数学基礎論・数理論理学　その14

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/29(土) 02:02:32.80 ] 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。 現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 （「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。） 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。 （数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照） 従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。 他のスレで御質問なさるようにお願いします。 前スレ 数学基礎論・数理論理学　その13 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1340469523/ なおSTSあるいはTTTと名乗る者のレスは きちんとした数学的理解に基づかず無意味な内容です。 このことは本人も認めています。（前スレの900以降など） STSあるいはTTTと名乗る者の相手をすることは 荒らし行為に当たりますのでご注意ください。 696 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/28(金) 22:03:11.19 ] 「数理論理学修士」（正確には「修士（数理論理学）」かな？）というものは、 現在の日本ではたぶん存在しない。 あるのは、理学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（理学）」とか、 工学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（工学）」とか、 文学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（文学）」とか、 、、、他同様。 数理論理学以外の知識として何をどれだけ要求するかは、先生に依存する。 697 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/29(土) 00:01:20.71 ] >>696 馬鹿かこいつ 微分幾何学修士も群論修士もないわ 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/29(土) 22:09:26.31 ] しかも質問には答えてねえし 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/29(土) 22:13:26.65 ] >>695はたぶんこいつ ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1395942865/ 700 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/30(日) 03:09:20.17 ] 一番最後で答えてると思うが 701 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/30(日) 08:19:29.07 ] >>695 修士論文を書ける専門能力以外に、必要な学力とは： （１）大学院入試に合格する学力。 （２）大学院修了に必要な授業単位を取得できる学力。 だと思いますが。 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/30(日) 08:50:16.42 ] 学費を払う経済力は？ 703 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/30(日) 23:12:32.06 ] >>701 このご時世、(1)も(2)もほぼゼロだがな 704 名前：名無しさん＠大阪商業大学 [2014/04/02(水) 01:11:45.25 ] Jean van Heijenoortってどのくらい有名ですか？ 705 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/11(金) 23:45:27.90 ] メタ数学って結局数学なの？数学じゃないの? 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/11(金) 23:53:08.22 ] 数理論理学では、「理論」とか「モデル」とか、 「数学」のおもちゃのミニチュア模型みたいなものを作って その性質を調べるようなことを良くします。 その際に研究対象のミニチュア模型を調べる時に使う普通の数学のことを、 研究対象となる「数学」と区別してメタ数学と言います。 つまりメタ数学は普通の数学です。 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/11(金) 23:55:42.45 ] >>706 調べる対象が「数学」なだけで、実体は普通の数学だと言うの？ 推論規則は同じだよね？ 公理は明示されてないようだけど、算術の公理一式ってこと？ 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 00:00:16.64 ] それは場合によって違う。 証明論とかは普通の算術であることもあるけど、 モデル理論とかだと集合論を仮定したり、連続体仮説を仮定すると どういうことが言えるかを調べたりとかまでする。 いずれにせよ、最近ではメタ数学は有限の立場じゃないといけないのかどうかとか、 メタ数学で排中律を使って良いのかどうかとか、そういう問題意識はあまり流行らない。 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 00:05:46.30 ] 「証明論とかのメタ数学は普通の算術であることもあるけど、 モデル理論とかのメタ数学だと集合論を仮定したり、」ってことね 流行らないと書いたけど、そういう研究はそういう研究でちゃんと研究されてるみたい。 ただし数学科というよりも哲学科や情報科学科とかのロジシャンが研究してることが多いけど。 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 00:08:12.71 ] >>708 よくわかりました。 