結合法則: (a * b) * c = a * (b * c) を満たす演算*が定義されていて、 単位元 e (e * a = a * e = a をみたす) を持つような集合を Monoid(以下、単に半群という)といいます。 例えば"行列"や"微分方程式の解作用素"は半群になっています。
*** Point(1): a * b /= b * a。順序は変えられない
この半群の集合への作用(注1)の仕方を定めたものがMonadです。 return == e で、あとは * にあたるものが >>= となります。 そういうと、return :: a -> M a (M "a" なのは単位元だから) なんだから、 >>= :: (s -> M t) -> (t -> M u) -> (s -> M u) じゃないのかと思うかも知れませんが、 >>= :: M t -> (t -> M u) -> M u でもいいのです。 というのは、(c * d)' x = c' (d' x)なので、*を決めることと、 M sの任意の元(d' x 等)をどこにうつすかを決めることは同じことだからです。
*1 (作用) 行列をベクトルにかけるとベクトルができますが、これと同じように、 半群(M)の元(a, b, ..)をある集合(S)の上の関数とみなすことができます。 好き勝手に関数とみなすのではなく、次の性質をみたすとき、 半群MがSに作用している、ということにします。関数とみなすときには'をつけます。 (a * b)' x = a' (b' x) (x は S の元)
