- 537 名前：１３２人目の素数さん [2013/09/16(月) 04:31:30.24 ]
- >>521
f,gのどちらか一方だけ置換積分します。a≦g(b)のときとa＞g(b)のときに分けます。
・a≦g(b)のときf(a)≦b(∵f(x)は単調増加)
(左辺)
＝∫[0,a]f(t)dt+∫[0,f(a)]g(t)dt+∫[f(a),b]g(t)dt
≧∫[0,a]f(t)dt+∫[0,f(a)]g(t)dt+∫[f(a),b]g(f(a))dt
＝∫[0,a]f(t)dt+∫[0,f(a)]g(t)dt+∫[f(a),b]adt
＝∫[0,a]f(t)dt+∫[0,f(a)]g(t)dt+[b-f(a)]a
置換し
＝∫[0,a]f(t)dt+af(a)-∫[0,g(f(a))]f(t)dt+[b-f(a)]a
＝∫[0,a]f(t)dt+af(a)-∫[0,a]f(t)dt+[b-f(a)]a
＝ba
・a＞g(b)のとき f(a)＞bなので同様にできる。
