- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/01/20 16:53]
- ちょと見ない間に前スレ消えちゃったので新スレ立てます。
基礎論なぜなにスレッド
cheese.2ch.net/math/kako/970/970523340.html
基礎論なぜなにスレッド その{φ,{φ}}
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1014140987/l50(dat落ち)
数理論理学 基礎
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1035210795/l50
フォン・ノイマンVSアラン・チューリング
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1009039204/l50
- 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 11:37]
- >>573
確かに成り立ってますね
さっき計算したら確認できました
>>569の指摘はそういう意味だったんでしょうか？
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 11:52]
- >>574
本人ではないからわかりません。
調べると昔の論文で、complemented で weakly modular (つまり orthomodular ) な束が modular となる必要十分条件に関する論文が Pacific J. からでて
いますからそれには書いてあるのでしょう。前田周一郎著の「束論、、、」
には書いてあるかもしれない。
- 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 14:37]
- a, bがヒルベルト空間の閉部分空間だとして、a∨bも閉集合になるっすか？
- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 15:05]
- >>576
一般には閉部分空間の和は閉とは限らないので、閉包をとるんでは？
- 578 名前：１３２人目の素数さん [03/07/11 15:52]
- >>577
じゃあさ、a, b, cをヒルベルト空間の閉部分空間としてさ。
a∨bを、閉包をとる前の素朴なspanning {x+y | x∈a, y∈b}だとしてさ。
>>573の言ってることってのは、a≦cのときにmodular 則
a∨(b∧c) = (a∨b)∧c
が成り立つってことやろ？
で、Cl (a∨(b∧c)) = (Cl (a∨b))∧cも成り立つん？？
- 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 16:39]
- Cl (a∨(b∧c)) ≦ (Cl (a∨b))∧cは簡単に出るけど
逆はどうやったのか忘れてしまいました
というかできたと思ったのが単なる勘違いだったかも
- 580 名前：１３２人目の素数さん [03/07/11 17:26]
- そもそも、>>577の「閉部分空間の和は閉とは限らない」の
具体例って、どんなのがあるんすか。
- 581 名前：_ mailto:sage [03/07/11 17:29]
- homepage.mac.com/hiroyuki44/jaz09.html
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 17:43]
- >>576
ヒルベルト空間の閉部分空間の和は閉である。
A,B を閉部分空間,A の直交補空間を C とすれば
A+B は A+(B\cap C) となる。 A への射影を使って
このことの証明がでぃる。573はそれが前提。
- 583 名前：１３２人目の素数さん [03/07/11 18:17]
- capって、∧のことでつか？
Bが「ナナメ」でも、そんなことが言えるんかいのう・・・
- 584 名前：_ mailto:sage [03/07/11 18:19]
- homepage.mac.com/hiroyuki44/jaz09.html
- 585 名前：582 mailto:sage [03/07/11 19:17]
- p_C(B)のつもりで書いたのだけど、p_C(B)が閉部分空間
になることが成立することをいわないといけないな。
だから「ヒルベルト空間の閉部分空間の和は閉である」
があってるかどうかわからなくなっちゃたな。失礼!