「○○を仮定すると〜」は数学的でわかるけど、「△△でなければならない」なんてのは 一体何の議論？って感じで馴染めない。 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 00:26:12.15 ] あーでも証明論はよくわからないな。 実際の数学の証明に応用することがあるんなら、どんな仮定が入ってるのかが問題な気がする。 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 00:47:23.56 ] >>711 実際の証明に応用される証明論の結果なんてあるの？ 原理的には公理に推論規則を淡々と適用してくだけなんだし。 7+5=3*4を示すのに算術なんていらないのと同じ。 713 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/12(土) 08:00:26.43 ] 前原昭二『記号論理入門 新装版』は入門として良い本ですか？ 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 12:28:21.98 ] >>711 wikipediaに”不変条件”って項がある。 そこに書いてる、「MUパズルでMU を作ることができないことを示す方法」が有効だってことは認める？ 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 23:06:42.01 ] >>714 こういうのは一番わからないな。 有効か無効かで答えれば「無効」。 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 18:55:41.80 ] >>715 算術の命題をMUシステムのメタな言明に翻訳したら「MUパズルでMU を作ることができない」となります。 あくまで算術の応用であり、その適否は各人が自由に判断してください。 と言ったら満足するの？ 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 19:14:39.82 ] あんたが何を主張してるのか意味不明だな。 証明論が実際に数学の証明に役立つ、という主張をしたいなら MUパズルなんかではなく数学の具体例を出す必要がある。 証明論がおもしろいからやってるだけだ、文句あるか！？ というのであれば誰も文句はない。 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 19:20:29.26 ] >>717 安価つけろや 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 20:36:31.86 ] 誰も証明論が実際に数学の証明に役立つなんて言ってないようだけど。 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 20:55:04.36 ] 発端の>>711がそもそも不明確なレスだからなあ とりあえずMUパズルは直接関係無い気はするけど 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 21:17:54.08 ] wikipediaにあるMUパズルに書いてる考え方ってどういう位置づけなの？ 実際の証明論とはかけはなれたことなのか、それとも典型的で簡単な例と捉えるべきなのか。 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 21:44:11.80 ] 論理学も数学もあまり知らない 一般の人向けの大雑把な説明としては良いんじゃない？ スマリヤンのゲーデル関係のパズル本とかにも 似たようなもっと複雑なパズルが結構載ってるから 典型的で簡単な例と考えても良いんじゃないかと思う。 良く知らんけど。 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 23:01:15.24 ] 出題します。 「落ちる」「受かる」を互いの否定命題とする。 このとき、次の２つの命題は互いに否定命題であるか？ Ｐ「Twitterばっかやってたら落ちる。」 Ｑ「Twitterばっかやってても受かる人は受かる。」 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 23:03:52.47 ] 馬鹿は落ちる 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 23:35:25.79 ] >>722 MUパズルのとこの説明は非常に簡便だけど、これが何かの証明になっているかと聞かれたらNOだよな。 本格的な証明論の内容はよく知らんけどｗ 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 04:57:35.58 ] そもそも何のつもりMUパズルなんか持ちだしたのかわからん。 持ちだした本人には何らかの意図があったはずなんだが。 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 12:10:18.91 ] >>726 >>722の言う通りに典型的で簡単な例として出したんじゃない？ 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 12:44:26.40 ] >>727 何の例なんだ？ 数理論理学や証明論との関係が見えないのだが。 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 13:05:07.30 ] 証明論の例だろ 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 13:25:22.21 ] >>729 証明論について根本的な誤解をしてるようだね。 入門書でも読めばいいんじゃねーの。 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 14:37:52.38 ] >>730 俺の持ってる入門書ではMUパズルと同じような議論してるぞ。 証明図のdegreeとかrankとか。 どう根本的な誤解なんだよ？ 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 20:21:27.10 ] このパズルみたいな簡単な不変量じゃないし 厳密にいえば不変量でもないけど、 subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが 単調に増加していくということだから、似た空気ではあるよね。 