現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5

1 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2012/05/26(土) 16:13:52.05 ] このスレはガロア原論文を読むためのスレです 過去スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4) uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/ 45 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/27(日) 15:15:34.33 ] >>39 深谷県のご参考 ttp://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kazushi/proceedings.html 植田一石大阪大学大学院理学研究科 Conference Proceedings / Reports 3. Coamoeba and equivariant mirror symmetry (joint work with Masahito Yamazaki, in Japanese), MSJ meeting, September 2007, pdf file. www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kazushi/proceedings/msj2007_9.pdf コアメーバとトーラス同変なホモロジー的ミラー対称性 1.弦理論私見 弦理論はもともと双対共鳴模型と呼ばれ、ハドロン（すなわち陽子や中性子、 中間子などの強い相互作用をする素粒子）を記述するための現象論として誕生 したが、Yang Mills理論が強い相互作用の正しい理論としての地位を確立すると ともに、Kelvin 卿の渦原子模型のように科学史の脚注として忘れ去られる運命に あるかと思われた． しかし、弦理論は滅びなかった．失敗した現象論として始まったこの理論は、 自然科学（すなわち、実験によって検証できる科学）としてはいまだかつて一度 も成功したことがないにもかかわらず、その美しい数理的構造によって多くの理 論家を引き付けてきた．弦理論の（場の量子論と比較した）特徴は整合性を壊さ ずに理論を弄ることの難しさにあり、また、理論の致命的な矛盾が見つかっては 奇想天外な解決策によって不死鳥のように蘇るという紆余曲折に富んだ歴史を持 つ．例えば、ボゾン的弦理論の共形アノマリーと呼ばれる深刻な困難は時空の次 元を26次元 にすることで回避できる．この26という数字はLeech 格子の次元 24 に2を足したものであり、この事実はBorcherdsによるmoonshine 予想の解決 にとって本質的である． 弦理論における最大の謎は果たしてこの理論が本当に存在するか（つまり、内 部に矛盾を持たないか）である．無矛盾性のために必要な条件は非常に強いので、 それらが全て満たされるためには「奇跡」が沢山起こる必要がある．しかし、知 られている限りで必要な奇跡は全て実際に起こり、弦理論の存在に対する強力な 証拠の一つになっている．（以下略） 46 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/27(日) 15:18:35.79 ] >>45 追加 www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kazushi/proceedings.html 植田一石大阪大学大学院理学研究科 Conference Proceedings / Reports Mirror Symmetry and McKay Correspondence (in Japanese), Geometry Symposium, August 2005, pdf file. www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kazushi/proceedings/geometry_symposium2005.pdf ミラー対称性とMcKay 対応 三角圏を使った定式化が本質的であるもう１つの例として，Kontsevich [8] が1994 年の国際数学者会議で提出した次の予想がある： 予想(ホモロジー的ミラー予想). 任意の3 次元Calabi-Yau 多様体M に対し，あ る3 次元Calabi-Yau 多様体W が存在して，M の連接層の導来圏とW の深谷圏 の導来圏が三角圏として同値になる： 47 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/27(日) 15:57:11.44 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 48 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/27(日) 16:00:14.26 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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On the Fukaya Categories of Higher Genus Surfaces, arXiv:math.SG/0606598 . [Fuk93] Kenji Fukaya. Morse homotopy, A ∞ -category, and Floer homologies. In Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology ’93 (Seoul, 1993) , volume 18 of Lecture Notes Ser. , pages 1?102, Seoul, 1993. Seoul Nat. Univ. [Fuk97] Kenji Fukaya. Morse homotopy and its quantization. In Geometric topology (Athens, GA, 1993) , volume 2 of AMS/IP Stud. Adv. Math. , pages 409?440. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997. Updated on: Wed Sep 01 11:56:04 +0900 2010 50 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/28(月) 21:33:57.61 ] >>49 補足 pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/mirror_symmetry.html#Xmath.AT/0603196 Mirror Symmetry Kontsevich は , ICM 94 で Fukaya の アイデア [ Fuk97 ] に 基 づいて , mirror symmetry を 多 様 体 上 の derived category の 間 の duality と 解 釈 するという アイデア を 発 表 した , らしい 。 Homological mirror symmetry conjecture と 呼 ばれている 。 解 説 としては , Ballard の [ Bal ] がある 。 