- 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 21:11]
- えーと、混乱してきましたが、とりあえず
有限次元部分空間は閉
閉部分空間と有限次元部分空間の和は閉
なので有限次元なら反例なし。
Norm空間なら閉部分空間の和は一般には閉でないです。
どんな例があるのかは忘れたけど・・・
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/12 10:48]
- >>586
ヒルベルト空間がよくわからなかったため 549 の答えが正しい
ことがわからなかったので考えてみました。これでどうでしょう。
a_n, b_n n=1,2,... が正規直交基底をなしているとき、
A を a_n n=1,2,... で生成される閉部分空間とする。
B を A と Σ(1/n)b_n で生成される閉部分空間とする。
( B/A は一次元)
C を (1- 1/n)^(1/2)a_n + (1/n)^(1/2)b_n n=1,2,... で生成される
閉部分空間とする。(C の正規直交基底とっている。)
A+C は b_n を含んでいるから閉包をとれば全空間となる。
つまり、B∧(A∨C) ＝ B
ところで C の要素は
Σλ_n ((1- 1/n)^(1/2)a_n + (1/n)^(1/2)b_n ) で Σ(λ_n)^2 < ∞ の形、
B の要素は
Σμ_n a_n + μΣ(1/n)b_nで Σ(μ_n)^2 < ∞ の形だから b_n の係数に
着目すると B∧C は 0 空間となる。
よって、 B∧(A∨C) ＝ B と A∨(B∧C) ＝ A は等しくない。
あっていれば、自然な例だからこれが普通の反例なのかなと思いますが。
- 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/12 11:36]
- >>587
その推論自体は正しそうですがそれだとA<Cにならないのでは？
- 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/12 11:55]
- >>588
A が B の部分空間であるとき、
B∧(A∨C) ＝ A∨(B∧C) がモジュラー則が成立することだと
思っています。
- 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/12 12:08]
- >>589
失礼、>>558と記号が違ってただけでしたか
- 591 名前：山崎 渉 mailto:（＾＾） [03/07/12 12:29]
-
__∧＿∧_
|（ ＾＾ ）| ＜寝るぽ（＾＾）
|＼⌒⌒⌒＼
＼ |⌒⌒⌒~| 山崎渉
~￣￣￣￣
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/12 13:09]
- >>587
> A+C は b_n を含んでいるから閉包をとれば全空間となる。
っていうところ、閉包を取らずとも全空間になると考えても良いですか？
それにしても、凄く賢いですね。一体、どういう着想でこういった例を
思いつくんでしょうか？
それとも単に、家にモノリスとかがあって、一晩寝ただけで脳味噌が
勝手に進化するんでつか？
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/12 13:36]
- A+Cが前空間だとすると
B = B∧(A+C) = A+(B∧C) ≦ A∨(B∧C) = A
となって矛盾。
二番目の等号は、部分加群全体ならmodularだから。
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/12 14:17]
- >>592
593 さんの答えがあるので、余計ですが Σ(1/n)b_nが A+C に
入らないことが直接しめせます。
考え方ですが、昨日の585などから、射影が閉空間にならない
例を作ろうとしました。射影は一般に閉写像ではないことが
知られています。例えば、tan x の （−π/2,π/2）のグラフは
平面で閉集合ですが、射影したものは開区間ですから閉集合で
はありません。これをヒルベルト空間にもっていけばよいと思い
ました。それで、1/n の和が収束しないことに引っ掛ければよい
だろうと考えて、ずいぶん考えましたよ。射影で閉空間とならない
例ができれば、modular則をしめそうとした場合の要点がそこに
あるのだから、反例になるだろうと考えて、、、です。
簡単に思いつくほど頭がよいわけではありません。
- 595 名前：加護天使 ◆j/LLggzims mailto:sage [03/07/14 01:48]
- 完全に出遅れた、ごめん。
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/14 02:37]
- ２チャソにおいては出遅れは問題ない
なにしろ２チャソだから
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/14 08:54]
- 出遅れたはいえ、言ってたことは合ってたんだからな。
>>587が優秀なのは明らかだが、加護ハンも流石によくご存知でやんす。
ついでに、非可算有限についてもコメントしてくれたらソンケー(w
- 598 名前：１３２人目の素数さん [03/07/15 10:35]
- 可算有限age
- 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/15 11:11]
- 不完全性定理っていうくらいだから、証明そのものも不完全なんじゃ
