- 67 名前：59 [2012/09/21(金) 19:47:42.41 ]
- >>61
>>63 さんの言われる通りになるかもしれませんが，いちおう書いてみます．
mを0以上の整数，k=0,1,2,3,4 として
(1) の結論は，「n=5m+k のとき，余りは x^k」，
(2) の結論は，「nが5の倍数のとき余りは5, nが5の倍数でないとき余りは0」
ですね．では，n=5 と n=7 の場合を例にして(2)を考えてみます．
x^(20),x^(15),x^(10),x^(5),1 のそれぞれを x^5-1 で割った余りは，(1)によりどれも1なので
x^(20)+x^(15)+x^(10)+x^(5)+1=(x^5-1)Q(x)+5, つまり，
x^(20)+x^(15)+x^(10)+x^(5)+1=(x^4+x^3+x^2+x+1){(x-1)Q(x)}+5
と表されます．（Q(x)は整式．）これは，x^(20)+x^(15)+x^(10)+x^(5)+1 を
x^4+x^3+x^2+x+1 で割った余りが5であることを示しています．
x^(28),x^(21),x^(14),x^(7),1 のそれぞれを x^5-1 で割った余りは，(1)によりそれぞれ
x^3, x^1, x^4, x^2, 1 となるので，整式 Q(x) を用いて，
x^(28)+x^(21)+x^(14)+x^(7)+1=(x^5-1)Q(x)+(x^4+x^3+x^2+x+1), つまり
x^(28)+x^(21)+x^(14)+x^(7)+1=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1)Q(x)+(x^4+x^3+x^2+x+1), さらに
x^(28)+x^(21)+x^(14)+x^(7)+1=(x^4+x^3+x^2+x+1){(x-1)Q(x)+1}
と表されます．これは x^(28)+x^(21)+x^(14)+x^(7)+1 が x^4+x^3+x^2+x+1 で割り切れることを示しています．
ここでポイントは，4×7, 3×7, 2×7, 1×7 を5で割った余りがすべて異なり，
1,2,3,4が1回ずつ登場することにあります．
さらに，自分で n=6,8,9 の場合を上のようにやってみることをお勧めします．
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