は自然対数．
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 05:40:00]: >515
下に凸なf(x)=log(1/x)に対して、Jensenの不等式を用いると
af(a/p)+bf(b/q)+cf(c/r)+df(d/s)
≧ f(a*(p/a)+b*(q/b)+c*(r/c)+d*(s/d))
＝ f(p+q+r+s)
＝ 0　　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　|┃三　.／　　≧ ＼　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／ |　　／　不等式と聞いちゃぁ
　　　　|┃　≡|::::: (●　(●|　＜　　黙っちゃゐられねゑ…
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .∀....ノ　＼　　　ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ　　
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ
517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 05:53:20]: >513
さすが不等式神ッ！常に一歩先を行くぅ～。そこに痺れる憧れるぅ～。

３変数でやると、A ≧ B ≧ C ≧ D が成立。ただし

A = (a+b+c)/3
B = \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)/8}
C = \sqrt{(ab+bc+ca)/3}
D = \sqrt[3]{abc}

（AAの額が nCr だったのは、言われるまで気づかなかったミス。
不等式ヲタ＝ nCrヲタ＝三角関数ヲタ＝関数方程式ヲタなのは公然の秘密）
518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 07:16:09]: >>516
お見事！
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 07:28:47]: 【問題A】正の数 a,b,c が ab+bc+ca=1 をみたすとき

(1) [1994 Hong Kong]
a(1-b^2)(1-c^2)+b(1-c^2)(1-a^2)+c(1-a^2)(1-b^2) ≦ (4√3)/9

(2)
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)
≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}

【問題B】正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき

(3) [1997 Romania]
(a^3+b^3)/(a^2+ab+b^2) + (b^3+c^3)/(b^2+bc+c^2) + (c^3+a^3)/(c^2+ca+a^2) ≧ 2

(4) [2000 Hong Kong] さらに a≧b≧c のとき
(1+ab^2)/(c^3) + (1+bc^2)/(a^3) + (1+ca^2)/(b^3) ≧ 18/(a^3+b^3+c^3)

【問題C】正の数 a,b,c が a^2+b^2+c^2=s をみたすとき

(5) [1991 Poland] s=2のとき、a+b+c ≦ 2+abc

(6) [1999 Belarus] s=3のとき、1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ca) ≧ 3/2

　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|　:|
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|i　|　／条件不等式と聞いちゃあ
　| |　　　　　　 | |　　　ｶﾞﾀｶﾞﾀ |┃|　＜　　黙っちゃゐられねゑ…
　| |　　　　　　 | |＿＿＿＿＿＿|ミ | .i.|　|　？開かない・・・？
　| |￣￣￣￣￣￣| |　　　　　　 |┃|:. ,|　＼
　| |　　　　　　 | |　　　　　　 |┃|　i|
520 名前：513 mailto:sage [04/10/23 16:08:27]: >517
　そこまで言われるとつい．．．．でに
　　A ≧ B ≧ (AC^2)^(1/3) ≧ C ≧ {(C^4)/A}^(1/3) ≧ D.

（略証）相加･相乗平均を使う。
　A = (1/2){(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3} ≧ B

　A ≧ D, C ≧D より
　B^3 = (a+b)(b+c)(c+a)/8 = [(a+b+c)(ab+bc+ca) -abc]/8 = (9AC^2 -D^3)/8 ≧ AC^2,
　∴ B ≧ (AC^2)^(1/3).

　A^2 = (1/9)(a+b+c)^2 ≧ (ab+bc+ca)/3 = C^2.
　∴ (AC^2)^(1/3) ≧ C ≧ {(C^4)/A}^(1/3).

　C^4 = {(ab+bc+ca)/3}^2 = {(x+y+z)/3}^2 ≧ (xy+yz+zx)/3 = [(a+b+c)/3]abc = A(D^3),
　∴ {(C^4)/A}^(1/3) ≧ D.
ぬるぽ
521 名前：問題追加 mailto:sage [04/10/23 21:50:40]: 【問題D】正の数 a,b,c に対して

(7) [1997 Ireland] a+b+c≧abc のとき、a^2+b^2+c^2 ≧ abc

>520 キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
522 名前：追加と疑問？ mailto:sage [04/10/24 06:17:45]: 【問題B】に追加。正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき

(8) [1997 TOT]
1 ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)

(9) [1997 Bulgaria]
1/(2+a) + 1/(2+b) + 1/(2+c) ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)

この２つの不等式は、一つにまとめられそうな予感。でも、どうなるんでしょう？
　　　　　　　　＿＿＿
　　　　　　　.／　　 ≧ ＼　　　神降臨待ち
　　　　　　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　　　　　　　|::::: (●　(● |
　　　　　　　ヽ::::... .∀....ノ／　　ﾁﾝ　☆
　　　　　　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　　　　　　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　　　　　　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　　　　　　＼|　　愛媛みかん　|
　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 08:22:43]: Youngの不等式の多変数バージョンってあったっけ？
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 09:09:12]: >523 見たことないです。

>522 (8)(9) できた。
正の数 a,b,c が abc=1 をみたすとき、次式が成立。
1 ≧ 1/(2+a) + 1/(2+b) + 1/(2+c) ≧ 1/(1+a+b) + 1/(1+b+c) + 1/(1+c+a)

〔証明〕
a+b+c=x, ab+bc+ca=y, abc=1 を用いると、示すべき不等式は
　1 ≧ (4x+y+12)/(4x+2y+9) ≧ (x^2+4x+y+3)/(x^2+xy+2x+y)
ただし、相加平均・相乗平均の関係から x, y≧3 に注意する。

（左側）示すべき不等式は y≧3 だから成立。

（右側） x-3=s, y-3=t とおくと s, t≧0。分母を払って差をとると
(4x+y+12)(x^2+xy+2x+y)-(4x+2y+9)(x^2+4x+y+3)
＝ 3x^2y+xy^2+6xy-5x^2-y^2-24x-3y-27
＝ 3s^2t+st^2+30st+4s^2+2t^2+27s+54t
≧ 0
　　　　 |
　＼　　__　　／
　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ
　　　　|ミ|
　／＿＿＿＼　等号成立条件は、いずれも a=b=c=1 のとき。
　.／　　≧　＼　
　|:::: 　＼ .／　|　簡単でした。
　|::::: (●　(● |　
　ヽ::::... .ワ.....ノ
525 名前：501 mailto:sage [04/10/24 10:42:43]: >497 (1)
　0≦a≦b≦c≦d≦1 は所与とする。
　(1+a)-d, d-c, c-b, b-a の和が1だから
　Max{(1+a)-d, d-c, c-b, b-a} = w ≧1/4.
　そこで xとして幅wの区間の中点をとると、
　Min{|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|} = w/2 ≧ 1/8.
　左辺 < 8+8+8+8 = 32.
ぬるぽ
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 19:49:31]: 　　＿＿＿　　　>525 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　.／　　≧　＼　　　　いつもながら素晴らしい！結局こうですね。
　|:::: 　＼ .／　|　　
　|::::: (●　(● |　　　　4 ≦ 1/|x-a| + 1/|x-b| + 1/|x-c| + 1/|x-d| ≦ 32
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 10:32:44]: >>525
いや、やっぱり分かりません。
たとえば a = b = c = d = 0 のとき、
　（左辺） < 4/|x| → ∞ (x→0)
だから、いくらでも大きくなるような気がします。
528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 12:42:54]: >525 2-3行目は
1-d, d-c, c-b, b-a, a-0 の和が1だから
　Max{1-d, d-c, c-b, b-a, a} = w ≧1/5
とすべきでは？
まだ問題の意味が分かってないけれど…
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 13:44:48]: いや、525でよかった。すみません。
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 08:02:16]: >519 (3～7)

【問題B】 abc=u≧1 のとき
(3) 3(a^2 -ab+b^2) - (a^2 +ab+b^2) = (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 ≧0.
　∴　(a^3 +b^3)/(a^2 +ab+b^2) ≧ (a+b)/3.
　∴　左辺 ≧ 2(a+b+c)/3 ≧2u^(1/3).

(4) 左辺 ={1/(a^3)+1/(b^3)+1/(c^3)} + {a(b^2)/(c^3) +b(c^2)/(a^3) +c(a^2)/(b^3)}
　　≧ 3/u +1 ≧ 6/u ≧ 右辺.

【問題C】ａ^2 +b^2 +c^2 =s のとき
(5)
(i) a,b,c≦1 のとき、
　左辺 = 3-(1-a)-(1-b)-(1-c) ≦ 3-(1-a)-a(1-b)-ab(1-c) = 3 -(1-abc) =右辺.
(ii) a,b≦1<c,s≦2 のとき、x = {1+x^2 - (1-x)^2}/2 より
　左辺 = {3+s-(1-a)^2 -(1-b)^2 -(c-1)^2}/2 = 1 +s/2 +ab -{(a+b-1)^2 +(c-1)^2}/2
= 1 +s/2 +abc -{(a+b-1)^2 +(c-1)^2 +ab(c-1)}/2 ≦ 1 +s/2 +abc ≦ 右辺.

(6) 左辺 ≧ 9/(3+ab+bc+ca) ≧ 9/(3+s) = 右辺.

【問題D】(a+b+c)/(abc)=k のとき
(7) 左辺 ≧ 3{(a+b+c)/3}^2 ≧ √{3(a+b+c)(abc)}=√(3k)･abc
ぬるぽ
531 名前：501=525 mailto:sage [04/10/26 09:19:52]: >526
　まだまだ改良できると思われ．．．
　1/4≦w≦1/2 のとき: 幅wの区間の反対側の区間幅≦w, 残り2つの幅の合計x+y≧1-2w.
　　左辺 = 2/(w/2) +1/{(w/2)+x} +1/{(w/2)+y}
(i) 1/4≦w≦1/3 のとき x,y≧1-3w
　　左辺 ≦ 2/(w/2) +1/{(w/2)+w} +1/{(w/2)+(1-3w)} = (4 +2/3)/w +2/(2-5w) ≦ 64/3.
(ii) 1/3≦w≦1/2 のとき x,y≧0
　　左辺 ≦ 3/(w/2) +1/{(w/2)+(1-2w)} = 6/w +2/(2-3w) ≦ 18+2 = 20.
(iii) 1/2<w のとき
　　左辺 ≦ 4/(w/2) =8/w ≦ 16.
ぬるぽ
532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 14:50:31]: >530
神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━！！！

(3) 書き間違いですね。 3(a^2 -ab+b^2) - (a^2 +ab+b^2) = 2(a-b)^2

(5) ですが、元の問題みたら、a,b,c の条件は実数でした。死んでお詫びを…。

(7) そんな手があるとは…。

むずぽ
533 名前：530 mailto:sage [04/10/26 21:54:44]: >532
(3)は仰せのとおり。　死んでお詫びを．．．(AA略)

(5)の修正でつ
　(i) -1≦a,b,c≦1 のときは変更なし．．．
　(ii) -1≦a,b≦1<c のとき、d≡ a+b-1 = ab-(1-a)(1-b)≦ab より
　　右辺 - 左辺 = {(a+b-1)^2 +(c-1)^2 +ab(c-1)}/2 ≧ {d^2 +(c-1)^2 +(c-1)d}/2 ≧0.
　(iii) c<-1≦a,b≦1 のとき、左辺 = (a+b+|c|) +2c ≦ 2 +(ab-2)|c| ≦ 2-ab|c| = 右辺.

(7)は相加・相乗平均 {(a+b+c)/3}^(3/2) ≧ √{abc} を使いますた。ハｧハｧ
ぬるぽ
534 名前：533 mailto:sage [04/10/27 08:04:30]: (5) またまた修正
　(ii)　右辺 - 左辺 = (1 +s/2 +abc) - (a+b+c) = (1/2)(a+b+c-2)^2 + (1-a)(1-b)(c-1) ≧ 0.
すまそ
535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 12:24:51]: >534
>右辺 - 左辺 = (1/2)(a+b+c-2)^2 + (1-a)(1-b)(c-1)

すげー！こんな変形気づきません。（；´д｀）ﾊｧﾊｧ
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 14:21:43]: 正の数 a, b, c が a^2+b^2+c^2=1 をみたすとき、次式の最小値をキボンヌ。
　(a^5)/(b+c) + (b^5)/(c+a) + (c^5)/(a+b)

巡回的に対称だから、a≧b≧c または a≧c≧b としてよい。
　前者のとき a/(b+c)≧b/(c+a)≧c/(a+b)、
　後者のとき a/(b+c)≧c/(a+b)≧b/(c+a) だから、
チェビシェフの不等式により、どちらも次の同じ不等式を得る。
　与式 ≧ (1/3)(a^4+b^4+c^4){a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}

3(a^4+b^4+c^4)-(a^2+b^2+c^2) = (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2 ≧ 0 より
　a^4+b^4+c^4 ≧ (1/3)(a^2+b^2+c^2)^2 = 1/3

あとは、a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) の最小値が分かれば…。たのも～！

　　　　　　　　　　r～～～～～～～～～～～
　　　＿_　　　　_ﾉこのあと、どうすれば・・・
　／__　｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～～～～～～～
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′
537 名前：536 mailto:sage [04/10/28 14:44:50]: 自己解決。 Jensenで瞬殺だった。
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 15:14:18]: ついでに条件不等式を投下。 [>>519(1)(2)]もたのも～。

(1) [1996 Poland]
a, b, c≧-3/4、a+b+c=1 のとき、a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 9/10

(2) [1998 Poland]
a, b, c, d, e, f>0、a+b+c+d+e+f=1、ace+bdf≧1/108 のとき、abc+bcd+cde+def+efa+fab ≦ 1/36

も一つおまけに絶対不等式を投下。

(3) [1992 Poland]
実数 a, b, c に対して、(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 ≧ (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)

　　　　　　　 | |∥│||
　　　　┌―　| |∥│||　―┬────
　　　　｜　　| |∥│||　　｜
　　　　｜　　　　　　　｜　|￣￣￣　　　不等式と聞いちゃあ
　　　　｜　　/￣￣∨ヽ.　 |　 | 　　　　　　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　｜　 / 　　　　∨.　｜　|＿＿＿
　　　　｜　 /___________ヽ　｜ｶﾞｼｬﾝ
　　　　｜　 / | ＼／_|ヽ　｜
　　　　｜　 | |　　ﾟ| □|　＼.| 　← 不等式ヲタ
　　　　｜　 | |　　ﾟ|　　|＼__|つ
　　　　｜　 | |　　ﾟ|　　|　　｜
539 名前：538 mailto:sage [04/10/28 15:23:52]: 書き忘れ。上の問題はここにありまつ。模範解答はないけど…。（；´д｀）ﾊｧﾊｧ
www.mimuw.edu.pl/~chel/Olimp/archive-om.html
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:26:22]: >538
(2) [1998 Poland] 49th, 2nd round, 1st day(1998.2.27), No.3a
　a+d>0, b+e>0, c+f>0, a+b+c+d+e+f=s, ace+bdf=u のとき、相加相乗平均より
　左辺 =(a+d)(b+e)(c+f) -(ace+bdf) ≦ {[(a+d)+(b+e)+(c+f)]/3}^3 -(ace+bdf)=(s/3)^3 -u.
　www.mimuw.edu.pl/~chel/Olimp/2etang98.html

ついでに >>519
【問題A】 ab+bc+ca=t とおく。
(1) t≧1, a+b+c≧√(3t), abc≦(t/3)^(3/2) を使って
　左辺 = (a+b+c)-a(ca+ab)-b(ab+bc)-c(bc+ca)+abct = (1-t)(a+b+c) + (3+t)abc
　　≧ (1-t)√(3t) + (3+t)･(t/3)^(3/2) = √(3t)･(1-t/3)^2.
ぬるぽ
541 名前：501=504 mailto:sage [04/10/28 20:19:36]: >536
　よけいなお世話だが．．．
（解１）　b+c=A, c+a=B, a+b=C とおくと a=(B+C-A)/2, b=(C+A-B)/2, c=(A+B-C)/2.
　∴ a/(b+c) = (B/A + C/A -1)/2.
　循環的に加えて相加･相乗平均を使えば、
　左辺 ≧ (3+3-3)/2 = 3/2.

（解２）通分して　a(c+a)(a+b) +b(a+b)(b+c) +c(b+c)(c+a) - (3/2)(b+c)(c+a)(a+b)
　　= (1/2){(a-b)(a^2 -b^2) +(b-c)(b^2 -c^2) +(c-a)(c^2 -a^2)} ≧0.
ぬるぽ
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 23:55:27]: >541 神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━！！！
ありがとうございまする。解法のコレクションが増えました。
今更ながら >537 に書いた方法は…

a+b+c=s とおくと 0<s≦√6。この範囲で任意に s を固定する。
f(x) = x/(s-x) = s/(s-x)-1 は 0<x<s において下に凸だから、

a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ＝ f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f((a+b+c)/3) ＝ 3f(s/3) ＝3/2

となって、a=b=c (=1/√3) で最小値をとる。
543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/29 02:56:10]: [>>519(2)] について…。

正の数 a, b, c が ab+bc+ca=1 をみたすとき
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}

条件式から得られるものは、
(a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) = 3
a^2+b^2+c^2 ≧ ab+bc+ca = 1
1 = {(ab+bc+ca)/3}^(3/2) ≧ abc > 0

右辺の分子を 1-a^2 = (1+a^2)-2a^2 と変形して整理すると、示すべき不等式は
(4a^3)/(1+a^2)^2 + (4b^3)/(1+b^2)^2 + (4c^3)/(1+c^2)^2 ≧ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) … (A)

右辺の分子を 1-a^2 = 2-(1+a^2) と変形して整理すると、示すべき不等式は
3a/(1+a^2) + 3b/(1+b^2) + 3c/(1+c^2) ≧ 4a/(1+a^2)^2 + 4b/(1+b^2)^2 + 4c/(1+c^2)^2 … (B)

(A), (B) のどちらか一方が示せればいいんだけど…。むずぽ。
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/29 03:06:40]: a=cot(A),b=cot(B),c=cot(C)を満たす鋭角三角形ABCを考えたら？
545 名前：543の続き mailto:sage [04/10/29 03:38:17]: (A) の左辺にチェビシェフの不等式を用いると、
（Aの左辺）
＝ {(4a^2)/(1+a^2)}*{a/(1+a^2)} + {(4b^2)/(1+b^2)}*{b/(1+b^2)} + {(4c^2)/(1+c^2)}*{c/(1+c^2)}
≧ (1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)}*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)}
となるから、次が示されれば…。
(1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)} ≧ 1

(A) の左辺に、上とは別の方法でチェビシェフの不等式などを用いると、
（Aの左辺）
＝ 4a*{a/(1+a^2)}^2 + 4b{b/(1+b^2)}^2 + 4c*{c/(1+c^2)}^2
≧ (1/3)*(4a+4b+4c)*[{a/(1+a^2)}^2 + {b/(1+b^2)}^2 + {c/(1+c^2)}^2]
≧ (1/3)*(4a+4b+4c)*(1/3)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)]^2
≧ (4\sqrt{3}/9)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)]^2
となるから、次が示されれば…。
(4\sqrt{3}/9)*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2)+ c/(1+c^2)] ≧ 1

どっちもむずぽ｡
546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/29 03:39:35]: >>544
下書きしているうちにレスが…。
ありがとうございます、考えてみまする。
547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/29 03:53:56]: >540
> 左辺 =(a+d)(b+e)(c+f) -(ace+bdf)

この変形に勃起しました。（；´д｀）ﾊｧﾊｧ
548 名前：540 mailto:sage [04/10/29 20:54:45]: >538
　(1) [1996 Poland] 47th, 2nd round, 1st day(1996.2.23), No.3
　曲線 y=x/(1+x^2) 上の点（1/3, 3/10）で接線を引く： y= (9/50)(1/3 +4x).
　x≧-3/4　⇒　x/(1+x^2) = (9/50)(1/3 +4x) - (18/25)(x+3/4)(x-1/3)^2 ≦ (9/50)(1/3 +4x).
　x=a,b,c について加えれば、左辺 ≦ (9/50){1+4(a+b+c)}.
　www.mimuw.edu.pl/~chel/Olimp/2etang96.html
ぬるぽ

>519 (1) 下の方の不等号が逆向き、すまそ。
549 名前：１３２人目の素数さん [04/10/30 10:06:27]: このスレ、まるで初等幾何のスレだな。
違うのは図が無いところだけ。
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/30 11:46:19]: >>549
それは簡単に言うと馬鹿にしているのですか？
551 名前：１３２人目の素数さん [04/10/30 18:28:53]: 不等式を制する者は、解析を制する。
不等式は下からの評価が結構難しい。
552 名前：working woman [04/10/30 18:34:40]: マニアックな不等式をいくら積み重ねてもしようが無いわね。
553 名前：１３２人目の素数さん [04/10/30 19:12:52]: L^2 とか、uniform space の不等式を積み重ねなさいよ。
554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/31 01:03:17]: 　　　　　　　　　　Ｌ -‐ '´ ￣｀ヽ- ､　　　〉
　　　　　　　　　　／　　　　　　　　ヽ＼ /
　　　　　　　　／/ 　/ 　/ 　　　ヽヽ　ヽ〈
　　　　　　　ヽ､レ! {　ﾑ-t ﾊ　li ､ i　i　　}ﾄ､
　　　　　　　　　ﾊＮ |　lヽ八l ヽｊﾊVヽ､ｉ j/ l　!
　　　　　　　　/ﾊ. ｌヽｋ=＝　,　r= ､ﾉﾙｌ　lＬ」
　　　　　　　　ヽN､ﾊｌ　　┌‐┐ 　ﾞl ﾉl　l
　　　　　　　　　　ヽﾄjヽ､　ヽ_ノ　ノ//ﾚ′
　　　　r７７７７７７７７７tﾉ｀ｰ　r ´ﾌ/′
　　　ｊ´ﾆゝ　　　　　　　ｌ|ヽ　_/｀＼
　　〈　‐　書き込み　ｌﾄ、　/ 　〃ゝ、
　　〈､ﾈ.. 　　　　　　　.ｌＦＶ=＝"／ｲl.
　　　ト |　と思ったら　ニヽ二／　　ｌ
　　　ヽ.|l.　　　　　　　　〈ｰ- 　 !　｀ヽ. 　
　　　 |l 荒らしでしたｌﾄﾆ､_ﾉ　　ヾ、
　　　 |l_＿_＿_＿_＿__ｌ| 　　＼　　　ソ
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/31 01:05:54]: >>554
それもｋｉｎｇ信者による荒らし。
working woman をＮＧﾜｰﾄﾞしる！
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/31 11:19:09]: 解けない人の妬みにしか聞こえんな。
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/31 11:19:34]: >>519 (2)
　[544]の続き。 a=cot(A), b=cot(B), c=cot(C), 0<A,B,C<π/2.
　A+B+C=π より
　左辺 = (1/2){sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)} = 2sin(A)sin(B)sin(C).
　右辺 = (1/2){sin(4A)+sin(4B)+sin(2C)} = 2sin(2A)sin(2B)sin(2C).
　右辺／左辺 = 8cos(A)cos(B)cos(C)
　f(x)=cos(x) は [0,π/2) で正で上に凸なので、log|cos(x)| も上に凸（∵補題）
　∴ 8cos(A)cos(B)cos(C) < 8{cos[(A+B+C)/3]}^3 = {2cos(π/3)}^3 = 1.