ないですか
- 600 名前：山崎 渉 mailto:（＾＾） [03/07/15 12:34]
-
__∧＿∧_
|（ ＾＾ ）| ＜寝るぽ（＾＾）
|＼⌒⌒⌒＼
＼ |⌒⌒⌒~| 山崎渉
~￣￣￣￣
- 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/16 00:49]
- で、非加算有限の話はどうなつたですか・・・
- 602 名前：加護天使 ◆j/LLggzims mailto:sage [03/07/16 02:49]
- ソンケーされてみよう（Ｗ
>>561
可算・有限のそれぞれの定義を確かめ直してみることをお奨めします。
感覚的にはこんな定義です。
（高々）可算：自然数からのそれへの上への関数が存在する（数えられる）
有限：自然数の真部分集合への１対１関数が存在する（数えれきれる）
簡単に言うと、非可算有限はありません。
＃（知らないけど）巨大基数での無限基数の構造やモデルで、
＃”有限のような”性質が成り立つとかの話ではないと思う。
>>599
「この機械は壊れている」という発言が壊れていないように、
不完全性定理の証明は不完全ではない。
- 603 名前：加護天使 ◆j/LLggzims mailto:sage [03/07/16 02:57]
- >>602
いちおう、可算選択公理のある世界での話です。
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/16 08:13]
- >>602
有限の説明がなんか変でないですか？
有界でないと・・・
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/16 18:13]
- >>602
もうちょっと前の段階から確かめ直してみると面白いような気が・・・
自然数を持ち出さない定義を考えてみたり・・・
そしたら、哲学になっちゃうと思うんですけどね。
まあ、基本的に哲学か・・・
- 606 名前：加護天使 ◆j/LLggzims mailto:sage [03/07/17 01:25]
- >>604
そうですね。有界をいれないと偶数全体が有限になってしまう。
有限の説明をしようとすると、どうも不自然になってしまうなあ。
数えきれるみたいに、説明自身に再帰的に含むと気持ちが悪いし、
デデキント有限では、かえって問題がでそうだし。
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 09:46]
- 単純に考えたら以下の規則で生成されるもの？
・空集合は有限
・有限集合とシングルトンの和は有限
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 09:48]
- でも、これだと明らかに再帰的か
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 12:59]
- ＞数えきれるみたいに、説明自身に再帰的に含むと気持ちが悪い
仕方ないな。総ての自然数を列挙するわけにはいかないのだから。
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 17:13]
- >>609
枚挙でなければ再帰的になるのが仕方ないとはどういう理屈ですか？
- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 20:41]
- >>610
そんなこといってないよ。
気持悪いのは、再帰的だからじゃなくて
そもそも有限というものが有限にきっちりと
定義し切れないところにあるからだって
いってるわけ。
- 612 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 10:36]
- なあんだ。じゃ、結局、有限の本質はまさしく無限そのものなんだがや？
それ以上でも以下でもないんじゃけんね？
すべての自然数が、非可算だと思えばナイスずら！
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/19 12:25]
- 自然数の存在を保障するのが無限公理だからなあ
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/19 21:29]
- たしか初代スレで611さんが説明なさってたような＞有限
- 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 16:32]
- academy2.2ch.net/test/read.cgi/philo/1058643691/l50
おまいらも毛嫌いせずに、ここで大胆に哲学を語れ。
- 616 名前：１３２人目の素数さん [03/07/21 18:33]
- お尋ねしたいのですが、不完全性定理に関する質問（宿題系）て受け付けてますか？
- 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 18:39]
- >>615
普通に「数学基礎論」のタイトルで立てれば良かったのに。
そのスレタイじゃ哲学の中でも厨房と電波しか寄り付かないよ。
- 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 18:50]
- >>615
>>459を参照してくれ。
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 19:02]
- >>616
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043852921/l50