逆に順序数の単調減少な量を定義するというのもよくあるテクニック。 ただ証明論についてあまり詳しくないから 「同じような議論」とまで言えるかどうかは分からんけど。 733 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/14(月) 20:28:28.51 ] >>732 > subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが > 単調に増加していくということだから cut除去ではcut論理式の複雑さを減らしていくことで cut除去プロセスの停止性を保証するのでは？？ 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 20:45:54.28 ] 根本的に誤解してるポイントが何なのか明らかにしてよ>>730 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 23:12:15.51 ] 結局は算術、そして結局は帰納法。 そこまで言っちゃえば「同じような議論」。 >>730の意図はわからないけど。 発端の>>711と>>715と合わせて全体の意図がよくわからない。 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/15(火) 09:37:55.37 ] >>735 > そこまで言っちゃえば「同じような議論」。 そうなんだよな。そこまで言っちゃえば、数学も証明論もMUパズルも全部一緒。 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/15(火) 23:28:15.17 ] Pour-El=Kripkeの定理って驚愕の定理みたいに書いてあることあるけど、 扱ってるのが本質的に可算で無原子的なブール代数であることを考えると ブール代数として同型になるというのは 当時から良く知られていた事実のはずでどこが驚きどころなのか分からん どっちかというとどういうときに成り立たないかの方が数学的には興味ある内容だと思う 738 名前：科学史・科学哲学 [2014/04/19(土) 05:12:52.35 ] 非常にばかばかしい質問かもしれませんが、お答えください。 数学基礎論・数理論理学で博士号を取るためには、数学基礎論・数理論理学以外の数学をどの程度知る必要があるのでしょうか？ たとえば経済学ならば、経済史で博士号を取ろうと思えば理論経済学の知識は(むろん必要ではありますが)それほど深くは要求されません。 数学基礎論・数理論理学もそのような特殊な分野でしょうか？ 数学基礎論・数理論理学で博士号を取る場合に必要とされる他分野の知識は、 修士なみ 学士なみ 学部教養なみ 学部入試なみ これのどれくらいにあたるかおしえてください。 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 08:23:03.34 ] 扱っている内容によるし分野による。 たとえば証明論や非古典論理とかをやるなら現代数学より 計算機科学とかの知識の方が役に立つかもしれません。 数学史を研究するときに現代数学の知識が要らないのとは違って 厚生経済学を学ぶのにマクロ経済学の知識があまり要らない （のかどうか知りませんが）というような感じに近いと思います。 740 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/19(土) 09:18:48.60 ] 証明論も非古典も数学使うよ 計算機の側がそれらを道具として使うだけで どっちも学部程度の数学知らないと研究できない （見かけは数学を使ってないように見えるだろうけど 741 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/19(土) 13:16:38.26 ] 学部程度の数学っていうか、帰納法だけでやっていけるような、、、、 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 13:18:17.50 ] 応用数学だけどね 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 14:37:40.00 ] 基本的には数理論理も数学なので 他の数学の分野と大きく違うということは無いとは思う まあ非古典論理の研究とかは数学的に高度なことをしたから 良い研究と言う訳でもないとは思うけど 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 14:55:27.21 ] 一般教養レベルの数学は最低限必要ですね。 微積分、関数論、線型代数、集合、位相。 これくらいは常識レベルとしてください。 数学基礎論や数理論理学を専攻するのであれば 実数論とかガロア理論も知っておく必要があるし、 また、測度論についても知っておく必要があるでしょう。 上記以外については研究動機やテーマによりますので 指導教官に相談してください。 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 22:56:34.78 ] 実数論って微積分の一部じゃないの 746 名前：科学史・科学哲学 [2014/04/19(土) 23:01:08.05 ] >>744 「一般教養レベル」とは学部2年修了レベルですか？ 747 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/19(土) 23:56:22.24 ] ちょっとでも余計なことは意地でもしたくないみたいだな 748 名前：科学史・科学哲学 [2014/04/20(日) 01:05:37.88 ] >>747 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。 749 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/20(日) 01:09:39.71 ] なら師事する先生に尋ねるしかないな 750 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/20(日) 07:17:58.39 ] 研究に向いてないと思う 数学基礎論・数理論理学やるのに 学部程度の数学やりたくないとか話にならないから 哲学系の林さんも幾何学なんかまで知ってるから 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 07:29:25.17 ] 式遊びでもやってろ。 