- 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/18(月) 17:12:39.15 ]
- 次の無限級数を考える
∑[n=1,∞]1/n^2=1/1^2+1/2^2+1/3^3+… …(1)
これはπ^2/6に収束する（Maclaurin展開とか知らないと説明できないので省略）
一方次のような無限積を考える
Π[p:素数]1/(1-p^(-2))=(1/(1-2^(-2)))*(1/(1-3^(-2)))*(1/(1-5^(-2)))*… …(2)
|1/p^2|<1であるからこの級数は
(1+2^(-2)+2^(-4)+…)*(1+3^(-2)+3^(-4)+…)*(1+5^(-2)+5^(-4)+…)*… …(3)
と書ける
(2)を具体的に展開して分母が小さい方から順に並べる
1/(2^0*3^0*5^0*…)+1/(2^(-2)*3^0*5^0*…)+1/(2^0*3^(-2)*5^0*…)+…
素因数分解の一意性よりこの無限和の分母にはすべての平方数が1度だけ現れるので
(3)、つまり(2)と(1)は同じ式を表していることになる
ゆえにΠ[p:素数]1/(1-p^(-2))=(1/(1-2^(-2)))*(1/(1-3^(-2)))*(1/(1-5^(-2)))*… =π^2/6
Π[p:素数]1/(1-p^(-2))=Π[p:素数]p^(-2)/(p^(-2)-1)とも書けるけど
普通は書かない（2は無限等比級数の和の公式の形）
(1)式をもっと一般的に書いたものがゼータ関数とよばれる関数
ζ(s)=∑[n=1,∞]1/n^s=1/1^s+1/2^s+1/3^s+…
詳しいことは大学に行ってやれ
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