も一通りみておくといいかも。
- 620 名前：618 mailto:sage [03/07/21 19:13]
- レス先間違えた・・・
>>616宛てです。
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 23:39]
- 教えてください。
1.不完全性定理の証明において、ゲーデル数のアイディアが用いられる。
このことの意味をヒルベルトのメタ数学の構想との関連で説明せよ。
2.公理的集合論ZFとカントールの素朴集合論
（実は公理系にはなっていないがある公理をもつと考えられる）
が、集合についての考え方どのように相違するのか
ラッセルのパラドクスの関連で説明せよ。
- 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/22 03:58]
- 竹内の証明論入門が絶版で入手困難なのですけど、これに変わる
良き入門書（カット除去定理、ゲーデル、ゲンツェンによる自然
数論の無矛盾性証明、高階論理など）ってありますか？多分、邦
書には無いと思うので、洋書になると思うのですが...。
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/22 19:14]
- >>621
2. のヒント
素朴集合論は、仮に公理化するとなると、素朴な内包公理を持つと
考えられる。内包公理とは、「あるものがそれに属するか否かを、
数学的に明確に決定できるならば、集合をつくることができる」と
いう、集合に対する自然な考えをあらわすものである。カントールは
素朴に、そのように 属するか否かを決定できるものすべてを集合と
考えていた。
記号化するならば、
素朴内包公理
∃x ∀y（y∈x ⇔ P（y））（ただし、Pは任意の述語）
となる。
問１
素朴内包公理がラッセルのパラドックスを引き起こすことを説明せよ
問２
ZF にも内包公理と同じようなはたらきをする公理がある。それはなにか？
問3
１）ZFの該当する公理はある集合に関する考え方に基づいて弱められている。
その考え方とはどんなものか？
２）ラッセルのパラドックスがZFでは起らないことを説明せよ。
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/22 19:20]
- >>621
1. は、いまいちわからん。授業のノートにはなんて書いてあった？
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/23 10:43]
- >>622
A.S.Troelstra,H.SchwichtenbergのBasic Proof Theory
(Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 43)
ってどうなの？
- 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/26 17:19]
- 良く分からないけど、アマゾンで調べたら、目次その他が覗ける模様。
www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0521779111/qid=1059207375/sr=1-1/ref=sr_1_1/102-4795315-0695345?v=glance&s=books
ついでに、こんなリストマニアをハケーン。
www.amazon.com/exec/obidos/tg/listmania/list-browse/-/BMK2OSNIJEKK/qid=1059207375/sr=5-1/ref=sr_5_1/102-4795315-0695345
あとでジクーリ見てみます。
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 17:11]
- ＞問１ 素朴内包公理がラッセルのパラドックスを引き起こすことを説明せよ
P(x)を¬x∈xとする。素朴内包公理により
∃x ∀y（y∈x ⇔ ¬y∈y）
ところがその場合
x∈x⇔¬x∈x
となるxが存在することになるので矛盾。
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 17:14]
- ＞問２ ZF にも内包公理と同じようなはたらきをする公理がある。それはなにか？
分出公理
∀a ∃x ∀y（y∈x ⇔ y∈a＆P（y））（ただし、Pは任意の述語）
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 17:16]
- ＞問3１）ZFの該当する公理はある集合に関する考え方に基づいて弱められている。
＞その考え方とはどんなものか？
集合は、既にある集合から構成される、という考え方。
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 17:23]
- ＞問3２）ラッセルのパラドックスがZFでは起らないことを説明せよ。
>>627の証明と同様に考えた場合
s={x|x∈a＆P(x)}がaに含まれると
矛盾することがいえるが、
sがaに含まれなければ矛盾しない。
(内包公理の場合、aとして集合全体を
考えていたので、sがaに含まれないと
集合でない、ということになり、
sが集合であるという公理の主旨に反する）
- 631 名前：加護天使 ◆j/LLggzims mailto:sage [03/08/02 01:12]
- 「公理の趣旨に反する」って、法律学じゃないんだから、
数学らしく書こうよ。
- 632 名前：１３２人目の素数さん [03/08/02 05:09]
