- 1 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/28(木) 12:28:43.48 ]
- √(1+√(1/2+√(1/3+√(1/4+√(...))))
↑
これどうやって解くん？
- 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 13:22:36.22 ]
- まず、... の部分が何を省略したものかを明らかにする。
この ... の意味は、1/1 + 1/2 + 1/3 + ... の ... のように
明らかではない。
- 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 13:26:43.63 ]
- 極限だとしたら、どういう数列の極限かはっきりさせないと
- 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 13:29:02.50 ]
- wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1407497478/8
- 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 15:27:38.02 ]
- >>2-3
√(1/1)
√(1/1+√(1/2))
√(1/1+√(1/2+√(1/3)))
√(1/1+√(1/2+√(1/3+√(1/4)))
…以下略
の極限でいいんじゃね？
- 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 15:29:52.84 ]
- 数列a[n]に対して、
b[1]=√a[1]
b[2]=√(a[1]+√a[2])
b[3]=√(a[1]+√(a[2]+√a[3]))
…
のように定める
今回はa[n]=1/n
- 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 15:48:16.19 ]
- 652 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/08/27(水) 13:44:53.72
>>650
大体そうだね。637はそもそも式が違うだろ？
俺も mathematicaで100項くらいまで計算させてみたが、
1.521890386864231504980418、、、
となった。最初の数桁で webで検索してみたが、
これと言った数学定数は見つからなかった、、。
>>8さん、出所は何？
680 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/08/27(水) 16:15:27.91
>>654
>a(n) = √(1/n+√(a(n+1)))
a(n) = √(1/n+a(n+1))
じゃないの？
750 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/08/28(木) 00:01:04.12
問題を要約すると>>8は
a(n) = √(1/n+a(n+1))
n→∞でa(n)→0のときに
(1)漸化式の一般項を求めよ
(2)a(1)を求めよ
に帰着されることまでは分かった。
772 自分返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/08/28(木) 07:58:36.37
>>770
漸化式a(n+1)=a(n)^2-1/nがn→∞で極限xを持つのであれば
x=x^2 よって、x=0,1
- 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 15:49:00.60 ]
- >>6
そこまで一般化しちゃうの？
一般化した方がかえって簡単になるならいいけど、
そうでないなら背伸びは急がない方が良いと思う。
- 9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 15:49:35.74 ]
- 794 自分：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/08/28(木) 09:18:37.42
>>790
漸化式
a(n+1)=a(n)^2-1/n
を>>652のa(1)≒1.521890386864231504980418
を用いてa(1000)を計算すると-0.000999999となったので
n→∞でa(n)→0となることが確かめられた。
824 自分：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/08/28(木) 11:36:32.12
>>8の解法は>>750でまとめたとおり。
この漸化式の一般項を求めてa(∞)=0 または、違うと思うがa(∞)=1で不定な変数の値を定めて
数列が確定すれば、極限値はa(1)として定められるはず。
- 10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 15:54:38.12 ]
- じゃあ俺は
数列{a[n]}と{b[n]}に対して、
c[1]=a[1]^b[1]
c[2]=(a[1]+a[2]^b[2])^b[1]
c[3]=(a[1]+(a[2]+a[3]^b[3])^a[2])^a[1]
を提案してみる（笑）
今回は、a[n]=1/n, b[n]=1/2
b[n]=1にすると普通の級数、b[n]=-1にすると連分数
- 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 15:59:14.84 ]
- wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1407497478/744
の結論だけ整理して書き直すと、
>>1の極限をαとする。
初期値tで漸化式p_t[n+1]=p_t[n]^2-(1/n)で定義される数列
p_t[n]の極限lim[n→∞]p_t[n]は
0<t<αの時 lim[n→∞]p_t[n]=0
t=αの時 lim[n→∞]p_t[n]=1
t>αの時 lim[n→∞]p_t[n]=∞
となる。
a[∞]からa[1]を考えるというのは筋が悪いと最初は思ったのだが、
実は有効なアプローチだったのは意外だった。
言い出しっぺは全然気づいてないようだがｗｗｗ
- 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 18:17:14.64 ]
- a(n+1)=a(n)^2-1/n
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1407497478/652
a(1)≒1.521890386864231504980418
のもとでは
codepad.org/Zg0Jyxvn
から、n→∞でa(n)→0
- 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 18:54:21.57 ]
- >>12
それさぁ、初期値1.521とか1.523とかでも計算してみた？
僅かな誤差が拡大するような漸化式で、数値計算があてにならないパターンなんだが。
それから、その漸化式じゃなくて
√(1/1+√(1/2+√(1/3+√…)))
√(1/2+√(1/3+√(1/4+√…)))