752 名前：科学史・科学哲学 [2014/04/20(日) 08:11:40.35 ] >>750 >数学基礎論・数理論理学やるのに >学部程度の数学やりたくないとか話にならないから なんで？専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ？ たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。 それと同じようなこと。いらないことはしたくない、早く本丸に取りかかりたいということ。 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 08:53:11.52 ] こんなところで油売ってないで さっさと本丸にとりかかってください。 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 08:58:27.67 ] その必要最低限の範囲ってやつが事前に確定できると思ってんのか？ 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 09:04:58.18 ] ゆとりなんだろう（笑） 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 09:16:16.70 ] ＞>>747 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。 違うな。お前は数学基礎論・数理論理学をやりたいのではない。 「博士号」という称号が欲しいだけなのだ。 数学が好きで好きでしょうがない人間でなければ、 博士号まで息が持たない。 お前には無理だよ。 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 09:27:36.92 ] >>756 それは 数学基礎論・数理論理学が数学に含まれることを前提としてるね。 多分>>752の認識は違うんだろう。 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 10:44:10.03 ] なんで>>752が経済史を例に出すのか分からんけど 数理論理というのがあくまで数学の一分野であって 16世紀数学史とかそういう歴史の研究とは全然違うというのは分かってる？ 数学史をやりたいならここじゃなくて数学史やってる人のところで聞いた方が良いよ 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 10:50:19.25 ] それどころか一種の応用数学。 数学のあらゆる分野が必要になる可能性あり。 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 15:26:35.58 ] 必要になったら勉強するという態度でも何とかなると思うけど、 勉強する範囲を限定するのはムリだろ。 特に数学基礎論・数理論理学なんて適用範囲広いんだし。 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 15:36:06.74 ] 必要になったらその都度勉強します というスタンスの人は>>738みたいなことを書かないもんな 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 22:35:32.06 ] >>752 > なんで？専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ？ > たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。 > それと同じようなこと。 全然違う。 今でも日本だけが数学基礎論って時代遅れで哲学っぽい（裏を返せば数学っぽくない）呼び方をしてるが 世界中での常識的な呼び方としてのMathematical Logicつまり数理論理学は 論理学で現れる諸概念を研究の題材としてるだけで道具立ても手法も 代数学や幾何学などの通常の数学とほとんど何も変わらない。 それらの道具を適用する対象が違うだけ。 だから現代において数理論理学で良い仕事をしようとすれば現代数学のさまざまな道具を身に着けておくのが不可欠。 時代遅れの哲厨くずれな人間が基礎論屋を気取って棲息する余地なんてのは現代の高度に技術化され抽象化された 数理論理学には残ってないんだよ。 日本から数理論理学で良い仕事が出ない理由は相も変わらず「数学基礎論」なんて哲厨な名前を有難がってるから。 海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。 日本だけだよ、「基礎論」とか"Foundations"って言葉を今でも素人ファンじゃなくてプロの数理論理学屋が有難がって使うのは。 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 23:12:17.02 ] 大したロジックだね 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 23:22:19.40 ] 「数学基礎論」という字面に哲学臭さなんてあるか？ 教養課程の科目名みたいだとは思うけど 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 23:54:36.44 ] >>762 素人ファンはどうすりゃいいんだよ？ 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/21(月) 00:12:08.42 ] おかしいと分かっていても一度普及した呼び方は変え難いんだよね 適切な呼び方を新しく考えだしても相手に通じなければ意味がないし、 逆に変な呼び方であっても相手に通じるのであれば問題ない 昔の化学では「質量作用の法則」という奇妙な訳語があったのを覚えてる人もいるだろう マスゲームを「質量ゲーム」と訳すようなもんだ 今ではまともな訳語に直ってるけどね 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/21(月) 00:18:46.01 ] 完全性定理と不完全性定理では「完全」の意味は異なるが呼び方を使い分けようとは誰もしてない 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/21(月) 01:33:09.02 ] 完備性定理ぐらいにして欲しいよね。 