　【補題】f(x)≧0 が上に凸ならば log|f(x)| も上に凸。
　（略証）{log|f(X)|} " = (f '/f) ' = {(ff " -(f ')^2}/(f^2) <0

[519] の解答のレス番（主なもの）
　(1) 540　(2) 544+556　(3)～(7) 530　(8),(9) 524
ぬるぽ
558 名前：557 mailto:sage [04/10/31 17:48:54]: [557]の後半を修正
　右辺／左辺 = 8cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {2[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3
　y=cos(x) は [0,π/2) で上に凸なので、
　2[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3 ≦ 2cos[(A+B+C)/3] = 2cos(π/3) = 1.
すまそ
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/31 19:09:38]: >519 (2) について
うひょっ。㌧クスです。自分なりに解決しました。またもや Jensen を使いました。

正の数 a, b, c が ab+bc+ca=1 をみたすとき
　a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≧ 2a(1-a^2)/{(1+a^2)^2} + 2b(1-b^2)/{(1+b^2)^2} + 2c(1-c^2)/{(1+c^2)^2}

>543(A) に書いたように同値変形して
　(4a^3)/(1+a^2)^2 + (4b^3)/(1+b^2)^2 + (4c^3)/(1+c^2)^2 ≧ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)

>545前半に書いたように、左辺にチェビシェフの不等式を用いて
　（Aの左辺） ≧ (1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)}*{a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2)}

したがって、次式を示せばよい。
　(1/3)*{(4a^2)/(1+a^2) + (4b^2)/(1+b^2) + (4c^2)/(1+c^2)} ≧ 1

同値変形して、結局 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a, b, c に対して、次を示せばよい。
　1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4

f(x) = 1/(1+x) は x>0 において、下に凸な減少関数であることと、(a^2+b^2+c^2)/3 ≧ (ab+bc+ca)/3 =1/3 だから、
　f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≦ 3f((a^2+b^2+c^2)/3) ≦ 3f(1/3) ＝ 9/4
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！Jensen
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/01 03:19:45]: >557-558 激乙。いつもありがとうございまする。
残るは >>538(3) ですね。またネタを探してきます。
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/01 09:22:23]: 後で見るときに分かりやすいだろうから、一気に出しておきます。
とりあえず分類したものから、ボコッと投下。

発掘元は、>>539 や以下のサイトなど。（解答のないものばかり）
www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/

　　　　　⊿　　　　　○　　　∇　、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､　　';冫　☆
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562 名前：絶対不等式など mailto:sage [04/11/01 09:23:26]: 再掲 >>538(3) [1992 Poland]
実数 a, b, c に対して、(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 ≧ (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)

(1) 複素数 a, b, c に対して、|\sqrt(a^2+b^2+c^2)| ≦ max(|a|+|b|, |b|+|c|, |c|+|a|)

(2) [1999 Poland] 実数 a, b, c, d に対して、(a+b+c+d)^2 ≦ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6ab

(3) 正の数 a, b, c に対して、(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ 9(abc)^2

(4) 正の数 a, b, c, d に対して、ab^4+bc^4+cd^4+da^4 ≧ abcd(a+b+c+d)

(5) [2003 Poland] 正の数 a, b, c, d に対して、(a+b+c+d)^3 ≦ 4(a^3+b^3+c^3+d^3)+24(abc+bcd+cda+dab)

(6) [2002 Poland] 正の数 a_k, b_k に対し、Π[k=1 to n]a_k + Π[k=1 to n]b_k ≦ Σ[k=1 to n]√{(a_k)^2+(b_k)^2}

(7) [1999 Poland] 整数 a_k, b_k に対して、 Σ[i<j](|a_i-a_j|+|b_i-b_j|) ≦ Σ[i<j]|a_i-b_j|
563 名前：条件不等式 mailto:sage [04/11/01 09:24:10]: (1) [2000 Poland] 正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、a^2+b^2+c^2+2√(3abc) ≦ 1

(2) [1996 Poland] a, b, c ≧ 0 と 1/2 ≧ p, q, r ≧ 0 が、a+b+c = p+q+r = 1 をみたすとき、pa+qb+rc ≧ 8abc

(3) [1999 Turkey] a≧b≧c≧0 に対して、(a+2c)(c+3b)(b+4a) ≧ 60abc

(4) [1991 Vietnum] a≧b≧c>0 に対して、b^2c/a + c^2a/b + a^2b/c ≧ a^2+b^2+c^2

(5) [1993 Itary] 0≦a, b, c≦1 に対して、a^2+b^2+c^2 ≦ a^2b+b^2c+c^2a+1

　　類題に [1994 Rumania] 0≦a, b, c≦1 に対して、a+b+c ≦ ab+bc+ca+1 がありました。

(6) 0 < a, b, c < 1/2 に対して、(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) ≧ {3/(a+b+c) -1}^3

(7) 自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1
564 名前：最大最小値問題 mailto:sage [04/11/01 09:24:35]: (1) 正の数 a, b, c に対して、(a^3+b^3+c^3)/(a+b)(b+c)(c+a) の最小値。

(2) 実数 a, b, c が a^2+b^2+c^2≠0 をみたすとき、 abc(a+b+c)/{(2a^2+b^2)(b^2+2c^2)} の最大値。

(3) a^2+b^2+c^2=1 をみたす実数 a, b, c と、非負実数 p, q, rに対して、次式の最大値と最小値。
　\sqrt{(pa)^2+(qb)^2+(rc)^2} + \sqrt{(pb)^2+(qc)^2+(ra)^2} + \sqrt{(pc)^2+(qa)^2+(rb)^2}

(4) 異なる実数 a, b, c が bc+ca ≧ 1+ab+c^2 をみたすとき、次式の最大値。ただし n は自然数。
　{(a-b)^(2n+1)+(b-c)^(2n+1)+(c-a)^(2n+1)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}

(5)-(i) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) の最小値。
(5)-(ii) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、(1+√a)(1+√b)(1+√c) の最小値。

(6) 非負実数 a, b, c と自然数 n に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
　k(a^3+b^3+c^3)+(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
565 名前：三角形と三角関数の不等式 mailto:sage [04/11/01 09:24:59]: (1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5

(2) [1978 Austria] tan k (k = 1度, …, 44度)の相加平均をA、相乗平均をGとおくとき、A > (√2)-1 > G

(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2　 [類：不等式への招待 P.39 ]

(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)

(6) [1994 Poland] △ABCに対して、1/a + 1/b + 1/c ≦ 1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b)

(7) △ABCに対して、{(b+c)cosA}/a + {(c+a)cosB}/b + {(a+b)cosC}/C ≧ 9(a+b+c)

(8) 鋭角三角形ABCに対して、内接円の半径を r とするとき、
a^2(cos A/2)/\sqrt(b^2+c^2) + b^2(cos B/2)/\sqrt(c^2+a^2) + c^2(cos C/2)/\sqrt(a^2+b^2) ≧ (9r√2)/2
566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/01 15:27:06]: >557
A+B+C=π、 0 < A, B, C < π/2 において、cosAcosBcosC ≦ 1/8 の別証明。

cosA、cosB、cosC > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係を用いた後、
y=cos x は 0 < A, B, C < π/2 において上に凸だから、Jensenの不等式を用いる。

cosA cosB cosC ≦ [(cosA+cosB+cosC)/3]^3 ≦[cos{(A+B+C)/3}]^3 = (cos π/3)^3 = 1/8
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/01 16:22:42]: くだらねゑ問題が混ざってゐた。スマソ。

>>562(3)
（解１）左辺の２つの括弧にそれぞれ相加相乗不等式で瞬殺。等号成立条件は a=b=c=1。
（解２） Schwarzの不等式を使ってから、相加相乗不等式で瞬殺。
568 名前：もう一問だけ… mailto:sage [04/11/01 18:01:35]: 【問題】正の数 a_1, …, a_n の総和を s とするとき、 Σ[k=1 to n]\sqrt{(s-a_k)/a_k} ≧ n\sqrt(n-1)

コーシー・シュワルツの不等式から、
　Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k) ≦ \sqrt(ns)
　Σ[k=1 to n]\sqrt(s-a_k) ≦ \sqrt{n(n-1)s}
相加平均・調和平均の関係から、
　Σ[k=1 to n]1/\sqrt(a_k) ≧ (n^2)/Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k)

ここで行き詰まってます。たのも～（AA略）

ついでに、分子と分母を逆にした式は、チェビシェフの不等式を使って、
　Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ (Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k))/\sqrt{n^3(n-1)s}
で合ってますか？

発掘元：S73
www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/math_hor-10-3-feb03.pdf
569 名前：568の修正 mailto:sage [04/11/01 18:48:34]: >ついでに、分子と分母を逆にした式は、チェビシェフの不等式を使って、
>　Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ (Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k))/\sqrt{n^3(n-1)s}
>で合ってますか？

チェビシェフの不等式のあと、相加平均・調和平均の関係を使って
　Σ[k=1 to n]\sqrt{a_k/(s-a_k)} ≧ \sqr[n/{s(n-1)}]*Σ[k=1 to n]\sqrt(a_k)
これ以上は綺麗にならないでしょうか？
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/01 20:24:37]: >559
　結局、 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a,b,c に対して、次を示せばよい。
　　 1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4.

> f(x) = 1/(1+x) は x>0 において、下に凸な減少関数であることと、･････から、
>　f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≦ 3f((a^2+b^2+c^2)/3) ≦ ････

ちょっと変な希ガス。そこで迂回路↓

　基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　a^2 +b^2 +c^2 = s^2 -2t, (ab)^2 +(bc)^2 +(ca)^2 = t^2 -2su.
　∴ 9/4 -1/(1+a^2) -1/(1+b^2) -1/(1+c^2)
　= {(9/4)[1+(s^2 -2t)+(t^2 -2su)+u^2]-[3+2(s^2 -2t)+(t^2 -2su)]}/{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
　= {-3+(s^2-2t)+5(t^2 -2su)+9u^2}/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
　= {(-3-2t+5t^2)+(s-u)(s-9u)}/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}.
　ここで t=1, st-9u≧0 だから左辺≧0.
ぬるぽ
571 名前：570 mailto:sage [04/11/01 21:00:41]: >545,559
　蛇足だけれど、
　チェビシェフの不等式を使うところ：
　(x^2)/(1+x^2) の大小と x/(1+x^2) の大小が一致することを示してほすぃ。
　（前者は単調増加、後者はx=1で極大だが．．．）
ぬるぽ
572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/01 21:07:40]: >570 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
気づきませんでした。Jensenの不等式を使ったところが逆でした。
　f(a^2)+f(b^2)+f(c^2) ≧ 3f((a^2+b^2+c^2)/3)
ありがとうございます。
573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/01 21:17:18]: >571 ﾊｯ！
しまった。後者は単調増加じゃないですね。
あちこちダメポ…。
574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/01 21:28:02]: >545,559 のチェビシェフを使うための大小が一致することの確認。
x≧y>0のとき、
(x^2)/(1+x^2) - (y^2)/(1+y^2) = (x^2-y^2)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≧ 0

x/(1+x^2) - y/(1+y^2) = (x-y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} …[1]

[1] は xy ≦1 のときに０以上になるが、
a. b. c は正の数であることと、条件式 ab+bc+ca=1 より、
ab も bc も ca も１より小さい正の数であるので、[1]>0であることが分かる。

>571 いつもながら、ありがとうございます。
575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/01 22:21:56]: >574の最後の行の訂正。
> …[1]≧0であることが分かる。
576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/01 23:54:07]: >563(1)
a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおくと、示すべき不等式は (s^2-2t)+2√(3u) ≦ 1
s=1 を代入して整理すると、√(3u) ≦ t
両辺ともに正だから、２乗の差を比較して
　t^2-3u = t^2-3su = (ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2 ≧ 0
等号成立条件は、a=b=c=1/3。

左辺しか与えられてなかったら、どうやって最大が１を示すのだろう…。
577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 06:02:59]: >563(3) が解けそうで解けない。
いろんな単語でWeb上を探したら、時間が掛かったけど見つけた。
www.google.com/search?hl=en&lr=&c2coff=1&q=60abc+1998

このサイト内で略解を見つけたけど、ハンガリー語（？）で解読不能。
matek.fazekas.hu/portal/feladatbank/gyujtemenyek/Nem/AM17.htm

数式だけ追ってみると、次のようになっていた。

【問題】 0≦a≦b≦c に対し、(a+3b)(b+4c)(c+2a) ≧60abc

(a+3b)(b+4c)(c+2a)
≧ 2(a+b)*(5/2)(b+c)*(3/2)(c+a)
＝ (15/2)(a+b)(b+c)(c+a)
≧ (15/2)*2√(ab)*2√(bc)*2√(ca)
＝ 60abc
　　　＿＿＿
　　.／　 nCr ＼　　最初の不等号の評価が謎。
　　|:::: 　＼ .／　|　　　たのも～
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::... .∀....ノ／　　ﾁﾝ　☆
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　￣￣￣￣￣￣￣
578 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/11/03 09:00:00]: 　（ａ＋３ｂ）（ｂ＋４ｃ）（ｃ＋２ａ）
≧（４（ａｂ＾３）＾（１／４））（５（ｂｃ＾４）＾（１／５））（３（ｃａ＾２）＾（１／３））
＝６０（ａ＾５５・ｂ＾５７・ｃ＾６８）＾（１／６０）
≧６０（ａ＾６０・ｂ＾６０・ｃ＾６０）＾（１／６０）
＝６０ａｂｃ。
579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 16:17:11]: >578
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
ソレダッ！！
ありがとうございます！
580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:02:49]: >>558,566 の別証明。

【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.

（略証）　1-cos(x) = 2{sin(x/2)}^2 に注意.
　（右側）：　sin(x) は(0,π)で上に凸だから、
　　sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ {(1/3)[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]}^3 ≦ {sin[(A+B+C)/3]}^3
　　= {sin(π/3)}^3 = (1/2)^3 = 1/8.
　　これを2乗して8倍する。
　（左側）：左辺 = cos(A)cos(B)cos(C) = -cos(A)cos(B)cos(A+B) = {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C).
　　中辺 - 左辺 = [1-cos(A)][1-cos(B)] - {[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)}･cos(C) + [cos(C)]^2
　　= [1-cos(A)][1-cos(B)] - 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]･cos(C) + [cos(C)]^2
　　= X^2 -2XY･cos(θ) +Y^2 = |X-Y|^2 + 2XY[1-cos(θ)] ≧ 0.
　　（鈍角三角形のときは左辺<0 より自明．．．．）
ぬるぽ
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:18:01]: >>580
その補題を使って>>538(3)が出来るはず。
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:24:35]: >538
　(3) [1992 Poland] 44th, 1st round, (1992.Sept-Dec.), No.9
　右辺の3つの因子のうちの2つの和は ≧0 だから、負の因子はあっても１つだけ。
　(i) 負の因子があるとき、0>右辺より明らか。
　(ii)3つとも ≧0 のとき。
　　　文字a,b,cの符号を変えても右辺は変わらない。また左辺は
　　　(a+b+c)^2, (-a+b+c)^2, (a-b+c)^2, (a+b-c)^2 の中の3つの積になる。
　　　これが最も小さくなるのは、最大の因子 (|a|+|b|+|c|)^2 を欠く場合、すなわち同符号の場合。
　　　∴ a,b,c >0 場合を考えれば十分。このとき、a,b,cを3辺とする鋭角三角形が存在する。
　　　(a+b-c)(b+c-a) = b^2 -(c-a)^2 = 2ca[1-cos(B)] などにより、
　　　左辺 = {8(abc)^2}[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)].
　　　右辺 = {8(abc)^2}cos(A)cos(B)cos(C).
[580]の補題（左）により、左辺＞右辺.
　www.mimuw.edu.pl/~chel/Olimp/1etang93.html

[538]の解答のレス番（主なもの）
　(1) 548　(2) 540　(3) 581
ぬるぽ
583 名前：580 mailto:sage [04/11/04 02:01:32]: [580] の途中に写しまちがい
　（右側）：･･････ ≦ {sin[(A+B+C)/6]}^3 = {sin(π/6)}^3 = (1/2)^3 = 1/8.
　　死んでお詫びを．．．（AA省略）
584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/04 14:41:43]: >580-583 ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/04 16:51:13]: >>580
中辺 - 左辺
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - {[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)}･cos(C) + [cos(C)]^2
= [1-cos(A)][1-cos(B)] - 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]･cos(C) + [cos(C)]^2

のところですが、第２項の

{[1-cos(A)][1-cos(B)]+sin(A)sin(B)} = 2√{[1-cos(A)][1-cos(B)]}･cos[(A-B)/2]

は、どうやって変形したのですか？
586 名前：580 mailto:sage [04/11/04 22:11:27]: >585
　1-cos(x) = 2{sin(x/2)}^2 に注意して
　[1-cos(A)][1-cos(B)] = {2sin(A/2)sin(B/2)}^2.
　sin(A)sin(B) = {2sin(A/2)sin(B/2)}・{2cos(A/2)cos(B/2)}.
　辺々加えて、cos()の加法定理を使いまする。
ぬるぽ
587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/05 09:46:52]: なるほど、分かりました。
sinAsinBsinC ≦ (3√3)/8 に (1-sinA)(1-sinB)(1-sinC) を挟んでみたけど
力不足で証明できませんでした。成り立つのかさえ分かりませんが…。

>581 関係があるとは気づかなかったです。
588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/05 21:04:01]: >562
　(6) 任意の正の数 a_k, b_k に対し、Π[k=1～n]a_k + Π[k=1～n]b_k ≦ Π[k=1～n]√{(a_k)^2+(b_k)^2}
　　を満足するような正整数ｎをすべてキボンヌ.

　　ぢゃない？
　www.mimuw.edu.pl/~chel/Olimp/2etang02.html
589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/05 23:29:14]: >>588Σ('д'*;)!!

|　　／／　／
|／／　／┃
　／￣'''　┃　ﾌﾟﾗｰﾝ
　|　　　(-＿-)
　|　　　 U　U
　|　　　　UU
　|　　　　　　　（○）
　|　　　　　　　ヽ|〃
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
590 名前：. mailto:sage [04/11/06 02:53:05]: >588
　n=2 はコーシー、n>2は帰納法で。n=1はだめぽ.

>587
　むりぽ.
591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/06 04:50:54]: 実数 x, y に対して、xy/\sqrt{(x^2+y^2)(3x^2+y^2)} の最大値を求めよ。

>562-565 が難しいので、息抜きに簡単なのをやってみたら、できなかった…。
おねがいします。むずぽ。

問題A15.3
matek.fazekas.hu/portal/feladatbank/gyujtemenyek/Nem/A15.htm
解答
matek.fazekas.hu/portal/feladatbank/gyujtemenyek/Nem/AM15.htm
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/06 14:55:29]: >>568
相加･相乗平均だけでよい。 a_1, a_2,･････,a_n の積を u とおくと、
　s - a_k =Σ[i≠k] a_i ≧ (n-1)･(u/a_k)^[1/(n-1)].
　∴ 左辺 ≧ sqrt(n-1)･Σ[k=1～n] {(u/a_k)^[1/2(n-1)]}/sqrt(a_k)≧ n･sqrt(n-1).
ぬるぽ
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/06 16:05:26]: >591 x^2 =a, y^2 =b とおくと、
　(x^2 +y^2)(3x^2 +y^2) = (a+b)(3a+b) = (a√3 -b)^2 +(4+2√3)ab ≧ [(1+√3)xy]^2.
　∴ 与式 ≦ 1/(1+√3) = 1/k.

　【問題15.5】 [2002 Irish] Test 1
　0<a,b,c<1 のとき a/(1-a) + b/(1-b) + c/(1-c) ≧ s/(1-s/3) ≧ 3u/(1-u).
　ただし s=a+b+c, u=(abc)^(1/3).　
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/07 06:03:10]: >592
ありがとうございます。最後の部分が分かりません。
　Σ[k=1～n] {(u/a_k)^[1/2(n-1)]}/sqrt(a_k) ≧ n
書き換えると、Σ[k=1～n] (u/{(a_k)^n})^[1/2(n-1)] ≧ n ですけど
なんでそうなるのかが分かりません。
595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/07 06:13:27]: >593
なるほど！そういうことだったのか。
ありがとうございます。

（問題15.5の証明）
下に凸な増加関数 f(x)=1/(1-x) に、Jensen と相加相乗平均を用いる。
等号成立条件は、a=b=c。
　f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f( (a+b+c)/3 ) ≧ 3f( \sqrt[3]{abc} )
596 名前：そういえば… mailto:sage [04/11/07 06:54:45]: 【問題】正の数 a, b, c が a<b+c をみたすとき、a/(1+a) < b/(1+b) + c/(1+c)

x>0 において f(x)=x/(1+x) は増加関数だから、a<b+c より f(a) < f(b+c)
f(b)+f(c)-f(b+c) = bc(2+b+c)/(1+b)(1+c)(1+b+c) > 0
よって、f(a) < f(b+c) < f(b)+f(c)

第3回シュプリンガー数学コンテスト問題A(a)
www.springer-tokyo.co.jp/contest/contest3.pdf
(b)なんてただの飾りです…（以下略）
597 名前：592 mailto:sage [04/11/07 07:04:46]: >594
　相加･相乗平均により
Σ[k=1～n] (u/{(a_k)^n})^c ≧ n・Π[k=1～n] [u^(1/n)/a_k])^(nc) = n・{1}^(nc) = n
598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/07 21:10:50]: なるほど、相加相乗を２回使ったのですか。
599 名前：593 mailto:sage [04/11/07 21:54:45]: >595 (問題15.5)
　なるほど！そういうことだったのか。
　ありがとうございます。

　なお、両端だけなら相加相乗３回で出まつ。ぬるぽ
600 名前：593 mailto:sage [04/11/07 22:17:15]: [599]の補足 > 593
>　なお、相加相乗３回で出まつ。
1/(1-a) +1/(1-b) +1/(1-c) ≧ 3/[(1-a)(1-b)(1-c)]^(1/3) ≧ 3/(1- s/3) ≧ 3/(1-u).
　の各辺から３を引く。ぬるぽ
601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/07 23:40:33]: 【問題15.1】
　a,b,c≧0 のとき、 7(ab+bc+ac)(a+b+c) ≦ 2(a+b+c)^3 +9abc.
　よろしくおながいします。
602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/08 01:52:56]: >601
a+b+c=s のとき、a/s, b/s, c/s を改めて a, b, c とおけば、同じ不等式をみたす。
したがって、a+b+c=1としてよく、【問題15.1】は次の問題に同値になる。

[1999.3 BMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、ab+bc+ca-9abc/7 ≦ 2/7
www.kalva.demon.co.uk/bmo/bmo99.html

最小値も追加した次の不等式を示す。

【問題】 a,b,c≧0, a+b+c=1 のとき、0 ≦ ab+bc+ca-9abc/7 ≦ 2/7

（左側の証明）
対称式なので a≧b≧c≧0 としてよい。
1 = a+b+c ≧ 3c より、1/3 ≧ c ≧ 0 だから
ab+bc+ca-9abc/7 = (a+b)c + ab(1- 9c/7) ≧ 0
等号成立条件は、対称性を取っ払って a, b, c のうちの少なくとも2個が0のとき

（右側の証明）
(i) 9/7 ≦ a ≦ 1 のとき、1 ≦ 9a/7 より、bc ≦ 9abc/7.
また b+c = 1-a ≦ 2/9 より、ab+ca = a(b+c) ≦ 2a/9 <2/7 だから、不等式は成り立つ。

(ii) 0 ≦ a ≦ 9/7 のとき、(b+c)^2-4bc = (b-c)^2 ≧ 0 より、
bc ≦ (1/4)(b+c)^2 =(1/4)(1-a)^2 だから、以下のように示される。等号は a=b=c=1/3.

ab+bc+ca-(2+9abc)/7
＝ a(b+c)+bc(1- 9a/7)-2/7
≦ a(1-a)+(1/4)(1- 9a/7)(1-a)^2 -2/7
＝ -(1/28)(a+1)(3a-1)^2
≦ 0
603 名前：601の類題 mailto:sage [04/11/08 01:54:13]: [1984.A1 IMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、0 ≦ ab+bc+ca-2abc ≦ 7/27
www.kalva.demon.co.uk/imo/imo84.html

[1993.26 IMO shortlist]
a, b, c, d≧0、a+b+c+d=1 のとき、abc+bcd+cda+dab ≦ (1+176abcd)/27
www.kalva.demon.co.uk/short/sh93.html

[1999 CMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27
www.kalva.demon.co.uk/canada/can99.html

[2000.33 MOCP]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=2 のとき、2 > a^2+b^2+c^2+2abc ≧ 52/27
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2000/prob_sep.pdf

[1989.10 ソ連]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=1 のとき、1/2 > a^2+b^2+c^2+2abc
www.kalva.demon.co.uk/soviet/sov89.html

[2003.B1 アイルランド]
三角形の3辺 a, b, c が a+b+c=2 のとき、1 < ab+bc+ca-abc ≧ 28/27
www.kalva.demon.co.uk/irish/irish03.html

　　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　>601 呼んだ？
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　私のコレクションは
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　　半端じゃありませんよ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ
604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/08 01:59:08]: さぁ、遠慮なく (;´д｀)ﾊｧﾊｧしてください。
605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/08 03:11:44]: >600
なるほど。

>>565(6) [1994 Poland] について…
△ABCに対して、1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ 9/(a+b+c)

両端だけなら、相加平均・調和平均の関係で出るんだけどなぁ…
606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/08 05:36:19]: >601
直接に差をとって証明しようとすると、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として

2(a+b+c)^3 +9abc-7(ab+bc+ac)(a+b+c) = 2s^3-7st+9u = 2s(s^2-3t)-(st-9u)

となって、だめぽ。いい方法ないですか？
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/08 10:54:33]: >>605
1/xの凸不等式で右側も左側もすぐに証明できるんじゃないの？
608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/08 12:03:51]: >605,607
　なるほど！そういうことだったのか。
　ありがとうございます。
　「相加平均･調和平均の関係で」「右側も左側もすぐに証明できるんじゃないの？」
　（左側）　 [1/(a+b-c) +1/(b+c-a)]/2 ≧ 1/b を循環的に加える。

>606
　2(a+b+c)^3 +9abc -7(ab+bc+ac)(a+b+c) = (a-b)(a^2 -b^2) +(b-c)(b^2 -c^2) +(c-a)(c^2 -a^2).
ぬるぽ
609 名前：608 mailto:sage [04/11/08 12:13:27]: >606
　s(s^2-3t) -(st-9u) ≧0 も成り立つらしいYo.
610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/08 17:07:03]: >607-609
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほど！ベリィ㌧クスです。
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/08 20:31:05]: >609
b が a, c の中間にあるとすると、(a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0 ゆえ,
　s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1)
これと
s^2 -3t = (1/2)[　 (a-b)^2 +　 (b-c)^2 +　 (c-a)^2] ≧0 ･････(2)
ts - 9u =　　　[　c(a-b)^2 +　a(b-c)^2 +　b(c-a)^2] ≧0 ･････(3)
t^2 -3su =(1/2)[c^2(a-b)^2 +a^2(b-c)^2 +b^2(c-a)^2] ≧0 ･････(4)
　を使えばかなりできそうだが．．．．（△を除き）
ぬるぽ
612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/09 03:36:09]: >>564(3)(5) ができそうで出来ません。たのも～

それと、下の問題も小一時間考えても分からないので教えて下さい。
たのも～

【問題】実数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、
a^3+b^3+c^3+(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3 ≧ 2(a^2b+b^2c+c^2a)
www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2004/n5/PDF/v30n5syn.pdf
613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/09 12:07:48]: >>564 (3)
a,b,cの符号によらないから、a,b,c ≧0 の場合を考える。与式を X+Y+Z とおくと、
　最大値：　X+Y+Z ≦ √{3(X^2 +Y^2 +Z^2)} = √{3(p^2+q^2+r^2)(a^2+b^2+c^2)}
　　　　　= √{3(p^2+q^2+r^2)}.
　最小値：　X≧(pa+qb+rc)/(√3), Y≧(pb+qc+ra)/(√3), Z≧(pc+qa+rb)/(√3).
　　　辺々たすと X+Y+Z ≧ (p+q+r)(a+b+c)/(√3) ≧ (p+q+r)/(√3).