√(1/3+√(1/4+√(1/5+√…)))
…
の方でも計算してみろよ、。
- 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 19:03:58.10 ]
- >>13
1.521ではa(n)→0
1.523ではa(n)→+∞
ついでに
1.5でも1.0でも0.5でもa(n)→0
だ。
その漸化式をプログラムで計算することは当然できないよな。
- 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 19:28:03.52 ]
- >>14
その辺りは結局のところ>>11で、
>>12でa[n]→0のように見えたのも、初期値が端数切り捨てで真の値よりも小さいからだ。
プログラムできないというのは
√(1/1+√(1/2+√(1/3+√…)))
√(1/2+√(1/3+√(1/4+√…)))
√(1/3+√(1/4+√(1/5+√…)))
…
のことか？
√(1/n+√(1/(n+1)+√(…+√(1/m))))
という有限の項を計算する2変数関数を作って表に出力するだけだ。
それだけで傾向ぐらいは分かる。
- 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 19:36:12.06 ]
- √(1/n+√(1/(n+1)+√(1/(n+2)+√…√(1/(n+m)))))
≧√√…√(1/(n+m)) (ただし√はm+1個)
＝e^(-log(n+m)/2^(m+1))
m→∞でlog(n+m)/2^(m+1)→0だからe^(-log(n+m)/2^(m+1))→1
√(1/n+√(1/(n+1)+√(1/(n+2)+√…)))≧1
これでa[n]→0でないことは納得できるか？
- 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 19:46:01.11 ]
- >>16
それを自分で計算機を回せっていうの。
それから
√√…√(1/(n+m))=e^(-log(n+m)/2^(m+1))
これは数学ではない。
ついでに、
n→∞で、√√…√(1/(n+m))→0
当たり前だけどな
- 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 19:48:39.19 ]
- もう荒らしにレスはしない
しかし、この問題は気になるな
- 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 20:19:26.04 ]
- >>17
計算はとっくに自分でもやってるよ。
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1407497478/804
はどうやって求めたと思ってるんだ？
＞√√…√(1/(n+m))=e^(-log(n+m)/2^(m+1))
＞これは数学ではない。
√x=x^(1/2)=e^((1./2)log(x))って理解してる？
高校レベルの対数や指数の基本的知識なんだが。
＞n→∞で、√√…√(1/(n+m))→0
√の数が固定していればそのとおりだけれど、
nと共に√の数が増えるなら1に収束するぞ。
- 20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 20:24:49.13 ]
- >>17
＞n→∞で、√√…√(1/(n+m))→0
＞当たり前だけどな
codepad.org/3VBNxBXm
- 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 21:05:07.90 ]
- >>19
x^(1/2)=e^(log(x))^(1/2)
- 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 21:20:12.55 ]
- >>21
(a^b)^c=a^(bc)
- 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 21:28:52.55 ]
- √√…√(1/(n+m)) (√はm+1個)
=(1/(n+m))^(1/2)^(1/2)^…^(1/2)
=(1/(n+m))^((1/2)*(1/2)*…*(1/2))
=(1/(n+m))^((1/2)^(m+1))
=e^(log1/(n+m))^((1/2)^(m+1))
=e^((log1/(n+m))*((1/2)^(m+1)))
=e^(-log(n+m)/2^(m+1))
ここまで丁寧に書けば分かってもらえるか？
- 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 21:30:24.97 ]
- √(1/n+√(1/(n+1)+√(1/(n+2)+…はnに対して単調減少だよね？
- 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 21:36:50.22 ]
- >>23
>>19と>>21で理解した。a(n)>=1で漸化式から得られる方程式から
n→∞でのa(n)の極限値が存在する場合は1であるこが分かった。
- 26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/28(木) 22:23:02.44 ]
- これヒントにならんの？
math.a.la9.jp/week84.htm
- 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/29(金) 05:05:11.55 ]
- で
どこに収束するのかはっきりさせてよーーーーーー
- 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/01(月) 21:02:40.50 ]
- a(n+1)=a(n)^2-1/n
b(n)=a(n)+1/√n c(n)=a(n)-1/√n
b(n+1)+c(n+1)=2b(n)c(n)
- 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/01(月) 21:22:49.79 ]
- >>28
俺もそれは考えた事もあったが、さきに進めそう？
- 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/01(月) 21:43:20.14 ]
- なんかA{N}{K}=√(1^k+√(2^k++√(3^k++√(4^k+・・・+√(N^k)
って数列考えて、N->∞、ｋ＝-1ってことまでは考えた。
ちな、プログラム組んでK＝-1、-10、-100って負の方向に増やしていったら1.41421356237310≒√2に収束していったんだけどわかる人いる？
- 31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/09/02(火) 17:04:36.36 ]
- x≒0では√(1+x)≒1+(x/2)だから
√(2^k+√(3^k+√(4^k+・・・+√(N^k)+√…
≒1+(2^k)(1/2)^1+(3^k)(1/2)^2+(4^k)(1/2)^3…
→1
大雑把にはこんな感じ
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