- 58 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/07/21(土) 18:15:44.32 ]
- つづき
2．ミラー対称性.
最初の例はミラー対称性である. そのおおまかな内容は，IIA 型とIIB型の超弦理論がそれぞれがM，W という異なる多様体上で実現されているとき，２つの多様体の一見異なる情報が一致してしまう，というものである．
ミラー対称性からの帰結として，M 上の代数的な構造から定まる量が，W の超越的な構造から定まる量で表される，といった形の予想がなされる．
このように，ミラー対称性（あるいはより大きな対称性である弦理論の双対性）は，一見遠く離れた二つの数学の分野の間に繋がりがあることを示唆する．ミラー対称性は，近年活発に研究されており，様々な数学的な定式化，及び一般化がなされつつある．
3. ゲージ理論における双対性.
次に, ゲージ理論においてT 双対性を最も端的に反映するものとして,Nahm 変換と呼ばれるものがある.
これは, R4 上の平行移動に関して不変なインスタントンのモジュライ空間が, 別の空間上のある方程式の解空間と一対一に対応する, というものである.
この対応によって, インスタントンという超越的な対象がある代数方程式系によって記述され, 代数幾何学との関係が明らかとなる. Nahm 変換は, 代数幾何学におけるFourier-Mukai 変換に対応し, その重要性は増してきている.
3.2 具体的目標
本プロジェクトの目的は，弦理論の双対性という視点から，既存の数学を見直すこと，並びに新たな理論を創り出すことである．本プロジェクトが取り組む研究課題と, 各構成メンバーの役割は以下の通りである.
ミラー対称性に関わる問題としては, 野原がLagrangian ファイブレーションの存在問題や, Ricci 平坦計量の存在問題に取り組む. 三鍋はミラー対称性の圏論的定式化と, そこから新たな対称性の概念を見いだす問題に興味を持っている.
浜中, 藤井は弦理論の立場からこれをサポートする.
ゲージ理論におけるNahm 変換については, 多くの研究がなされているが,一般の平行移動で不変な場合には, やるべき問題が残されている. 特に解析的な基礎づけはまだ充分ではない.
藤井は主にこの問題に取り組む. 三鍋は代数幾何の立場から, 野原は微分幾何の立場から, 浜中はゲージ理論の立場からこれをサポートする. また, これは非線型解析と関わる問題であるので, 将来的には解析のグループとの連携も考えられる.
当面の目標は，
（略）
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