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/21(月) 07:38:54.20 ] ＞海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。 Kunenがつい最近出してたけど…… 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/22(火) 08:45:24.79 ] 岩波文庫の「不完全性定理」って今、 書店で手に入れることできますか？ 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/22(火) 17:14:02.61 ] 絶版にはなってないから、売ってるところでは売ってるだろ だが、そもそも岩波なので最初から入荷してないトコロもおおいし 取り寄せもへたすりゃ断られるかもよ おとなしく amazon で買ったほうがいい 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2014/04/24(木) 19:16:42.98 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 でも最近一寸太ったかしら。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　Windows ver.10 で　　　　 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　 .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 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名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/26(土) 22:55:50.80 ] >>773 > 　pのときqとなる この命題全体を証明したいならば > 　|- p→q pを前提としてqを証明したいなら > 　p |- q 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/26(土) 23:48:49.75 ] 再帰的可算な理論の全てを解釈できるような再帰的理論ってありますか？ 781 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/27(日) 10:43:49.70 ] 解釈できる、とは、どういう意味ですか？ 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/27(日) 22:06:30.07 ] >>770-771の岩波文庫が丸善にあったので買ってみた。 第6章にこうある。 また、多くの数学者は、彼らの「社会基盤」である共通言語としての集合論に、認識論的な安全性などは求めていない。 集合論が数学の本質とも考えていない。多くの数学者は、集合論を数学を記述しやすい言語、つまり、道具と考えており、 数学の本質はそれ以外にあると思っている。集合論は、いわば価値に対する貨幣である。 それが「表現」する価値にあたる「真の数学」は、どこか別のところにある。これが多くの数学者のメンタリティーであり、 そのことは、第二次世界大戦に公理的集合論を数学の基礎の実質標準とすることに貢献したフランスの数学者集団 ブルバキの見解に、見事に表れている。 ブルバキは、公理的集合論を数学の基礎としながらも、 「もし、未来にそれが破綻しても数学は必ずや新しい表現を見つけるだろう」という信念が、数学者を落ち着いた 気持ちで仕事に専念させるのだと書いたのである。 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2014/04/28(月) 17:58:04.93 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 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mailto:sage [2014/05/21(水) 23:28:26.54 ] ∀x. x≠0→x・x^{-1} = 1 に加えて 例えば0^{-1}=0も公理とすれば完全性は保たれますね． 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/22(木) 21:27:25.66 ] 完全性ってどういう意味での完全性？ 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/22(木) 22:28:08.46 ] 任意の閉論理式またはその否定が証明可能という方です． 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/30(月) 01:27:09.48 ] イラストレーターで収入が少ないからと30代後半で漫画家になろうとする、ひきこもりのバカ発見。 足立区に住んでいるそうだ inumenken.blog.jp/archives/6609090.html 793 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/01(火) 15:20:47.40 ] 数学や論理学は絶対的な確実さを持ってるよね ただ科学は帰納をその基礎に置いてる それを自覚する頭のいい人間なら その観点で断定的な話はあまりしないだろうね 自然科学 →実験データの結果 社会科学 →客観的な事実の集合 論理学 →論理的な整合性 数学 →論理的な証明による実証 バカ →論拠なしの妄想？ 学のなさってこういうところで出るよね 論外って言葉を知らないらしい 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 20:44:59.51 ] 数や図形や論理の概念は、「合理的」、 つまり生物の生き残りのために有利な道具になるからこそ生じて 発展してきたんじゃないの？それを正しいと言って良いんだろうか 数学や論理学の真理はなぜ正しいのかと言うと、 それを正しいと規約するからとしか言えないんじゃないか あと自然科学と社会科学を793のように風に区別するのは変だと思う 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 21:11:47.31 ] 社会科学を客観的な事実の集合と思っているのなら、認識を改めるべき。 