- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/29(土) 02:02:32.80 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その13
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1340469523/
なおSTSあるいはTTTと名乗る者のレスは
きちんとした数学的理解に基づかず無意味な内容です。
このことは本人も認めています。（前スレの900以降など）
STSあるいはTTTと名乗る者の相手をすることは
荒らし行為に当たりますのでご注意ください。
- 804 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/07(月) 22:52:57.70 ]
- 強制法って、なんか無理矢理やらされるっていう語感がやよね
- 805 名前：学習院の学部生 [2014/07/28(月) 21:10:10.76 ]
- Graham Priest教授の論文(dialetheism)を読んで衝撃を受けました。
数理論理と哲学的論理をきっちり勉強したいと思います。
- 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/28(月) 23:24:50.74 ]
- 最近Jechの強制法のところを証明はほぼ全て飛ばして眺めてて
やっと強制法が何をしているか大体のところが（数年越しに！）分かって来た。
ブール値モデルとかを齧りもしないで
（Cohenのオリジナルじゃなくて現代的な）nameの超限再帰的定義とかを
始めて読んで何をやりたいのかピンとくる人は天才だと思う。
genericityは未だに謎。どうも代数位相幾何とか代数幾何にも
同じgenericという似た概念があるらしいけど、そっち方面は知識無いから分からん。
- 807 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/31(木) 07:53:32.64 ]
- 俺もかれこれ強制法の名を聞いてから4年は立つのだが
いまだにジェネリックフィルターの後がついていけない
難儀なものである
しかし強制法は今や現代数学最大の武器、使わざるをえまい！
- 808 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/31(木) 08:02:29.38 ]
- >>805
すまぬが、具体的にプリーストのどの論文に衝撃をうけたのか
御教示願いえないだろうか？
わしはプリーストの非古典論理を安価で手に入れ勉強した記憶があるのでな
>>804
強制法はForcingどうやら本来はゴリ押しという言葉に近いそうじゃ
>>803
注目しておる
>>799
文章題に関しては複数に問題を解釈ができるものである
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 08:21:07.60 ]
- お薬ジェネリックにしますか？
- 810 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/31(木) 12:25:15.27 ]
- >>808
>>799へのコメントは意味不明だ
- 811 名前：806 mailto:sage [2014/08/14(木) 20:45:19.05 ]
- >>809
田中一之先生が、米国留学したらデカイ看板に
generic filterの宣伝がされていてさすがはロジックの先進国だと思ったら
ノーブランドの煙草のフィルターのことだったとか冗談を書いてたね。
でも集合論のgenericってのも割とそういうニュアンスっぽいんだよね。
体の超越拡大の超越元とかと似たような感じで、
Mのある要素との関連が別の元との関連より深いようなことがなくて、
"ノーブランド"だ、みたいな雰囲気。
あとどうも強制概念の実例を色々勉強して、
それぞれの場合でgenericであることから何が言えるか
見てみるのが理解の早道っぽい。
JechにCohen forcingでGがgenericであることから
Cohen実数∪Gがω上の全域関数であることが結論する、
とか書いてあるのはそういう意味だと思う。
- 812 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/15(金) 23:31:41.97 ]
- では強制法について解説しよう！
連続体仮説はω1＝2^ω0だった。
ω0の次に大きなものが2^ω0であることはわかっている。
ω1は非可算である。
さて、ω0とω1の間の無限を取り出すとしよう！
- 813 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/15(金) 23:35:31.91 ]
- つまるところ
ω0とω1を使ってω0.5をつくってみよう、
だだし直接表現できないので間接的にやりたいがためである。
やっぱ挫折
このサイトがわかりやすい
samidare.halfmoon.jp/mathematics/Forcing/index.html
- 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/15(金) 23:45:08.03 ]
- (･∀･)
- 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 00:12:47.74 ]
- そのサイト、3ページ目みて何でこんなに分かってないのに
自分が強制法の解説できるつもりになれるのかと小一時間（ｒｙ
なんか圏論スレとかでも似た奴居たけど
- 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 05:30:22.89 ]
- 強制法についてちょっと面白いのは、基礎論嫌いだった
Bourbakiが考えたfilterという概念が集合論で一番活きているということ
（尤もfilterの考案者のCartanはさほど嫌いじゃなかったようだが）。
それからもっと面白いのは、