>612
　相加・相乗平均により、(2a^3 +c^3)/3 + (ab)^2/c ≧ (a^2)[c +(b^2)/c] ≧ 2(a^2)b.
　循環的に加える。ぬるぽ
614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/09 16:08:16]: >>613
負の時もそれでいいの？
615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/09 16:12:55]: >613
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
なるほどッ！

>614
考察する式には、a^2, b^2, c^2 だけで a, b, c は入っていないから
最大値最小値を考えるには、a, b, c ≧ 0 の場合を考えただけで十分でしょ。
616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/09 16:20:16]: >>615
>>612の問題の方のことだけど
617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/09 19:39:43]: >>534 (5)-(i)
　f(x)=log(1+x^2) は 0<x<1 で下に凸だから
　与式 = exp{f(a)+f(b)+f(c)} ≧ exp{3f([a+b+c]/3)} = {1 +[(a+b+c)/3]^2}^3 = (10/9)^3.
　
>612, 616
任意の実数に対しては成り立たない希ガス．．．(たとえば c=-1 のとき左辺=-2, 右辺=-2b^2)
　おそらく右辺の chirality が原因．．．ぬるぽ
618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/10 03:45:45]: >>563(6) 0 < a, b, c < 1/2 に対して、(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1) ≧ {3/(a+b+c) -1}^3

f(x) = 1/x -1 は、0 < x < 1/2 において下に凸な減少関数で f(x) > 1。
したがって、0 < a, b, c <1 において f(a), f(b), f(c) > 1。
問題に手を加えて、次式を証明したい。

　[f(a)+f(b)+f(c)]/3 ≧ \sqrt[3][f(a)f(b)f(c)] ≧ f((a+b+c)/3)

左辺 ≧ 中辺 … 相加相乗平均より成立
左辺 ≧ 右辺 … Jensenの不等式より成立

中辺 ≧ 右辺 … これが原題ですが、うまい方法ないでしょうか？

　　　＿＿＿
　　.／　　≧　＼　　ついでに調和平均が、この不等式の
　　|:::: 　＼ .／　|　　　どこに入るか分かれば教えて下さい。
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::... .∀....ノ／　　ﾁﾝ　☆　　　　たのも～
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆　　　　　　　　たのも～
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　￣￣￣￣￣￣￣
619 名前：618 mailto:sage [04/11/10 04:38:04]: >>564(1)
a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a) より、
　（与式） = [(a+b+c)^3]/[(a+b)(b+c)(c+a)] -3

相加相乗平均より、2(a+b+c) = (a+b)+(b+c)+(c+a) ≧ 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}
∴ （与式） ≧ (3/2)^3-3 = 3/8

等号成立条件は a=b=c
620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/10 09:44:44]: >618
　>>563(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
　 log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸だから、 f(a)f(b)f(c) ≧ {f([a+b+c]/3)}^3.
ぬるぽ
621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/10 09:59:18]: >620
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ありがとうございます！
622 名前：１３２人目の素数さん [04/11/11 01:04:07]: age
623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/11 02:27:09]: >622
屑はageか3桁の数字を書き込むことしか出来ない
624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/11 12:39:49]: >>563(5) [1993 Itary] 0≦a, b, c≦1 に対して、a^2+b^2+c^2 ≦ a^2b+b^2c+c^2a+1

b, c を固定して f(a) = (a^2b+b^2c+c^2a+1)-(a^2+b^2+c^2) を考える。
b=1のとき直線、0≦b<1のとき上に凸な放物線だから、区間の端点で最小値をとる。
　f(0) = (1-c){c+(1-b^2)} ≧ 0
　f(1) = b(1-b)+c^2 ≧ 0

類題も同様にすればいい。
625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/11 12:44:09]: >>563(2) 綺麗な形をしているけど分からんちん。
>>563(4) できそうでできない。
>>564(4) 条件式が汚いからサッパリ。
>>564(5) できるのか、これ？
626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/11 12:44:46]: というわけで、せんせー方、たのも～（ＡＡ略）
627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/11 18:53:42]: >>564(5) [>>617]
　(i) f(x)=log(1+x^2) は 0<x<1 で下に凸だから
　与式 = exp{f(a)+f(b)+f(c)} ≧ exp{3f([a+b+c]/3)} = {1 +[(a+b+c)/3]^2}^3 = (10/9)^3.

(ii) g(x)=1+√x は上に凸なので、log|g(x)| も上に凸
　与式 = g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) = 1+√2.
628 名前：627 mailto:sage [04/11/11 19:19:45]: 訂正、　　与式 = g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) = 2.
629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/12 06:13:10]: >627-628
ありが㌧ございます。
なるほど、凸を使うのか。（*ﾟ∀ﾟ）=3
630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/12 07:40:08]: >627-628
(5)(ii) ですが、やっぱり分からんです。
g(x) = 1+√x は、x≧0 において上に凸で、g(x)>1 なので、
G(x) = log g(x) も、x≧0 において上に凸。 Jensenの不等式より
　G(a)+G(b)+G(c) ≦ 3G((a+b+c)/3) = 3G(1/3)
　∴ g(a)g(b)g(c) ≦ {g(1/3)}^3 = 2+(5/9)√3

と最大値はでますが、最小値は何故 g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) なのですか？
631 名前：627-628 mailto:sage [04/11/12 08:20:43]: >629-630 　 564(5)-(ii)の補足
　G(x)=log|g(x)| は上に凸:　 G(x) ≧ G(0)･(1-x) + G(1)･x
　∴ G(a)+G(b)+G(c) ≧ G(0)･(3-a-b-c) + G(1)･(a+b+c) = G(0)+G(0)+G(1).
　∴ g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1).
ぬるぽ
632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/12 09:03:07]: >631
>G(x)=log|g(x)| は上に凸:　 G(x) ≧ G(0)･(1-x) + G(1)･x

凸関数をそう使うのか (;´Д`) ﾊｧﾊｧ／lァ／lァ／lア／lア！！
ありがとうございます。少し賢くなったような気がしまする。
凸関数があったら Jensen ばかり使っていた自分は…
633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/12 09:18:56]: 同様にすると、(5)(i) の最大値は、
f(x)=log(1+x^2) は 0≦x≦1 で下に凸だから、f(x) ≦ f(0)(1-x)+f(1)x
　f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(0)(3-a-b-c)+f(1)(a+b+c) = f(1)
　∴ (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) ≦ 2
634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/12 09:22:56]: 等号が成り立つのは、x=0 または 1 のときだから、
　(a, b, c) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/12 10:17:23]: >>538(2) を条件を a, b, c > 0、a+b+c=1 に変えると、
　1/2 ≦ a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 9/10

f(x) = x/(1+x^2) は 0≦x≦1 で上に凸だから、
左側は、f(x) ≦ f(0)(1-x)+f(1)x = x/2 より、右側はJensenの不等式。

うひょ～ (＊ﾟ∀ﾟ)＝3
636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/12 16:51:35]: a, b, c≧0 が a+b+c=1 をみたすとき、a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) のとりうる値の範囲について、
最大値について、Jensenの不等式を用いたら出ないのですが、どこがおかしいか教えて下さい。

a^2(b+c)=a^2(1-a) より、f(x) = x^2(1-x) を考える。
0≦x≦1において f(x) は上に凸だから、Jensenの不等式より
　a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) = f(a)+f(b)+f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2/9
等号成立条件は a=b=c=1/3。

ところが、例えば (a, b, c) = (1/2, 1/2, 0) のとき、1/4 の値をとり、これは 1/4 > 2/9 なんです。
Jensenの不等式の使い方間違ってますか？

　　　　　　　　　　r～～～～～
　　　＿_　　　　_ﾉうっうっうっ・・・
　／__　｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′
637 名前：636 mailto:sage [04/11/12 16:55:37]: ゴメン。書いてて気がついた。はずかし…
上に凸じゃないや、ダメダメだね俺。吊ってくるわ（ＡＡ略）
638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/12 17:07:49]: スレ汚しの罰に、問題ＵＰ

0≦a, b, c≦1のとき、S=\sqrt{a(1-b)(1-c)}+\sqrt{b(1-c)(1-a)}+\sqrt{c(1-a)(1-b)} について

(1) S ≦ 1+\sqrt{abc} を示せ。等号成立条件も。
(2) S の最大値を求めよ。

Problem 175 （これって、何かの雑誌？）
www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/math_hor-11-1-sep03.pdf
639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/12 17:51:58]: >>563(4)　できそうで．．．
　左辺－右辺 = (a^2)(b-c)/c - (b^2)(a-c)/a + (c^2)(a-b)/b
　= a(a-c)(b-c)/c + b(a-b)(a-c)/a -c(b-c)(a-b)/b
　= (a/c)(b-c)^2 + (b/a)(a-b)^2 + {a/c +b/a -c/b}(b-c)(a-b)
　= (a/c)(b-c)^2 + (b/a)(a-b)^2 + {(a/c-1)+(b/a)+(1-c/b)}(b-c)(a-b)≧0.
ぬるぽ
640 名前：三角函数ヲタ mailto:sage [04/11/12 22:18:24]: >638 √a =sin(A/2), √b =sin(B/2), √c= sin(C/2) （0≦A,B,C≦π）とおく。

(1) S(A,B,C) = sin([A+B+C]/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) ≦ 1+√(abc), 等号成立はA+B+C=π.

(2) 2∂S/∂A = cos([A+B+C]/2) + cos(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) = 0,
　　2∂S/∂B = cos([A+B+C]/2) + sin(A/2)･cos(B/2)･sin(C/2) = 0,
　　2∂S/∂C = cos([A+B+C]/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･cos(C/2) = 0.
　∴A/2=B/2=C/2=θ, これを上式に入れて, cos(3θ) + cosθ･(sinθ)^2 =(3x^2 -2)x=0,
　　x=cosθ=√(2/3), θ=90ﾟ-54ﾟ44', a=b=c=1/3, ∴ S≦2/(√3).
ぬるぽ
641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/13 05:30:27]: >639-640
キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ! ! !
さらりと解いてしまう、そこにしびれるあこがれる～！
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/13 08:18:53]: >640
その置き換えに痺れる憧れるぅ～。 (；´Д`) ﾊｧﾊｧしました。
しかし、(2)の最大値は 9/8 ではないでしょうか？

(1)より得られた上限値 1+sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) に、Jensenの不等式を用いる。
[>>557補題] より、0≦x≦π において f(x) = log sin(x/2) は上に凸だから、
　f(A)+f(B)+f(C) ≦ 3f((A+B+C)/3) = 3f(π/3)
　∴ 1+sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2) ≦ 1+{sin(π/6)}^3 = 9/8
等号成立条件は、A=B=C=π/3 すなわち a=b=c=1/4
　　　＿＿＿
　　.／　　≧　＼　　
　　|:::: 　＼ .／　|　　　これでいいでしょうか？
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::... . ワ ....ノ／　　ﾁﾝ　☆　　　　たのも～
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆　　　　　　　　たのも～
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　￣￣￣￣￣￣￣
643 名前：642 mailto:sage [04/11/13 08:40:50]: あぁそうか、勘違いしてました。
(2)はSの最大値で、1-√(abc) の最大値じゃないんですね。

　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀）　　まことに
　　　　 /　　　　ヽ
　　　　し､__X__,ﾉJ

　　　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　　⌒ｌ　　すいませんでした
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V
644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/13 08:55:02]: あーでも変だなぁ…
どこがおかしいんだろ？
645 名前：642 mailto:sage [04/11/13 10:47:27]: 自己解決。
A+B+C=π という束縛の下で解いたから最大値が小さくなったんですね。
sin((A+B+C)/2) が1にならないときに最大となる可能性があるから…。
普通に解いてみました。

>638の最大値を求める。 >640の置き換えより、
　（与式） = sin((A+B+C)/2) + sin(A/2)･sin(B/2)･sin(C/2)

0≦x≦π において g(x) = sin(x/2) は、g(x)≧0 かつ上に凸だから、
相加相乗平均とJensenの不等式より
　g(A)･g(B)･g(C) ≦ [g(A)+g(B)+g(C)/3]^3 ≦ [g((A+B+C)/3)]^3
等号成立条件は A=B=C

これと３倍角の公式から、（与式） ≦ [g(3A)+g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3

0≦g(A)≦1 における最大値を考えて、g(A)=1/√3 で極大かつ最大値 2/√3 をとるぽよ。
646 名前：645の訂正 mailto:sage [04/11/13 10:49:10]: 下から2行目の書き間違い

(×) これと３倍角の公式から、（与式） ≦ [g(3A)+g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
(○) これと３倍角の公式から、（与式） ≦ g(3A)+[g(A)]^3 = 3g(A)-3[g(A)]^3
647 名前：問題 mailto:sage [04/11/13 12:52:57]: ネタが尽きかけたので、補充しまつ。

【問題】文字は全て正の数とする。

(1) 1/[1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c)] - 1/(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1/3

(2) [1997 Belarus] a/b + b/c + c/a ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)

(3) [1995 Russia] 1/(ab) ≧ a/(a^4+b^2) + b/(a^2+b^4)

(4) [1997 Belarus] (a+y)x/(a+x) + (a+z)y/(a+x) + (a+x)z/(a+y) ≧ x+y+z ≧ (a+z)x/(a+z) + (a+x)y/(a+y) + (a+y)z/(a+z)

(5) [1997 Romania] a^2/(a^2+2bc) + b^2/(b^2+2ca) + c^2/(c^2+2ab) ≧ 1 ≧ bc/(a^2+2bc) + ca/(b^2+2ca) + ab/(c^2+2ab)

(6) [1993 Poland] (a+c)(b+d)/(a+b+c+d) ≧ ab/(a+b) + cd/(c+d)

(7) [1999 Moldova] ab/[c(c+a)] + bc/[a(a+b)] + ca/[b(b+c)] ≧ a/(c+a) + b/(b+a) + c/(c+b)

発掘先 (;´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ／lア／lア！！
myhome.personaldb.net/ideahitme/psine1.pdf
myhome.personaldb.net/ideahitme/psine2.pdf
648 名前：１３２人目の素数さん [04/11/13 13:17:37]: 下らん不等式並べるなよ馬鹿
649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/13 19:15:06]: >>564(6)
>　実数 a,b,c≧0 に対して、常に次式が成り立つような定数 k の最小値。
> k(a^3 +b^3 +c^3) +(9-3k)abc ≧ (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2)

　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　k(s^3 -3st +3u) +(9-3k)u ≧ s(s^2-2t).
　(k-1)s(s^2 -3t) -(st-9u) ≧ 0.

　k=2 のときは、↓により成立。
　　s^3 -4st +9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 ･････(1) [>>611]
　k>2 のときは、これと (k-2)(a^3 +b^3 +c^3 -3abc)≧0 とを加えて成立。
k<2 のときは、a=b, c=0 の場合、左辺=2(k-2)a^3 < 0 で不成立。

----------------------------------------------------------------------

一方、ts -9u = [ c(a-b)^2 +a(b-c)^2 +b(c-a)^2] ≧0 ･････(3)　[>>611]

>>601-602 [1999.3　BMO]　左側：(3)から,　右側：[>>608] または {(1)×2＋(3)}/7
>>603(1)　[1984.A1 IMO]　左側：(3)から,　右側：{(1)×7＋(3)}/27
ぬるぽ
650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/14 04:38:37]: お～なるほどッ！
651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/16 20:19:06]: >>562
(1)　|a|,|b|≧|c| とすると, |a^2 +b^2 +c^2| ≦ |a|^2 +|b|^2 +|c|^2 ≦ |a|^2 +|b|^2 +2|ab| = (|a|+|b|)^2.

(2)　[1999 Poland] 50th, 1st round (1998 Sep.-Dec.), No.2
　　a+b=s とおくと、右辺－左辺 = 3(s^2 +c^2 +d^2) -(s+c+d)^2 = (s-c)^2 +(c-d)^2 +(d-s)^2 ≧0.

(3)　相加･相乗不等式で瞬殺。[>>567]

(4)　相加･相乗平均により (10ab^4+11bc^4+7cd^4+23da^4)/51 ≧ a(abcd). これを循環的に加える。

(5)　[2003 Poland] 54th, 1st round (2002 Sep.-Dec.) No.12
　　4文字の基本対称式を a+b+c+d=S, ab+bc+ca+ad+bd+cd=T, abc+bcd+cda+dab=U, abcd=V とおく。
　　A = a^3+b^3+c^3+d^3 = S^3 -3ST +3U, B=U.
　右辺－左辺－9U = 4A +15U - S^3 = 3(S^3 -4ST +9U).

【補題】S^3 -4ST +9U ≧0 は4文字の場合も成り立つ。
　（略証） S^3 -4ST +8U = (a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)　･･････ (*)
　　対称式だから、a≧b≧c≧d>0 としてよい。 a-b=f, b-c=g, c-d=h とおくと、U≧abc.
　 S^3 -4ST +9U ≧ (f+2g+h)(f+h)(f-h) + abc = (f+2g+h)(f^2-h^2) + (f+g+h+d)(g+h+d)(h+d)
　　≧ (f+2g+h)(f^2 -h^2) + (f+g+h)(g+h)h = f^2(f+2g+h) +gh(f+g) ≧ 0. (終)
　　なお、3文字のときは [>>611]

※　S^2 -(8/3)T = (1/3)Σ[i<j] (a_i-a_j)^2,　
　　ST-6U = (1/2)Σ[i<j] (S-a_i-a_j)(a_i-a_j)^2,
　　S^3 -4ST +8U = S{S^2 -(8/3)T} -(4/3)(ST-6U) = (1/3)Σ[i<j] (2a_i+2a_j-S)(a_i-a_j)^2 より.
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/16 20:22:17]: >>562
(6)　[2002 Poland] 53rd, 2nd round, 2nd day (2002.2.23) No.6
　　n=2 のときはコーシーの不等式、n>2 のときは帰納法で。 n=1は不成立。[>590]
　
(7) a_1 = b_2 ≠ a_2 = b_1 の場合を考えると･･･

　[562]の解答のレス番（主なもの）　　
　　(1) [651] (2) [651] (3) [567] (4)[651] (5) [651] (6) [590] (7) ?
ぬるぽ
653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/17 01:13:22]: >651-652
神キタ━（ﾟ∀ﾟ）━ ！！！

651(4)、うますぎる！とても作り出せない…。
abcd=1 としてゴチャゴチャやってましたができませんでした。
＿|￣|○
654 名前：１３２人目の素数さん [04/11/17 01:16:05]: 連立方程式をたてて解けばいいんだよ・・・
655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/17 01:18:27]: 実数 x に対して、|sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + cosec x| ≧ 2√2 - 1

[AMM_Oct._2004 P.682] より発掘。解答は P.685

(；´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ／lア／lア！！
656 名前：１３２人目の素数さん [04/11/17 04:07:03]: s=sinx,c=cosx,s^2+c^2=1
|s+1/s+c+1/c+s/c+c/s|≧2√2-1
657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/17 04:29:10]: >656
ドラクエでもやれば？
( ﾟ∀ﾟ) ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ＼／＼／＼
658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/17 13:04:33]: >655
(i) 0<x<π/2 のとき各項>0 ゆえ
　与式 = {sin(x) +1/sin(x)} + {cos(x) +1/cos(x)} + {tan(x)+cot(x)} > 2+2+2 = 6.
(ii) π/2 < x < 2π のとき
　z=cot(x/2) とおくと, 1-z>0.
　sin(x) + cos(x)= 1 -2(1-z)/(1+z^2),
　tan(x) + 1/cos(x) = [sin(x)+1]/cos(x) = -(1+z^2)/(1-z) -ｚ,
　cot(x) + 1/sin(x) = [cos(x)+1]/sin(x) = z.
　∴ 与式 = 1 -2(1-z)/(1+z^2) -(1+z^2)/(1-z) ≦ 1 -2√2　(←相加･相乗平均).
　等号成立は、z =－(1/2)√2 ± √(√2 -1/2) のとき.
659 名前：658 mailto:sage [04/11/17 20:57:29]: >658(ii) (補足)
[sin(x) +1]/cos(x) + [cos(x)+1]/sin(x) = [1+sin(x)+cos(x)]/[sin(x)cos(x)]
= -2/[1-sin(x)-cos(x)].
660 名前：659 mailto:sage [04/11/18 08:57:13]: (続き)
　1-sin(x)-cos(x) =y とおくと与式 = 1-y-2/y.　∴ ｜与式－1｜ =｜y +2/y｜≧ 2√2.
661 名前：660 mailto:sage [04/11/18 18:08:39]: （続き）　以上により↓が示された。
【命題】　F= sin(x) + cos(x) + tan(x) + cot(x) + sec(x) + cosec(x) とおくとき
　F≧ 3√2 +2 または F≦-(2√2 -1).
ぬるぽ
662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/18 21:23:57]: >>563
(1) a+b+c=s、ab+bc+ca=t、abc=u とおき、次の同次形を示す。　s^2 -2t +2√(3su) ≦ s^2. [>>576]

(2)　綺麗な形をしているけど分からんちん。
　　同次形は (a+b+c)^2･(pa+qb+rc) -8abc(p+q+r) ≧0.
　　左辺－右辺 = {(a+b+c)^2 -8bc}pa + {･･･}qb + {･･･}rc としても {･･･}≧0 とは言えない...
　　題意により (p+q+r)/2 ≧ p,q,r ≧0 だから、 p,q,rは三角不等式を満たす。そこで
　　左辺－右辺 = f(a,b;c)(p+q-r) + f(b,c;a)(-p+q+r) + f(c,a;b)(p-q+r).
　　f(a,b;c)≡{(a+b)+c}^2･(a+b)/2 -8abc≧ {4(a+b)c}･(a+b)/2 -8abc≧ 0.

(3) 相加・相乗平均でハァハァと [>>578]

(4) できそうでできない。 a,b≧cの使い方。[>>639]

(5) 上に凸 [>624]
　　類題は　 (ab+bc+ca+1) - (a+b+c) = (1-a)(1-b)(1-c) + abc ≧0.

(6) f(x) = 1/x -1 とおくと {log|f(x)|} '' = {log(1-x) -log(x)} '' = 1/(x^2) -1/(1-x)^2.
　　log|f(x)| は 0<x<1/2 で下に凸 [>>620]

(7) 0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う。

[563]の解答のレス番号（主なもの）
(1) [576] (2) これ (3) [578] (4) [639] (5) [624] (6) [620] (7) これ
ぬるぽ
663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/19 09:44:50]: >>662 ぬるぽ神ｷﾀ─wwﾍ√ﾚvv～(ﾟ∀ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv～─ !!!
ありがとうございます。

(2) ｳﾎｯ！どうやって同次系の不等式を思いつくのですか？コツがあるのでしょうか？
a+b+c も p+q+r もどちらも１なので、組合せは何通りも考えられますよね。
その後の進め方もまた（；´ρ`）ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ／lア／lア！！

(5)類題、こんなにアッサリ片付くとは…。文字を固定してゴリゴリ証明してました。

(7) うう、分かりません。「0≦y≦1, n≧1 のとき 1-y^n≧1-y を使う」と、
　左辺第１項 ≧ (1-x)^m
　左辺第２項 ≧ x^n
となるから、左辺 ≧ (1-x)^m - x^n となって、その後どうするのでしょうか？

>654 なるほど、連立方程式の立て方が分かりました。（￣ー￣）ﾆﾔｿ
664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/19 12:11:56]: >>564
　基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。

(1) 相加･相乗でハァハァと [>>619]
　　a^3 +b^3 +c^3 = s^3 -3(a+b)(b+c)(c+a)
　　s^3 = {(3/2)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/3}^3 ≧ (3/2)^3･(a+b)(b+c)(c+a).
　　∴ 与式 = (s^3)/[(a+b)(b+c)(c+a)} -3 ≧ (3/2)^3-3 = 3/8.

(2) 分母 = (2a^2+b^2)(b^2+2c^2) = t^2 +(b^2 -ac)^2 +a^2(b-c)^2 +c^2(a-b)^2 ≧ t^2.
　　∴ 与式 = us/(t^2) ≦ 1/3.

(3) 最大値：√{3(p^2+q^2+r^2)},　最小値：(p+q+r)/(√3). [>>613]

(4) 条件式が汚いからサッパリ。
　b-c=x, c-a=y とおくと a-b=(-x-y), 条件式は xy≧1.
　F(x,y) = {(x+y)^(2n+1)-x^(2n+1)-y^(2n+1)}/{xy(-x-y)}
　= {(x+y)^(2n) - x^(2n) +x^(2n-1)･y-････+x･y^(2n-1)-y^(2n)}/xy
　= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} x^k･y^(2n-2-k)
　= Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]+(-1)^k} {x^k･y^(2n-2-k) + x^(2n-2-k)･y^k}/2
　≧ |xy|^(n-1)･Σ[k=0,2n-2] {Ｃ[2n,k+1]-(-1)^k}　　（←相加･相乗平均）
　= |xy|^(n-1)･F(1,1) ≧ F(1,1) = 2^(2n) -1.
665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/19 12:13:32]: >>564
(5) できるのか、これ？ [>>617,>>627-631]
　0<a,b,c<1, a+b+c=s のとき, g(x)=1+x^r,　f(x)=log|g(x)| とおくと
　f '(x) = g '(x)/g(x) = r･x^(r-1)/(1+x^r),
　f ''(x) = {g(x)g ''(x)-g '(x)^2}/{g(x)}^2 = r･(r-1-x^r)･x^(r-2)/[(1+x^r)^2].

　(i)　r≧2 のとき f(x) は 0<x<1 で下に凸だから
　log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f(s/3) = 3log|g(s/3)|.
　f(x) ≦ f(0)(1-x) + f(1)x.
　∴ g(s/3)^3 ≦ 与式 ≦ g(0)^(3-s)･g(1)^s.

　(ii)　0≦r≦1 のとき g(x)=1+x^r はx>0 で上に凸
　∴ f(x)=log|g(x)| も上に凸： f(x) ≧ f(0)･(1-x) + f(1)･x
　∴ log(与式) = f(a)+f(b)+f(c) ≧ f(0)･(3-a-b-c) + f(1)･(a+b+c) = f(0)･(3-s) + f(1)･s.
　∴ g(0)^(3-s)･g(1)^s ≦ 与式 ≦ g(s/3)^3.

(6) k≧2 成立、 k<2 不成立。 [>>649]

[564]の解答のレス番号（主なもの）
　(1) [619] (2) [664] (3) [613] (4) [664] (5) [617][627] (6) [649]
ぬるぽ
666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/20 04:19:07]: >651(5)
遅レスですが、勉強になりました。ﾊｧﾊｧ…
667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/20 09:05:59]: >664(4)
なるへそ。条件式を変形した式から b-c=x, c-a=y とおくことに気づくわけか…
その後の nCr の計算にﾊｧﾊｧ…
条件式から xy≧1 だし、x^k･y^(2n-2-k) も x^(2n-2-k)･y^k も正だから相加相乗か…
計算の後を追いかけるのがやっとです。とても自力で出来ません。

だめぽ＞（：D）|￣|＿
668 名前：580 mailto:sage [04/11/22 11:39:24]: >587
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　0　< sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
　-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.

