- 44 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/03(土) 16:40:16.37 ]
- 命題
K を可換体とする。
E/K と F/K を拡大(>>90)とする。
σ：E → F を K-同型（過去スレpart4の514）とする。
E_s と F_s をそれぞれ K の E と F における相対分離的閉包（過去スレpart4の890）とする。
このとき σ は K-同型 σ’：E_s → F_s を引き起こす。
証明
任意の α ∈ E_s に対して α の K 上の最小多項式（過去スレpart4の557）を f(X) とする。
f(α) = 0 だから σ(f(α)) = f(σ(α)) = 0
よって、σ(α) の K 上の最小多項式を g(X) とすれば f(X) は g(X) で割り切れる。
τ：F → E を σ の逆写像とする。
g(σ(α)) = 0 だから τ(g(σ(α))) = g(α) = 0
よって、g(X) は f(X) で割り切れる。
f(X) と g(X) はモニック（過去スレpart1の115）だから f(X) = g(X) である。
よって、f(X) は σ(α) の K 上の最小多項式である。
α は K 上分離的（過去スレpart4の841）だから f(X) は分離的（過去スレpart4の694）である。
よって、σ(α) ∈ F_s である。
よって、σ(E_s) ⊂ F_s である。
τ は K-同型であるから上記と同様に τ(F_s) ⊂ E_s である。
よって、任意の β ∈ F_s に対して α = τ(β) とすれば α ∈ E_s であり σ(α) = β である。
よって、σ(E_s) = F_s となり σ の E_s への制限は K-同型 σ’：E_s → F_s を引き起こす。
証明終
|
 |