アンケート調査なんて文面の解釈に幅があるし、国勢調査でもない限り、必ず調査対象に漏れがある。 さらに、これらの不備の大元には人間の心理的・文化的・世相的・etc...な曖昧で捉えどころのないファクターが絡んでおり、 確率的に予測することすら不可能ときてる。 796 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/01(火) 21:27:31.03 ] >>795 実証的学問としての社会科学を舐めてはいけない。 一つ一つは僅かな手掛かりを膨大に積み重ねて事実を確定していく作業はそんなにあやふやなものではない。 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 21:32:48.75 ] それってつまり一つ一つは客観的ではないってことでは 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 21:33:14.24 ] 憲法解釈を変更して集団的自衛権の行使を容認する 799 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/01(火) 21:59:44.28 ] >>797 数理パズルの大部分は客観的ではないことになるな 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 22:01:02.96 ] なんでそうなる 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 22:43:08.13 ] 社会科学だから 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/02(水) 06:45:28.03 ] Nik WeaverのForcing for mathematicians面白そうだね forcingの理論についてはどれくらいself-containedなんだろう？読んだ人居る？ 803 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/02(水) 18:53:11.00 ] 神戸大学のサマースクールで強制法の講座があるみたいだね。 kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/set-theory2014/kisoron-summerschool-14.html 804 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/07(月) 22:52:57.70 ] 強制法って、なんか無理矢理やらされるっていう語感がやよね 805 名前：学習院の学部生 [2014/07/28(月) 21:10:10.76 ] Graham Priest教授の論文(dialetheism)を読んで衝撃を受けました。 数理論理と哲学的論理をきっちり勉強したいと思います。 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/28(月) 23:24:50.74 ] 最近Jechの強制法のところを証明はほぼ全て飛ばして眺めてて やっと強制法が何をしているか大体のところが（数年越しに！）分かって来た。 ブール値モデルとかを齧りもしないで （Cohenのオリジナルじゃなくて現代的な）nameの超限再帰的定義とかを 始めて読んで何をやりたいのかピンとくる人は天才だと思う。 genericityは未だに謎。どうも代数位相幾何とか代数幾何にも 同じgenericという似た概念があるらしいけど、そっち方面は知識無いから分からん。 807 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/31(木) 07:53:32.64 ] 俺もかれこれ強制法の名を聞いてから4年は立つのだが いまだにジェネリックフィルターの後がついていけない 難儀なものである しかし強制法は今や現代数学最大の武器、使わざるをえまい！ 808 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/31(木) 08:02:29.38 ] >>805 すまぬが、具体的にプリーストのどの論文に衝撃をうけたのか 御教示願いえないだろうか？ わしはプリーストの非古典論理を安価で手に入れ勉強した記憶があるのでな >>804 強制法はForcingどうやら本来はゴリ押しという言葉に近いそうじゃ >>803 注目しておる >>799 文章題に関しては複数に問題を解釈ができるものである 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 08:21:07.60 ] お薬ジェネリックにしますか？ 810 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/31(木) 12:25:15.27 ] >>808 >>799へのコメントは意味不明だ 811 名前：806 mailto:sage [2014/08/14(木) 20:45:19.05 ] >>809 田中一之先生が、米国留学したらデカイ看板に generic filterの宣伝がされていてさすがはロジックの先進国だと思ったら ノーブランドの煙草のフィルターのことだったとか冗談を書いてたね。 でも集合論のgenericってのも割とそういうニュアンスっぽいんだよね。 体の超越拡大の超越元とかと似たような感じで、 Mのある要素との関連が別の元との関連より深いようなことがなくて、 "ノーブランド"だ、みたいな雰囲気。 あとどうも強制概念の実例を色々勉強して、 それぞれの場合でgenericであることから何が言えるか 見てみるのが理解の早道っぽい。 JechにCohen forcingでGがgenericであることから Cohen実数∪Gがω上の全域関数であることが結論する、 とか書いてあるのはそういう意味だと思う。 812 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/15(金) 23:31:41.97 ] では強制法について解説しよう！ 連続体仮説はω1＝2^ω0だった。 ω0の次に大きなものが2^ω0であることはわかっている。 ω1は非可算である。 さて、ω0とω1の間の無限を取り出すとしよう！ 813 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/15(金) 23:35:31.91 ] つまるところ ω0とω1を使ってω0.5をつくってみよう、 だだし直接表現できないので間接的にやりたいがためである。 