- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/22(火) 00:58:45.50 ]
- 「問題」
微分可能な関数f(x)が,x≧0のとき常に
f'(x)＞0,∫[0,x]f(t)dt≧x
を満たすならば,x＞0の範囲ではf(x)＞1であることを証明せよ
自分で考えてみたのですが合ってますか？↓
f(x)の原始関数をF(x)とすると
∫[0,x]f(t)dt=F(x)-F(0)≧x
x>0のとき、両辺をxで割ると
(F(x)-F(0))/x≧1, 平均値の定理よりf(c)=(F(x)-F(0))/x, 0<c<xとなるcが存在するので
f(c)≧1
f'(x)＞0より、x>c>0のとき、f(x)>f(c)≧1
したがってx＞0の範囲ではf(x)＞1である
