- 65 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/07/21(土) 21:27:19.69 ]
- >>64
x^p=a ここにpは素数で、aはp乗ではない有理数とする
aのp乗根a^(1/p)は無理数であり、1のp乗根をζpとしてQ(ζp、a^(1/p))という拡大を考えることになる
1のp乗根ζpは、べき根で表されることはガウスが証明したので、基礎体をQ(ζp）(＝Qζpと書く)に取り直すと、Qζp(a^(1/p))は巡回拡大になり、自己同型群は位数ｐの巡回群になる
そこで、べき根による体の拡大により、拡大体Q(α、α1・・・αn)を構成できるかという問題は、べき根による巡回拡大により拡大体Q(α、α1・・・αn)に到達できるかという問題になる
そこで、結局、(φα、φα1・・・φαn)という根の置換群が、素数位数の巡回群で構成できるかという問題に還元できるのだ
これが、ガロア理論の骨子だ