Cohenは最初かなり構文論的なものとして考えていたのを
Solovayとかがブール代数値モデルを使ったものとして整備して、
さらにShoenfieldがブール代数を経由せず直接モデルを拡大する
（その代わり何をやってるのか大変分かりにくい・但し
半順序の自由度を最後まで殺さないので使いやすい）
方法を考え出した。つまり内包→外延という順序になっている。
Cohenは後年にあれはもう自分が考え出した強制法じゃない、という態度であったらしいが、
面白いのが、実はCohen自身がGoedelのLの理論は
公理から要請される操作の閉苞を取っているだけで、数学ではよくある議論なのに
無意味に構文論的にごちゃごちゃした議論をしている、という
（正に的確な）感想を当時から持っていたと言うこと
（"The discovery of forcing"だったか"The origins of forcing"だったかに書いてある）。
つまりどちらも最初に内包的手法で見出されて後に外延的に明快に理解されている。
普通、現代数学では先駆者の幾何学的な明快なイメージがあって
あとから代数学的・構文論的で厳密な証明が付いてくるという
数学観を持っている人が多いが、最先端の茫漠とした未知の世界で
真に新しいものを探求するときは案外逆のパターンが多い、と言う一例になっている。
これは他の分野でも同じことだと思うけどね。
- 817 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 05:58:07.27 ]
- >>816
最後の段落は数学をよく知らない人の印象でしかない。
「数学者の名声は、その人の行ったまずい証明の数に比例する」って言葉もあるくらい、先駆的な論文はゴチャゴチャとしている。
竹内外史はソロヴェイのブール代数値モデルを「天才のアイデアの平凡化」と言っている。
- 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 06:57:16.40 ]
- 本当に、Cohenがどうしてあんな驚異的なテクニックを思いついたのかが知りたくて
色々Cohenの書きものなんか読んだりしたけど、未だに良く分からないんだよね
ただ、Cohenは代数位相幾何（ジェネリック性）とか
Bourbakiの位相の理論（フィルターとか）とかの
いわゆる「普通の」数学の素養がロジックの専門家よりずっとあったから
forcingに到達することができたのではないか、という気はしてるけどね。
- 819 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 07:02:19.98 ]
- >>805
こんなのがあるよ、きちんと到着して、まだ読んでない状態だけど。
www.amazon.co.jp/dp/product/1848900406/
www.amazon.co.jp/dp/product/1848900414/
>>816
idealを代数で、近傍を位相で使っていればfilterがでてくるのが自然。
ブルバキ同人は基礎論ぎらいでなく
基礎論に詳しいエルブランが早逝したから基礎論が不得意。
- 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 07:11:52.17 ]
- ヴェイユとデュドネが基礎論嫌いだったのは割と大きいと思うよ
彼らの書きものには、数学基礎論は他の数学の分野とは
全然関係ない分野で、まともな数学者はこういうことには煩わされない、
みたいな（俺らが読むとプチンと来ちゃうようなｗ）記述が結構ある
- 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 07:19:45.26 ]
- >>817
数学の勉強が、既にある山道を登山するようなものだとしたら
数学の研究は、草ボウボウの道無き道を藪漕ぎして新しい道を切り開くようなものなんだよね。
真っ暗闇の中で目的物を探して手探りで進むようなものだ、とか言う人も居るけど。
実はこの二つはかなり別のもので、
それを理解できないで大学院を終えてしまう人は東大にも京大にも多い、
ということだと思う。
- 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 07:28:57.51 ]
- >>817
未解決予想を立てる人は、しばしば定理の証明以外の
全てを完璧に見通している、みたいな文章もみたことあるけどね。
幾何化予想とかは割とそんな感じだと思う。
先駆者の直観は、後世の整理された理解より
遥かに混沌に満ちている、ということなんだろうか。
- 823 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 08:02:20.62 ]
- >>822
「偉い人は全てお見通し史観」ってあるよね
おかげでヒルベルトは哀れなピエロ扱いだ
- 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 08:18:49.04 ]
- 不完全性定理発見あたりの時代の歴史について
良く勉強するとヒルベルトが恐ろしく偉大な学者だったことが分かるんだけどね
林晋さんもそのクチだと思う
- 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 08:36:29.26 ]
- あれか、先駆者・開拓者は問題と一見大して関係が深くなさそうでいて
うっすら関係があるようなちょっと離れた周辺事項について
山のような知識を持っていて、そういう非常に重層的な視点から
定理や証明のあり方を探っている、ということなんだろうか
- 826 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 22:00:28.26 ]
- 大学受験生です。証明論や計算論と其の周辺や、数理論理学に興味があります。
京都大学を志望しているのですが、工学部情報学科と理学部のどちらがカリキュラムが適しているでしょうか。
- 827 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 22:03:18.02 ]