- >>623> 問3 ２）ラッセルのパラドックスがZFでは起らないことを説明せよ。起らないことは証明できない。
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/02 08:07]
- >>632
なぜ証明はできないのかいわなくっちゃいけないんじゃない？
- 634 名前：１３２人目の素数さん [03/08/02 12:01]
- 「ZFで ∃x ∀y（y∈x ⇔ ¬y∈y）が証明できる」
ならば
「ラッセルのパラドックスがZFで起こる」
の対偶を考え、不完全性定理を適用。
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/02 14:12]
- >>632 >>633
「証明せよ」では無くて「説明せよ」って言う言葉を使ってるのが肝心ですな。
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/02 16:47]
- 何故、「ラッセルのパラドックスが ZF で起こらない」ことが証明できないか
といえば、それは「ラッセルのパラドックスが ZF で起こらない」あるいは
「ラッセルのパラドックスが ZF で起る」ということが論理式で書かれた
ものでないからである。つまり、内包公理をもつ公理系は、634 にある形の
論理式を導くため矛盾を起こす。623 の問3(2) は、この矛盾に至る推論のどこが
ZF の公理からの推論にならないところか？という問と考えられる。（この
問題を出した人がそこように考えているかはしらないが。）
634 の１行目の論理式は否定が証明可能なのだから、あと不完全性定理が
何とかといっているのは意味不明。
- 637 名前：sage [03/08/02 17:55]
- >>636 634 の１行目の論理式は否定が証明可能なのだから、あと不完全性定理が
何とかといっているのは意味不明。
「証明できない」と「否定が証明できる」の区別ができない人がいましたか。
- 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/02 18:03]
- >>637
∃x ∀y（y∈x ⇔ ¬y∈y）からは述語論理の体系で矛盾が
証明される。だから、述語論理から ¬∃x ∀y（y∈x ⇔ ¬y∈y）
が証明される。
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/02 18:12]
- >>638
「ZFで ∃x ∀y（y∈x ⇔ ¬y∈y）が証明できる」の否定は
「ZFで ∃x ∀y（y∈x ⇔ ¬y∈y）が証明できない」で
「ZFで ¬∃x ∀y（y∈x ⇔ ¬y∈y）が証明できる」ではない。
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/02 18:24]
- >>639
つまらんこと書き込んでるとマツシンと同じになっちゃうよ！
- 641 名前：１３２人目の素数さん [03/08/02 19:11]
- kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/03 01:18]
- まあ、ZF が無矛盾であることをいわなければ、ラッセルのパラドックスがおこらない
証明にはならないわけで。
- 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/04 15:34]
- １、
ヒルベルトのメタ数学なら自然数論で
表現できる、みたいな感じなんじゃねーの？
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/04 15:35]
- 歴史的な話なら哲学板の方が詳しい香具師がいそうだ
academy2.2ch.net/test/read.cgi/philo/1058643691/l50
academy2.2ch.net/test/read.cgi/philo/1038386875/l50
- 645 名前：辻斬り mailto:sage [03/08/05 08:33]
- ＞「公理の趣旨に反する」って、法律学じゃないんだから、
＞数学らしく書こうよ。
じゃ、あいぼん、書いてみろよぉ（ｗ
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/05 14:25]
- 別に難しいことが要求されているわけではないと思うが…
- 647 名前：加護天使 ◆j/LLggzims mailto:sage [03/08/06 01:16]
- ののたんに斬られたぁ（ｗ
説明せよなんだから、（ＺＦの無矛盾性が問われてないと考えれば）
分出公理にあやしげな述語を投げ入れて、
（すぐには）矛盾は出ませんよと説明してみせればいい。
ところで、普通、述語P(y)にxを含まないって制限しなかったっけ？
>>628
分出公理
∀a ∃x ∀y（y∈x ⇔ y∈a＆P（y））（ただし、Pは任意の述語）
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/08 10:35]
- >>647
普通 述語P(y)にxを含まないって制限しますよね。
P(x,y) ≡ ¬ y∈x として a が空集合でなく b∈a として
考えれば分かるけど、この公理から矛盾がでちゃうからね。
矛盾する公理を採用するのって普通じゃないだろうな。
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/08 12:57]
- >>647
x を定義するのに、定義の中に被定義項のxが含まれてちゃかっこつかないですからな。