やっぱ挫折 このサイトがわかりやすい samidare.halfmoon.jp/mathematics/Forcing/index.html 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/15(金) 23:45:08.03 ] (･∀･) 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 00:12:47.74 ] そのサイト、3ページ目みて何でこんなに分かってないのに 自分が強制法の解説できるつもりになれるのかと小一時間（ｒｙ なんか圏論スレとかでも似た奴居たけど 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 05:30:22.89 ] 強制法についてちょっと面白いのは、基礎論嫌いだった Bourbakiが考えたfilterという概念が集合論で一番活きているということ （尤もfilterの考案者のCartanはさほど嫌いじゃなかったようだが）。 それからもっと面白いのは、 Cohenは最初かなり構文論的なものとして考えていたのを Solovayとかがブール代数値モデルを使ったものとして整備して、 さらにShoenfieldがブール代数を経由せず直接モデルを拡大する （その代わり何をやってるのか大変分かりにくい・但し 半順序の自由度を最後まで殺さないので使いやすい） 方法を考え出した。つまり内包→外延という順序になっている。 Cohenは後年にあれはもう自分が考え出した強制法じゃない、という態度であったらしいが、 面白いのが、実はCohen自身がGoedelのLの理論は 公理から要請される操作の閉苞を取っているだけで、数学ではよくある議論なのに 無意味に構文論的にごちゃごちゃした議論をしている、という （正に的確な）感想を当時から持っていたと言うこと （"The discovery of forcing"だったか"The origins of forcing"だったかに書いてある）。 つまりどちらも最初に内包的手法で見出されて後に外延的に明快に理解されている。 普通、現代数学では先駆者の幾何学的な明快なイメージがあって あとから代数学的・構文論的で厳密な証明が付いてくるという 数学観を持っている人が多いが、最先端の茫漠とした未知の世界で 真に新しいものを探求するときは案外逆のパターンが多い、と言う一例になっている。 これは他の分野でも同じことだと思うけどね。 817 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 05:58:07.27 ] >>816 最後の段落は数学をよく知らない人の印象でしかない。 「数学者の名声は、その人の行ったまずい証明の数に比例する」って言葉もあるくらい、先駆的な論文はゴチャゴチャとしている。 竹内外史はソロヴェイのブール代数値モデルを「天才のアイデアの平凡化」と言っている。 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 06:57:16.40 ] 本当に、Cohenがどうしてあんな驚異的なテクニックを思いついたのかが知りたくて 色々Cohenの書きものなんか読んだりしたけど、未だに良く分からないんだよね ただ、Cohenは代数位相幾何（ジェネリック性）とか Bourbakiの位相の理論（フィルターとか）とかの いわゆる「普通の」数学の素養がロジックの専門家よりずっとあったから forcingに到達することができたのではないか、という気はしてるけどね。 819 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 07:02:19.98 ] >>805 こんなのがあるよ、きちんと到着して、まだ読んでない状態だけど。 www.amazon.co.jp/dp/product/1848900406/ www.amazon.co.jp/dp/product/1848900414/ >>816 idealを代数で、近傍を位相で使っていればfilterがでてくるのが自然。 ブルバキ同人は基礎論ぎらいでなく 基礎論に詳しいエルブランが早逝したから基礎論が不得意。 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 07:11:52.17 ] ヴェイユとデュドネが基礎論嫌いだったのは割と大きいと思うよ 彼らの書きものには、数学基礎論は他の数学の分野とは 全然関係ない分野で、まともな数学者はこういうことには煩わされない、 みたいな（俺らが読むとプチンと来ちゃうようなｗ）記述が結構ある 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 07:19:45.26 ] >>817 数学の勉強が、既にある山道を登山するようなものだとしたら 数学の研究は、草ボウボウの道無き道を藪漕ぎして新しい道を切り開くようなものなんだよね。 真っ暗闇の中で目的物を探して手探りで進むようなものだ、とか言う人も居るけど。 実はこの二つはかなり別のもので、 それを理解できないで大学院を終えてしまう人は東大にも京大にも多い、 ということだと思う。 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 07:28:57.51 ] >>817 未解決予想を立てる人は、しばしば定理の証明以外の 全てを完璧に見通している、みたいな文章もみたことあるけどね。 幾何化予想とかは割とそんな感じだと思う。 先駆者の直観は、後世の整理された理解より 遥かに混沌に満ちている、ということなんだろうか。 823 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 08:02:20.62 ] >>822 「偉い人は全てお見通し史観」ってあるよね おかげでヒルベルトは哀れなピエロ扱いだ 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 08:18:49.04 ] 不完全性定理発見あたりの時代の歴史について 良く勉強するとヒルベルトが恐ろしく偉大な学者だったことが分かるんだけどね 林晋さんもそのクチだと思う 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 08:36:29.26 ] あれか、先駆者・開拓者は問題と一見大して関係が深くなさそうでいて うっすら関係があるようなちょっと離れた周辺事項について 山のような知識を持っていて、そういう非常に重層的な視点から 定理や証明のあり方を探っている、ということなんだろうか 826 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 22:00:28.26 ] 大学受験生です。