　フランダースの不等式とか言うらしい．．．
　mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html
ぬるぽ
669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/22 13:26:17]: ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( ﾟ)━( )━(ﾟ )━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
670 名前：１３２人目の素数さん [04/11/22 13:52:11]: >>388の証明(>>391)がよくわかんない。詳しく教えてくれ。
671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/22 15:43:58]: >668
パトラッシュ、疲れたろう。
右側は相加相乗だけど、左側はどうするんだろうね
　　　,.-─-、
　　 /　/_wゝ-∠l
　　　ヾ___ノ,.　-　>
　　 /|／（ヽY__ノﾐ
　　.{　　　rｲ　　ノ

僕もう疲れたよ…
何だかとても眠いんだ…パトラ…
672 名前：668 mailto:sage [04/11/22 19:23:28]: >671
　f(x) = log|sin(x)| - log|x｜とおいて f '(x) = 1/tan(x) -1/x,
　f ''(x)= -1/[sin(x)^2] +1/(x^2) <0（上に凸）を使うんだろうな･･･ネロ･･･

AAらしい
www.geocities.co.jp/Playtown-Darts/3851/fra.html
壁紙らしい
www.accessup.org/anime_j/Frandarce%2520dog.html
公式サイトらしい
www.bandaivisual.co.jp/flanders/fd_flmf.html
www.nippon-animation.co.jp/new/title/flanders/
www.nippon-animation.co.jp/na/flanders/
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/22 21:33:28]: >670
[>>391]にしたがって、まず極座標(r,θ)に変換する。
　∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy = ∫{∫f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr}/(cosθ+sinθ) dθ
次にrについてヘルダーの不等式を使う。
　∫_[0,R]f(r･cosθ)g(r･sinθ)dr ≦ {∫_[0,R]f(r･cosθ)^p dr}^(1/p)･{∫_[0,R]g(r･sinθ)^q dr}^(1/q)
　= {∫_[0,R･cosθ]f(r')^p dr'}^(1/p)･{∫_[0,R･sinθ]g(r")^q dr"}^(1/q)･(1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)
　→　(1/cosθ)^(1/p)･(1/sinθ)^(1/q)･F^(1/p)･G^(1/q). (R→∞)
一方、θについての積分は、
　I = ∫_[0,π/2] 1/{(cosθ)^(1/p)･(sinθ)^(1/q)･(cosθ+sinθ)} dθ
となるが、ここで tanθ = t とおくと、cosθ=1/√(1+t^2), sinθ=t/√(1+t^2), dθ=dt/(1+t^2) を使えば
　I = ∫[0,∞) 1/{(1+t)t^(1/q)} dt = π/sin(π/p) となる。　　（←[391][396]）
∴　∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy ≦ {π/sin(π/p)}F^(1/p)･G^(1/q).
ぬるぽ
674 名前：１３２人目の素数さん [04/11/22 23:33:45]: >>673
なるほど。
>>388に書かれてるように、真の不等号が成り立つっていうのは証明難しい？
675 名前：673 mailto:sage [04/11/23 01:12:56]: >674
　ヘルダーの不等式を使う所で、等号成立する場合がないことを示すのかなぁ？？

　>>137-139, >>158　(総和形）
　www007.upp.so-net.ne.jp/masema/Lebesgue.html
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/23 01:47:53]: >671
　フランダースの場合は　あまりにも　お犬さん
　フランダースの場合は　あまりにも　優しい
　ベルギー　アントワープの　大聖堂　雪の　朝に
　ネロと　そっと　ひとつ
　フランダース

　(98/11/09)
　www2.gol.com/users/maroon/kaenor-1.htm
677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/23 04:13:26]: >>672
なるへそ！凸な関数に目をつけるんだね、パトラッシュ。
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/23 06:08:19]: A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8

一方、相加相乗平均とJensenの不等式から
　0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 ≦ (3√3)/8

気になるのが ( [sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3 )^3 と {(3√3)/2π}^3 ABC の大小。
　sin(A)+sin(B)+sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(B/2)
だから、f(x) = log cos(x) - (1/3)log(x) とおくと　f(A/2)+f(B/2)+f(C/2) と log((3√3)/4π) の大小。
f(x) の 0<x<π/2 における凹凸が一定でないので、わからんちん。

　　　,.-─-、
　　 /　/_wゝ-∠l
　　　ヾ___ノ,.　-　>　僕もう疲れたよ…
　　 /|／（ヽY__ノﾐ　何だかとても眠いんだ…パトラ…
　　.{　　　rｲ　　ノ
679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/23 23:02:55]: >>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] www.liis.lv/NMS/bw03/uzd/bw03eng.pdf

正の数 a, b, c に対して、2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab) ≦ a/(bc) + b/(ca) + c/(ac)
　　　　　　　＿＿＿　

彡　　　　／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　ネタを仕入れるために
　　　　　人つゝ人,,
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　　　旅立とう・・・
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 01:46:36]: >>647　 a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと, s^2 -3t≧0, st-9u≧0, t^2 -3su≧0. これでゴリゴリ

(1) 左辺 = (1+s+t+u)/(3+2s+t)- u/t = 1/3 + [(st-9u) +2(t^2 -3su)]/[3t(3+2st+u)] ≧ 1/3.

(2) 相加・相乗平均により (ca^2/b +2ab^2/c +4bc^2/a)/7 ≧ bc. これを循環的に加えて,
　　(ca^2 +ab^2 +bc^2)(1/a +1/b +1/c) = (a^2 +b^2 +c^2) +(ca+ab+bc) +(ca^2/b + ab^2/c +bc^2/a)
　　≧ (a^2 +b^2 +c^2) +2(ab+bc+ca) = s^2.　
　　左辺 = (ca^2 +ab^2 +bc^2)/u ≧ (s^2)/t,
　　右辺 = {(s^3 -st +3u) +(ca^2 +ab^2 +bc^2)}/(st-u).
　　[左辺－右辺]･(st-u) = (st-2u)(左辺) -(s^3 -st +3u) ≧ (st-2u)(s^2)/t -(s^3 -st +3u)
　　= -2(s^2)u/t +st -3u ≧ -2st/3 +st -3u = (st-9u)/3 ≧0.

(3) 1/(2ab) = a/(2a^2b) ≧ a/(a^4+b^2).
　　1/(2ab) = b/(2ab^2) ≧ b/(a^2+b^4).
　　辺々たす。

(4) 左辺 - 中辺 = (y-z)x/(a+z) +(z-x)y/(a+x) +(x-y)z/(a+y)
　　= [a(xz^2 +yx^2 +zy^2 -3xyz) +(t^2 -3su)]/[(a+x)(a+y)(a+z)] ≧0.
　　右側：　x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) の大小と a+x, a+y, a+z の大小は一致する。
　　∴ チェビシェフの不等式により成立。

(5) (a^2)/(a^2 +2bc) ≧ (a^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより左辺≧1.
　　 bc/(a^2+2bc) ≦ (1/2)(b^2 +c^2)/(a^2 +b^2 +c^2) などより右辺≦1.
　　なお、(左辺) + (右辺)×2 = 3.

(5)の類題[>679]：　相加･相乗平均より 2a/(a^2 +bc) ≦ a/√(au) = √(au)/u ≦ (2a^2 +b^2 +c^2)/4u.
　　循環的に加える。
681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 01:51:26]: >>647 (続き)
(6) [1993 Poland] 44th, 2nd roud, 1st day No.1 (1993.2)
　　S=a+b+c+d, U=bcd+cda+dab+abc とおく。
　　左辺 - 右辺 = (a+c)(b+d)/S -ab/(a+b) -cd/(c+d)
　　= [(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)-SU]/[S(a+b)(c+d)] = (ad-bc)^2 /[S(a+b)(c+d)] ≧0.

(7) b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
　　左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].
　　右辺 = 1/(y+1) +1/(z+1) +1/(x+1) = (t+2s+3)/[(x+1)(y+1)(z+1)].
　　[左辺－右辺]･(x+1)(y+1)(z+1) = (s^2 -2t) -s
　　= (1/2)[(x^2 +y^2 +z^2 -3) +(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2] ≧0.
ぬるぽ
682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 11:27:48]: >680-681 さすが不等式王！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿,
　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　／　　≧　＼.　　　　　　　　.┏┓┏┓
┏┛┗┓┃┏┓┃　　　　　　|::::　＼ .／　|　　　　　　　　 ┃┃┃┃
┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━━|::::: (●　(● |━━━━━┓┃┃┃┃
┏┛┗┓┃┏┓┃┗━━━ヽ::::... .ワ.....ノ!━━━━━┛┗┛┗┛
┗┓┏┛┗┛┃┃　　　　　　（（つ　　丿ﾉ　　　　　　　.　┏┓┏┓
　 ┗┛ 　　　┗┛　　　　　　　（　ヽノ　　　　　　　　　　┗┛┗┛
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　し（＿）　　
683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 11:29:45]: どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…

非負実数 a, b, c, d に対して次式が成立。
4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 24(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3 ≧ (a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab)

（；´д｀）ﾊｧﾊｧして書いた。
不等式なら何でもよかった。
今は反省している。
684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 13:56:12]: a,b,c≧0 のとき、 a^3+b^3+c^3+6abc ≧ (ab+bc+ac)(a+b+c)
（証明）
差をとれば、Schurの不等式のλ=1 の場合になる。（不等式への招待 P.28）
左辺-右辺 = a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) ≧ 0

一方、>>601 a,b,c≧0 のとき、 2(a+b+c)^3 +9abc ≧ 7(ab+bc+ac)(a+b+c) が成立。

そこで気になるのが、7(a^3+b^3+c^3+6abc) と 2(a+b+c)^3 +9abc の大小。
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、a^3+b^3+c^3 = s^3-3st+3u より

7(a^3+b^3+c^3+6abc)-[2(a+b+c)^3 +9abc]
= 5s^3-21st+54u
= 2(2s^3-7st+9u)+s(s^2-3t)-4(st-9u)

うまくいかんちん…
s, t, u に成り立つ不等式は、 s^3-27u ≧ 0 とか、
>>42より、2s^3-7st+9u = (a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 ≧ 0
　　　＿＿＿
　　.／　　≧　＼　　
　　|:::: 　＼ .／　|　　　よろしくおねがいします！
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::.... ワ ....ノ／　　ﾁﾝ　☆　　　　たのも～
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆　　　　　　　　たのも～
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　￣￣￣￣￣￣￣
685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 14:23:47]: 非負実数 a, b, c に対して、（；´д｀）ﾊｧﾊｧできそうな不等式

(a+b)(a^4+b^4) ≧ (a^2+b^2)(a^3+b^3)
(a+b+c)(a^4+b^4+c^4) ≧ (a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)

これって、一般化できるのでせうか？
686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 14:27:37]: >>685
>>153とは違うのか？
687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 15:59:55]: >686 ∑(￣ワ￣；)！見逃してた。ありがとうございます。

>153 x_k≧0 (k=1,2,･･･,m)のとき、 F(n)≡(1/m)Σ[1≦k≦m] (x_k)^n とおくと
> (補題) bc≧0 ⇒ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).
> (系1) F(n-1)･F(n+1) ≧ {F(n)}^2.
> (系2) {F(n)}^(1/n) はnに関して単調増加.

補題で、a=b=1, c=2, m=2, 3 の場合が >685ですね。
ちなみに153は、「モノグラフ４不等式 P.57」より九州大の問題。
ところで、153の証明って…
688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 22:17:04]: >687
　項別に比べれ。
　>>153 の（補題）はさくらスレ１４５にありますた．．．

109 ：PrinceMathematician◇ ：04/05/27 12:02

(補題) bc≧0 ⇔ F(a)･F(a+b+c) ≧ F(a+b)･F(a+c).

　　F(a)･F(a+b+c)－F(a+b)･F(a+c)
　　= (1/m)^2 Σ[1≦i≦m][1≦j≦m] (x_i･x_j)^a･{x_j^(b+c)-(x_i)^b(x_j)^c}
　　= (1/m)^2 Σ[1≦i<j≦m] (x_i･x_j)^a･{x_i^(b+c)+(x_i)^b･(x_j)^c+(x_j)^b･(x_i)^c+x_j^(b+c)}
　　= (1/m)^2 Σ[1≦i<j≦m] (x_i･x_j)^a･{(x_i)^b-(x_j)^b}{(x_i)^c-(x_j)^c}
　　～ {(x_i-x_j)b}{(x_i-x_j)c} ～ bc.　
　～は同符号の意味。等号成立は x_1=x_2=･･･=x_m のとき. (終)
689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 22:20:55]: >679 >>647(5) の類題
[2003 Baltic Way] www.liis.lv/NMS/bw03/uzd/bw03eng.pdf

正の数 a, b, c に対し、
　A = a/(bc) + b/(ca) + c/(ab)
　B = 1/a + 1/b + 1/c
　C = 1/√(ab) + 1/√(bc) + 1/√(ca)
　D = 2a/(a^2+bc) + 2b/(b^2+ca) + 2c/(c^2+ab)
　E = 3/\sqrt[3](abc)
　F = 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)
　G = 6/\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}
　H = 9/(a+b+c)
とおくと
　A ≧ B ≧ C ≧ D
　C ≧ (E, F) ≧ G ≧ H
E, Fの大小は定まらない。(a, b, c) = (1, 1, 27), (1, 1, 1), (1, 1, 8) のとき、≧、＝、≦。
　　　＿＿＿
　　.／　　≧　＼　　
　　|:::: 　＼ .／　|　　　 D と (E, F) ≧ G ≧ H は
　　|::::: (●　(● |　　　　　　　　ドッキングできないですか？
　　ヽ::::.... ワ ....ノ／　　ﾁﾝ　☆　　　　たのも～
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆　　　　　　　　たのも～
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　￣￣￣￣￣￣￣
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/24 22:22:05]: >>688
おっ！書き込んでいる間に。
ありがとうございます。
さっそく印刷して読みます。
691 名前：651 mailto:sage [04/11/24 22:53:06]: >683
　どうでもいいことだけど >>562 (5) を合わせて･･･　↓が成り立たんかな？

　4(a^3+b^3+c^3+d^3) + 15(abc+bcd+cda+dab) ≧ (a+b+c+d)^3.
692 名前：683 mailto:sage [04/11/24 22:58:41]: >691
> 683 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：04/11/24(水) 11:29:45
> どうでもいいことだけど、>>392 + >>592 を合わせて…

「>>392 + >>562 を合わせて…」の書き間違いでした。
693 名前：１３２人目の素数さん [04/11/25 00:39:29]: >>691
成り立つね。
694 名前：683 mailto:sage [04/11/25 02:25:58]: >651の証明から成り立ってますね。㌧クス。691,693
（：D）|￣|＿
695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/25 03:06:07]: >>689
(1,1,2)を代入してみたら H≧D だけど、もしかして常に成り立っているのかな。
696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/25 20:00:14]: 成り立ってないよ
697 名前：１３２人目の素数さん [04/11/26 09:48:46]: うちのおじいちゃんの名前　成田多内
うちのおばあちゃんの名前　成田つね
698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/26 10:01:07]: >>696
反例キボンなり
699 名前：１３２人目の素数さん [04/11/26 10:51:09]: a = 3, b = 1, c : きわめて 0 に近い数
700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/26 11:01:32]: >>699
ぉぉｰ、㌧ｸｽ
701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/26 11:43:46]: >>697
ageると荒らしの目にとまる一例。
702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/26 12:44:30]: じ
703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/26 17:21:41]: うちのおばあちゃんの名前　成田たね
704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/26 20:31:40]: (1) [Komal. A358] www.komal.hu/verseny/2004-11/mat.e.shtml
正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき
　1/a + 1/b + 1/c - 3/(a+b+c) ≧ 2(1/a^2 + 1/b^2 + 1-c^2)/(a^2+b^2+c^2)

(2) [AMM 2003.10 Prob.10944]
正の数 a, b, c が abc≧2^9 をみたすとき
　1/√(1+a) + 1/√(1+b) + 1/√(1+c) ≧ 3/√(1+\sqrt[3]{abc})

以下の問題は [Bonus Problems 2] www.dpmms.cam.ac.uk/~par31/bmos/0304/ineqsOundle.pdf

(3) 正の数 a, b, c が abc=1 をみたすとき、a^5 + b^5 + c^5 ≧ 1/a + 1/b + 1/c

(4) 実数 a, b, c, d が ad-bc=1 をみたすとき、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd ≧ √3

(5) 三角形の３辺の長さ a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、23/216 ≦ a^2b+b^2c+c^2a ≦ 1/8

(6) 正の数 a, b, c, d, e が abcde=1 をみたすとき
　(a+abc)/(1+ab+abcd) + (b+bcd)/(1+bc+bcde) + (c+cde)/(1+cd+cdea) + (d+dea)/(1+de+deab) + (e+eab)/(1+ea+eabc) +≧ 10/3

(7) 正の数 a, b, c に対して、a^4 + b^4 + c^4 + [(a+b+c)^4]/27 ≧ 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)

(8) 正の数 a, b, c に対して、(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 3(1- a/b)^(2/3) + 3(1- b/c)^(2/3) + 3(1- c/a)^(2/3)
　　　　　　　＿＿＿　
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　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　ネタを仕入れてきました
　　　　　人つゝ人,,
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　　　
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/26 22:17:44]: （問題）
　a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.
　おながいします。

>703
　ねた足りな．．．
706 名前：662 mailto:sage [04/11/26 23:06:45]: >>663
　662の(7)を修正
　左辺の (1-x^n)^m =f(x) の下限を考える。
　a=1-[1/(m+n)]^(1/m), b=[1/(m+n)]^(1/n) とおくと, 0<a≦b<1.　（←[705]）
　f_1(x) = 1-m(x^n)　（0≦x≦b）,
　f_2(x) = n(1-x)^m　　（a≦x≦1）とおく。
f_1, f_2 とも単調減少で、　f_1(x) > f_1(b) = n/(m+n) = f_2(a) > f_2(x)　（a<x<b）
　次に、これらが f(x) の下限となることを示す。
　(1)　f(x) ≧ f_1(x)　（0≦x≦b）
　(2)　f(x) ≧ f_2(x)　（a≦x≦1）
　（略証）
　　(1) 相加･相乗平均を使う： X^m +(m-1) ≧ mX から。
　　(2) f(a) > f_1(a) > f_1(b) = f_2(a).
　　　また f(x)^(1/m) = 1-x^n は上に凸、f_2(x)^(1/m)は直線だから
　　　　f(x)^(1/m) ≧ [f(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) ≧ [f_2(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) =f_2(x)^(1/m).

　同様にして 1-f_1(x) （0≦x≦b）, 1-f_2(x)（a≦x≦1）は [1-(1-x)^m]^n の下限となる。
　それぞれの区間でこれらを加えれば ≧1 となる。(終)
ぬるぽ　
707 名前：662 mailto:sage [04/11/27 03:28:59]: >706 の補足
　m=1 or n=1 のときは、等号成立。
　m=2, n>1 のときは、左辺 - 右辺 = (x^n){x^n +(2-x)^n -2} ≧ 0. （← y=x^n は下に凸）
　よって m,n>2 の場合を考えればよい。
ぬるぽ
708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/30 21:41:42]: >>681(7) ab/[c(c+a)] + bc/[a(a+b)] + ca/[b(b+c)] ≧ a/(c+a) + b/(b+a) + c/(c+b)
> b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと u=xyz=1.
> 左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].

左辺の分子は、xy^2+yz^2+zx^2+(s^2-2t)-s-3 となりますが…
709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/30 22:52:14]: >>708
> 左辺 = x/(y+1) +y/(z+1) +z/(x+1) = [3u +(s^2 -2t) +t +s]/[(x+1)(y+1)(z+1)].

2番目の等号は≧の間違えでしょ。
710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/01 22:05:27]: >>709
なるほど。㌧ｸｽです。
711 名前：１３２人目の素数さん [04/12/01 23:11:56]: マニアックな不等式教えてくれ
712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/01 23:30:26]: 　　＿＿＿　　>711
　.／　　≧　＼　　　-3≦r≦3、
　|:::: 　＼ .／　|　　　a_1, …, a_n ≧ 1
　|::::: (●　(● |　　　G を a_1, …, a_n の相乗平均とするとき
　ヽ::::... .ワ....ノ　　　
￣￣　　　＼　　　Σ[k=1 to n](1+a_k)^r ≧ G^r*Σ[k=1 to n]{1+ 1/(a_k)}^r
フ　　　 /ヽヽ
713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/02 10:30:53]: >>711
いちいち上げんな、ボケ！
714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/02 21:38:22]: >>704(3) 次式を回して加える。等号は a=b=c=1。
a^5+a^5+b^5+b^5+c^5 ≧ 5\sqrt[5]{a^(10)b^(10)c^5} = 5/c
715 名前：705 mailto:sage [04/12/03 11:35:38]: 　まづ y = x^(2/a) 上の点（1，1）で接線を引きまつ： y = 1+(2/a)(x-1).
　a<2 のときは下に凸、a>2 のときは上に凸ゆえ、
　{x^(2/a)- 1 -(2/a)(x-1)}(2-a) = {x^(2/a) -(a+2x-2)/a}(a-2)≧0.
　∴ {(1/x)^(2/a) -a/(a+2x-2)}(a-2) ≧0.
　これをベルヌーイの不等式とか言うらしい．．．．．
a,b>2 のとき
　{1/(a+b)}^(1/a) = {1/√(a+b)}^(2/a) = {(1/2)^(2/a)}・{2/√(a+b)}^(2/a)
　= {(1/2)^(2/a)}・{2/√(a+b)}^(2/a) ≧ {(1/2)^(2/a)}・a/{a+√(a+b)-2}.
　{1/(a+b)}^(1/b) ≧ {(1/2)^(2/b)}・b/{b+√(a+b)-2}.
　左辺 ≧ {(1/2)^(2/a)}・a/{a+√(a+b)-2} + {(1/2)^(2/b)}･b/{b+√(a+b)-2}.
これが >1 であることを示したいんでつが．．．　　増すますむずぽ．．．．．
716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/04 20:19:09]: >>704(1)(6) を教えてたもれ。
さっぱりわからん。
717 名前：１３２人目の素数さん [04/12/05 05:17:19]: 早く教えれ
718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/05 09:28:15]: >>717
上げんなボケ！氏ね！
719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/05 15:28:39]: >704(1), 716-717
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと s^3 -4st+9u≧0, s^2-3t≧0. [>>611]
　左辺 = (t/u) - (3/s),
　右辺 = 2(t^2 -2su)/[(s^2 -2t)u],
　左辺 - 右辺 = {(s^3 -4st+9u)t +(s^2 -3t)}/[su(s^2 -2t)] ≧0.
ぬるぽ
720 名前：711 mailto:sage [04/12/05 15:58:52]: >712
　nに関する帰納法による。
　n=2のとき、a^(r/2)=A, b^(r/2)=B とおくと G^r = AB, B-A ～ (b-a)r. (～は同符号の意味)
　左辺 = (1+a)^r +(1+b)^r = A･(√a +1/√a)^r + B･(√b +1/√b)^r.
　右辺 = (G^r)･{(1/A)(√a +1/√a)^r + (1/B)(√b +1/√b)^r}.
　　　 = B･(√a +1/√a)^r + A･(√b +1/√b)^r.
　f(x)=√x +1/√x は x≧1 では単調増加だから、f(b)-f(a) ～ b-a.
　∴ 左辺 - 右辺 ≡ d(a,b) = (A-B)･{(√a +1/√a)^r - (√b +1/√b)^r} ≧ 0.
　d(a,b)はある意味での「距離」である。

　n>2 のとき、
　a_1=･･････=a_n のとき、等号成立。
　そうでないとき、a_{n-1} < G < a_n (または逆) としても一般性を失わない。
　c_{n-1}=a_{n-1}･a_n/G, c_n=G とおくと、相乗平均Gは変わらない。
　a_{n-1} < c_{n-1}, G < a_n (または逆) だから d(a_{n-1},a_n) ≧ d(c_{n-1},G)
　∴ F_n(a_1, ･･････, a_n) ≧ F_n(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1}, G)
　　= F_{n-1}(a_1, ･･････, a_{n-2}, c_{n-1})
　となるが、帰納法の仮定により右辺≧0 である。(終)
>　-3≦r≦3、
　要りまつか?
むずぽ
721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/05 18:47:31]: >>720
神キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
発掘元は「不等式への招待 P.51 注意」からです。
その本によれば、P.49の例8を用いて証明したそうなので
条件 -3≦r≦3 がついたのかな…
722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/05 18:56:20]: >>565(7) をたのも～。なんかできません。

　s=(a+b+c)/2, x=(b+c-a)/2, y=(c+a-b)/2, z=(a+b-c)/2
とおくと、三角形の成立条件から x, y, z>0 で
　s=x+y+z, a=s-x, b=s-y, c=s-z
また t=xy+yz+zx, uxyz とおくと、
　（左辺）-（右辺） = (2s^3-5st-3u)/u - 18a = (2s^3-5st-3u-18su)/u
とここまでやって…
　　　　　ダメポ＞（|ﾝ：(）|￣|＿
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/05 20:45:54]: a=b=c=1で成り立ってないけど。
724 名前：凡例 mailto:sage [04/12/06 00:25:20]: >720
r<-3, 3<r には反例が．．．
　a_1=1, a_k=2 (k=2 to n), n=10, G=2^[(n-1)/n]=1.8660659830736, r=4 のとき,
　左辺 = 745 < 746.49040900637 = 右辺.
　a_1=2, a_k=1 (k=2 to n), n=10, G=2^(1/n)=1.0717734625363, r=-4 のとき,
　左辺 = 0.574845679012346 < 0.575995685961706 = 右辺.
したがって -3≦r≦3 は必要と思われ。
725 名前：720 mailto:sage [04/12/06 01:35:12]: >724
　㌧ｸｽ.
　2個の相乗平均√(a_{n-1}a_n)が全体の相乗平均Ｇと異なるため、そのままの比較は無理のようでつ。　
すまそ。
726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 16:45:29]: >>565(7)は、通分してゴリゴリするのは地獄を見そうだし…
なにかいい手があるのかな？
727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 21:48:15]: >722,726
　a,b,cに上限があるですか。相似拡大していったら成り立たな伊予柑．．．
ぬるぽ
728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 22:12:12]: >>704(6) について、(a+abc)/(1+ab+abcd) = a(1+bc+bcde)/(1+ab+abcd) - 1/(1+ab+abcd)
これと相加相乗を使えば、示すべき不等式は
　1/(1+ab+abcd) + 1/(1+bc+bcde) + 1/(1+cd+cdea)+ 1/(1+de+deab) + 1/(1+ea+aabc) ≦ 5/3
ここまでいけたけど…。まさか、あとは差をとるのですか？
（´д｀；）ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 22:30:19]: >>728
> 　1/(1+ab+abcd) + 1/(1+bc+bcde) + 1/(1+cd+cdea)+ 1/(1+de+deab) + 1/(1+ea+aabc) ≦ 5/3
この式は成り立たない。

最初から、a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t と置き換えると式が見やすくなる。
後は、相加相乗でもコーシーシュヴァルツでもお好きなように。
730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 22:55:33]: >>729 サンクス。
正の数 p, q, r, s, t を用いて a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t とおくと、示すべき不等式は
　(q+s)/(p+r+t) + (r+t)/(q+s+u) + (s+u)/(r+t+p) + (t+p)/(s+u+q) + (u+q)/(t+p+r) ≧ 10/3
ここから頑張るんですね。やってみまつ。
731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 22:59:28]: >>730
しまった、uはなかった…
732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/07 23:14:14]: 示すべき不等式は
　(p+q+r+s+t){1/(p+r+t) + 1/(q+s+p) + 1/(r+t+q) + 1/(s+p+r) + 1/(t+q+s)} ≧ 25/3
これは Caushy-Schwarzの不等式から成立。
(；´д｀)ﾊｧﾊｧ
733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 00:16:34]: >>723 >>727
>>565(7)の発掘元をやっと再発見。下の２ページ目。
www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/math_mag-75-5-dec02.pdf
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 02:30:20]: >>704(7)
　 a^4+b^4+c^4 = 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)-(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
かつ a+b+c>0 だから、示すべき不等式は
　 (a+b+c)^3 ≧ 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc とおくと、
　（左辺）-（右辺） = s^3-27(s-2a)(s-2b)(s-2c) = 4[(2s^3-7st+9u)+5(s^3-4st+9u) ≧ 0
等号成立条件は a=b=c。

〔蛇足〕
2s^3-7st+9u = (a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 ≧ 0
s^3-4st+9u = a(a-b)^2 +c(b-c)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) ≧0 [>>611]

