- 169 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/21(土) 08:31:39.23 ]
- >>152 つづき
> １．ガロアリゾルベントV>>15を作って、Vを用いて方程式の根をVの有理式で表す。Vの共役根をV'、V''、V'''・・・として、VをV'、V''、V'''・・・で置き換えることで根の置換を生じせしめる
この話で一番分かりやすいのは、前々スレ198で紹介した
www.amazon.co.jp/product-reviews/476870011X
数III方式ガロアの理論―アイデアの変遷を追って [単行本] 矢ケ部 巌 (著) 出版社: 現代数学社 (1976/06)
第24章 方程式の群を導入する P417で
ガロアのもとのアイデアにそって、分かりやすく方程式のガロア群を導入している
つまり、
ガロアリゾルベントV>>15
V=Aa+Bb+Cc+・・・
a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる
↓
根の置換で異なる値V'、V''、V'''・・・を全て集めて
F(x)=(x-V)(x-V')(x-V'')(x-V''')・・・
を作る
F(x)の係数は、元の体（それが有理数体QならQに）（(x-V)(x-V')(x-V'')(x-V''')・・・は置換で異なる値を集めたので根の置換で変わらない→対称式→根の基本対称式→根と係数の関係から元の体）
↓
一般の５次方程式ならF(x）は既約で、120次元の方程式
↓
V=Aa+Bb+Cc+・・を用いて
a,b,c・・・は、Vの有理式で表される
これをガロア論文>>3では、
a=φ(V),b=φ1(V),c=φ2(V)・・・ と表している
矢ケ部では、θを使っている
↓
ここで、V→V'などの置換で
a'=φ(V'),b'=φ1(V'),c'=φ2(V')・・・ の根の置換が生じる（a'=φ(V')がまた元の方程式の根になることは証明があるので、どちらかの本を見ること）
↓
一般の５次方程式ならこの置換はV→Vの恒等置換も含めて120個。つまり、５次対称群S5になる
|
 |