証明論や計算論と其の周辺や、数理論理学に興味があります。 京都大学を志望しているのですが、工学部情報学科と理学部のどちらがカリキュラムが適しているでしょうか。 827 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 22:03:18.02 ] そういうはっきりした目的があるなら、京理は除外を考えた方が良いでしょう 828 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 22:41:56.46 ] >>826 東日本なら東北大 西日本なら神戸大 をお奨めします 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/17(日) 00:52:15.30 ] まだ大学以前なんだから、大学で色々学んで 少し興味の方向が変わるということもあると思うけど 数理論理で有名なのは寧ろ神戸の kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/index-jp.html このグループだと思うけどね（ただ、計算論の専門家は居ないけど） 数学じゃなくて計算機科学に重点を置くのならまた違うんだと思うけどね 830 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/17(日) 08:33:09.44 ] >>813 の強制法の解説って正確なのでしょうか？ 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/17(日) 10:11:19.20 ] >>815を見よ 832 名前：826 [2014/08/17(日) 23:31:47.48 ] >>827-829 ありがとうございます。西日本に住んでいます。京都大学が近いです。 推論と計算の構造、論理の限界、計算量の質の違いなど理論的なことが気になりますが、 プログラミングやソフトウェアや人工知能などの工学的なことは殆ど興味がありません…。 工学的なことを勉強するくらいなら寧ろ、整数論やトポロジーや微分方程式などのほうが好きです。 情報学科に入って、実用的な授業ばかりだったらどうしよう、と悩んでいます。 役に立たない、とは思いませんが、興味がないとツラそうです。 理学部数理論理学科があれば理想なんですが…。 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/18(月) 00:15:16.02 ] いちおうRIMSには照井先生っていう それなりに有名な偉い先生も居る 京大出身じゃないから学部時代からどれくらい関わりが持てるのかは知らんけど 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/18(月) 13:14:35.62 ] >>826 工じゃ数学の勉強は無理。 計算論も今や数学の基礎体力養わないと厳しい。 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/19(火) 12:25:55.23 ] ぐだぐだ言わんと理学部行け 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/19(火) 14:21:43.50 ] 数学科に行って勝手に本読みまくればええんやで 837 名前：826 [2014/08/19(火) 17:09:14.09 ] みなさん意見ありがとうございました。 判断しかねるので照井先生にも訊いてみることにします。 838 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2014/08/20(水) 10:09:11.28 ] 狸 >20 ：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/17(日) 08:52:07.23 > 自然数の 0, 整数の 0, 有理数の 0, 実数の 0, 複素数の 0, ring の 0 を述べなくてはなるまい. > >25 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/19(火) 21:45:08.56 > 自然数の公理が知られている今は 0 は自明である. > Ring の範囲で自然数から複素数に拡大できる. > 公理的集合論で 0 をどう定義するかは集合論の事であり本来の数学の話ではない. > >27 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/19(火) 23:55:07.47 > 公理的集合論より前にも数学はある. > >29 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/20(水) 00:53:06.14 > Re:>>28 零の法則を満たす. a+0=0+a=a. > 839 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/20(水) 22:15:14.55 ] 独立命題とは、その公理系から真偽決定不可能な命題で、 より高度な数学を用いれば解けるかもしれないんですよね？ それとも、どんな数学を使っても絶対に解けないのですか？ 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/20(水) 22:25:24.67 ] まずは真偽と証明可能反証可能の区別から 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/24(日) 04:56:56.22 ] 数理論理学の初心者です。 ShoenfieldのMathematical LogicとEndertonのA Mathematical Introduction to Logicとではどちらがおすすめですか？ 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/24(日) 08:43:48.84 ] Endertonの方が新しい分良いんじゃないの

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