- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/01/14(月) 21:01:28.31 ]
- 9の考え方
素数pが10^2013-1の約数だとすると，10^2013≡1(mod p)
フェルマーの小定理で10^(p-1)≡1(mod p)
よって，2013とp-1の最大公約数をgとすると，2013x+(p-1)y=gとなるx,yがあるので，
10^g≡1(mod p)…☆
gが1のとき，☆が成り立つのはp=3のみ
gが1でない(p-1と2013=3×11×61が公約数をもつ)ような素数p(≦100)は，
(p,g)=(19,3),(23,11),(31,3),(37,3),(43,3),(67,33),(73,3),(79,3),(89,11),(97,3)
の10通りで，g=3となる7組のうち10^3-1の約数になるのはp=37のみ
あと3組はしらみつぶしに調べるとp=67のとき10^33≡1(mod 67)も分かる
よって，答えの素因数としてありうるのは3,37,67のみ
10^2013-1=999…9(9が2013個)は27で割り切れるが81では割り切れないので，
答えは1,3,9,27,37,67
ところで誰かJJMOクレクレ
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