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 11:21]
- >>648-649
いや、制限無用。
ウソだと思うなら、試してごらん。
集合論の基本だYO！
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 18:40]
- >>650
何いってだよ、648に矛盾の導き方が書いてあるんだよ。
イマイの爺さんみたいに論理性がなくっちゃダメだよ！
- 652 名前：sage [03/08/17 03:10]
- 制限無用は言い過ぎだが、自己言及そのものができないということ
にしてしまうと、実数論がまともに扱えなくなるので、自己言及そ
のものは制限しないのが普通。
- 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/17 03:11]
- 名前にsage入れてる…鬱だ。
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/17 08:10]
- >>652
「自己言及」って言葉は集合論にはでてこない。また集合論で実数論が
展開できることは当然。多分、自己言及というのは帰納法による定義の
ことをいっているのだと思われる。例えば性質 P(n) が n についての
帰納法で定義される場合 n についての論理式でPの現れないもので定義
できることは >>650 に書いてある「集合論の基本」だ。あるいは、実数
体をある性質を満たす構造として定義する場合も、同様のことがいえる
というのも当然。
つまり、わかっていないんじゃない?ってこと。
- 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/17 17:36]
- 非可述的って用語の方がいいならそうするけど。
例えば、「ワイエルシュトラウスの定理」は、
非可述的表現が禁止されると、表現すら出来ない。
つまり、実数論の基本的な定理は総崩れになって
しまうってこと、例えば田中尚夫の
「公理的集合論」（培風館）
辺りを見れば出てるよ。詳しくはその本でも読めれ。
- 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/18 03:45]
- >>652
Pに出現する場合、まったく制限無用なのか、
自由出現（あるいは自由変数x）はゆるされないのか、
を書くと説得力があるよ。
＃自由変数を書き落としていたので匿名
- 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/19 19:27]
- >>655
その本のｐ32−33のことだと思うが、「非述語的定義を許さない」
ということ自体明確な定義のあることではない。よく読めばわかるが
そこに書いてあることは、まだ定義できていない要素を含むような
集合を使ってその集合の要素を定義してはいけない、というキツイ
規則のようだ。しかし、このような規則というのは、公理化の際、
どのようにするかの問題で今ある形態に近いものに関していうなら
648、649 につきているだろう。
それより、p33にある、「今日、逆理をいかにしてうまく逃れ、
しかも結果を失わずにすますことができるかは未解決の大問題
である」って本当なの？これ1980年ころの本だろう？
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/19 21:00]
- >>657
手元に本が無くて確認できないんでなんだが、誤読でしょう。
>>そこに書いてあることは、まだ定義できていない要素を含むような
>>集合を使ってその集合の要素を定義してはいけない、というキツイ
>>規則のようだ。
じゃなくて、そうしないと定義できない例が示されて要るんだよ。竹内の
証明論入門の２階論理の話の最初のページ(P145)にも触れられているけど、
このような、いわゆる「悪循環」は実数論では避けることは出来ないんだよ。
で、証明論的な立場からいけば、困難は解決してないのかなあと思うけど、
専門外なんで、その辺りは詳しい人に聞いてくれ。
- 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/19 21:36]
- >>658
定義に ramified hierachy ってのをいれる話なんじゃない？
どちらにしても、それは、「そうやると」って話しだし、定義があって
始まる話だから、どっちにしてもそういうやり方はとらずに、、、という
話なわけで、こういう制限はつけない、ってのは哲学の話で、数学じゃ
とっくのとうに、そういうこととは無関係って話じゃないの？
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/19 22:42]
- >>659
スマソ。ramified hierachy って知らないので説明キボヌ。
（type理論みたいなヤツかな？）
ただ、ここを見て驚いたのだが、非可述的定義って、実は結構
知られていないんだね。小林・林（例の林晋センセイ、ね）の
構成的数学を扱った日本で数少ない名著、
「構成的プログラミングの基礎」
では、P130で、
「predicative vs. impredicative よみがえった論争」
と題して、計算機科学方面では、実用的には predicative
な理論も impredicative なそれに負けないので、まだまだ
predicative な数学理論も作れる余地はあるかも知れないと
のことは書いてあるので、一般の数学の立場では
impredicative はあたりまえでも、構成的数学の立場からは、
