- 36 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/26(水) 17:48:08.71 ]
- プリンストン解析学講義Ⅱ複素解析6章命題2.7ですけど…
関数ζ(s)＝Σ1/n^s（Re(s)＞1）＊ は、
δ[n](s):＝(1/n)^s-∫[n,n+1]dx/(x^s) なる整関数列（δ[n]）（n=1,2,...）で以って
ζ(s)＝1/(s-1)+Σδ[n](s)。☆
で、各δ[n]は、|δ[n](s)|≦|s|/n^(Re(s)+1),|δ[n](s)|≦2/n^Re(s)。（甲）――証明略
Σδ[n]はRe(s)＞0において正則なので、☆によって＊のRe(s)＞0までの解析接続。
【Lem2.7】
∀ε∈(0,1) ∃c[ε]＞0 ∀σ[0]∈[0,1]
(1) σ≧σ[0]、|Im(s)|≧1⇒|ζ(s)|≦c[ε]|Im(s)|^(1-σ[0]+ε)
(2) σ≧1、|Im(s)|≧1⇒|ζ'(s)|≦c[ε]|Im(s)|^ε
∵(1)
（甲）より、0＜h＜1に対し常に
|δ[n](s)|≦（|s|/n^(Re(s)+1)）^h・（2/n^Re(s)）^(1-h)≦(2|s|^h)/n^(σ[0]+h)。
特にh＝1-σ[0]+εの時、上は |δ[n](s)|≦(2|s|^(1-σ[0]+ε))/n^(1-ε)
∴☆より
|ζ(s)|≦1/|s-1|+2[Σ1/n^(1-ε)]|s|^(1-σ[0]+ε)――（乙） を得てQED。
――とありますが、（乙）からどうやって（1）が言えるかさっぱり分かりません。
|ζ(s)|≦c[ε]|s|^(1-σ[0]+ε) なら言えますけど
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