>>729
>最初から、a=q/p, b=r/q, c=s/r, d=t/s, e=p/t と置き換えると式が見やすくなる。
この置き換えに (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 02:35:24]: >>704(4)の方針が立ちません。たのも～。
736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 02:46:45]: >>735
a = p+(q/√3), b = -p+(q/√3), c = r+(s/√3), d = -r+(s/√3) と置き換えると式が見やすくなる。
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 02:59:26]: >>704　735
xy座標導入して三点O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)を考える。これら三点がなす三角形の面積は1/2
また、問題は原点中心に三点を回転させても一般性を失わないので、(0,0)、(a,0)、(c,d)と置き直してもよい。
従って、題意を示すにはad=1を満たす時、a^2+c^2+d^2+ac≧√3を示せという問題に置き換えることができる。
d=1/aより、dを消去し
a^2+c^2+(1/a^2)+ac
≧(1/a^2) + (3a^2/4)
≧√3

ぬるぽ
738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 03:43:30]: >>736-737 ありがとうございます。やってみます

>>680
>>647(4)の解答の右側の証明についてですが、チェビシェフの不等式より
　 3(x+y+z) ≧ {(a+x)+(a+y)+(a+z)}・{x/(a+x) + y/(a+y) + z/(a+z)}
展開して整理すると
　 2(x+y+z) ≧ {(a+z)・x/(a+x) + (a+x)・y/(a+y) + (a+y)・z/(a+z)} + {(a+y)・x/(a+x) + (a+z)・y/(a+y) + (a+x)・z/(a+z)}
となるから、「右辺第２項 ≧ 右辺第１項」を示せば
　 2(x+y+z) ≧ 2(右辺第１項) … (★)
となって完成ですよね。（発掘元の問題が誤植ですが…）

そこで (★) を証明したいのですが、これはどうするのでしょうか？　
739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 03:44:52]: >>738の書き間違い

「右辺第２項 ≧ 右辺第１項」 …(★) をどうやって示すのですか？
740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 04:32:02]: >>737
なるへそ！
図形で考えるとは思いもしなかったです。
(；´д｀)ﾊｧﾊｧ
741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 04:52:53]: >738
a_i, b_j が共に単調増加列（単調減少列）のとき、
　Σ[i=1,n] a_i･b_{n+1-i} ≦ Σ[j=1,n] a_j･b_Pj ≦ Σ[k=1,n] a_k･b_k
を使ったと思われ。P(j)は任意の順列。
742 名前：741 mailto:sage [04/12/08 10:01:40]: [741] の略証
　S= Σ[j=1,n] a_j･b_Pj とおく。Pは {1,2,････,n} に作用する置換･････ｽﾏｿ.
　Pは互換（2元の交換）を何回か続けたものだが、互換については下が成り立つ。
　a<A, b<B のとき、(AB+ab)-(Ab+aB) = (A-a)(B-b) ≧0.　a>A, b>B のときも同じ。
∴Ｐの転置数を減らすとSは増大し、転置数を増やすとSは減少する。
∴ P(j)=n+1-n のときSは最小で、P=I のときSは最大（終）。
743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 14:58:52]: >741-742
ありがとうございます。
数学オリンピック事典P.165にある「並べ替え不等式」とかいうやつですね。
　（同順序積の和） ≧ （乱順序積の和） ≧ （逆順序積の和）

a+x, a+y, a+z と x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) の大小は一致するから、>742の証明から、
同順序積からの転置数が小さいほど大きいことが分かるんですよね。

a+x, a+y, a+z を x, y, z で、x/(a+x), y/(a+y), z/(a+z) を X, Y, Z と略すと、>739の (★) は
　yX+zY+xZ ≦ zX+xY+yZ … (☆)
最も大きい（同順序積の和） = xX+yY+zZ から見ると、(☆) の両辺の転置数はともに２だから
　 xX+yY+zZ ≧ zX+yY+xZ ≧ yX+zY+xZ
　 xX+yY+zZ ≧ zX+yY+xZ ≧ zX+xY+yZ
であることは分かるけれども、(☆) が成り立つことは分からないような気がしますが…。
744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 15:00:04]: >>743 不等号の向きの下記間違い…
>　yX+zY+xZ ≧ zX+xY+yZ … (☆)
745 名前：１３２人目の素数さん [04/12/08 15:11:41]: >>743-744
なんでわざわざ遠回りする？

x=(a+x)*(x/(a+x))

　　x+y+z = (a+x)*(x/(a+x)) + (a+y)*(y/(a+y)) + (a+z)*(z/(a+z))
≧ (a+z)*(x/(a+x)) + (a+x)*(y/(a+y)) + (a+y)*(z/(a+z))
↑
741
746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 15:16:05]: たとえば x≧y≧z、X≧Y≧Z のとき、
　（同順序積） = xX+yY+zZ ≧ zX+yY+xZ = （逆順序積）
が成り立ちますが、転置数は１ですよね。

単純に転置数が多いほど小さくなるとすると、（逆順序積）よりも
転置数の大きい yX+zY+xZ や zX+xY+yZ のほうが小さくなって…。

何か混乱してしまいました。解説をよろしくお願いします。
　 il||li ＿|￣|○ il||li
747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 15:20:49]: >>745
∑(￣□￣；)！！
ありがとうございます。こんな簡単なことだったのか…
748 名前：１３２人目の素数さん [04/12/08 15:22:48]: >>746
> 単純に転置数が多いほど小さくなるとすると
ここが変だよん
749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 15:28:43]: >748
嗚呼、なるほど。
転置数の数でなくて、転置する２組の大小関係に注目しないといけないんですね。
転置する aX+bY と aY+bX について同順序積のほうが大きいんでしたね。
勘違いしてました…

晒し上げられてしまったけど、少し賢くなったので良し…
　 il||li _|￣|○ il||li
750 名前：742 mailto:sage [04/12/08 17:59:00]: >748-749
　たしかに私の説明が変だな。スマソ。
751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 19:59:43]: x>1, y>1, z>1, 1/x + 1/y + 1/z = 2 のとき、
√(x+y+z)≧√(x-1)+√(y-1)+√(z-1)
を示せ。
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/08 20:21:47]: 趣旨違うかも知れんが
任意の実数xに対して、
x^4 - x^3 + x^2 - x + 21/64 > 0
を示せ。
753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 01:59:50]: >>737
ふと疑問に思ったんですが、O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)の△OABを原点の周りに回転させると
O(0,0)、A(\sqrt{a^2+b^2}, 0)、B(*,*)←略だから、(0,0)、(a,0)、(c,d)と置き直すのはマズイかなと…

その証明では b=0 の特別な場合を証明したに過ぎないような気がするのですが…
754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 02:02:11]: >>753
そーかな？
文字を新しく置き直したと見ればいいんじゃない？
755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 02:05:07]: >>753
a^2+b^2 = OA^2
c^2+d^2 = OB^2
ac+bd = OA*OB*cos∠AOB
ad-bd = △OABの面積( ただし、符号つきで考える )

で△OABを原点中心に回転する。
756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 02:20:13]: >>754-755
アホな質問に付きあってもらって、ありがとうございます。
回転させて、頂点を改めて(0,0)、(a,0)、(c,d) と置き直すと、
考察する不等式も、変わってしまうと思うんです。
757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 02:38:27]: う～～ん、実は俺もよく分からないのだが
△ABCの面積が2の時
OA^2+OB^2+OA・OB≧√3
を示せという問題だと解釈すれば、いくら回転しても題意には影響を与えず、
回転した後、Aのy座標が0になるようにすればいいのではないか？

という事なんじゃない？
758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 03:15:32]: >>757
・文字を置き換える → 変数変換 → 考察する不等式も変数変換すべきでは？
・文字だけ置き換えて考察する不等式は変えない → b=0 という特別な場合を考察
だと思うんですよね。
で、>755のヒントにしたがってゴリゴリ証明してみました。

O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)の△OABの面積をS、∠AOB=θとおくと、条件式は
　1 = |ad-bc| = 2S = √(|OA|^2|OB|^2-(OA・OB・cosθ)^2) … (★)
より、|OA|・|OB| = 1/sinθだから、
　a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd = |OA|^2+|OB|^2+OA・OBcosθ = (|OA|-|OB|)^2+(2+cosθ)/sinθ
ここで、f(θ) = (2+cosθ)/sinθ の最小値を 0<θ<π で考えると、
　f'(θ) = -(1+2cosθ)/(sinθ)^2
より、θ=2π/3 で極小かつ最小値をとる。したがって
　(★) ≧ f(θ) ≧ f(2π/3) = √3
759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 03:29:54]: 三点(0,0)、(a,b)、(c,d)に対し回転行列
a/√(a^2+b^2) , b/√(a^2+b^2)
-b/√(a^2+b^2) , a/√(a^2+b^2)
を作用させる。
行列を
X　　Y
-Y　 X
とかけば

(a,b) → ( Xa+Yb , 0)
(c,d) → ( Xc+Yd , -Yc+Xd )

a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd≧√3が成立するならば
(Xa+Yb)^2 + 0^2 + (Xc+Yd)^2 + (-Yc+Xd)^2 + (Xa+Yd)(Xc+Yd)≧√3
も成立するはず
新しく
aをXa+Yb
bを0
cをXc+Yd
dを-Yc+Xd
で置き直せば>>737になると思う。
760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 12:07:50]: >752
　趣旨違うかも知れんが
　x-(1/4) =X とおくと、任意の実数Xに対して、
　左辺 = X^4 +(5/8)X^2 -(5/8)X + (33/256) = (X^2 -1/8)^2 +(7/8)(X-5/14)^2 + (3/1792) >0.
ぬるぽ
761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 14:36:45]: >>759
ありがとうございます。
762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 14:52:51]: >>751
　(x-1)/x + (y-1)/y + (z-1)/z = 3-(1/x + 1/y + 1/z) = 1
だから、Caushy-Schwarzの不等式より
　x+y+z = (x+y+z){(x-1)/x + (y-1)/y + (z-1)/z} > {√(x-1)+√(y-1)+√(z-1)}^2
両辺の平方根を取れば、示すべき不等式を得る。

もし等号が成立するとしたら、２つのベクトルが平行のときだから、
　k(√a, √b, √c,) = (√(x-1), √(y-1), √(z-1))
これを条件式下で解くと、a=b=c=2/3 となるので、根号内条件に反する。
763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 15:45:22]: >>762
最後の部分が変ですよ。
764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 15:50:52]: >>763
㌧ｸｽ。

もし等号が成立するとしたら、２つのベクトルが平行のときだから、
　k(√x, √y, √z,) = (√{(x-1)/x}, √{(y-1)/y}, √{(z-1)/z})
これを条件式下で解くと、a=b=c=2/3 となるので、根号内条件に反する。
765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 15:55:44]: >>764
x=y=z=3/2で等号成り立つでしょ。
766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 16:11:30]: >>765
あ、ほんとだ…
767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 16:15:00]: >>762
訂正
等号成立条件は
　k(√x, √y, √z,) = (√{(x-1)/x}, √{(y-1)/y}, √{(z-1)/z})
を条件式下で解いて x=y=z=3/2

　 il||li ＿|￣|○ il||li
768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 21:22:52]: x>0, x≠1 のとき
log(x)/(x^3-1) < (x+1)/{3(x^3+x)}
を示せ。
769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 21:35:43]: >>768
高校生の宿題は、質問スレに書け！
770 名前：727 mailto:sage [04/12/09 21:38:36]: >>565(7)
　[733] により修正された問題。　まづ余弦定理を使って a,b,c で表わす。
　左辺 = (b+c)cosＡ)/(a^2) + (c+a)cosＢ/(b^2) + (a+b)cosＣ/(c^2)
　= {(b+c)(b^2 +c^2 -a^2)/a +(c+a)(c^2 +a^2 -b^2)/b +(a+b)(a^2 +b^2 -c^2)/c}/(2abc).
　次に基本対称式 s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc とおくと s^3 -4st+9u≧0, t^2 -3su≧0, s^2 -3t≧0 [>>611]
　左辺 = {t(s^3 -4st+9u) +2s(t^2 -3su)}/(2u^2) + 3(s^2 -3t)/(2u) + t/u
　≧ t/u = 1/a +1/b +1/c ≧ 右辺.
　３角形ぢゃなくても成り立ちそうな．．．
ぬるぽ
771 名前：768 mailto:sage [04/12/09 21:59:58]: 出典はGreen Bookなんだが...
まあ、そう見えるか。
772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 22:18:57]: LCM(a,b)はa,bの最小公倍数を表すとする。

m＞nなる自然数m,nに対し
LCM(m,n) + LCM(m+1,n+1)＞2mn/√(m-n)
を示せ

若干趣旨がずれるかも知れないがネタ補給
773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 22:28:45]: >771
Green Book って何ですか？
検索したら830件もヒットしましたが…
www.amazon.co.jp/exec/obidos/search-handle-form/249-1225598-3680328
774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 22:38:04]: Green Book = 青チャート
775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 23:06:11]: >>773 Doverから出てる問題集があるんだよ。
776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 23:10:48]: >>775
ウホッ！不等式だけの問題集？
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 23:11:37]: オラオラ！題名キボン！！
778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 23:23:37]: これですか？
不等式はどのくらい載ってるんですか？
問題のレベルはどれくらいですか？
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486695735/qid=1102602093/sr=1-3/ref=sr_1_10_3/249-1225598-3680328
779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/09 23:35:32]: この数ヲタ！＿＿＿　ｵﾗｯ !　　　　　　
　　　ﾄﾞｯｶﾝ |　　 |　でてこい、>>771！
　　 ∩∩　 |　　|　　 | 　∩∩　　　　
　　　| | | |　 |　　 |　　 | 　| | | |　　　
　　..(　　,,)　.|　　|　　 |　(・ｘ・）　　
　　/　　.つ━━ﾛ|ﾛﾄﾞｶﾝ l 　 |Ｕ　
～（　 /　　 | 　｜　 |⊂＿　|～
　　し'∪　　 |　　 |　　 |　　　∪　
780 名前：771 mailto:sage [04/12/10 00:27:12]: >>778 そう、それ。普通の問題集だから、不等式の問題は殆ど載ってません。ごめんね。
"preparation for the Putnum" と書いてあるので、教養レベルくらいだと思うが、
高校生でも解けそうな問題もあります。
kalvaのページで紹介されていたので、けっこう有名な本なのかと思ったのだが。
781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/10 01:04:48]: >>752,>>760
ピタッと最小値を出してやろうとして、x-(1/4) =X とおいて
x^4-x^3+x^2-x = X^4 +(5/8)X^2 -(5/8)X - (51/256) = (t^2-a^2)^2+b(t-a)^2+c
を計算したら、aが３乗根を含む形になったので止めた…
782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/10 02:14:30]: 【問題】実数 x, y に対して 4 + x^2y^4 + x^4y^2 - 3x^2y^2 の最小値を求めよ。

ASU 1981 問22
www.kalva.demon.co.uk/soviet/sov81.html
783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/10 06:24:16]: 【問題】整数 a, b, c, d が a>b>c>d>0、ad=bc をみたすとき、(a-d)^2 ≧ 4d+8 を示せ。
784 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/12/10 07:00:02]: >>772
ｍ－ｎはｇｃｄ（ｍ，ｎ）とｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）の倍数。
ｇｃｄ（ｍ，ｎ）とｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）はそれぞれｍとｍ＋１の約数なので
互いに素だからｍ－ｎはｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）の倍数。
ｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）≦ｍ－ｎ。
　ｌｃｍ（ｍ，ｎ）＋ｌｃｍ（ｍ＋１，ｎ＋１）
＝ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ，ｎ）＋（ｍ＋１）（ｎ＋１）／ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）
＞ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ，ｎ）＋ｍｎ／ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１）
≧２ｍｎ／√（ｇｃｄ（ｍ，ｎ）ｇｃｄ（ｍ＋１，ｎ＋１））
≧２ｍｎ／√（ｍ－ｎ）。
785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/10 08:37:09]: >782
　相加･相乗平均により、1 +x^2y^4 +x^4y^2 ≧ 3x^2y^2, 与式 ≧ 3,　等号成立は xy(x+y)(x-y)=0 のとき.
　高校生でも解けそうな問題．．．．ぬるぽ
786 名前：785 mailto:sage [04/12/10 08:40:45]: 　．．．と思ったら間違えた。
　等号成立は x =±1, y =±1 のとき。ぬるぽ
787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/10 10:53:51]: >768
Ln のマクローリン展開 Ln(1-t) = -Σ[k=1,∞) (1/k)t^k より
　Ln{(1+t)/(1-t)} = Ln(1-t^2) -2･Ln(1-t) = Σ[k=0,∞) {2/(2k+1)}･t^(2k+1).
∴ (1/2t)Ln{(1+t)/(1-t)} = Σ[k=0,∞) {1/(2k+1)}･t^(2k)
　< (2/3) + (1/3)Σ[k=0,∞) t^(2k) = (2/3) + 1/{3(1-t^2)} < {1+(t^2)/3}/(1-t^4).
ここで (1+t)/(1-t)=x とおくと t=(x-1)/(x+1).
　{(x+1)/2(x-1)}Ln(x) < 2/3 + {(x+1)^2}/(12x) < {(x^2 +x+1)(x+1)^2}/{6(x^3 +x)}.
∴ Ln(x)/(x^3 -1) < (x+1)/{3(x^3 +x)}.

大関：「不等式への招待」p.46 例題6 (1987)
788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/10 14:22:46]: f(x)=(x+1)(x^3-1)/(x^3+x)-3log(x)
f'(x)=(x-1)^4(x^2+x+1)/(x^3+x)^2
f'(x)>0 & f(1)=0
789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/10 19:03:36]: >>785
等号は (x, y) = (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1) のとき成立ですな。
790 名前：785 mailto:sage [04/12/10 20:08:06]: >789
　仰せのとおり。㌧ｸｽ.

>788
　それなら高校の宿題に出てもおかしくない．．．

>781
　趣旨違うかも知れんが
　最小値 = 0.0016782234764･･･ > 0.00167410714285714 = 3/1792.　[>>760 の下限]
　X = (1/2)[(5/18)^(1/3)]{(√6 +9/4)^(1/3) - (√6 -9/4)^(1/3)} = 0.35582958618827･･･
　x = X + 1/4 = 0.60582958618827･･･

ぬるぽ
791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/10 20:18:22]: ﾈﾀ補給

各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B　∠C＞π/2を満たす。
この時、AB+BC+CA≧77を示せ。
792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/10 21:14:13]: m,nを正の整数とする。
Σ[ k^(m/(k^2)) ] ＜ n+m( 2^(m/4)-1 )

[x] はガウス記号
793 名前：１３２人目の素数さん [04/12/11 17:10:30]: age
794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/11 20:08:12]: >>793 上げんな、落ちこぼれ！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿__
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .|＜) ＜) ＜) ＜) ＜)　|
　 ―─＝≡ ∧＿∧　　　ガッ. 　　　　　　　|＜) ＜) ＜) ＜) ＜)　|
　──＝≡ （,, ・∀・）　　　　　、_人.　　　.　 |＜)∧__∧ ) ＜) ＜)　|
　　─＝≡ ○_　　と　)＿_　_　 _,)　,,;　　　＝≡ (（　　　）, ＜) ＜)　|　ザクッ
　　　──＝≡ > 　　　 (´__） _)　∴;　＝≡≡　｀）## . つ＜) ＜)　|
　　　　─＝≡ (　／￣￣￣　　 )　''　　＝≡ ⊂ 、　ノ、) ＜) ＜)　|
　　　　　　　　 ( ノ　　　　　　　　 ⌒Y´　　　　 .|＜) ｀(_ノ＜) ＜) ＜)　|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .|＜) ＜) ＜) ＜) ＜)　|
795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/11 21:30:03]: >791
　等号成立は AB=33, BC=28, CA=16 のとき [cos(A)=17/32, cos(B)=7/8, cos(C)=-7/128<0]
　これだけぢゃ仕方ないが．．．

>792
　f(x)=Ln(x)/(x^2) とおくと f '(x)={1-2Ln(x)}/(x^3) ∴ x≧√e ≒1.6487212707 でf(x)は単調減少.
　k>2 ⇒ k^{m/(k^2)} < 2^(m/4)
　左辺は Σ[k=1,n] ･･･と書いた方がいいYo.
ぬるぽ
796 名前：795 mailto:sage [04/12/12 18:51:02]: >792 （続き）
a_k = k^{m/(k^2)} とおく。　 [795] より 1 = a_1 < a_k ≦ a_2 = 2^(m/4).
(i)　m≦5 のときは計算実行する。　
　m≦3 のときは a_k ≦ a_2 < 2 ∴ 左辺 = n < 右辺で成立。
　m=4,5 のときも a_2 <3, a_k ≦ a_3 < 2 （k>2）. ∴ 左辺 = n+1 < 右辺で成立。
(ii) m≧6 のとき、m > 5.77078016355585 = 4/Ln(2).
　a_1 = 1 < a_2 > a_k より Ln(a_k) < Ln(a_2) = m･Ln(k)/(k^2) = b.
　y=exp(x) は下に凸だから、0<x<b ⇒ exp(x) < 1 + {exp(b)-1}(x/b).
　∴ a_k < 1 + (a_2 -1){Ln(a_k)/b}.
　下の補題を使って Σ[k=1,n] a_k < n + {4/Ln(2)}(a_2 -1)S_n < n + m(a_2 -1).
797 名前：795 mailto:sage [04/12/12 18:52:26]: >792 (続き)
【補題】S_n = Σ[k=2,n] Ln(k)/(k^2) <1.
（略証）S_n = S_5 + Σ[k=6,n) {Ln(k)-1}/(k^2) + Σ[k=6,n] 1/(k^2).
　　　　< 0.44637574128158 + Σ[k=6,n) {Ln(k)/[(k-1)k] -1/(k^2)} + Σ[k=6,n] 1/(k^2)..
　ところで、y=Ln(x) は上に凸だから、Ln(k) +1/k > Ln(k+1).
　(第2項) < Σ[k=6,n) {Ln(k)/[(k-1)k] -1/(k^2)} = Σ[k=6,n) {Ln(k)/(k-1) - [Ln(k)+1/k]/k}
　< Σ[k=6,n) {Ln(k)/(k-1) - Ln(k+1)/k} = Ln(6)/5 - Ln(n+1)/n ≒ 0.35835189384561 - Ln(n+1)/n.
　(第3項) < Σ[k=6,n] 1/(k^2) < (π^2)/6 -Σ[k=1,5] 1/(k^2) ≒ 0.18132295573712.
　∴ S_n < 0.98605059086431 - Ln(n+1)/n <1.　(終) ぬるぽ
798 名前：795 mailto:sage [04/12/12 20:33:48]: >792 (続き)
　S_n の上限値をピタッと出してやると S = Σ(k=2→∞) Ln(k)/(k^2) ≒ 0.91685416570･･･に成増た。
ぬるぽ
799 名前：798 mailto:sage [04/12/13 20:09:19]: また間違えた。　S ≒ 0.9375482･･･に訂正でつ。

　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀）　　まことに
　　　　 /　　　　ヽ
　　　　し､__X__,ﾉJ

　　　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　　⌒ｌ　　すいませんでした。
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V
800 名前：１３２人目の素数さん [04/12/14 01:52:03]: >>368
おまいのようなやつがいるから、>>349 >>350のような話になるんだろうが。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿__
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　 ―─＝≡ ∧＿∧　　　ガッ. 　　　　　　　|＜) ＜) ＜) ＜) ＜)　|
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801 名前：１３２人目の素数さん [04/12/14 01:52:26]: ごめん、誤爆
802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/14 03:40:27]: 雑魚の巡回ルートに入っているのかな？
定期的に意味不明なage荒らしがあるが…
氏ぬぇぇぇ～
803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/14 12:00:30]: >797 の別法
　[795] より f(x) ≡ Ln(x)/(x^2), 原始函数はF(x)=-{1+Ln(x)}/x.
　次に S_n ≡Σ[k=1,n] f(k) ≦ ∫_[1,n+1/2] f(x)dx < ∫_[1,∞) f(x)dx
　= F(∞) - F(1) =1. を示す。

　f(2) ≒ 0.1732868 < 0.2334837 = F(5/2) - F(1) = ∫_[1,5/2] f(x)dx.

　k≧3 のときは f '(x) = [1-2Ln(x)]/(x^3), f "(x) = [6Ln(x)-5]/(x^4)
　∴ x > exp(5/6) ≒ 2.301 ⇒ f(x)は下に凸。
　∴ f(k)< ∫_[k-1/2, k+1/2] f(x)dx = F(k+1/2) - F(k-1/2).
804 名前：796 mailto:sage [04/12/14 22:20:51]: 　[796]の下から4行目の右半分　Ln(a_k) < Ln(a_2) = m･Ln(2)/4 = b.
　死んでお詫びを．．．(AA省略)

　[799] S≒0.937548254325
805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/15 15:24:38]: >>704(2) の類題があるYo.
>>149（解答 >>157, >>162）
806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/15 15:27:16]: >>805
Σ(ﾟДﾟｵｰｯ!! ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/16 08:57:51]: >>704(5)
　-a+b+c=x, a-b+c=y, a+b-c=z とおくと三角不等式が外れて、
　x,y,z≧0, x+y+z=a+b+c, a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2.
　∴ (a^2)b +(b^2)c +(c^2)a = [(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x}]/8 ≦ (1/8)(x+y+z)^3 = (1/8)(a+b+c)^3.
　等号成立は (x,y,z)=(1,0,0) & rotations, (a,b,c)=(0,1/2,1/2) & rotations のとき.

次に (4/27)(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x} ≧0 を示す。
　x,y≧z≧0 としても一般性を失わない。x-z=X, y-z=Y とおくと X,Y≧0.
　(x+y+z)^3 = (X+Y+3z)^3 = (X+Y)^3 +27z{(1/3)(X+Y)^2 +(X+Y)z +z^2}.
　(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x = (X^2)Y + 3z{(1/3)(X+Y)^2 +(X+Y)z +z^2}.
∴ (4/27)(x+y+z)^3 -{(x^2)y +(y^2)z +(z^2)x} ≧ (4/27)(X+Y)^3 -(X^2)Y = (1/27)(X-2Y)^2･(4X+Y) ≧0.
　等号成立は X-2Y=z=0, (x,y,z)=(2/3,1/3,0) & rotations, (a,b,c)=(1/6,1/3,1/2) & rotations のとき.