そうでは無いというのはありだとは思うよ（この本が実際そう
いう立場だし。おかげで、外延性の公理も成立しなくなっちゃっ
たりするんだけどね（藁））。
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/21 02:07]
- >>660 スマソ。ramified hierachy って知らないので説明キボヌ。
Goedel が constructible universe の定義に用いた。
２階算術だと Schutte の Proof Theory にある。(ramified analysis)
もとの idea は Principia Mathematica の初版。(2nd edition にはない)
- 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/21 22:16]
- あれぇ、知らない間に、661みたいなすごい答えがでちゃってるな。
661の人って、プロの人？
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/21 22:44]
- >>661
thanx
ここにも書かれているように、分岐type理論はプリンキピアの
初版では採用されたけど、二版以降は使われてないんだよね。
それは、非可述的定義を避けようとしたのはいいが、理論が複雑
怪奇になり、収拾がつかなくなったから。で、結局普通の数学で
は非可述的な定義は使われ続けている。
ところで、プリンキピアの二版から使われている単純type理論
って、そこらがどう変わってるんでしょ？実用的になってるの？
また、どの程度まで数学を記述できるの？
- 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/22 01:27]
- >>663
Ramsey, Frank P. [1925] “The Foundations of Mathematics,”
Proceedings of the London Mathematical Society 25, pp. 338-384.
読めばいいと思われ。Ramsey の著作集に収録されてるはず。学部の卒論の時に
コピーとったけど結局読まなかったな（笑
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/22 09:37]
- >>663
symple type theory は Zermelo の集合論に対応するから、
置換公理を使わないで展開できる範囲は含むってことなんじゃない？
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/22 09:57]
- >>665
symple type theory+無限公理より Zermelo の集合論の方が真に強いことがしられている。
- 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/22 11:59]
- >>666
そのことと、665 のことは矛盾しているわけでもないように思いますが
どういう意味ですか?
- 668 名前：666じゃないよ mailto:sage [03/08/23 16:28]
- >>667
置換公理はそもそもZermelo の集合論には無い公理だから。
- 669 名前：１３２人目の素数さん [03/08/23 20:34]
- >>648、>>660
どうせ、林・小林を読むならp115-117の
3.3.5 elementarinessの必要性を読めよ。
Fefermanの理論では全ての対象のクラスVが存在して
述語Classが存在するので、クラスを定義する式Fに
elementariness（648がいうような制限）を設ける。
しかし、集合論はFは制限せずに代わりに分出公理
（林・小林の本ではseparetion axiom）でAが集合の
ときに{x∈a|F}が集合であるという形にして、
集合の全体が集合ではないようにしてしまっている。
- 670 名前：１３２人目の素数さん [03/08/23 20:43]
- Fefermanの理論は、集合論とは全然違うもの。
強いていえば、Quineが提案した集合論に似ている。
- 671 名前：１３２人目の素数さん [03/08/23 21:12]
- Xは位相空間、Yはコンパクト空間であるとき、射影p:X×Y→X
は閉写像であることを証明せよ。
閉写像って何ですか？
集合で、開集合、閉集合って区別するのは分かりますが、
写像、すなわち関数で閉とか開とかってあるのでしょうか？
集合・位相の本ではそのような用語はなかったのですが
・・・
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/24 00:47]
- >>670
Quine の ML や NF は、Russell に痛烈に批判されてたりして、かなーり人気のない、
っつーか、誰にも顧みられないシステムと思ってたけど、そんなつながりがあったのか。
ML や NF がらみは、未解決問題山積みだった記憶が。
- 673 名前：まおまお mailto:sage [03/08/25 08:59]
- Yがコンパクトじゃなかったら、成り立たないんすかねぇ？
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/25 09:18]
- >>671
「写像φが閉写像であるとは、閉集合のφによる像が常に閉集合であるときをいう」
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