- そういうはっきりした目的があるなら、京理は除外を考えた方が良いでしょう
- 828 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 22:41:56.46 ]
- >>826
東日本なら東北大
西日本なら神戸大
をお奨めします
- 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/17(日) 00:52:15.30 ]
- まだ大学以前なんだから、大学で色々学んで
少し興味の方向が変わるということもあると思うけど
数理論理で有名なのは寧ろ神戸の
kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/index-jp.html
このグループだと思うけどね（ただ、計算論の専門家は居ないけど）
数学じゃなくて計算機科学に重点を置くのならまた違うんだと思うけどね
- 830 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/17(日) 08:33:09.44 ]
- >>813
の強制法の解説って正確なのでしょうか？
- 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/17(日) 10:11:19.20 ]
- >>815を見よ
- 832 名前：826 [2014/08/17(日) 23:31:47.48 ]
- >>827-829
ありがとうございます。西日本に住んでいます。京都大学が近いです。
推論と計算の構造、論理の限界、計算量の質の違いなど理論的なことが気になりますが、
プログラミングやソフトウェアや人工知能などの工学的なことは殆ど興味がありません…。
工学的なことを勉強するくらいなら寧ろ、整数論やトポロジーや微分方程式などのほうが好きです。
情報学科に入って、実用的な授業ばかりだったらどうしよう、と悩んでいます。
役に立たない、とは思いませんが、興味がないとツラそうです。
理学部数理論理学科があれば理想なんですが…。
- 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/18(月) 00:15:16.02 ]
- いちおうRIMSには照井先生っていう
それなりに有名な偉い先生も居る
京大出身じゃないから学部時代からどれくらい関わりが持てるのかは知らんけど
- 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/18(月) 13:14:35.62 ]
- >>826
工じゃ数学の勉強は無理。
計算論も今や数学の基礎体力養わないと厳しい。
- 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/19(火) 12:25:55.23 ]
- ぐだぐだ言わんと理学部行け
- 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/19(火) 14:21:43.50 ]
- 数学科に行って勝手に本読みまくればええんやで
- 837 名前：826 [2014/08/19(火) 17:09:14.09 ]
- みなさん意見ありがとうございました。
判断しかねるので照井先生にも訊いてみることにします。
- 838 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2014/08/20(水) 10:09:11.28 ]
- 狸
>20 ：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/17(日) 08:52:07.23
> 自然数の 0, 整数の 0, 有理数の 0, 実数の 0, 複素数の 0, ring の 0 を述べなくてはなるまい.
>
>25 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/19(火) 21:45:08.56
> 自然数の公理が知られている今は 0 は自明である.
> Ring の範囲で自然数から複素数に拡大できる.
> 公理的集合論で 0 をどう定義するかは集合論の事であり本来の数学の話ではない.
>
>27 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/19(火) 23:55:07.47
> 公理的集合論より前にも数学はある.
>
>29 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/20(水) 00:53:06.14
> Re:>>28 零の法則を満たす. a+0=0+a=a.
>
- 839 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/20(水) 22:15:14.55 ]
- 独立命題とは、その公理系から真偽決定不可能な命題で、
より高度な数学を用いれば解けるかもしれないんですよね？
それとも、どんな数学を使っても絶対に解けないのですか？
- 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/20(水) 22:25:24.67 ]
- まずは真偽と証明可能反証可能の区別から
- 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/24(日) 04:56:56.22 ]
- 数理論理学の初心者です。
ShoenfieldのMathematical LogicとEndertonのA Mathematical Introduction to Logicとではどちらがおすすめですか？
- 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/24(日) 08:43:48.84 ]
- Endertonの方が新しい分良いんじゃないの
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