- 361 名前：１３２人目の素数さん [2012/10/13(土) 16:13:14.78 ]
- 514:10/13(土) 14:31 kzHh3/0U0
>>508
ああ本当だ
直したりなかった
(a^2+b^2)/(ab+1)=n…☆とする
これの最小の解を(A,B)とする
k+B=nAとおくと
k=nA-B=(A^2-n)/B…(X)
A≦Bとしても一般性に欠かないから
(X)=k<B
(i)k=nA-B>0のとき
☆で(a,b)=(A,k)とすると
(A^2+(nA-B)^2)/(A(nA-B)+1)=n
⇔A^2+(nA)^2-2nAB+B^2=(nA)^2-nAB+n
⇔A^2+B^2=n(AB+1)
これは成り立っているものであるから
(A,k)も☆の解
kは明らかに整数でk<Bであるから(A,k)の存在から(A,B)が最小解であることに矛盾
(ii)k<0のとき
(X)を変形して
n-A^2=-Bk≧B-A^2>nA-A^2≧n-A^2
これは矛盾
よってk=0に絞れて
nA=Bを☆に代入すればn=A^2(平方数)