[704]の解答のレス番（主なもの）
　　(1) 719 (2) 805 [>>149,>>157] (3) 714 (4) 736-737 (5) これ (6) 729 (7) 734
ぬるぽ
808 名前：807 mailto:sage [04/12/16 13:02:11]: >>704(8)
　左辺 = 3 +(b/a +a/b) +(c/b +b/c) +(a/c +c/a) = 9 +{(b-a)^2}/ab +{(c-b)^2}/bc +{(a-c)^2}/ca
　≧ 9 + 3[{(b-a)^2 /ab}{(c-b)^2 /bc}{(a-c)^2 /ca}]^(1/3) = 9 + 3[(1- a/b)(1- b/c)(1- c/a)]^(2/3) ≡右辺.
ぬるぽ
809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/17 20:59:17]: △ABCの内心をO、内接円の半径をrとすると、
OA+OB+OC≧6r を示せ。
810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/17 21:48:41]: >807
乙でございます。なるほど、その置き換えだったんですね。

>808
なんだ、相加相乗だったのか… 　 il||li ＿|￣|○ il||li

>809
簡単なのに難すぃ…
811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/17 22:09:43]: ネタ補充
(1) 1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
　　0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。
(2) 平面上に5点A,B,C,D,Eがあるとき、AB+CD+DE+EC≦AC+AD+AE+BC+BD+BEを示せ。
(3) 非負実数係数のn次多項式f(x)のn次の係数と定数項は1であり、
　　f(x)=0の解は全て実数とする。このとき、f(2)≧3^n を示せ。
(4) (2*4*6*...*100)/(1*3*5*...*99)>12 を示せ。
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/17 22:34:41]: 私もネタ補充。いつもと違う出題形式ですが…

【問題】調和平均について、どのくらいの不等式を知ってますか？
このスレの不等式コレクションには２つしかありませんが…
a と b の調和平均を H(a, b) で表すことにすると、

[>>647(1)] 　H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1

[>>647(6)] 　H(a+b, c+d) ≧ H(a, b) + H(c, d)

下側の不等式は、繰り返し用いたらいくらでも長く出来そうですね。
他にもあったら教えてたも。
813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/18 00:15:20]: >>809
一般的に三角形ABCの内部に点Pを取り、Pから各頂点への距離の和をA
各辺への距離の和をBとおけば、A≧2Bが成立する。これはそれの特殊な場合かと。

2chでは
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/267
に解答が載ってる。

　ぬるぽ
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/18 19:57:31]: >809,813
それぢゃあこっちには三角函数を使わない方法を載せておこう。

Pから3辺 BC, CA, AB に下した垂線を PD, PE, PF とする。
∠QAB=∠CAP であるような半直線AQを引き、B,CからAQに下ろした垂線をBM,CNとする。
2角相等により △ABM∽△APE ∴ PA･BM=c･PE
2角相等により △ACN∽△APF ∴ PA･CN=b･PF
∴　PA = (c･PE+b･PF)/(BM+CN).
ところが、半直線AMNと辺BCとの交点をQとすると, BM + CN ≦ BQ + QC = BC = a.
∴　PA ≧ (c/a)PE + (b/a)PF.
循環的に加えれば　PA+PB+PC ≧ (c/b +b/c)PD +(a/c +c/a)PE +(b/a +a/b)PF ≧ 2(PD+PE+PF).
等号の成立は △ABCが正三角形で, Pがその中心という場合だけ。 [東山和生氏による]

ほかにパッポスの定理や(外接円に関する)トレミーの定理を使う方法もあるらしい。

〔参考文献〕
｢数学の問題第(1)集｣ No.53 日本評論社(1977) [数セミ,４０(2) (2001,Feb.)で再出題]
N.D.Kazarinoff: "Geometric Inequalities", RandomHouse(1961) → 数理科学,１(4),サイエンス社(1963.10)
P.Erdosの問題: Amer.Math.Monthly (1935) → 大関:｢不等式への招待｣ p.14 近代科学社(1987.12)
815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/19 02:03:39]: a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。
ab≧10を示せ
816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/20 12:01:45]: >811(4)
(4)
【補題】 [2*4*6*･･･*(2n)]/[1*3*5*･･･*(2n-1)] > √(3n+1).
(略証)
　(左辺)^2 = (2n+1)Π[k=1,n] {(2k)^2}/{(2k-1)(2k+1)}
　　= (2n+1)Π[k=1,n] {1 +1/((2k-1)(2k+1))} > (2n+1){1 +Σ[k=1,n] 1/((2k-1)(2k+1)) }
　　= (2n+1){1+(1/2)Σ[k=1,n] (1/(2k-1) -1/(2k+1)) } = (2n+1){1+(1/2)[1-1/(2n+1)]} = 3n+1.
　∴ 与式 > √151 =12.288206

上記Σの初めの項を別扱いすれば少し増加して、
　左辺 > √{3n+1 +(n-1)/9} ≒ √156.4444 = 12.507775
　左辺 > √{3n+1 +(n-1)/9 +4(n-2)/225} = √157.29778 = 12.541841

なお、Stirling の公式 n!≒ n^(n+1/2)･exp(-n +1/(12n))･√(2π) から、
　(左辺) = {(2^n)(n!)}^2 /(2n)! = (4^n)/Ｃ[2n,n] ≒ √(πn)･exp(1/8n) = 12.564513
817 名前：816 mailto:sage [04/12/20 17:55:23]: >811(4)
　Stirlingの不等式 n^(n+1/2)･exp(-n)･√(2π) < n! < n^(n+1/2)･exp(-n +1/(12n))･√(2π) から、
　(左辺) = {(2^n)(n!)}^2 /(2n)! > √(πn)･exp(-1/24n) = 12.522701
ぬるぽ
818 名前：770 mailto:sage [04/12/21 13:14:46]: >>565(7), >>733
　r>0 とする。
　左辺 = (b+c)cosＡ/(a^r) + (c+a)cosＢ/(b^r) + (a+b)cosＣ/(c^r)
　= a{cosＢ/(b^r) +cosＣ/(c^r)} +b{cosＣ/(c^r) +cosＡ/(a^r)} +c{cosＡ/(a^r) +cosＢ/(b^r)}
　a,b,cの大小とA,B,Cの大小は一致するから
左辺 ≧ a{cosＢ/(c^r) +cosＣ/(b^r)} +b{cosＣ/(a^r) +cosＡ/(c^r)} +c{cosＡ/(b^r) +cosＢ/(a^r)}
　= (b･cosＣ+c･cosＡ)/(a^r) + (c･cosＡ+acosＢ)/(c^r) + (a･cosＢ+b･cosＡ)/(c^r)
　第一余弦定理より
　左辺 ≧ 1/a^(r-1) + 1/b^(r-1) + 1/c^(r-1).
819 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/12/22 22:00:01]: >>812
Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ），Ｈ（ｃ，ｄ））＝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）。
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，Ｈ（ａ，ｂ，ｃ））＝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）。
Ｈ（ａｂ，ａｃ，ａｄ）＝ａＨ（ｂ，ｃ，ｄ）。
Ｈ（１，１，１）＝１。
ａ≦ｃ，ｂ≦ｄのときＨ（ａ，ｂ）≦Ｈ（ｃ，ｄ）。
（１／４）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）≦（１／３）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）。
ｌｉｍ＿｛ｄ－＞＋∞｝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝（４／３）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）。
Ｈ（ａ，ｂ）＋Ｈ（ｃ，ｄ）≦Ｈ（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）。
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）≦Ｈ（ａ＋ｄ，ｂ＋ｅ，ｃ＋ｆ）。
Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（ｅ，ｆ，ｇ，ｈ）≦Ｈ（ａ＋ｅ，ｂ＋ｆ，ｃ＋ｇ，ｄ＋ｈ）。
820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/23 06:42:41]: >819 調和平均 (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　みんなｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
821 名前：１３２人目の素数さん mailto: [04/12/24 03:13:38]: Green Book = 青チャート
822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/24 03:14:29]: 真似したり、関係の無い事言ったり、無茶苦茶書くな　荒らしは

　～～～終了～～～
　
ageるな馬鹿タレ
823 名前：言い切れる？？？ [04/12/24 03:43:11]: －∞／∞は負って言えますか？？？
教えてください！！！
824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/24 03:44:04]: 真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　

荒らしは
　～～～終了～～～
　
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな
825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/24 07:55:18]: >811(3)
　非負実係数だから x≧0 ⇒ f(x)>0. ∴ 実根はすべて負である。
　これらを -a_1, ･･･ -a_n とおくと、 f(x) = Π[i=1,n] (x+a_i) = Σ[k=1,n] S_{n-k} x^k.
　x^k の係数 S_{n-k} は{a_1,･･･a_n}の n-k次の基本対称式。
　相加･相乗平均により S_k ≧ Ｃ[n,k]･g^k, ここに g=(S_n)^(1/n)=(定数項)^(1/n).
　f(x) ≧ Σ[k=1,n] Ｃ[n,n-k] g^(n-k) x^k = (x+g)^n.
826 名前：825 mailto:sage [04/12/24 18:02:26]: ↑最下行を修正、すまそ。 x≧0 ⇒ f(x) ≧ ･････ = (x+g)^n.

(1)(2) はむずぽ．．．．．5点が平面上にないと無理でつか？
827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/24 22:54:10]: 811(2)は、Kurschak1981ですね。
ttp://www.kalva.demon.co.uk/eotvos/kur1981.html
828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/24 22:56:57]: 普通に考えると凸包で場合わけかなぁ、３通りあるけど
果たしてこれでいいものか。図を描いてみないと分からんな……
829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/24 23:01:02]: すまん、828は忘れてくれ。ﾑﾘﾎﾟ……
830 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/12/25 08:00:00]: 恐ろしく難解な問題をだせ！
science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/
mimizun.com/cgi/dattohtml.pl?http://mimizun.com:81/log/2ch/math/science2.2ch.net/math/kako/1049/10496/1049652059.dat

>>624-
831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/27 07:06:14]: 【問題】正の数 a, b, c に対して a/b + b/c + c/a ≧ (a+b+c)/\sqrt[3]{abc}
発掘元 B3780 www.komal.hu/verseny/2004-12/mat.e.shtml

類>>647(2)、解答>>680
　[1997 Belarus] a/b + b/c + c/a ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)

ところで、Cauchy-schwarz などから
　a/b + b/c + c/a ≧ (a+b+c)^2/(ab+bc+ca) ≧ (b+c)/(a+b) + (c+a)/(b+c) + (a+b)/(c+a)
が成り立つのが分かりますが、この不等式のどこかに
　(a+b+c)/\sqrt[3]{abc}
が収まるでしょうか？
832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/27 11:44:30]: >831
　相加･相乗平均： (1/3)(a/b + a/b + b/c) ≧ {(a^2)/bc}^(1/3) = a/[(abc)^(1/3)] を循環的にたす。
　どこにも収まらな伊予柑。
833 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 13:26:07]: >>699
ageるとすぐ回答が出てくる一例
834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/28 13:35:20]: >>833
ageることに理由をつけたがる一例
835 名前：１３２人目の素数さん [04/12/28 14:29:39]: 晒しあげとくか
836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 05:35:30]: >614 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：04/12/28(火) 21:02:34
>
>0より大きい相異なる３実数ｘ、ｙ、ｚに対し
>(x^3+y^3+z^3-3xyz)/|(x-y)(y-z)(z-x)|
>の最小値を求めよ。
>
>
>618 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：04/12/28(火) 22:30:23
>>>614
>数学セミナーエレガントな問題を求むのコーナーに寄せられた
>問題だな。かなーーり昔だったと思う。
>
>解法は与式を二乗して、基本対称式使って書き換えて
>解と係数の関係を使って愚直にやっていくというもの。
>
>答えはきれいな形にならず、三乗根が入ってきたはずだ。

東大入試問題スレより。詳細キボン
837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 05:51:14]: 検索では掛かりませんねぇ
838 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/12/29 09:00:00]: 　ｘ＾３＋ｙ＾３＋ｚ＾３－３ｘｙｚ
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（（ｘ－ｙ）＾２＋（ｙ－ｚ）＾２＋（ｚ－ｘ）＾２）／２。
ｘ，ｙ，ｚの差を変えずにｘ＋ｙ＋ｚを小さくできるので最小値はない。
839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 09:29:56]: >>836
www.nippyo.co.jp/maga_susemi/ss9204.htm
92年周辺探してみ。
840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 11:31:03]: >>839
㌧ｸｽ。
年明けが待ち遠しいぜ！
今すぐ図書館の窓割って探したいくらいだ！
841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 11:42:54]: 1: 【社会】「解法が知りたくて…」図書館の窓を割り潜入した数ヲタ逮捕 … 埼玉 (132)

「図書館が開くまで待てなかった」・・・大学図書館の窓を割って進入し、
書庫の雑誌を読み漁っていた数ヲタ(22)を、29日夕方、公共物破損および
不法侵入の罪で逮捕した。

調べでは、棒掲示板に書込みされていた数学の問題の解法を調べるために
忍び込んだという。逮捕の際には、「邪魔をするな。読み終わるまで待ってくれ」
と自分の行いに全く反省をしていなかったと言う。
842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 12:10:05]: 実数 x, y が 0≦x≦2、0≦x-y≦2 をみたすとき、xy(y+1) の最大最小値。
843 名前：１３２人目の素数さん [04/12/29 15:28:07]: むしゃくしゃしてやった。
悪気はなかった。
いまは反省している。
844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 16:43:08]: >>842
学コン
845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 17:43:30]: >836
　z≒0 の場合を考えるんだろうな。
　与式 = (x^3 +y^3)/|xy(x-y)| ≧ c, 但し c≡(1+√3)･√{(3/2)√3} = 4.4036694750416･････
　(略証) (x^3 +y^3)^2 - [cxy(x-y)]^2 = [x^2 -(1+√3)xy +y^2]^2 [x^2 +2(1+√3)xy +y^2] ≧0.
　　　等号成立は [x^2 -(1+√3)xy +y^2]=0 すなわち x/y ={(1+√3)±√(2√3)}/2 のとき.
　となるはずの所だが、本題は z>0 なので等号は成田たね.

>842
　スレ違いかも知れんが、
　内部には極値は無さそうだから、平行四辺形の周を調べるんだろうな。
　(x,y)=(1+√(1/3), -1+√(1/3)) で最小値 -2/(3√3) = -0.38490017945975････
　(x,y)=(2,2) で最大値 12.
ぬるぽ
846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 17:53:14]: z≒0の時っていうのが分からんorz

それに上の結果と一致しないし、三乗根入ってくると
解答者は言っているのだが……それが正しいかさえ分からん。

救済ｷﾎﾞﾝﾇ
847 名前：845 mailto:sage [04/12/29 18:38:04]: >846
　x,y>z>0 としても一般性を失わない。[838]から F(x,y,z) > F(x-z,y-z,0).
　となるから、F(X,Y,0) の下限を調べるんだろうな....
848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 20:55:53]: このスレの獣人ならもちろんシュプリンクラーの不当式勝ったよな。
849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 21:08:36]: >>847
thx　当たり前のことっすね。。。orz
850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/29 21:46:16]: >>848
当然だ。何をいまさら！
チンコ洗って出直してこいッ！
851 名前：１３２人目の素数さん [04/12/29 22:56:45]: >>850
女子はどうすればよいでつか？
852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/30 10:59:07]: 図書館潜入、模範解答報告マダァ？
853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/30 18:09:27]: >851
メチンコ洗って出直してこいッ！
なんなら洗ってやろうか？
854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/12/31 12:07:52]: おらおら、まだか？
855 名前：１３２人目の素数さん [05/01/04 13:25:45]: 0<1
856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/04 14:36:20]: 　　　　|┃三 .／　　≧　＼　　｜あけおめ、ことよろ！
　　　　|┃　　|:::: 　＼ .／　　　｜今年もたのも～！
　　　　|┃ ≡|::::: (●　(● 　＜＿＿＿＿＿＿＿＿＿
___＿__.|.ミ＼ヽ::::... .ワ......ノ＿／ミ !＿＿_＿
　　　　|┃=＿＿　　　　＿＿=┃|
　　　　|┃　≡　）　　　（　≡ ┃|
　　　　|┃　　／　／＼＼　　┃| ｶﾞﾗｯ
857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/04 22:46:12]: >>836
与式を F(x,y,z) とおいてまとめると･･･
[838]
F(x,y,z) = (x+y+z)･g(x-y,y-z,z-x), g>0.
[847]
　x,y>z>0 としても一般性を失わない。[838]から F(x,y,z) > F(x-z,y-z,0).
　となるから、下限 F(X,Y,0) の下限を調べるんだろう。
[845]
　F(x,y,0) = (x^3 +y^3)/|xy(x-y)| ≧ c, 但し c≡(1+√3)･√{(3/2)√3} = 4.4036694750416･････
　(略証) (x^3 +y^3)^2 - [cxy(x-y)]^2 = [x^2 -(1+√3)xy +y^2]^2 [x^2 +2(1+√3)xy +y^2] ≧0.
みたいになるかな?

注）例によって c の発見には微分法を使いますたが、代数的方法を示していまつ．．．
858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/05 14:50:09]: 正の数 x, y, z に対して、次式を示せ。
　(xy+yz+zx){1/(x+y)^2 + 1/(y+z)^2 + 1/(z+x)^2} ≧ 9/4

(x+y)^2 +(y+z)^2 + (z+x)^2 ≧ 4(xy+yz+zx) なので
Cauchy-Schwarz は使えなかったので、対称式を持ち出した。

x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおくと、示すべき不等式は
　4t(s^4-2s^2t+4su+t^2) ≧ 9(st-u)^2
差を取って証明しようとしたけど、うまくいかんちん。
もしかして計算間違っていますか？たのも～
859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/06 02:50:34]: 非負実数 a, b に対して、次を示せ。
　4(a^9+b^9) ≧ (a^2+b^2)(a^3+b^3)(a^4+b^4)
860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/06 08:48:25]: >859
　a≧0, b≧0, mn>0 のとき、
2[a^(m+n) + b^(m+n)] - (a^m +b^m)(a^n +b^n) = (a^m -b^m)(a^n -b^n) ≧0.
ぬるぽ
861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/06 11:43:53]: >>860
ｷﾀｰ *･゜ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜（ﾟ∀ﾟ)ﾟ･*:.｡..｡.:*･゜ﾟ･* !!!!!
なるほどっ！
㌧ｸｽでごじゃる。
問題は、要するにチェビシェフを２回使ったんですね、ﾅｯﾄｸ。

発掘元はココ
www.math.pomona.edu/ps4_04.pdf
862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/06 17:15:13]: >>807
一般に a+b+c=Lとおけば、(23/216)L^3 ≦ a^2b+b^2c+c^2a ≦ (1/8)L^3 でいいんですよね？
863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/06 17:16:50]: >>858
基本対称式を使わずに、x, y, z のままで考えたほうがええかもな
864 名前：807 mailto:sage [05/01/06 20:55:53]: >862 桶。
x+y+z = a+b+c = L を使えば [807] は
　与式 = [L^3 -{(x^2)y+(y^2)z+(z^2)x}]/8,
　(4/27)L^3 ≧ (x^2)y +(y^2)z +(z^2)x ≧0.
下の式を上の式に代入すると
　(1- 4/27)(1/8)L^3 ≦ 与式 ≦ (1/8)L^3.
ぬるぽ
865 名前：860 mailto:sage [05/01/06 21:21:41]: >861
>>153 (a=0,m=2の場合)や >>685-688 のあたりにも類題....
866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/06 22:01:59]: >836
[839] や東大入試作問者スレ[618][621] が指摘したように、この問題は
　創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題２
と同じようでつ。（作問者は西宮の人）
　問題：数セミ，３１(4), p.79 (1992.4)
　解答：数セミ, ３１(8), p.59-60 (1992.7) ･･･基本対称式を持ち出してもしかた無いんぢゃ･･･以下(ry

東大入試作問者になったつもりのスレ４
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/614,618-621,624-629,636,638-639

さくらスレ１５４
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1103204972/417

不等式スレッド
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/836-849,857
867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/06 22:11:59]: >865 ㌧クスです。
868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/06 22:12:21]: >>836-839、>>845-847、>>857
相異なる正の数ｘ、ｙ、ｚに対し、(x^3+y^3+z^3-3xyz)/|(x-y)(y-z)(z-x)| > √(9+6√3)

1992年の数セミを見てきました。編集部の模範解答は>>836の如し。
読者２名からのエレガントな解答を以下に書きます。

分子は x^3+y^3+z^3-3xyz = -(x+y+z){(x-y)(y-z)+(y-z)(z-x)+(z-x)(x-y)} だから
　L=x+y+z, p=x/L, q=y/L, r=z/L
とおくと、p, q, r>0 かつ p+q+r=1 をみたし、示すべき不等式は
　-{(p-q)(q-r)+(q-r)(r-p)+(r-p)(p-q)}/|(p-q)(q-r)(r-p)| > √(9+6√3)
式の対称性から、p>q>r>0 としても一般性を失わない。
　p-q=α, q-r=β, α+2β=s
とおくと s+3r=1 より 0<s<1 で、示すべき不等式の左辺は
　1/(p-q) + 1/(q-r) + 1/(r-p) = 1/α + 2/(s-α) - 2/(s+α)
さらに α/s = t とおくと、s>α>0 より 0<t<1 で、結局、次式の最小値を考えればよい。
　(1/s){1/t + 2/(1-t) + 2/(1+t)} 　 … (☆)
f(t) = 1/t + 2/(1-t) + 2/(1+t) とおくと f'(t) = (3t^4+6t^2-1)/{t^2(1-t)^2(1+t)^2} より
0<t<1 において t = √{(2√3-3)/3} で極小かつ最小値 √(9+6√3) をとる。
0<s<1 より、s→1 の極限をとれば、(☆) は √(9+6√3) に上から限りなく近づく。
（蛇足）２重根号を外したら、√(9+6√3) = (1+√3)√{(3√3)/2}
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼　
　|:::: 　＼ .／　|　勉強になりました。
　|::::: (●　(● |　　
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　グッジョブ！
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/06 22:13:36]: >>866
あ、書き込みに気づかずに、先に解答書いてしまいました。スマソ。
870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/06 22:37:07]: >>811(2) ,827
　第10回日本数オリ本選（2000）の第3問らしい．．．
（略解）
　case1: {AC,AD,AE} のいづれかと {BC,BD,BE} のいづれかが(端点以外で)交わる場合
　　たとえば線分ACとBDが交わるときは、 AB+CD ≦ AC+BD.
　　これに自明な DE ≦ AD+AE, EC ≦ BE+BC を加える。

　case2: {AC,AD,AE,BC,BD,BE} のいづれも(端点以外は)交わらない場合
　　A,Bの一方は△CDEの１つの頂角の対頂角の中にある（平面CDE内にあることから）。
　　たとえば A が∠CDE の対頂角∠XDYの中にあるときは、△CAE ⊇ △CDE ∴ CD+DE ≦ AC+AE.
　　これに自明な EC ≦ BE+BC, AB ≦ AD+BD を加える。
ぬるぽ
871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/09 07:05:47]: ネタ補充
(1) 実数x,y,z, 正の偶数nに対し
　(x+y+z){x^(n+1)+y^(n+1)+z^(n+1)}
　≧ 2(xy+yz+zx)(x^n+y^n+z^n)-3xyz{x^(n-1)+y^(n-1)+z^(n-1)} を示せ。
(2) F(n)をFibonacci数列とする。
　Σ[n=1..∞] 1/F(n) > 803/240 を示せ。
(3) 2^(3^(3^(-1))) < e を示せ。
(4) 三角形の周長をL, 面積をSとすると
　S≦(L^2)/(12√3) を示せ。
(5) 0<t≦1 のとき
　tan(t)/t < 2-√(1-t^2) を示せ。
872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/09 11:16:07]: >>783
これもよろしくお願いします。
873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/09 18:19:09]: (2) Σ[n=1,6] 1/F_n = 1 +1 +1/2 +1/3 +1/5 +1/8 = 758/240.
　左辺 > Σ[n=1,12] 1/F_n = 758/240 +1/13 +1/21 +1/34 +1/55 +1/89 +1/144
= 758/240 + 207530077/N > 758/240 +204459255/N = 758/240 + 9/48 = 右辺.
　ここに N=16*9*5*7*11*13*17*89 = 1090449360.
ぬるぽ
874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/10 15:05:49]: >871 (1)
　n は整数とし、左辺 - 右辺 = F_n とおく。　
　x^n の係数は (x+y+z)x - 2(xy+yz+zx) +3yz = (x-y)(x-z) なので >>611 の方法を使う。
y は x,z の間にあるとすると (x-y)(y-z)≧0, {x^n -y^n +z^n}≧0 ゆえ、
　F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n = (x-y)^2(x^n) +(y-z)^2(z^n) +(x-y)(y-z){x^n -y^n +z^n} ≧0.
F_{-1} = (t^2 -3su)/u, F_0=s^2 -3t, F_1=s^3 -4st +9u, F_2=s^4 -5ts^2 +4t^2 +6su, ･････.

　(応用例) >>858
　4t(s^4 -2s^2t +4su +t^2) -9(st-u)^2 = 4ts^4 -17(st)^2 +34stu +4t^3 -9u^2
　= 4t･F_2 +{(3t^2 -su)/s}･F_1 +(s +9t/s)u･F_0 ≧0.
ぬるぽ

　[873] は >871(2) の解答でつ。ｽﾏｿ
875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/10 18:21:22]: >>874
Scherの不等式と同じ証明方法になるとは…。
(;´д｀)ﾊｧﾊｧ
結局、任意の整数で成り立つんですね。
F_n に n=1, 2, … を代入して得られる対称式≧０は 858 にも使えそうですね。
876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/10 18:26:56]: >>874
よくみれば、問題文は実数 x, y, z だから偶数 n でないといけないですね。
非負実数 x, y, z なら、任意の整数 n でOKですね。
877 名前：876 mailto:sage [05/01/10 18:44:12]: >874の後半に、ちゃんと書いてるし…
　 il||li _|￣|○ il||li
878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/10 19:03:28]: このスレを見ていると、ときどき面白いパターンがあるよね。

ある不等式Aが解決されていない
→ 誰かが別の不等式Bを出す
→ 神が解く
→ その不等式Bが、Aを解決する

858 と 871(1)、 538(3) と 580 など…
879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/10 22:53:27]: 複素数 z, w に対して、|(1+|z|^2)w-(1+|w|^2)z| ≧ |z\bar{w}-\bar{z}w| を示せ。
880 名前：１３２人目の素数さん [05/01/11 00:03:18]: >>871
(4) 周長の長さがLの三角形の面積の最大値maxSを求めればよい。
まず、一辺の長さがすでに決まっている、という条件をつけて一辺を固定すれば、
残りの頂点の軌跡は楕円になるから一辺の長さがyであるときの、
Sの最大値M(y)が求まる。次にyの定義域を[0,L/2]としてmaxM(y)=maxSを求めればよい。
881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/11 09:25:40]: >871(4) (等周問題)
　[880] にしたがって BC=y を固定して考える。
　AB+AC = L-y (一定) の軌跡は楕円で、B,C は長軸上にある。
　S=(1/2)BC･AH が最大値をとすとすれば、Aの高さ(AH)が最大のとき。∴Aが短軸の端点のとき。････ (1)
　∴M(y)=(y/4)√{L(L-2y)}, M(L/3)^2 -M(y)^2 = (L/16)･(y -L/3)^2･(2y +L/3) ≧0, M(y)≦M(L/3)=(L^2)/(12√3).
　または (1)から AB=AC. 同様にして AC=BC, AB=BC なので、正3角形のとき最大.

