- 496 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/09/25(火) 06:10:58.47 ]
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ABC予想が解かれたかもしれんぞ！
785 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/23(日) 23:41:53.12
今までのことを自分なりにまとめてみた。誤りがあったら指摘よろ
===準備===
・abc-triple; a+b=cを満たす、互いに素（最大公約数が1）な自然数の組(a,b,c)
・rad(n); nの素因数をすべて掛け合わせた積 例）rad(16)=rad(2^4)=2, rad(17)=17, rad(18)=rad(2*3^2)=2*3=6
===目的===
「abc-tripleの組(a,b,c)について、c < rad(abc)^(1+ε)が成り立つか？」(ε：0以上の実数)
===事実===
・ε=0 → 無限個の反例がある 例）(1, 64^n - 1, 64^n)、(1, 3^(2^n) -1, 3^(2^n))
・ 0<ε → これまでに有限個の反例が見つかっている （その中で最大のものはε=0.6299...で、それより上の反例は見つかっていない）
===予想===
・ 0<ε → 反例は有限個しか存在しない 【abc予想(strong)】 ★今回、望月教授が証明したもの★
・（a,b,cによらない）ある実数gが存在して g<ε → 反例は存在しない 【abc予想(weak)】
・ε=1 → 反例は存在しない 【abc予想(wiki版)】 ※一般的に知られている形※
※strongが言えればweakが言えるが、weakが言えてもwiki版は言えない
===応用===
もし、【abc予想(wiki版)】が証明されたら「フェルマーの最終定理」の別証明が与えられる
x^n + y^n = z^n (2<n) を満たす、互いに素な自然数の組(x,y,z)が存在したとする（もし(x,y,z)が互いに素でなかったら、最大公約数dで割ればよい）
a=x^n, b=y^n, c=z^n とおくと、(a,b,c)は互いに素でa+b=cを満たすのでabc-tripleである
【abc予想(wiki版)】より、z^n=c <rad(x^n y^n z^n)^2 =rad(xyz)^2 < (xyz)^2 < (z^3)^2 =z^6、よって n<6 である
n=3,4,5のときは証明済みだからフェルマーの定理が成り立つ
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