Fukaya category Calabi-Yau 多 様 体 に 対 する Homological Mirror Symmetry Conjecture Kontsevich の アイデア に 忠 実 に 従 っ ているのが Polishchuk という 人 で , elliptic curve の 場 合 に Kontsevich の 予 想 を 証 明 したようである 。 その アイデア を superstring theory で 押 しすすめ , D-brane の 理論 が “categorical” にな っ てきている 。 例 えば , Lazaroiu の preprint [ Laz03 ] にある 解 説 を 読 むと よい 。 Kontsevich や 深 谷 の アイデア を 理 解 するためには , まず 以下 のことが 必 要 で ある 。 Complex projective variety 上 の coherent sheaf の derived category 具 体 的 な 空 間 の Fukaya category が 分 かれば , 理 解 の 助 けになることは 当 然 である が , あまり 詳 しいことは 分 っ ていないようである 。 Abouzaid が [ Abob ] で Riemann 面 の Fukaya category の K -theory を 調 べている 。 Abouzaid の [ Aboa ] の Introduction は Kontsevich の Homological Mirror Symmetry Conjecture の 現 況 を 知 るのによい 。 それによると , Kontsevich は Fano 多 様 体 への 予 想 の 拡 張 も 立 てているらしい 。 その Abouzaid の 論 文 は , toric variety の 場 合 に tropical (algebraic) geometry を 用 いて 調 べているという 点 で 興 味 深 い 。 51 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/28(月) 21:37:36.51 ] >>50 補足 pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/A_infty-category.html A∞-category A ∞ -category は Fukaya により 導入 された [ Fuk93 , Fuk97 ] 概 念 である 。 k -linear category あるいは dg category の A ∞ 版 あるいは A ∞ -algebra の many objecti?cation である 。 解 説 としては , Paul Seidel の 本 [ Sei08 ] がよいだろう 。 Keller の 学 生 だ っ た Lefevre-Hasegawa の thesis [ LH ] もあるが , フランス 語 である 。 Bespalov と Lyubashenko と Manzyuk が 最 近 “Pretriangulated A ∞ -categories” という 600 ペ ー ジ もある 本 を ウクライナ で 出 したようである 。 Lyubashenko の ホ ー ムペ ー ジ から download できる 。 A ∞ -category Fukaya category Kontsevich と Soibelman は [ KS01 ] で A ∞ -pre-category という 概 念 を 定 義 した 。 特 定 の 組 に 対 してのみ “morphism の 成 す module” が 定 義 されるもので , Fukaya category の 定 義 される 状 況 をより 正 確 に 表 わしたものである 。 Effimov の [ E? ] によると , そのよ うな 部分 的 に morphism が 定 義 されたものは , A ∞ -category と 取 り 替 えることができる ようである 。 A ∞ -pre-category ホモロジ ー 代 数 的 には , A ∞ -category は DG category の 一 般 化 と 考 えることがで きる 。 つまり DG category から canonical な 方法 で A ∞ -category が 定 義 で きる 52 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/28(月) 21:55:27.61 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 53 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/28(月) 21:59:13.83 ] >>49 深谷拳の写真がある 【Budget Allocation】 81,600 Thousand Yen は、なかなか凄いね www.jsps.go.jp/j-grantsinaid/12_kiban/ichiran_23/e-data/e34_fukaya.pdf 【Grant-in-Aid for Scientific Research(S)】 Science and Engineering (Mathematical and physical sciences) Title of Project：Proof of Homological Mirror symmetry Kenji Fukaya ( Kyoto University, Graduate School of Science, Professor ) 【Term of Project】 FY2011-2015 【Budget Allocation】 81,600 Thousand Yen 【Homepage Address and Other Contact Information】 www.math.kyoto-u.ac.jp/~fukaya/ 54 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/28(月) 22:15:02.74 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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It seems to me that there are threads of ideas in this story that in the very distant future might be woven together to give a possible answer. To begin, we should note that there seems to be a general idea, discussed in this mathoverflow question, mathoverflow.net/questions/37420/deformation-quantization-and-quantum-cohomology-or-fukaya-category-are-they. 56 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/28(月) 22:23:41.95 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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