　【代数的な方法】
　3辺をa,b,cとし、a+b+c=L, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、ヘロンの公式や相加･相乗平均から、
　S^2 = (L/2)(L/2 -a)(L/2 -b)(L/2 -c) = (L/16)(-L^3 +4Lt-8u) ≦ (L/16)u ≦ (L/16)(L/3)^3.
∴ S ≦ (L^2)/(12√3), 等号成立は a=b=c (正3角形)のとき.
　(系) S=rL/2 （rは内接円の半径）だから S≧(3√3)r^2.
ぬるぽ

>876 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!
882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/11 15:24:28]: 正の数 a, b に対して a^6 +b^6 +8a^3 +8b^3 +2a^3b^3 +16 ≧ 36ab を示せ。
883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/11 15:49:14]: >882　相加･相乗平均で
　左辺 = (a^3 +b^3 +4)^2 = (a^3 +b^3 +1 +1 +1 +1)^2 ≧ {6√(ab)}^2 = 36ab =右辺.
884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/11 17:50:53]: >>871 (5)
　まづ　1-t^2 < 1-t^2 +(1/8)(t^6){1+(1/8)t^2} = [1-(1/2)t^2 -(1/8)t^4]^2.
　∴ 右辺 = 2 -√(1-t^2) > 2 - [1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4].
　∴ tan(t)/t < 2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4] が示せればよい。
　F(t) = {2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4]}t - tan(t) とおくと F(0)=0. 次に F '(t)>0 を示す。　　
　F '(t) = 1 + (3/2)t^2 + (5/8)t^4 - 1/[cos(t)^2] = {[1 +(3/2)t^2 +(5/8)t^4]cos(t)^2 -1}/[cos(t)^2]
　ここで　t>0　⇒　-cos(t) > -1,　-sin(t) > -t,　cos(t) > 1 -(1/2)t^2 を使って,
　F '(t) > {[1+(3/2)t^2 +(5/8)t^4][1-(1/2)t^2]-1}/[cos(t)^2] ={1-(1/8)t^2 -(5/16)t^4}(t^2)/[cos(t)^2].
　ここで、t^2 <1 だから F '(t)>0.
　∴ tan(t)/t < 2 -[1 -(1/2)t^2 -(1/8)t^4] < 2-√(1-t^2).
ぬるぽ

>>871 への解答レス（主なもの）
　(1) [874][876] (2) [873] (3)参った. (4) [880][881] (5) これ.
885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/11 21:34:18]: (log(2))^3<1/3 なら、間にある(有理数)^3を見つければ
示せそうな気がするが...
886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/12 00:46:12]: >>885
あのな、(a^m)^n = a^(mn) だよな。
これが a^(m^n) だと～、a^(m^n) だと～（以下略）
887 名前：１３２人目の素数さん [05/01/12 01:03:51]: >>886
????????
888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/12 01:05:56]: >>886-887
おまいら、荒らすな上げるな！
889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/12 01:37:55]: >885
　有理数としてたとえば 0.69333333････= 36/100 + 1/3 = 52/75 をとる。
　右側は (52/75)^3 = 140608/4215 < 140625/421875 = 1/3.
　左側 Ln(2) < 52/75 の方をどうするか……
890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/12 03:01:14]: [0,1/3]上で
1/(1-x^2) = 1 + x^2 + x^4/(1-x^2) ≦ 1 + x^2 + x^4/(1-(1/3)^2) = 1 + x^2 + 9x^4/8

よって、(log2)/2 = ∫_[0,1/3](1/(1-x^2))dx < ∫_[0,1/3](1 + x^2 + 9x^4/8)dx = 1123/3240

3乗の計算が面倒だけど、(log2)^3 < (1123/1620)^3 = 1416247867/4251528000 < 1/3
891 名前：１３２人目の素数さん [05/01/12 03:19:35]: そういえば数セミ 2005 年 2 月号の『NOTE/講評と解説』に
巡回不等式とか正弦関数の比の単調減少性とか今後使えそうな面白い記事があったね。
892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/12 03:34:04]: >>891
2005年2月号って、まだ発売されてないだろ！

>>783 >>879
解答マダー！
おらおら出てこい！不等式オタクども！
893 名前：１３２人目の素数さん [05/01/12 03:50:36]: >>892
年間購読者ですから, もう届いているんですよ。
894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/12 04:02:05]: >>893
さっさとウプシロン！
895 名前：中川幸一 ◆MC1Z7pcz5k [05/01/12 04:13:10]: じゃ～問題だけ紹介します。

a_1, \cdots a_n > 0 に対して不等式
\dfrac{a_1^2}{a_2 a_3} + \dfrac{a_2^2}{a_3 a_4} + \cdots + \dfrac{a_{n-1}^2}{a_n a_1} + \dfrac{a_n^2}{a_1 a_2}
\geq \dfrac{2 a_1}{a_2 + a_3} + \dfrac{2 a_2}{a_3 + a_4} + \cdots + \dfrac{2 a_{n-1}}{a_n + a_1} + \dfrac{2 a_n}{a_1 + a_2}
が成立する。ここで, 等号は a_1 = \cdots =a_n のときのみ成立する。

\pi \geq A > B > 0 のとき関数
\dfrac{\sin (Ax)}{\sin (Bx)}
は 0 < x < \dfrac{1}{2} において単調減少である。
896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/12 04:15:14]: >>895
せめて \frac と書け！
いちいち上げんな！
897 名前：中川幸一 ◆MC1Z7pcz5k [05/01/12 04:18:54]: 以下は演習問題という形で紹介されています。
(表記法を多少簡略化しました。)

a_1, \cdots , a_n が 1, \cdots , n の並べかえならば
\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i}{i} \geq n
898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/12 04:20:40]: >>896
悪い…。
ついつい癖で \dfrac って書いてしまった…。
あと上げてしまってスマン…。
899 名前：884 mailto:sage [05/01/12 17:50:14]: >885,890
　871(3) なるほど！そういうことだったのか。ベリィ㌧クス.

　871(5) F(t)>0 を出すところに間違い･････　死んでお詫びを･･･(AA省略)。
　マクローリン展開より、0<t≦1 で、
　tan(t) = t + (1/3)t^3 +(2/15)t^5 +(17/315)t^7 +･･･ ≦ t + (1/3)t^3 +(2/15 +17/315 +･･･)t^5 = t +(1/3)t^3 +c･t^5.
　ここに c = tan(1) -1 -1/3 = 0.22407439･･･
　F(t) = {2 -[1-(1/2)t^2 -(1/8)t^4]}t -tan(t) ≧ (1/6)t^3 +(1/8 -c)t^5 = (1/6 -0.09907439t^2)t^3 >0.
900 名前：伊丹公理 ◆EniJeTU7ko [05/01/12 18:10:07]: >>897
容易 ( n ＞ 1 の時）
一般に正とは限らぬ実数列 a_1 ＜ a_2 ＜ ....... ＜ a_n,
b_1 ＜ b_2 ＜ ....... ＜ b_n があり、c1, c_2, .... , c_n が
b_1, b_2, ....... , b_n の並べ替えであるとき、
a_1*c_1 + a_2*c_2 + .... + a_n*c_n が最大となるのは
c_i = b_i, i = 1, 2, .... , n の時。（又その時に限る）。

なる事実（well-known）と
x + (1/x) ≧ 2, 等号は x = 1 の時なることより出る。
901 名前：伊丹公理 ◆EniJeTU7ko [05/01/12 19:13:47]: >>900
訂正　x ＞ 0 の時、
x + (1/x) ≧ 2, 等号は x = 1 の時なることより出る。
902 名前：中川幸一 ◆MC1Z7pcz5k mailto:sage [05/01/12 21:01:59]: >>897 の解答 (Original)

相加平均と相乗平均の大小関係より
(1/n)Σ[i=1 to n](a_i / i) ≧ (Π[i=1 to n](a_i / i))^(1/n) = 1^(1/n) = 1
故に
Σ[i=1 to n](a_i / i) ≧ n
(等号成立は a_i = i)
903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/12 23:24:58]: (1) 正の実数a,b,x,y,zに対し、x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by)≧3/(a+b)
(2) 実数a,b,c,x,y,zに対し、
　ax+by+cz+√{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}≧(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
(3) 0<x≦π/2 のとき、sin(sin(x))<tanh(x)
(4) 正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たすとき、
　x/√(1+x^2)+y/√(1+y^2)+z/√(1+z^2)≦(3√3)/2
904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/12 23:30:54]: まだ解かれていない問題をまとめてください。
905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/13 04:34:03]: >>819
>Ｈ（ａ，ｂ）＋Ｈ（ｃ，ｄ）≦Ｈ（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）。
>Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）≦Ｈ（ａ＋ｄ，ｂ＋ｅ，ｃ＋ｆ）。
>Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（ｅ，ｆ，ｇ，ｈ）≦Ｈ（ａ＋ｅ，ｂ＋ｆ，ｃ＋ｇ，ｄ＋ｈ）。

これって n文字についても言えそうな感じだけど、うまい証明が思いつきません。
いい方法ないですか？

>>812
>[>>647(1)] 　H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1

こちらは n文字についても言えるのでしょうか？
たのも～、たのも～。
906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/13 04:39:47]: >>879
（左辺）^2-（右辺）^2 = |(z-w)(\bar{z}w-1)|^2 ≧ 0

　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　>>892 呼んだ？
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ
907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/13 11:59:33]: >903
(1)　x/(ay+bz) = {(a^2)(ax+by)/(ay+bz) +(b^2)(az+bx)/(ay+bz) -ab}/(a^3 +b^3).
　循環的に加えて相加･相乗平均を使うと
　左辺 ≧ 3(a^2 +b^2 -ab)/(a^3 +b^3) = 3/(a+b), 等号成立はx=y=zのとき.

(2)　(a,b,c)=OA↑, (x,y,z)=OX↑, (1/√3, 1/√3, 1/√3)=OE↑ とおくと ∠AOX ≦ ∠AOE +∠EOX.
　左辺 = (OA↑･OX↑) + |OA|･|OX| = |OA|･|OX|{cos(∠AOX) +1} ≧ |OA||OX|{cos(∠AOE+∠EOX) +cos(∠AOE-∠EOX)}
　= 2|OA|･|OX|cos(∠AOE)･cos(∠EOX) = 2(OA↑･OE↑)(OE↑･OX↑) = 右辺.

(4)　x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおく。条件式より A+B+C=π. sin()は上に凸だから,
　左辺 = sin(A) + sin(B) + sin(C) ≦ 3sin{(A+B+C)/3} = 3sin(π/3) =(3√3)/2.
　等号成立は A=B=C=π/3 (正3角形？) すなわち x=y=z=√3 のとき.
ぬるぽ

>906 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/13 19:25:36]: (1) n>2を整数、F(n)をFibonacci数列とすると、
　Σ[k=1..n](1/F(k)) > (n^2)/(F(n+2)-1)
(2) ちょうど１つの辺の長さが1より大きい四面体の体積をVとおくと、V<1/8
(3) 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)
(4) nを正整数、s>1を実数とすると、
　Σ[k=1..n](1/k^s) < 1+1/{2^(s-1)-1}
909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/13 20:10:24]: >>647 (1), 680
　　s/9 ≧ t/3s ≧ u/t (単調減少)により、
　　左辺 = (1+s+t+u)/[3(3+2s+t)]- u/t = 1/3 + (s+2t+3u)/[3(3+2s+t)] - u/t ≧ 1/3.

>>812,905
　n文字のとき、k次の基本対称式を S_k とおく。 S_0=1, ･････, S_n=abc････
　H(a+1,b+1,c+1) = nΣ[k=0,n] S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k = 1 + Σ[k=1,n] k･S_k / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k
　= 1 + Σ[k=0,n-1] (k+1)S_{k+1} / Σ[k=0,n-1] (n-k)S_k.
　ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,････).（←kについて単調減少）
　∴　H(a+1,b+1,････) - H(a,b,････) ≧1.

>903 (3) 逆転の発想?
　f(y)=arcsin(arcsin(y)), g(y)=arctanh(y)=(1/2)Ln{(1+y)/(1-y)} とおく。arcsin(y)>y より
　f '(y) = 1/√{1-arcsin(y)^2}・1/√(1-y^2) > 1/(1-y^2) = g '(y).
　これと f(0)=0=g(0) から 0<y≦sin(1) ⇒ f(y)>g(y).
ぬるぽ
910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/13 21:51:02]: >895
（NOTEの問題）
　π ≧ A > B > 0 のとき関数 sin(Ax)/sin(Bx) は 0 < x < 1/2 において単調減少である。
（略証）
　f(x) = Ln{sin(Ax)/sin(Bx)} とおくと、 f '(x) = A/tan(Ax) - B/tan(Bx).
　tan(y)/y は|y| とともに増加するから A>B>0 より tan(Ax)/(Ax) > tan(Bx)/(Bx), f '(x)<0.
911 名前：905 mailto:sage [05/01/13 22:06:19]: >>909
㌧クス。
さすがぬるぽ神。そこに痺れる憧れるぅ～。

【問題】非負実数 a, b に対し、次を示せ。
\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{b}} ≧ \sqrt[3]{a+\sqrt[3]{b}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{a}}
912 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/01/14 07:00:00]: >>905
　Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ）＋Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ，ｊ，ｋ，ｌ）
＝Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ，ｃ），Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ））＋Ｈ（Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ），Ｈ（ｊ，ｋ，ｌ））
≦Ｈ（Ｈ（ａ，ｂ，ｃ）＋Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ），Ｈ（ｄ，ｅ，ｆ）＋Ｈ（ｊ，ｋ，ｌ））
≦Ｈ（Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ），Ｈ（ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ，ｆ＋ｌ））
＝Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ，ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ，ｆ＋ｌ）。

ｆ－＞＋∞，ｌ－＞＋∞として
　（６／５）Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）＋（６／５）Ｈ（ｇ，ｈ，ｉ，ｊ，ｋ）
≦（６／５）Ｈ（ａ＋ｇ，ｂ＋ｈ，ｃ＋ｉ，ｄ＋ｊ，ｅ＋ｋ）。

　Ｈ（ａ＋１，ｂ＋１，ｃ＋１，ｄ＋１）
≧Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋Ｈ（１，１，１，１）
＝Ｈ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＋１。
913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/14 11:34:52]: [912] の一般化
【補題】Ｈ（a_1, a_2, ････，a_n）+ Ｈ（b_1, b_2, ････，b_n）≦ Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････, a_n+b_n））
(略証)　nについての帰納法による。
n=1 のとき明らか。
n=2 のとき [647](6) より成立。
nが偶数のとき、n=2m とおく。
　Ｈ（a_1,a_2,･････, a_{2m}） = Ｈ（Ｈ(a_1,a_2,････,a_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_{2m})）を使うと
　左辺 = Ｈ（Ｈ(a_1, a_2, ････，a_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_n)）+ Ｈ（Ｈ(b_1, b_2, ････，b_m), Ｈ(b_{m+1}, ････, b_n)）
　≦ Ｈ（Ｈ(a_1, a_2, ････，a_m) + Ｈ(b_1, b_2, ････，b_m), Ｈ(a_{m+1}, ････, a_n}) + Ｈ(b_{m+1}, ････, b_n})）
　帰納法の仮定により、
　左辺 ≦ Ｈ（Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････，a_m+b_m), Ｈ（a_{m+1}+b_{m+1}, ････, a_n+b_n)）
　＝Ｈ（a_1+b_1, a_2+b_2, ････, a_n+b_n）。
nが奇数のとき
　上記により n+1 に対しては成立つ。そこで a_{n+1}→∞, b_{n+1}→∞ として n/(n+1) を掛ければ出る。

(系)　Ｈ（a_1 +1，a_2 +1，････，a_n +1）≧ Ｈ（a_1, a_2, ････, a_n）＋Ｈ（1,1,･･･,1）= Ｈ（a_1, a_2, ････, a_n）＋１.

>812 　[>>647(6)] は　Ｈ(a+c,b+d) ≧ Ｈ(a,b) + Ｈ(c,d).
914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/14 11:45:07]: >911
　f(x)=x^(1/3), f(a)=A, f(b)=B, a-b=d, A-B=D とおく。 fは単調増加だから d･D>0.
　g は上に凸とすると、
[d･g(a+A)+D･g(b+B)]/(d+D) ≧ g(a+B)
[D･g(a+A)+d･g(b+B)]/(d+D) ≧ g(b+A)
辺々たすと
　g(a+A) + g(b+B) ≧ g(a+B) + g(b+A).
ぬるぽ

>909
>　ところで、 (k+1)S_{k+1}/[(n-k)S_k] ≧ nS_n / S_{n-1} = H(a,b,････).（←kについて単調減少）
　の元レスは >>263, >>269, >>480 .
915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/14 16:46:56]: >>912-913
実は昨日書き込んだ後、自己解決しました。
n=2の場合は直接に証明。n=2mの場合は >>912-913 と同じ方法。
n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？
H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。

>>913
H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1 が H（a+d，b+e，c+f） ≧ H(a, b, c) + H(d, e, f)
の特別な場合だったことに、言われるまで気づきませんでした。 il||li ＿|￣|○ il||li
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　ｱﾘｶﾞﾄｳｺﾞｻﾞｲﾏｽ
　|::::: (●　(● |　　ﾍﾞﾘｨｸﾞｯｼﾞｮ-ﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　ｺﾝｺﾞﾄﾓﾖﾛｼｸｵﾈｶﾞｲｼﾏｽ…
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/14 17:03:40]: >>914
[d･g(a+A)+D･g(b+B)]/(d+D) ≧ g([d(a+A)+D(b+B)]/(d+D)) = g(a+B)
この変形に気づけそうにない…。すごすぎる。
917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/14 20:30:14]: >908(2)
　四面体ABCDで、AB以外の5辺≦1 とする。
　A,BからCD(の延長)に下ろした垂線を AH,BL とする。
　このとき V= (1/6)AH･BL･CD･sinθ, θは平面ACDと平面BCDがなす面角.
　AC,AD≦1 より AH ≦ √{1-(CD/2)^2}, 　BC,BD≦1 より BL ≦ √{1-(CD/2)^2}
　∴ V ≦ (1/24)･CD･(4 -CD^2)･sinθ.
0 < x ≦1 ならば 3 -x(4-x^2) = (1-x){3-x(1+x)} ≧0, x(4-x^2) ≦ 3 @ x=1.
　V ≦ (1/8)sinθ ≦ 1/8. 　（等号はACD,BCDが正3角形で、面角が90°のとき）
ぬるぽ
918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/14 22:50:36]: >908 (4)
　{1- 2/(2^s)}･(左辺) = Σ[k=1..n] {1/(k^s) -2/[(2k)^s]} < Σ[k=1..n] (-1)^(k-1) /(k^s)
　= 1 - {1/(2^s) -1/(3^s)} -{1/(4^s) -1/(5^s)} - ･･･ < 1.
　∴ 左辺 < 1/{1-2/(2^s)} = 1 + 1/{2^(s-1)-1} = 右辺.
ぬるぽ

～～～寒いでつね。水道ﾁｮﾛﾁｮﾛ流しておやすみ･･･(凍結防止) ～～～.
919 名前：911 mailto:sage [05/01/15 02:15:39]: 不等号の向きが反対でした。すみません。

非負実数 a, b に対し、
\sqrt[3]{a+\sqrt[3]{a}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{b}} ≦ \sqrt[3]{a+\sqrt[3]{b}} + \sqrt[3]{b+\sqrt[3]{a}}

>914の証明は正しいように思えるのですが、どうなんでしょう？
920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/15 03:15:25]: …で、ずっと検索してて見つけたんだけど、
Majorization Inequarity って何ですか？

　↓ 最後のページ
math.berkeley.edu/~bobbypwh/pdfs/InequaSol2.pdf
921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/15 03:28:25]: >914
上に凸だから、不等号の向きが逆ですね。
922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/15 12:29:22]: わかすれ１９８より

338 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/01/15(土) 12:17:06
x,y,zが実数で
1≦x^2+y^2+z^2≦2
をみたす。このとき
(3/5)(x-2y)^2+(1/3)(2x+y-z)^2+(4/15)(2x+y+5z)^2
の最大値、最小値
923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/15 13:33:29]: >>915
H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。
多分無理

>>913
H(a+1, b+1, c+1) - H(a, b, c) ≧ 1 が H（a+d，b+e，c+f） ≧ H(a, b, c) + H(d, e, f)
の特別な場合だったことに、言われるまで気づきませんでした。 il||li ＿|￣|○ il||li
>>912じゃないの
924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/15 13:47:25]: >922
　主軸系で考える．．．．
　science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105415383/16-17
925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/15 19:57:33]: >>923
>多分無理

反例あげてみ。
926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/15 20:14:06]: >>925
意味不明
927 名前：風あざみ mailto:sage [05/01/15 20:32:25]: >>908
(1)この式は
　Σ[k=1..n]({F(n+2)-1}/F(k)) > (n^2)と同値である。
F(n+2)-1=Σ[h=1..n]F(h)である。
(∵F(1)=1=F(3)-1
F(n+3)-1=F(n+2)-1+F(n+1)=Σ[h=1..n]F(h)+F(n+1)=Σ[h=1..n+1]F(h)
より帰納的に示せる。)
よって相加･相乗平均の不等式より
Σ[k=1..n]({F(n+2)-1}/F(k))=Σ[k,h=1..n]{F(h)/F(k)}＞(n^2){(n^2)^√Π[i=1,n]({F(i)}/{F(i)})}=n^2
928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/16 05:48:55]: >>903(1) は n文字には一般化できませんか？
929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/16 05:49:54]: x(1), x(2), x(3),... は正の数とする。
A(n)＝(x(1)+...+x(n))/n 、
G(n)＝(x(1)...x(n))^(1/n)
とおく。

全ての n (=2,3,4,...) に対して
n(A(n)-G(n))≧(n-1)(A(n-1)-G(n-1))
が成り立つ。

【証明】
nA(n)-(n-1)A(n-1)
＝ x(n)
＝ G(n)^n/{G(n-1)^(n-1)}
＝ G(n-1){G(n)/G(n-1)}^n
≧ G(n-1){n(G(n)/G(n-1))-(n-1)}・・・★
＝ nG(n)-(n-1)G(n-1)

だから問題の不等式が成り立つ。【証明終】

（★で不等式「t＞0 ⇒ t^n≧nt-(n-1)」を使った。
t≧1のとき
t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t^2 + t + 1 ≧ n
の両辺に t-1 をかければ t^n - 1 ≧ nt - n が得られる。
0＜t＜1のとき
1 + t + t^2 + ... + t^(n-2) + t^(n-1) ≦ n
の両辺に 1-t をかければ 1 - t^n ≦ n - nt が得られる。
いずれにせよ t^n≧nt-(n-1) が成り立つ。）
930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/16 15:28:43]: >908(1)
　左辺 ≧ 5/2 なので 16/7 ≧ 右辺を示せば十分。
【補題】　F(n+2) ≧ 1+c･n^2, c=7/16.
（略証） nについての帰納法による。
　n=0 のとき F(2) = 1.
　n=1 のとき F(3) = 2 > 23/16 = 1+c.
　n=2 のとき F(4) = 3 > 11/4 = 1+4c.
　n=3 のとき F(5) = 5 > 79/16 = 1+9c.
　n=4 のとき F(6) = 8 = 1+16c.
　n≧5 のとき F(n+2) = F(n+1) + F(n) ≧ {1+c(n-1)^2} + {1+c(n-2)^2} = 2 + c[n^2 +(n-1)(n-5)] > 2 + cn^2.(終)
　∴　左辺 ≧ 5/2 ≧ 1/c ≧ (n^2)/[F(n+2)-1] = 右辺.
ぬるぽ

>928
　a=b なら Shapiro型だが。 >>497-501
931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/16 15:49:05]: >929
　★の不等式　「t>0 ⇒ t^n ≧ nt-(n-1)」は次にもあるよ。
　微積分と一つの不等式「数学100の定理」日本評論社, p.89 (1983)

（問題）
　Ａ = {x(1)+x(2)+･･･+x(n)}/n,
　Ｇ = {x(1)x(2)････x(n)}^(1/n),
　Ｈ = n/{1/x(1) +1/x(2) + .... +1/x(n)} とおくとき
　Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
932 名前：914 mailto:sage [05/01/16 16:26:37]: >919,921
　仰せのとおり、ｽﾏｿ.

>925
　[923]は、[915]の方法では無理だろう、の意味。他の方法も考えられる[>>909].

>917 (補足)
　△ACD=(1/2)AH･CD, △BCD=(1/2)BL･CD より
　V= (1/3)AH･△BCD･sinθ = (1/3)BL･△ACD･sinθ = (1/6)AH･BL･CD･sinθ
933 名前：915 mailto:sage [05/01/16 18:53:13]: >H(a, b, c) = H(a, b, c, H(a, b, c)) が一般のn文字でも成り立つから…。

H(a_1, …, a_n, H(a_1, …, a_n))
= (n+1)/{1/a_1) + … + (1/a_n) + (1/H(a_1, …, a_n))}
= (n+1)/{n/H(a_1, …, a_n) + (1/H(a_1, …, a_n))}
= H(a_1, …, a_n)

となるので、n文字でも成り立つと書いたのですが、
もしかして、俺なにか勘違いしてる？ ('A`)
934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/16 19:03:59]: 【問題】
(1) 1 ≦ a, b, c, d ≦ 2 に対して、(a+b)/(b+c) + (c+d)/(d+a) ≦ 4(a+c)/(b+d) を示せ。

(2) 整数 a, b が(a+b)(a-b)≠0 をみたすとき、 |(a+b)/(a-b)|^(ab) ≧ 1 を示せ。
935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/16 21:02:23]: >934
(1) b,d ≦ 2 ≦ 2a,2c だから,
　(a+b)/(b+c) = 2(a+c)/(b+d) -{(a+b)(2c-d) +b(2a-b)/2 +(c +b/2)(2c-b)}/[(b+c)(b+d)] ≦ 2(a+c)/(b+d).
(c+d)/(d+a) = 2(a+c)/(b+d) -{(c+d)(2a-b) +d(2c-d)/2 +(a +d/2)(2a-d)}/[(d+a)(b+d)] ≦ 2(c+a)/(d+b).
辺々たす。

(2)　|a+b|^2 - |a-b|^2 = 4ab より、
　ab≧0 のとき |a+b|≧|a-b|, 左辺 ≧1.
　ab≦0 のとき |a+b|≦|a-b|, 左辺 ≧1.
ぬるぽ

>933
それを使って
> n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？
を示すのは多分無理、という意味と思われ．．．．
936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 01:18:58 ]: >>935
なるほど
937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 02:36:53 ]: >934(2) は、a, b が整数である必要はないですよね？
(a+b)(a-b)≠0 さえ満たしていれば…。
938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 02:38:10 ]: > n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？

たしかに、ダメですね。切腹します。
939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 02:56:16 ]: >>903(4) 正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たすとき、
　F_n = (x^n)/√(1+x^2) + (y^n)/√(1+y^2) + (z^n)/√(1+z^2)
について、
　n = 0, 1 のとき、F_n ≦ 3(√3)^n/2、 n = 2, 3, … のとき、F_n ≧ 3(√3)^n/2

でＯＫですよね？あっているかどうか確認たのも～。

>>907(4) の方法で、x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおくと、条件式より A+B+C=π
n=0 のときは、cosA+cosB+cosC ≦ 3cos[(A+B+C)/3]
n=1 のときは、>>903(2)
n≧2 のときは、0≦θ<π/2 において、左辺の関数が下に凸だから。
　f(θ) = (tanθ)^n・cosθ
　f'(θ) = (tanθ)^(n-1)・[n-(sinθ)^2]/cosθ
　f''(θ) = (tanθ)^(n-2)・[(n-1)n-(sinθcosθ)^2]/(cosθ)^3 > 0
940 名前：939 mailto:sage [05/01/17 05:54:55 ]: まとめると、こんな感じでせうか… (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
　1 ≦ F_0 ≦ 3/2
　2 ≦ F_0 ≦ 3(√3)/2
n = 2, 3, … のとき、F_n ≧ 3(√3)^n/2
941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 06:07:48 ]: もひとつおまけに
　x/(1+x^2) + y/(1+y^2) + z/(1+z^2) ≦ 3√3/4
942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 06:14:02 ]: >>940 ３行目は F_1 の書き間違い
>>941 は、正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たす条件下で。
943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 06:19:05 ]: たびたびスミマセン。
>>940の最小値には、イコールがつかないですね…
944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 06:47:51 ]: 　G_n = (x^n)/(1+x^2) + (y^n)/(1+y^2) + (z^n)/(1+z^2)
こちらのほうも、作れそうですね。

n=0 のときは、(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2 となるけど
凹凸が一定でないので無理そうですが…
945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 06:49:15 ]: 次スレ立ててみました。

不等式への招待第２章
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/l50
946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 10:39:25 ]: >939-940
0 < sinθ･cosθ = (1/2)sin(2θ) ≦ 1/2 なので
まとめると、こんな幹事でせうか…
　n≦(1-√2)/2　のとき　F_n ≧ 3(√3)^n /2,
　0≦n≦1　のとき　0 < F_n ≦ 3(√3)^n /2,
　(1+√2)/2≦n　のとき　F_n ≧ 3(√3)^n /2.
947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 21:58:51 ]: >941
　左辺 = (1/2)sin(2A) + (1/2)sin(2B) + (1/2)sin(2C) ≦ (3/2)sin(2π/3) = (3/4)√3.

>944
　f(θ) = (tanθ)^n (cosθ)^2.
　f '(θ) = n(tanθ)^(n-1) -2(tanθ)^(n+1)･(cosθ)^2.
　f "(θ) = n(n-1)(tanθ)^(n-2)/(cosθ)^2 -2(n+1)(tanθ)^n + 4{(tanθ)^(n+2)}(cosθ)^2
= {n(n-1)[1+(tanθ)^2]^2 -2(n+1)(tanθ)^2[1+(tanθ)^2] +4(tanθ)^4}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2
= {n(n-1) +2(n^2 -2n-1)(tanθ)^2 +(n-1)(n-2)(tanθ)^4}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2
　　= {-D_n +[(n-1)^2 -2 +(n-1)(n-2)(tanθ)^2]^2}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2 /[(n-1)(n-2)].
　ここに、判別式 D_n = [(n-1)^2 -2]^2 -n(n-2)(n-1)^2 = 4 -3(n-1)^2.

　n≦1-(2/3)√3 = -0.154700538379252… または n≧1+(2/3)√3 = 2.154700538379252… のとき
　D_n ≦0, f "≧0 (下に凸).
　∴ (x^n)/(1+x^2) + (y^n)/(1+y^2) + (z^n)/(1+z^2) ≧ (3/4)(√3)^n.
ぬるぽ
948 名前：未解答なもの（たぶん） mailto:sage [05/01/17 22:00:55 ]: >>360 (D.D.Adamovic)
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
(1).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
(2).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.

(1)>>364、(2) 未解答

>>407 正の数 a,b,c に対して、1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)

>>783 整数 a, b, c, d が a>b>c>d>0、ad=bc をみたすとき、(a-d)^2 ≧ 4d+8

>>815 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ
949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 22:26:39 ]: >948
[407] は [477] [503] [>>504-505] の辺りにも．．．
950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/17 22:34:01 ]: >>949
あぁほんとだ。
どおりで解いたことあるような気がしてた。
951 名前：問題 mailto:sage [05/01/17 22:52:33 ]: 三角形の辺の長さ a, b, c について
(1) (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2 ≦ 3abc
(2) (a+b-c)^a・(b+c-a)^b・(c+a-b)^c ≦ (a^a)(b^b)(c^c)

正の数 a, b, c, p, q, r に対して、
(3) p^4/a^3 + q^4/b^3 + r^4/c^3 ≧ (p+q+r)^4/(a+b+c)^3
(4) p+q+r=1 のとき、a+b+c ≧ (a^p)(b^q)(c^r) + (a^q)(b^r)(c^p) + (a^r)(b^p)(c^q)

(5) 非負実数 a, b, c に対して、(bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ 27(a^3+b^3+c^3)^2

(6) 自然数 n と a>b>0 に対して、a^n-b^n > n(a-b)(ab)^[(n-1)/2]

(7) 正の数 a_1, … a_k に対して、相乗平均を G とおくと、(1+a_1)…(1+a_n) ≧ (1+G)^n
　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　　(7) は既出のような気がしますが…
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　　(3) は一般化できそうな予感
　　　　　人つゝ人,,
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　　　よろしくお願いします。
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
952 名前：未解答なもの（その２） mailto:sage [05/01/18 01:31:33 ]: 565 名前：三角形と三角関数の不等式[sage] 投稿日：04/11/01(月) 09:24:59

(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5

(2) [1978 Austria] tan k (k = 1度, …, 44度)の相加平均をA、相乗平均をGとおくとき、A > (√2)-1 > G

(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2　 [類：不等式への招待 P.39 ]

(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)
953 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/01/18 02:00:00 ]: >>783
ｐ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ），ｑ＝ａ／ｐ，ｒ＝ｂ／ｐ，ｓ＝ｃ／ｑとすると
ａ＝ｐｑ，ｂ＝ｐｒ，ｃ＝ｑｓ，ｄ＝ｒｓ。
ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ＞０からｐ／ｓ＞ｑ／ｒ＞１。
ａ－ｄ≧（ｒ＋１）（ｓ＋１）－ｒｓ＝ｒ＋ｓ＋１≧２√（ｒｓ）＋１＝２√（ｄ）＋１。
等号が同時に成り立つことはないので
ａ－ｄ＞２√（ｄ）＋１。
（ａ－ｄ）＾２＞４ｄ＋４√（ｄ）＋１≧４ｄ＋５。
（ａ－ｄ）＾２は４で割ると余りは０か１なので
（ａ－ｄ）＾２≧４ｄ＋８。
954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/18 02:01:04 ]: >951 (1)
b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z とおく。
(1) 左辺 = [x(y+z)^2 +y(z+x)^2 +z(x+y)^2]/4 = (y+z)(z+x)(x+y)/4 +xyz
= 3(y+z)(z+x)(x+y)/8 -(1/8){x(y-z)^2 +y(z-x)^2 +z(x-y)^2} ≦ 3(x+y)(y+z)(z+x)/8 = 右辺.

(7) 初めて見たが...
　f(x)=Ln(1+e^x) とおくと f '(x)=(e^x)/(1+e^x), f"(x) =(e^x)/(1+e^x)^2 >0 (下に凸) より。
ぬるぽ
955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/18 03:04:14 ]: >952 (>>565)
(1) {1+sin(x)}{1+cos(x)} -5sin(x)cos(x) = 1 + sin(x)+cos(x) -4sin(x)cos(x)
　= 1 + 1 -2sin(2x) ≧ 2{1-sin(2x)} >0.

(2) y=tan(x) は下に凸だから、[tan(0)+tan(π/4)]/2 ≧ [tanθ + tan(π/4 -θ)]/2 ≧ tan(π/8).
　　また、tanθ･tan(π/4 -θ) = 1 - tanθ - tan(π/4 -θ) ≦ 1-2tan(π/8) = {tan(π/8)}^2.
　　∴ 1/2> A > tan(π/8) = √2 -1 > G >0.

(6) -a+b+c=x, a-b+c=y, a+b-c=z とおくと、相加･調和平均より
　1/a = 2/(y+z) ≦ (1/y +1/z)/2,
　1/b = 2/(z+x) ≦ (1/z +1/x)/2,
　1/c = 2/(x+y) ≦ (1/x +1/y)/2.
　辺々たす。
ぬるぽ
956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/18 03:17:06 ]: こんな遅くまで、乙です。
新スレのほうに、例の Majorizatoin Inequality と
外国の不等式ヲタのサイトを発見したので、見てみてください。（笑）
957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/18 08:17:50 ]: >951 (7)
　S_kは{a_i}のk次の基本対称式, G = (S_n)^(1/n) = (a_1･a_2････a_n)^(1/n) とおく。
　相加･相乗平均により、
　左辺 = Σ[k=0,n] S_k ≧ Σ[k=0,n] C[n,k]･G^k = (1+G)^n.
ぬるぽ
958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/18 11:55:12 ]: >951 (2)
　b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z とおくと、x+y+z=a+b+c.
　yz = (c+a-b)(a+b-c)= a^2 - (b-c)^2 ≦ a^2 など.
　Ln(左辺) = (1/2){(y+z)Ln(z) + (z+x)Ln(x) + (x+y)Ln(y)} = (1/2){y･Ln(yz) + z･Ln(zx) + x･Ln(xy)}
　≦ y･Ln(a) + z･Ln(b) + x･Ln(c) ≦ a･Ln(a) +b･Ln(b) +c･Ln(c) = Ln(右辺).

>928 (凡例)
　nが偶数, 0<a<b のとき x_{2k-1}=Xo, x_{2k}=Xe≠Xo に対して
　左辺 = (n/2){Xo/(aXe+bXo) +Xe/(aXo+bXe)} = (n/2)[a(Xo-Xe)^2 +2(a+b)XoXe]/{(aXe+bXo)(aXo+bXe)}
　= [n/(a+b)]{1 -(a/2)(b-a)(Xo-Xe)^2/[XoXe(a+b)^2 +ab(Xo-Xe)^2]} < n/(a+b) = 右辺.
となるので、nが偶数のときは a≧b が必要かと....
959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/18 22:02:56 ]: >951 (2)
　[958]の訂正　死んでお詫びを……(AA省略)
　Ln(1+x) ≦x より a･Ln(a+b-c) = a{Ln(a)+Ln[1+(b-c)/a]} ≦ a･Ln(a) +b-c.
　これを循環的にたす。

>951 (5)
　bc+ca+ab = (a^2 +b^2 +c^2) -(1/2)[(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2] ≦ (a^2 +b^2 +c^2).
　(a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(b-c)^2 -(c-a)^2 -(a-b)^2 ≦ 3(a^2 +b^2 +c^2).
　辺々かけて、左辺 ≦ 9(a^2 +b^2 +c^2)^3.
これと [>>153]の(補題) [>>688] を使って、
　左辺 ≦ 9(a^2 +b^2 +c^2)^3 ≦ 27(a^3+b^3+c^3)^2 = 右辺.
ぬるぽ
960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/18 22:17:02 ]: 　　　～～相加･相乗平均の練習問題～～
>951(4)
　p+q+r=1 ⇒ pa+qb+rc ≧ (a^p)(b^q)(c^r)　これを循環的にたす。

>951(6)
　(a^n-b^n)/(a-b) = a^(n-1) +a(n-2)b +…… + ab^(n-2) +b^(n-1) > n(ab)^[(n-1)/2].
ぬるぽ
961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/19 03:35:24 ]: >>944 >>947
0<A,B,C<π/2, A+B+C=π のとき、>>580より次が成り立つ。等号はA=B=C=π/3
　0 < cosA・cosB・cosC ≦ 1/8

G_n = (tanA)^n (cosA)^2 + (tanB)^n (cosB)^2 + (tanC)^n (cosC)^2 において、
　G_0 = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1-2cosA・cosB・cosC
　G_2 = (sinA)^2 + (sinB)^2 + (sinC)^2 = 2+2cosA・cosB・cosC
だから、G_0 > 3/4、 0 < G_2 < 9/4

>>947より、0 < G_1 ≦ (3/4)√3、 n=3,4,…のとき G_n ≧ (3/4)(√3)^n

でよろしいでせうか？ (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
962 名前：未解答リスト（これで全部？） mailto:sage [05/01/19 05:34:09 ]: >>360 (D.D.Adamovic) の(2)番。 (1)の解答は>>364
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
(1).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
(2).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.

>>565
(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
　tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 　[類：不等式への招待 P.39 ]

>>815 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。

>>908 (3) 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)

>>951 (3) 正の数 a, b, c, p, q, r に対して、 p^4/a^3 + q^4/b^3 + r^4/c^3 ≧ (p+q+r)^4/(a+b+c)^3
963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/19 05:50:03 ]: >>951(3) の類題をコレクションの中から発見！
このスレには書いてなかったよね？（いちおう検索したけど…）

【類題】文字はすべて正の数とする。
　p^2/a + q^2/b + r^2/c ≧ (p+q+r)^2/(a+b+c)

（証）
　p^2/a + q^2/b - (p+q)^2/(a+b) = (aq-bp)^2/[ab(a+b)] ≧ 0
　∴ p^2/a + q^2/b ≧ (p+q)^2/(a+b)
これを２回用いて、
　p^2/a + q^2/b + r^2/c ≧ (p+q)^2/(a+b) + r^2/c ≧ (p+q+r)^2/(a+b+c)
等号成立条件は
　aq=bp かつ (a+b)r=c(p+q) ⇔ p/a = q/b = r/c
964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/19 05:57:32 ]: >>955
(>>565)(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5

の解答について質問です。

{1+sin(x)}{1+cos(x)} -5sin(x)cos(x)
　＝ 1 + sin(x)+cos(x) -4sin(x)cos(x)
　＝ 1 + 1 -2sin(2x) 　　　　　　　　　　　　← ここはなぜですか？
　≧ 2{1-sin(2x)}
　＞ 0.
965 名前：964 mailto:sage [05/01/19 05:59:22 ]: あぁ、分かりました。
問題文に 0<x<π/2 とあるから、合成して sin(x)+cos(x) ≧ 1 なんですね。
スマソ。
966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/19 09:22:16 ]: >962
>>565(5)もまだだよ。
967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/19 09:30:30 ]: >>953
なるほど。ありがとうございまする。
こりゃ思いつかんわ…。
968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/19 19:09:06 ]: >951(3) >963
　a,b,c,n,p,q,r>0. p/a=P, q/b=Q, r/c=R とおく。 y=x^(n+1) は下に凸なのでJensenにより、
　左辺 = p^(n+1)/(a^n) + q^(n+1)/(b^n) +r^(n+1)/(c^r) = a･P^(n+1) +b･Q^(n+1) +c･Q^(n+1)
　≧ (a+b+c){(aP+bQ+cR)/(a+b+c)}^(n+1) = (p+q+r)^(n+1) /(a+b+c)^n = 右辺.
　等号条件は P=Q=R すなわち p/a = q/b = r/c.
ぬるぽ
969 名前：968 mailto:sage [05/01/19 19:59:11 ]: [968] に写し間違い,スマソ。　r^(n+1)/(c^n)、　c･R^(n+1)　

[951]への解答レス（主なもの）
　　(1)[954] (2)[959] (3)[968] (4)[960] (5)[959] (6)[960] (7)[954][957]

>961
　3/4 ≦ G_0 < 1、 2 < G_2 ≦ 9/4 　でいいんぢゃない？
　（0<A,B,C<π なら 3/4 ≦ G_0 < 3、 0 < G_2 ≦ 9/4）
970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/19 21:53:12 ]: >>811(1)も未解答では？
971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/19 23:49:36 ]: 実数a[k],k=1,2,...,nに対し
|sin(a[1])|+|sin(a[2])|+...+|sin(a[n])|+|cos(a[1]+a[2]+...+a[n])|≧1
972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/20 00:59:14 ]: >>969
㌧クス。
973 名前：未回答リスト（>>962）に追加 mailto:sage [05/01/20 09:33:33 ]: 　↑ の問題と、>>962のリストと、次の３問。

>>563(7) 自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1

>>565(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)

>>811(1) 1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
　　0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。
974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/20 09:36:51 ]: ごめん、563(7) は>>662にあった
975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/20 10:08:21 ]: >>973　さらに追加
>>791
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B　∠C＞π/2を満たす。
この時、AB+BC+CA≧77を示せ

等号成立条件しか書かれていないので未解決としてよいかと
出題は某国数学オリンピック。
976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/20 12:23:46 ]: >971
　a[k]/π に最も近い整数を q[k]、r[k] = a[k] - q[k]π とすると, |r[k]| ≦ π/2.
　左辺 = |sin(r[1])| + …… + |sin(a[n])| + |cos(S)|
　≧ (2/π)(|r[1]|+|r[2]|+ …… +|r[n]|) + |cos(S)| = (2/π)Θ + |cos(S)|.
　ここに S = r[1] + r[2] + …… + r[n], Θ = |r[1]| + |r[2]| + …… + |r[n]| とおいた。
　Θ ≧ π/2 のときは成立。
　Θ < π/2 のとき 0 ≦ S ≦ Θ より, 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ ≧1.
ぬるぽ

>974
　ごめん、563(7) は >>706-707 で解決のように見えまつが、>>705 (未解決)を使ってますた。
977 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [05/01/20 14:00:00 ]: 　｜ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）｜
≦｜ｓｉｎ（ｘ）｜｜ｃｏｓ（ｙ）｜＋｜ｃｏｓ（ｘ）｜｜ｓｉｎ（ｙ）｜
≦｜ｓｉｎ（ｘ）｜＋｜ｓｉｎ（ｙ）｜。

　１
≦｜ｓｉｎ（Σ（ａ（ｋ）））｜＋｜ｃｏｓ（Σ（ａ（ｋ）））｜
≦Σ｜ｓｉｎ（ａ（ｋ））｜＋｜ｃｏｓ（Σ（ａ（ｋ）））｜。
978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/20 16:09:47 ]: ウホッいい不等式 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍ
979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/20 16:28:30 ]: 一年二十四日。
980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/20 22:13:31 ]: >>951(6) を改造。
自然数 n と a>b>0 に対して、(n/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > a^n-b^n > n(a-b)(ab)^[(n-1)/2]
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/20 22:28:19 ]: ∫[0,1]{x/cos(x)}dx < log(2)
982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/21 06:05:38 ]: >>976
最後の行
> Θ < π/2 のとき 0 ≦ S ≦ Θ より, 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ ≧1.
において、
　左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ
ここまでは分かりましたが、それが ≧1 となるのは何故ですか？
983 名前：982 mailto:sage [05/01/21 06:12:39 ]: まさか、f(θ) = (2/π)θ + cosθ を微分して、
0<θ<π/2 における増減を調べて ≧1 を確認
なんて面倒なことをしないですよね？
984 名前：982 mailto:sage [05/01/21 06:26:11 ]: グラフから、0≦θ<π/2 において cosθ ≧ 1-(2/π)θ であることを使うのですか？
985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/21 07:26:53 ]: >>951(5) [>959]
以下の解法は合ってますか？ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

x≧0 において、y=x^3は下に凸だからJensenの不等式より
　(a^3+b^3+c^3)/3 ≧ [(a+b+c)/3]^3 … (1)
対称性から a≧b≧cとしてよく、チェビシェフの不等式より
　(a^2+b^2+c^2)/3 ≧ [(a+b+c)/3]・[(ab+bc+ca)/3] … (2)
2[(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)] = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≧ 0 より
　(a^2+b^2+c^2)/3 ≧ (ab+bc+ca)/3 … (3)
式は負でないから、(1)、(2)を辺々かけて、(3)を用いる。
986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/21 09:27:43 ]: >981
　0<x<√2 ⇒ -cos(x)>-1, -sin(x)>-x, cos(x)>1-(1/2)x^2.
　x/cos(x) < x/{1-(1/2)x^2}.
　∫_[0,a] x/cos(x) dx < ∫_[0,a] x/{1-(1/2)x^2} dx = [-Ln{1-(1/2)x^2}](x=0→a) = Ln{2/(2-a^2)}.

>982-984
　f(θ)は上に凸だから、f(θ) ≧ {(π/2-θ)f(0) + θf(π/2)}/(π/2) = 1.

>985
　(a^3+b^3+c^3)/3 ≧ [(a+b+c)/3]・[(a^2+b^2+c^2)/3]　… (2)
　ぢゃない？
987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/21 09:56:55 ]: >>986
そうそう、写し間違いですた。ゴメソ。
988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/21 16:40:19 ]: 【問題】正の実数 x(k,j)、自然数 m, n に対して、次式を示せ。
　[x(1,1)^n + … + x(1,m)^n]…[x(n,1)^n + … + x(n,m)^n] ≧ [x(1,1)…x(n,1) + … + x(n,1)…x(n,m)]^n

うまく証明できません。たのも～。
>>951(7) は、m=2、x(n,1)^n=1、x(n,2)^n=a_ の場合になりますよね？
どっかで見たことあると思ったら、これだったか…。

発掘元
user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~rr46112/gtmb/mon/data/011f/solution.pdfの8ページ目
989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/21 22:30:16 ]: >980
　相加･相乗平均により
　{k･a^(n-1) + (n-1-k)･b^(n-1)} / (n-1) ≧ a^k･b^(n-1-k).
　これを k=0～n-1 について加えて(1/2)を掛けると
　(n/2)[a^(n-1) +b^(n-1)] ≧ a^(n-1) +a^(n-2)b + …… +ab^(n-2) +b^(n-1) = (a^n -b^n)/(a-b).

>988
　●知られざる(?)コーシー・シュワルツの拡張形●
　nについての帰納法による。
　n=1のときは明らか。
　n=2のときは "コーシー・シュワルツの不等式になりますね。"
　nが偶数のとき、 n/2 について成立ち、また２についても成立つことから……
　nが奇数のとき、 n+1 については成立つ。これを
　　X(k,i)= x(k,i)^{n/(n+1)} (1≦k≦n), X(n+1,i)={x(1,i)x(2,i)…x(n,i)}^{1/(n+1)}
　に適用すると、与式の両辺に (右辺)^(1/n) を掛けた式が……
ぬるぽ
990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/21 23:45:56 ]: 相加相乗でも解けるね
991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 03:32:58 ]: >>989
さすが、いつもながらｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！です。

>>990
詳細キボンヌ。
992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 03:59:57 ]: >>988-989
Cauchyの不等式って積分に拡張したSchwarzの不等式があるよね。
「知られざる（？）コーシー・シュワルツの拡張形」も、積分に拡張できるでしょうか？
>　正の実数 x(k,j)、自然数 m, n に対して、
>　[x(1,1)^n + … + x(1,m)^n]…[x(n,1)^n + … + x(n,m)^n] ≧ [x(1,1)…x(n,1) + … + x(n,1)…x(n,m)]^n

もし出来るとしたら、こんな感じですか？

【予想】
区間 [a, b] で連続な実関数 f_1, …, _m に対して
　[∫[a, b](f_1(x))^n dx]…[∫[a, b](f_m(x))^n dx] ≧ [∫[a, b]f_1(x)…f_m(x) dx]^n
993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 04:30:50 ]: >>992
【Schwarzの不等式】
区間 [a, b] で連続な実関数 f, g に対して
　[∫[a, b]f(x)^2 dx]…[∫[a, b]g(x)^2 dx] ≧ [∫[a, b]f(x)g(x) dx]^2
（証明）
任意の実数 t に対して ∫[a,b](tf(x)+g(x))^2 dx ≧ 0 … (☆)
展開して (t^2)∫[a,b](f(x))^2 dx + 2t∫[a,b]f(x)g(x) dx + ∫[a,b](g(x))^2 dx ≧ 0

∫[a,b](f(x))^2 dx>0 のとき、上式の左辺の判別式 D≦0 より、示すべき不等式を得る。
等号は D=0 のときで、このとき (☆) はあるt=cにおいて ∫[a,b](cf(x)+g(x))^2 dx=0
となるから、区間 [a, b] でcf(x)+g(x)=0

∫[a,b](f(x))^2 dx=0 のとき、区間 [a, b] で f(x)=0 より、示すべき不等式で等号が成り立つ。
（このとき、f(x) = 0×g(x) と書ける）

等号成立条件は、f, g の一方が他方の定数倍のとき。
994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 04:32:18 ]: >>992
その予想は、993の方法では難しそうでつね。
そもそも成り立つかどうか知らないし…。
（ﾟ∀ﾟ）ﾃﾍｯ
995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 04:34:40 ]: >>989
●知られざる(?)コーシー・シュワルツの拡張形● の等号成立条件は、どうなるのでしょうか？
996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 05:04:22 ]: >>980
> 自然数 n≧2 と a>b>0 に対して、(n/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > a^n-b^n

（別解１）
x>0、n≧2 において y=x^(n-1) は下に凸だから、
区間 [b, a] において、この間数とx軸で囲まれる部分の面積を考えて
　（台形）≧ ∫[b, a]x^(n-1)dx
　(1/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > (a^n-b^n)/n
997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 05:18:16 ]: （別解２）
a/b = t (>1) とおくと、示すべき不等式は
　(n/2)(t-1)(t^(n-1)-1) > t^n -1 …(☆)
これを示そう。
　f(t) = n(t-1)(t^(n-1)-1) -2(t^n -1)
　f'(t) = n(n-2)t^(n-1) -n(n-1)t^(n-2) +n
　f''(t) = n(n-1)(n-2)t^(n-3)(t-1)
t>1 において f''(t)>0、f'(1)=0 より、f'(t)>0 だから fは単調増加
　f(t)>f(1)=0
998 名前：不等式ヲタ mailto:sage [05/01/22 05:19:29 ]: このスレが、ここまで盛り上がったのも皆さんのおかげです。
きっと>>1も草葉の陰で喜んでいることでしょう。
次スレもよろしくお願いします。
…と、なんとなく締めくくってみる。
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n　　
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 05:22:48 ]: 次スレ

不等式への招待第２章
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/l50
1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [05/01/22 05:24:02 ]: 1000<10000
1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread]: このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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